Chapitre 2: Les Chapitre 2: Les régularités et les régularités et les

relationsrelations

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d’apprentissage et le d’apprentissage et le vocabulairevocabulaire

Chapitre 2: Prépare-toi!Chapitre 2: Prépare-toi!

Avant de commencer chapitre 2, il Avant de commencer chapitre 2, il faut réviser les concepts suivants:faut réviser les concepts suivants:

1.1. Les variables indépendantes et les Les variables indépendantes et les variables dépendantesvariables dépendantes

2.2. Effectuer des substitutions et évaluer Effectuer des substitutions et évaluer des expressionsdes expressions

3.3. Situer des paires ordonnées sur le Situer des paires ordonnées sur le plan cartésienplan cartésien

4.4. Interpréter le diagramme d’une droiteInterpréter le diagramme d’une droite

Les variablesLes variables

Une Une variablevariable est une lettre qui est une lettre qui sert à représenter une valeur qui sert à représenter une valeur qui peut changer. peut changer.

Par exemple, dans 4x – 1, la Par exemple, dans 4x – 1, la variable est x.variable est x.

Les variables indépendantesLes variables indépendantes

Dans une relation, la Dans une relation, la variable variable indépendanteindépendante est la variable qui est la variable qui détermine la valeur de l’autre détermine la valeur de l’autre variable. variable.

Au cours du chapitre 2, le Au cours du chapitre 2, le symbole de la variable symbole de la variable indépendante est xindépendante est x

Les variables dépendantesLes variables dépendantes

Dans une relation, la Dans une relation, la variable variable dépendantedépendante est la variable dont la est la variable dont la valeur est déterminée par la valeur est déterminée par la variable indépendante. variable indépendante.

Au cours du chapitre 2, le Au cours du chapitre 2, le symbole de la variable symbole de la variable dépendante est ydépendante est y

Effectuer des substitutions et Effectuer des substitutions et évaluer des expressionsévaluer des expressions

Pour évaluer une expression ou une Pour évaluer une expression ou une formule, tu dois substituer une valeur formule, tu dois substituer une valeur connue à toute variable puis connue à toute variable puis simplifier l’expression en respectant simplifier l’expression en respectant la priorité des opérations. la priorité des opérations.

Le plan cartésienLe plan cartésien

Un Un plan cartésienplan cartésien est le plan à deux est le plan à deux dimensions, soit le plan (x,y). On dit dimensions, soit le plan (x,y). On dit aussi « grille de coordonnées » aussi « grille de coordonnées »

Situer des paires ordonnées Situer des paires ordonnées sur le plan cartésiensur le plan cartésien

Pour situer une paire ordonnée, (x,y):Pour situer une paire ordonnée, (x,y):

1.1.Partez de l’Partez de l’origineorigine, le point , le point d’intersection l’axe x et l’axe y sur un d’intersection l’axe x et l’axe y sur un plan cartésien. L’origine a des plan cartésien. L’origine a des coordonnés (0,0)coordonnés (0,0)

2.2.Déplacez vers la droite si x est positif, Déplacez vers la droite si x est positif, ou vers la gauche si x est négatif. ou vers la gauche si x est négatif.

3.3.Déplacez vers le haut si y est positif, ou Déplacez vers le haut si y est positif, ou vers le bas si y est négatif.vers le bas si y est négatif.

La nomenclature du La nomenclature du diagramme d’une droitediagramme d’une droite

La La variation verticalevariation verticale est la distance est la distance vers le haut ou vers le bas entre deux vers le haut ou vers le bas entre deux points sur une graphique. Sur le plan points sur une graphique. Sur le plan cartésien, la différence entre ycartésien, la différence entre y11 et y et y22

La La variation horizontalevariation horizontale est la distance est la distance vers la droite ou vers la gauche entre vers la droite ou vers la gauche entre deux points sur une graphique. Sur le deux points sur une graphique. Sur le plan cartésien, la différence entre xplan cartésien, la différence entre x11 et et xx22

Interpréter le diagramme d’une Interpréter le diagramme d’une droitedroite

Pour trouver la variation verticale ou Pour trouver la variation verticale ou la variation horizontale, trouve deux la variation horizontale, trouve deux points faciles à lire sur la droite. points faciles à lire sur la droite.

Pour obtenir la Pour obtenir la variation verticalevariation verticale, , mesure la distance vers le haut ou mesure la distance vers le haut ou vers le bas entre les deux points.vers le bas entre les deux points.

Pour obtenir la Pour obtenir la variation horizontalevariation horizontale, , mesure la distance vers la droite ou mesure la distance vers la droite ou vers la gauche entre les deux points.vers la gauche entre les deux points.

L’extrapolerL’extrapoler

L’extrapolerL’extrapoler veut dire estimer des veut dire estimer des valeurs situées au-delà des données valeurs situées au-delà des données représentées.représentées.

Nous pouvons extrapoler des Nous pouvons extrapoler des données en prolongeant la droite et données en prolongeant la droite et en lisant des paires ordonnées non en lisant des paires ordonnées non nommées.nommées.

L’interpolerL’interpoler

L’interpolerL’interpoler veut dire lire entre les veut dire lire entre les données représentées.données représentées.

Nous pouvons interpoler des données Nous pouvons interpoler des données en utilisant différentes méthodes, à en utilisant différentes méthodes, à partir d’un diagramme de paires partir d’un diagramme de paires ordonnées (comme l’inspection etc.)ordonnées (comme l’inspection etc.)

2.1: Représenter des suites de 2.1: Représenter des suites de différentes façonsdifférentes façons

Les Les régularitésrégularités ou les ou les suitessuites peuvent peuvent être représenté de différentes être représenté de différentes façons. façons.

Les façons possibles pour Les façons possibles pour représenter une suite sont des représenter une suite sont des tableaux, les équations, les tableaux, les équations, les diagrammes ou les mots.diagrammes ou les mots.

Pour créer une suite, nous avons Pour créer une suite, nous avons besoin de besoin de donnéesdonnées. .

Les types des donnéesLes types des données

Les données viennent de deux Les données viennent de deux types: types: les données continuesles données continues ou ou les données discrètesles données discrètes

Les données continuesLes données continues

Les données continuesLes données continues est un est un ensemble de données oensemble de données oùù la valeur la valeur d’une variable peut être tout d’une variable peut être tout nombre réel (par exemple, la nombre réel (par exemple, la vitesse ou la température)vitesse ou la température)

Les données discrètesLes données discrètes

Les données discrètesLes données discrètes est un est un ensemble de données oensemble de données oùù la valeur la valeur d’une variable peut être seulement d’une variable peut être seulement un nombre naturel (par exemple, un nombre naturel (par exemple, une grandeur fixe, comme le une grandeur fixe, comme le nombre de pages dans un livre)nombre de pages dans un livre)

Interpréter une suiteInterpréter une suite

Pour interpréter une suite, nous Pour interpréter une suite, nous devons choisir une relation qui sert devons choisir une relation qui sert à expliquer les données fournies à expliquer les données fournies qui est discuté en section 2.2qui est discuté en section 2.2

2.2: Interpréter des relations 2.2: Interpréter des relations linéaires et non linéaireslinéaires et non linéaires

Pendant ce section, nous allons Pendant ce section, nous allons apprendre trois types des relations apprendre trois types des relations mathématiques: une mathématiques: une relation linéairerelation linéaire, , une une relation exponentiellerelation exponentielle et une et une relation paraboliquerelation parabolique..

Chaque Chaque relationrelation peut être peut être identifiéeidentifiée par par sa diagrammesa diagramme..

Regarde la page 82 dans le texte.Regarde la page 82 dans le texte.

Une relation linéaireUne relation linéaire

Une Une relation linéairerelation linéaire est une relation est une relation entre deux variables qui décrit une entre deux variables qui décrit une droite sur un diagramme. droite sur un diagramme.

Par exemple, y=2x+1 est une Par exemple, y=2x+1 est une relation linéaire.relation linéaire.

Une relation exponentielleUne relation exponentielle

Une Une relation exponentiellerelation exponentielle est une est une relation entre deux variables dont relation entre deux variables dont l’une est un exposant. l’une est un exposant.

Par exemple, y=2Par exemple, y=2xx et y=4 et y=4xx sont des sont des relations exponentielle.relations exponentielle.

Une relation paraboliqueUne relation parabolique

Une Une relation paraboliquerelation parabolique est une est une relation entre deux variables qui relation entre deux variables qui décrit une parabole sur un diagramme décrit une parabole sur un diagramme

Par exemple, y=xPar exemple, y=x22 et y=-x et y=-x22+8 sont +8 sont des relations paraboliques.des relations paraboliques.

Une Une paraboleparabole est une courbe en forme est une courbe en forme de U qui est la diagramme principale de U qui est la diagramme principale d’une relation parabolique.d’une relation parabolique.

Interpréter des relationsInterpréter des relations

Pour comparer et interpréter des Pour comparer et interpréter des relations différentes, il faut relations différentes, il faut compléter un tableau de valeurs pour compléter un tableau de valeurs pour déterminer les paires ordonnées de déterminer les paires ordonnées de chaque relation. chaque relation.

La description du tableauLa description du tableau

Ce tableau doit avoir Ce tableau doit avoir 2 colonnes2 colonnes: :

1.1. une colonne de la variable une colonne de la variable indépendante (x) indépendante (x)

2.2. une autre colonne de la variable une autre colonne de la variable dépendante (y)dépendante (y)

L’évaluation de la paire L’évaluation de la paire ordonnéeordonnée

Pour déterminer la valeur de yPour déterminer la valeur de y:: Il faut substituer une valeur Il faut substituer une valeur

spécifique de x directement dans la spécifique de x directement dans la relation puis l’évalue pour la valeur relation puis l’évalue pour la valeur spécifique de y. spécifique de y.

Ces Ces 2 coordonnées2 coordonnées, x et y, vont , x et y, vont donner donner une paire ordonnéeune paire ordonnée qui peut qui peut être située sur un plan cartésien.être située sur un plan cartésien.

Un exemple du tableau d’une Un exemple du tableau d’une relation linéairerelation linéaire

Par exemple, Par exemple, considère la considère la relation linéaire, relation linéaire, y=2xy=2x

XX Y=2XY=2X (X,Y)(X,Y)

00 00 (0,0)(0,0)

11 22 (1,2)(1,2)

22 44 (2,4)(2,4)

33 66 (3,6)(3,6)

44 88 (4,8)(4,8)

55 1010 (5,10(5,10))

2.3: Trouver la pente d’une 2.3: Trouver la pente d’une droitedroite

Pour déterminer la pente d’une Pour déterminer la pente d’une droite, il faut trouver droite, il faut trouver la droite la la droite la mieux ajustéemieux ajustée d’un diagramme de d’un diagramme de dispersiondispersion, un diagramme qui , un diagramme qui contient des couples ordonnées de contient des couples ordonnées de valeurs numériques. valeurs numériques.

La droite la mieux ajustéeLa droite la mieux ajustée

La droite la mieux ajustéeLa droite la mieux ajustée est la est la droite qui passe par les points d’un droite qui passe par les points d’un diagramme de dispersion ou qui les diagramme de dispersion ou qui les décrit le mieux.décrit le mieux.

Après avoir trouvé la droite la mieux Après avoir trouvé la droite la mieux ajustée, nous pouvons trouver sa ajustée, nous pouvons trouver sa pente.pente.

La pente d’une droiteLa pente d’une droite

L’inclinaison et la direction d’une L’inclinaison et la direction d’une droite se mesurent par sa droite se mesurent par sa pentepente. .

La pente d’une droite est le rapport La pente d’une droite est le rapport de la de la variation verticalevariation verticale, ou , ou déplacement verticaldéplacement vertical, à la , à la variation variation horizontalehorizontale, ou , ou déplacement déplacement horizontalhorizontal, de la droite. , de la droite.

Comment calculer une Comment calculer une pentepente

Nous pouvons calculer la pente Nous pouvons calculer la pente d’une droite:d’une droite:

1.1. Directement par l’inspection du Directement par l’inspection du diagramme diagramme

2.2. Par deux paires ordonnées situées Par deux paires ordonnées situées sur la droite.sur la droite.

Trouver la pente d’une droite Trouver la pente d’une droite exactementexactement

L’équation de la pente d’une droiteL’équation de la pente d’une droite est est

déplacement vertical/déplacement déplacement vertical/déplacement horizontalhorizontal

= (y= (y22-y-y11)/ (x(x22-x-x11)

(x1,y1) est la destination initiale et (x2,y2) est la destination finale.

Un exemple de penteUn exemple de pente

Par exemple, Par exemple, une pente de ½une pente de ½ indique que indique que

1.1. le le déplacement vertical est de 1 déplacement vertical est de 1 unité vers le hautunité vers le haut du point de du point de référence.référence.

2.2. le déplacement horizontal est de 2 le déplacement horizontal est de 2 unités vers la droiteunités vers la droite du point de du point de référenceréférence. .

Les types des pentesLes types des pentes

Une droite dont la pente est Une droite dont la pente est positivepositive monte de gauche à droitemonte de gauche à droite..

Une droite dont la pente est Une droite dont la pente est négativenégative descend de gauche à descend de gauche à droitedroite..

2.4: L’équation d’une droite2.4: L’équation d’une droite

Tu peux écrire Tu peux écrire l’équation d’une l’équation d’une droite (une relation droite (une relation linéaire)linéaire) sous la sous la forme: y = forme: y = mx + bmx + b

Les symboles dans Les symboles dans cette équation cette équation représentent les représentent les termes suivants: termes suivants:

y est la variable y est la variable dépendantedépendante

m est la pente de m est la pente de la droitela droite

x est la variable x est la variable indépendanteindépendante

b est l’ordonnée à b est l’ordonnée à l’origine l’origine

Comment faire une droiteComment faire une droite

Pour préparer une droite, il faut Pour préparer une droite, il faut avoir 2 choses:avoir 2 choses:

1.1. Un point de départ (d’habitude Un point de départ (d’habitude l’ordonnée à l’origine, b)l’ordonnée à l’origine, b)

2.2. Une pente, mUne pente, m

L’ordonnée à l’origineL’ordonnée à l’origine

L’ordonnée à l’origineL’ordonnée à l’origine est l’ordonnée est l’ordonnée du point odu point oùù une droite ou une courbe une droite ou une courbe coupe l’axe des y. coupe l’axe des y.

Le coordonnée x de l’ordonnée à Le coordonnée x de l’ordonnée à l’origine est toujours zérol’origine est toujours zéro. .

L’ordonnée à l’origine est représenté L’ordonnée à l’origine est représenté symboliquement par symboliquement par la lettre bla lettre b..

L’abscisse à l’origineL’abscisse à l’origine

L’abscisse à l’origineL’abscisse à l’origine est l’abscisse est l’abscisse du point odu point oùù une droite ou une une droite ou une courbe coupe l’axe des x. courbe coupe l’axe des x.

Le coordonnée y de l’abscisse à Le coordonnée y de l’abscisse à l’origine est toujours zérol’origine est toujours zéro..

L’abscisse à l’origine est représenté L’abscisse à l’origine est représenté symboliquement par symboliquement par la lettre ala lettre a..

2.5: Les diagrammes de 2.5: Les diagrammes de droites horizontales et droites horizontales et

verticalesverticales Jusqu’à date, nous avons Jusqu’à date, nous avons

seulement discuté des seulement discuté des droites droites diagonalediagonale (i.e. des droites avec (i.e. des droites avec une pente positive ou négative) une pente positive ou négative)

Cependant, il y a 2 autres types Cependant, il y a 2 autres types de droites spéciales: de droites spéciales: des droites des droites horizontaleshorizontales et et des droitesdes droites verticalesverticales

Les diagrammes de droites Les diagrammes de droites horizontaleshorizontales

Une Une pente de zéropente de zéro (i.e. une pente (i.e. une pente avec un déplacement vertical de avec un déplacement vertical de zéro) indique toujours zéro) indique toujours une droite une droite horizontalehorizontale..

Par exemple, l’équation de la Par exemple, l’équation de la droite horizontale y = 4 est droite horizontale y = 4 est comme ceci:comme ceci:

Y = 0/1 + 4Y = 0/1 + 4

Les diagrammes de droites Les diagrammes de droites verticalesverticales

Une Une pente indéfinipente indéfini (i.e. une pente (i.e. une pente avec un déplacement horizontal de avec un déplacement horizontal de zéro) indique toujours zéro) indique toujours une droite une droite verticaleverticale..

Par exemple, l’équation de la droite Par exemple, l’équation de la droite verticale x = 4 est comme ceci:verticale x = 4 est comme ceci:

Une droite verticale qui commence à Une droite verticale qui commence à (4,0) et qui monte une unité et qui (4,0) et qui monte une unité et qui bouge horizontalement zéro unités.bouge horizontalement zéro unités.

Un sommaire du chapitre 2Un sommaire du chapitre 2

Qu’est-ce que nous avons appris Qu’est-ce que nous avons appris durant chapitre 2?durant chapitre 2?