Les leçons de mathématiques à l’oral du CAPES … · Liste des leçons Avertissement...

CAPE

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Les leons demathmatiques loral

du CAPES (session 2018)

Clment BOULONNEhttp://cbmaths.fr

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LES LEONS DEMATHMATIQUES LORAL

DU CAPES (SESSION 2018)

Recueil compil par Clment BOULONNE

Session 2018Ce document est sous licence Creative Commons 3.0 France:

paternit pas dutilisation commerciale partage des conditions initiales lidentique

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.fr

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Liste des leons

Avertissement

Lensemble de lpreuve sinscrit dans le cadre des programmes de mathmatiques du collge et des diffrentes sriesdu lyce gnral et technologique. La capacit du candidat illustrer le sujet par des exemples sera valorise.

1 Probabilits 9

2 Variables alatoires discrtes 17

3 Loi binomiale 25

4 Variables alatoires relles densit 35

5 Reprsentation et interprtation de donnes. Outils statistiques 47

6 Intervalles de fluctuation, intervalles de confiance. Applications 59

7 Arithmtique des nombres entiers 69

8 Forme trigonomtrique dun nombre complexe. Applications 89

9 Trigonomtrie. Applications 99

10 Gomtrie vectorielle dans le plan et dans lespace 113

11 Reprage dans le plan, dans lespace, sur une sphre 131

12 Droites dans le plan. Droites et plans dans lespace 147

13 Transformations du plan. Frises et pavages 163

14 Relations mtriques et angulaires dans le triangle 177

15 Solides de lespace et volumes 191

16 Primtres, aires, volumes 203

17 Produit scalaire 221

18 Proportionnalit et gomtrie 231

19 Problmes de constructions gomtriques 247

20 Problmes dalignement, de paralllisme ou dintersection 259

21 Proportionnalit et linarit. Applications 271

22 Systmes dquations et systmes dinquations. Exemples de rsolution 279

23 Problmes conduisant une modlisation par des quations ou des inquations 287

24 Rsolution de problmes laide de graphes orients ou non orients 299

25 Problmes conduisant une modlisation par des matrices 309

26 Exemples dalgorithmes 321

6 LISTE DES LEONS

27 Diffrents types de raisonnement en mathmatiques 331

28 Applications des mathmatiques dautres disciplines 339

29 Fonctions polynmes du second degr. quations et inquations du second degr. Applications 347

30 Suites numriques. Limites 359

31 Problmes conduisant une modlisation par des suites 383

32 Limite dune fonction relle de variable relle 395

33 Thorme des valeurs intermdiaires. Applications 405

34 Nombre driv. Fonction drive. Applications 411

35 Fonctions exponentielle et logarithme. Applications 425

36 Intgrales, primitives 449

37 Exemples de calculs dintgrales (mthodes exactes ou approches) 461

38 Problmes conduisant une modlisation par des fonctions 471

Prface

Chres lectrices, chers lecteurs,

Vous vous apprtez lire une nouvelle version du polycopi Les leons de mathmatiques loral du CAPES avec toutes les leons requises pour la session 2018.

Tout dabord, voici ce que le jury attend de vous pour la premire preuve dadmission (option maths) du CAPESde mathmatiques (session 2018) :

Le candidat choisit un sujet, parmi deux quil tire au sort. La liste des sujets dpend de loption choisie par lecandidat, mathmatiques ou informatique.

Lpreuve commence par lexpos du plan (vingt minutes), suivi du dveloppement par le candidat dune partiede ce plan choisie par le jury puis dun entretien (change sur les points prcdents).

Je vous propose dans ce polycopi, pour chaque leon travailler, une proposition de plan et le contenu du plan.Bien entendu, lors des vingt minutes o il faudra exposer le plan, il nest pas question de marquer les dmonstrationsou dveloppement dexemples (ceci tant rserv dans la deuxime partie Dveloppement dune partie du plan ).

Les dveloppements faire au cours de la deuxime partie seront prciss par le symbole .

Les leons de ce polycopi sont tantt des leons indites, tantt des leons qui proviennent de la version 2013du polycopi. La diffrence entre 2013 et 2018, cest que le niveau maximum requis est le niveau Lyce alors que,en 2013, on pouvait aller jusquen BTS. Bien entendu, si vous voulez montrer que vous avez de fortes connaissancesdans la matire, vous pouvez faire quelques complments niveau BTS (furtivement en fin de prsentation de plan).Attention, bien entendu, bien matriser les comptences requises pour dvelopper les complments.

Pour terminer, je souhaitais remercier les (futurs) lecteurs (lectrices) qui me font des remarques sur mon polyco-pi (par email) et qui me proposent des corrections. Le polycopi volue grce vous !

Je vous souhaite bonne lecture.

Clment BOULONNE : http://cbmaths.fr/

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8 LISTE DES LEONS

Leon n 1

Exprience alatoire, probabilit,probabilit conditionnelle

NIVEAU LycePRREQUIS thorie des ensembles

RFRENCES [1], [2]

1.1 Exprience alatoire, vnements

1.1.1 Exprience alatoire

Dfinition 1.1 (Exprience alatoire). On dit quon fait une exprience de type alatoire si on ne peut pas prvoirle rsultat final de cette exprience.

Exemples 1.2 1. On lance une pice et on observe le ct expos (pile ou face). Il y a deux issues possibles surcette exprience.

2. On dispose dune urne avec 100 boules, on tire une dentre elles et on note le numro. Cette exprience ala-toire a 100 issues possibles.

Dfinition 1.3 (Univers). Lensemble de toutes les issues dune exprience alatoire est appel univers. On notegnralement cet ensemble.

Remarque 1.4 Dans cette leon, on se limitera au cas o est un ensemble fini.

Exemple 1.5 On reprend les expriences de lexemple 1.2

1. Si on lance une pice de monnaie, on obtient= {P,F }.2. Si on tire une boule numrote dans une urne o il en contient 100 alors= {1,2, . . . ,100}.

1.1.2 Evnement associ une exprience alatoire

Dans ce qui suit, nous allons dcrire ce quest un vnement :

Dfinition 1.6 (Vocabulaire des vnements). Un vnement lmentaire (quon note ) est ce qui consti-tue lune des issue de la situation tudie (un lment de).

Un vnement est un ensemble de plusieurs issues. Lvnement A et B (quon note AB) est lvnement constitu des issues communes aux deux vne-

ments. Lvnement A ou B (quon note A B) est lvnement constitu de toutes les issues des deux vne-

ments. Deux vnements incompatibles A et B (quon note A B = ;) sont deux vnements qui nont pas dl-

10 LEON N1 PROBABILITS

ments en commun. Lvnement est dit contraire de A (quon note A) si A et A sont incompatibles et A A forme la totalit des

issues.

Exemples 1.7 On lance deux ds quilibrs. On calcule la somme des numros qui apparaissent sur la face du dessusdes deux ds.

1. Obtenir un 7 est un vnement lmentaire : = {7}.2. Obtenir un nombre pair est un vnement :

A = {2,4,6,8,10,12} .

3. Obtenir un multiple de trois est un vnement :

B = {3,6,9,12} .

4. AB = {6,12}.5. AB = {2,3,4,6,8,9,10,12}.6. Si C = {10,11,12} et D = {2,3,4,5,6} alors C D =; donc C et D sont incompatibles.7. Ici, A reprsente lvnement obtenir une somme impaire . Ainsi, A reprsnte lvnement obtenir une

somme paire et en plus : A A =;. A A =.

1.2 Probabilit

1.2.1 Loi de probabilits sur un univers

Dfinition 1.8 Soit lunivers dune exprience alatoire. Dfinir une loi de probabilit P sur , cest associer, chaque vnement lmentaire i , des nombres pi [0 ,1] tels que :

ipi = 1.

On appelle les nombres pi , les probabilits (quon peut noter pi = P (i )).

PROPOSITION 1.9 (PRINCIPE FONDAMENTAL). La probabilit P (E) dun vnement E est la somme des probabilitsdes vnements lmentaires qui le composent.

Corollaire 1.10 P () = 1.

Remarque 1.11 Dans le corollaire 1.10, on sous-entend quil y a n (n N) vnements lmentaires dans et on faitlhypothse dquiprobabilit (voir dfinition 1.15).

Dmonstration du corollaire 1.10.

P () = P(

ii

)=

iP (i ) =

i

1

n= 1.

Exercice 1.12 On se donne les probabilits dapparition des faces dun d truqu :

Issue 1 2 3 4 5 6Probabilits P () 0,05 0,05 0,1 0,1 0,2 inconnue

1. Calculer la probabilit de lvnement A = obtenir un rsultat infrieur ou gal 4 .2. Calculer la probabilit dobtenir un 6.

1.2 Probabilit 11

Solutions de lexercice 1.12. 1. On veut calculer la probabilit de lvnement A = obtenir un rsultat inf-rieur ou gal 4 . Daprs le principe :

P (A) = P (1)+P (2)+P (3)+P (4) = 0,05+0,05+0,1+0,1 = 0,3.2. On veut calculer la probabilit dobtenir un 6. Le corollaire 1.10 nous donne :

P (1)+P (2)+P (3)+P (4)+P (5)+P (6) = 1donc P (6) = 0,5.

Dfinition 1.13 [Autre dfinition] Soit un unique et A = P () lensemble des parties de (cest--dire len-semble de tous les vnements associ cette exprience alatoire). On appelle probabilit P toute application deP () dans R+ qui vrifie :

1. P () = 12. Soit (Ai )iI avec I N une famille dvnements de P () deux deux disjoints (si i 6= j alors Ai A j =;)

alors :

P

(iI

Ai

)=

iIP (Ai ).

1.2.2 Proprits de calcul des probabilits

PROPRITS 1.14 Soient A,B . Alors :1. P (;) = 0.2. P (A) = 1P (A).3. P (A \ B) = P (A)P (AB).4. A B P (A) P (B).5. P (AB) = P (A)+P (B)P (AB).

Dmonstration.

1. On applique 2 de la dfinition 1.13 A et ; (ils sont disjoints car A;=;) do :P (A;) = P (A)+P (;) P (A) = P (A)+P (;)

et donc on en dduit que P (;) =;.2. Comme A A =; et A A =;, on a :

P (A A) = P (A)+P (A) P () = P (A)+P (A.Or P () = P (A A) = 1, do P (A) = 1P (A).

3. On a : A = (A \ B) (AB), de plus (A \ B) et AB sont disjoints donc on peut appliquer la dfinition :P (A) = P (A \ B)+P (AB).

4. A B implique que B = (B A) A. Cette runion densembles est en plus disjointe donc :P (B) = P (A)+P (B A).

Comme P (B A) 0, P (A) P (B).5. On a :

AB = (A \ B) (AB) (B \ A).Les ensembles prsents dans la runion sont deux deux disjoints donc :

P (AB) = P (A \ B)+P (AB)+P (B \ B)= P (A)P (AB)+P (AB)+P (B)P (AB)= P (A)+P (B)P (AB).


1.2.3 quiprobabilit

Dfinition 1.15 (quiprobabilit). Si tous les lments de (lunivers dune exprience alatoire) ont la mmeproprit dapparition alors est dit quiprobable. Si= {a1, . . . , an} alors :

P ({ai }) = 1n

, pour tout 1 i n.

PROPRIT 1.16 Si est quiprobable, la probabilit dun vnement A contenant nA lments est :

P (A) = 1n+ 1

n+ + 1

n nA fois

= nAn

= card(A)card()

.

Exercice 1.17 On lance un d (non truqu), ainsi= {1,2,3,4,5,6}. On est dans le cas dune quiprobabilit.1. Calculer la probabilit dobtenir un 5.

2. Calculer la probabilit dobtenir un nombre pair.

Solutions de lexercice 1.17. 1. La probabilit davoir un 5 est P (5) = 16 ({5} tant un vnement lmentaire).2. Comme lvnement obtenir un nombre pair est lensemble T = {2,4,6}. On a : card(T ) = 3, do :

P (T ) = 36= 1

2.

1.3 Probabilit conditionnelle

1.3.1 Un exemple pour dbuter

Exemple 1.18 On considre une population de 500 individus parmi lesquels il y a 180 femmes et 90 des 500 individusont lallle du daltonisme. On choisit un individu au hasard dans cette population (cest une exprience alatoire).On note :

F = lindividu choisi est une femme D = lindividu choisi possde lallle du daltonisme

Lunivers est lensemble des individus, il est quiprobable. Chaque individu a la mme probabilit dtre choisi,cette probabilit est gale 1500 . Donc :

P (D) = card(D)card()

= 90500

= 0,18.

Maintenant, on se restreint la sous-population des femmes. On sait que 9 femmes possdent lallle du daltonisme.Lunivers est lensemble des femmes F . Il est quiprobable. Chaque femme a une chance sur 180 dtre choisie.

On cherche la probabilit quune femme choisi au hasard possde lallle du daltonisme :

card(D F )card()

= 9180

= 0,05.

On note cette probabilit :

PF (D) = card(D F )card(F )

= P (D F )P (F )

.

1.3.2 Probabilit conditionnelle

Dfinition 1.19 Soit F un vnement de probabilit strictement positive (cest--dire F et P (F ) > 0). On appelle

1.3 Probabilit conditionnelle 13

probabilit conditionnelle F , lapplication PF : P () [0 ,1] telle que :

PF : P () [0 ,1]A 7 PF (A) = P (AF )

P (F ).

PROPOSITION 1.20 Lapplication PF est une probabilit.

Dmonstration de la proposition 1.20. On vrifie que PF prend ses valeurs dans [0,1]. Si AF F alors P (AF ) P (F ) et ainsi :

P (AF )P (F )

= PF (A) 1

et PF (A) 0 comme quotient de deux probabilits. On vrifie le point 1 de la dfinition 1.13 :

PF () = P (F )P (F )

= P (F )P (F )

= 1.

On vrifie ensuite le point 2 de la dfinition 1.13. Soit (Ai )iI une famille dvnements dans deux deux disjoints.

PF

(iI

Ai

)= P ((

iI Ai )F )P (F )

= P (

iI (Ai F ))P (F )

.

Mais Ai F Ai donc tous les (Ai F ) sont deux deux disjoints et :

PF

(iI

Ai

)=

iI P (Ai F )

P (F )=

iI

P (Ai F )P (F )

= iI

PF (Ai ).

PROPRIT 1.21 (PROBABILITS COMPOSES). Soit un univers, F et A deux vnements tel que P (F ) > 0. Alors,

P (AF ) = PF (A)P (F ) = P A(F )P (A).

1.3.3 Formule des probabilits totales et de Bayes

PROPRIT 1.22 (FORMULE DES PROBABILITS TOTALES). Soit {E1,E2, . . . ,En} une partition de dvnements nonvides. Soit A . Alors :

P (A) =n

i=1PEi (A)P (Ei ).

Exemple 1.23 On considre deux urnes U1 et U2. Lurne U1 contient 6 boules rouges et 4 boules vertes et lurne U2contient 7 boules vertes et 3 boules rouges. On lance un d. Sil indique le chiffre 1, on choisit lurne U1 sinon onchoisit lurne U2. On effectue ensuite deux tirages avec remise. On cherche la probabilit davoir tir deux rouges entout.

On note :

R = {rouge au 1er tirage} , R = {rouge au 2e tirage} ,H1 = {choix de lurne U1} , H2 = H 1 = {choix de lurne U2} .

On a ainsi :

PH1 (R) =6

10= 3

5, PH1 (R R ) =

(3

5

)2PH2 (R) =

3

10, PH2 (R R ) =

(3

10

)2.


La forme de conditionnement donne :

P (R) = PH1 (R)P (H1)+PH2 (R)P (H2)= 1

6 3

5+ 5

6 3

10= 1

10+ 1

4= 4+10

40= 7

20

et

P (R R ) = PH1 (R R )P (H1)+PH2 (R R )P (H2)

= 16

(3

5

)2+ 5

6

(3

10

)2= 27

200.

PROPRIT 1.24 (FORMULE DE BAYES). Soit {E1,E2, . . . ,En} une partition dvnements non vides de. Soit A .Alors :

P A(Ei ) =PEi (A)P (Ei )n

i=1 PEi (A)P (Ei ).

Exemple 1.25 Un test sanguin a une probabilit de 0,95 de dtecter un certain virus lorsque celui-ci est effecti-vement prsent. Il donne nanmoins un faux rsultat positif pour 1% des personnes non infectes. On cherche laprobabilit que la personne ait le virus sachant quelle est positif (et on sait que 0,5% de la population est porteusedu virus).

On note :

V = {la personne teste a le virus} ,T = {la personne teste a un test positif} .

On cherche PT (V ). Or, on sait que :

P (V ) = 0,005, PV (T ) = 0,95, PV (T ) = 0,01.

On en dduit par la formule de Bayes,

PT (V ) = P (T V )P (T )

= PV (T )P (V )PV (T )P (V )+PV (T )P (V )

= 0,950,0050,950,005+0,010,995 0,323.

1.3.4 Indpendance

Dfinition 1.26 (Indpendance de deux vnements). Deux vnements E et F sont indpendants si :

P (E F ) = P (E)P (F ).

Remarque 1.27 Daprs la proprit des probabilits composes, P (E) = PF (E) (si P (F ) > 0). Ce rsultat correspond lide intuitive que si E et F sont indpendants alors la ralisation de F napporte pas dinformation sur E .

Exemple 1.28 On jette deux fois le mme d. Les vnements

A = {obtention dun chiffre pair au premier lancer} ,B = {obtention du 1 au deuxime lancer} ,

sont indpendants. En effet, en prenant = {1,2,3,4,5,6}2 et si on fait lhypothse dquiprobabilit dans (P quiprobable), on

vrifie que :

P (A) = 3636

= 12

, P (B) = 6136

= 16

.

P (AB) = 3136

= 112

, P (A)P (B) = 12 1

6= 1

12.

1.3 Probabilit conditionnelle 15

1.3.5 Un exercice pour finir

Exercice 1.29 Dans une urne sont placs 100 jetons rouges, dont 50 portent le numro 0 et 50 portent le numro 1.On ajoute dans cette urne 30 jetons verts numrots 0.

Combien de jetons verts numrots 1 faut-il rajouter dans lurne pour que les vnements A : le jeton est rouge et B le jeton est numrot 0 soient indpendants lors dun tirage au hasard dun jeton de cette urne ?

Solutions de lexercice 1.29. Soit x le nombre de jetons verts numrots 1 quil faut rajouter dans lurne. On peutdresser un tableau double entre pour obtenir le nombre de jetons de chaque catgorie.

Jetons no 0 no 1Rouges 50 50Verts 30 x

On veut trouver la valeur de x telle que les vnements A : le jeton est rouge et B le jeton est numrot 0 soientindpendants lors dun tirage au hasard dun jeton de cette urne. On a ainsi :

P (AB) = P (A)P (B) 50130+x =

100

130+x 50+x

130+x 50(130+x)2 = (130+x)(100(50+x)) ()

130+x 6= 0 car x 0 donc :

() 50(130+x) = 5000+100x 6500+50x = 5000+100x 50x = 1500 x = 150050

= 30.

Il faut donc rajouter 30 jetons verts numrots 1 pour que les les vnements A : le jeton est rouge et B le jetonest numrot 0 soient indpendants lors dun tirage au hasard dun jeton de cette urne.

Rfrences pour la leon no 1

[1] G. COSTANTINI. Probabilit (discrtes). Cours de Premire S, http://bacamaths.net.

[2] P. RIBEREAU. Cours 5 Probabilits : Notion, probas conditionnelles et indpendance.

http://bacamaths.net

Leon n 2

Variables alatoires discrtes

NIVEAU Terminale SPRREQUIS probabilits

RFRENCES [3], [4], [5]

2.1 Loi de probabilits. Fonction de rpartition

Dans cette leon, les variables alatoires considres seront discrtes (cest--dire lensemble X () des valeursprises par X est fini ou dnombrable).

Soit (,F ,P ) un espace probabilis modlisant une certaine exprience alatoire. On se place dans le cas o est discret et dans ce cas on supposera que la tribu F des vnements est gale lensemble P () de tous lessous-ensembles de.

Dfinition 2.1 (Variable alatoire discrte). On appelle variable alatoire discrte dfinie sur toute applicationX :R telle que :

1. Lensemble X () = {xi , i D} (avec D = {1,2, . . . , N } si X () est fini, et D =N si X () est dnombrable) desvaleurs prises par X est fini ou dnombrable.

2. Pour tout xi X (), on a :[X = xi ] := { , X () = xi } F

(cest--dire lensemble [X = xi ] est un vnement). On dit que cest lvnement X prend la valeur xi .

Exemple 2.2 On lance trois fois une pice non truqu et on compte le nombre de fois o on obtient Face . Ondfinit ainsi une variable alatoire X : R avec :

= {PPP,PPF,PF P,F PP,PF F,F PF,F F P,F F F }

etX (PPP ) = 0, X (PPF ) = 1, X (PF P ) = 1, X (F PP ) = 1X (F F P ) = 2, X (F PF ) = 2, X (PF F ) = 2, X (F F F ) = 3.

Dfinition 2.3 (Loi de probabilit). Soit P une probabilit sur un univers . Soit X une variable alatoire dfiniesur telle que X () soit fini de cardinal n. Lorsqu chaque valeur xi (1 i n) de X on associe les probabilits pide lvnement X = xi , on dit que lon dfinit une loi de probabilit PX de la variable alatoire X .

Exemple 2.4 Dans lexemple prcdent, on a quiprobabilit de (la probabilit dobtenir un des vnements l-mentaires tant de 18 ). La probabilit dobtenir 2 fois le ct face de la pice est de :

PX (2) = P (X = 2) = 38

.

18 LEON N2 VARIABLES ALATOIRES DISCRTES

Dfinition 2.5 (Fonction de rpartition). La fonction de rpartition de la variable alatoire X est la fonction F telleque :

F : R [0 ,1]x 7 F (x) = P (X x) .

PROPRIT 2.6 La fonction de rpartition est toujours une fonction croissante et borne par 0 et 1.

Exemple 2.7 Avec lexemple prcdent, on a : Pour x ] ,0[, on a :

F (x) = 0 Pour x ]0 ,1], on a :

F (x) = 18

Pour x ]1 ,2], on a :F (x) = 1

8+ 3

8= 1

2

Pour x ]2 ,3], on a :F (x) = 1

8+ 3

8+ 3

8= 7

8

Pour x ]3 ,4], on a :F (x) = 1

8+ 3

8+ 3

8+ 1

8= 1.

Voici la reprsentation graphique :

0, 5

0, 75

y

3 2 1 1 2 3

x[

[

[

[

2.2 Esprance mathmatique

Dfinition 2.8 (Esprance mathmatique). Soient lunivers correspondant une exprience alatoire, P uneprobabilit sur et X une variable alatoire sur telle que X () soit fini a. On note {x1, . . . , xn} lensemble X ()(cest--dire lensemble des valeurs prises par X . Lesprance mathmatique de la variable alatoire X est le nombr,not E(X ), dfini par :

E(X ) =n

i=1pi xi = p1x1 +p2x2 + +pn xn

o pi = P (X = xi ).a. Si X () est infini dnombrable, lesprance existe encore sous rserve de la convergence (absolue) de la srie de terme gnral xn pn .

Remarque 2.9 Lesprance est la moyenne des valeurs xi pondres par les probabilits pi .

Exemple 2.10 On reprend lexemple de la pice de monnaie. On a :

E(X ) = 180+ 3

81+ 3

82+ 1

83 = 3

2.

2.3 Variance et cart-type 19

Remarque 2.11 On pourrait aussi calculer lesprance E(X ) en revenant aux vnements lmentaires de luniversau lieu dutiliser les valeurs xi de la variable alatoire X :

E(X ) =

P ()X ().

Exemple 2.12 (Suite la remarque 2.11). Sur lexemple prcdent, comme P () = 18 , cela donnerait :

E(X ) = 18

X ()

= 18

[X (PPP )+X (PPF )+X (PF P )+X (F PP )

+X (PF F )+X (F PF )+X (F F P )+X (F F F )]

= 18

(0+1+1+2+1+2+2+3) = 32

.

THORME 2.13 (LINARIT DE LESPRANCE). Soient X et Y deux variables alatoires dfinies sur le mme univers de cardinal fini. Soit P une probabilit sur. On a :

E(X +Y ) = E(X )+E(Y ).

En particulier, si b est un rel :E(X +b) = E(X )+b

et pour tout rel k,E(k X ) = kE(X ).

Dmonstration du thorme 2.13. On a :

E(X +Y ) =

(X +Y )()P ()

=

X ()P ()+

Y ()P () = E(X )+E(Y ).

En prenant Y constante gale b, on obtient :

E(X +b) = E(X )+E(b) = E(X )+b.

De plus,

E(k X ) =n

i=1kpi xi = k

ni=1

pi xi = kE(X ).

2.3 Variance et cart-type

Dfinition 2.14 (Variance et cart-type). Soient lunivers correspondant une exprience alatoire, P une pro-babilit sur et X une variable alatoire sur telle que X () soit fini. On note {x1, . . . , xn} lensemble X () (cest--dire lensemble des valeurs prises par X ).

La variance de la variable alatoire X est le nombre, note Var(X ), dfini par :

Var(X ) = E((X E(X ))2) =n

i=1pi (xi E(X ))2

= p1(x1 E(X ))2 + +pn(xn E(X ))2.


Lcart-type de la variable alatoire X est le nombre, not (X ) dfini par :

(X ) =

Var(X ).

Remarques 2.15 1. La variance est la moyenne des carrs des carts la moyenne.

2. La variance est une quantit positive, donc lcart-type est bien dfini.

Exemple 2.16 Sur le problme du comptage du ct face, on calcule la variance de X :

Var(X ) = 18

(0 3

8

)2+ 3

8

(1 3

2

)2+ 3

8

(2 3

2

)2+ 1

8

(3 3

2

)2= 3

4.

Do :

(X ) =

Var(X ) =

3

4=

p3

2.

Exemple 2.17 Montrer que lesprance E(X ) minimise la fonction f dfinie par R par :

f (x) =n

i=1pi (xi x)2

mais pas la fonction g dfinie par :

g (x) =n

i=1pi |xi x| .

Rponse lexercice 2.17. La fonction f est drivable comme somme de fonctions drivables et on a, pour toutx R :

f (x) =2n

i=1pi (xi x) =2

ni=1

pi xi 2xn

i=1pi =2(E(X )x).

On en dduit :f (x) 0 x E(X ).

Donc f admet un minimum en E(X ) (et ce minimum est f (E(X )) = Var(X ). Lesprance est donc la quantit qui mi-nimise la moyenne des carrs des carts. Par contre, elle ne minimise ps la moyenne des carts. En effet, on considrela variable alatoire X dfinie par la loi suivante :

xi 0 1000pi 0,9 0,1

On a :E(X ) = p1x1 +p2x2 = 1000

g (E(X )) = p1 |x1 1000|+p2 |x2 1000| = 90+90 = 180.Or :

g (0) = E(X ) = 100.Donc : g (0) < g (E(X )). Conclusion : E(X ) ne minimise pas la fonction g et on peut montrer que la mdiane est ceminimum.

THORME 2.18 (FORMULE DE KOENIG). La variance dune variable alatoire X peut se calculer avec la relationsuivante :

Var(X ) = E(X 2) [E(X )]2.La variance est lcart entre la moyenne des carrs et le carr de la moyenne.

Dmonstration de la formule de Koeing. On rappelle que lesprance dune variable alatoire constante X = b estgale la constante b. Daprs la linarit de lesprance :

Var(X ) = E((X E(X ))2) = E(X 2 2X E(X )+E(X )2)= E(X 2)2E(X )E(X )+E(X )2E(1)

Do Var(X ) = E(X 2) [E(X )]2.

2.4 Exemples de variables alatoires discrtes 21

Exemple 2.19 On reprend lexemple de la pice de monnaie lance trois fois de suite. On rappelle que X est lenombre de face obtenu. On a dj calcul E(X ), on calcule E(X 2) :

E(X 2) = 1802 + 3

812 + 3

822 + 1

832 = 3.

Do :

Var(X ) = E(X 2) [E(X )]2 = 3 94= 3

4.

Corollaire 2.20 (Effet dun changement affine sur la variance et lcart-type). Soit X une variable alatoire. Soienta et b deux rels. On :

Var(aX +b) = a2 Var(X ) et (aX +b) = |a|(X ).En particulier :

Var(aX ) = a2 Var(X ) et (aX ) = |a|(X )et

Var(X +b) = Var(X ) et (X +b) =(X ).

Dmonstration du corollaire 2.20. Daprs la formule de Koeing, on a :

Var(aX +b) = E(a2X 2 +2abX +b2) [E(aX +b)]2

et daprs la linarit de lesprance,

Var(aX +b) = a2E(X 2)+2abE(X )+b2 [aE(X )+b]2= a2E(X 2)+2abE(X )+b2 a2[E(X )]2 2abE(X )b2 = a2 Var(X ).

Do, par passage la racine carre :(aX +b) = |a|(X ).

Pour montrer la particularisation, il faut remplacer dans chaque formule b = 0 et a = 1 (selon le cas que lon veutdmonter).

2.4 Exemples de variables alatoires discrtes

2.4.1 Loi de Bernoulli

Dfinition 2.21 Une exprience de Bernoulli est une exprience qui na que deux issues possibles, lune appele succs qui a pour probabilit p, lautre appele chec qui a pour probabilit q = 1p.

Dfinir une loi de Bernoulli de paramtre p, cest associer une loi de probabilit discrte cette expriencealatoire en faisant correspondre la valeur 1 lapparition dun succs et 0 celle dun chec.

xi 1 0P (X = xi ) p 1p

Exemple 2.22 Si on lance un d et quon nomme succs lapparition de la face 6, on dfinit la loi de Bernoullisuivante :

xi 1 0P (X = xi ) 16 56

PROPRIT 2.23 Soit X une variable alatoire suivant une loi de Bernoulli B(p), alors : Lesprance de X vaut E(X ) = p. La variance de X vaut Var(X ) = pq .

Exemple 2.24 Dans lexemple prcdent, on obtient E(X ) = 16 et Var(X ) = 536 .

2.4.2 Loi binomiale


Dfinition 2.25 (Loi binomiale). La loi binomiale de paramtres n et p, note Bin(n, p) est la loi de probabilit dunombre de succs dans la rpartition de n expriences de Bernoulli de paramtres p identiques et indpendantes.Elle est dfinie par :

P (X = k) =(

n

k

)pk qnk , 0 k n.

Exemple 2.26 On lance 2 fois un d bien quilibr. On sintresse lapparition de la face 6. Chaque lancer est uneexprience de Bernoulli de paramtres 16 . On obtient donc une loi binomiale Bin(2,1/6).

nombre de succs 0 1 2probabilit 2536

1036

136

PROPRIT 2.27 Soit X une variable alatoire suivant une loi binomiale Bin(n, p) alors : Lesprance de X vaut E(X ) = np. La variance de X vaut Var(X ) = npq .

Exemple 2.28 Dans lexemple prcdent, on obtient E(X ) = 13 et Var(X ) = 518 .

2.4.3 Loi de Poisson

La loi de Poisson modlise des situations o lon sintresse au nombre doccurrences dun vnement dans unlaps de temps dtermin ou dans une rgion donne. Par exemple :

nombre dappels tlphoniques qui arrivent un standard en x minutes, nombre de clients qui attendent la caisse dun magasin, nombre de dfauts de peinture par m2 sur la carrosserie dun vhicule. . .

Dfinition 2.29 La variable alatoire X suit une loi de Poisson de paramtre , note Pois() avec > 0 lorsque saloi de probabilit vrifie :

P (X = k) = ek

k !, k N.

Exemple 2.30 On considre la variable alatoire X mesurant le nombre de clients se prsentant au guichet 1 dunbureau de poste par intervalle de temps de dure 10 minutes entre 14h30 et 16h30. On suppose que X suit la loi dePoisson de paramtre = 5.

Pour = 5, la table de la loi de Poisson nous donne :

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14P (X = k) 0,007 0,034 0,084 0,140 0,176 0,176 0,146 0,104 0,065 0,036 0,018 0,008 0,003 0,001 0,000

On peut aussi reprsenter graphiquement la loi Pois(5) :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 140

0.1

0.2

0

La probabilit quentre 14h30 et 14h40, 10 personnes exactement se prsentent ce guichet vaut :

P (X = 10) = 0,018.

La probabilit quentre 15h20 et 15h30, au maximum 3 personnes se prsentent ce guichet vaut :

P (X 3) = P (X = 0)+P (X = 1)+P (X = 2)+P (X = 3) = 0,265.

2.5 Applications 23

La probabilit quentre 16h00 et 16h10, 8 personnes au moins se prsentent ce guichet vaut :

P (X 8) = 1P (X < 8)= 1 [P (X = 0)+P (X = 1)+ +P (X = 7)] = 10,867 = 0,133

.

PROPRIT 2.31 Soit X une variable alatoire suivant une loi de Poisson de paramtre , alors lesprance et lavariance sont gales et valent E(X ) = Var(X ) =.

Exemple 2.32 Dans lexemple prcdent, on obtient E(X ) = Var(X ) = 5.

2.5 Applications

2.5.1 Jeux quitables

Deux joueurs A et B jouent un jeu dargent o la probabilit de gagner est gale p pour A et 1 p pour B(0 < p < 1). Les mises de A et B sont respectivement s et s euros et le vainqueur empoche le total des enjeux. SoientX et X les gains de joueurs A et B. Le jeu est dit quitable si E(X ) = E(Y ). On a :

E(X ) = sp s(1p) et E(Y ) = (1p)s sp.

Le jeu est donc quitable sis

p= s

1p ,

autrement dit si les enjeux des joueurs sont proportionnels leur probabilit de succs.

2.5.2 Le jeu de St Petersbourg

Imaginons le jeu de casino suivant : on lance une pice (non truque) jusqu lapparition du premier pile. Si celase produit au n-ime lancer, la banque verse au joueur la somme X = 2n euros. Quel doit tre lenjeu que la banquedevrait exiger du joueur pour ne pas tre perdante ?

Pour que le jeu soit quitable, la mise doit tre gale lesprance du gain du joueur. Mais lesprance de X nestpas finie car X prend les valeurs 2n (n 1) et P (X = 2n) = 12n donc :

+n=1

2nP (X = 2n) =+.


[3] P. DUVAL. Probabilits, TS. http://lcs.werne.lyc14.ac-caen.fr/~duvalp.

[4] G. COSTANTINI. Probabilits : Gnralits, conditionnement, indpendance. Cours de Premire S. URL : http://bacamaths.net.

[5] L. GALLARDO. Chapitre 3 : Variables alatoires discrtes, esprance, variance et loi des grands nombres. URL=www.lmpt.univ-tours.fr/ gallardo/coursProb1-09-10-3.pdf.

http://lcs.werne.lyc14.ac-caen.fr/~duvalphttp://bacamaths.nethttp://bacamaths.net

Leon n 3

Loi binomiale

NIVEAU Premire S + SUP (Convergence)PRREQUIS Variable alatoire, esprance, variance, thorme limite central, loi de Poisson

RFRENCES [6], [7], [8], [9], [10]

3.1 Loi de Bernoulli

Dfinition 3.1 (Loi de Bernoulli). Soit E une preuve comportant deux issues (succs et chec). On note p laprobabilit de succs. Soit X la variable alatoire qui est gal 1 en cas de succs et 0 sinon. Alors, on dit que X suitun loi de Bernoulli de paramtres p. On note alors X Bern(p).

Remarque 3.2 Si X Bern(p), on notera :

P (X = 1) = p et P (X = 0) = 1p = q.

Exemple 3.3 On lance un d non pip. On note X la variable alatoire qui prend comme valeur 1 si la face 6 apparatlors du lancer et 0 sinon.

La variable alatoire X est une variable alatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramtres 1/6. Donc X Bern(1/6).

Lemme 3.4 Si X Bern(p) alors X 2 Bern(p).

Dmonstration. On a X 2() = {0,1} et :P (X 2 = 1) = P (X = 1) = p

donc X 2 Bern(p).

PROPOSITION 3.5 Si X Bern(p) alors :1. E(X ) = p2. Var(X ) = pq .

Dmonstration. On a :E(X ) = P (X = 0)0+P (X = 1)1 = q 0+p 1 = p,

et :Var(X ) = E(X 2)E(X )2 = E(X 2)p2

or X 2 Bern(p), donc on a : E(X 2) = E(X ) = p.Ainsi, Var(X ) = p p2 = pq .

26 LEON N3 LOI BINOMIALE

3.2 Loi binomiale

Dfinition 3.6 (Loi binomiale). Soit lunivers associ une exprience alatoire. Soit X une variable alatoiredfinie sur. On dit que X suit une loi binomiale de paramtres n N et p [0 ,1] lorsque :

1. X () = {0,1, . . . ,n} ;2. pour tout k {0,1, . . . ,n}, P (X = k) = (nk)pk (1p)nk = (nk)pk qnk .

Si X suit une loi binomiale de paramtres n et p alors on note X Bin(n, p).

Remarque 3.7 Soit X Bin(n, p). On a bien dfini une variable alatoire car :n

k=0P (X = k) =

nk=0

(n

k

)pk qnk = [p + (1p)]n = 1.

THORME 3.8 Soit E une preuve comportant deux issues (succs et chec). On note p la probabilit de succs.On note n fois, de faons indpendantes, lpreuve E . Soit X la variable alatoire correspondant au nombre desuccs. Alors : X suit une loi binomiale de paramtres n et p.

Dmonstration. La probabilit davoir k succs suivis de nk succs suivis de nk checs est : pk (1p)nk . Maisles succs et les checs napparaissent pas ncessairement dans cet ordre.

On considre lensemble des mots de n lettres qui ne contiennent que des S (Succs) et des E (checs). On saitquil y en a exactement

(np

)qui contiennent exactement k fois la lettre S (et donc n k fois la lettre E).

On en dduit m

P (X = k) =(

n

p

)pk (1p)nk

et ceci pour tout k {0,1, . . . ,n}.Remarques 3.9 1. La probabilit davoir n succs : P (X = n) = pn et davoir aucun succs P (X = 0) = qn . Par

consquent, la probabilit davoir au moins un succs est :

P (X 1) = 1P (X = 0) = 1qn .

2. La loi de Bernoulli est un cas particulier de la loi binomiale o lpreuve E nest ralise quune seule fois.

3. Toute variable alatoire X suivant une loi binomiale de paramtres n N et p [0 ,1] peut scrire commesomme X = X1+ +Xn o, pour tout k {0,1, . . . ,n}, Xk est une variable alatoire suivant une loi de Bernoullide paramtre p (Xk vaut 1 en cas de succs la ke ralisation de E et 0 sinon).

Exemples 3.10 La probabilit quun tireur atteigne sa cible est p = 34 . On suppose quil fait deux tirs et on note X lavariable alatoire associant cette preuve le nombre de succs obtenus (X = 0, 1 ou 2).

1. Calculer la probabilit des vnements {X = 0}, {X = 1} et {X = 2}.2. Calculer

2k=0 P (X = k).

3. On suppose quil fait sept tirs et on note Y la variable alaoire associant cette preuve le nombre de succsobtenus. Calculer P (X = 1) et P (X = 2).

THORME 3.11 (ESPRANCE ET VARIANCE DUNE LOI BINOMIALE). Si X Bin(n, p) avec n N et p [0 ,1] alors :

E(X ) = np et Var(X ) = npq.

Dmonstration. Puisque X Bin(n, p), il existe des variables alatoires (relles) X1, X2, . . . , Xn dfinies sur ind-pendantes, de loi de Bernoulli de mme paramtre p telles que X =ni=1 Xi .

Par linarit de lesprance :

E(X ) = E(

ni=1

Xi

)=

ni=1

E(Xi )

et daprs ce qui prcde :

E(X ) =n

i=1p = np.

3.3 Proprits sur les coefficients binomiaux 27

De mme pour la variance :

Var(X ) = Var(

ni=1

Xi

)=

ni=1

Var(Xi ) =n

i=1pq = npq.

Exemple 3.12 La probabilit quun tireur atteigne sa cible est p = 34 . On suppose quil tire n = 7 fois. On note X lavariable alatoire associant cette exprience alatoire le nombre de succs obtenus. Calculer son esprance et savariance.

3.3 Proprits sur les coefficients binomiaux

3.3.1 Dfinitions et proprits

Dfinition 3.13 (Combinaisons). Soient n et p deux entiers naturels et E un ensemble contenant n lments. Unsous-ensemble de E contenant p lments est appel une combinaison de p lments de E .

Le nombre de p-combinaisons dun ensemble contenant n lments est not(n

p

)ou

(np

).

Exemple 3.14 Pour gagner au Loto, il faut trouver 3 numros parmi 5. On veut savoir combien il y a de grillespossibles. Considrons une grille quelconque (cest--dire une 3-combinaison de lensemble des 5 numros) : parexemple {1,3,4}. Il y a 3! faons possibles dordonner ces nombres. Or, il y a

(53

)3! suites de 3 nombres ordonnes.Mais, on compte 543 de ces dernires suites. Donc :(

5

3

)= 543

3!.

On peut maintenant gnraliser la formule :

PROPOSITION 3.15 Le nombre de p-combinaisons dun ensemble contenant n lments est not(n

p

)= n(n 1)(n 2) (n (p 1))

p !(3.1)

= n!p !(n p)! (3.2)

Dmonstration de la proposition 3.15. On part de la formule (3.1) pour arriver la formule (3.2) :(n

p

)= n(n 1)(n 2) (n p +1)

p !

= n(n 1)(n 2) (n p +1)p !

(n p)(n p 1) 21(n p)(n p 1) 21

= n!p !(n p)!

Une autre faon de voir la formule (3.2). Il y a Apn manires de tirer p objets parmi n en les ordonnant soit

Apn =n!

(n p)! .

Une fois les p objets tirs, il y a p ! manires de les ordonner. Il y a donc Apn

p ! manires de tirer p objets parmi sans lesordonner. Do (

n

p

)= A

pn

p != 1

p !

n!

(n p)! .


Dfinition 3.16 (Coefficients binomiaux). Soit p un entier naturel non nul. Les nombres(n

p

)sont appels les coef-

ficients binomiaux.

PROPOSITION 3.17 (FORMULE DE PASCAL). Soit n, p N tel que p < n. On a :(n

p

)=

(n 1

p

)+

(n 1p 1

).

Dmonstration de la formule de Pascal. Soit un ensemble E n lments. On suppose que lon a extrait unepartie p lments. Si lon retire un lment {a} E , cest soit un lment de la combinaison, soit non. Dans lepremier cas, les p 1 restants forment une partie de lensemble E \ {a} de cardinal n 1, et dans le second, ce sontles p lments qui forment une partie de E \ {a}. Cette union tant disjointe, les cardinaux sajoutent pour aboutir lgalit demande.

n\p 0 1 2 3 0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 1...

......

......

. . .

FIGURE 3.1 Triangle de Pascal

PROPOSITION 3.18 (FORMULE ITRE DE PASCAL). Soit p n deux entiers naturels. Alorsn

k=p

(k

p

)=

(n +1p +1

).

Dmonstration de la formule itre de Pascal. On effectue une rcurrence sur lentier n.

Initialisation Lorsque n = p, les deux membres valent 1.Hrdit On suppose que la formule est vraie au rang n et on montre quelle est encore vraie au rang n +1 :

n+1k=p

(k

p

)=

nk=p

(k

p

)+

(n +1

p

)

et daprs lhypothse de rcurrence,

n+1k=p

(k

p

)=

(p +1n +1

)+

(n +1

p

)=

(n +2p +1

).

La dernire galit est justifie par lemploi de la formule de Pascal.

On note A =C (ou R ouQ ou Z).

THORME 3.19 (FORMULE DU BINME). Soient deux lments a,b de A qui commutent. Alors :

n N, (a +b)n =n

k=0

(n

k

)ak bnk .

3.3 Proprits sur les coefficients binomiaux 29

Dmonstration de la formule du binme de Newton. Pour n = 1, nous avons :1

k=0

(1

k

)ak b1k =

(1

0

)b +

(a

=

)a +b.

La formule du binme est vraie pour n = 1.Supposons que la formule du binme soit vraie au rang n 1. Alors,

(a +b)n+1 = (a +b) (a +b)n = (a +b)n

k=0

(n

k

)ak bnk .

En distribuant le produit, nous obtenons

(a +b)n+1 =n

k=0

(n

k

)ak+1bnk +

nk=0

(n

k

)ak bn+1k .

Nous effectuons alors la translation dindices l = k +1 dans la premire somme :

(a +b)n+1 =n+1l=1

(n

l 1

)al bn+1l +

nk=0

(n

k

)ak bn+1k .

Lindice de sommation tant muet, nous pouvons regrouper les deux sommes :

(a +b)n+1 =(

n

n

)an+1 +

nk=1

[(n

k 1

)+

(n

k

)]ak bn+1k +

(n

0

)bn+1.

On utilise ensuite la formule du triangle de Pascal :

(a +b)n+1 =(

n

n

)an+1 +

nk=1

(n +1

k

)ak bn+1k +

(n

0

)bn+1.

On remarque que :(n

0

)= 1 = (n+10 ) et que (nn)= 1 = (n+1n+1) pour faire entrer les deux termes isols dans la somme.(a +b)n+1 =

n+1k=0

(n +1

k

)ak bn+1k .

Corollaire 3.20 On a les galits suivantes :

1.n

k=0(n

k

)= 2n ,2.

nk=0(1)k

(nk

)= 0. Dmonstration du corollaire 3.20. 1. On utilise le binme de Newton avec a = 1 et b = 1.

2. On utilise le binme de Newton avec a =1 et b = 1.

Remarque 3.21 On remarque que lgalit 1 du corollaire 3.20 traduit le fait que le nombre de parties dun ensemble n lments est 2n . En effet, ce nombre est la somme des nombres de parties ayant respectivement 0, 1, . . . lments(le cardinal dune union disjointe est la somme des cardinaux), ce qui correspond bien la somme indique.

PROPOSITION 3.22 (FORMULE DE VAN DER MONDE). Pour tous entiers m,n et p tels que p m +n, on a lgalit :(m +n

p

)=

pk=0

(m

k

)(n

p k

).


Remarque 3.23 On remarque que lgalit 1 du corollaire 3.20 traduit le fait que le nombre de parties dun ensemble n lments est 2n . En effet, ce nombre est la somme des nombres de parties ayant respectivement 0, 1, . . . lments(le cardinal dune union disjointe est la somme des cardinaux), ce qui correspond bien la somme indique.

Dmonstration de la formule de Van der Monde. Soit x un rel. Alors :

(1+x)m(1+x)n = (1+x)m+n =m+np=0

(m +n

p

)xp .

Or

(1+x)m(1+x)n =(

mi=0

(m

i

)xi

)(n

j=0

(n

j

)x j

)=

mi=0

nj=0

(m

i

)(n

j

)xi+ j

=((

m

0

)(n

0

))+

((

(m

0

)(n

1

)+

(m

1

)(n

0

))x

)

+(

(

(m

0

)(n

2

)+

(m

1

)(n

1

)+

(m

2

)(n

0

))x2

)+

=m+np=0

(( i , j>0

i+ j=p

(m

i

)(n

j

))xp

).

Par identification des coefficients de ce polynme de degr p, on obtient finalement que, pour tout entier 0 p m +n, (

m +np

)=

i , j>0i+ j=p

(m

i

)(n

j

)=

pi=0

(m

i

)(n

p i

).

3.4 Stabilit additive de la loi binomiale

THORME 3.24 (STABILIT ADDITIVE DE LA LOI BINOMIALE). Si X Bin(m, p) et Y Bin(n, p) avec X et Y ind-pendantes, alors X +Y = Bin(m +n, p).

Soit (Ai )1in une suite dvnements. On note :n

i=0 Ai si les vnements sont disjoints.

Dmonstration. On pose S = X +Y . On a clairement S() = {0, . . . ,m +n}.Calculons P (S1(k)) pour tout 1 k m +n :

S1(k) =k

i=0X 1(i )Y 1(k i ).

Do :

P (S1(k)) =k

i=0P (X 1(i )Y 1(k i )).

Et comme X et Y sont indpendantes :

P (S1(k)) =k

i=0P (X 1(i ))P (Y 1(k i )).

Comme X Bin(m, p) et Y Bin(n, p) :

P (S1(k)) =k

i=0

(m

i

)p i (1p)mi

(n

k i

)pki (1p)n(ki )

=(

ki=0

(m

i

)(n

k i

))pk (1p)m+nk .

3.5 Convergence 31

Et commek

i=0(m

i

)( nki

)= (m+nk ).P (S1(k)) =

(m +n

k

)pk (1p)m+nk .

Donc S Bin(m +n, p).

3.5 Convergence

3.5.1 Vers la loi de Poisson

THORME 3.25 Lorsque n tend vers linfini et que simultanment pn 0 de sorte que limn npn = a > 0, la loibinomiale de paramtres n et pn converge vers la loi de Poisson de paramtre a. En pratique, on remplace la loibinomiale par une loi de Poisson ds que n > 30 et np < 5 ou ds que n > 50 et p < 0.1.

Dmonstration. On dcompose P (X = k) :(n

k

)pkn(1pn)nk =

n(n 1) (n k +1)k !

pkn(1pn)nk

= (npn)k

k !

(1 1

n

)(1 2

n

)

(1 k 1

n

)(1pn)nk .

On se place dans la situation o pn est quivalent an en linfini.

Lorsque n tend vers linfini, les facteurs(1 1n

),(1 2n

), . . .,

(1 k1n

)tendent vers 1. Le produit de ces termes

tend galement vers 1 puisquils sont en nombre fini fix k. On a :

(1pn)nk = (1pn)n(1pn)k ,or, limp0(1 p)k = 1 et de plus, (1 pn)n ' (1 an )n et ce dernier terme tend vers ea quand n tend verslinfini.

On trouve donc :

limn+

(n

k

)pkn(1pn)nk =

ak

k !ea ,

qui est la probabilit de k pour la loi de Poisson de paramtre a.

3.5.2 Vers la loi normale

THORME 3.26 Soit (Xn)n une suite de variable alatoires indpendnates de mme loi de Bernoulli Bern(p) etSn = X1 + +Xn suit la loi binomiale Bin(n, p).

Daprs le thorme central limite, la loi de Sn peut re approxime par la loi normale N(E(Sn),Var(Sn)), cest--dire par la loi N(np,npq).

Remarque 3.27 En pratique, lorsque n 30, np 15 et npq > 5, la loi binomiale Bin(n, p) peut tre approxime parla loi normale N(np,npq).

3.6 chantillonnage

3.6.1 Premier problme : proportion de boules dans une urne

Dans une urne contenant une dizaine de boules, il y a 2 boules noires et 8 boules blanches. La proportion deboules noires est donc de 1/5.

On pioche dans lurne avec ordre et remise une vingtaine de boules et on sintresse la proportion de boulesnoires obtenues.

Cette exprience a t recommence 100 fois laide dun tableur et voici les proportions obtenues.

Proportion 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 TotalNb dchantillons 0 9 13 20 27 16 9 5 0 1 0 100


1. Quel est le nombre dchantillons qui ont une proportion de boules noires de 0,3 ?

2. Quel est le nomb re dchantillons qui ont une proportion de boules noires de 0,6 ?

3. Quel est le nombre dchantillons qui ont une proportion de boules noires entre 0,1 et 0,4 ?

4. Le but de cette partie est de retrouver par le calcul ce dernier nombre. On considre la variable alatoire Xqui lors de lexprience compte le nombre boules noires obtenues.

(a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on prcisera les paramtres.

(b) Calculer P (2 X 8).(c) En dduire la probabilit que la proportion de boules noires soit comprise entre 0 et 0,4.

Solution.

Proportion 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 TotalNb dchantillons 0 9 13 20 27 16 9 5 0 1 0 100

1. Le nombre dchantillons qui ont une proportion de boules noires de 0,3 est 9.

2. Le nombre dchantillons qui ont une proportion de boules noires de 0,6 est 0. En effet, tous les chantillonssont dj dans le tableau.

3. Le nombre dchantillons qui ont une proportion de boules noires comprise entre 0,1 et 0,4 est 13+20+27+16+9+5 = 90. Soit 90%.

4. (a) On recommence 20 fois de manire indpendante une exprience ayant deux issues possibles, succs ouchec. La variable alatoire qui compte le nombre de succs suit une loi binomiale de paramtres 20 et1/5.

(b) P (2 X 8) = 0,92.(c) On cherche la probabilit que la proportion de boules noires dans un chantillon soit comprise entre 0,1

et 0,4 ; cest--dire la probabilit quil y ait entre 10% et 40% de boules noires. Or chaque chantillon-nage contient 20 boules. Ainsi 10% de boules noires pari ces 20 boules reprsente exactement 2 boulesnoires. De mme 40% reprsente 8 boules noires. Finalement, chercher la probabilit que la proportionde boules noires dans les chantillonnages soit comprise entre 0,1 et 0,4 revient chercher la probabilitde piocher entre 2 et 8 boules noires parmi les 20 boules. Cest exactement la probabilit que lon a calcul la question 4b, soit 0,92. Ce qui correspond peu prs au 90% trouv grce au tableau.

3.6.2 Second problme : proportion de camions sur une autoroute

Sur une autoroute, la proportion des camions par rapport lensemble des vhicules est 0,07.

1. Soit X le nombre de camions parmi 100 vhicules choisis au hasard. Calculer P (X 5).2. Soit Y le nombre de camions parmi 1000 vhicules choisis au hasard. Calculer P (65 Y 75).3. On choisit n vhicules au hasard. Pour quelles valeurs de n peut-on affirmer que la proportion de camions

est entre 0,06 et 0,08 avec un risque derreur infrieur 5% ?

Solution. 1. Soit X une variable alatoire de loi binomiale Bin(100,0.07). 100 30, 1000,07 = 7 < 15, 0,07 0,1 donc lapproximation utiliser est celle par la loi de Poisson Pois(7) et :

P (X 5) 1e74

k=0

7k

k ! 0,827.

2. Y suit la loi binomiale Bin(1000,0.07). 1000 30, 10000,07 = 70 15, 700,93 = 64,1 > 4 donc lapproxi-mation utiliser est celle par la loi normale N(70,65.1) et si F dsigne la fonction de rpartition de la loiN(70,65.1),

P (65 Y 75) F (75.5)F (64.5) =(

5.5p65.1

)

( 5.5p

65.1

)= 2

(5.5p65.1

)1 2(0.68) 0.5

3.7 Loi multinomiale 33

3. On choisit n vhicules au hasard. Le nombre Sn des camions parmi ces n vhicules suit la loi binomialeBin(n,0.07) et la proportion des camions est Snn .

On cherche n tel que

P( Snn 0.07 0.01)= 0.05.

Si n 30, 0.07n 15 et 0.07 0.93n > 5, cest--dire n 215, on peut approximer la loi de Snn par la loinormale N(0.07, 0.0651n ) et la loi de

Snn 0.07 par la loi normale N(0, 0.065n ). On a alors :

P

(Snn 0.07 0.01)= P ( pnp0.0651

(Snn

0.07) pnp0.0651 1100

) 2

(1

( pnp

651

)) 0.05

On a donc( p

np651

) 0.975 (1.96) et n 1.962 651 2501. 2501 90, ce qui lgitime lapproximation.

3.7 Loi multinomiale

Dfinition 3.28 (Loi multinomiale). Le vecteur alatoire N suit la loi multinomiale de paramtres n et (p1, . . . , pd )o n N et les pi sont strictement positifs et de somme 1 si pour tout d-uple ( j1, j2, . . . , jd ) dentiers tels quej1 + j2 + + jd = n,

P [N = ( j1, j2, . . . , jd )] =n!

j1! j2! jd !p j11 p

j22 p

jdd .

Exemple 3.29 On considre 20 tirages dune boule avec remise dans une urne contenant 1 boule bleue, 3 jaunes, 4rouges et 2 vertes. Notons N = (N1, N2, N3, N4) o Ni est le nombre de boules de la couleur i en numrotant les cou-leurs par ordre alphabtique (b,j,r,v). On a (p1, p2, p3, p4) = ( 110 , 310 , 410 , 210 ). La probabilit dobtenir en 20 tirages 3bleues, 5 jaunes, 10 rouges et 2 vertes est :

P (N = (3,5,10,2)) = 20!3!5!10!2!

(1

10

)3 ( 310

)5 ( 410

)10 ( 210

)2' 0,004745.


[6] M. LENZEN. Leon no 3 : Coefficients binomiaux, dnombrement des combinaisons, formule du binme. Appli-cations. URL : http://www.capes-de-maths.com/index.php?page=leconsNEW. 2011.

[7] G. CONNAN. Une anne de mathmatiques en Terminale S. Ch.14, URL : http://tehessin.tuxfamily.org.2009-2010.

[8] G. COSTANTINI. Loi binomiale. URL : http://bacamaths.net.

[9] C. SUQUET. Intgration et Probabilits Elmentaires. URL : http://math.univ-lille1.fr/~ipeis/. 2009-2010.

[10] C. GRAFFIGNE. Dmonstration de la formule du binme de Newton. Universit Paris V, L1, S1. http://www.math-info.univ-paris5.fr/~avner/MC1/L1_S1/cours/eq/node11.html.

http://www.capes-de-maths.com/index.php?page=leconsNEWhttp://tehessin.tuxfamily.orghttp://bacamaths.nethttp://math.univ-lille1.fr/~ipeis/http://www.math-info.univ-paris5.fr/~avner/MC1/L1_S1/cours/eq/node11.htmlhttp://www.math-info.univ-paris5.fr/~avner/MC1/L1_S1/cours/eq/node11.html

Leon n 4

Variables alatoires relles densit

NIVEAU Terminale S et BTS

PRREQUISprobabilits, intgrales, primitives, croissance compare, quations diffrentielles, dsin-tgration radioactive

RFRENCES [11], [12]

4.1 Introduction

Nous avons vu dans la leon Variables alatoires discrtes que des variables alatoires peuvent prendre leurvaleur dans un sous-ensemble des nombres entiers. On va essayer de gnraliser en largissant lensemble des va-leurs de dpart dune variable alatoire un intervalle de R.

Exemple 4.1 On tire au hasard un point a sur le segment [0,1] et on note X = a. On a alors X () = [0 ,1].1. Calculer P ({X = 0,5}).2. Calculer la probabilit que X appartienne au segment [0, 12 ].

4.2 Densit et loi de probabilit

Dfinition 4.2 (Densit de probabilit). Soit I un intervalle de R. On appelle densit de probabilit sur I , toutefonction f continue et positive sur I telle que :

If (t )dt = 1.

Remarque 4.3 La notation

I dsigne lintgrale sur lintervalle I .

1. Si I = [a ,b] alors I

f (t )dt = b

af (t )dt .

2. Si I est non born dun cot (par exemple I = [a ,+[ alorsI

f (t )dt = limx+

xa

f (t )dt .

3. Si I =R alors : I

f (t )dt = limx

0x

f (x)dt + limx+

x0

f (t )dt .

Exemple 4.4 Soit f une fonction constante sur lintervalle [0,1]. On cherche la valeur de cette constante pour que fsoit une densit. On note cette constante : 1

0dt = 1 = 1.

Plus gnralement, si f est une fonction continue sur lintervalle [a ,b], on montre que f (t ) = = 1ba .

36 LEON N4 VARIABLES ALATOIRES RELLES DENSIT

Dfinition 4.5 (Loi de probabilit). Soit I un intervalle et f une densit de probabilit sur I . Lapplication P qui, tout sous-intervalle [a ,b] de I associe la quantit :

P ([a ,b]) = b

af (t )dt

est appel loi de probabilit sur I .

Justification de la dfinition 4.5. Soit (In)nN une famille de sous-intervalles disjoints de I , alors par linarit delintgrale :

P

( nN

In

)=

nN

In

f (t )dt = nN

P (In)

et de plus P (I ) = 1.Remarques 4.6 1. On a bien 0 P ([a ,b]) 1 car [a ,b] est inclus dans I .

2. On a :

P ({x0}) = x0

x0f (t )dt .

On dit alors que {x0} est un vnement presque-srement impossible .

Exemples 4.7 1. Si f est constante sur [a ,b], on dit que P est la loi uniforme.

2. Si f est de la forme f (t ) = et sur R avec > 0, on dit que P est la loi exponentielle de paramtre . On atout de mme besoin dune justification. Soit > 0 un rel. On montre que f (t ) =et dfinie sur R est unedensit de probabilit sur R+. On calcule : x

0f (t )dt =

x0et dt =

[e

t t

]x0

= 1ex .

Or, on a :lim

x+(1ex ) = 1.

La limite en + de x0 f (t )dt existe bien et on a :R+

f (t )dt = 1.

4.3 Variables alatoires continues. Loi uniforme, loi exponentielle

Dfinition 4.8 Soit P une loi de probabilit sur un intervalle I de f . On dit quune variable alatoire X , valeursdans I , suit une loi de probabilit P lorsque pour tout sous-intervalle [a ,b] de I , on a :

P (a X b) = b

af (t )dt .

Exemples 4.9 1. On peut maintenant rpondre aux questions de lexemple introductif. X suit une loi uniformesur lintervalle [0,1]. Donc :

(a)

P (X = 0,5) = 0,5

0,51dt = 0.

(b)

P (X [0 ,0,5]) = P (0 X 0,5) = 0,5

01dt = 0,5.

Dans le cas gnral, supposons que X suivent la loi uniforme sur [a ,b]. Alors :

P ( X ) =

1

b a dt =b a .

4.4 Esprance dune variable alatoire continue 37

On note L([a ,b]) la longueur de lintervalle de [a ,b]. Si X suit une loi uniforme sur un intervalle I , alors laprobabilit dun sous-intervalle J est donn par la formule :

P (X J ) = L(J )L(I )

.

2. Si X suit la loi exponentielle de paramtre > 0, alors

P (0 X x) = x

0et dt = 1et

et par complmentarit :

P (X x) = 1P (0 X x) = ex .

Dfinition 4.10 (Fonction de rpartition). Soit X une variable alatoire, valeurs dans un intervalle I de la forme[a ,b] (ou de la forme [a ,+[) qui suit une loi de probabilit P . On appelle fonction de rpartition de X , la fonctionF dfinie pour tout rel x de I par :

F (x) = P (X x).

PROPRIT 4.11 Si F est une fonction de rpartition de X alors :

1. F est croissante sur [a , x],

2. F (a) = 0,3. F (b) = 1 (si I = [a ,b]) ou

limx+F (x) = 1 si I = [a ,+[.

4. P (X > x) = 1F (x)5. P (< X ) = F ()F ().

Exemple 4.12 Si X suit la loi exponentielle de paramtre , on a :

F (x) = 1et .

4.4 Esprance dune variable alatoire continue

Dfinition 4.13 (Esprance dune variable alatoire continue). Soit X une variable alatoire continue prenant sesvaleurs dans un intervalle I . On appelle esprance de X la quantit :

E(X ) =

It f (t )dt

Exemples 4.14 1. Si X suit une loi uniforme sur I = [a ,b] alors :

E(X ) = b

a

t

b a dt =1

b a[

t 2

2

]ba= b +a

2.

2. Soit X suit une loi exponentielle de paramtre > 0 sur R+. On calcule lintgrale suivante : x0

tet dt = x

0tet dt .

On pose :

u(t ) = t et v (t ) = et ,ainsi

u(t ) = 1 et v(t ) =et

.


Une intgration par parties donne :

x0

tet dt =[tet

]x0+

x0

et dt =xex 1

[et

]x0= xe

x ex +1

.

Puis, on tudie la limite lorsque x tend vers +. On sait que :lim

x+xex = 0

grce la rgle des croissances compares et

limx+e

x = 0

donc E(X ) = 1 .

4.5 Exemples de variables alatoires densit

4.5.1 Lois normales

Dfinition

Dfinition 4.15 (Loi normale). Soit m R et R+. On dit que la variable alatoire relle X suit la loi normaleN(m,) si elle a pour densit de probabilit la fonction f dfinie par :

x R, f (x) = 1p

2e1/2[(xm)/]

2.

Consquence 4.16

P (a X b) = 1p

2

ba

e1/2[(xm)/]2

dx.

Cas particulier de N(0,1)

La densit de probabilit est alors f (x) = 1p2

ex2/2 et on appelle, dans ce cas, la fonction de rpartition.

On a donc :

P (a X b) = b

a

1p2

ex22dx =(b)(a).

Les valeurs de la fonction de rpartition pour la loi normale centre rduite tant tabules, il est dsormais possiblede calculer P (a X b).PROPRIT 4.17 La fonction f est paire sur R.

1O

4.5 Exemples de variables alatoires densit 39

Consquence 4.18 Si x > 0 alors(x) = 1(x).

Dmonstration. En effet :

(x) = P (X x) = x

f (t )dt = x inf

f (t )dt

car f une fonction paire

= +

xf (t )dt

aprs le changement de variable u =t

= +

f (t )dt x

f (t )dt = 1(x).

Exemples 4.19 1. (1) = P (X 1) correspond donc laire sous la courbe dlimit droite par la droite dqua-tion x = 1.

2. (1) = P (X 1) = 1(1) correspond laire sous la courbe dlimit gauche par la droite dquationx = 1.

1O

Se ramener une N(0,1)

PROPRIT 4.20 Soit X N(m,). Alors Y = Xm N(0,1). On dit quon centre et quon rduit la variable alatoireX .

Dmonstration.

P (a Y b) = P(

a X m

b)

= P (A+m X b+m) = b+m

a+m1

p

2e1/2[(xm)/]

2dx

On effectue alors le changement de variable y = xm et on obtient :

P (a Y b) = b

a

1

p

2ey

2/2dy = b

a

1p2

ey2/2 dy

donc Y a pour densit f (x) = 1p2

ex22. La variable alatoire Y suit bien une loi normale centre rduite.


Exemple 4.21 La variable alatoire X suit une loi normale de paramtres m = 2,09 et = 0,13, autrement dit X N(2.09,0.13).

On va se ramener une loi normale centre rduit en posant : T = Xm et donc T N(0,1). On demande decalculer P (X 2,35) et P (1,895 X 2,285).

P (X 2,35) = P(

X 2,090,13

2)= P (T 2) = 0,9772.

P (1,895 X 2,285) = P (1,5 T 1,5) = P (T 1,5)P (T 1,5)= P (T 1,5) (1P (T 1,5)) = 2P (T 1,5)1= 20,93321 = 0,8664.

Esprance et variance

PROPRIT 4.22 Si X N(m,) alors E(X ) = m et Var(X ) =2.

Dmonstration.

E(X ) = +

x1

p

2e1/2[(xm)/]

2dx.

On considre la variable alatoire Y = Xm alors Y N(0,1). On a : X =Y +m donc :{E(X ) =E(Y )+mVar(X ) =2 Var(Y )

donc si

{E(Y ) = 0Var(Y ) = 1 alors

{E(X ) = mVar(X ) =2 .

E(Y ) = +

yp2

ey2/2 dy = 0 car f est une fonction paire.

Var(Y ) = E(Y 2) (E(Y ))2 = E(Y 2).

Il faut donc calculer :

E(Y 2) = +

y2

p

2ey

22dy.

Pour cela, on va faire une IPP en considrant lintgrale suivante :

soit a > 0, I (a) = aa

1p2

ey2/2 dy

avec : {u(y) = ey2 2, u(x) =yey2/2v (y) = 1p

2, v(y) = yp

2.

I (a) =[

yp2

ey2/2

]aa

+ 1p2

aa

y2ey22dy

= 2ap2

ea2/2 +

aa

y2p2

ey2/2 dy.

Puis on fait tendre a vers + et on obtient : +

1p2

ey2/2 dy = 1 =

+

y2p2

ey2/2 dy.

Au final, on a :Var(Y ) = E(Y 2) = 1.

4.5 Exemples de variables alatoires densit 41

Complments : table de la loi normale

Soit X la variable alatoire suivant la loi normale centre rduite N(0,1).La table 4.1 nous donne les valeurs P (X t ) o t = a,bc. La premire colonne correspond a,b et la premire

ligne correspond c.

FIGURE 4.1 Table des valeurs de, fonction de rpartition de la loi normale standard N(0,1)

4.5.2 Loi uniforme

La loi uniforme sur [a,b], note Unif([a,b]) a pour densit de probabilit :{f (x) = 0 si x [a ,b]f (x) = 1ba si x [a ,b].


PROPRIT 4.23 Si X Unif([a,b]) alors :

E(X ) = a +b2

et Var(X ) = (b a)2

12.

FIGURE 4.2 Densit de la loi uniforme [a,b]

FIGURE 4.3 Fonction de rpartition de la loi uniforme [a,b]

4.5.3 Loi exponentielle

La loi exponentielle Exp() a pour densit de probabilit :{f (x) = 0 si x < 0f (x) =ex si x 0

PROPRIT 4.24 La densit de probabilit h de la somme de deux variables alatoires indpendantes dont lesdensits f et g sont nulles pour x 0, est dfinie par :

h(x) = x

0f (x t )g (t )dt .

4.6 Applications 43

PROPRIT 4.25 Si X Exp() alors :E(X ) = 1

et Var(X ) = 1

2.

FIGURE 4.4 Densit de la loi exponentielle Exp() pour = 0,5, = 1, = 1,5

FIGURE 4.5 Fonction de rpartition de la loi exponentielle Exp() pour = 0,5, = 1, = 1,5

4.6 Applications

4.6.1 Loi de dure de vie sans vieillissement

Dfinition 4.26 Soit T une variable alatoire correspondant la dure de vie dun individu ou dun objet. On ditque T suit la loi de dure de vie sans vieillissement lorsque la probabilit que lindividu (ou lobjet) soit vivant (oufonctionne) linstant t +h sachant quil est vivant (ou quil fonctionne) linstant t ne dpend pas de son ge :

P(Tt )(T t +h) = P (T h).

PROPOSITION 4.27 Une variable alatoire T suit la loi de dure sans vieillissement si et seulement si elle suit uneloi exponentielle.

Dmonstration de la proposition 4.27. () On suppose que T suive une loi exponentielle de paramtre R+.


Par dfinition dune probabilit conditionnelle, on a :

P(Tt )(T t +h) = P ((T t +h) (T t ))P (T t ) .

Or lvnement T t +h est inclus dans lvnement T t donc :

P ((T t +h) (T t )) = P (T t +h) = e(t+h).

Par ailleurs :P (T t ) = et ,

do :

P(Tt )(T t +h) = e(t+h)

et= eh = P (T h).

() Rciproquement, soit T une variable alatoire suivant une loi de dure de vie sans vieillissement. Alors,pour tout rel t de R+ et tout rel h de R+ :

P(Tt )(T t +h) = P (T h) P (T t +h) = P (T h)P (T t ).

Soit F la fonction de rpartition de la variable alatoire T . On note la fonction dfinie sur R+ par :

(t ) = 1F (t ) = 1P (T t ) = P (T > t ) = P (T t ).

Comme F est drivable sur R+, lest aussi et on a :

(0) = 1F (0) = 1 et (t +h) =(t )(t ),

autrement dit, vaut 1 en 0 et transforme les sommes en produits. Il existe donc un rel a (voir la leon quations diffrentielles ) tel que

(t ) = eat .Mais comme est en fait une probabilit, on a pour tout t R+ :

(t ) 1 eat 1 at 0 a 0.

On pose =a R+. Si a tait nul, on aurait, pour tout t R+ :

(t ) = 1 P (T t ) = 1

Ce qui signifierait que notre individu est ternel, hypothse que lon peut rejeter. Donc, on a bien R+.Do, pour tout t R+ :

(t ) = et 1F (t ) = et

et en drivant, on obtient : f (t ) =et f (t ) =et .

La variable alatoire T suit donc une loi exponentielle de paramtre .

Une autre preuve pour loi de dure de vie sans vieillissement implique loi exponentielle. Soit X une variable ala-toire dont la loi vrifie :

s R+, t R+, P (X > t + s | X > t ) = P (X > s) (4.1)et G sa fonction de survie 1 Comme G = 1F , G est dcroissante et continue droite et tend vers 0 en +. De plus,lcriture de (4.1) suppose implicitement que G(t ) > 0 pour tout t 0 car sinon P ( | X > t ) ne serait pas dfinie. On aaussi :

P (X > t + s | X > t ) = P (X > t + s)P (X > t ) =

G(t + s)G(t )

. (4.2)

1. la fonction de survie dune loi exponentielle est dfini de la manire suivante :

G(x) = P (X > x) = 1F (x) ={

1 si x 0eax si x > 0 .

4.6 Applications 45

Grce (4.2), on voit que la proprit dabsence de mmoire (4.1) quivaut :

s R, t R+, G(t + s)G(t )

=G(s).

La fonction de survie G doit donc tre une solution dcroissante, continue droite, tendant vers 0 en + et telle que0 0, on a

G(0) = 1. (4.4)En faisant s = t dans (4.3), on obtient G(2t ) =G(t )2, puis de proche en proche

n N, t 0, G(nt ) =G(t )n . (4.5)En particulier pour t = 1/d , d N :

n N, d N, G ( nd )=G ( 1d )n . (4.6)Lorsque n = d , (4.6) donne G(1) =G(1/d)d do :

d N, G ( 1d )=G(1)1/d . (4.7)Nous connaissons maintenant G sur lensemble des rationnels positifs puisque (4.4), (4.5), (4.6) et (4.7) nous donnent

r Q+, G(r ) =G(1)r (4.8)Soit x R+ \Q+, x est limite dune suite dcroissante (rn) de rationnels. Comme G est continue droite, G(rn)converge vers G(x). Dautre part lapplication y 7 G(1)y est continue sur R. Ainsi, en appliquant (4.8) rn et enfaisant tendre n vers linfini, on obtient :

x R+, G(x) =G(1)x . (4.9)A priori, la constante G(1) est dans ]0,1]. On peut carter la valeur G(1) = 1 car sinon daprs (4.9), la limite en +de G serait 1 alors quelle vaut 0.

Finalement, puisque 0 < G(1) < 1, on peut poser G(1) = ea pour un rel a > 0 (cela revient prendre a = lnG(1)). On peut alors rcrire (4.9) sous la forme

x R+, G(x) = eax .La fonction de survie G est donc la mme que celle de la loi exponentielle de paramtre a, donc X suit cette loi.

4.6.2 Loi de dsintgration radioactive

Selon les physiciens, la dure de vie T dun noyau radioactif suit une loi de dure de vie sans vieillissement,autrement dit, une loi exponentielle. Considrons lexprience E : on examine un noyau linstant 2 t . On note Slvnement Ce noyau nest pas dsintgr . Daprs la loi exponentielle, il existe un rel strictement positif telque :

P (S) = P (T t ) = et .Supposons que lon ait au dpart (t = 0), dans notre corps radioactif, N0 noyaux. On note X t la variable alatoiregale au nombre de noyaux non dsintgrs linstant t . Comme chaque noyau se dsintgre indpendamment auxautres, on peut affirmer que X t suit une loi binomiale de paramtres n = N0 et p = P (S) = et . Le nombre moyenN (t ) de noyaux prsents linstant t est donc donn par lesprance de X t :

N (t ) = E(X t ) = np = N0et .


[11] G. COSTANTINI. Lois de probabilits continues. URL : http://bacamaths.net.

[12] C. SUQUET. Intgration et Probabilits Elmentaires. URL : http://math.univ-lille1.fr/~ipeis/. 2009-2010.

2. La constante est appele constante radioactive du noyau

http://bacamaths.nethttp://math.univ-lille1.fr/~ipeis/

Leon n 5

Reprsentation et interprtation dedonnes. Outils statistiques

NIVEAU Collge, Seconde, Premire S, Terminale STMGPRREQUIS aucun

RFRENCES [13],[14],[15], [16]

5.1 Statistiques une variable

5.1.1 Premires dfinitions et exemples

Dfinition 5.1 (Statistiques). La statistique tudie certaines caractristiques : caractres ou variables dun en-semble fini quon appelle population. Les lments de cette population tudie sont appels individus.

Dfinition 5.2 (Type de variables). On peut classer en trois catgories les variables rencontres :

Qualitative numrique et fait lobjet de calcul (par exemple : ge, taille, poids, notes. . .).

Quantitative discrte si la variable prend quun nombre fini de valeurs (on appelle modalits de telle valeur eton les notera xi )

Quantitative continue si la variable prend ses valeurs dans un intervalle (classe).

Exemple 5.3 Voici une liste de 30 notes dun Devoir Surveill de 2nde dun lyce parisien :

5 10 12 13 20 1415 8 3 4 5 120 14 12 3 5 1910 4 9 10 15 1211 12 14 20 4 0

On peut regrouper ces notes par ordre croissant et on les compte :Note 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Effectif 1 1 0 2 3 3 0 0 1 1 3 1 4 1 3 2 0 0 0 1 3et on peut regrouper ces notes par intervalle :

Intervalle [0 ,5[ [5 ,10[ [10,15[ [15,20[ TotalEffectif 7 5 12 6 30

Dfinition 5.4 (Reprsentation graphique de donnes statistiques). Si le caractre est quantitatif discret,on peut utiliser le diagramme en btons pour reprsenter graphiquement les donnes statistiques. Dans unrepre orthogonal, pour chaque valeur de la srie statistique, on trace un trait vertical dont la hauteur est

48 LEON N5 REPRSENTATION ET INTERPRTATION DE DONNES. OUTILS STATISTIQUES

proportionnelle. Si le caractre est quantitatif continue, on peut utiliser le diagramme en rectangles pour reprsenter graphi-

quement les donnes statistiques. Dans un repre orthogonal, la base des rectangles est proportionnelle la longueur de lintervalle et la hauteur est proportionnelle leffectif.

Si le caractre est qualitatif, on utilise les diagrammes circulaires.

Exemple 5.5 On donne en figure 5.1, la reprsentation graphique de la srie statistique des classements de notes parordre croissant et par intervalle de 5 notes.

(a) Reprsentation graphique du classement des notes parordre croissant

(b) Reprsentation graphique du classement par inter-valles

FIGURE 5.1

5.1.2 Effectif et frquence

Dfinition 5.6 (Effectif ). Leffectif dune classe ou dune modalit est le nombre dindividu de cette classe ou decette modalit. Gnralement, on note ni leffectif de la classe numro i (ou de la modalit xi ).

Leffectif total est la somme des effectifs de toutes les classes. On le note souvent N .

Exemple 5.7 Dans lexemple prcdent,

N =5

i=1ni = n1 +n2 +n3 +n4 = 7+5+12+8 = 30.

Dfinition 5.8 (Effectif cumul). Leffectif cumul dune modalit est la somme des effectifs des modalits qui luisont infrieurs ou gales.

Dfinition 5.9 (Frquence). La frquence note fi de la classe i (ou de la modalit xi ) est le rapport fi = niN , lafrquence dune classe est un nombre de lintervalle [0,1].

Dfinition 5.10 La frquence cumule dune modalit est la somme des frquences des modalits qui lui sont in-frieures ou gales.

Exemple 5.11 Reprenons les donnes de lexemple prcdent. On a :Note 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Effectif 1 1 0 2 3 3 0 0 1 1 3 1 4 1 3 2 0 0 0 1 3Effectif cumul. 1 2 2 4 7 10 10 10 11 12 15 16 20 21 24 26 26 26 26 27 30

(par exemple, 20 personnes ont une note infrieure ou gale 12) et

Intervalle [0 ,5[ [5 ,10[ [10,15[ [15,20[ TotalEffectif 7 5 12 6 30Effectif cumul. 7 12 24 30 30

(par exemple 12 personnes ont en dessous de la moyenne).

5.1 Statistiques une variable 49

5.1.3 Etendue et mode dune srie statistique

Dfinition 5.12 (Etendue dune srie statistique). Ltendue dune srie statistique est la diffrence entre la plusgrande modalit du caractre et la plus grande modalit.

Exemple 5.13 Reprenons les donnes de lexemple prcdent. On a :

Note 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Effectif 1 1 0 2 3 3 0 0 1 1 3 1 4 1 3 2 0 0 0 1 3

Ltendue de cette srie est 200 = 20.

Dfinition 5.14 (Mode dune srie statistique). Dans le cas continu, on dit quune classe est modale si elle a le plusgrand effectif parmi toutes les casses.

Dans le cas discret, le mode est la valeur de plus grand effectif.

Exemple 5.15 Dans cette srie statistique, on a :

Intervalle [0 ,5[ [5 ,10[ [10,15[ [15,20[ TotalEffectif 7 5 12 6 30

La classe modale de cette srie statistique est [10,15[.

5.1.4 Paramtre de position

Moyenne

Dfinition 5.16 (Moyenne). Dans le cas discret, on appelle moyenne dune srie statistique deffectif total N , le rel

x = n1x1 +n2x2 + +nk xkN

.

Exemple 5.17 Reprenons les donnes de lexemple prcdent. On a :Note 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Effectif 1 1 0 2 3 3 0 0 1 1 3 1 4 1 3 2 0 0 0 1 3La moyenne de la srie statistique est :x = 11+02+23+34+35+06+07+18+19+310+111+124+131+143+152+160+170+180+191+32030x = 30430 ' 10,13.

Remarque 5.18 Pour calculer la moyenne dune srie statistique continu, on prend comme valeur de caractre lemilieu de chaque classe.

PROPRITS 5.19 1. Si on ajoute toutes les valeurs dune srie statistique le mme nombre b, on augmentela moyenne de cette srie par b.

2. Si les valeurs dune srie statistique sont multiplies ou divises par un mme nombre a, la moyenne decette srie est aussi multiplie ou divise par a.

3. Si une population deffectif N est compose dune partie deffectif N1 et de moyenne x1 et dune autre partiedeffectif N2 et de moyenne x2 alors la moyenne x de la population totale est telle que :

x = N1x1 +N2x2N

.

Exemple 5.20 Si, dans une classe, les 15 garons dune classe mesurent en moyenne 182 cm et si les 20 filles me-surent en moyenne 168 cm alors la taille moyenne dun lve de cette classe est gale

15182+2016815+20 = 174 cm.

Mdiane


Dfinition 5.21 La mdiane est un paramtre de position qui permet de couper la population tudie en deuxgroupes contenant le mme nombre dindividus.

Exemple 5.22 On reprend la liste des 30 notes dun Devoir Surveill de 2nde dun lyce parisien :

5 10 12 13 20 1415 8 3 4 5 120 14 12 3 5 1910 4 9 10 15 1211 12 14 20 4 0

Pour trouver la mdiane, on range les notes par ordre croissant.

0 1 3 3 4 44 5 5 5 8 9

10 10 10 11 12 1212 12 13 14 14 1415 15 19 20 20 20

Comme il y a 30 notes, la mdiane correspond la moyenne de la 15e note et de la 16e de cette liste, do :

0 1 3 3 4 44 5 5 5 8 9

10 10 10 11 12 1212 12 13 14 14 1415 15 19 20 20 20

, x = 10+112

= 10,5.

Remarque 5.23 En gnral, la moyenne et la mdiane dune srie statistique sont deux valeurs diffrentes.

5.1.5 Paramtre de dispersion

Associ la moyenne

Dfinition 5.24 (Variance). On appelle variance dune srie statistique deffectif total N , et de moyenne x, le rel :

V = n1(x1 x)2 +n2(x2 x)2 + +nk (xk x)2

N.

Dfinition 5.25 (Ecart-type). On appelle lcart-type de la srie, le rel =pV .

Exemple 5.26 Dans lexemple des notes, on peut montrer que :

V = 7286225

' 32,115et

=p

V =

32,115 ' 5,66.

PROPRITS 5.27 1. Si on ajoute toutes les valeurs dune srie statistique le mme nombre b, lcart-typereste inchang.

2. Si les valeurs dune srie statistique sont multiplies ou divises par un mme nombre a, lcart-type estmultipli ou divis par |a|.

Associ la mdiane

Dfinition 5.28 Soit une srie statistique de mdiane M dont la liste des valeurs est range dans lordre croissant.En coupant la liste en deux sous-sries de mme effectif,

on appelle premier quartile le rel not Q1 gal la mdiane de la sous-srie infrieure ; on appelle troisime quartile le rel not Q3 gal la mdiane de la sous-srie suprieure. Lcart-interquartile est gal Q3 Q1.

5.2 Statistiques deux variables 51

]Q1 ,Q3[ est appel intervalle interquartile.

Remarque 5.29 25% de la population admet une valeur du caractre entre min et Q1, 25% de la population admet une valeur du caractre entre Q1 et M , 25% de la population admet une valeur du caractre entre M et Q3, 25% de la population admet une valeur du caractre entre Q3 et max.

Dfinition 5.30 (Diagramme en boites). Le diagramme en boites dune srie se construit de la manire suivante :

min Q1 M Q3 max

Exemple 5.31 On reprend la liste ordonne de lexemple prcdent :

0 1 3 3 4 44 5 5 5 8 9

10 10 10 11 12 1212 12 13 14 14 1415 15 19 20 20 20

On peut immdiatement voir que Q1 = 4+52 = 4,5 et Q3 = 13+142 = 13,5. Donc, on a la construction du diagramme enbtons suivant (voir la figure 5.2) :

min = 0 Q1 M Q1 max = 20

FIGURE 5.2 Construction du diagramme en bote

5.2 Statistiques deux variables

5.2.1 Vocabulaire

Dfinition 5.32 Soient x et y deux caractres quantitatifs dune mme population. chaque individu dela population, on associe un couple (xi ; yi ) o xi et yi pour 1 i n avec n entier naturel sont les valeursprises respectivement par x et y . Lensemble de ces couples constitue une srie statistique deux variablesx et y .

Dans un repre (O, # , # ), lensemble des points Mi de coordonnes (xi ; yi ) est appel nuage de points asso-ci la srie statistique.

Soit une srie statistique deux variables x et y de moyennes x et y . Le point G de coordonnes (x; y) avec :

x = x1 +x2 + +xnn

et y = y1 + y2 + + ynn

est appel le point moyen de nuage de points associ la srie statistique.

Exemple 5.33 Un magasin ralise une tude sur linfluence du prix de vente sur le nombre de machines lavervendues au cours dune anne. Le tableau suivant donne les rsultats de cette tude :


Prix xi en euros 300 350 400 450 500 600Nombre de machines vendues 210 190 160 152 124 102

Le nuage de points associ cette srie est constitu des points Mi pour i allant de 1 6 dont les coordonnes sont(300;210), (350;190), . . ., (600;102).

Le point moyen associ ce nuage de points est le point G de coordonnes (x; y) donnes par :

x = 300+350+ +6006

= 26006

433,3 et y = 210+190+ +1026

= 9386

156,3.

5.2.2 Ajustement dun nuage de points

Dfinition 5.34 Toute droite passant par le point moyen du nuage et rsumant approximativement le nuage estappele droite dajustement affine du nuage de points.

Remarque 5.35 Il existe dautres types dajustement : dans certains cas, on peut observer que visiblement une droitene convient pas mais que le nuage de points semble tre approch par un autre type de courbe, parabole parexemple. En outre, certains nuages peuvent ne pas semble tre approchables par une quelconque courbe auquelcas les deux variables ne sont pas relies entre elles.

5.2.3 Dtermination dune quation de droite dajustement affine

Mthode graphique au jug

PROPRIT 5.36 On trace au jug une droite passant par le point moyen du nuage qui semble rsumer lenuage de points. Cest une mthode simple mais qui dpend de la droite trace.


Mthode de Mayer

PROPRIT 5.37 On spare le nuage en deux sous nuages et on calcule les coordonnes des points moyenes desdeux sous nuages. La droite de Mayer est al droite passant par ces deux points. On peut montrer quelle passe aussipar le point moyen du nuage.

Exemple 5.38 Dans lexemple prcdent, on dfinit les deux sous nuages constitus des points M1, M2 et M3 pourle premier et des points M4, M5 et M6 pour le second nuage.

Le point moyen G1 du premier nuage a donc pour coordonnes :

x1 = 300+350+4003

= 10503

= 350 et y1 =210+190+160

3= 560

3 186,67.

Le point moyen G2 du deuxime nuage a pour coordonnes :

x2 = 450+500+6003

= 15503

516,67 et y2 =152+124+102

3= 378

3= 126.

La droite de Mayer est alors la droite (G1G2).


Mthode des moindres carrs

PROPRIT 5.39 Avec les notiations prcdentes, tant donn un nuage de n points Mn , il existe une droite passantpar le point moyen G et telle que la somme des carrs des carts (ou rsidus P1M 21+P2M 22+ +Pn M 2n soit minimale.Cette droite est appele droite de rgression de y en x. On peut montrer que son quation rduite est y = mx + pavec :

m = (x1 x)(y1 y)+ (x2 x)(y2 y)+ + (xn x)(yn y)(x1 x)2 + (x2 x)2 + + (xp x)2

etp = y mx.

Exemple 5.40 On considre la srie statistique deux variables suivante :

xi 5 10 15 20 25y1 13 23 34 44 50

On calcule x et y :

x = 5+10+15+20+255

= 15 et y = 13+23+34+44+505

= 32,8.

On peut dresser le tableau suivant :

i xi yi (xi x) (yi y) (xi x)(yi y) (xi x)21 5 13 10 19,8 198 1002 10 23 5 9,8 49 253 15 34 0 1,2 0 04 20 44 5 11,2 57,5 255 25 50 10 17,2 172 100

On a ainsi :

m = 198+49+0+57,5+172100+25+0+25+100 =

468,5

250= 1,875

et p = 32,8151,875 = 4,675.


On peut obtenir la droite de regression linaire avec la TI-82 en allant dans le menu Stats > Edit. On entre lesvaleurs xi dans la colonne L1 et les valeurs yi dans la colonne L2. Puis dans le mode prinicipal, on va dans Stat >Calc, on choisit LinReg(ax+b) et on tape lcran les deux listes L1 et L2.

Complments :

Dfinition 5.41 (Covariance). On appelle covariance du couple (X ,Y ), le rel :

Cov(X ,Y ) = 1n

ni=1

(xi x)(yi y).

Dfinition 5.42 (Coefficient de corrlation linaire). On appelle coefficient de corrlation linaire, le rel :

r = (X ,Y ) = Cov(X ,Y )(X )(Y )

.

PROPRIT 5.43 1. Cov(X , X ) = Var(X ) daprs la formule de Koenig.2. La covariance est une forme bilinaire symtrique positive.

3. |Cov(X ,Y )| (X )(Y ) et donc (X ,Y ) 1.4. |r | = (X ,Y )= 1 si et seulement si les points du nuages sont aligns.

THORME 5.44 (MTHODE DES MOINDRES CARRS). La droite dquation

y Y = Cov(X ,Y )(X )2

(x X )

passe par le point moyen et est la droite dquation rduite de la forme y = ax +b qui minimise la somme :n

i=1fi (axi +b yi )2

pour (a,b) R2. Autrement dit :a = Cov(X ,Y )

(X )2et b = Y X Cov(X ,Y )

(X )2


ralisent ce minimum sur R2.

Dmonstration du thorme 5.44, premire mthode. On pose

S(a,b) =n

i=1[yi axi b]2

et on introduit z = y ax b, on peut alors rcrire S(a,b) comme

S(a,b) =n

i=1z2i .

Or, on sait que

Var(z) = 1n

ni=1

(zi z)2 = 1n

ni=1

z2i z2

et, par linarit de la moyenne z = y ax b. Donc, minimiser S(a,b) revient minimiser z2i = n(Var(z)+ z2).On va donc minimiser n Var(z). On a :

zi z = yi axi b (y ax b) = (yi y)a(xi x).

Do :

n Var(z) =n

i=1(zi z) =

ni=1

[(yi y)a(xi x)]2

=n

i=1[(yi y)2 2a(xi x)(yi y)+a2(xi x)2]

=n

i=1(yi y)2 2a

ni=1

(xi x)(yi y)+a2n

i=1(xi x)2.

Or

Cov(x, y) = 1n

ni=1

(xi x)(yi y).

On a finalement :

Var(z) = Var(x)a2 2Cov(x, y)+Var(y).On reconnat un trinme du second degr. On va lcrire sous forme canonique :

Var(z) =((x)a Cov(x, y)

(x)

)2+Var(y)

(Cov(x, y)

(x)

)2=

((x)a Cov(x, y)

(x)

)2+ Var(x)Var(y)Cov(x, y)

2

Var(x).

Ainsi, Var(z) est minimal lorsque((x)a Cov(x,y)(x)

)2 = 0, cest--dire a = Cov(x,y)Var(x) et le minimum de Var(z) estVar(x)Var(y)Cov(x, y)2

Var(x).

On va maintenant minimiser z2. On a : z = y ax. Donc z est minimal si b = y ax et le minimum de z est 0.Do la droite de rgression de y en x a pour quation y = ax +b o

a = Cov(x, y)Var(x)

et b = y ax.


Dmonstration du thorme 5.44, seconde mthode. Soit f la fonction dfinie sur R2 par :

f (a,b) =n

i=1fi (axi +b yi )2.

Cest une fonction polynme de degr 2 que lon peut crire sous la forme :

f (a,b) =(

ni=1

fi x2i

)a2 +b2 +2

(n

i=1fi xi

)ab

2(

ni=1

fi xi yi

)a 2

(n

i=1fi yi

)b +

ni=1

fi y2i

f (a,b) = X 2a2 +b2 +2X ab 2X Y a 2Y b +Y 2.

Les drives partielles sont donnes par :

f

a(a,b) = 2X 2a +2X b 2X Y et f

b(a,b) = 2X a +2b 2Y

Elles sannulent simultanment en lunique point critique dfini par :

a0 = X Y +X YX 2 X 2

= Cov(X ,Y )(X )2

b0 = X Y X +Y X2

X 2 X 2= Y X Cov(X ,Y )

(X )2.

Les drives partielles secondes sont donnes par :

2 f

a2(a,b) = 2X 2 et

2 f

ab(a,b) = 2X

2 f

b2(a,b) = 2.

Avec les notations de Monge, au point (a0,b0), on a :

r t s2 = 4X 2 4X 2 = 4(X )2 > 0

ce qui assure quon a bien un minimum local en (a0,b0). De plus, un dveloppement limit lordre 2 au voisinagede (a0,b0) donne :

f (a,b) = f (a0,b0)+ 12

2 f

a2(a0,b0)(a a0)2

+ 12

2 f

ab(a0,b0)(a a0)(b b0)+ 1

2

2 f

b2(a0,b0)(b b0)2 f (a0,b0)

puisque les termes dordre suprieur sont nuls (fonction polynme de degr 2) et la forme quadratique est stricte-ment positive (r t s2 > 0) et ainsi on a bien un maximum global sur R2.

La droite dquation rduite y = a0x +b0 est la droite propose dans lnonc et passe clairement par le pointmoyen de la srie statistique.

Dfinition 5.45 (Droite dajustement). La droite dfinie ci-dessus est appele droite dajustement (ou droitede rgression de Y en X .

La sommen

i=1fi (axi +b yi )2

est appele rsidu quadratique.


Remarques 5.46 1. La droite dquation

x X = Cov(X ,Y )(Y )2

(y Y )

minimise la sommen

i=1fi (ayi +b xi )2

et sappelle droite dajustement de X en Y .

2. Notons Z = (1, . . . ,1) le caractre constant gal 1 sur la population commune X et Y . Ajuster Y en X revient considrer le projet orthogonal de Y sur le sous-espace (X , Z ) de lespace euclidien Rn pour le produitscalaire canonique.

3. Lorsque |r | = (X ,Y ) > 0,9 (valeur dpendant des auteurs et des besoins), on considre que lajustementaffine de Y en X est satisfaisant (sinon, il faut dterminer un autre type dajustement).

5.2.4 Complments - Autres types de rgression

Dans certains cas, le nuage de points laisse pressentir une relation fonctionnelle globale entre X et Y mais cetterelation nest pas ncessairement affine.

Ajustement exponentielle

Si les points Mi (xi , yi ) sont proches de la courbe dquation y =eax alors les points Ni (xi , ln yi ) sont proche dela courbe dquation y = (ln a)x + (ln) et rciproquement.

La mthode consiste chercher la droite de rgression entre X et lnY .

Ajustement par une fonction puissance

Si les points Mi (xi , yi ) sont proches de la courbe dquation y = ax alors les points Ni (ln xi , ln yi ) sont prochesde la courbe dquation y = ax + ln rciproquement.

On cherche alors la droite de rgression entre ln X et lnY .


[13] R. NOEL. Statistiques descriptives. http://amphimaths.chez-alice.f

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