La Mécanique des fluides

1 – Ecoulements potentiels bidimensionnels

en source

2 – Ecoulements turbulents galerie souterraine

3 – Analyse dimensionnelle déversoir à forme rectangulaire déversoir à forme triangulaire

4 – Similitude des écoulements bloque de béton immergé dans l’eau

Analyse dimensionnelle : théorème de Vaschy - buschingham

Le déversoir à forme rectangulaire

Un bac est alimenté en eau à l’aide d’une pompe et sur un coté, une ouverture est réalisée. La forme de cette ouverture est rectangulaire.

Déterminer la dimension du débit surfacique qv = en fonction des grandeurs mesurables suivantes : la hauteur H, la largeur L et la pesanteur g.

L

H

1/ Le débit qv est fonction de 3 grandeurs mesurables qui nécessitent 3 unités fondamentales : L1 = la longueur L, L2 = la masse M et L3 = le temps T.

2/ Dressons le tableau suivant regroupant les dimensions des différentes grandeurs :

w1 w2 w 3 aH g qv

L1 L 1 1 -3 2

L2 M 0 0 1 0

L3 T 0 -2 0 -1

3/ Posons la matrice B =

020

100

311

4/ D’après le théorème de Vaschy-Buchingham, le nombre de grandeurs adimensionnelles est :

k = n – rang(B)k = 3 – 3k = 0

Ce résultat permet de conclure qu’il n’y a pas de 1 donc 1 = 0.

5 / Déterminons les composantes de y afin de trouver l’expression de .

On sait que B. y = - a avec y = y1 y2 y3 y4On obtient le système d’équations suivant :

y1 + y2 - 3.y3 = -2 y3 = 0

-2 y2 = 1

y1 = -3/2 y2 = -1/2 y3 = 0

6/ Déterminons la valeur de

= u.w1y1 .w2

y2 .w3y3

= qv .H-3/2 .g-1/2 .0

Or qv = Qv/L

Soit Qv = (1 = 1) .L .H3/2 .g1/2

Donc Qv = K .L .H3/2 .g1/2 avec K une constante

De nombreux barrages sont constitués de trappes rectangulaires actionnées à l’aide de vérins. En connaissant la largeur du barrage et la hauteur du niveau d’eau du barrage suivie à l’aide d’un capteur, il est possible de déterminer le débit d’eau souhaité se déversant dans la rivière.

Application :