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LE SUDOKU

Préparé et présenté par : -> Mr. KETROUSSI Mohamed MehdiSection : 02Groupe : 03Option : ISIExaminé par : -> Mr. HAMDAOUI

Université USTO-MB Oran 02/02/12

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Plan De Travail :

Introduction . Présentation . Précurseurs Du Sudoku . Mathématiques Du Sudoku . Méthodes De Résolution Utilisées . Classification Des Puzzles . Informatique Et Sudoku . Conclusion . Bibliographie .

Plan De Travail

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Introduction

Le Sudoku est un jeu en forme de grille défini en 1979 par l’Américain Howard Garns (architecte) . Le but du jeu est de remplir la grille avec une série de chiffres (ou de lettres ou de symboles) tous différents, qui ne se trouvent jamais plus d’une fois sur une même ligne, dans une même colonne ou dans une même sous-grille. La plupart du temps, les symboles sont des chiffres allant de 1 à 9, les sous-grilles étant alors des carrés de 3 × 3. Quelques symboles sont déjà disposés dans la grille, ce qui autorise une résolution progressive du problème complet.

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Présentation

Étymologie : Sudoku → Sūji wa dokushin ni kagiru, signifiant « il ne peut y avoir qu’un seul et unique chiffre » (par case et par ligne). Cette abréviation associe les caractères Sū chiffre et Doku unique. Ce nom est une marque déposée au Japon de l’éditeur Nikoli Corporation Ltd.

Règles de base : chaque ligne, colonne et région ne doit contenir qu’une seule fois tous les chiffres de un à neuf.

Les grilles publiées ont souvent un niveau de difficulté indicatif. L’éditeur peut aussi indiquer un temps de résolution probable.

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Variantes : 2×2 ou « Sudoku binaire », 4×4 contenant des régions 2×2, 5×5 contenant des régions en forme de pentamino, 6×6 contenant des régions 2×3(WPC), 7×7 avec six régions en forme d’hexamino et une région disjointe, 9×9 avec des régions en forme de ennéamino, 16×16 avec des régions 4×4, 25×25 avec des régions 5×5, 8×8 contenant des régions 2×4 et 4×2, une méta-grille composée de cinq grilles 9×9 en quinconce qui se chevauchent aux coins, des grilles à régions rectangulaires, grille 3D(roxdoku), grille 3D en 8×8×8, ils l’ont appelé Kuboku, le kamaji basé sur le principe des sommes de chiffres, Au Japon, d’autres variantes sont publiées.

Variantes alphabétiques : Des variantes alphabétiques, qui utilisent des lettres plutôt que des chiffres, sont aussi publiées appelées Godoku ou Sudoku Word ou bien encore le Wordoku .

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Précurseurs du Sudoku

le carré latin magique : Exemple d’expérience en carré latin magique relative à la comparaison de six éléments (par exemple six fumures différentes, numérotées de 1 à 6).

Emplois historiques des carrés magiques : Un des ancêtres du sudoku dans l'antiquité était un carré de neuf cases à remplir par trois lettres (A, B et C) sans qu’une même lettre apparaisse deux fois dans la même colonne, ligne ou diagonale.

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Le problème des officiers : Problème des 36 officiers : un carré gréco-latin d’ordre 6 est impossible à résoudre.

Version moderne du sudoku : Le sudoku a des ancêtres français qui remontent à 1895. C’est en juillet 2005 que le sudoku, publié par Sport cérébral, éditeur spécialisé dans les jeux de réflexion, arrive en France.

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Popularité dans les médias :Le 28 novembre 2005, la Télévision suisse romande lance une émission télévisée quotidienne, Su/do/ku, Depuis, de nombreux tournois ont été organisés en France et partout en Europe .

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Mathématiques du Sudoku

• Contexte mathématique : [DEB.07] Le problème de placer des chiffres sur une grille de n2×n2 comprenant n×n régions est prouvé NP-complet.

• x = x’ (les deux cellules appartiennent à la même ligne) ou,• y = y’ (les deux cellules appartiennent à la même colonne) ou,

(les deux cellules appartiennent à la même région). La grille se complète en affectant un entier entre 1 et 9 pour chaque sommet, de façon que tous les sommets liés par une arête ne partagent pas le même entier.

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Nombre de grilles complètes possible :[BFF.05] Le nombre de grilles complètes possibles est inférieur à 9!9 qui correspond au nombre de façons de construire les régions sans tenir compte des contraintes sur les lignes et les colonnes.

En 2005, Bertram Felgenhauer et Frazer Jarvis ont prouvé que ce nombre de grilles était de :

6 670 903 752 021 072 936 960≈6,67.1021 Ce nombre est égal à : 9!×722×27×27 704 267 971.

Terminologie : Un Sudoku correctement conçu a une et une seule solution : la grille finale est unique, mais la résolution à partir de la grille partielle peut toutefois prendre des chemins différents.

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Formalisation des différentes variantes : Une région peut être décrite par ses dimensions : LxC où L est le nombre de lignes et C le nombre de colonnes dans la région , Il est plus pratique de mentionner la taille de la région plutôt que le nombre d'éléments, Des contraintes supplémentaires permettent de mieux cibler le type de jeu.

Définitions : Par exemple, la notation h56 correspond au triplet de la région 5, ligne 6. En anglais, on utilise la notation r pour row et c pour column.

Nombre de solutions possible : Énumérations des solutions symétriquement

distinctes :

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Préservation de la symétrie : opérations suivantes transforment toujours une grille valide en une autre grille valide :

-changer le label de chaque symbole (9!)-permutations des bandes (3!) ,des piles (3!)-permutations des lignes dans une bande (3!3) ,des colonnes dans une pile(3!)-réflexion, transposition, rotation de 90° .Identifier les solutions grâce au lemme de Burnside : Jarvis Russell a calculé

le nombre de solutions symétriquement distinctes : 5 472 730 538.

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Bandes du Sudoku :

Le compte des bandes pour les problèmes dont « le nombre total de grilles de Sudoku est inconnu » est donné ci-dessous. Comme dans le reste de cet article, les dimensions correspondent à celles des régions.

Dimensions Nombre de bandes Auteur(s) Vérification formelle-2×C (2C)! (C!)2 (obvious result) Oui-3×C Pettersen Oui

-4×C (voir ci-dessous ) Pettersen Oui-4×4 16! × 4!12 × 1273431960 = c. 9.7304×1038 Silver Oui

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-4×5 20! × 5!12 × 879491145024 = c. 1.9078×1055 Russell Oui-4×6 24! × 6!12 × 677542845061056 = c. 8.1589×1072 Russell Oui-4×7 28! × 7!12 × 563690747238465024 = c. 4.6169×1091 Russell Oui-5×3 15! × 3!20 × 324408987992064 = c. 1.5510×1042 Silver Oui-5×4 20! × 4!20 × 518910423730214314176 = c. 5.0751×1066 Silver Oui-5×5 25! × 5!20 × 116503755043288 5119709241344 = c. 6.9280×1093 Pettersen/Silver Non-5×6 30! × 6!20 × 32617346918362171 81002772823310336 = c. 1.2127×10123 Pettersen/Silver Non

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-5×7 35! × 7!20 × 1066450998920919953 3282539525535793414144 = c. 1.2325×10154 Pettersen/Silver Non-5×8 40! × 8!20 × 39119289737902332276 64289425142802655028070 0096 = c. 4.1157×10186 Pettersen/Silver Non

L'expression pour le cas 4×C est :

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avec :la somme extérieure s'applique sur tous les a,b,c tel que 0 a,b,c et a+b+c=2C⇐la somme intérieure s'applique sur tous les k12,k13,k14,k23,k24,k34 = 0 tel que

k12,k34 = a et

k13,k24 = b et

k14,k23 = c et

k12+k13+k14 = a-k12+k23+k24 = b-k13+c-k23+k34 = c-k14+b-k24+a-k34 = C

Sudoku avec des contraintes additionnelles : Plusieurs types de contraintes existent sur des Sudokus avec des régions de 3x3. Les noms n'ayant pas été standardisés, les liens externes pointent vers les définitions :

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Type Nombre de grilles Auteur(s) Vérification formelle-3doku 104015259648 Stertenbrink Oui-Disjoint -Groups 201105135151764480 Russell Oui-Hypercube 37739520 Stertenbrink Oui-Magic Sudoku 5971968 Stertenbrink Oui-Sudoku X 55613393399531520 Russell Oui-NRC Sudoku 6337174388428800 Brouwer Oui

Tous les Sudokus sont valides (unicité des nombres dans les lignes, colonnes et régions) après l'application des opérations qui préservent les propriétés du groupe du Sudoku. Certains Sudokus sont spéciaux dans le sens où certaines opérations ont le même effet que le renommage des chiffres :

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Transformation Nombre de grilles Auteur(s) Vérification formelle-Transposition 10980179804160 Russell Indirectement-Quart de tour 4737761280 Indirectement-Moitié de tour 56425064693760 Indirectement-Permutation des bandes 5384326348800 Indirectement-Permutations des lignes dans les bandes 39007939461120 Indirectement

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Nombre minimal de chiffres dans la grille : Sudoku classique : Le Sudoku classique avec une grille de 9x9, soit

81 cases, est pour l'instant limité par une borne inférieure de 17 valeurs initiales( meilleur borne), ou 18 quand les positions des chiffres initiaux peuvent être tournées de 90°.

Sudoku avec d'autres contraintes : Des contraintes supplémentaires (avec des Sudoku dont les régions font 3×3) changent le nombre de valeurs minimales nécessaires pour aboutir à une solution unique.

Sudoku avec des régions irrégulière : Les Du-sum-oh remplacent les régions de 3×3 (ou plus généralement L×C) par des régions irrégulières avec une taille fixe.

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Killer Sudoku : Dans le Samunamupure ou Killer Sudoku, les régions ont non seulement des formes irrégulières mais également des tailles différentes. Les règles d'unicité des nombres dans les lignes, régions et colonnes s'appliquent toujours.

Méthode de Felgenhauer/Jarvis pour l'énumération de la grille de 9×9 : c’est la première stratégie employée pour énumérer les solutions d'une grille de Sudoku classique (régions de 3x3 dans une grille de 9x9).

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Méthodes de résolution utilisées par les joueurs

Remarques préliminaires : 1) Il existe de nombreuses approches de la résolution des Sudokus.

2) Il ne s’agit pas de donner une liste exhaustive de ces méthodes.3) Quelles sont les méthodes de résolution admissibles par un joueur ? 4) Sudopedia (site de référence).

Gestion des nombres candidats : Il y a deux notations utilisées pour les candidats : indicée et pointée.

Pour la notation indicée, les candidats sont inscrits dans une cellule, chaque chiffre occupant ou non une place précise. Quand un candidat est impossible, il est rayé de la liste.

• Pour la notation pointée, les joueurs inscrivent des points dans les cellules vides. Il y a deux logiques possibles, opposées et mutuellement exclusives :

• Quand un candidat s'avère impossible, et quand un candidat s’avère possible.

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Règles élémentaires : Singleton : généralement, le « singleton » correspond au cas où il n'y a

qu'une seule solution .

Élimination directe - Singleton caché : Identification d'un singleton caché : il n'y a qu'une seule case possible pour un "4" dans le bloc supérieur droit.

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Recherche des valeurs uniques - Singleton nu : Exemple de grille avec un « singleton nu »

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Élimination indirecte - interactions ligne-bloc et colonne-bloc : Le "1" dans le bloc centre droit ne peut qu'être sur la colonne g. Le "1" du bloc inférieur droit est donc nécessairement en Gj (en jaune).

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Méthodes basées sur des figures (patterns) simples prédéfinies :

Groupes nus : Un groupe nu en colonne e : Le groupe des 2 cases Ce et Ge de la colonne e forme une paire nue dont les candidats sont 78 ; on peut donc éliminer les candidats 7 et le 8 des autres cases de la colonne e (le 8 de la case Fe et les 7 et 8 des cases Ae, De et Je).

Le raisonnement est le même que le groupe soit de deux, de trois, ou de quatre cases (et sera donné ici pour trois cases)

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Groupes cachés :Un groupe caché 124 en colonne f : Le groupe de 3 cases Af, Gf et Jf de la colonne f forme un trio camouflé (incomplet) dont les candidats sont 124 ; on peut donc éliminer les candidats 8 et 9 des cases Af et Gf, et les candidats 3 et 8 de la case Jf (ce qui fait apparaître dans le pavé Zy un solitaire camouflé 7 à la case Gd)

Le raisonnement est le même que le groupe soit de deux, de trois, ou de quatre candidats (et sera donné ici pour trois candidats).

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Recherche des groupes nus et cachés : La recherche des groupes nus et cachés peut se faire systématiquement, région par région, pour examiner celles qui peuvent encore être réduites. Si une région a moins de quatre cases libres, elle ne peut plus être réduite ; si un sous-groupe a moins de quatre membres, il ne peut pas lui-même être réduit ; et une fois qu'une région a été réduite, il n'est plus nécessaire de l'examiner par la suite.

Fish ou Poissons (X-Wing, Swordfish, Jellysfish) :X-wing sur les lignes F et J pour 8 : Les deux lignes F et J ont toutes leurs candidats 8 situés à l'une des cases placées à l'intersection avec les colonnes a et j (configuration dite X-wing); par rapport à ces quatre sommets on peut donc éliminer les candidats 8 des cases des lignes et colonnes qui ne sont pas sur les sommets (donc en Ha et Dj )-

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Symétries généralisées et tableau de résolution étendu : Une grille de résolution étendue a été conçue, qui fait apparaître les liens de conjugaison comme des cases (de l’espace rc, rn, cn ou bn) à deux candidats et peut faciliter l’application de la méthode. De la sorte, les sous-ensembles cachés, ainsi que les X-wings, Swordfish et Jellysfish, apparaissent tous comme de simples Paires, Triplets ou Quadruplets. Dans un cadre général pour traiter des chaînes, ces symétries ont été utilisées pour introduire de nouvelles règles de résolution, comme les chaînes xy cachées et ultérieurement les chaînes nrczt. Cette méthode a été implémentée dans un solveur, SudoRules, basé sur des techniques d’Intelligence Artificielle et simulant un joueur humain.

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Figures plus complexes : chaînes : chaînes xy : Une « chaîne xy » de longueur n a 2n candidats groupés

par 2 dans n cellules bivaluées (c’est-à-dire ayant chacune exactement 2 candidats).

• Exemple de chaîne xy de longueur 4 : {a b} - {b c} - {c d} - {d a}. Un « {... } » symbolise le contenu d’une cellule (i.e. l’ensemble de ses candidats) et un « - » symbolise que les cellules de chaque côté sont liées (i.e. différentes mais sur la même ligne, la même colonne ou dans le même bloc).

Généralisations des chaînes xy : chaînes d'ALS et chaînes nrczt : les chaînes d’ALS (Almost Locked Sets), les plus anciennes et de loin les plus utilisées par les joueurs sur les forums de Sudoku.

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- les chaînes xyt, xyz et xyzt ainsi que leurs homologues « cachés » dans les espaces rn, cn et bn, les chaînes nrczt, ou chaînes supersymétriques, qui généralisent les précédentes en combinant toutes les cellules des espaces rc, rn, cn et bn.

Règles résultant de l'hypothèse d'unicité : Le principe du rectangle interdit : Considérons quatre cellules

formant un rectangle s’étalant sur deux lignes, deux colonnes et seulement deux blocs. Si le contenu de ces quatre cellules est :

ab abab abalors pour toute solution du puzzle ayant les valeursa bb a

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pour les cellules de ce rectangle, il existe une autre solution ayant les valeursb aa bet le puzzle ne peut donc avoir une solution unique.La configuration initiale s’appelle rectangle interdit. À partir de là, on peut

définir plusieurs règles visant à empêcher que cette situation se produise. Ces règles ne sont valables que sous l’hypothèse d’unicité.

Exemples de règle reposant sur l'exploitation du rectangle interdit :

Règle UR1 : dans la configuration (où les quatre cellules forment un rectangle s’étalant sur deux lignes, deux colonnes et seulement deux blocs

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ab abab abcéliminer a et b de la dernière cellule.Règle UR2-H : dans la configuration (où les quatre cellules forment un

rectangle s’étalant sur deux lignes, deux colonnes et seulement deux blocs) :

ab abcab abcoù les deux cellules de droite sont dans le même bloc, éliminer c de toute

autre cellule liée aux deux cellules de droite.Il existe de nombreuses variantes de ces règles.

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Classification des puzzles

Préambule sur les puzzles minimaux et les statistiques de classification des puzzles : Quand on veut faire des statistiques sur la classification des puzzles,il faut toujours se réfèrer aux puzzle minimaux(point vue théorique) .

SER (Sudoku Explainer Rating) : Le SER (Sudoku Explainer Rating) est de loin la classification la plus utilisée.

Classification NRCZT : Cette classification, est basée sur la longueur maximale de la chaîne nrczt nécessaire pour résoudre un puzzle. Contrairement au SER, un seul type de règle (les chaînes nrczt de diverses longueurs) est ici utilisé et cette classification, purement logique, indépendante de l’hypothèse d’unicité et indépendante de toute implémentation, est compatible avec toutes les symétries du jeu.

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Informatique et Sudoku

Solutions logicielles : Il existe de nombreux programmes librement disponibles sur le web, basés sur l’implémentation de règles utilisées par les joueurs : Sudocue, Sudoku Explainer, Sudoku Susser, Sudoktor, Sadman, le solveur de gsf. Le programme SudoRules, non public, est basé sur des techniques d’Intelligence Artificielle.

Construction de grilles : Il est possible de construire des grilles avec de multiples solutions ou sans solution, mais celles-ci ne sont pas considérées comme d’authentiques sudoku. Comme pour les autres jeux logiques, une solution unique est requise. Une grande attention est donc nécessaire lors de la construction d’une grille, puisqu’un seul chiffre mal placé risque de rendre la résolution de celle-ci impossible.

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Conclusion

Comme dans tous les domaines où des notations affectées ont été introduites ( Mathématiques, Chimie, Musique, Échecs...) une notation des méthodes de résolution des grilles de Sudoku est intéressante car par exemple elle permet une reconnaissance des grilles c'est-à-dire, in fine, leur classification, de même que la notation introduite aux Échecs a permis une classification des débuts de parties.

En effet une grille de Sudoku étant donnée elle peut en générer plusieurs autres par l'une quelconque des symétries ou des rotations qui échangent un carré en lui-même, ou par une permutation quelconque de ses chiffres. Comme le nombre de permutations des dix chiffres de 0 à 9 s'élève à 3628800 on voit le grand nombre de grilles en fait identiques, qu'on peut engendrer à partir d'un seule.

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Bibliographie[NAJ.06] : Narendra Jussien, Précis de Sudoku, Hermès Lavoisier, 2006, 188 pages.[DEB.07] :Denis Berthier, The Hidden Logic of Sudoku, Lulu Publishers ; 1re édition, mai 2007,

384 pages deuxième édition, novembre 2007, 416 pages.[DEB.11] :Denis Berthier, Constraint Resolution Theories, Lulu Publishers, Octobre 2011, 308 pages.[TSS.05] : « Le tsunami du sudoku », Pour la Science, no 338, décembre 2005, p. 144.[DEB.08] : Denis Berthier, From Constraints to Resolution Rules, Part I: Conceptual Framework,

International Joint Conferences on Computer, Information, Systems Sciences and Engineering (CISSE 08), December 5-13, 2008; re-publié comme chapitre du livre Advanced Techniques in Computing Sciences and Software Engineering, Springer, 2010.

[DEB.08] : Denis Berthier, From Constraints to Resolution Rules, Part II: chains, braids, confluence and T&E, International Joint Conferences on Computer, Information, Systems Sciences and Engineering (CISSE 08), December 5-13, 2008; re-publié comme chapitre du livre Advanced Techniques in Computing Sciences and Software Engineering, Springer, 2010.

[DEB.09] : Denis Berthier, Unbiased Statistics of a CSP - A Controlled-Bias Generator, International Joint Conferences on Computer, Information, Systems Sciences and Engineering (CISSE 09), December 4-12, 2009; re-publié comme chapitre du livre Innovations in Computing Sciences and Software Engineering, Springer, 2010.

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