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La physique du bruit

Vincent Croquette

23 mars 2009

Vincent Croquette La physique du bruit

Les sources de bruit dans une chaîne de mesure

Lorsque l'on mesure un signal plusieurs sources de bruits viennentperturber le signal.

I Le bruit intrinsèque du système.Si la chaîne d'acquisition est bien conçue c'est lui seul qui doitlimiter la mesure.

I Le bruit de la chaîne d'amplication.Tous les amplicateurs donne un signal de bruit à leur sortiemême si ils n'ont aucun signal à leur entrée. Il faut adapterl'amplicateur pour que son bruit propre soit minimal parrapport au signal.

I Le bruit de numérisationC'est le bruit que l'on peut introduire par les repliements despectre, on le supprime en insérant des ltres avant denumériser.


Les bruits intrinsèques d'un système physique

Les systèmes physiques que nous utilisons mesure une grandeurassociée à un grand nombres de particules physiques.

I Les bruits de nature thermodynamique.Ils sont généralement associés aux mouvements thermiques desparticules. Ces bruits ont leur intensité proportionnelle à latempérature absolue. (Exemple bruit de tension au borne d'unerésistance).

I Les bruits associés à la nature corpusculaire de la matière.Si nous regardons un ux de particules, dans la mesure ouleurs mouvements sont décorrélés, il apparaît un bruit de typegrenaille. Ce bruit est indépendant de la température. (Parexemple le bruit de la pluie].

I Les bruits en 1/f .Un grand nombre de phénomènes naturels présentent desuctuations dont le spectre croît comme 1/f α (La hauteurd'eau d'un euve par exemple).


Les bruits de nature thermodynamique

Toutes les variables thermodynamiques présentent des uctuationsthermiques :

I Fluctuations de tension aux bornes d'une résistance.

I Mouvement Brownien.

I Fluctuations de pressions.

I etc.

La prédictions de ces uctuations reposent sur deux relations :

I La relation d'Einstein

I Le théorème uctuations dissipation


La relation d'Einstein

Nous dit que chaque degré de liberté voit son énergie moyenneégale à 1

2kB .T avec kB = R

Na= 1.3806210−23J/K .

Si nous mesurons la position x d'un objet, celui-ci est maintenu parune structure ayant une certaine raideur k . La position x présenterades uctuations δx telles que :

1

2k . < δx2 >=

1

2kB .T

.Si nous considérons le dipôle constitué par une résistance R enparallèle avec un condensateur C , ce circuit RC voit à ses bornesdes uctuations de tensions δV telles que :

1

2C . < δV 2 >=

1

2kB .T

. I Attention la relation d'Einstein s'applique dans l'espace réel etsuppose que la variable uctuante ne présente aucun ltrage

(c'est souvent faux dans une expérience).


Le théorème uctuation dissipation

Il nous dit qu'on peut décrire les uctuations d'un système par uneperturbation aléatoire fn appliquée à celui-ci. Dans l'espace deFourier, fn est un bruit blanc qui est ltré par la réponse spectraledu système. Ce théorème relie les uctuations thermodynamiquesdu système aux éléments dissipatifs qu'il contient, c'est-à-dire quefn ne dépend que de ses éléments dissipatifs.

Si nous considérons deux exemples : celui du circuit RC et celuid'une mico-bille plongée dans liquide visqueux (de l'eau) etattachée à un ressort. Le théorème uctuation dissipation nous ditque l'élément responsable des uctuations est celui qui dissipel'énergie. En l'occurrence, R pour le circuit RC et le coecient defriction visqueuse 6πη.r pour la micro-bille.

Ceci peut appraître en contradiction avec la relation d'Einstein quinous dit que ces uctuations sont relié à C et k qui sont leséléments non dissipatifs.


Fluctuations de la micro-bille attachée à un ressort

Equation du mouvement :

k .x(t) + 6πη.r x(t) = FL(t)

Où la fonction d'autocorrélation de FL(t) est telle que< Fl (t).Fl (0) >= δ(t) soit Fl (ω) = cte..Nous cherchons à calculer FL(t) en utilisant la relation d'Einstein :

1

2k . < δx2 >=

1

2kB .T

. TF de l'équation de mouvement : k .x + iω6πη.r x = FL

soit x = FLk+iω6πη.r ou encore x2 = FL

2/k2

1+ω2/ω2cavec ωc = k

6πη.r


Fluctuations de la micro-bille attachée à un ressort...

Théorème de Parceval nous permet de calculer x2(t) :∫ ∞−∞

x2(t)dt =

∫ ∞0

x2(ω)dω (ω >= 0 car x(t) réel)

∫∞0

F 2

L

k21

1+(ω/ωc)2dω =

F 2

L

k2

∫∞0

1

1+y2ωcdy . Avec y = ω

ωcet dy = dω

ωc.∫∞

−∞ x2(t)dt = ωcF 2

L

k2[artg(y ]∞

0= π

2

F 2

L

k.6πηr = kBTk

F 2

L (ω) =2

π(6πηr).kBT ou F 2

L (f ) = 4(6πηr).kBT

Pour le circuit RC on obtient :

E 2

n (ω) =2

π.R.kBT ou E 2

n (f ) = 4.R.kBT

L'équation de gauche est la densité de bruit par pulsation, celle dedroite la densité de bruit par Hertz.


Fluctuations de positions en fonction de la raideur.

2 5 10-2 2 5 10-1 2 5 100 2 5 101

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

Frequence (Hz)

<y2

> (

m2 /

Hz)

k = 6.52 10-7 N/m

k = 8.46 10-9 N/m

k = 1.14 10-7 N/m

k = 2.86 10-8 N/m

Figure: Fluctuations browniennes de la bille en fonction de la raideur k duressort. A basses fréquences, l'amplitude des uctuations est reliée à k. Ahautes fréquences, c'est le frottement visqueux qui limitent lesuctuations.


Force de Langevin en fonction de la raideur.

5 10-2 2 5 10-1 2 5 100 2 5 101

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

Frequence (Hz)

<FL2 >

(pN

2 /Hz)

k = 6.52 10-7 N/m

k = 8.46 10-9 N/m

k = 1.14 10-7 N/m

k = 2.86 10-8 N/m

Figure: Force de Langevin déduites des uctuations de positionmultipliées par la raideur du ressort k. Comme la force de Langevin nedépend que des frottements visqueux, celle-ci est indépendante de k. Parcontre la bande passante du système dépend de k.


Bruit RMS et bande passante.

0 50s 100s 150s

37 m

37.5 m

38 m

f = 3.125 Hz = 52 nm

f = 0.78 Hz = 31nm

f = 0.195 Hz = 19 nm

f = 12.5 Hz = 69 nm

Figure: Relation entre la bande passante ∆f d'un signal (ici unmouvement brownien fc = 4Hz) et ses excursions RMS. On a σ ∝

√∆f .

Ici un même signal a été représenté avec un ltrage variable (décalé pourplus de clarté) .


Bruit RMS et bande passante...

La force de Langevin FL ou le bruit de tension au borne d'unerésistance En sont en fait des densités de bruit dans l'espace deFourier. Leurs unités sont respectivement des pN/

√Hz et nV /

√Hz.

Pour comparer des bruits expérimentaux il faut comparer leurdensité de bruit spectrale. La valeur du bruit RMS (Root MeanSquare) dans l'espace directe est souvent trompeuse, les bandespassantes sont rarement les mêmes et ceci est dicile àdiagnostiquer sur le signal.Une façon de comparer les signaux dans l'espace réel est de lesltrer pour assurer qu'ils ont la même bande passante.


Mesure de force en utilisant le mouvement Brownien

Figure: Principe de la mesurede Force. < x2 > nouspermet d'estimer la raideurk. Or k = F/l . On peutégalement mesurer lefrottement visqueux enmesurant fc ou τc . C'est uneméthode de calibration deforce basés uniquement surdes mesures de distances.

Calibration des AFM et des pinces optiques.Vincent Croquette La physique du bruit

Bruit d'une résistance R.

Une résistance R ⇒ générateur de bruit E 2n (f ) = 4.R.kBT si on

regarde le signal dans l'espace direct, E 2n (t) = 4.R.kBT∆f .

La plupart des détecteurs sont de nature électronique avec unamplicateur branché sur un capteur. Celui-ci peut être modélisépar une résistance (éventuellement une impédance). La valeur decette résistance et sa température dénissent ainsi le niveau debruit du système.Ordre de grandeur : R = 10kΩ et T = 300K correspondent à 12nV /√Hz , pour une 50Ω qui est l'impédance caractéristique des

câbles coaxiaux cela correspond à 0.82 nV /√Hz .

Oscilloscope R = 1MΩ, C = 10pF ⇒ ∆f = 16kHz correspond à≈ 15µV de bruit RMS. R = 50Ω, ∆f = 1GHz correspond à≈ 26µV .Fréquence maximale : ~ω = kBT , correspond à l'infrarouge aTempérature ambiante. A très basse température on peut voir lacoupure en fréquence 25mK ⇒ 1GHz .


Bruit d'une résistance R, mesure de température

En mesurant le bruit d'une résistance avec un ampli de faible bruiton peut déterminer sa température. Ce n'est pas le thermomètre leplus sensible mais il est sa calibration est absolue.

Figure: En 1965, Penzias et Wilson à BellLabs. ont utilisé cette technique pourmesurer le bruit d'une antenne micro-ondepointée vers le ciel. Penzias et Wilson ontmis au point un détecteur dont le bruitintrinsèque est remarquablement petit.

Ils observent un bruit qu'ils n'arrivent pas à expliquer. Ils nirontpar trouver que c'est le vestige électromagnétique du Big-Bang, lerayonnement à 3K . (Leur détecteur avait donc une température debruit équivalente bien inférieure à cette température.)Penzias et Wilson ont ainsi validité de la théorie du Big-Bang, ilsont reçu le prix Nobel.


Les bruits de type grenaille (shot noise)

Si vous regardez des voitures passer sur l'autoroute à faible densitéde circulation, le temps de passage des voitures suit presque une loide Poisson. Si vous cherchez à estimer, le débit de voiture par uncomptage par unité de temps, votre estimation va présenter unbruit notable lié à la racine carré du nombre de voitures, c'est lebruit de grenaille. Il est caractérisé par σ2I ∝ I

On rencontre se type de bruit dans beaucoup de systèmes :

I Un courant d'électrons dans le vide

I La mesure d'un ux lumineux

I Un courant électrique passant à travers une barrière depotentiel (diode).

I etc.

Ce bruit fut découvert par Schotky


Les bruits de type grenaille dans les courants électriques

Dès qu'un dispositif contrôle le ux des électrons, le passage d'unebarrière de potentiel par exemple, on observe du bruit de grenaille.Il accompagne le courant d'électrons et prend la forme :

i2n (t) = 2I .e.∆f ou i2n (f ) = 2I .e

C'est un bruit blanc en fréquence. Il est indépendant de latempérature. Il permet de déterminer la charge du porteur e.Pour un courant de 1µA le bruit correspond à 0.6pA/

√Hz .

Si on regarde le signal issu d'un Photo-Multiplicateur ou d'unephoto-diode à avalanche, chaque fois qu'un photon ou qu'unélectron déclenche le dispositif, N électrons l'accompagnent. Lebruit de grenaille est alors renforcé.

i2n (f ) = 2(n.q).q = 2nq2 où q = N.e


Autres exemples de bruit de grenaille

La plupart des détecteurs de lumière sont limités par le bruit dephotons. Certains détecteurs permettent de suivre les photonsarrivant un par un.

Figure: Déplacementd'un moteurmoléculaire : lakinésine le long d'unmicrotubule. Cemoteur fait des pasde 8 nm dont ladistribution deprobabilité est une loide Poisson. Lesuctuations depositioncorrespondent àl'intégrale d'un bruitde grenaille.


La corrélation entre événements réduit le bruit de grenaille

Figure: A gauche,simulation d'un uxd'événements passantd'une situationaléatoire pure(distribution dePoisson (vert)) à unesituation presquepériodique(magenta). A droite,histogramme destemps de passageentre les événements.


La corrélation entre événements réduit le bruit de grenaille

Figure: Spectre debruit des simulationsprécédentes. Lorsquele ux d'événementscorrespond à situationaléatoire pure(distribution dePoisson (vert)) ladensité de bruit estblanche. Pour lasituation presquepériodique (magenta)le bruit de grenailleest réduit à bassefréquence.


Il n'y a pas de bruit de grenaille dans un pont de résistances

Figure: Schéma de quatre montages dans lesquels le même courant I0traverse une résistance R mais dont la tension de sortie Vout ne présentepas le même bruit. Dans les trois premiers (A,B,C) le courant est limitépar un élément semiconducteur qui laissent passer les charges une parune, le courant I0 présente un bruit de genaille. Pour le cas D), larésistance 10R est beaucoup plus grange que R, elle est choisie pourlaisser passer le même courant I0 à partir de la tension Valim. Cette fois iln'y a pas de bruit de grenaille !V 2

out1,2,3 = (4kBT .R.+ 2I0.e.R)∆f V 2

out4= (4kBT .R.)∆f


Le bruit dans la chaîne d'amplication

Figure: Schéma deprincipe d'une chaîned'amplication. Lecapteur est modélisé parune résistance R attachéeà un amplicateur.Celui-ci est décomposéen un amplicateur parfaitet en deux générateurs debruit l'un en tension en etl'autre en courant in.

Court-circuit R = 0, l'ampli présente un bruit e2n .Si R est très grand le bruit de l'ampli est ∝ R2i2n .

V 2

out = G 2(e2n + R2i2n + 4kBT .R).∆f


Minimisation du bruit de l'amplicateur

Figure: Bruit d'uncapteur de résistance Rrelié à un amplifateuropérationnel AD797. SiR est très petit, c'est lebruit de tension en quidomine, si R est trèsgrand c'est la lacontribution en bruit decourant R.in qui domine.Pour un en et in donné, ily-a une résistanceoptimum Ro = en/in.

On caractérise un amplicateur par sa Figure de bruit. Pour leAD797, en = 1nV /

√Hz et in = 5pA/

√Hz

F =SNRout

SNRin=

(e2n + R2i2n + 4kBT .R)

(4kBT .R)= 1.6 (2dB) pour R0 = 200Ω


Température de bruit d'un amplicateur

On peut aussi dénir la température de bruit d'un amplicateur.C'est son bruit avec une résistance R0 à son entrée dans le cas oùla température de cette résistance est nulle. On décrit alors le bruitdu dispositif comme celui de la résistance R0 à une températureTA. Un bon amplicateur a une température de bruit petite.Pour le AD797, en = 1nV /

√Hz et in = 5pA/

√Hz

TA =(e2n + R2i2n )

(4kB .R)= 183K pour R0 = 200Ω

pour le AD 745, en = 3.2nV /√Hz et in = 6.9fA/

√Hz ,

RO = 464kΩ

TA =(e2n + R2i2n )

(4kB .R)= 0.807K pour R0 = 464kΩ

L'AD797 a un premier étage avec des transistors NPN, l'AD745utilise des JFET.


Physique des générateurs de bruit d'un amplicateur

Figure: Le premier étaged'un amplicateur estconstitué soit d'untransistor à jonctions soitd'un JFET. Ces élémentscontrolent le passage ducourant I0 par la tensionà la base ou au gate.

Le bruit de tension en est induit par le shot noise sur I0. Cestransistors ont un courant de polarisation Ib ou Ig dont le bruit shotnoise est la source du in. Transitors : grande transconductance enpetit. Ib important (µA). in important. JFET : transconductancemodérée en moins bon. Ig très petit (pA) in très petit.


Comportement en fréquence du bruit d'un amplicateur

Figure: Evolution du bruiten tension en d'unamplicateur à JFET. Onremarque que le bruit estconstant à hautesfréquences mais qu'ilaugmente continuementà basse fréquence.


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