Lattice Boltzmann Method for ow in porous media. Samuel...

Lattice Boltzmann Method for ow in porous media.Samuel Corre

avec Aziz Belmiloudi

IRMAR-INSA, Rennes.

[email protected]

4ieme école EGRIN, 25 Mai 2016.

Contexte général

Écoulements incompressibles en milieu poreux.

Eets gravitationnels négligés.

Application : rhéologie.

Système diérentiel : loi de Darcy et équation diérentielle detype convection-diusion. (existence & unicité : Feng X. 1995)

Question :

Peut-on construire une méthode de Boltzmann sur réseau généralepour de telles équations ?

1 Modèle mathématiqueDénition du problèmeSystème

2 Méthode de Boltzmann sur réseau (LBM)IntroductionDénition de la méthodeDéveloppement de Chapman-Enskog

3 LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionIntroductionChoix des fonctions f eqj , Fj et τAlgorithme

4 SimulationsDénition du problèmeRésultatsConclusion

Modèle mathématiqueMéthode de Boltzmann sur réseau (LBM)

LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionSimulations

Dénition du problèmeSystème

ρ : densité de uide.

U : vitesse de Darcy.

p : pression.

K : tenseur de conductivité hydraulique.

D : tenseur de dispersion.

φ : porosité.

µ : viscosité.

q+, q−,H : termes sources.

Domaine Ω ⊂ R2 : tranche du sous-sol de bord Γ.

Samuel Corre LBM for ow in porous media.




Pour (x, t) ∈ Ω× (0,T ) :

div(U(x, t)) = q+(x)− q−(x),

U(x, t) = −K(x)

µ(ρ)∇p(x, t),

φ(x)∂

∂tρ(x, t)− div(D(x, t;U)∇ρ(x, t)) + div(ρ(x, t)U(x, t)) = H(ρ),

où H(ρ) = −q−(x)ρ(x, t) + q+ρ, et où les conditions initiales etaux bords sont :

ρ(x, 0) = ρ0(x), U(x, 0) = U0(x).

Pour x ∈ Γ :

U(x, t) · n = 0, D(x, t;U)∇ρ(x, t) · n = 0.

Et on respecte les conditions de compatibilité :∫Ω

p(x)dx = 0,

∫Ω

q+(x)dx =

∫Ω

q+(x)dx





Modélisation du tenseur D

Modèle statistique (Bear, 1961) pour modéliser les phénomènes dedispersion-diusion :

D(x,U) = (φ(x)Dm+φ(x)Dt |U(x)|)I+ φ(x)

|U(x)|(Dl−Dt)(Ui (x)Uj(x))1≤i,j≤d ,

où Dm est le coecient de dispersion moléculaire, Dl le coecientde dispersion longitudinal, et Dt le coecient de dispersiontransversal, tels que Dl ≥ Dt > 0 et Dm > 0.




IntroductionDénition de la méthodeDéveloppement de Chapman-Enskog

Théorie :

Échelle mésoscopique : distributions particulaires.Deux étapes :

I Collisions particulaires. (locales en espace)I Transport. (selon chaque direction)

Lien entre la LBM et un écoulement en milieu poreux par ledéveloppement de Chapman-Enskog.

Histoire :

Equation de Boltzmann, 1872.

Automates de gaz sur réseau (LGA), 1950-1960.

Mécanique des uides, 1980-1990.

Généralisation, 2000 à maintenant.





Équation de Boltzmann

Soient (x, t) ∈ Ω× (0,T ) avec Ω ⊂ Rd , d = 2, 3 :

f (x, t; e) fonction de répartition selon la vélocité e.

Q(f ) Opérateur de collision.

F (x, t) Terme source.∂

∂tf (x, t; e) + e · ∇f (x, t; e)︸︷︷︸

Transport

= Q(f )︸︷︷︸Collision

+F (x, t).





Propriétés de la fonction de répartition

Recomposition de la densité ρ :

ρ(x, t) =

∫Ω

f (x, t; e)de.

Recomposition de la quantité de mouvement u :

ρ(x, t)u(x, t) =

∫Ω

ef (x, t; e)de.





Fonction d'équilibre

On note f eq(x, t; e) la fonction de répartition d'équilibre déniepar :

L'invariance par collision : Q(f eq(x, t; e)) = 0, ∀(x, t; e).Les moments conservés :

1∫Ω

f eq(x, t; e)de conservation de la masse.

2∫Ω

ef eq(x, t; e)de conservation de la quantité de mouvement.

3∫Ω

‖e‖22f eq(x, t; e)de conservation de l'énergie.

En particulier, pour tout t :∫Ω

f eq(x, t; e)de =

∫Ω

f (x, t; e)de.





Opérateur de collision

Conservation des moments : cet opérateur modie lesrépartitions, pas la quantité de matière.

Opérateur de collision de Bathmagar-Gross-Krook (BGK,1954) :

Q(f ) = −1τ

(f (x, t; e)− f eq(x, t; e)) ,

où τ est un taux de relaxation adimensionnel.





Discrétisation : généralités

∆x, ∆t pas de temps et d'espace, et : c = ∆x/∆t vitesse degrille.

DdQj : Modèle à j vélocités dans un domaine à d dimensions.

fj(x, t) fonction de répartition le long de la vélocité ej .





Discrétisation : modèle D2Q9

Les poids wj et les vélocités ej respectent :

8∑j=0

wj = 1 ;8∑

j=0

ej =

(00

).

On choisit ej les vélocités :

e0 =

(00

); e1,...,4 = c

((±10

),

(0±1

)); e5,...,8 =

√2c

(±1±1

).

Et wj les poids associés à chaque vélocité ej :

w0 =49

; w1,...,4 =19

; w5,...,8 =136.





De l'équation de Boltzmann à la LBM : résumé.

Équation de Boltzmann :

∂

∂tf + e · ∇f = Q(f ) + F .

1 Approximation de Q(f ) par l'opérateur BGK.2 Discrétisation en temps, espace, et selon chaque vélocité ej .3 Intégration selon la méthode des caractéristiques.

Équation de Boltzmann sur réseau :

fj(x + ej∆t, t + ∆t) = fj(x, t)− 1τ

(fj(x, t)− f eqj (x, t)

)+ ∆tFj(x, t) +

∆t2

2∂

∂tFj(x, t) +O(∆t3).





Equation de Boltzmann sur réseau : deux étapes distinctes

Phase de collision pour chaque point x :

f colj (x, t + ∆t) = fj(x, t)− 1τ

(fj(x, t)− f eqj (x, t)

)+ ∆tFj(x, t) +

∆t2

2∂

∂tFj(x, t).

Phase de transport selon chaque vélocité ej :

fj(x + ej∆t, t + ∆t) = f colj (x, t + ∆t).





But :

Équivalence entre la résolution de l'équation de Boltzmann sur réseauet la résolution de l'EDP non-linéaire à résoudre→ Déterminer f eqj , Fj et τ .

Principe de l'ansatz :

Séparation des fonctions de répartition et des opérateurs selon deséchelles de perturbation dénies par le nombre de Knudsen ε ' ∆t.

Mise en oeuvre :

Faire coïncider l'équation de Boltzmann sur réseau avec le dévelop-pement de Taylor des fonctions de répartition.





Equation de Boltzmann sur réseau et développement deTaylor

Développement de Taylor :

fj(x + ej∆t, t + ∆t) = fj(x, t) +∞∑k=1

∆tk

k!

(∂

∂t+ ej∇

)k

fj(x, t).

D'où l'égalité :

∞∑k=1

∆tk

k!

(∂

∂t+ ej∇

)k

fj(x, t) =− 1τ

(fj(x, t)− f eqj )

+ ∆tFj(x, t) +∆t2

2∂

∂tFj(x, t).





Développement

Trois étapes :Séparation selon ε des fonctions et opérateurs diérentiels :

I φ = φeq + εφ(1) + ε2φ(2) + . . .I ∂

∂x = ε ∂∂x1

+ ε2 ∂∂x2

+ . . .

Sommation selon j .

Choix des fonctions f eqj , Fj et du taux de relaxation τ pourcoïncider avec l'EDP non-linéaire à résoudre.





Développement

En pratique, on associe à chaque vélocité ej les fonctions :

P0j =

1

τ

(f

(0)j − f eqj

),

P1j =

(∂

∂t+ ej · ∇

)f eqj +

1

τf

(1)j −∆tF

(1)j ,

Pn>1j =

1

τf

(n)j −∆tF

(n)j +

∑k+l=n

D l,nj f kj

−∑k+l=n

(∆t l

2l!

(∂

∂tl+ ej · ∇l

)F

(k)j

);

où D l,nj =

∑nk=0

n!k!(n−k)!

(∂n−k

∂tn−kl

+ (ej · ∇l)k

).

On détermine enn f eqj , Fj et τ en résolvant :

N∑n=0

εn8∑

j=0

Pnj +O(εN+1) = 0. (1)




IntroductionChoix des fonctions f

eqj , Fj et τ

Algorithme

But : construire une LBM pour résoudre ∀(x, t) ∈ Ω× (0,T ) :

∂

∂tρ−∇ · (αD(ρ)∇ρ)) +∇B(ρ) = F (ρ),

où α est le coecient de diusion et D et B sont des tenseurs non-linéaires et diérentiables par rapport à ρ.

Dans notre cas :

αD(ρ) = Dφ .

B(ρ) = ρUφ .

F (ρ) = H(ρ)φ .





eqj , Fj et τ

Algorithme

Choix des fonctions d'équilibre.

A l'aide du développement de Chapman-Enskog nous dénissonspour j = 0 . . . 8 :

f eqj (x, t) = wj

(ρ(x, t) +

ej ·B(ρ(x,t))3c2

+(C(ρ)−3c2ρ(x,t)I):(ejej−3c2I)

6c4

).

Avec :C (ρ) = C0(ρ) + 3c2D(ρ),

et C0(ρ) un tenseur déni par :

(C0)αβ =

∫B ′α(ρ)B ′β(ρ)dρ





eqj , Fj et τ

Algorithme

Choix des fonctions Fj et de τ

A l'aide du développement de Chapman-Enskog nous dénissonspour j = 0 . . . 8 :

Fj(x, t) = wjF (x, t)

(1 + λ

ej · B′(ρ(x, t))

3c2

).

Avec :

λ = 1− 12τ,

et

τ =α

3∆tc2+

12





eqj , Fj et τ

Algorithme

Initialisation ∀x, à t = 0 de : ρ, U, F .Boucle sur le temps t :

1 Calcul de f eqj (x, t) et Fj(x, t).2 Collision :

f colj (x, t) =τ − 1τ

fj(x, t)−1τf eqj (x, t)+∆tFj(x, t)+∆t2/2Fj(x, t).

3 Transport :

fj(x + ei∆t, t + ∆t) = f colj (x, t).

4 Calcul des répartitions aux bords et de ρ(x, t + ∆t).5 Recomposition des grandeurs macroscopiques.6 t = t + ∆t, revenir à 1 jusqu'à t = T .




Dénition du problèmeRésultatsConclusion

Considérons :

Ω = [−500, 500]× [−500, 500], T = 0.2, ∆t = O(∆x2), avecune porosité et une viscosité constantes : φ(x) = 1,µ(ρ) = 0.01. L'opérateur D dépend des constantes : Dm = 1Dt = 0.5 Dl = 5.

Choix de la pression p et du tenseur de conductivitéhydraulique K :

p(x) = cos(xπ/500) cos(−yπ/500), K (x) =

5 si x < 0,

1 sinon.

On en déduit la vélocité U :

U(x) =πK (x)

5

(sin(xπ/500) cos(−yπ/500)− cos(xπ/500) sin(−yπ/500)

).





−500

0

500

−500

0

500−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

xy

U1(x)

−500

0

500

−500

0

500−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

xy

U2(x)

On choisit le terme source F (ρ) tel que la solution de notresystème soit :

ρsol(x, t) = tK (x)

((x3

3× 5002− x

)1

500+

(y3

3× 5002− y

)1

500

)

Remarque : Cette solution n'est

pas réaliste (∃x ∈ Ω tq :ρ(x) ≤ 0),

mais l'existence et l'unicité de la

solution sont préservées.−500

0500

−500

0

500

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

xy

ρ(x,0.2)





−8 −7.5 −7 −6.5 −6 −5.5 −5 −4.5−8

−7.5

−7

−6.5

−6

−5.5

−5

−4.5

Log2(∆x)

Log2(E

rr)

Errρ = 1

Niter

T∑t=0

‖ρ(t)−ρsol (t)‖2L2

Ω

‖ρsol (t)‖2L2

Ω

∆x Errρ

1/25 0.0351

1/50 0.01551/75 0.01131/100 0.00811/150 0.00571/200 0.0045





A l'aide du développement de Chapman-Enskog, nous pouvonsconstruire des méthodes de Boltzmann sur réseau adaptées à deséquations diérentielles non-linéaires de type convection-diusion,et en particulier simuler des écoulements en milieux poreux.

Trois points peuvent facilement améliorer les performances :1 Adapter le maillage eux discontinuités connues.2 Paralléliser les phases de collision et de transport.3 Adapter le traitement des bords à chaque type de problème.


Références

[1 ] S. Corre, A. Belmiloudi. Coupled Lattice Boltzmann Modeling ofBidomain type models in Cardiac Electrophysiology. In EditedBook : Mathematical and Computational Approaches in AdvancingModern Science and Engineering, (eds. J. Bélair, I. Frigaard, H.Kunze, R., Melnik, J. Spiteri), Springer-Verlag, 13 pages, 2016.

[2 ] S. Corre, A. Belmiloudi. Mathematical modeling and latticeBoltzmann simulation method for Bidomain type models in cardiacelectrophysiology with time-varying delays. Article en préparation.

[3 ] Belmiloudi A., Stabilization, regulation and robust control of

uncertain processes and parameters in porous medium systems with

applications, In Edited Book : Focus on Porous Media Research,Mechanical Engineering Theory and Applications Series (ed. C.Zhao), Chapter 6, Nova Science Publishers, New York, 165-228,2013.

[4 ] Feng X. On existence and uniqueness results for a coupled system

modeling miscible displacement in porous media., J. Math. Anal.Appl. 194 (1995) 3, pp. 883-910.

[5 ] Shi B., Guo Z. Lattice Boltzmann model for nonlinear

convection-diusion equations, Phys. Rev. E 79, 016701, 2009.

Lattice Boltzmann Method for ow in porous media. Samuel...

Documents

Transcript of Lattice Boltzmann Method for ow in porous media. Samuel...