Les épicycloïdes sphériques : Clairaut, Maupertuis, Johann...

Les épicycloïdes sphériques : Clairaut, Maupertuis,Johann Bernoulli, Hermann, Nicole...

Jean Delcourt

Université de Cergy-Pontoise& Archives Henri Poincaré

13 mai 2013

Jean Delcourt (U.C.P., A.H.P.) Les épicycloïdes sphériques 13 mai 2013 1 / 46

Les personnages

Plan

1 Les personnages

2 Les épicycloïdes sphériquesLa fenêtre de VivianiLe problème d’Offenburg

3 ChronologiePremier épisodeDeuxième épisode

4 Les mémoiresLe texte de ClairautLes autres mémoires

5 Annexe : Bernoulli


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Les personnages en 1732

Alexis-Clairauta 19 ansJohannBernoulli a 65ansMaupertuis a34 ansJacobHermann a 54ansFrançoisNicole a 49ans


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Clairaut, né le 13 mai 1713, entre à l’AcadémieRoyale des Sciences en juillet 1731, par autorisa-tion spéciale du Roi.

Recherches sur les courbes à double courbure(1731)« J’ai crû devoir appeler ces sortes de courbes,courbes à double courbure, parce qu’en lesconsidérant de la façon qu’on vient de dire ellesparticipent pour ainsi dire toujours de la courburede deux courbes. »

Il meurt le 17 mai 1765, à cinquante-deux ans.


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Né en 1667 à Bâle, disciple de Leibniz, c’est undes plus grands mathématiciens du moment. Dedouze ans le cadet de son frère et concurrent (Ja-cob, décédé en 1705) il sera également en rivalitéavec son propre fils, Daniel (qui étudiera égale-ment les épicycloïdes).Deux autres de ses fils firent des mathématiques :Nicolas (II) et Johann (II), ainsi que son neveu (Ni-colas I). Il décède en 1748, à Bâle.


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Né en 1698, il est académicien depuis 1723.Ayant séjourné à Londres en 1728, il se fait le pro-pagandiste des idées de Newton. Il est ami à lafois de Bernoulli et de Clairaut. En fin 1734, tousdeux se rendront à Bâle et seront reçus par lemaître. Ils seront les deux compères de l’expédi-tion en Laponie.La suite de sa carrière est marquée par descontroverses : avec les Cassini, sur la figure dela terre ; avec König. Il décède en 1759.


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Jacob Hermann (1678-1733)Bâlois, élève de Jacob Bernoulli, il est professeurà l’université de Padoue en 1707, à Francfort, puisparticipe à la création de l’Académie de Saint-Petersbourg de 1724 à 1731 avant de rentrer àBâle.


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François Nicole (1683-1758) est un mathémati-cien français, membre de l’académie depuis 1707.Il fut un des rapporteurs du traité de Clairaut surles « Courbes à double courbure ».


Les épicycloïdes sphériques

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Les épicycloïdes sphériques La fenêtre de Viviani

Vincenzo Viviani (1622-1703)

Vincenzo Viviani est un disciplede Galilée. Mathématicien, histo-rien des sciences, physicien.En 1692, il lance un défi : Aenigmageometricum de miro opificio testu-dinis quadrabilis hemisphaericae. Ils’agit de « quarrer » une partie de lasphère, de façon « algébrique ».


Les épicycloïdes sphériques La fenêtre de Viviani

En réalité, c’est le complémentaire de la fenêtre dans la demi-sphèrequi est quarrable et vaut le carré du diamètre.


Les épicycloïdes sphériques Le problème d’Offenburg

La relation de l’Abbé BossutLe problème de Viviani sur la quadrature de la voûte hémisphérique,en fit naître longtemps après un autre de pareille nature, proposé parun géomètre, d’ailleurs assez peu connu, nommé Ernestd’Offemburg : c’était de percer une route hémisphérique d’un nombrequelconque de fenêtres de forme ovale avec cette condition que leurscontours fussent exprimés par des quantités algébriques ; ou bien, end’autres termes, il fallait déterminer sur la surface d’une sphère descourbes algébriquement rectifiables. On voit d’abord que les courbesdemandées ne peuvent pas être formées par l’intersection d’un planavec la sphère, puisque toutes ces intersections, en quelque sensqu’on les fasse, ne sont jamais que des cercles : elles appartiennent àla classe des courbes à double courbure. Ce problème, quoiquecurieux et difficile, demeura intact pendant long-temps, et on ignoremême si l’auteur l’avait résolu.



Herman, dans un mémoire sur la rectification des épicycloïdessphériques, crut que ces courbes satisfaisaient en général à laquestion d’Offenburg, ou qu’elles étaient algébriquement rectifiables.

210

DE EPICYCLOIDIB U S

IN SUPERFICIE SPHAERICA

PESCRIPTIS.

A u ct ore

*J a c ob o H ermanno.

M. Nov. J- nginta quatuor jam effluxere anni, cx quo aenigma

1726. geomehicum de miro opificio testudinis guadrabilis

Hemisphaericae Autoie D. Pio Lisci Posillo Geometra

Florentiae exiit in publicum. Sub hoc nomine, quod

per anagramma significat Postremo Galilaei fiiscipulo,

Vimentius Vivianus Magni Ducis Hetruriae Mathema-

ticus latere voluit. Jsr enim impresso programmate

aenigma suum peritioribus Analystis examinnndum

commendavit his verbis r Cujus (atnigmatis) divinatio

a secretis artibus illustrium Analy>tarum vigentis acvi

expectatur, quod in'Geometriae pura historia versatus,

ad tam recondita videaUir invalidus.

Ipsum vero aenigma ita habebat; Infer venerabilia

olim Graeciae monumenta extaf. adhuc, perpetuo quidem

duraturum, Templum augustissimurn ichnographia cir-

culaii ALMAE GEOMETRIAE dicatum , quod te-

studine intus peifccte hemrsphaerica operitur : Sed ia

Iiac fenestrarum quatuor aequales areae (circum ac supra

basinhemisphaeraeipsiusdispositarum) taliconfiguratione

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Épicycloïdes planes

Les épicycloïdes planessont obtenues en faisantrouler un cercle sur uncercle. Si le rapport desrayons est rationnel, ellessont algébriques. Toutearche a une longueur quis’exprime rationnellementen fonction du rapport desrayons. M



Épicycloïdes sphériques

La définition est analogue à celle des épicycloïdes planes : un cerclede rayon a roule sans glisser sur un cercle fixe de rayon r , en restantdans un plan qui fait un angle constant avec le premier cercle.

A

M

O

C


Chronologie

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Chronologie Premier épisode

Un géomètre prometteur ?

1er avril 173123 avril 17311er septembre17315 décembre173130 décembre1731

Bernoulli à MaupertuisDans le tems que la goutte me

tourmentoit le plus, je reçus une lettrede Mr Clairaut où il dit, qu’il m’enverraun livre de sa façon qui venoit de sortirde dessous les presses, sur les courbesqui ne se peuvent tracer que sur lessurfaces courbes, me priant de lui endire son sentiment quand je l’aurai lu.[...] Dites moi donc ce que vous pensésde cet ouvrage et s’il répond à la hauteidée que les savants de Paris ontconçuë de son auteur, beaucoup audelà de son age.





Maupertuis à BernoulliM. Clairaut m’avoit dit Monsieur quevous le renvoyiés à moy pour sçavoir ceque vous pensés de son livre. Rien neme flatteroit plus que de penser que lesjugements que je porte fussentconformes à ceux que vous porteriésmais il me faudrait avoir bien de laprésomption pour le croire. Je n’ay pointencor lu serieusement ce livre ; il mesemble quil contient dassez boneschoses mais ce quil y a de plusmerveilleux est l’age de l’autheur ; ilsavoient aussy en Angleterre lorsque j’yetois un geometre precoce.





Bernoulli à CramerOn a lieu d’attendre de sa capacité deschoses de plus grande importance,quand il sera parvenu à un age plus muraprès ce bel echantillon qu’il vient dedonner au public dans un age si tendre.[...] Quand au reste M. Clairaut feroitbien de pousser plus loin les recherchessur les courbes à double courbure, car iln’a fait encore qu’effleurer cette matière,quoique ce soit beaucoup pour son basage, le plus difficile seroit de determinerdes courbes sur une surface courbedonnée, qui fissent la fonction dequelque maximum ou minimum.





Bernoulli à Cramerp ex. la courbe à double courbure de laplus vite descente, ou simplement cellequi soit la plus courte entre deux pointssur une surface courbe donnée, ce quej’ai proposé il y a deja [de] longuesannées, et dont j’ai donné des solutionsgenérales à Mrs de Maupertuis etKlingenstiern, [...]





Bernoulli à CramerJe serai curieux d’apprendre si MrClairaut aura resolu le probleme dedeterminer sur une surface courbedonnée une courbe à double courburedont chaque arc ait la moindre longueurpossible entre ses deux extremités [...]M. Clairaut pourroit aussi éprouver cesforces en tachant de resoudre leprobleme des epicycloides spheriquesdont parle Mr Herman dans le premiervolume des Commentaires dePetersbourg page 210. ou parépicycloide spherique il entend lacourbe à double courbure qui se decritsur la surface d’une sphére [...]





Bernoulli à MaupertuisJe ne sai si en faisant à la campagne unExtrait du premier Volume de l’Acad. dePetersbourg Vous n’avés pas remarquéde meme un autre paralogismebeaucoup plus important que Mr.Herman a commis qui gate toute saPiece et qui rend fausse la solution qu’ilpretend donner du probleme d’uncertain Offenburg ; Cette piece se trouvepage 210 où à l’imitation du problemede Viviani sur la figure quarrable dans lasurface hemispherique il entreprend d’ydeterminer des figures algebriques pourles fenetres du Dome,





Bernoulli à Maupertuis... dont les circonferences soientabsolument ou algebriquementrectifiables ; Il employe pour cela lesEpicycloides spheriques, qu’il croitcomme les Epicycloides ouhypocycloides planes (en prennant lepoint decrivant sur la circonference ducercle generateur) generalementrectifiables, mais son raisonnementrenferme une erreur grossiere dont ildevroit etre honteux ; cette erreur est àla fin de la page 215 où il dit interea verodescribet BL sectorem LBl similemsectori Bβb, ce qui est absolumentfaux[..]





Bernoulli à MaupertuisComme la veritable maniere de trouverles dimensions des epicycloidesspheriques m’a paru asses difficile j’aieté curieux d’en chercher une methode,que j’ai enfin trouvée, cherchés la aussipour voir si nous nous accordons, jemettrai la mienne par ecrit, que je Vouscommuniquerai si Vous la souhaittés, jetrouve qu’il n’y a qu’un seul cercle dansla sphère à prendre pour le generateur,qui produise une Epicycloidealgebriquement rectifiable. Mr. Clairautdevroit s’y appliquer aussi, parceque lescourbes sont du genre des courbes àdouble courbure.


Chronologie Deuxième épisode

Maupertuis et Bernoulli

Maupertuis à Bernoulli, 28 janvier 1732Je n’avois point remarqué la faute que vous avés decouvertedans la rectification des epicycloides spheriques et le mem.m’avoit paru joly ; cependant cette faute le gaste vilainement.Je ne suis pas en etat de resoudre le probl. dont vous meparlés sur cela, j’en parleray à m. Clairaut qui a en veritébeaucoup de talent pour la geometrie et qui à ce que j’esperela remettra un jour en vigueur dans l’Acad.ie. Je vous serayinfiniment obligé de m’envoyer ce que vous avés fait sur cela.




Maupertuis à Bernoulli, 10 mars 1732Je vous rends mille graces pour votre bel ecrit sur lesepicycloides et pour toutes les bontés que vous avés de meprodiguer vos decouvertes. Je peux vous asseurer quequelque soit votre paresse pour les mettre en ecrit, elle nescauroit etre aussy grande que le desir que j’ay de les voir.[...]M. Herman n’est pas heureux dans les Mem. dePetersbourg ; je ne m’etonne pas que le pied glisse dans depareilles matieres, mais je m’etonne qu’on soit si prompt àchanter victoire et à croire avoir fait plus que vous. Il estplaisant qu’il soit l’Offenburg du long silence du quel il paroistetonné. Tout cela me fait voir une chose que je scavois deja ;que l’amour propre et l’amour de la vaine gloire font faire biendes Beveues.




Maupertuis à Bernoulli- suiteJe crois bien que le probl. dont vous me parlés, de tracer surla surface de la sphere une courbe algebrique etalgebriquement rectifiable, independament des epicycloidesest un terrible probl. M. Clairaut à qui je l’avois proposé devotre part n’y a pas mordu. Vous entendés sans doute paralgebriques, les courbes dont la projection sur un plan estalgebrique. Quant à ce que vous me dittes d’essayer detrouver pareilles courbes sur la surface du cylindre, je prenscela pour un compliment et connois trop bien mes forces pourl’entreprendre.




Bernoulli à Maupertuis, 13 avril 1732J’ai bien de la joye que mon ecrit sur les epicycloides ait

eu le bonheur de vous plaire, je tacherai de vaincre maparesse pour mettre en ecrit la seconde partie de cettematiere, qui est de trouver a priori et analytiquement sur lasurface spherique une courbe algebrique qui soitalgebriquement rectifiable, sans supposer l’epicycloide. [...]Vos reflexions faites à l’occasion des paralogismes de Mr.Herman sont excellentes ; ce bon homme toujours rempli deson imagination glorieuse d’avoir fait des merveilles par sasolution pretendu de son probleme proposé




Bernoulli à Maupertuis (suite)...sous le nom d’Offenbourg, sera bien honteux quand il verraun jour son vilain pas de Clerc, commis dans cette affaire, ettoutes ses autres erreurs : car je n’ai pas encore trouvé àpropos de l’en avertir, pour le laisser jouir plus longtems de ladouce contemplation de ses lauriers chimeriques. Vousverrés par l’analyse que je Vous enverrai, que le probleme [...]n’est pas aussi redoutable que Vous pensés ; De sorte queMr. Clairaut, qui a fait son etude favorite des courbes àdoubles courbures, devroit mordre à ce probleme plus quepersonne autre.




Bernoulli à Maupertuis, 2 maije Vous y ai promis ma solution directe du Probleme desCourbes algebriques et rectifiables à tracer sur la surfacesphérique ; Pour m’acquitter de cette promesse, voici lecahier c’y joint qui contient ma methode : peutetre y trouverésvous de quoi repaitre Votre curiosité par la singularité del’analyse dont je me suis servi.




Maupertuis à Bernoulli, 12 mai 1732Je me suis monsieur enhardy à chercher une courbealgebrique et rectifiable sur la surface de la sphere et voicy ceque j’ay fait sur cela ; faittes moy la grace de me dire si j’ayreussy ;[...] Voicy un papier que m. Clairaut à qui j’avois parléde cela vient de m’envoyer. Il me prie de vous presenter sesrespects.

Il s’agit de l’article Manière de trouver des courbes algébriques etrectifiables sur la surface d’un cône.




Maupertuis à Bernoulli, 14 mai 1732Je ne scay pas ce que vous aurés pensé de moy, lorsquevous aurés receu ma lettre de Lundy. 4 heures aprés l’avoirenvoyée à la poste je receus celle que vous me faisiésl’honeur de m’ecrire du 8 où je trouvay votre solution du probl.des courbes rectifiables ; [...] je vous en envoye une solutionqui paroist absolument copiée sur la vostre le mesme jourque je recois la vostre, et dans laquelle jusqu’aux memessignes sont nommées par les mesmes lettres. Il me semblequ’il y auroit là de quoy vous indigner, et me faire regardercome le plus impudent voleur, si je ne vous disois que lesamedi 10 de ce mois, etant à l’Acad.ie je donnay ma solutionpar ecrit, precisement telle que je vous l’ay envoyée à m.rsNicole et Clairaut.




Bernoulli à Maupertuis, 25 mai 1732Votre derniere lettre du 14 de ce mois me fait voir que Vousétes dans une etrange inquietude à cause d’une fatalité qui avoulu que ma solution du Probleme des Courbes rectifiablessur la surface spherique etc. Vous fut livrée le meme jour queVotre precedente lettre contenant Votre solution du memeProbleme avoit eté envoyée à la poste ; Et comme les deuxsolutions sont dans le fond tirées d’une meme methode, Vouscraignés vainement que cette identité ne me cause lesoupçon comme si la Votre eut eté copiée sur la mienne. Non,Monsieur je n’ai jamais eu cette pensée, rassurés Vous doncet quittés Votre inquietude. (critiques sur le texte de Clairaut)



Clairaut s’intéresse aux épicycloïdes

24 septembre 1732, Maupertuis à BernoulliCe que je vous demandois la permission de lire à l’Academyec’etoit l’un et l’autre de vos ecrits ; le 1.er sur les epicycloidesspher. le 2.nd sur l’investigation des courbes rectifiables etalgebriques etc. Il me semble qu’adoucissant les endroits oùvous relevés m. Herman il n’auroit pas lieu de le trouvermauvais ; et cela me paroitroit d’autant plus à propos quem.rs Nicole et Clairaut ont entrepris aussy cette matiere, ledernier d’une maniere fort elegante, et qui je crois se raporteassez à la vostre, il doit vous la comuniquer ; pour m. Nicoleje ne scay par quelle fatalité il s’est allé jetter dans desequations d’une page ; ils ont dessein l’un et l’autre de lire cequ’ils ont fait sur cela à l’Academye : pour moy je ne feray devotre ecrit que l’usage que vous m’ordonnerés.



Clairaut écrit à Bernoulli

Pendant l’été, Clairaut à cherché à se faire inviter chez Bernoulli.Celui-ci a tout fait pour l’en dissuader... La goutte. Le premier octobre,Clairaut écrit donc pour présenter sa solution au problème posé àCramer, celui de la ligne la plus courte, ainsi que sa solution duproblème des épicycloïdes.

1er octobre 1732, Clairaut à BernoulliL’autre Probleme est une maniere d’avoir l’element desEpicicloïdes spheriques de Mr Herman. Comme dans monpetit traité des Courbes à doubles courbur j’avois resolu unprobleme qui y a beaucoup de rapport, je crus quand j’enentend[ois] parler à mr de Maupertuis que je pourrois letrouver [par] mes equations generales, mais quand je l’eus unpeu examiné je vis qu’il s’y falloit prendre d’une autre façon,la voici que j’ai l’honneur de vous montrer et que je voussupplie de vouloir bien examiner.



2 Novembre 1732, Bernoulli à Clairaut

Votre solution Monsieur du second probleme sur lesEpicycloides spheriques est aussi tres elegante, j’en suischarmé et je ne doute nullement que Vous ne la trouviésconforme à la mienne, tirée du mem fondement, excepté quela Votre est plus analytique et la mienne plus geometrique. Jevois avec etonnement, que Vous étes en état de resoudre lesproblemes qui donneroient de la besoigne aux plus habilesAnalystes et où les plus versés et les plus habitués dans lescalculs pourroient se tromper, comme il est arrivé en effet àMr. Herman, qui a commis dans sa solution de ce memeprobleme un grand paralogisme. Ce seroit donc bien sousVotre manuduction que je devrois me perfectioner dans lasublime Analyse ; si j’etois moins agé je Vous prieroisvolontiers de me donner des leçons au lieu que Vous m’endemandés, soyés persuadé que c’est sans flatterie que jeparle de la sorte. Permettés que je Vous indique [...]


Les mémoires

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Les mémoires Le texte de Clairaut

Le texte de Clairaut

La variable que choisit Clairaut(notée x , est la grandeur BG, cequi est un peu surprenant. Lesgrandeurs de la figure sont ex-primées en fonction de x , desrayons r (cercle fixe), a (cerclemobile) et de n, cosinus del’angle entre les plans des deuxcercles. La condition de roule-ment s’exprime en disant quel’arc BN est égal à l’arc AB.



Le texte de ClairautPar le moyen de triangles semblables,Clairaut calcule la longueur de l’arc del’épicycloïde sphérique. Il obtient

dx

√(nr − a

a

)2

+ 1− nn +

( r−anr

)2 xx2ax − xx

puis examine des cas particuliers. Lepremier est celui, évident, où n = ±1 :la courbe est alors une épicycloïde(ou hypocycloïde) ordinaire, puisqueles deux cercles sont dans le mêmeplan.




Le second cas particulier est ce-lui où r = a, les deux cerclesont même rayon. Clairaut an-nonce que dans ce cas, la pro-jection de l’épicycloïde sphé-rique est algébriquement recti-fiable, puisqu’elle est semblableà une épicycloïde plane. Il pré-cise que c’est un cas particu-lier d’un résultat (p. 106) de sesRecherches sur les courbes àdouble courbure.




Enfin, dernier cas particulier,

Si l’on fait r = an dans la valeurgénérale de l’élément desEpicycloides, on la changera endxn

√1− nn dont l’intégrale est

xn

√1− nn. D’où l’on voit

qu’alors l’Epicycloïde estalgébriquement rectifiable, & side plus n est un nombrerationnel, l’Epicycloïde sera enmême temps algébrique &rectifiable.



Le problème d’Offenburg est résolu ; il ne reste plus qu’à observer quer = an signifie que le cercle roulant est un grand cercle de la sphèrecontenant l’épicycloïde sphérique. Comme le remarque Bernoulli, c’estexactement la situation de l’écliptique dans la sphère céleste.Clairaut poursuit son mémoire en quarrant une arche d’épicycloïdesphérique... Ce n’est pas algébrique.On ne sait pas quand Clairaut a lu son mémoire à l’Académie, sansdoute en février-mars 1733. Le mémoire sur le cône avait été lu le 11juin 1732.


Les mémoires Les autres mémoires

Les autres mémoires : Bernoulli

Ce mémoire de Bernoulli résout le problème d’Offenburg, tout endonnant plus de détails, et en égratignant (gentiment) Herman. Sescalculs sont différents de ceux de Clairaut.Il « résout » le problème de l’unicité de la solution, en recherchant unecourbe sur la sphère dont l’élément d’arc soit proportionnel à celui desa projection : il retrouve les épicycloïdes sphériques solutions.En septembre, Maupertuis demande à Bernoulli la permission de lireson mémoire à l’académie. Bernoulli réponds favorablement le 9octobre 1732. En 1734, après la mort d’Hermann, Maupertuisdemande à Bernoulli d’insérer ses mémoires dans les mémoires de1732.



PV du 17 mai 1732, Maupertuis



Maupertuis résout donc le problème réciproque, comme Bernoulli, enrésolvant l’équation différentielle de façon plus efficace.Le mercredi 3 décembre 1732, Maupertuis a lu la suite de sonmémoire ; consacrée aux courbes sur la sphère dont la rectificationdépend de la rectification du cercle ; il trouve en particulier lesloxodromiques.



Les autres mémoires : Nicole

MANIERE de déterminer lanature des roulettes forméessur la superficie convexed’une sphère, & de dé-terminer celles qui sontgéométriques, & celles quisont rectifiables.Il est lu le 20 décembre 1732,continué le 23 décembre. Iln’est pas encensé par le coupleMaupertuis-Bernoulli.


Annexe : Bernoulli

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Annexe : Bernoulli

Bernoulli....


Annexe : Bernoulli

Bernoulli...


Annexe : Bernoulli


Les épicycloïdes sphériques : Clairaut, Maupertuis, Johann...

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