Les probas

7/21/2019 Les probas

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2014-20

cbna

LyceClemenceau

NantesMP*

Maryam Mirzakhani Mdaille Fields 2014

Franois SAUVAGEOT


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1Structures mresC H A P I T R E

La mthode axiomatique permet, lorsquon a affaire des tres mathmatiques complexes, den dissocier les proprits et de les regrouper atour dun petit nombre de notions, cest--dire [...] de les classer suivant structures auxquelles elles appartiennent[...] ; pour dfinir une structure, se donne une ou plusieurs relations, o interviennent ces lments [...] ;

postule ensuite que la ou les relations donnes satisfont certaines contions (quon numre) et qui sont les axiomes de la structure envisagFaire la thorie axiomatique dune structure donne, cest dduire les conquences logiques des axiomes de la structure, en sinterdisant toute auhypothse sur les lments considrs (en particulier, toute hypothse sleur nature propre).

N. Bourbaki


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Lobjectif de ce chapitre est de revoir quelques lments du programme de MPSI etde prciser le vocabulaire mathmatique. Il ne sagit nullement de refaire le cours depremire anne, mais simplement de sassurer que nous allons parler la mme langue!On introduira au passage quelques lments nouveaux, utiles notamment en thoriedes probabilits.

Rudiments de logique : quantificateurs, implication, contraposition, quiva-lence. Modes de raisonnement : par rcurrence (faible et forte), par contra-position, par labsurde, par analyse-synthse.

Ensembles, appartenance, inclusion. Ensemble P(E)des parties deE. Op-rations sur les parties : intersection, runion, diffrence, complmentaire.Produit (cartsien) de deux ensembles.

Application, graphe dune application, familles dlments.

Fonction indicatrice. Restriction et prolongement, image directe et rci-proque.

quations, applications injectives, surjectives, bijectives. Application rci-proque dune bijection. Compose de deux injections, de deux surjections,de deux bijections.

Loi de composition interne, associativit, commutativit, lment neutre,inversibilit, distributivit.

Groupes, anneaux, corps.

Relation binaire, relation dquivalence, classe dquivalence, relationdordre, ordre total, ordre partiel. Majorants, minorants, plus grand et pluspetit lment.

Cardinal dun ensemble fini, listes et combinaisons. Ensemble dnombrable,

ensemble fini ou dnombrable, produit cartsien fini densembles dnom-brables, runion finie ou dnombrable densembles finis ou dnombrables.Exemples de N2, Z, Q et R.

Tribu, vnements. Espace probabilisable, probabilit, espace probabilis.Continuit croissante, continuit dcroissante, sous-additivit. vnementsngligeables, vnements presque srs. Runion finie ou dnombrable dv-nements ngligeables

Probabilit conditionnelle, formule des probabilits composes, formule desprobabilits totales, formules de Bayes. Couple dvnements indpen-dants. Famille quelconque dvnements mutuellement indpendants.

Programme

Introduction

Cest le groupe de mathmaticiens publiant sous le pseudonyme de N. Bourbakiqui a dvelopp pour la premire fois la thorie des structures de manire explicite etrigoureuse dans seslments de mathmatique partir des annes 1930.

La notion de structure drive de la mthode axiomatique adopte par Bourbaki.Cette axiomatique permet de mettre au jour une unit profonde entre diverses branchesdes mathmatiques, considres comme distinctes dans la classification traditionnelledes disciplines mathmatiques (arithmtique, algbre, analyse, gomtrie) :

FranoisSauvageot - Lyce Clemenceau - Nantes - cbna - 2014-2015


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CHAPITRE 1. STRUCTURES MRES 3

Nous croyons que lvolution interne de la science mathmatique a, malgr les ap-parences, resserr plus que jamais lunit de ses diverses parties, et y a cr une sortede noyau central plus cohrent quil na jamais t. Lessentiel de cette volution aconsist en une systmatisation des relations existant entre les diverses thories ma-thmatiques, et se rsume en une tendance qui est gnralement connue sous le nomde mthode axiomatique .

Bourbaki observe : Dans cette nouvelle conception, les structures mathmatiques

deviennent, proprement parler, les seuls objets de la mathmatique. et distingueprincipalement trois types de structures-mres : la structure algbrique, dont lesrelations sont des lois de composition, la structure dordre, et la structure topologique.

Ce terme est lorigine de ce que lon a appel le structuralisme mathmatique.Cette faon de penser a intress notamment les psychanalystes (Jacques Lacan), lesanthropologues (Claude Levi-Strauss), les psychologues (Jean Piaget a). Le struc-turalisme est n avec le cercle (linguistique) de Prague, en se fondant sur des travauxde linguistique (notamment de Ferdinand de Saussure).

Attention! Ce principe dexposition est en fait artificiel. Bourbaki avoue troisinconvnients de cette thorie des structures : elle est la fois schmatique, idaliseet fige. Schmatique, car dans le dtail il existe dinattendus retours en arrire ,

comme lintervention des nombres rels pour fonder la topologie. Idalise, car danscertaines thories (par exemple en Thorie des nombres), il subsiste de trs nombreuxrsultats isols quon ne sait jusquici classer ni relier de faon satisfaisante desstructures connues et fige, car les structures ne sont pas immuables , et peuventse prter des inventions ou reformulations futures.

Logique1

En sus de la thorie des ensembles, on a besoin de structurer le raisonnement. Ainsi

on a besoin de la notion dassertion (proposition, prdicat) et de connecteur logique.

On a lesconnecteurs logiques:

1.Aest vrai si (et seulement si)A est faux.2. A B est vrai si Aet Bsont vrais.3. A B est faux si A et B sont faux.4. AB est vrai si Aest faux ou si B est vrai.5. AB si A et B sont simultanment vrais ou faux.

Notation

Une tautologie est un nonc qui est vrai quelque soient les valeurs de vrit desassertions considres. Autrement dit une tautologie est une simple reformulation.

Les tautologiesles plus importantes, pour le raisonnement, sont :

1. A A(principe dutiers exclusou double ngation).2.(AB)(A B).3. (AB)(B A)(contraposition).

Enfin on a les quantificateurs :et. Quand un prdicat A dpend dune variablex, lassertion

x A(x)signifie queAest vraie pour toutes les valeurs de x. Par contre

a. En photo en tte de chapitre



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4 1.2. THORIE DES ENSEMBLES

lassertionx A(x)signifie quil existe unx pour lequelA(x)est vrai. La difficult estparfois de rendre effective cette affirmation dexistence : peut-on rellement trouver lex dont on parle ? On y reviendra lors de laxiome du choix. On prendra garde que,dans une assertion quantifie, la variable quantifie est muette. Par exemple, en fait,dans lassertionx A(x),la variable x nexiste pas !

Les tautologies mettant en jeu des quantificateurs qui sont les plus utilessont :

1.(x A(x)) xA(x).2.(x A(x)) xA(x).3.(x(P(x)Q(x))) x(P(x) Q(x)).

Thorie des ensembles2

En mathmatiques, une structure dsigne une thorie plus forte que la tho-rie des ensembles, cest--dire une thorie qui en contient tous les axiomes, signes etrgles. Cest donc une thorie fonde sur la thorie des ensembles, mais contenantgalement des contraintes supplmentaires, qui lui sont propres, et qui permettentgalement de dfinir de nouvelles structures quelle inclut.

La thorie des ensembles utilise notamment les symboles=et. Le premier signifieque deux objets sont identiques (a = b) et le second quun objet appartient unensemble (x A). On prendra garde que toutes les proprits ne dfinissent pas un

ensemble, comme le montre le clbre paradoxe de Russel

(Bertrand Russel

, 18721970) :

Paradoxe de la thorie des ensembles. La notion toute intuitive den-semble est en fait une notion particulirement difficile axiomatiser. En effet silide de collection dobjets est a priori satisfaisante, elle conduit un para-doxe dans la thorie : la collection de tous les ensembles nest pas un ensemble.Supposons le contraire, et notonsEcet ensemble de tous les ensembles. Un telensemble a alors une particularit majeure : ses lments sont aussi des parties decet ensemble. On peut alors dfinir

A=

{x

E |x /

x

}. Supposons un instant

A A. Alors puisqueAne satisfait pas la dfinition deA,on aA / A, ce quiest absurde. Mais alorsA / Ace qui conduit au mme type dabsurdit !

Pour aller plus loin

Les tautologies permettant de travailler avec les ensembles, et donc de dmontrerdes assertions, sont les suivantes :

1. AB x(xAxB).

2. A= B(AB BA)ou encore A= B x(xAxB).



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Quelques ensembles :

1. Unepaireest un ensembleE={a, b}. On a xA(x= a x= b). Onnotera quil peut arriver queasoit gal bet queEnait donc quun seullment.

2. Lcriture{ xE| A(x)} signifie{ x | xE A(x)} (dfinition en com-prhension).

3. Lensemble vide peut tre dfini par ={xE| x=x}. Il est en faitindpendant deE.

4. Lensemble des parties dun ensemble est notP(E). On a donc AP(E)AE.

Dfinition 1 - 1

Quelques oprations sur les ensembles :

1. Ladiffrencede deux ensembles est dfinie parA \ B ={xA | xB}.2. Lecomplmentairedans Edun sous-ensemble Ade Eest E\ A. On le

note aussiE

Aou encore AquandEest implicite.

3. Larunionest dfinie parA B ={x | xA xB}.4. Lintersection est dfinie parA B ={x | xA xB}.

Dfinition 1 - 2

Plus gnralement

1. Unerunion dune familledensembles Xappartenant eux-mmes unensemble E(qui est donc alors un ensemble densembles) se dfinit par

XEX={x | XE , xX} .

2. Une intersection dune famille densembles Xappartenant eux-mmes un ensemble E(qui est donc encore un ensemble densembles) se dfinitpar

XEX={x | XE , xX} .

Dfinition 1 - 3

On a les proprits lmentaires :

1. Si A

A et B

B , alors A

B

A

B et A

B

A

B.

2. SiAEetBE, alorsE\ (A B) = (E\ A) (E\ B)et E\ (A B) =(E\ A) (E\ B).

Proprits 1 - 1

On a les lois de de Morgan(Augustus de Morgan, 1806-1871) :

1. A (B C) = (A B) (A C)2. A (B C) = (A B) (A C)3. A (B C) = (A B) (A C)4. A

(B

C) = (A

B)

(A

C).

Proprits 1 - 2



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6 1.3. FONCTIONS

Fonctions3

Comme souvent en mathmatiques, ce sont plus les transformations qui sont in-tressantes et pertinentes que les objets eux-mmes. Au niveau des ensembles, unetransformation est une fonction. Elle ne diffre pas grandement dun ensemble, maiscest surtout la faon dy penser qui diffre. La plupart des notions de cette section sont

la limite du programme et seules celles qui sont mises en exergues sont matriser.Pour commencer, il faut dfinir le couple. Un couple est une notion complique,

mme si elle est dapparence simple. Techniquement lcriture (a, b) est un raccourcipour{{a} , {a, b}}. On a donc (a, b) = (a, b)(a= a b= b). On note galement,si c = (a, b), a = pr1(c)et b = pr2(c). Ce sont les premire et seconde projection ducouplec.

On dfinit alors leproduit cartsiende deux ensembles :

A B ={x | aA , bB , x= (a, b)} .On peut ainsi dfinirA B C= (AB)Cetc. On remarque au passage ABA

B

(A

A

B

B)et A

B=

(A=

B =

).

Ungrapheest un ensemble de couples :A B. On dfinit la premire projec-tion de comme lensemble pr1() ={x | y (x, y)}. Et de mme pour la secondeprojection. On a donc pr1() pr2().

Unecorrespondanceest la donne de deux ensembles et dun graphe inclus dansleur produit cartsien : (, E , F ) avec E F. On peut linterprter comme unerelation entre des lments de Eet de Fnayant aucune contrainte ni dexistence nidunicit. Par exemple =

(x, y) R2 x2 + y2 = 1 est un graphe et (,R,R)est

une correspondance.Un graphe fonctionnel est un graphe dans lequel tout lment a au plus une

image. Il nest pas ncessaire nanmoins que tous les lments aient effectivement uneimage. Autrement ditest un graphe vrifiant

x((x, y)

(x, y)

)

y = y .

On peut interprter cette condition comme linjectivit depr1.Au sens strict, une fonction est une correspondance associe un graphe fonction-

nel. Cest donc un triplet(, E , F )avecEFetgraphe fonctionnel. LensembleEest appel ensemblesourceou ensemble de dpart, tandis que lensembleFest ap-pel ensembleimageou ensemble darrive.

Uneapplicationest une fonction, au sens strict prcdent, telle que tousles lments de Eont effectivement une image. Autrement ditpr1() =E,i.e.pr1est surjective et elle est donc bijective.

On note f : E

Fles applications. Pour x dans E, on note alors f(x)

lunique lment de Ftel que (x, f(x)). On dit quef(x)est limagede x par lapplicationfetx est lantcdent

def(x)par f.

Dfinition 1 - 4

On peut aussi crire une application sous la forme x f(x), et alors lavariablexest muette et les ensemblesEet Fsont implicites.

Dans la suite on confondra les notions dapplication et de fonction,conformment au programme.

Remarques 1 - 1

Lgalit des applications est lgalit des triplets. Lensemble des applications deEdansFest notF(E, F)est peut-tre vu comme un sous-ensemble deP(E F)



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P(E) P(F). Lensemble des graphes dapplications de Edans Fest notFE. Parabus de notationFE etF(E, F)peuvent tre utiliss lun pour lautre. EnfinF(E, E)est notF(E).

On a les notions habituelles sur les applications :

Application identique (IdE, E , E )est dfinie parIdE(x) =x pour x

E.

Composition si f : E F et g : F G, on dfinit g f : E G parg f(x) =g(f(x)). La composition est associative. Mais attention ! dans lecas des fonctions, elle nest pas toujours dfinie.

Injection fest injective sipr2lest, i.e. (x, x)EE,f(x) =f(x)x = x.Surjection fest surjective sipr2 lest, i.e.yF,xE, y = f(x).Bijection fest bijective si elle est injective et surjective, tout commepr2.

Concidence f :EFetg : GHconcident surA si AEGetxA,f(x) =g(x).

quipotence Deux ensembles Eet Fsont quipotents sil existe une bijection

de lun dans lautre.

Dfinition 1 - 5

et les rsultats importants :

1. La compose de deux injections (surjections, bijections) en est une.

2. Si g fest injective, alorsfaussi.3. Si g fest surjective, alorsg aussi.4. Lapplicationf : E Fest bijective si et seulement sil existe g : F E

tel que g

f = IdE et f

g = IdF. Lapplication g est alors unique et est

notef1.5. Uneinvolution(f f=I dE, avec f :EE) est bijective.6. La compose de deux bijections en est une et on a (g f)1 = f1 g1.

On dit que le passage linverse est contravariant.

Proprits 1 - 3

On peut reformuler ces notions en tudiant, pouryF, lquation(Ey): y = f(x)en linconnuex.

1. f est injective si pour tout y de F, lquation (Ey) admet au plus une

solution.2. f est surjective si pour toutyde F, lquation(Ey)admetau moins une

solution.

3. fest bijective si pour toutydeF, lquation(Ey)admetune et une seulesolution, ce que lon crit parfois

yF !xE y= f(x).

Proprits 1 - 4

Les applications manipulent des lments densembles, mais on peut aussi les tendre des transformations des parties dun ensemble. On introduit ainsi les applications image directe et image rciproque .



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8 1.3. FONCTIONS

Sif :EF, on dfinit1. f :P(E) P(F)par

f(A) ={yF| xA , y= f(x)}.

On dit quef(A)est limage directede Apar f.

2. f :P(F) P(E)parf(B) ={xE|f(x)B}.

On dit quef(B)est limage rciproquede B par f.

Dfinition 1 - 6

Les proprits immdiates de ces applications sont :

1. f() =et f() =.2. f(F) =E.

3. f(E) =F fest surjective.4. Si fest bijective,f= (f1).

5. Par composition, on a(g f) = g f(covariance) et(g f)=f g(contravariance).

Proprits 1 - 5

Par abus de notation, on notef et fde la mme faon. Pire ! On notef1

au lieu de f. Il ne faut pourtant pas en dduire que f prend ses valeurs dansF, ni que f est toujours bijective! Ainsi, si A est un singleton, A ={x}, alorsf(A)est lensemble{f(x)}et non pas llmentf(x). Avec ces abus de notationsla propritf = (f1) scrit simplementf1 =f1 !

Danger

Les rsultats importants sur les images directe et rciproque sont :

1. f(A B) =f(A) f(B).2. f1(A B) =f1(A) f1(B).3. f1(A B) =f1(A) f1(B).4. f1(F

\B) =E

\f1(B).

5. (g f)(A) =g (f(A)).6. (g f)1(A) =f1 g1(A).

Proprits 1 - 6

mais attention

1. f(A B)f(A) f(B).2. f

f1(A)

A.3. f1 (f(A))A.

4. Il ny a aucun lien a priorientreF\ f(A)et f(E\ A).

Danger



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Soit f : E Fune application. Montrer que les assertions suivantes sontquivalentes :

1. fest surjective;

2.yF f(f({y})) ={y} ;3.YF f(f(Y)) =Y;

4.YF (f(Y) = Y =).Trouver un nonc analogue pour les applications injectives.

Exercice

Soit f : E F une application. Montrer : f est injective X Y E2 f(X Y) =f(X) f(Y).Exercice

1. Soit f : X Yune application entre ensembles non vides. Montrer : finjective

g : Y

X, g

f = Id

X. Autrement ditfest injective si et

seulement si elle estinversible gauche.

2. Soit f : X Yune application entre ensembles non vides. Montrer : fsurjective h : Y X, f h= IdY. Autrement ditfest surjective siet seulement si elle estinversible droite.

3. Soit f : X Yune application entre ensembles non vides. Montrer : fbijective g : YX, g f= IdXf g= IdY.

Exercice

1. Soitf :X

Y etg : Y

Z. Montrer : (g

finjective

fsurjective)

g

injective.2. Soitf :XY etg : YZ. Montrer : (g fsurjectiveg injective)f

surjective.

Exercice

On a les notions derestrictionpour une fonction (de la source, de limage ou desdeux ensembles) :

Soitf : EF,Aune partie deEet Bune partie deF.Restriction la restriction defA est lapplication notef

|Adfinie de A dans

Fet qui concide avecf surA.

Co-restriction si B contientf(E), la (co)restriction def B est lapplicationnotef|B dfinie de EdansB et qui concide avecf sur E.

Bi-restriction siB contientf(A), la (bi)restriction defA et B est lapplica-tion notef|B|A dfinie de AdansB et qui concide avecfsur A.

Lorsquehest restriction def, on dit quehest unprolongementdef, ou encoreuneextensionde f.

Dfinition 1 - 7

Une fonction tant avant tout une transformation, certaines notions lies aux fonc-tions sont des notions faisant rfrence aux ensembles, ou parties.



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10 1.4. FAMILLES

On parle de partie :

Stable sif(A)A,Invariante (globalement) sif(A) =A,

Fixe (point par point) sixA, f(x) =x.Si A est stable, la restriction de f A est valeurs dans A. On dfinit alors

lapplication induitepar fsur Acomme lapplication de Adans A concidantavec fsur A.

Dfinition 1 - 8

Une application f de E dans AB dfinit deux applications donnes parf1 = pr1 f et f2 = pr2 f. De la sorte on construit une bijection (A B)E=AE BE, ou encoreF(E, A B)=F(E, A) F(E, B).

Remarque 1 - 2

Soitune partie deE F, i.e. un graphe quelconque.Si pour tout x de Eon peut trouver au moins unyde F vrifiant (x, y),

onadmettraque lon peut dfinir une applicationf : EF telle quexE,(x, f(x)).

Cela signifie que parmi tous lesy possibles de Ftels que(x, y), et on saitquil en existe au moins un, on a pu en choisir un arbitrairement.

Cela nest en rien vident. En fait on a dmontr que cette proprit estindcidable, cest--dire quon peut la rajouter ou non la thorie. Il sagit doncdun axiome supplmentaire la thorie gnrale, connu sous le nom daxiomedu choix.


Familles4

Une famille nest rien dautre quun graphe dapplication. On appelle lensemble dedpart ensemble des indices et on crit(Ai)iIplutt queiA(i).

On dfinit ainsi la runion et lintersection de familles et on tend les lois de deMorgan aux familles densemble. On montre galement lassociativit de lintersection

et de la runion, ainsi que la possibilit de rindexation :

1. Si I=

kKIk, alors

iI

Ai =kK

iIk

Ai

.

2. Si I=

kKIk, alors

iI

Ai =kK

iIk

Ai

.

3. Si:JIest une bijection, alorsiI

Ai= jJA(j)et iI

Ai= jJA(j).

Proprits 1 - 7



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Unrecouvrementde Eest une famille(Ai)iIdont la runion contient E:iI

AiE .

Unepartitionde Eest un recouvrement ayant les proprits suivantes :

1.

i

I, Ai=

.

2.(i, j)I I, (i=jAi Aj =).3.

iIAi=E.

Dfinition 1 - 9

Soitfune application de EdansF. quelles conditions ncessaires et suffi-santes

a. limage rciproque de toute partition deFest-elle une partition deE?

b. limage directe de toute partition deEest-elle une partition deF?

Exercice

On tend galement aux familles les rsultats sur linclusion, les complmen-taires, le passage limage directe et limage rciproque. On tend enfin la notionde produit cartsien et les rsultats sur les applications de E valeurs dans unproduit

iIAi. Si, pour tout idans I, on a Ai =B , on note

iIAi =B

I, cequi est consistent avec les notations prcdentes.

SiI={1, . . . , n}, on noteBI =Bn.Notation

Relation binaire5

Une relation binaire est une autre faon dinterprter un graphe inclus dansE E.Au lieu de dire quun couple (x, y)dlments de Eappartient au graphe, on dit quexet ysont relis, et on note xRy. Tout comme le couple est une paire ordonne, i.e.(x, y)et (y, x)dsignent a priori des choses distinctes, les relationsxRy et yRxsonta priori des expressions distinctes.

Attention! le graphe dune relation binaire na aucune raison dtre un graphefonctionnel. Cest mme plutt lexception !Danger

On distingue les proprits suivantes pour une relationRsur lensemble E:

Rflexivit :Rest rflexive sixE, xRx.Symtrie :Rest symtrique si(x, y)E2, xRyyRx.Antisymtrie :Rest antisymtrique si(x, y)E2,(xRy yRx)x = y.Transitivit :Rest transitive si(x,y,z)E3,(xRy yRz)xRz.

Dfinition 1 - 10

On a deux types principaux de relations binaires :



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12 1.5. RELATION BINAIRE

Relation dquivalence cest une relation rflexive, symtrique et transitive.

Relation dordre cest une relation rflexive, antisymtrique et transitive.Dfinition 1 - 11

Relation dquivalence

SoitR une relation dquivalence dfinie sur E. Pour x lment de E, onappelle classe dquivalence dexmodulo R et on noteclR(x)(ouxen labsencedambigut) lensemble dfini par

clR(x) ={yE| xRy} .

Dfinition 1 - 12

Bien quil soit parfois commode de ne retenir dans une classe dquivalenceque lun de ses lments, il est en fait plus profond de penser que les classesdquivalence sont des ensembles.

Les classes dquivalence de EmoduloRforment une partition deE.Rciproquement, pour toute partition (Ai)iI de E, la relation binaireR

dfinie parxRy iI(x, y)A2i

est une relation dquivalence dont les classes dquivalence sont les Ai.

Thorme 1 - 1

Soit f : E Fune application de Esur F. Alors la famillef1(y)yf(E)

est une partition de E. La relation dquivalence qui lui est associe est dfinie

par x1Rx2f(x1) =f(x2).Exemple 1 - 1

Bien que signal hors programme, il est bon de savoir que lensemble desclasses dquivalence de E moduloR est appel ensemble quotient et est notE/R.

Si G est un groupe additif et H un sous-groupe de G, la relation xRyx

y

H est une relation dquivalence sur G et, par commodit, on note

G/Hlensemble quotient. Il peut tre muni dune structure de groupe comme enattestent les deux principaux exemples :

Un exemple important pour larithmtique est Z/nZ. Un reprsentant dechaque classe dquivalence est donn par le reste dans la division eucli-dienne parnet est donc form par les nombres de0n1. La classe dun en-tier kse note ket on a k = k+nZ avec la notation k+nZ ={k+ np | p Z}.

Un exemple important en trigonomtrie est R/Z ou encore R/2Z. Unlment de R/Z est form de lensemble des rels qui ont la mme par-tie fractionnaire, i.e. qui ne diffrent que dun nombre entier relatif. Demme, pour xrel, sa classe xdans R/2Z est donne parx= x + 2Z =

{x + 2k | k Z}.

Exemples 1 - 2



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Un exemple de groupe ablien muni dune structure supplmentaire est celuidespace vectoriel. Lorsque Gest un espace vectorielEet Hest un sous-espacevectoriel Fde E, lensemble quotient E/Fpeut tre muni dune structure despacevectoriel et cest en fait la bonne notion pour interprter celle de supplmentairede F. Par exemple le thorme du rang scrit simplement E/ Ker(u)=Im(u).Voir exercice 4 - 9.

Quand le groupe nest plus ablien, la relation dquivalence associe unsous-groupe Hne permet pas en gnral de dfinir une structure de groupe surG/H. On a alors besoin de la notion de sous-groupe distingu (ou normal). Voirexercice 7 - 30.

Relation dordre

Pour une relation dordre deux lments ne sont pas ncessairement en relation.

On dit quex et y sontcomparablessi xRy yRx. Quand tous les lmentssont comparables deux deux, on dit que lordre est total. Sinon on dit quilestpartiel. Une relation dordre (total ou partiel) est souvent note

. On note

alorsx < ypour (xy x=y)et on dit que


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14 1.5. RELATION BINAIRE

On prendra garde quune fonction qui nest pas croissante na aucune raisondtre dcroissante, mme un tout petit peu. Par exemple la fonction caractris-tique des rationnels prend les valeurs 0 ou 1 et nest monotone sur aucun intervallede R.

Danger

Une fonction qui est monotone et injective est strictement monotone.Proposition 1 - 2

La rciproque nest pas vraie en gnral. Elle lest si lordre sur lensemblede dpart est total. Un contre-exemple est donn par la fonction cardinal surlensemble des parties dun ensemble fini.

Danger

Un lmentmaximal de A est un lment ade Atel queb A, a ba= b. On dfinit de mme un lment minimal.

La notion dlment maximal ne prsente dintrt que dans un ensemble munidune relation dordre partiel. En effet si lordre est totala est un lment maximal deAsi et seulement si a = max A. Les exemples qui suivent montrent lintrt de cettenotion.

Dans N ordonn par la divisibilit, lensemble A = N \ {0, 1} ne possdepas de plus petit lment mais une infinit dlments minimaux : les nombrespremiers.

Exemple 1 - 4

Dans K[X]la divisibilit nest pas une relation dordre. On peut toutefois luiassocier la relation dquivalencedfinie par

P Q(P| Q Q|P) .

Les classes dquivalence sont les classes de polynmes associs : ils ne diffrentqu un multiple scalaire non nul prs.

On peut par exemple choisir dans chaque classe de polynmes associs luniquepolynme normalis.

Cet ensemble quotient, ou cet ensemble de reprsentants des classes dquiva-lence, est alors ordonn par la divisibilit et si on lui retire la classe de 1 (i.e. despolynmes constants non nuls) il possde une infinit dlments minimaux : lespolynmes irrductibles (unitaires).

Exemple 1 - 5

Lexemple prcdent est un cas particulier dun cadre plus gnral. Soit unerelation de prordre dfinie sur E, cest--dire une relation binaire rflexive et transi-tive.

La relation binaire dfinie sur Epar

xy(xy yx)

est une relation dquivalence.




16/52


Pour x E, on note x sa classe dquivalence. On noteE lensemble des classesdquivalence.

La relation dfinie surEparxyxy

est une relation dordre.


On peut enfin construire des relations dordre partir dautres relations dordre :

Ordre oppos : cest lordre dfini par xRyyx. On le note xy.Ordre induit : lordre induit sur une partie A est lordre sur A obtenu par

intersection du grapheRavec A A.Ordre fonctionnel si X est un ensemble quelconque et si Eest un ensemble

ordonn, EX lest aussi. On ordonne les fonctions par leurs valeurs, i.e.f g x X, f(x) g(x). On prendra garde ne pas utiliser lordrestrict dans ce cas, de peur de confondre f < g avecxX, f(x) < g(x),ces deux notions tant diffrentes.

Ordre produit : si pour tout i dans I, Ei est un ensemble ordonn, lordreproduit sur

iIEiest donn par(xi)iI (yi)iI iI,xiyi. Cest

en fait un ordre fonctionnel.Ordre lexicographique : si I est un ensemble totalement ordonn, on peut

ordonner

iIEi diffremment en posant : (xi)iI (yi)iI (i I,xi = yi) (i0I,iI, (i < i0xi = yi) xi0 < yi0).


N, Z, Q, R avec lordre habituel ; C avec lordre lexicographique ; N aveclordre (partiel) donn par la relation de divisibilit ; P(E)avec linclusion ; F(R)avec lordre fonctionnel habituel.

Exemple 1 - 6

Lois6

Une loi est une autre faon de penser aux graphes ou aux applications. Cest une

application dun produit densembles (ventuellement diffrents) dans un ensemble.Les notions de magma et dopration sur un ensemble ne sont pas au programme,mais interviennent naturellement dans les dfinitions des objets du programme.

Une loi de composition interne dfinie sur un ensemble Eest une application deEEversE. Si (lire truc) est une telle loi de composition interne, pour(x, y)E2,on notex yau lieu de (x, y). On dit alors queEest unmagma. SiEest muni deplusieurs lois internes, on parle de multi-magma.

Une loi de composition externe dfinie sur un ensemble Eet oprateurs dans unensemble Xest une application deX EversE. Si(lire toile) est une telle loi decomposition externe, pour(, x)X E, on note xau lieu de (, x).

Dans la suite, on note et

(lire anti-truc) des lois internes sur un ensembleEetune loi externe de lensemble Xsur lensemble E.



17/52

16 1.6. LOIS

Par exempleP(E) est muni de deux lois internes : et ;F(E) est munide la loi interne ; un espace vectoriel est muni de deux lois, une interne et uneexterne :+et.

Exemples 1 - 7

Les notions importantes pour les lois internes sont :

Commutativit : la loi est commutative si(x, y) E2, x y = y x. Unmagma commutatif est aussi appelablien en hommage Niels HenrikAbel(18021829).

Associativit : la loi est associative si(x,y,z)E3,(xy) z= x (y z).Il en rsulte, mais ce nest pas vident, que lordre des calculs pour estindiffrent, voir exercice 1 - 7

lment neutre : cest un lmentede Etel quexE,x e = e x= x.Llment neutre, sil existe, est unique.

Distributivit : on dit que est distributive par rapport lorsque (x,y,z)E3, (x y)

z = (x

z) (y

z)et z

(x y) = (z

x) (z

y).

Symtrique : un lmentx de Eest dit symtrisable ou inversible par rapportsil existeydans Etel quex y= y x= e. Linverse, sil existe, est

unique et on le note1 x.

Rgularit : un lmentxdeEest dit rgulier ou simplifiable si (y, z)EE,x y= x zy = z et(y, z)E E,y x= z xy = z. Un lmentinversible est simplifiable.

Une loi externe peut tre distributive par rapport une loi interne : dans cecas on axX(a, b)E E x (a b) = (x a) (x b).Remarque 1 - 4

On appelle monode tout couple (E, ) constitu dun ensemble et dune loi decomposition interne dfinie sur cet ensemble qui est associative et est pourvue dunlment neutre.

Quand, dans un monode, la loi de composition interne est note + (loi ad-ditive) elle est ncessairement commutative et son lment neutre est not 0.Linverse de a(quand il existe) est appel oppos et nota.

Quand, dans un monode, la loi de composition interne est note ou (loimultiplicative), son lment neutre est not1. On crit alorsabau lieu de a b.

Linverse de a(quand il existe) est nota1

. Si, de plus, la loi est commutative,linverse de a peut se noter

1

a.

Notation

(N, +)est un monode dlment neutre 0.Exemple 1 - 8

La notion de groupe sest dgage progressivement des travaux dvariste Galois(18111832) sur le groupe symtrique. Son but tait de rsoudre les quations poly-nomiales par des formules explicites ne mettant en jeu que des radicaux (extractionsde racines ne). Cest Arthur Cayley(18211895) qui a donn la bonne dfinition degroupe fini.



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Les groupes apparaissent galement en gomtrie, notamment dans le programmedErlangen de Felix Klein(18491925) et les travaux de Sophus Lie(18421899), eten thorie des nombres, dans les travaux de Leopold Kronecker (18231891). Lasynthse a t opre par Camille Jordan (18381922) et la dfinition dfinitive degroupe abstrait a probablement t donne par Walther von Dyck(18561934).

Ungroupe est un monode (i.e. un ensemble muni dune loi interne associativeet admettant un lment neutre) dans lequel tout lment est inversible.Dfinition 1 - 15

Z, Q, R, C ou tout espace vectoriel muni de laddition.Les bijections dun ensemble E(notSE) muni de la composition.Les matrices coefficients dans K pour laddition.Le groupe des rotations (vectorielles) ou des similitudes (directes vectorielles).

Le groupe des translations affines.

Exemple 1 - 9

La notion despace vectoriel a germ dans les travaux de Hermann Grassmann

(18091877) et a t formalise par GiuseppePeano(18581932).

Unespace vectoriel Esur un corps Kest un groupe ablien (pour une loinote +) muni dune loi externe de Ksur Equi est distributive, associative ausens suivant :

(, ) K2 xE ( x) = ( )x

et compatible avec llment neutre de K (not 1) :x K,1 x= x.

Dfinition 1 - 16

Les anneaux ont t formaliss par Richard Dedekind(18311916) et tudis sys-tmatiquement par EmmyNoether(18821935, mathmaticienne allemande chassepar le rgime nazi en 1933 et morte peu aprs aux tats-unis).

SoitAun ensemble muni de deux lois internes, notes et(Aest donc unmulti-magma). On dit queAest unanneausi (A,)est un groupe commutatif(ablien) et si la loivrifie les proprits dassociativit, de distributivit (parrapport ) et admet un lment neutre. On note 0 llment neutre de(A,)et1 celui de (A, ).

Dfinition 1 - 17

Un anneau est un ensemble dans lequel on peut effectuer des oprations sem-blables laddition, la soustraction et la multiplication. En dehors des corpshabituel (le corps Qdes nombres rationnels, le corps R des nombres rels et lecorps C des nombres complexes), en voici quelques autres :

les entiers relatifs Z et les nombres dcimaux (parfois not D),

les matrices carres dordre n coefficients dans un corpsMn(K), les endomorphismes dun espace vectorielEnd(E),

les (homo)morphismes dun groupe G ablien (commutatif)Hom(G).

Exemple 1 - 10

Les corps ont galement t formaliss par Dedekind et cest Ernst Steinitz(18711928) qui en donne la dfinition actuelle.



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18 1.7. LENSEMBLEN ET LES THORMES DE RCURRENCE

Uncorpsest un anneau K dont les lments non nuls sont inversibles.Dfinition 1 - 18

On dsigne par F2 lensemble deux lments 0 et 1 muni des deux lois decomposition+ etdfinies par leurs tables :

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

0 10 0 0

1 0 1

Muni de ces deux lois, F2possde une structure de corps. On le note aussi Z/2Z.Plus gnralement, lorsquenest premier, Z/nZ admet une structure de corps.

Exemple 1 - 11

Unealgbresur un corps K, ou K-algbre, est un K-espace vectoriel qui estaussi un anneau. Autrement dit cest un K-espace vectoriel muni dune multipli-cation interne qui est bilinaire

Dfinition 1 - 19

Lalgbre K[X] des polynmes sur un corps,Mn(K) celle des matrices detaillen ou encoreF(X,K)celle des fonctions dun ensemble Xquelconque dansun corps.

Exemple 1 - 12

Soit A P(E), on dfinit 1A : E {0, 1}la fonctionindicatricede Apar1A(x) = 1 si x Aet 1A(x) = 0sinon. La fonction 1A se note aussi A et estaussi appele fonction caractristique de A.

Dfinition 1 - 20

On pourrait plutt dfinir 1A comme tant valeurs dans F2. Dans ce cas1A+ 1B est la fonction indicatrice de la diffrence symtrique AB dfinie parAB = A B \AB, et 1A.1Best la fonction indicatrice deA B. On en dduitune structure surP(E): muni des oprations et,P(E)est en bijection avecEF2

qui est un anneau pour la somme et le produit fonctionnels (et mme uneF2-algbre). On dit queP(E) est une algbre de Boole, du nom de GeorgeBoole(18151864). Voir exercice 1 - 10

Remarque 1 - 5

LensembleN et les thormes de rcurrence7

Lexistence de lensemble Ndes entiers naturels est suppose acquise. Il est munides lois+et

, ainsi que dune relation dordre

, dont les proprits essentielles sont

supposes connues. En particulier on retiendra :



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1. Tout entier naturelnadmet un successeur :n+ 1. Tout entier naturelnon nul nadmet un prdcesseur : n 1.

2. N est un ensemble ordonn dont toute partie non vide admet un plus petitlment.

3. Toute partie non vide majore de N admet un plus grand lment.

Proprits 1 - 8

Une construction deN a t faite par RichardDedekindet GiuseppePeano,mais elle ne relve pas du programme. Lentier 0 est dfini comme lensemble videet le successeur dun entier aest dfini comme a {a}. Ainsi on a 2 ={, {}},ensemble qui a manifestement deux lments!

Les traces sur N des intervalles de R seront nots avec une double barre. Parexemplep, q= [p; q] N et p, += [p; +[ N.

Rcurrence

Soit n0 un entier naturel etA une partie de N qui satisfait aux axiomes dercurrence suivantsInitialisation : n0 AHrdit :n A n + 1 A.AlorsAcontient lasection finissante n0, +.

Thorme 1 - 2

Lemploi le plus frquent du thorme de rcurrence est dans la dmonstrationdune propritPdont lnonc dpend dun entier n (on parle de prdicat sur lesentiers). On peut noncer les trois corollaires usuels suivants :

Rcurrence simpleSoitPun prdicat sur N. Si, pour un certain entier natureln0,P(n0)est vrai

et que, de plus,nn0 , P(n) P(n + 1)

alorsP(n)est vrai pour tout entiernsuprieur n0.

Corollaire 1 - 1

Rcurrence double

SoitP un prdicat sur N. Si, pour un certain entier naturel n0,P(n0) etP(n0+ 1) sont vrais et que, de plus,

nn0+ 1 , (P(n 1) P(n)) P(n + 1)alorsP(n)est vrai pour tout entiernsuprieur n0.

Corollaire 1 - 2

Rcurrence forte

SoitPun prdicat sur N. Si, pour un certain entier natureln0,P(n0)est vraiet que, de plus,

nn0 , (kn0, n ,P(k)) P(n + 1)

alorsP(n)est vrai pour tout entiernsuprieur n0.

Corollaire 1 - 3



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20 1.8. ENSEMBLES FINIS

Rdaction des rcurrences

On commence par dfinir un prdicatPen prcisant son ensemble de dfini-tion, que lon munit dun (bon) ordre, i.e. de sorte quil y ait un lment minimal(disonsn0) et une application successeur (en gnral note nn + 1). Linitia-lisation consiste dmontrerP(n0) et lhrdit consiste dduireP(n+ 1) partir deP(n).

Soit (Hn) le prdicat sur N dfini par (Hn) : Pour tout entier naturel pinfrieur n, pest somme de quatre carrs dentiers naturels o, comme il estdusage en franais, infrieur signifie infrieur ou gal . Lassertion (H0)estdirecte puisque0 scrit02 + 02 + 02 + 02. Soit maintenantn un entier naturel. Sin+ 1est premier,(Hn+1)rsulte de ltude des carrs du corps Z/(n+ 1)Z. Sinonon critn +1 =pqavecpetqentiers naturels infrieurs net donc(Hn)entraneque p et qsont chacun sommes de quatre carrs et donc lidentit de Lagrangepermet den dduire quil en est de mme pour n + 1 et ainsi(Hn)(Hn+1).

Exemple 1 - 13

noter galement la rcurrence finie et la rcurrence descendante. On sin-tresse alors des parties finies de N, i.e. de la forme p, q et lhrdit peutprendre la forme usuelle (Hn) (Hn+1) ou au contraire la forme descendante(Hn+1)(Hn). Dans le premier cas on dmontre (Hp), dans le second (Hq)etdans tous les cas on en dduit que(Hn)est vraie pour tout entier ndansp, q.

Remarque 1 - 6

Soit Eun ensemble, on appelle suite dlments de E toute famille de Eindexe par N, i.e. une application de N dansE. On note une telle suite(un)nN.

Dfinition 1 - 21

On admet les thormes suivants beaucoup moins banals quil ny parat :

Soitf :EEune application dun ensemble dans lui-mme, et aun lmentdeE. Alors il existe une unique suite(un)nNdansEN vrifiant

1. u0 = a

2.n N,un+1 = f(un).Thorme 1 - 3

Soit f : E EEet aet bdeux lments de E. Alors il existe une unique

suite(un)nNdansEN

vrifiant1. u0 = a et u1 =b

2.n N,un+2 = f(un+1, un).Thorme 1 - 4

Ensembles finis8

On dit que deux ensembles Eet Fsont quipotents sil existe une bijection

deEsurF.Rappel



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Soitpet ndes entiers naturels.

1. Sil existe une injection de 1, pdans1, nalors pn.2. Sil existe une surjection de 1, pdans 1, nalorspn.3. Sil existe une bijection de 1, pdans1, nalors p= n.

Thorme 1 - 5

On dit quun ensemble Eest fini non vide si il existe un entierpstrictementpositif tel queEsoit quipotent 1, p. Lentierpest alors unique et est appelcardinal de Eet notCard(E),|E|ou E.

Dfinition 1 - 22

On convient de dire que lensemble vide est fini de cardinal0.Convention

Tout ensemble non fini est dit infini.Dfinition 1 - 23

Les parties finies non vides de N sont les parties non vides majores.Thorme 1 - 6

Dmonstration.a. Condition ncessaire. On travaille par rcurrence sur le cardinalpdune partie

non vide finie. SoitPle prdicat sur Ndonn parP(n): toute partie de N decardinalnest majore.

a. Initialisation :P(1) est immdiat puisque quune partie de cardinal 1 estmajore par son unique lment.

b. Hrdit. Soit pdans N tel queP

(p)soit vrai et Pune partie finie de N

de cardinal p + 1 lments. Soit enfinfune bijection de1, p + 1sur P.On noteP1 = P\ {f(p + 1)}. La birestrictiong= f|P1|1,p defest alors unebijection de1, psur P1. Ceci fait de P1 un ensemble fini de cardinal petdonc major. Soit M1 un de ses majorants. Alors M= max (M1, f(p + 1))est un majorant dePqui est donc bien major.

b. Condition suffisante. On travaille par rcurrence forte sur le plus grand l-ment Mdune partie non vide majore de N. SoitP le prdicat sur N donnparP(n): toute partie de N de plus grand lment nest finie.Soit Pune partie non vide et majore de Net soit Mson plus grand lment.On montre par rcurrence forte sur MquePest fini.

a. Initialisation :P(0)est immdiat puisque quune partie de plus grand l-ment nul est gale {0}et est donc de cardinal fini gal 1.

b. Hrdit. SoitMdans N tel queP(n)soit vrai pournMetPune partienon vide majore de plus grand lment M+1. Soit alorsP1 = P\{M+ 1}.Si P1 est vide, alors Pest de cardinal 1. Sinon P1 est non vide et majorpar M. Son plus grand lment est donc infrieur M. Par hypothse dercurrence,P1est donc fini. Soit alorspson cardinal ; il existe une bijectionfde1, psurP1que lon peut tendre 1, p+1en posantf(p+1) =M+1.Lextensionf de fainsi construite est alors une bijection de1, p+ 1surPqui est bien fini.



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22 1.9. SOMMES FINIES ET PRODUITS FINIS

SoitPune partie finie non vide de N de cardinalp. Alors il existe une uniquebijection (strictement) croissante de1, psur P.Thorme 1 - 7

Dmonstration. Par rcurrence sur pdans N.a. Initialisation : pourp= 1, toute bijection est croissante.b. Hrdit. On suppose la proprit satisfaite au rangp 1, avecp2. Soit alors

une partiePfinie non vide de cardinalp. Elle est majore et admet donc un plusgrand lment . Soit P1 = P\ {}. Alors P1 est une partie finie de cardinalp 1et, par hypothse de rcurrence, il existe une unique bijection croissantefde 1, p 1sur P1. Le prolongement fde fobtenu en posant f(p) = raliseune bijection strictement croissante de1, psur P. Si g est une autre bijectioncroissante de 1, p sur P, alors g(p) g(k) pour tout k p. Donc g(p) est leplus grand lment de P : g(p) =. La birestriction de g 1, p 1au dpartet P1 larrive est une bijection strictement croissante de1, p 1sur P1etdonc concide avecfpar hypothse de rcurrence, si bien queg = f.

Les proprits suivantes rsultent directement des thormes prcdents 1 - 5, 1 -

6 et 1 - 7. Cest un bon exercice de les dmontrer !

Soit Eet Fdeux ensembles quipotents. Si lun est fini, lautre lest aussiet ils ont mme cardinal.

Toute partie E dun ensemble fini E est elle-mme finie et Card(E)Card(E)avec galit si et seulement siE =E.

Soit E et Fdeux ensembles finis de mme cardinal et f : E F. Alorslinjectivit, la surjectivit et la bijectivit defsont quivalentes.

Soit f : E F o Eest un ensemble fini. Alors f(E)est une partie finiede Fet on a Card(f(E))

Card (E) avec galit si et seulement si f est

injective. Toute intersection densembles finis est finie.

Toute runion finie densembles finis est finie de cardinal infrieur ou gal la somme des cardinaux.

Proprits 1 - 9

Sommes finies et produits finis9

Dans un monode additifb, on dfinit par rcurrence la notationn

k=1

akpar0

k=1

ak =

0etn+1k=1

ak =

nk=1

ak

+ an+1.

On peut alors dfinir, pour tout ensemble fini dindicesI, la notationiI

ai laide

dune bijectionfde1, nsur Ipar

iIai =

n

k=1af(k).

b. un tel monode est commutatif



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Cette formule, de par la commutativit de laddition, ne dpend pas de la bijection fchoisie.

En particulier, pour n entier et a dans le monode, les notations na et n corres-pondent respectivement ak =a ou ak = 1pour tout kdans 1, n. De plus

i ai = 0Convention

Dans un monode multiplicatifc, on dfinit par rcurrence la notationn

k=1

ak par

0k=1

ak = 1etn+1k=1

ak =

nk=1

ak

an+1.

Dans un monode multiplicatif commutatifon peut alors dfinir pour tout en-semble fini dindices I la notation

iIai laide dune bijectionfde1, nsur Ipar

iI

ai =n

k=1

af(k).

Cette formule, de par la commutativit de la multiplication, ne dpend pas de labijectionf choisie.

En particulier, pour n entier et a dans le monode, les notations an et n! (lire factorielle n la notation de factorielle vient des travaux de Christian Kramp,17601826) correspondent respectivement ak =a ou ak =k pour toutk dans1, n.Par convention0! = 1et plus gnralement

i

ai = 1Convention

Dnombrements, analyse combinatoire10

Principe des bergers

Soitf :EFune surjection de Esur un ensemble fini F. On suppose quilexiste un entier naturel non nulpvrifiant

yF Card(f1(y)) =p .

AlorsEest fini et on a

Card(E) =p Card(F).

Thorme 1 - 8

Ce thorme rsulte de lexemple 1 - 1 et de lnonc plus gnral suivant

c. un tel monode nest pas ncessairement commutatif



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24 1.10. DNOMBREMENTS, ANALYSE COMBINATOIRE

Pour toute partition(Ai)iIdun ensemble fini E, lensemble Iest lui-mmefini et, de plus,

Card(E) =iI

Card(Ai).Thorme 1 - 9

Un problme de dnombrement consiste prouver quun ensemble est fini et en

dterminer le cardinal. Les thormes essentiels auxquels on se rfre sont le thormedquipotence et le principe des bergers, avec pour but de se ramener des ensemblesfinis de cardinal connu. Cependant le plus souvent, les dmonstrations seront rdigesde faon plus littraire , ces thormes apparaissant alors en filigrane. Voici quelquesillustrations ces mthodes.

SiEet Fsont des ensembles finis alorsE Fest fini et

Card(E F) = Card(E) Card(F).Thorme 1 - 10

Dmonstration. Il suffit dappliquer le principe des bergers lapplicationf :E

F Fqui (x, y)associey(i.e.f=pr2). Les images rciproquesf1(y)sont toutesquipotentes Ece qui permet de conclure.

SiEet Fsont des ensembles finis alorsF(E, F)est fini et

|F(E, F)|= FE =|F||E| .Thorme 1 - 11

Le principe est le suivant : pour construire une application de Edans F ilsuffit de savoir construire une application deE1 = E\ {a} dans Fet de dfinirf(a). Ainsi la dmonstration sera faite par rcurrence surp = Card(E). Pourf

|E1on anp1 choix (avecn = Card(F)) et pour chacun deux on anchoix possiblespour f(a). La mise en forme dune telle dmonstration relve donc du principedes bergers.

Ide

Dmonstration.a. Linitialisation p = 1est claire puisqualors FE F.b. Hrdit. On suppose la proprit tablie pourp 1, avec pN. Soit alors E

fini de cardinal p,adansEfix quelconque et E1 =E\ {a}.On applique le principe des bergers lapplication

a : F(E, F) F(E1, F)qui f associe f|E1 . En effet :

a. le principe de prolongement assure le caractre surjectif dea;b. lhypothse de rcurrence assure lquipotence des images rciproques des

lments deFavec pour cardinal commun Card(F).Et donc le principe des bergers assure bien lhrdit.

SoitEun ensemble fini de cardinal p, alorsP(E)est fini et

Card (P(E)) = 2p

.

Thorme 1 - 12



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Dmonstration. Il suffit de constater queP(E) etF(E, {0, 1}) sont quipotentsvia la bijection qui une partie Ade Eassocie sa fonction caractristique 1A.

La fonction indicatrice intervient souvent en dnombrement, notamment pourla raison suivante : si Eest un ensemble fini et AE, alors

xE1A(x) = Card(A).comme on le voit en prenant une bijection de1, Card(A)surAque lon prolongeen une bijection de 1, Card(E)sur E.

Remarque 1 - 7

Formule de Poincar, dite du crible ou Principe dinclusion-exclusion

SoitAet B deux parties finies dun mme ensemble E. On a

Card(A B) = Card(A) + Card(B) Card(A B).Thorme 1 - 13

Dmonstration. Cela rsulte de lidentit entre fonctions indicatrices

1AB + 1AB = 1A+ 1B,

que lon peut vrifier pour tout x dans Edans les quatre cas exclusifs x AB ,xA \ A B,xB \ A B et x /A B, et de la remarque prcdente applique E=A Bet ses partiesA, B ,A Bet A B.

Formule de Poincar

SiA, Bet Csont des parties finies dun mme ensemble, alors on aCard(A B C) = Card(A) + Card(B) + Card(C)

[Card(A B) + Card(B C) + Card(C A)]+ Card(A B C).

Plus gnralement si (Ai)1in est une famille de parties finies dun mme en-semble, on a la formule

Card

n

i=1Ai

=

n

k=1(1)k+1

1i1


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Pour construire une injection de Edans F il suffit de savoir construire uneinjection deE\{a} (que lon noteraE1) dansFet de choisirf(a)parmi les imagespossibles restantes. La dmonstration sobtient par rcurrence surCard(E)(quelon noterap).

En notant n = Card(F), on a Ap1n choix pour f|E1 et, pour chacun deux,on a np + 1 choix possibles si n p et aucun sinon. Do, pour n p,Ap

n = (n

p+ 1)Ap1

n et donc, compte tenu de linitialisationA1

n = n, il vient

Apn = n!

(n p)! .

Ide

Soit Eun ensemble fini de cardinal n, SE lensemble des permutations deE(i.e. les bijections deEdansE) est fini de cardinaln!.Corollaire 1 - 4

On appellep-liste dun ensembleEtoutp-uplet(a1, a2, . . . , ap)constitu dl-ments deE. En particulier lunique 0-liste est la liste vide.

Dfinition 1 - 24

Le nombre de p-listes dlments dun ensemble fini Ede cardinal n est np.Thorme 1 - 15

Dmonstration. Pourp1, se donner unep-liste revient se donner une applicationde1, pdansE. Pour p= 0, lunique 0-liste est la liste vide.

On appelle arrangement de p lments de E toute p-liste de E constituedlments deux deux distincts.

Dfinition 1 - 25

Le nombre darrangements deplments parminest Apn.Thorme 1 - 16

Dmonstration. Pourp1, se donner un arrangement deplments deEensemble nlments, revient se donner une injection de 1, pdans E. Pour p= 0, lunique0-liste est la liste vide.

On appelle combinaison de plments dun ensemble Etoute partie finie deE de cardinal p. En particulier lunique combinaison 0 lment de E est la

combinaison vide.

Dfinition 1 - 26

Si Eest un ensemble fini de cardinal n, lensemble des combinaisons de p

lments deEest fini, de cardinal not

n

p

(ou parfoisCpn) et on a

n

p

=

n!

p!(n p)!

pour 0

p

n et

n

p = 0si n < p. En particulier n

0 = 1.Thorme 1 - 17



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tout arrangement plments, qui est une p-liste, on associe son support,i.e. lensemble des lments constituant la p-liste. Comme cest un arrangement,cet ensemble aplments, i.e. est une combinaison plments. Rciproquement toute combinaison plments deE, on peut associer autant darrangements plments quon a de possibilits de rangerplments, savoirp!. Par consquentApn = p!

np

, do la proprit.

Ide

Cas particulier de la formule du binme de Newton

Pour tout entier natureln, on a

2n =

np=0

n

p

.

Thorme 1 - 18

Dmonstration. Pour p entier vrifiant 0

p

n, on note

Pp(E) lensemble des

p-combinaisons dlments de E. Alors la famille (Pp(E))0pn ralise une partitiondeP(E). En prenant les cardinaux on trouve lgalit recherche.

Les nombres

n

p

sappellent coefficients binomiaux.Dfinition 1 - 27

On peut les reprsenter sur un triangle, dit triangle de Pascal (Blaise Pascal,1623-1662).



29/52


Ce triangle tait connu du mathmaticien perse Abu Bekr ibn Muhammadibn al-Husayn Al-Karaji (9531029) et est connu en Chine sous le nom detriangle de Yang Hui (1238-1298). Dans ses crits, il attribue le triangle unautre mathmaticien chinois, de deux sicles son prdecesseur : Jian Xian. Lestravaux de JiaXian sont perdus.

Remarque 1 - 8

Le terme nk est donc dfini comme le nombre de faons de choisirklments dansun ensemble de n lments, notammentk termes dans un produit de n termes. On endduit directement la formule du binme de Newton(IsaacNewton, 16431727)

Binme de Newton

(a + b)n =

nk=0

n

k

akbnk ,

formule valide pour a et b dans un anneau gnral, avec [a, b] = 0, i.e. a et b

commutant entre eux (o [a, b]dsigne, comme souvent, le commutateur deaetb, i.e. [a, b] =ab ba).

Une proprit lmentaire est la formule, qui permet de calculer les coefficents

binomiaux de faon rcursive,

n + 1

k

=

n

k

+

n

k 1

. Elle sinterprte combina-

toirement en comptant de faon spare les choix pour lesquels le n+ 1e terme choisiest aou b.

On peut galement construire directement lane ligne du triangle de Pascalen par-tant de 1 et en multipliant successivement par des fractions de numrateur dcroissant

et dont le numrateur et le dnominateur ont pour somme n + 1: 1,1

n

1

,n

n 12

,

n(n 1)2

n 23

etc. En particulier, on retrouve la formulen

k

=

n(n 1) (n k+ 1)1.2. .k =

n!

(n k)!k! .

Les coefficients binomiaux satisfont aux formules suivantes valables pour desentiers vrifiantnp0 :Symtrie

n

p

=

n

n

p

ne ligne n

p + 1

=n pp + 1

np

Diagonales

n + 1

p + 1

=

n + 1

p + 1

n

p

Relation de Pascal

n + 1

p + 1

=

n

p + 1

+

n

p

.

Thorme 1 - 19

Dmonstration. Les vrifications sont triviales partir de la formule

n

p

=

n!

p!(n p)! , mais on peut galement les interprter de faon ensembliste.



30/52


La premire formule correspond lchange entre aet bdans la formule du binme,cest--dire lapplication bijective qui une partie A associe son complmentaire,changeant ainsi les parties de cardinal pavec celles de cardinal n p.

La seconde provient de la remarque sur le calcul direct sur la ne ligne. Elle exprimeque pour construire une partie p+1lments partir dune partie plments, il fautlui adjoindre un lment parmi lesn pde son complmentaire, et rciproquement ilfaut supprimer un desp + 1lments dune partie p + 1lments pour en obtenir une

p lments. On peut lcrire directement sous forme dgalit dune somme double enutilisant une bijection entre les couples(A, x), forms dune partieAp +1lments etdun lment x de A, et les couples(B, y), forms dune partieB p lments et dunlmenty de B . La bijection envoie (A, x)sur (A \{x} , x)dont la bijection rciproqueenvoie(B, y)sur (B {y} , y). Il vient

(p + 1)

n

p + 1

=

|A|=p+1

xA

1 =|B|=p

y/B

1 = (n p)

n

p

.

La troisime provient dune interversion de deux signes somme ou encore de labijection associant (A, x), avecA une partie p + 1lments de1, n + 1et x dans

A, le couple(x, A \ {x}), form dun lment de1, n + 1et dune partie p lmentsne le contenant pas. De faon plus parlante, on peut lcrire

(p + 1)

n + 1

p + 1

=

|A|=p+1

xA

1 =

1xn+1

Ax

1 =

1xn+1

|B|=p,x/B

1 = (n + 1)

n

p

.

On a dj expliqu la dernire : une partie A p + 1lments de1, n + 1contientou nonn + 1et on peut lui associer une partie de 1, nsoit plments, soit p + 1lments. De faon lgrement abusive cela peut se sythtiser ainsi :

|A|=p+1 1 = n+1A 1 + n+1/A 1.

Lgalit la formule

n

k

=

n(n 1) (n k+ 1)1.2. .k est dfinie a priori pour n et

k entiers naturels. On ltend directement au cas o nest dans un anneau contenantZ et o tous les entiers non nuls sont inversibles, comme R, C, R[X]ouMn(R)parexemple. Le cas des polymes joue un rle dans les questions dinterpolation, aveclinterpolation de Newton.

Elle consiste approcher une fonction dfinie sur 0, npar un polynme de degrnprenant les mmes valeurs que la fonction, de faon incrmentale : plus le nombre de

points dapproximation augmente, plus on lve le degr. Par opposition linterpola-tion de Lagrange (Joseph-Louis Lagrange, 17361813) chaque tape on ne rajoutequun seul terme.

On peut le dire en termes de suites. Si (uk)kN est une suite valeurs rellesou complexes, on lui associe (et ceci donne naissance un oprateur linaire surlespace vectoriel des suites) (uk)kN dfinie par uk = uk+1uk. Le polynmedapproximation de Newtondordren, Pn, concide avec (uk)kNsur sesnpremierstermes. On lobtient en calculant successivement P0 = u0, P1 = P0 + u0X, ,Pn = Pn1+ (nu)0

X(X 1) (X n + 1)n!

, avecn = , i.e.

Pn =u0+(u)0X+(2

u)0X(X1)+ +(n

u)0X(X

1)

(X

n + 1)

n! =

n

k=0

(k

u)0Xk .FranoisSauvageot - Lyce Clemenceau - Nantes - cbna - 2014-2015


31/52


En notant Un les polynmes de Newtondfinis par Un =

0kn1(X k) et Tnles polynmes factoriels dfinis par Tn =

Unn!

=

X

n

, on a donc

Pn =

nk=0

(ku)0k!

Uk =

nk=0

(ku)0Tk .

La mthode se gnralise avec des pas constants (i.e. en remplaant 0, 1, ,nparx0,x0 + h, ,x0 + nh) ou non. On parle de mthode des diffrences divises.Apart

Loprateur est appel oprateur de drivation discrte et est li au triangle dePascal:

(nu)0=

nk=0

(1)nk

n

k

uk et donc aussi un =

nk=0

n

k

(ku)0

et on peut le dfinir galement comme application linaire sur lespace des polynmes d

par (P) = P(X+ 1)P. Dans ce cadre les polynmes de Newton et factorielsconstituent une base de triangulation de loprateur : (Tn+1) = Tn ou encore(Un+1) = (n + 1)Un.

Loprateur permet de calculer les sommes du typeN

n=1

nk pour k entier

naturel. En effet, si P est un polynme tel que (P) = Xk, alors la sommeprcdente est une somme tlescopique et donc, en supposantP(0) = 0, ce quiest toujours possible, elle est gale P(N+ 1).

Par exemple, on a (T2) =T1 = Xet doncN

n=1n= T2(N+ 1) =

N(N+ 1)

2 .

Pour la somme des cubes, on crit dabord X3 dans la base des polynmesfactoriels. Puisquun polynme de degr 3 est approch de faon exacte par lap-proximation de degr 3, on a

X3 =P3=3

k=0

(ku)0Tk avec (uk) = (k3).

On calcule aisment leffet successif de en retranchant le terme courant dusuivant :

k uk uk 2uk

3uk

0 0 1 6 6

1 1 7 12

2 8 19

3 27

et doncX3 = 6T3 +6T2+ T1. Un antcdent deX3 parest donc6T4 +6T3+ T2,

i.e.

1

4X2(X 1)2

=X3, et donc

Nn=1

n3 = N2(N+ 1)2

4 .

Remarque 1 - 9

d. On rappelle que les polymes sont, techniquement, des suites, mais attention les deux dfinitions de

qui en rsultentne concident pas.



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On a donc(T2) =T1et (T22 ) =T31 . Cest remarquable, mais exceptionnel.

En faitnest pas tout fait une drivation. On a, pourPetQdeux polynmes,

(P Q) =

P(X+ 1) P

Q Q(X+ 1)

=

(P) P

(Q) Q(X+ 1)

=

(P) P

(Q) Q + (Q)

et donc(P Q)est la somme du terme attendu(P)Q + P(Q), correspondant une drivation, et du terme du second ordre (P)(Q). Il vient (T22 ) =

2T1T2+ T21 =T1(T1+ 2T2).

Lgalit fondamentale utilis pourX3, donne avecX2 :T1+ 2T2=X2 =T21et on retrouve(T22 ) =T

31 = (T2)

3.

Apart

Voici une dmonstration sans mots de lgalitN

n=1

n=

N+ 1

2

=T2(N+ 1)

et, jointe la classique mthode de Gau de sommation par complment,

on en dduit T2(N+ 1) =N

n=1n =

N(N+ 1)

2 . Sil tait besoin on pourrait aussi en

dduire T2 = 1

2X(X 1). On termine ce paragraphe avec une identit remarquable,

souvent associe la formule du binme du moins lorsquen= 2:

Formule de (Jacob) Bernoulli

Pour nentier strictement positif, la formule

an bn = (a b)n1k=0

akbn1k

est valide dans un anneau gnral condition quon ait [a, b] = 0.



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32 1.11. ENSEMBLES DNOMBRABLES.

Ensembles dnombrables.11

Les ensembles infinis sont les ensembles non finis, mais y-a-t-il plusieurs infi-nis ? En dautres termes deux ensembles infinis sont-ils toujours quipotents ? Larponse est non, comme le prouve le thorme hors-programme suivant.

Ide

Thorme de Cantor

SoitEun ensemble quelconque, il nexiste pas de surjection (et donc a fortioride bijection) deEsurP(E).

Thorme 1 - 20

Dmonstration. On effectue une dmonstration par labsurde.Soitune telle surjection,Alensemble{xE| x /(x)}et aun antcdent de

A.a. Si on suppose a A, alors a /(a) =A, ce qui est contradictoire.

b. Si on suppose a / A, alorsa(a) =A, ce qui est une nouvelle fois contradic-toire.Ainsi une telle applicationne saurait exister.

En particulier il y a plusieurs infinis ! Tout comme on a class les ensemblesfinis par taille, on peut classer les ensembles infinis. Ainsi les ensembles quipotents N sont dits de cardinal0 (lire aleph zro, comme la lettre de lalphabet hbreu).Ceux, comme R, qui sont quipotents P(N)sont dits de cardinal20 .

Lhypothse du continu affirme 20 =1, autrement dit quil nexiste pasdensemble compris entre N et R .


Ces questions sont au cur des travaux de Georg Cantor, 18451918.

Un ensembleEest dit

dnombrable sil est quipotent N.

au plus dnombrable sil est fini ou dnombrable.

Dfinition 1 - 28

Toute partie deN est au plus dnombrable. Autrement dit, toute partie infiniede N est dnombrable.

Plus prcisment, pour toute partie infinie P de N, il existe une bijectionstrictement croissante et une seule de N surP.

Thorme 1 - 21

Dmonstration. Soit Pune partie de N.a. SiPest fini, il est au plus dnombrable. Si Pest infini, il est non vide. Soit alors

a0son plus petit lment etP1 = P\ {a0}. LensembleP1est alors non vide carPest infini, et on peut poser a1= min P1.Supposons avoir construit lesppremiers lments (a0, a1, . . . , ap1)dune suitevrifiant

a0 < a1 ap1.



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On pose alors Pp = P\ {a0, a1, . . . , ap1}, de sorte que Pp est galement unepartie de N non vide. On peut poser ap = min Pp et la suite (an)nN ainsiconstruite dfinit une injection strictement croissante de N dansP.Il reste vrifier quelle est surjective. Par une rcurrence immdiate, pour toutentiernon a an n. Soit donc q P. On a aq qet, par construction de lasuite, on a q / Pq. Par consquent qest lun des lments a0, a1, . . ., aq1 etlapplication: n

an est bien surjective. Ainsi cest une bijection croissante

de N sur P, et Pest dnombrable.b. Soit est une bijection croissante de N surP. Elle vrifie par monotonie(0)

(n)pour tout entier naturelnet donc (0) = min (N) = min P =(0).Soit n N tel que, pour tout k infrieur n1, on ait (k) = (k). Parmonotonie on a

(n) = min (N \ 0, n 1) = min (P\ {(0), . . . , (n 1)})= min (P\ {(0), . . . , (n 1)}) =(n).

et donc= .

Pour toutp2 lensemblepN est dnombrable (bijectionnpn).Exemple 1 - 14

Un ensemble est fini ou dnombrable si et seulement sil est en bijection avecune partie de N. Autrement dit un ensemble E est fini ou dnombrable si etseulement sil existe une injection de E dans N, ou encore si et seulement silexiste une surjection de N dansE.

Corollaire 1 - 5

Dmonstration. Le sens direct rsulte de la dfinition densemble fini ou densemblednombrable. Le sens rciproque est une consquence du thorme prcdent et du faitque lquipotence est une relation dquivalence.

Pour la rinterprtation on supposeEnon vide, sinon cest immdiat.Soit fune bijection de E sur une partie de N, note F. Linjection canonique

deFdans N permet de construire une injection fdeEdans N. Un prolongement Nquelconque (par exemple en envoyant F sur min(F)) de lidentit deF, notpFpermet de construire une surjectionfpF de N sur E.

Sil existe une injection de Edans N, alors Eest en bijection avec son image, quiest une partie de N. Sil existe une surjection f de Ndans E, alors lapplicationg :xmin(f1(x))est bien dfinie et est une injection deEdans N, puisquefg= IdE.

Lensemble NN est dnombrable.Thorme 1 - 22

Dmonstration. Tout entier naturel non nulnadmet une unique criture du typen = 2p(2q+ 1)avec p et qentiers naturels. Lapplication (p, q) 2p(2q+ 1) 1 estdonc une bijection de NN sur N.

Sikest un entier naturel non nul, Nk est dnombrable.Plus gnralement un produit cartsien (fini) densembles dnombrables est

dnombrable.

Thorme 1 - 23



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34 1.11. ENSEMBLES DNOMBRABLES.

Dmonstration (non exigible). Lensemble des nombres premiers tant infini, onnote (pi)iN la suite strictement croissante des nombres premiers. Lapplication de

Nk dans N donne par (ni)1ik k

i=1

pnii est alors injective, daprs le thorme

de factorisation des entiers, et doncNk est au plus dnombrable. Comme il nest pasfini puisquil contient une partie quipotente N (par exemple celle dont toutes les

coordonnes sont nulles sauf peut-tre la premire), il est donc dnombrable. On noteune bijection de Nk sur N.Soit maintenant(Ei)1ik des ensembles dnombrables et (fi)1ik des bijections

fi: EiN. Alors(xi)1ik(f1(x1), . . . , f k(xk))est une bijection deE1 Eksur N, do le rsultat annonc.

Les ensembles Z et Q sont dnombrables.Corollaire 1 - 6

Dmonstration (non exigible). Lapplication(a, b)a bfournit une surjectionde N2 dans Z et donc, par composition avec une bijection de N sur N2, une surjectionde N dans Z.

Lapplication (a,b,c) a bc + 1

fournit une surjection de N3 dans Q et, commeprcdemment, une surjection de N dans Q.

Hors-programme

Soit (En)nN une suite croissante densembles. On appelle limite de cettesuite, et on la notelimEn, lensemble dfini par

limEn =

nNEn .

On lappelle aussiborne suprieurede la suite(En)nN

.De mme pour une suite (En)nNdcroissante densemble, on appellelimiteouborne infrieurede cette suite, et on la note limEn, lensemble dfini par

limEn =

nNEn .

Dfinition 1 - 29

Hors-programme

Un ensemble Iest au plus dnombrable si et seulement sil existe une suitecroissante(In)nN de parties finies de Idont la runion est gale I, i.e. telles

queI= limIn.

Thorme 1 - 24

Dmonstration (non exigible).a. Condition ncessaire. Si Iest fini la proprit est claire en prenant une suite

constante gale I. Sil est dnombrable, il existe une bijection de N sur I.Comme N =

nN

1, n, il vient

I=

nN(1, n) =

nN

In

en posantIn =(1, n), et(In)est bien une suite croissante de parties finies deIdont la limite est I.



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b. Condition suffisante. Soit n dans N. Comme In est fini on dispose duneinjection jn de In dans N. Soit maintenant j : I N N lapplication qui x dans I associe (n, jn(x)) avec n = min {kN | xIk}. Cette applicationest injective et fournit, par composition dune bijection de N N sur N, uneinjection deIdans N. On en dduit que Iun ensemble au plus dnombrable.

Toute runion au plus dnombrable densembles eux-mmes au plus dnom-brables est au plus dnombrable.Thorme 1 - 25

Dmonstration (non exigible). Cest une consquence du thorme prcdent.Soit Iun ensemble au plus dnombrable et (Ei)iIune famille densembles au plusdnombrables. On dispose de (In) et (Ei,n)des parties finies telles que I= lim Inet, pouridans I, Ei= limEi,n.

On pose alors, pour n dans N,Jn =iIn

Ei,n. Cest une suite croissante de parties

finies incluses dans iIEipar construction. Rciproquement pourxdans cette runion,on dispose de idans Itel quexEi et donc de j dans N tel queiIj et dekdansN tel quexEi,k. Par croissance, en posant n = max(j, k), il vientxEi,net iIn,doncxJn. Il vient

iI

Ei = limJn et le rsultat sensuit.

Les ensembles R, ]0; 1[,[0; 1[, ]0; 1]et [0; 1]ne sont pas dnombrables.Thorme 1 - 26

Dmonstration (non exigible). On commence par dmontrer la lon dnombrabilitde[0; 1[.

a. Soit:[0; 1[ {0, 1}N lapplication qui un lment associe la suite des termesde son dveloppement dyadique propre.On a en particulier, en prenantxdans[0; 1]et en posant (x) = (an)nN,

x=

n=0

an2n+1

.

Il en rsulte que est injective.b. Si (an)nN est dans{0, 1}N et nest pas stationnaire gale 1, alors en posant

x=

n=0

an

2n+1 , on a(x) = (an)nN. Il en rsulte que limage de est constitue

des suites qui ne sont pas stationnaires gales 1.c. Soit In lensemble des suites stationnaires gales 1 partir du rang n. On a

affaire une suite croissante densembles de cardinaux donns par Card(In) = 2n

et doncIdonn par I= limIn est (au plus) dnombrable.d. Si [0;1[ tait au plus dnombrable, alors son image par le serait aussi (puis-

quelle lui est quipotente) et donc{0, 1}N serait runion de deux ensembles auplus dnombrables. Comme{0, 1}N est quipotent P(N), par la bijection qui une partie associe sa fonction caractristique, daprs le thorme de Cantor(thorme 1 - 20),

{0, 1

}N nest pas dnombrable et cette contradiction montre

que[0; 1[nest pas dnombrable.



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36 1.12. ESPACES PROBABILISS

Comme une partie dun ensemble dnombrable est au plus dnombrable, il en r-sulte par contrapose que R et [0; 1]ne sont pas dnombrables.

Commethest une bijection de R sur ]0; 1], ce dernier intervalle nest pas dnom-brable et largument prcdent permet de conclure que [0; 1[ne lest pas non plus.

Expliciter des bijections entre les cinq ensembles prcdents.Exercice

Lensemble des nombresalgbriques, i.e. des racines dune quation polyno-miale coefficients entiers, est dnombrable. Par contreR nest pas dnombrable.Ainsi les nombrestranscendants(i.e. non algbriques) sont beaucoup plus nom-breux que les nombres algbriques.

Et pourtant les nombres transcendants sont difficiles exhiber ! On sait grce Charles Hermite(18221901) et Ferdinandvon Lindemann(18521939) quee et sont transcendants, grce des thormes dmontrs en 1873 et 1882

respectivement. Celle de la constate de Gelfond, e, a fallu attendre 1934 et lestravaux dAlexandre Ossipovitch Gelfond (19061968) : elle rsulte de la formuledEuler et du thorme de Gelfond-Schneider en crivant e = (1)i. Un autreexemple, constante de Gelfond-Schneider, est 2

2. Par contre, on ne sait pas

lheure actuelle sie oue + sont rationnels, algbriques ou transcendants.


Espaces probabiliss12

La notion de hasard ne sintgre pas totalement dans le formalisme des structuresmres, dailleurs N. Bourbakina essentiellement jamais trait des probabilits dansses ouvrages. Elle est troitement lie aux jeux de ds : az-zahrsignifieden arabe,tout commealaen latin.

Un phnomne alatoire est une exprience que lon peut renouveler et dont lersultat chappe toute prdiction absolue, comme un lancer de d. Il est ncessaire depouvoir renouveler lexprience un grand nombre de fois (dans des conditions rputesidentiques), fut-ce par la pense, pour pouvoir parler dala. Lalatoire ne sopposepas ncessairement au dterminisme physique : le d obit aux lois de la physiquequi sont, au moins son chelle, dterministes, mais la complexit du phnomne fait

que le rsultat auquel on sintresse nest pas prdictible. On peut prdire de faonraisonnable la vitesse, la dure du mouvement, la hauteur du rebond etc. mais paslquilibre stable sur lequel le d finit sa trajectoire, i.e. la face sur laquelle il reposein

fine.

Pour modliser un phnomne alatoire, on se donne un univers qui est simple-ment lensemble de tous les rsultats possibles. Il peut-tre plus ou moins dtaill :lensemble1, 6, le produit cartsien1, 6R+donnant la face darrt et la dure dumouvement (ou la hauteur du rebond) ou encore lensemble des couples forms de laface darrt et de la position de la Lune ce moment-l, voire la position de toutes lesparticules de lunivers pendant le trajet ! Quimporte ce choix, qui appartient la per-sonne qui modlise, au final lunivers est un ensemble. Pour faire des mathmatiques,il est nanmoins ncessaire que cet ensemble en soit un au sens des mathmatiques !



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Ununivers, le plus souvent not, est un ensemble. Ses lments sont le plussouvent nots et sont appels indiffremmentpreuve, ala, rsultat de lex-prience, vnment lmentaire, vnment atomique, ralisation du hasard . . .

Dfinition 1 - 30

En fait un vnement au sens probabiliste ne se rduit pas un seul rsultat pos-sible, cest une partie de , autrement dit un ensemble de rsultats possibles.

Unvnementest une partieA de lunivers. Si une preuve appartientA, on dit que A se ralise dans lpreuve .

On identifie souvent au singleton{}, mais un vnementlmentaireeststricto sensu le singleton{}.

Deux vnements A et B sont dits incompatibles lorsquils sont disjoints,i.e.A B =.

Dfinition 1 - 31

Le point de dpart de la thorie des probabilits se confond donc avec lathorie des ensembles. Il existe des approches diffrentes, plus gnrales, de celleque lon va maintenant dvelopper et qui rsulte des travaux dAndre Nikolae-vitch Kolmogorov(19031987), notamment la notion de probabilit subjectiveou encore despace de probabilits conditionnelles introduite par Alfrd Rnyi(19211970).


Comme par exemple la notation de limite pour une suite monotone densembles,les probabilits utilisent de nombreuses conventions de notations bien utiles, mais quine sont pas au programme.

Hors-Programme

SoitA et B deux partiesdisjointesdun ensemble. On noteA

Bou encore

A + Bleur runion.Plus gnralement si (Ai)iIest une famille de parties deux deux dis-jointesdun ensemble, on note

iI

Ai ou encoreiI

Ai leur runion.

Notation

La notation

est un produit renvers, ou coproduit. Cette notion a un sensen elle-mme, largement en dehors du cadre du programme.

Ce coproduit ressemble parfois une somme, comme dans le cas de lalgbreP(), en ce sens ce que le produit est distributif par rapport la somme. Cestvident ici puisque la runion est la premire loi de lalgbreP()et que la se-conde est lintersection. Cest dailleurs pourquoi certains, comme Rnyi, criventAB au lieu de A B. Avec ces notations les lois de de Morganprennent uneforme trs simple, commeA(B +C) =AB +AC, ce qui fait partie de la dfinitiondalgbre. On dit que la catgorie des ensembles est distributive.

Mais le coproduit ressemble parfois un produit, jusqu lui tre isomorphe.Cest le cas pour les espaces vectoriels : on a un isomorphisme canonique entreE F et E F. En fait, pour tre plus prcis, lapplication somme de E Fdans E+ Fest toujours surjective par dfinition, et nest injective que lorsquela somme est directe. Lutilisation de cette application est dailleurs la sourcedune dmonstration de la formule de Grassmann, qui nest autre que la formulede Poincarmais vue pour les espaces vectoriels ! On dit que la catgorie des

espaces vectoriels est linaire.




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Tout comme la notationE F, la notationA+B est porteuse dun doublesens : elle commence par rqurir (ou affirmer) que A et B sont disjoints, puiselle dsigne leur runion.

Danger

Quest-ce quun produit du point de vue des applications? Si on se donne

une famille(Xi)iIdensembles et (fi)iIune famille dapplications ayant mmeespace de dpart Yet telles que lensemble darrive de fi est Xi, pour i dansI, alors on peut fabriquer un couple (X, f) form dun ensemble X et duneapplication f, tous deux construits partir des donnes prcdentes de faon universelle . On prend pour X le produit cartsien

iI

Xi, f lapplication

dfinie par y (fi(y))iIet on a la proprit fondamentale :iI fi =i foi dsigne la projection deXsur sa coordonne i.

Cette construction a un sens mme si Iest quelconque. On parle de solutionau problme universel reprsent par le dessin suivant

En dautres termes on a obtenu un objet X tel queiI

XYi = XY pour tout

ensemble Y.On veut maintenant rpondre la question dcrire

iI

YXi = YX pour un

certain objet X, appel coproduit. Autrement dit on veut rsoudre le problme

universel reprsent par le dessin

oidsigne une injection de Xi dans X.Qaund on dispose dun objet plus grand (un ensemble contenant tous les Xi, ou

un espace vectoriel etc.), la rponse est donne par lunion disjointe ou la sommedirecte. Quand les unions ne sont pas disjointes ou les sommes non directes, onpeut effectuer une construction visant oublier quelles ne le sont pas.

Recherche

Pour calculer des probabilits, on a besoin de savoir ce quon peut calculer et cequon ne peut pas calculer. Ce qui est calculable peut varier en fonction des besoinsmais se doit de ressembler une algbre. CommeP() est une algbre, on peutcommencer en caractriser les sous-algbre. Il en suffit en fait de trois :

La premire proprit est le fait que llment neutre pour la multiplication (in-tersection), i.e., appartient la sous-algbre.

La seconde est que loppos pour laddition (union), i.e. le complmentaire, aussi.

La dernire est la stabilit par laddition (union).



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En effet, grce aux lois de de Morganla stabilit pour la runion et par passage aucomplmentaire entrane celle par intersection. Le passage au complmentaire assureque llment neutre pour laddition appartient aussi la sous-algbre.

Siest fini, cela suffit, mais ds quil faudra calculer la probabilit dun vnmentinfini partir des probabilits lmentaires, associes aux vnements lmentaires, onne pourra se contenter de manipuler des runions et des intersections finies. Une tribuest dfinie comme une sous-algbre avec une proprit en plus : la stabilit par runion

(ou intersection) dnombrable.

On appelle tribu sur une partieA deP() qui possde les propritssuivantes :lment neutre : A ;Stabilit par passage au complmentaire :A A A A ;-additivit : si(Ai)iIest une famille dlments deA, alors

iI

Ai A.

Un couple (, A) form dun univers et dune tribu sur cet univers est appelespace probabilisable. Les lments de

Asont appels vnementsobservables.

Dfinition 1 - 32

On prendra garde au fait queAne contient pas ncessairement les singletons!Danger

Une tribu est stable par intersection dnombrable, i.e. si(Ai)iIest une familledlments deA, alors

iI

Ai A.Proposition 1 - 3

Dmonstration. Il suffit dappliquer la-additivit la famille (Ai)iI, ce qui est

licite par stabilit par passage au complmentaire, et passer au complmentaire. Onobtient

iIAi A ,

ce qui est exactement lassertion recherche en vertu des lois de de Morgan.

SiA est une tribu sur , une probabilit sur (, A) est une applicationP dfinie surA, valeurs dans [0;1], telle que P () = 1 et, pour toute suite(An)n0 dvnements deux deux disjoints dansA, on ait :

P+n=0

An = +n=0

P (An) .

On dit que P est -additive et que(, A,P)est un espace probabilis.

Dfinition 1 - 33

Si est fini ou dnombrable et siA =P(), une probabilit P sur (, A)

sidentifie, via la formuleP ({}) =p,

une famille (p) de rels positifs, sommable de somme 1.

Remarque 1 - 10



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LensembleP() est bien entendu une tribu sur . Cette tribu est amplementsuffisante pour faire des probabilits lorsque est fini ou dnombrable. Mais mmedans ce cas on a parfois besoin de restreindre ce qui est mesurable ds quon considredes modlisations un tant soit peu volues : avec deux ou plus phnomnes modlissen mme temps, on a besoin de choisir un univers qui contient toutes les informationset rsultats des phnomnes, et plusieurs tribus permettent de rendre compte du faitque lon sait des choses sur lun ou lautre des phnomnes mais pas sur les autres.

Lorsque lunivers nest pas fini dnombrable, se posent de nombreuses ques-tions. Il rsulte en particulier des travaux de Stanislaw Ulam que si peutsenvoyer surjectivement sur R (on dit quil a la puissance du continu), alors lesseules probabilits que lon peut dfinir surP()sont celles qui sont supportsur une partie dnombrableDde . Autant dire que cela revient travailler surD, et donc surP(D), avec D dnombrable.

Apart

Soit un ensemble fini,A =P(). La probabilit uniforme sur est

la fonction caractrise sur les vnements lmentaires par P ({}) = 1

||pour toutdans . Autrement dit P (A) =

|A||| pour toute partieA de .

Soit un univers quelconque et a un lment de . La masse de Di-rac(Paul Adrien Maurice Dirac, 19021984) centre enaest dfinie para(A) = 1A(a), i.e. cette probabilit vaut 1 sur les ensembles contenant aet 0 ailleurs.

On appelle probabilit finie (ou, plus exactement, support fini) unecombinaison convexe de masses de Dirac, i.e. la donne dpreuves(ai)1in

et de rels positifs(pi)1

i

n de somme 1 vrifiant P =n

i=1piai .

Exemples 1 - 15

Soit(, A,P)un espace probabilis et Aet BdansA. On a1. P () = 0 ;2. P est additive, i.e. P (A + B) = P (A) +P (B) on prendra garde que cela

requiert queAet Bsoient incompatibles ;

3. P (A \ B) = P (A) P (A B) et, en particulier, si B A, alorsP (A \ B) = P (A) P (B).

4. P est croissante, i.e. siAB , alors P (A) P (B) ;5. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) ;6. P

A

= 1 P (A).Plus gnralement si (Ai)1in est une famille finie dvnements obser-vables, alors

7. P est additive, i.e. P (A1+ + An) = P (A1) + + P (An) on pren-dra garde que cela requiert que les vnements (Ai) soient deux deuxincompatibles ;

8. P est sous-additive, i.e.

P (A1 A2 An) P (A1) + P (A2) + +P (An) .

Proprits 1 - 10



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Dmonstration.

1. On applique la -additivit la suite dont le premier lment est et les autressont tous gaux . Ce sont bien des lments deAincompatibles deux deux.On en dduit que la srie de terme constant gal P ()est convergente, i.e. quece terme est nul.

2. On applique la-additivit la suite dont les deux premiers termes sont A et B

et dont les autres sont tous gaux . Le rsultat prcdent entrane le rsultatrecherch.3. PuisqueA \B=A B, on a bien affaire des lments deA. De plus ladditivit

applique aux vnements disjointsA Bet A \ Bpermet dobtenir P (A \ B) +P (A B) = P (A), ce qui est essentiellement lass

Les probas

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