Le calcul scientifique et la modélisation Exemple : les eaux souterraines

Jocelyne Erhel

Equipe SAGE de l’INRIA Rennes

Équipe commune avec le CNRS et l’université de Rennes 1

Travail en collaboration avec Géosciences Rennes

(CNRS et université de Rennes 1)

©Yves Chaux

L’eau sur terre et sous terre

L’eau potable en Bretagne:

70% eaux de surface

Quelques captages profonds

©http://www.ec.gc.ca/water/f_main.html

©http://www.ec.gc.ca/water/f_main.html

©http://www.ec.gc.ca/water/f_main.html

Comprendre les phénomènes en jeu Gérer les ressources en eau Prédire les risques de pollution Aider à la dépollution

Modélisation des eaux souterraines

Charge hydraulique H

Puits artésien : l'eau jaillit par pression.Cascade: l’eau tombe par gravité

H = P/ρg + zP pression, ρ densité, g constante de gravité, z profondeur

Gradient de charge hydraulique

© http://www.u-picardie.fr/~beaucham/cours.qge/du-7.htm

Gradient de charge hydraulique

• En dimension 1: position x et fonction H(x)

Points x et x+l

H’(x) est le gradient de H au point x

• En dimension 2: position (x,y) et fonction H(x,y)

Grad(H) est un vecteur avec 2 composantes

Vitesse de l’eau

Loi de la conservation de la masse :

La somme des flux d’eau dans un volume élémentaire est nulle

La variation de la vitesse de l’eau est égale à la source d’eau

En dimension 1: position x; vitesse V(x); source Q(x)

Conservation de la masse: V’(x)=Q(x) En dimension 2 : vecteur V avec 2 composantes

div(V) = Q

Loi de DarcyV = -K * grad(H)

La vitesse est proportionnelle au gradient de charge

Le coefficient K est la perméabilité de l’aquifère

HISTOIRE DES FONTAINES PUBLIQUES DE DIJON. APPENDICE. - NOTE D.

Détermination des lois d'écoulement de l'eau à travers le sable.

HENRY DARCY

INSPECTEUR GENERAL DES PONTS ET CHAUSSEES.

1856

Modèle de l’écoulement

Flux nul

Flux nul

H=

1

H=

0

Conservation de la masse

div(V) = Q

Loi de Darcy

V = -K * grad(H)

Conditions aux limites

Il existe une solution H

et elle est unique

En général, on ne sait pas calculer la solution H

H = charge Hydraulique ; V = vitesse ; K = perméabilité

On sait calculer une

solution approchée

Simulation numérique sur ordinateur

Solution approchée :discrétisation spatiale

On superpose une grille de calcul, comme les pixels d’une photo numérique

Plus la grille est fine,

plus la solution approchée

est précise

Et plus le volume de

données et le temps de

calcul augmentent

div(V) = Q

V = -K * grad(H)

Conditions aux limites

Modélisation de l’écoulement :système d’équations approché

On écrit les équations dans chaque petit carré de la grille

On obtient un système d’équations linéaire

H1 H2

H3 H4

Les inconnues sont H1,H2,H3,H4

4

3

2

1

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211

Z

Z

Z

Z

H

H

H

H

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

4444343242141

3434333232131

2424323222121

1414313212111

ZHaHaHaHa

ZHaHaHaHa

ZHaHaHaHa

ZHaHaHaHa

Simulation numérique

• On définit l’approximation avec une grille

• On définit un algorithme de résolution

• On écrit un logiciel

• On vérifie la solution calculée

Charge H et vitesse V dans un milieu homogène

Charge H et vitesse V dans un milieu hétérogène

http://www.eaubretagne.fr/article/les-eaux-souterraines

http://www.cnrs.fr/cw/dossiers/doseau/decouv/rubrique.html

http://www.brgm.fr/divers/nappes.htm

http://www.u-picardie.fr/~beaucham/

http://www.ec.gc.ca/water/f_main.html

http://ga.water.usgs.gov/edu/watercyclefrench.html

http://www.irisa.fr/sage

http://www.geosciences.univ-rennes1.fr/

Pour en savoir plus

L’INRIA

• Découvrir la rercherche en informatique

http://interstices.info/jcms/jalios_5127/accueil

• Le site officiel de l’EPST

http://www.inria.fr/