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©2009 Jean-Claude SISSON Tous droits réservés

Les Plans d’Expériences Factoriels

Présentation de la méthode des Plans d’expériences et d’une formation e-learning développée par le CACEMI et le CREX

N° manifestation : 235 Date : 12/10/09 18:30

Adresse : Arts et Métiers - Hôtel d’Iéna - 9bis, avenue d’Iéna – 75016 Paris

Programme : Chacun, dans sa vie professionnelle, a été un moment ou à un autre impliqué dans des démarches de conception, de simulation numérique, d’industrialisation, de fabrication, faisant intervenir une multiplicité de facteurs contribuant à l’atteinte des objectifs. L’approche intuitive est encore généralement la solution privilégiée. Elle oblige à tester les effets de chacun des facteurs un par un. Elle ne permet pas la prise en compte de leurs interactions et de la variabilité aléatoire des grandeurs étudiées. Lorsque les grandeurs étudiées sont multiples et leurs comportements complexes, elle se révèle encore plus inefficace, fastidieuse, vorace en temps et en coûts !

Plus d'information et inscription en ligne : www.crex.fr

Organisateur : GP 43 QUALITÉ – SERVICES

Intervenants : Jean-Claude SISSON et Patrice LEFRANCOIS



Les essais coûtent chers, comment les optimiser?

La Méthode des Plans d’Expériences Factoriels

Introduction à la méthode

Jean-Claude SISSON

[email protected]

CREX / SERAM / ENSAM 151, Bd de l’Hôpital 75013 PARIS

2

1

2

1

2

1

A

3

3

2

2

1

1

B

13 15

18 18

14 18

19 17

16 14

20 22

Y

Y( A, B, … ) = m + [ a1 a2 ] [ A ] + [ b1 b2 b3 ] [ B ] + … + [ tA ] c11 c12 c13 [ B ] + …c21 c22 c23



• Méthode statistique développée par Sir Arnold FISHER vers la fin des années 1920 pour les besoins de l’agronomie, faisant suite àses travaux sur l’analyse de la variance

• Méthode rendue plus facile à pratiquer par des non statisticiens, dans d’autres secteurs que l’agronomie, suite aux travaux de GenichiTAGUCHI, dans les années 1950

Les gourous



• Objectif de la méthode• Introduction• Le principe de la méthode• Le code de bonne pratique • Une étude de cas détaillée• Bibliographie et Logiciels

Sommaire



Objectif de la méthode

En secteur industrielAccroître l’efficacité des activités appelant une expérimentation

(essais physiques, simulations numériques, sondages, …) pendant la définition et le développement

des produits ou des process

Pour :Réduire les coûts et le délais

Rechercher des solutions plus optimiséesMieux interpréter les comportements observés



• Objectif de la méthode• Les campagnes d’essais ordinaires• Les plans d’expériences factoriels • Une étude de cas détaillée• Bibliographie et Logiciels

Sommaire

2



On abandonne les campagnes d’essais ordinaires…

qui sont caractérisées par :

• Une succession d’essais « à la queue leu leu » définis par tâtonnement• Une démarche facteur par facteur• Une analyse non statistique, résultat par résultat• Un cheminement expérimental non planifié et de type labyrinthique• Une incapacité à prévoir le comportement du système étudié, donc de

dégager une solution si un « bon essai » n’a pas encore été réalisé,• Une recherche de solution pouvant être très difficile, notamment, lorsque

plusieurs grandeurs doivent être optimisées conjointement



Parce qu’elles présentent 2 défauts en rapport avec la complexité des phénomènes étudiés et la difficulté de planifier scientifiquement des essais :

1. Les couplages d’effets entre facteurstrès difficiles à mettre en évidence avec une campagne d’essais ordinaire

2. La variabilité naturelle des grandeurs à optimiserqui appelle l’usage des Proba-Stat et dont le recours n’est pas fréquent lors de l’interprétation des effets de facteurs

Les principales conséquences:• une mauvaise interprétation des lois de comportement étudiées• beaucoup d’essais, en nombre souvent imprévisibles• des solutions techniques pas toujours optimisées

On abandonne les campagnes d’essais ordinaires… Pourquoi?



N°1. Les couplages d’effets entre facteurs

Cr1 = 2% Cr2 = 4% Cr3 = 8 % Cr

Réponse Y = DURETE en RC D’UN ACIER AU CHROME MOLYBDENE

Mo2 = 3%

Mo1 = 1%

EFFE

T TO

TAL

DU

FA

CTE

UR

Cr/

Mo2

EFFE

T TO

TAL

DU

FA

CTE

UR

Cr/

Mo1

Les effets du facteur Chrome dépendent des niveaux du facteur Molybdène

et réciproquement…

⇒ Nécessité de tester toutes les combinaisons de niveaux entre 2 facteurs

Les 2 défauts des campagnes d’essais ordinaires



N°2. La variabilité aléatoire des grandeurs Y à optimiser

Les 2 défauts des campagnes d’essais ordinaires

M120 = 38 500 km

m100 = 47 500 km

55 000 km

40 000 km

EFFET REEL INCONNUEFFET REEL ESTIME

= - 9 000 km

V1 = 100 km/h V2 = 120 km/h

Réponse Y = Durée de vie d’un pneumatique

Facteur V = Vitesse

En raisonnant sur les résultats moyens à V1 et a V2

⇒ Nécessité de comparer des moyennes pour obtenir une meilleure estimation des effets réels

47 000 km

30 000 km

μμ 100100 inconnueinconnue

μμ 120 120 inconnueinconnue

Les paramLes paramèètres de ces distributionstres de ces distributionssont les inconnuessont les inconnues

Première série d’essaisDeuxième série d’essaisEffet finalement estimé

1

2



Citons les principales:

– L’interprétation physique des résultats d’essais n’est pas objective, car trop dépendante de la succession des essais réalisés par l’expérimentateur

– Le nombre d’essais pour atteindre un objectif est souvent imprévisible

– Les solutions techniques obtenues pas toujours optimisées

– Impossibilité de faire des essais « en parallèle » (très utiles en agronomie notamment)

Les conséquences de ces 2 deux défauts congénitaux



Pour prendre en compte:

1. Les couplages d’effets entre facteurs :

Il faut étudier conjointement tous les facteurs d’intérêt, notamment, tous les couples de niveaux entre couples de facteurs

2. La variabilité naturelle:

Il est nécessaire de comparer des moyennes de résultats et non plus des résultats individuels, ce qui implique de faire des répétitions

Avec une contrainte:Ne pas accroître le nombre d’essais!

Le diminuer si possible !!

Comment corriger ces 2 défauts congénitaux

3



12212121122

22111212122

21221111222

11221222112

21112221212

12122112212

11212212221

12121221221

21122122121

22211122211

22222211111

11111111111

LKJHGFEDCBA

Exemple de matrice factorielle à 11 facteurs à 2 niveaux

M =

Il existe une solution !!!Les essais structurés avec les matrices d’expériences factorielles

Quelques propriétés la matrice d’expériences présentée• Pour passer d’une combinaison d’essais à une autre, on modifie les niveaux de plusieurs facteurs en

même temps• Dans une colonne qcq, tous les niveaux d’un facteur sont présents et uniformément répétés• Dans deux colonnes qcq, toutes les combinaisons de niveaux de ces deux facteurs sont présentes et

uniformément répétées• La matrice ne comporte ici que 12 combinaisons d’essais parmi les 211 = 2048 possibles• La solution sera ici recherchée dans les 2048 combinaisons à partir des résultats de ces 12 essais !!!

Y12

Y11

Y10

Y9

Y8

Y7

Y6

Y5

Y4

Y3

Y2

Y1

Y

Essais



• Objectif de la méthode• Les campagnes d’essais ordinaires• Les plans d’expériences factoriels • Une étude de cas détaillée• Bibliographie et Logiciels

Sommaire



Relation Finconnue Yi

A

B…

Z

Les facteurs La ou les réponses

Fluctuations aléatoires ω

Il doit exister une relation de causalité F telle que:Y = F (A,B,C, …, ω )

entre: les grandeurs à optimiser Yi (les réponses) et les variables A,B,…,Z (les facteurs) sur lesquelles on compte agir pour atteindre les objectifs sur le Yi

Cible Cible ààatteindreatteindre

Une 1ère Condition d’application des PEF

Les ω représentent les sources de fluctuations aléatoires sur Y



Quels niveaux àfixer aux facteurs

A,B,C… ?

On vise: • Y1 mini• Y2 = Y20• …

Problème inverse à résoudre:

Relation Finconnue

Les facteurs:• A = Rapport Volumétrique

• B = Avance à l’injection

• C = Pression de sural.

• Etc.

Les réponses Yi :

• Y1 = Consommation• Y2 = Puissance• Etc.


Exemple de problématique relevant des PEF



2. Tous les facteurs susceptibles d’avoir un effet sur Y doivent avoir leurs niveaux parfaitement identifiables et, dans la mesure du possible, maîtrisables(*) pendant les essais qui devront être réalisés

3. Les niveaux des facteurs quantitatifs ne doivent pas être liés par une contrainte égalitaire (telle que, par exemple, leur somme soit toujours égale à 1)

4. Pendant les essais, toutes les combinaisons de niveaux entre 2 facteurs quelconques doivent être réalisables (voir 3 ou 4 facteurs)

Trois autres conditions d’application des PEF

(*) si certains facteurs ne peuvent pas être parfaitement maîtrisés, il est généralement possible d’adapter la méthode pour la mettre en oeuvre



• Les réponses Y peuvent être multiples

• Les facteurs peuvent être indifféremment qualitatifs, ou quantitatifs ( leurs niveaux sont alors des attributs ou des valeurs numériques) :

Exemple de facteurs qualitatifs:

• une géométrie de culasse,• une nuance de matériaux,• une référence d’huile,

• Le nombre de facteurs susceptibles d’avoir un effet sur Y peut être assez grand :Une vingtaine maxi, rarement plus, bien qu’il soit possible en théorie d’en prendre beaucoup plus

Spécificité des campagnes structurées avec les PEF

4



En Marketing :• pendant les études quantitatives de marché, de comportement des consommateurs…• en analyse sensorielle multifactorielle

En Recherche Appliquée :• pour la modélisation empirique des lois de comportement

En Développement et en industrialisation :• pour la définition des produits et des procédés de fabrication• pour l’optimisation de la fiabilité• pour le dimensionnement probabiliste de certaines structures

En Méthodes Fabrication et Contrôle :• pour la définition des paramètres essentiels des procédés de fabrication• pour l’optimisation et la robustesse des réglages• pour l’optimisation de calculateurs et de logiciels• pour l’amélioration des capabilités

En Fabrication :• pour la réduction des taux de défauts et de rebuts

Leur domaine d’application (*)(*) liste non limitative(*) liste non limitative




Sommaire



Le principe de la méthode des PEF

Relation FInconnue

????Yi

A

B…

Z

Les facteurs La ou les réponses


La relation F sera modéliséepour chacune des réponses

L’exploitation des modèles permettrasi nécessaire la résolution du problème inverse

Les facteurs sontqualitatifs ou quantitatifs

Les réponses peuventêtre multiples



1. On définit en fonction de la problématique (*) les facteurs du modèle (ceux de la relation Y = F(A,B,C, D, …)

2. On fixe les niveaux à affecter aux facteurs(le domaine expérimental se trouve ainsi maillé, voir la figure, les combinaisons des facteurs correspondent aux nœuds du maillage)

3. On fait choix d’un type de modèles pour G en fonction du type d’objectifs visés, (ses coefficients sont les inconnues):

Y = I + A + B + C + D + … + AB + AC + …

Pour l’ensemble des réponses Y étudiées conjointement:

(*) en respectant fidèlement le guide de bonne pratique des PEF

La démarche générale de mise en œuvre d’un Plan d’expériences

Y

0

Part déterministe de F

A

B …A1

B1

A2

B2 B3


A

B …A1

B1

A2

B2 B3

Domaine expérimental



4. On construit une « matrice d’expériences » qui définit les essais à réaliser, spécifique au type de modèles retenu, des facteurs et de leurs nombres de niveaux:

22

11

22

11

22

11

22

11

22

11

22

11

CC

11

22

22

11

11

22

22

11

11

22

22

11

DD

2233

1133

2222

1133

2222

1122

22

11

22

22

11

11

BB

33

22

11

11

11

11

AA

Matrice M =

Ici se

ulem

ent 1

2 ess

ais

néce

ssair

es pa

rmi le

s

24 po

ssib

les !!

Essais de la matrice d’expériencesEssais non utiles

Y

0


A

B …A1

B1

A2

B2 B3


A

B …A1

B1

A2

B2 B3




G = 120 + [ 3 2 -5 ][A] + [ -10 10 ][B] + [ 0 0 ][C] + [ 20 -20 ][D] + [ tA] -1 1 [B] + [ tA] 5 -5 [C] 0 0 10 -10 1 -1 -15 15

5. On réalise les essais appelés par la « matrice d’expériences »

33

33

33

33

22

22

22

22

11

11

11

11

AA

22

22

11

11

22

22

11

11

22

22

11

11

BB

22

11

22

11

22

11

22

11

22

11

22

11

CC

11

22

22

11

11

22

22

11

11

22

22

11

DD

M =

159

89

11

111

142

122

82

142

149

119

87

137

Y

6. On estime ponctuellement les coefficients du modèle:

EssaisEssais

5



7. On prend en compte la part de variabilité aléatoire et on procède àl’interprétation statistique du ou des modèles, en vue de déterminer les effets significativement différents de 0

8. On exploite, pour chaque réponse Y, le modèle final obtenu , en vue notamment de:

• Connaître l’importance des effets de facteurs et des interactions

• D’avoir une interprétation objective de la loi de comportement F pour chacune des réponse Y

• Pouvoir faire, le cas échéant, des prévisions des valeurs prises par une réponse Y, pour des combinaisons de la matrice d’expériences complète sous-jacente, non réalisée avec la matrice d’expériences incomplète

• Trouver une solution répondant, le mieux possible, au problème posé

Le principe des PEF: L’exploitation des modèles




Sommaire



LE RÔLE FONDAMENTAL DU TRAVAIL EN GROUPE

L’efficacité d’un plan d’expériences dépend beaucoup de la connaissance initiale du sujet à traiter

Cette méthode appelle le recours au travail en groupe, lorsque la connaissance technique nécessaire au traitement du sujet est partagée par un groupe de personnes préalablement identifiées

Un animateur est requis lorsque le groupe de travail est au moins constitué d’une demi-douzaine de personnes

11

11

11

11

AA

22

22

11

11

BB

22

11

22

11

CC

11

22

22

11

DD

11

AA

11

BB

Plan dPlan d’’expexpéériences Dieselriences Diesel....

Un Code de bonne pratique



LES PRINCIPALES ETAPES DE

LA DEMARCHE DES

PLANS D’EXPERIENCES (*)

Formulation des objectifs

Choix des facteurs

Choix de leurs niveaux

Choix d’un type de modèles

Construction de la matrice

Réalisation des essais

Analyse des résultats

Recherche d’une solution

Validation de la solution

Choix d’une stratégie

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10(*) La procédure complète comporte 14 Étapes

Le code de bonne pratiqueminimise les risques d’échecs



2. Choix d’une stratégie d’expérimentation

Elle est fonction du type d’objectifs à atteindre:

Objectifs de Type P : Les facteurs influents doivent d’abord être connus

• Recherche d’une valeur nominale pour au moins une réponse• Recherche d’un extremum avec peu de facteurs• Modélisation prédictive d’une loi de comportement

Objectifs de Type Q :

• Recherche des facteurs influents parmi un assez grand nombre• Rechercher un domaine expérimental pour la recherche de solutions• Recherche d’extremum (mini ou maxi) pour toutes les réponses



Stratégies par défaut de type P

Pour objectifs P: Les facteurs influents doivent être connus

• Recherche d’une valeur nominale pour au moins une réponse• Recherche d’un extremum avec peu de facteurs• Modélisation prédictive d’une loi de comportement

Elle appelle généralement la prise en compte:

• d’un faible nombre de facteurs, inférieur ou égal à 5 ou 6• d’un modèle (du 2ième ordre), dans lequel seules les interactions dont on

a la certitude du caractère négligeable, peuvent ne pas être présentes• d’une matrice d’expériences de type P

On peut aussi avoir recours à des stratégies plus élaborées


6



Stratégies par défaut de type Q

Pour objectifs Q : • Recherche des facteurs influents parmi un assez grand nombre• Rechercher un domaine expérimental pour la recherche de la solution• Recherche d’extremum (mini ou maxi) avec beaucoup de facteurs pour

toutes les réponses

Elle appelle généralement la prise en compte:

• d’un assez grand nombre de facteurs (nb compris entre 7 et 19 ou +)• d’un modèle (du 1er ordre) dans lequel toutes les interactions sont

volontairement absentes• d’une matrice d’expériences de type Q

On peut aussi avoir recours à des stratégies plus élaborées




A1 A2 A3A

Y

Effet a1 = -5

Effet a2 = 20

Effet a3 = - 15Moyenne des Y = 100

Y(A) = 100 + [ -5 20 -15 ] [ A ]

5. Choix d’un type de modèles

321A

8512095

Y

Principe de la modélisation : cas d’un facteur

EXEMPLE NUMERIQUE

95

120

85



B2 B1

A1 A2 A3

20

15

A

Y

B

21

15

18 18

1416

231322122111BA

141816181521

Y

Principe de la modélisation: cas de deux facteurs

EXEMPLE NUMERIQUE




AA1 A2 A3

Y

18

21

Y(A ,B1) = 19 + [ 2 -1 -1 ] [ A ]

19

A

Facteur B fixé au niveau 1

A1 A2 A3

Y

1615 14

Y(A ,B2) = 15 + [ 0 1 -1 ] [ A ]

15

Facteur B fixé au niveau 2

Description des effets du facteur A en fonction des niveaux de BPrincipe de la modélisation: cas de deux facteurs




Facteur A fixé au niv.1

B1 B2

Y

15

21

Y (A1 ,B) = 18 + [ 3 - 3 ] [ B ]

18

B


B1 B2

Y

16

18

Y (A2 ,B) = 17 + [ 1 - 1 ] [ B ]

17

B


B1 B2

Y

14

18

Y (A3 ,B) = 16 + [ 2 - 2 ] [ B ]

16

B

Description des effets du facteur B en fonction des niveaux de A





Y(A ,B1) = 19 + [ 2 -1 -1 ] [ A ]Y(A ,B2) = 15 + [ 0 1 -1 ] [ A ]

Effets moyens de A: [ 1 0 -1] [ A ]

Y(A1 ,B) = 18 + [ 3 -3 ] [ B ]Y(A2 ,B) = 17 + [ 1 -1 ] [ B ]Y(A3 ,B) = 16 + [ 2 -2 ] [ B ]

Effets moyens de B: [ 2 -2 ] [ B ]

Ecarts pour B1: [ 1 -1 0 ] [ A ]Ecarts pour B2: [ -1 1 0 ] [ A ]

Ecarts pour A1: [ 1 -1 ] [ B ]Ecarts pour A2: [ -1 1 ] [ B ] Ecarts pour A3: [ 0 0 ] [ B ]

Termes de couplage: [ tA] 1 -1 [ B ]-1 1 0 0

Définition des Effets Moyens et des Termes de Couplage

La grande moyenne ou moyenne des moyennes est: Yb = 17

5. Choix d’un type de modèlesPrincipe de la modélisation: cas de deux facteurs

7



La fusion des expressions précédentes conduit à l’expression du modèle sous la forme:

17 est la constante [ou potentiel moyen] du modèle,[ 1 0 -1 ] [ A ] représente les effets moyens du facteur A[ 2 - 2 ] [ B ] représente les effets moyens du facteur BLe dernier terme caractérise l’interaction entre les facteurs A et B

Cette modélisation se généralise à un nombre quelconque de facteurs

Y( A, B ) = 17 + [ 1 0 -1 ] [ A ] + [ 2 -2 ] [ B ] + [ tA] 1 -1 [ B]-1 1 0 0





Tant que les essais n’ont pas été réalisés, les coefficients d’un modèle sont des inconnues. Les modèles sont représentés symboliquement par:

Cas d’un facteur A : Y = I + A

Cas de 2 facteurs A et B:avec interaction : Y = I + A + B + ABsans interaction: Y = I + A + B

Cas de 3 facteurs A, B et C : avec toutes interactions: Y = I + A + B + C + AB + AC + BC + ABCsans l’interaction ABC (*): Y = I + A + B + C + AB + AC + BCsans interactions: Y = I + A + B + C

(*) les interactions entre 3 facteurs et plus sont généralement négligées

NB 1: Les nombres de niveaux affectés aux facteurs seront mentionnés dans le modèle symbolique, en dessous de la lettre qui désigne le facteurNB 2: La structure des modèles retenus peut aussi être décrite avec un graphe linéaire

Modélisation: Représentation symbolique5. Choix d’un type de modèles



Dès que les nombres de niveaux des facteurs sont définis on les fait figurer dans les modèles symboliques, sous les lettres attribuées aux facteurs:

Exemple:

Y = I + A + B + C + D + E + AB + AD + AE(3) (2) (2) (2) (2)

Mention des nombres de niveaux des facteurs




Pour les modèles qui ne comportent pas d’interactions entre plus de 2 facteurs

– Les facteurs sont disposés aux sommets d’un polygone régulier ( dont la dimension correspond au nombre de facteurs inclus dans le modèle),

– Chaque interaction entre 2 facteurs est représentée par une brancheentre les sommets des facteurs correspondants.

Graphe linéaire associé à un modèle

Exemple:Y = I + A + B + C + D + E + AB + AD + AE

A

B

CD

E




Pour préciser le statut des interactions manquantes dans un modèle incomplet, nous leur attribuerons, le:

– Code P: lorsque les interactions manquantes du modèle, sont toutes fortement présumées négligeablesOn se limitera en pratique aux modèles d’ordre 2 au plus

– Code Q: lorsque les interactions manquantes du modèle, sont toutes volontairement négligéesOn se limitera en pratique aux modèles d’ordre 1 au plus

NB: Cette attribution est en rapport direct avec la notion de « stratégie d’expérimentation » qui sera développée dans le prochain chapitre

Codes attribués à un modèle incomplet




6. Construction de la matrice d’expériences

?????????????????????????????????????????????????????????????????……CBA

QUELLE MATRICE ?à associer à un modèle

symbolique tel que:

Y = I + A + B + C + D + E + AB + AD + AE(3) (2) (2) (2) (2) Code P

1. On doit d’abord déterminer le format de la matrice d’expériences, c’est à dire:

• son nombre de colonnes• son nombre N de lignes

2. On doit ensuite remplir les colonnes

8



?????????????????????????????????????????????????????????????????EDCBA

Etape 1: Le Format de la Matrice

Son nombre de colonnes

Le nombre de colonnes correspond au nombre de facteurs du modèle

Exemple:

Y = I+A+B+C+D+E+AB+AD+AE(3) (2) (2) (2) (2) Code P

La matrice comportera donc 5 colonnes




?????????????????????????????????????????????????????????????????EDCBA

Etape 1: Le Format de la Matrice

Son nombre N de lignes

Les lignes d’une matrice d’expériences définissent les combinaisons distinctes de

niveaux des facteurs pour les essais.

Le nombre N doit toujours satisfaire la condition d’algèbre générale:

Nmin ≤ N ≤ Nmax




Le nombre minimum Nmin de combinaisons distinctes d’une matrice d’expériences doit toujours être au moins égal au nombre p de coefficients indépendants du modèle retenu.Ainsi: Nmin = p

Le nombre p de coefficients indépendants d’un modèle est égal à la somme des nombres de coefficients indépendants de chacune des actions I, A, B, …, AB, …, qui le compose:

Pour le terme constant I:Nb de coefficients indépendants = 1

Pour un facteur A quelconque à nA niveaux:Nb de coefficients indépendants = nA – 1

Pour une interaction entre facteurs:Nb de coefficients indépendants = produit des nombres de coefficients

indépendants des facteurs qui la compose

Format d’une matrice d’expériences

Nombre minimum Nmin de lignes




Exemple:

1 2 1 1 1 1 2x1 2x1 2x1 ⇒ p = 13Y = I + A + B + C + D + E + AB + AD + AE

(3) (2) (2) (2) (2)

Donc: N mini = 13


Nombre minimum de lignes




Le nombre maximum Nmax de combinaisons distinctes d’une matrice d’expériences est toujours égal au produit des nombres de niveaux des facteurs du modèle. La matrice correspondante est qualifiée de « matrice complète ».Ainsi: Nmax = nA nB nC ….

Exemple: Y = I + A + B + C + D + E + AB + AD + AE

(3) (2) (2) (2 ) (2)

Nmax = 3 x 2 x 2 x 2 x 2 = 48


Nombre maximum Nmax de lignes




?????????????????????????????????????????????????????????????????EDCBA


Fin de l’exemple:Y = I + A + B + C + D + E + AB + AD + AE

(3) (2) (2) (2) (2) Code P

Son nombre N de combinaisons distinctes doit satisfaire la condition

d’algèbre générale:

13 ≤ N ≤ 48


9



Plusieurs méthodes peuvent être utilisées: • La méthode TAGUCHI (*)• La construction algorithmique• La construction analytique

La méthode TAGUCHI appelle, pour l’obtention des matrices d’expériences les plus usuelles, l’utilisation de « tables orthogonales » (voir leur recueil)

Elles sont désignées par des expressions du type LN (ar) ou LN ( ar x bs):• N désigne le nombre de combinaisons des matrices pouvant être construite avec

la table• ar mentionne que la table possède r colonnes, pouvant être affectées à des

facteurs possédant « a » niveaux• bs indiquant que la table possède s colonnes pour des facteurs à « b » niveaux

(*) Seule cette méthode est abordée ici

Étape 2: Remplissage des colonnes




Les Tables de TAGUCHI Un exemple la table L8 (27)Elle permet de construire des plans d’expériences à N = 8 combinaisons

lorsque les facteurs n’ont que 2 niveaux

Comment extraire les colonnes qui vont constituer la matrice d’expériences?

Elle comporte des graphes linéaires pour faciliter l’attribution des facteurs aux colonnes lorsque il y a des interactions dans le modèle




DCBA

N = 8

Le principe d’utilisation des tables de TAGUCHI

Les colonnes de la matrice seront extraites de la table et affectées aux facteurs selon

une procédure bien précise

Y = I + A + B + C + D + AB + AC(2) (2) (2) (2)

Selon procédure développée ci-après

6. Construction d’une matrice d’expériences

p = 7⇓

N ≥ 7⇓

L N ≥ 7(2 ≥ 4)



Procédure simplifiée

1. Écrire le modèle symbolique retenu, préciser les nb de niveaux des facteurs et le code

2. Établir le graphe linéaire correspondant

3. Calculer le nombre p de coefficients indépendants du modèle

4. Rechercher une table LN (akxbl) telle que N≥p compatible avec le besoin (*)

5. Affecter à chaque facteur une colonne de la table, en commençant par ceux qui sont en interaction dans le modèle

6. Constituer la matrice d’expériences en extrayant de la table les colonnes affectées aux facteurs

(*) Les principales tables de Taguchi sont disponibles dans un fichier séparé




A

D

B

C

Illustration de l’utilisation des Tables de TAGUCHI1. Écrire le modèle symbolique retenu et préciser les niveaux affectés aux facteurs

Y = I + A + B + C + D + AB + AC Code P(2) (2) (2) (2)

2. Établir le graphe linéaire du modèle,

3. Calculer le nombre p de coefficients indépendants du modèle

1 1 1 1 1 1 1 ⇒ p = 7 ⇒ N ≥ 7Y = I + A + B + C + D + AB + AC

(2) (2) (2) (2)

4. Besoin en tables: L N≥7 (2≥4)P ,

Tables retenues : L 8(27)P




Illustration de l’utilisation des Tables de TAGUCHI

5. Affectation des colonnes :

• aux facteurs en interaction :a. Graphe des interactions du modèle : b. Graphe retenu de la table

c. superposition des 2 graphes :

d. tableau d’affectation des colonnes aux facteurs :

• aux facteurs non en interaction :reste pour D les colonnes 6 ou 7 au choix (on retient 7)

A B

C

1

2 4

753

6

1A

2B 4C

753

6

DACCABBA

7654321


10



Illustration de l’utilisation des Tables de TAGUCHI,

6. Constituer de la matrice d’expériences en extrayant les colonnes affectés aux facteurs dans la table de Taguchi L 8(27)P retenue :

12212112

12121212

11221122

11112222

Den 7

C en 4

Ben 2

Aen 1

M =




Modèle à estimer: Y = I + A + B + C + D + AB + AC(3) (2) (2) (2)

Y = 120 + [3 2 -5][A] + [-10 10][B] + [0 0][C] + [20 -20][D] + [ tA] -1 1 [B] + [ tA] 5 -5 [C] 0 0 10 -10 1 -1 -15 15

Matrice

122112211221

D 137871191491428212214211110189159

Y121212121212

112211221122

111122223333

C B A

L’estimation ponctuelle des coefficients des modèles appelle l’usage des 4

opérations élémentaires de l’arithmétique

8. Analyse des résultats




Sommaire



Optimisation de la consommation spécifique d’une version de moteurs Diesel suralimentés, semi rapidesCAHIER DES CHARGES

OBJECTIF : Déterminer la loi d’adaptation d’un type de moteurs Diesel permettant de minimiser leur consommation spécifique sous contrainte d’une puissance nominale qui doit répondre au cas par cas à l’expression des besoins clients

DELAI: Le cycle de développement de ces moteurs prévoit la conduite de ces essais, après toute évolution substantielle de la définition de la chambre à combustion (environ tous les deux ans)

PERIMETRE DE L’ETUDE: Les facteurs d’adaptation faisant l’objet de l’optimisation au cas par cas, sont généralement au nombre de trois:

• Rapport volumétrique: souhaitable entre 12,6 et 16• Avance à l’injection: souhaitable entre 12° et 18,5°• Pression de suralimentation: souhaitable entre 2,7 et 3,3 bar

NB: la course de l’arbre-manivelle est parfois un quatrième facteur d’optimisation

Étude de cas



CAHIER DES CHARGES MOTEURS DIESEL

REPONSE PRINCIPALE :

• Y : Consommation spécifique des moteurs Diesel en g/CV.h

RÉPONSE CONTRAINTE :

• Z : Puissance spécifique en CV

CIBLES VISEES:

On impose ici plusieurs valeurs de la contrainte Z (la puissance spécifique nominale), susceptibles de répondre à des besoins distincts de clients, en fonction des applications marines ou terrestres:

Z0 = 140, 150, 160, 200

On recherche parmi toutes les combinaisons de niveaux des trois facteurs qui satisfont la contrainte Z = Z0, celle qui minimise la consommation spécifique Y

Etude de cas



STRATEGIE D’EXPERIMENTATION MOTEURS DIESEL

L’objectif est de type P:

• Puisque qu’on vise pour la réponse Z (puissance spécifique) une valeur nominale Z = Z0

LA STRATÉGIE RETENUE EST DU TYPE P

• Les facteurs influents sont au nombre de 3

• Les nombres de niveaux des facteurs sont choisis de telle sorte que l’on puisse modéliser le comportement de Y et de Z de façon continue dans tout leur domaine de variation

• Un modèle d’ordre 2 de type P c’est à dire un modèle dans lequel toutes les interactions entre deux facteurs sont présentes, car elles ne sont pas négligeables,

• Une matrice d’expériences compatible avec le code P du modèle

• Le mode d’exploitation des modèles appellera la mise en œuvre de la méthode d’optimisation sous contraintes, du Lagrangien généralisé

Etude de cas

11



FACTEURS, DOMAINE ET NIVEAUX MOTEURS DIESEL

Les facteurs, leur domaine de variation et les niveaux retenus sont les suivants:

2,7 - 3 - 3,3 2,7 à 3,3 barW: Pression de suralimentation12 - 18,512° à 18,5°V: Avance à l’injection12,6 - 1612,6 à 16U: Rapport volumétrique

NIVEAUXDOMAINE DE VARIATION

FACTEURS

Etude de cas

NB: Les nombres de niveaux optimaux ont NB: Les nombres de niveaux optimaux ont ééttéé ddééterminterminéés par exploitation des donns par exploitation des donnéées es existantes existantes



MODELE SYMBOLIQUE RETENU MOTEURS DIESEL

Compte tenu: • du choix de la stratégie P• du nombre de niveaux retenu pour les facteurs • de la liste des facteurs retenus, l’expression symbolique du modèle à étudier est le suivant:

Y = I + U + V + W + UV + UW + VW(2) (2) (3)

On montre que le nombre de combinaisons de la matrice orthogonale à retenir est de la forme :

N = 12 k avec k ≥ 1

Le nombres de combinaisons de la matrice complète étant: NC=12

Il conviendra alors de construire la matrice factorielle complète

Etude de cas



CONSTRUCTION DE LA MATRICE MOTEURS DIESEL

La matrice factorielle compète estla suivante:

322

222

122

312

212

112

321

221

121

311

211

111

WVU

M =

Etude de cas



EXECUTION DES ESSAIS MOTEURS DIESEL

Les mesures au banc de la consommation Y et de la puissance spécifique mesurées pour chacune des combinaisons de ma matrice M figurent ci-après:

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

U

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

V

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

W

228,2187,6

215,5189

202,9191,1

189,5195

177,1196,4

166,5200,3

176,5196,6

166,3197,9

156,8201,7

147,1204,4

138,6207

130,9211,8

ZY

Etude de cas



ANALSE DES RESULTATS D’ESSAIS MOTEURS DIESEL

Estimation des coefficients du modèle de Y, exprimée en g/CV.h :

Y = 198,23 + [ 5,00 - 5,00 ] [ U ]

+ [ 4,25 - 4,25 ] [ V ]

+ [ 2,99 - 0,66 - 2,33 ] [ W ]

+ [ tU ] 0,25 - 0,25 [ V ]

- 0,25 0,25

+ [ tU ] 0,53 - 0,13 - 0,40 [ W ]

- 0,53 0,13 0,40

+ [ tV ] 0,58 - 0,13 - 0,45 [ W ]

- 0,58 0,13 0,45

Etude de cas




Estimation des coefficients du modèle de Z, exprimée en CV:

Z = 174,67 + [ - 21,95 21,95 ] [ U ]

+ [ - 16,37 16,37 ] [ V ]

+ [ - 10,38 - 0,30 10,68 ] [ W ]

+ [ tU ] 2,53 - 2,53 [ V ]

- 2,53 2,53

+ [ tU ] 1,53 0,05 - 1,58 [ W ]

- 1,53 - 0,05 1,58

+ [ tV ] 0,79 - 0,13 - 0,66 [ W ]

- 0,79 0,13 0,66

Etude de cas

12




Modèle symbolique polynomial de la surface de réponse pour Y:

Y = (I + U) (I + V) (I + W + W2)

Modèle polynomial tronqué au second degré:

Y = m + a u + b v + c w + d w2 + e uv + f uw + g vw

L’estimation des coefficients du modèle polynomial à partir des résultats de la matrice d’expériences est :

Y = 457,78 - 6,35 u - 3,53 v - 95,69 w + 10,07 w2 + 0,05 uv + 0,91 uw + 0,53 vw

Valable dans le domaine de variation précédemment défini

Etude de cas




Modèle symbolique polynomial de la surface de réponse avec: Z = w u1,4 + Z’

Z’ = Z – w u1,4 = (I + U) (I + V) (I + W + W2)

Modèle polynomial de Z tronqué au second degré:

Z’ = m + a u + b v + c w + d w2 + e uv + f uw + g vw

L’estimation des coefficients du modèle à partir des résultats de la matrice d’expériences est :

Z = w u1,4 + 83,54 – 3,07 u – 4,60 v - 5,86 w + 0,95 uv – 1,16 uw

Valable dans le domaine de variation précédemment défini

Etude de cas



RECHERCHE D’UNE SOLUTION MOTEURS DIESEL

Nous recherchons parmi toutes les valeurs de [ u, v, w] qui satisfont Z = Zo la valeur [uo, vo, wo] qui minimise Y.

La démarche consiste à rechercher l’extremum du Lagrangien:

L(λ, u, v, w) = Y (u, v, w) + λ [ Z(u, v, w) – Zo]

obtenu en résolvant le système d’équations des dérivées partielles nulles de L par rapport à λ, u,v,w:

∂λL = 0 ∂uL= 0 ∂vL = 0 ∂wL = 0

Si λ est positif, l’extremum obtenu pour la réponse Y est minimum.

Etude de cas



RECHERCHE D’UNE SOLUTION MOTEURS DIESEL

On a recherché parmi toutes les valeurs de [ u, v, w] qui satisfont Z = Z0 la valeur [u0, v0, w0] à affecter aux facteurs U, V, W, qui minimise Y.

Les résultats sont les suivants pour les différentes valeurs de Z0 retenues:

2,89

3,13

3,20

3,27

w0

191,5915,8317,090,226200

200,9213,7313,090,258160

203,4213,1312,080,269150

206,0312,5111,040,280140

Yminiv0u0λZ0

Etude de cas



CONCLUSION:

La méthode présentée a été mise en œuvre à partir d’une base de données existantes, correspondant à une campagne de 72 essais durant 6 mois, dont l’exploitation était réalisée graphiquement.

La campagne structurée selon la méthode des plans d’expériences factoriels ne comporte que 12 essais.

La comparaison des deux démarches, effectuée par le Service Essais de la Société qui développe ces moteurs, a établi que les résultats de l’optimisation conduite avec la méthode présentée, sont tout a fait en accord avec leurs résultats d’optimisation, à 1 ou 2% près.

Le rapport d’efficacité Ref de la méthode présentée, par rapport à la démarche traditionnelle est :

Ref = 72/12 = 6

NB: On notera que le domaine de variation des facteurs dans lequel était recherchée une solution optimale, avait été préalablement déterminé avant la réalisation des 72 essais.

Étude de cas



204,40147,103,2812,6012,0025

207,00138,602,9912,6012,0024

211,80130,902,6912,6012,0023

205,00168,202,4112,6024,5022

200,80178,602,7012,6024,5021

196,80209,303,5912,6024,5020

196,30202,203,2912,6024,5019

197,80191,803,0012,6024,5018

199,30183,303,8912,6016,3017

198,40174,103,5712,6016,3016

197,80168,203,3012,6016,3015

199,80158,303,0012,6016,3014

203,60148,902,6912,6016,3013

209,60139,902,4112,6016,3012

198,10191,203,8712,6018,5011

196,60184,403,5812,6018,5010

196,60176,503,2912,6018,509

197,40166,302,9912,6018,508

201,70156,802,7012,6018,507

206,60147,302,2912,6018,506

200,80164,802,7112,6021,005

206,50155,002,4112,6021,004

197,80175,903,0112,6021,003

196,50194,503,6012,6021,002

196,00187,003,3112,6021,001

ZYWVUEssai ZYWVUEssai

217,20129,602,4014,6010,0050

208,50140,402,6914,6010,0049

201,90171,903,5914,6010,0048

201,30163,003,2914,6010,0047

203,10152,302,9914,6010,0046

209,50143,602,3916,0010,0045

198,10193,403,5816,0010,0044

197,70182,603,3016,0010,0043

199,10171,403,0016,0010,0042

202,90156,902,7016,0010,0041

204,60174,802,1016,0018,5040

189,00215,402,9916,0018,5039

191,10202,902,7016,0018,5038

195,20190,702,4016,0018,5037

192,30211,503,2816,0015,5036

191,60199,102,9716,0015,5035

194,40187,402,6816,0015,5034

198,70175,002,3916,0015,5033

207,10151,602,3716,0012,0032

195,90200,203,5616,0012,0031

195,00189,503,2616,0012,0030

196,40177,102,9716,0012,0029

200,30166,502,6716,0012,0028

204,50162,303,8812,6012,0027

204,00155,103,5912,6012,0026

ZYWVUEssai

209,50143,002,4014,6013,0072

202,60154,602,7014,6013,0071

199,10185,703,5914,6013,0070

197,90176,103,2914,6013,0069

199,50167,103,0014,6013,0068

216,80146,502,1014,6016,0067

203,30157,502,3914,6016,0066

197,30169,702,7014,6016,0065

193,90201,903,5914,6016,0064

193,40192,603,2914,6016,0063

195,80183,703,0014,6016,0062

198,70180,302,4114,6022,0061

193,60193,302,7114,6022,0060

190,60216,903,3014,6022,0059

191,30202,103,0114,6022,0058

205,10168,702,2214,6022,0057

209,50157,702,1114,6019,0056

199,80171,302,4014,6019,0055

195,00183,502,7014,6019,0054

193,90215,803,5914,6019,0053

192,70207,403,2914,6019,0052

192,60199,303,0014,6019,0051

Base de données des 72 essais initialement réalisés

13



Y = F (A, B,…, Z, ω) = G (A,B,…, Z) + H (ω)

Part déterministe de F Part aléatoire de F

Hypothèses usuelles

1. F est décomposée en une part déterministe G et une part aléatoire H:

2. La part déterministe G de F est la médiane de F pour A,B,…,Z fixés

Elle sera modélisée algébriquement avec les plans d’expériences

3. La part aléatoire H de F est distribuée selon H ∼ (0, σ)

⇒ F (A, B,…, Z, ω) ∼ [ G(A, B,…,Z) ; ω ]Elle sera modélisée par une distribution de Laplace-Gauss



G

0

A

B …

A

B …

Part déterministe de F Part aléatoire de FH

0

M M

Modélisation déterministe(spécifique aux PEF)

Modélisation probabiliste(classique)

Y = F (A, B,…, Z, ω) = G (A,B,…, Z) + H (ω)

Illustration de la décomposition de F



G

0

A

B …A1

B1

A2

B2

A3


4. On construit une « matrice d’expériences » qui définit les essais à réaliser, en fonction de l’expression du modèle retenu, des facteurs et de leurs nombres de niveaux:

22

11

22

11

22

11

22

11

22

11

22

11

CC

11

22

22

11

11

22

22

11

11

22

22

11

DD

2233

1133

2222

1133

2222

1122

22

11

22

22

11

11

BB

33

22

11

11

11

11

AA

Matrice =

Exem

ple:

Ici se

ulem

ent 1

2 ess

ais

parm

i les 2

4 pos

sibles

!!

Essais de la matrice d’expériencesEssais non utiles

G = m + [ a1 a2 a3 ][A] + [ b1 b2 ][B] + [ c1 c2 ][C] + [ d1 d2 ][D] + [ tA] e11 e12 [B] + [ tA] f11 f12 [C] e21 e22 f21 f22e31 e32 f31 f32


1

FORMATION E-LEARNING AUX PLANS D’EXPÉRIENCES FACTORIELS

Développement assuré par le CACEMI et le CREX

Sommaire

• Présentation du CACEMI • Les modules de formation du CACEMI• Les formations e-learning proposées par le CACEMI• La formation e-learning aux plans d’expériences factoriels

• Son objectif pédagogique• Le programme• Les « plus » de cette formation• Renseignements et inscription

• Le tutorat des formations e-learning• Les modalités de contrôle des connaissances

2

E-learning aux Plans d’Expériences FactorielsObjectif pédagogique

• Faire en sorte que le niveau de formation acquis par les apprenants leur permettre d’animer ou de prendre en charge la réalisation d’un plan d’expériences, avec un minimum de risque,

• Permettre notamment aux apprenants, de se former à cette méthode, à leur rythme, dans l’entreprise ou chez eux, tout en bénéficiant d’une assistance de tutorat pour répondre à leurs difficultés et aux questions qu’ils se posent,

• Délivrer aux apprenants à l’issue de la formation d’un certificat de réussite aux deux contrôles des connaissance acquises, auxquels ils devront se soumettre pendant et à l’issue de la formation, avec remise d’un support complet reprenant les différentes séquences de la formation,

• Un pré-requis: il souhaitable d’avoir un minimum de connaissances de « proba/stat » pour pouvoir exploiter statistiquement les résultats d’un plan d’expériences

Le programme: les 17 séquences de la formation

3

E-learning aux Plans d’Expériences Factoriels

Les plus de cette formation

• Elle est plus complète que les formations intra ou inter-entreprisesgénéralement dispensées,

• Elle est très progressive et mathématiquement simple. Toutes lesséquences sont assorties de pages html avec bandes son,

• Elle fait l’objet d’un ensemble copieux de questions-réponses et d’exercices complètement corrigés,

• Elle permet, avec certaines précautions, de s’initier à la construction de matrices d’expériences orthogonales « au sens généralisé »,dont le nombre de combinaisons est encore plus réduit qu’avec les méthodes classiques, en ayant recours à des techniques de construction relativement récentes,

• L’exploitation des plans d’expériences factoriels orthogonaux, appelle l’usage d’une simple calculette comportant des fonctionsélémentaires de statistiques (niveau bac)

E-learning aux Plans d’Expériences FactorielsRenseignements et inscriptions

CACEMI : www.cnam.fr/cacemi/Tel : 33(0)1 40 27 24 49Fax : 33(0)1 40 71 94 76

Courrier de confirmation à adresser à:Cacemi-CnamCase « I 321 »292, rue Saint-Martin75141 Paris cedex03

Les essais coûtent chers, comment les optimiser? La ... · 4 ©2009 Jean-Claude SISSON Tous droits...

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