Chapitre Les Régularités Mathématiques

8/20/2019 Chapitre Les Régularités Mathématiques

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LES RÉGULARITÉS ENMATHÉMATIQUES

Mai JuinJanvier Février Mars Avril Septembre Octobre Novembre Décembre

D a t e d ’ a c h è v e m e n t p r é v u e


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LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES

76 PROGRAMME DE MATHEMATIQUES 4e ANNEE – VERSION PROVISOIRE


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PROGRAMME DE MATHEMATIQUES 4e ANNEE – VERSION PROVISOIRE 77

Aperçu du chapitre

Introduction Les mathématiques sont souvent décrites comme la science desrégularités. Des régularités, qui existent à la fois dans la nature etles créations humaines, se rencontrent dans les contextesquotidiens des élèves. Lors de l’apprentissage des mathématiques,les élèves doivent être en mesure de reconnaître, de décrire et deprolonger les régularités et de s’en servir pour résoudre lesproblèmes. La capacité de discerner et d’utiliser les régularitésefficacement favorise le développement du raisonnementalgébrique. Les élèves de 4e année commencent à représenter leraisonnement algébrique avec des expressions algébriques. Lesdiverses représentations des régularités, y compris l’usage desymboles et de variables, fournissent des outils précieux pour fairedes généralisations des relations mathématiques. Les régularitésimprègnent chaque concept mathématique.

Les régularités sont omniprésentes dans notre monde. Leprogramme des mathématiques pourrait aider à sensibiliser lesélèves aux régularités qu’ils observent chaque jour et auxdescriptions mathématiques ou modèles de ces régularités et auxrelations ( NCMT, Curriculum and Évaluation Standards forSchool Mathematics, 1989, p. 100-101 corriger le format deréférence).

Les élèves de 4e année élargiront leurs connaissances antérieuresdes régularités et relations lorsqu’ils exploreront les différentstypes de régularités, découvriront les règles de régularité,traduiront les représentations concrètes et imagées des régularités

en tables ou tableaux, détermineront les égalités et examinerontcomment les régularités à base de symboles et de variables sontutilisées mathématiquement pour décrire le changement etmodéliser les relations quantitatives.

Processusmathématiques[C] Communication [CE] Calcul mental et estimation[L] Liens [R] Raisonnement[RP] Résolution de problèmes [T] Technologie[V] Visualisation


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Domaine : Régularités et relations

Résultats d’apprentissagespécifiques

L’élève doit pouvoir :

4RR1 Identifier et décrire desrégularités dans des tableset des tableaux, y comprisune table de multiplication.[C, L, RP, V]

* enseigné dans l’unité sur lestables de multiplication et de

divisionIndicateur de rendement :

4RR1.4 Décrire la régularité dansune table ou un tableau donné.

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage

Bien que le chapitre sur les opérations de multiplication et de divisionne commence que vers Noël, on recommande d’incorporer tôt dans le programme quotidien, de 5 à 10 minutes en matinée, les opérationsavec des produits allant jusqu’à 45.

Les élèves de 4e année continueront d’étudier et de développer lesnombreuses régularités dans différents tableaux et grilles. DansPremiers pas et dans la leçon 1, on met l’accent sur les régularitésdans une grille de cent et dans une table d’addition. Cette matière esttraitée en détail en 2e et 3e année. Il est donc recommandé auxenseignants de faire preuve de beaucoup de discernement à l’égard decette matière, car elle ne reflète pas les régularités au niveau de la4e année. Ne choisissez qu’un ou deux exercices pratiques.

Observez les nombreuses régularités dans la grille de cent. Parexemple :

Choisissez quatre nombres qui forment un carré. Additionnezles deux nombres placés en diagonale tels que 59 + 68 et58 + 69. Les sommes sont identiques.

127

127

59

68 69

58

Complétez plusieurs grilles de cent, de façon que les élèves

puissent explorer de 1 à 100, de 101 à 200 et jusqu’à 999. Surces grilles, utilisez des jetons de couleur pour recouvrir lesnombres formant une régularité et encouragez les élèves àobserver la valeur de position des nombres recouverts.

Observez les régularités dans une table d’addition, telles que :• seuls les nombres pairs sont situés sur la diagonale principale (du

haut à gauche vers le bas à droite), de sorte que la somme d’unnombre avec lui-même est toujours paire.

• les nombres augmentent d’une unité à la fois sur toute unerangée, étant donné qu’il s’en ajoute une à chaque mouvementvers la droite.

• tous les 8 sont en diagonale, car chaque fois que le second termede l’addition augmente de un, le premier terme diminue de un.• il y a trois 2, quatre 3, cinq 4, etc.• les diagonales de n’importe quels quatre nombres qui forment un

carré auront la même somme.Les élèves ont déjà vu les tables de multiplication allant jusqu’à 45,mais ils n'ont pas travaillé beaucoup avec une grille de multiplication.Un traitement plus approfondi des régularités dans les grilles demultiplication suivra au chapitre 6.


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Résultat d’apprentissage général :Décrire le monde à l’aide de régularités pour résoudre des problèmes

Stratégies d’évaluation

Papier-crayon

4RR1 À l’aide d’une grille de cent, demandez aux élèves de trouvertous les multiples de 2 et de les colorier. Demandez-leur de décrire lesrégularités. Répétez l’exercice pour des multiples de 3, 4, 5, 6, 7, 8 etde 9. Demandez aux élèves de décrire les changements qu’ilsobservent à mesure que les nombres augmentent. Quand vousobserverez le travail des élèves, remarquez dans quelle mesure :

• ils les trouvent tous;• ils trouvent (certains ou aucun) des multiples du nombre

donné;• ils peuvent prédire et prolonger la régularité des multiples;• ils peuvent décrire la régularité (clairement, en partie,

difficilement) en la rapprochant des dessins semblables dans

le monde réel.

Papier-crayon4RR1.1 Demandez à un élève d’insérer les nombres manquants, touten expliquant la raison de chaque choix :

4, 8, ___ , 16, 20, __

5, ___ , 15, ___ , 25

3, ___ , ___ , 12, 15

Portfolio4RR 1.1 Les enseignants peuvent demander aux élèves de décrire parécrit les régularités qu’ils trouvent dans une grille donnée. Invitez lesélèves à réfléchir à la façon dont leur travail prouve qu’ils sont debons mathématiciens (c.-à-d. en cherchant des régularités, enemployant un vocabulaire mathématique pour décrire leurraisonnement, en persévérant malgré les difficultés, en relevant lesdéfis et en posant les bonnes questions.)

Papier-crayon4RR1.2 Remettez aux élèves une grille à laquelle il manque desnombres et demandez-leur de trouver les nombres manquants, tout en

expliquant leur raisonnement.

Ressources/Notes

Ressources autorisées

Compas Mathématique 4 *

Chapitre 1:Les régularités en mathématiques

Présentation du chapitreGE p. 7ME p. 1

Premiers pas:Comparer des régularitésGE p. 9 - 10ME p. 2-3

Leçon 1:Les régularités dans une tabled’additionRR1 (1.2/ 1.4)GE p. 11-14ME p. 4-6 CA, p. 1

* LégendeGE: Guide d’enseignementME: Manuel de l’élèveCA : Cahier d’activités


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4RR1 Identifier et décrire desrégularités dans des tableset des tableaux, y comprisune table demultiplication. (Suite)[C, L, RP, V]

* enseigné dans l’unité sur les faits de multiplication et dedivision

Indicateurs de rendement :

4RR1.2 Déterminer les élémentsmanquants dans une table ou untableau.


4RR3 Représenter, décrire etprolonger des régularitéset des relations à l’aide dereprésentationsgraphiques et de tableauxpour résoudre desproblèmes.[C, L, R, RP, V]


4RR3.1 Transposer l’information fournie dans un problème donnédans une table ou un tableau.

4RR3.2 Identifier et prolonger larégularité dans une table ou untableau pour résoudre un problème donné.


4RR2 La grille de cent est un modèle utile aux élèves pour trouver etdécrire un certain nombre de régularités. Encouragez les élèves àdiscuter des règles de régularité comme moyen de les aider àdéterminer les éléments manquants.

Demandez aux élèves de décrire une régularité pour consolider leurcompréhension. Cette description est appelée une règle de régularité.Les élèves doivent utiliser des termes comme verticale,horizontale, diagonale, rangée, colonne, règle de régularité, pointde départ et régularité croissante, décroissante et répétitive pouraider à décrire les régularités.

4RR3 Les régularités croissantes comprennent également unecomposante numérique, par exemple, le nombre d’objets à chaqueétape. Une grille ou un tableau peut être créé pour représenter unerégularité. Les objets de manipulation peuvent devenir superflus unefois qu’une table est utilisée pour la régularité croissante. Les élèvesdoivent alors comprendre qu’ils peuvent prolonger une régularité sansavoir à bâtir un modèle à chaque fois. Cela nous mène également àl’étape suivante, qui consiste à prédire ce qui se passera à une étapeen particulier (Van de Walle et Lovin 2006, p. 293-294).

Demandez aux élèves non seulement de s’exercer à prolonger lesrégularités à l’aide de matériel de manipulation et de dessins, maisencore et surtout de convertir les régularités d’un moyen d’expressionà un autre. Par exemple, si une régularité est créée à l’aide de blocsrouges et bleus, les élèves doivent savoir que ces blocs peuvent aussiêtre représentés à l’aide de lettres. Échangez avec les élèves pourexpliquer en quoi ces régularités sont semblables.


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Exécution

À l’aide d’une grille de cent, placez un jeton de couleur sur lesnombres 21, 28, 36 et 45. Utilisez l’addition et la soustraction pourprolonger la régularité dans les deux directions. Continuez d’utiliserles jetons pour compléter la grille de cent.Expliquez la régularité à l’aide d’images, de nombres et de mots.

1

12

23

34

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81

9291

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3

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4

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5

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6

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50

7

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29

40

8

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30

20

9

Exécution4RR1.2/1.4 En utilisant cette régularité numérique, demandez auxélèves de prolonger la régularité et d’expliquer :

• comment ils ont déterminé la régularité et ses éléments

manquants• quelle situation du monde réel pourrait décrire cette

régularité.

A B1 22 434 8

Demandez aux élèves d’utiliser du matériel de manipulation pourillustrer cette régularité. Demandez-leur de décrire comment leurprésentation démontre cette régularité.

Ressources/Notes

Compas Mathématique 4Leçon 1:Les régularités en mathématiques(Suite)GE p. 11-14ME p. 4-6 CA, p. 2

Jeu de math: Les régularités dansles grilles4RR1 (1.4) 4RR2 (2.1)

GE p. 15-16ME p. 7

Compas Mathématique 4Leçon 2:Prolonger des régularités à l’aidede tableauxRR1 (1.2/ 1.4) RR3 (3.1/ 3.2)GE p.17-20ME p.8-11CA, p. 2

Cette leçon est fortement liée au4RR3.


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4RR3 Représenter, décrire etprolonger des régularitéset des relations à l’aide dereprésentationsgraphiques et de tableauxpour résoudre desproblèmes. (suite)[C, L, R, RP, V]


4RR2 Transposer, d’unereprésentation à une

autre, une régularitéobservée dans un tableau,dans une représentationgraphique ou concrète.[C, L, V]


4RR2.1 Créer une représentationconcrète d’une régularité donnéedans une table ou un tableau.

4RR1.3 Identifier l’erreur ou leserreurs dans une table ou untableau.


Quand ils commencent à étudier le concept des relations, les élèvesont besoin d’utiliser concrètement du matériel de manipulation, soitdes grilles et des tableaux utilisés dans des contextes qui sontattrayants et signifiants pour eux. Ils ont besoin également denombreuses occasions de relier les régularités aux idées de nombre.

Une fois le tableau ou la grille remplie, les élèves ont deuxreprésentations d’une régularité : celle créée par le dessin ou lematériel et la version numérique, qui est dans le tableau ou la grille.Quand ils cherchent des régularités, certains élèves se concentrerontsur le tableau, tandis que d’autres mettront l’accent sur la régularitéphysique. Il est important que les élèves comprennent que les mêmesrégularités observées peuvent prendre plusieurs formes.

Quand ils ont trouvé une régularité dans un tableau, mettez les élèvesau défi de voir comment cette régularité est représentée à l’aide dematériel concret. (Van de Walle et Lovin 2006, p. 295).

4RR2.1 Quand on leur soumet une régularité représentée dans unegrille ou un tableau, les élèves doivent la reproduire à l’aide dematériel concret. Inversement, ils doivent créer une table ou untableau quand on leur présente une régularité faite à l’aide de matérielconcret.

Les élèves doivent avoir tout le loisir de construire des régularitéscroissantes à l’aide de matériel concret (cure-dents, dessins, cubesemboîtables, etc.) et de créer une table ou un tableau représentant larégularité. Il faut les inviter à décrire ce qui se passe à mesure que larégularité croît et à expliquer comment la nouvelle étape est reliée à laprécédente.

Les élèves trouveront utile de penser à une règle de régularité et del’expliquer quand ils cherchent des erreurs dans les tables ou lestableaux.

Étape 1 2 3 4 5 … 10

Nbre decarrés

2 6 12 20 ? … ?


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4RR2.2 Exécution

Présentez aux élèves une régularité de formes géométriques etdemandez-leur de la prolonger et de créer un tableau correspondant.Demandez-leur ce que serait la 10e étape, la 12e ou la 20e. Parexemple :

Exécution4RR2.1 Présentez une table comprenant une opération mathématiquedans la régularité. Expliquez ce que les données pourraientreprésenter, complétez la table et créez une représentation concrète àl’aide de cubes emboîtables.

1 2 3 4 5 6 7 8 93 6 9 12 ? ? ? ? ?

Exécution4RR2 Soumettez aux élèves un problème qui présente une régularitéet demandez-leur de représenter cette régularité d’au moins de deuxfaçons et d’expliquer leur raisonnement.

Journal4RR1.3 Donnez aux élèves un tableau comme celui-ci :

1 42 83 12

4 185 206 227 288 329 36

Demandez aux élèves de trouver les erreurs et de le noter dans leur journal de mathématiques et de l’expliquer.

Ressources/Notes

Leçon 2:

Prolonger des régularités à l’aidede tableaux (Suite)

Leçon 3:4RR1 (1.3) 4RR2 (2.2) 4RR3(3.2)GE pp.21-24ME pp.12-14CA, p. 3 Bien que des élèves peuventrépondre aux questions poséessans avoir besoin de représenterles régularités à l’aide de tableauxou de tables, il est recommandéd'insister qu'ils le fassent quand

même au moins d’une façon pourmieux répondre au RR3.

Curiosités mathématiques: Lesbandes numériques4RR1 (1.2/ 1.4)GE p. 14ME p. 15Cette activité correspond bien auxrésultats d’apprentissage maisdemeure facultative.

Révision4RR1 (1.2/ 1.4) 4RR2 (2.1) 4RR3(3.1/ 3.2)GE p. 26-28ME p. 16-17 À faire si nécessaire. Par contre, prenez soin de bien couvrir lamatière découlant des leçons 2 et3.


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4RR1 Identifier et décrire desrégularités dans des tableset des tableaux, y comprisune table demultiplication. (Suite)[C, L, RP, V]



4RR3 Représenter, décrire etprolonger des régularitéset des relations à l’aide dereprésentationsgraphiques et de tableauxpour résoudre desproblèmes. (suite)[C, L, R, RP, V]


4RR3.2 Identifier et prolonger larégularité dans une table ou untableau pour résoudre un problème donné.


4RR3 À mesure que les élèves développent leur aptitude à reconnaîtreet à créer des régularités, ils apprennent à utiliser leurs connaissances.Leur capacité de résoudre les problèmes s’accroît par l’avecl’exercice répétée de régularités diverses. Ils passent d’unereconnaissance de base des régularités à une utilisation plus subtile deces régularités comme stratégie de résolution de problèmes.

4RR3.2 La résolution de problème devrait permettre aux élèvesd’établir des liens entre les régularités physiques et l’informationreprésentée sur une table ou un tableau.Des situations réelles signifiantes doivent être évoquées régulièrementpour s’assurer que les élèves ont suffisamment de pratique pourprolonger les régularités observées dans une table, de façon àrésoudre un problème donné. Par exemple :David tentait de se qualifier pour faire partie de l’équipe de natation.Il devait effectuer 30 longueurs avant la fin de la deuxième semaine.Il ne pouvait pas nager les fins de semaine. La première journée, il aparcouru une longueur, la deuxième, cinq longueurs, la troisième neuflongueurs et ainsi de suite. David a-t-il fait suffisamment delongueurs à la fin de la deuxième semaine pour se qualifier dansl’équipe?

Jour Nombre de longueurs

Lundi 1Mardi 5

Mercredi 9Jeudi 13


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4RR5 Exprimer un problèmedonné sous la forme d’uneéquation dans laquelle unnombre inconnu estreprésenté par unsymbole.[L, R, RP]


4RR5.1 Expliquer le rôle du

symbole, tel qu’un triangle ou uncercle, qui apparaît dans uneéquation d’addition, dans uneéquation de soustraction, dans uneéquation de multiplication ou dansune équation de division à uneinconnue donnée, ex : 36 ÷ = 6.


En 3e année, les élèves ont appris les équations où les nombresinconnus sont représentés par des symboles. On s’attend à ce que lesélèves de 4e année soient en mesure de créer et de résoudre deséquations à une inconnue à l’aide de l’une ou l’autre des quatreopérations. À ce stade, les élèves utiliseront des opérations d’additionet de soustraction et, au chapitre 6, les équations de multiplication etde division à une inconnue seront couvertes en profondeur.Exemples : 28 – 9 = = 17 – 8

4 + 5 = + 2 50 = 20 + ∆

Une équation est une phrase mathématique avec un signe égal (=) etest employée pour exprimer des relations entre deux quantités. Pourcertains élèves, le signe égal présentera une difficulté. Bien qu’ilssoient à l’aise avec, par exemple, la phrase 4 + 5 = , ils interprètentle signe égal comme voulant dire « trouver la réponse ». Par

conséquent, en présence de la phrase □ – 4 = 5, ces élèvess’imagineront que la réponse est déjà là. De même, les élèvespourront répondre 4 + □ = 5 en additionnant 4 et 5 pour « trouver laréponse ». La notion d’une équation comme expression d’un équilibreleur échappe.Il est important que les élèves reconnaissent que le signe égal est unefaçon d’indiquer que le même nombre porte deux noms différents, depart et d’autre du signe égal. (Marian Small, 2008, p. 586).Le signe égal est « un symbole d’équivalence et d’équilibre » (NCTM2000, p. 39).

Les élèves doivent pouvoir utiliser facilement divers symboles pour

représenter une inconnue, par exemple, un carré, un cercle ou untriangle.29 + ∆ = 56 ou 29 + ∆ = 56

Affichez un certain nombre de balances comme il est illustré plus bas.Rappelez aux élèves que la balance étant équilibrée, une équationpeut être écrite pour représenter la situation illustrée. Demandez auxélèves d’écrire une équation pour chaque balance et de la résoudreensuite. Par exemple

8 + = 20, donc = 12. - 8 = 4, donc = 12

Donnez des exemples, à divers degrés de difficulté, d’utilisation desymboles pour représenter les inconnues. La diversité des formatsrenforcera la compréhension qu’on les élèves de l’égalité.

8 + 20- 8 4


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Dialogue élève-enseignant

4RR5.1 Résolvez l’équation suivante et expliquez votreraisonnement.∆ – 13 = 20

Dialogue élève-enseignant 4RR5.1 Lori dit que le carré dans l’équation suivante représente plusd’un nombre. Lori a-t-elle raison? Pourquoi ou pourquoi pas?

6 + 8 = + 4 Dialogue élève-enseignant Expliquez comment trouver le nombre manquant dans :

25 + = 100

Dialogue élève- enseignant

Expliquez à quoi sert le carré dans l’équation suivante :15 - = 8

Dialogue élève- enseignantDeux enfants ont une collection de cartes de hockey. Alex en a cinqde plus que Josie. S’ils ont 25 cartes en tout, combien en ont-ilschacun? (Proulx 2006)

ExécutionDemandez aux élèves d’écrire des équations avec une inconnue dansdes situations de problème comportant des mesures. Par exemple :Le périmètre d’un triangle est de 12 cm. Un côté mesure 3 cm et unautre 4. Quelle est la longueur du troisième côté?

Demandez aux élèves d’écrire des équations avec une inconnue dansdes problèmes contextuels avec des données comme :Le bibliothécaire veut savoir quel type de livres acheter pour labibliothèque.

Vingt-trois élèves ont choisi des livres scientifiques et certains ontchoisi des livres d’images.Quarante-huit élèves ont choisi des livres scientifiques ou des livresd’images. Combien d’élèves ont choisi des livres d’images?

Demandez aux élèves d’écrire des équations avec une inconnue dansdes situations de problème avec des figures géométriques comme :Gina forme des pentagones avec des cure-dents. Elle dispose de30 cure-dents. Combien de pentagones peut-elle former?

Ressources/Notes

Compas Mathématique 4

Leçon 5:Résoudre des équations4RR5 (5.2/ 5.2) 4RR6 (6.1/ 6.3)GE p. 32-35ME p. 20-23CA, p. 5Encouragez les élèves à écrire uneéquation pour chaque problème,car il est possible de résoudrechaque problème sans s’appuyersur la notion d’équilibre.

+ 5 25

Alex total number of hockey cardsJosie


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36 - = 32




4RR5 Exprimer un problèmedonné sous la forme d’uneéquation dans laquelle unnombre inconnu estreprésenté par unsymbole. (Suite)[L, R, RP]


4RR5.2 Exprimer une

représentation concrète ou imagéed’une équation sous la formed’une équation à une inconnue enutilisant un symbole pourreprésenter l’inconnue.

4RR6 Résoudre des équations àune étape dans lesquelles

un nombre inconnu estreprésenté par unsymbole.[C, L, R, RP, V]


4RR6.1 Résoudre une équation àune étape donnée à l’aide dematériel de manipulation.

4RR6.3 Décrire oralement lasignification d’une équation à uneinconnue et à une étape donnée.


4RR5.2 Remettez aux élèves diverses représentations comme desdiagrammes, des droites numériques et du matériel concret quipeuvent s’agencer comme des équations. Exemples :

29 30 31 32 33 34 35 36

Ce résultat d’apprentissage est une continuation de RR5, où larésolution de l’équation constitue l’étape suivante.L’aspect de multiplication et de division de ce résultat est abordé plustard au chapitre 6, Les opérations de multiplication et de division.

Exemples d’équations comportant une addition et une soustraction :Si Yolanda a 18 cartes et Jean cinq. Écrivez une équation quiindique combien de cartes de plus a Yolanda. Résolvezl’équation :

18 - 5 = 5 + = 18

Vous avez 24 billes et votre ami vous en donne davantage.Vous avez maintenant 32 billes en tout. Combien de billesvotre ami vous a-t-il données?a. Écrivez une équation montrant ce qui se passe dans ceproblème.b. Résolvez le problème. Expliquez votre raisonnement.

À mesure qu’ils auront l’occasion d’expliquer leurs solutions et deréagir à celles des autres, les élèves développeront leurs compétencesen communication des mathématiques.

= +


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4RR5 Exprimer un problèmedonné sous la forme d’uneéquation dans laquelle unnombre inconnu estreprésenté par unsymbole. (Suite)[L, R, RP]


4RR5.3 Identifier la valeurinconnue dans l’énoncé d’un problème, représenter le problèmesous la forme d’une équation, puisrésoudre le problème, de façonconcrète, imagée ou symbolique.

4RR5.4 Créer un problèmecontextualisé qui correspond à uneéquation à une inconnue donnée.


4RR5.3 Faites constamment des liens entre les représentationsconcrètes, imagées et symboliques et les équations afin que les élèvesélargissent leur compréhension des équations.

Donnez aux élèves divers problèmes tirés de la vie courante etdemandez-leur d’écrire les équations appropriées pour représenter cessituations.Par exemple :

• Vous avez trois boîtes de crayons avec le même nombre decrayons dans chaque boîte. Il y a en tout 36 crayons.

• Un ruban rouge fait 36 cm de longueur et un ruban bleu

63 cm. De combien le ruban bleu est-il plus long que lerouge?

4RR5.4 Situez vos problèmes dans des contextes de tous les jours afinque les élèves puissent comprendre quand ils convertissent le sens duproblème par une équation appropriée en utilisant le symbole pourreprésenter le nombre inconnu. Encouragez-les à créer des problèmesdont la solution exige différentes opérations : + - x ÷


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Exécution

4RR5.3 En vous servant d’un problème tiré de la vie quotidienne,demandez aux élèves d’écrire une équation correspondante auproblème (par ex. il y a quatre sandwiches sur un plateau; il y en avait13 au départ; il en manque un certain nombre). Les élèves créent uneéquation correspondante (par ex. 4+=13).

Exécution 4RR5.3 Remettez aux élèves des cubes emboîtables – blancs, rougeset bleus (ou deux autres couleurs de votre choix). Posez le problèmesuivant :

« Gregory a 13 billes rouges et 22 bleues. « Combien debilles bleues de plus que de billes rouges Gregory a-t-il? »

Demandez aux élèves de modéliser cette situation en construisantdeux colonnes à l’aide de cubes, l’une représentant les billes rouges etl’autre les bleues. Pour trouver la différence entre les deux colonnes,des cubes blancs sont ajoutés à la colonne rouge pour représenter ladifférence entre les deux quantités. Demandez aux élèves de dessinerun diagramme pour représenter la situation.

Portfolio4RR5.3 Après avoir résolu une équation, demandez aux élèves denoter dans leur journal de math à l’aide des incitatifs suivants :

• Je sais que j’ai raison parce que _______.• Parmi les stratégies que j’ai utilisées pour résoudre le

problème figurait _______.• J’ai appris notamment que : _______.• Un défi que j’ai eu à relever fut _______.

Exécution En se servant d’une équation comme 14 + = 21 ou 5 x =15, lesélèves créent et résolvent un problème de la vie de tous les jours.Rappelez-vous d’inclure des équations avec +, -, x, ÷. Observez dansquelle mesure ils peuvent :

• créer un contexte qui corresponde à l’équation;• expliquer la signification de la variable inconnue;• résoudre le problème d’une façon ou plus.

Exécution Dessinez un diagramme qui représente cette équation.

+ 23 = 48Résolvez l’équation.Écrivez une autre équation qui est équivalente à + 23 = 48.

Ressources/Notes

Compas Mathématique 4

Leçon 6:Résoudre des problèmes à l’aided’équations4RR5 (5.3/ 5.4)4RR6 (6.1/ 6.2/ 6.3/ 6.4)GE pp.36-39ME pp.24-26CA, p. 6


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4RR6 Résoudre des équations àune étape dans lesquellesun nombre inconnu estreprésenté par unsymbole. (Suite)[C, L, R, RP, V]


4RR6.2 Résoudre une équation àune étape donnée en procédant par tâtonnement.

4RR6.4 Résoudre une équationdonnée dans laquelle l’inconnueapparaît dans le membre de

gauche ou dans le membre dedroite.


Modélisez le processus « par tâtonnement » pour trouver la valeur del’inconnue qui équilibrera les deux membres de l’équation.Pour cette stratégie, un élève tente de deviner une réponse et faitl’essai de sa supposition pour voir s’il a deviné juste. Si non, l’élèverévise sa supposition à la lumière de ce qu’il a appris et essaie denouveau. Ce processus répétitif se poursuit jusqu’à ce que l’on trouvela bonne réponse.Certains élèves sont capables d’entrevoir la solution d’un simple coupd’œil alors que d’autres doivent procéder une étape à la fois. Bien quenous pensions souvent qu’il est incorrect de deviner, une tellestratégie valorise la prise de risques et l’apprentissage d’aprèsl’information recueillie. (Small 2008, p. 44).

Exemple : Il y a huit filles de plus que de garçons dans une pièce. Autotal il y a 24 personnes. Combien y a-t-il de garçons?

Solution possible :Un enfant pourrait commencer par penser ainsi :5 garçons et 13 filles font 18 personnes (pas assez de personnes)10 garçons et 18 filles font 28 personnes (trop de personnes)8 garçons et 16 filles font 24 personnes (il y a 8 garçons).

Les élèves doivent avoir des occasions d’écrire des équations où lenombre manquant se trouve à divers endroits.Par exemple : 15 + = 275

260 + 15 =


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4RR6 Résoudre des équations àune étape dans lesquellesun nombre inconnu estreprésenté par unsymbole. (Suite)[C, L, R, RP, V]


4RR6.5 Représenter et résoudreun problème d’addition ou de

soustraction donné, comprenantun contexte partie-partie-tout ouun contexte de comparaison, àl’aide d’un symbole pourreprésenter l’inconnue.


Soumettez aux élèves des problèmes comprenant un contexte partie–partie–tout et un contexte de comparaison et demandez-leurd’explorer l’idée d’un symbole représentant une quantité inconnueprécise quand ils convertissent ces problèmes en équations écrites.Réexaminez la signification du signe = comme symboled’équivalence ou d’équilibre de deux quantités de part et d’autre del’équation. Exemples de problèmes :

Partie–partie–tout Tout : inconnue Connie a 15 billes rouges et 28 bleues. Combien de billes a-t-elle?Partie : inconnue Connie a 43 billes. Quinze sont rouges et les autres bleues. Combiende billes bleues a Connie?

Comparaison Différence : inconnue Connie a 15 billes rouges et 28 bleues. Combien de billes bleues deplus que de billes rouges a Connie? (Comparez)Grande quantité : inconnue Connie a 15 billes rouges et des billes bleues. Elle a 13 billes bleuesde plus que de rouges. Combien de billes bleues a Connie?Petite quantité : inconnue Connie a 28 billes bleues. Elle a 13 billes bleues de plus que derouges. Combien de billes rouges Connie a-t-elle?Groupez les élèves par deux et soumettez leur le problème suivant :Stéphane a 15 ans. Il a un frère plus jeune. La somme de leurs âgesest 25. Écrivez une phrase de nombres qui vous aidera à résoudre ceproblème. Modélisez l’écriture d’une phrase de nombres pour lasituation du problème. Utilisez une stratégie de « raisonnement à voixhaute » pour aider les élèves à comprendre comment aborder la tâche.Demandez :• De quelle information disposons-nous au sujet de ce problème?

(Stéphane a 15 ans; lorsque vous additionnez son âge à celui deson frère, vous obtenez 25)

• Quelle information nous manque-t-il? (L’âge du frère• Quelles opérations pouvons-nous utiliser pour résoudre ce

problème?Expliquez aux élèves qu’ils peuvent substituer un symbole au nombreinconnu. Écrivez l’équation « 15 + = 25 » au tableau ou sur dupapier graphique. Demandez aux élèves ce que signifie dans ce

problème. Demandez-leur de déterminer la valeur de . Remettezaux élèves des jetons comme stratégie pour modéliser et résoudre leproblème. Permettez aux élèves de travailler en groupe de deux pourtrouver la solution de . Demandez à des élèves de partager leurréponse et d’expliquer leur stratégie. Modélisez le problème à l’aidedes jetons et de l’équation. Placez 15 jetons sur le rétroprojecteur.Ajoutez des jetons jusqu’à ce qu’il y en ait 25. Demandez aux élèvescombien de jetons ont été ajoutés.


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Exécution

Demandez aux élèves de représenter et de résoudre ces problèmesécrits :Jackie est la sœur aînée de Sophie. La différence d’âge entre elles estde 21 ans. Sophie a maintenant 37 ans. Quel âge a Jackie?

Mme Dupont a permis à sept élèves d’aller à la toilette.Il reste 15 élèves dans la salle. Combien d’élèves y a-t-il dans laclasse?

Écrivez autant de phrases de nombres que possible pour vérifier ceque sont :

= 8(Les réponses peuvent être 20 - = 12 ou + 30 = 38)

Ressources/Notes

Compas Mathématique 4Révision du chapitre4RR1 (1.2/ 1.3/ 1.4) 4RR2 (2.1)4RR3 (3.1/ 3.2)4RR5 (5.1/ 5.2/ 5.3/ 5.4) 4RR6GE p. 43-46ME p. 28-30

Tâche du chapitre4RR1 (1.1/ 1.4) 4RR2 (2.1)4RR3 (3.1/ 3.2)GE p. 47-49

ME p. 1Exerce-toi!CA p. 8

Test du chapitre 1GE p. 63-64


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Chapitre Les Régularités Mathématiques

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