La longue histoire des outils pour « dénombrer » et pour communiquer de « la quantité »
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La longue histoire des outils pour « dénombrer » et pour
communiquer de « la quantité »
L’histoire des systèmes de numération
Cette histoire s’étale sur plus de 30 000 ans
… avec une accélération des avancées les 5000 dernières années, c’est à dire à partir
de 3000 ans avant notre ère
3000 ans avant
notre ère
Début de notre ère
30 000 avant notre ère, fin de l’ère paléolithique qui a commencé 2 millions
avant notre ère.
- 30 000 L’an 1
2009
30 000 avant notre ère, l’ère paléolithique
• Durant les 2000000 d’années qu’a duré le paléolithique l’homme s’est organisé progressivement en groupes en groupe organisé, pratiquant la pêche et la cueillette. C’est vers la fin de cette période 30000 ans avant notre ère, du fait de cette évolution, que le besoin de désigner, de comparer, de communiquer des quantités, de dire combien est apparu.
• Aussi, pour mémoriser les quantités : les hommes faisaient des entailles dans du bois ou de l’os à l’aide de silex. Ils utilisaient également des objets, comme des cailloux, des nœuds sur des cordes… avec la mise au point de premiers systèmes de codage : chaque caillou vaut « un », et un tas de cailloux est remplacé par un caillou de nature ou de forme différente (calculi).
Un tas de cailloux est
remplacé par un cailloux
plus gros
Dès 3300 avant notre ère en Mésopotamie première numération de position
• Suivant la place qu'il occupe dans l’écriture, le symbole correspond soit à une unité (1), soit à une soixantaine (60), selon la place qu’il occupe.
• De 1 à 9 les nombres sont écrits par répétitions du clous vertical (), le nombre 10 est représenté par le chevron (). De 11 à 59, on répète les symboles autant de fois que nécessaire (principe additif).
• Le nombre 60 est représenté aussi par un clou vertical mais décalé (principe de position).
14 32 63
Vers 2500 avant notre ère, à Babylone, l’écriture de tous les nombres se fait à l’aide de deux symboles le « clou vertical » () et le « chevron" » () sur des tablettes de terre cuite
De 3000 ans avant notre ère à son apogée 1700 ans avant aujourd’hui la numération maya.
• La numération maya est une numération de position à base 20. C’est à dire qu’il y a 19 chiffres écrits avec pour 1 et — pour 5. Le nombre vingt s’écrit avec mais position décalée vers le haut.
20 14x20x20x20
6 0x20x20
17x20
2x5x20
14 16
Vingt six
Trois cent cinquante quatre
112216 À noter le signe
pour indiquer
la position
vide
&é »
3000 avant notre ère la numération égyptienne
• Les nombres sont écrits sur des papyrus : du fait de la fragilité du support, on a moins de traces de cette numération que pour les numérations de Mésopotamie.
• Leur système de numération ne repose que sur le principe additif, de ce point de vue il est moins performant que celui des mésopotamiens.
Représentation de
nombres jusqu’au
MILLIONIl savent
ADDITIONNER
SOUSTRAIRE
MULTIPLIER
DIVISER
Il peuvent écrire
des
nombres jusqu’au
MILLIONIls sont le
s premiers à
utiliser des FRACTIONS
de dénominateur 1
Les fractions égyptiennes • Toutes les fractions égyptiennes par souci de précision
sont exprimées comme somme de fractions différentes dont le numérateur est 1. Ils utilisent une seule fraction dont le numérateur n’est pas 1, c’est la fraction 2/3.
• 10/7 = 1 + 1/7 + 1/7 + 1/7
7
1
7
1
14
1
14
11
7
1
7
1
7
11
7
10
7
1
7
1
14
1
28
1
28
11
Pour écrire en somme de fractions différentes, la multiplication par 2 joue un rôle important. Comment ferais-tu pour
3/5 ?
7
1
7
1
14
1
28
1
28
11
4
1
7
1
28
11
7
1
4
1
28
11
3
10
La multiplication égyptienne
• Exemple : calcul de 43 x 18• Préparer deux colonnes :• Colonne I : écrire la suite des
doubles à partir de 1.• Colonne II : en « face » écrire la
suite des doubles du plus grand des deux nombres du produit.
• Repérer les nombres de la colonne I dont la somme égale 18
• Additionner les nombres correspondants de la colonne II : c’est le résultat du produit.
Colonne II Colonne I
43 1
86 2
172 4
344 8
688 16
774 18
Pour multiplier il suffit de savoir la table de 2
La division égyptienne
• Exemple : calcul de 325 : 28• Préparer deux colonnes :• Colonne I : écrire la suite des
doubles à partir de 1.• Colonne II : en « face » écrire la
suite des doubles du diviseur.• Retrancher le plus grand double
au dividende : 325 – 224 = 101• Retrancher le plus grand double
au résultat : 101 – 56 = 45• Retrancher le plus grand double
au résultat : 45 – 28 = 17.• 17 est plus petit que le diviseur.
Colonne II Colonne I
28 1
56 2
112 4
224 8
448 16
Pour diviser il suffit de savoir la table de 2
Ainsi le quotient de 325 par 28 est (1+2+8) c’est à dire 11 et le reste est 17
En 1300 avant notre ère : Numération chinoise
• En 1300 avant notre ère les chinois exprimaient les nombres dans un système à base dix où les principes de position et d’addition se combinent.
• Le système dispose d’un symbole pour chaque chiffre de 1 à 10 ainsi que des symboles pour 100 et 1000.
• Aujourd’hui la Chine a adopté la numération indo-arabe mais la numération de cette époque est encore dans les usages.
• Les chinois avaient une technique de la multiplication très astucieuse.
La multiplication chinoiseExemple : calcul de 28 x 45
1. Ecrire 45 décalé d’un rang
2. On calcule 4x2 = 8 centaines.
3. On calcule 5x2 = 10 dizaines.
4. Dix dizaines + 1 centaine = 9 centaines, on efface le 2 utilisé
5. On calcule 8x4 = 32 dizaines
6. 32 dizaines et 9 centaines = 122 dizaines.
7. On calcule 8 x 5 = 40 soit 4 dizaines.
8. 122 dizaines + 40 dizaines = 162 dizaines, on efface le 8 et c’est fini
2a8
4a5aà
2n8
8nnnn
4n5nn
2n8
1n0nn
8nnnn
4n5nn
8
9nnnn
4n5nn
83n2nn
9nnnn
4n5nn
8
1n2n2nn
4n5nn
84n0nn
1n2n2nn
4n5nn
1n6n2n0
4n5nn
1 2 3
654
7 8
Résultat
1620
Vers 500 avant notre ère la numération romaine
1 2 3 4 5 6 9
I II III IV V VI IX
10 19 20 50 100 500 1000
X IXX XX L C D M
Vers 500 avant notre ère les romaines utilisent une numération additive.
Aujourd’hui on l’utilise pour désigner des paragraphes, ou des siècles (XXIième siècle), pour nommer des rois (Louis XIV), même si les symboles ont évolué.
La numération romaine exige beaucoup de signes les calculs étaient bien moins faciles qu’avec la numération égyptienne mais l’usage d’abaques ou de bouliers remédiait au problème.
L’usage du boulier
• Les boules du haut valent 5, celles du bas valent 1. De droite à gauche, on lit les unités, les dizaines, etc
• J’affiche 63 (3 + 10 + 50)• J’ajoute 59
– 7– 2– 30– 20
1 2 2
Vers 400 avant notre ère, la numération grecque …
• Les grecs utilisaient un système de numération à principe additif. • Vers 400 avant notre ère, les grecs mettent au point un nouveau
système qui représente une nette avancée. C’est une numération de base 10. Les signes pour écrire les nombres (chiffres), à l'exception de celui pour 1, sont la première lettre du nom du nombre dans l'alphabet local.
1 5 10 100 1000 10000
ENTE EKA HEKATON XIIOI MYPIOI
I H X M
La notation selon le principe additif (i.e. chiffres romains).
3 ΙΙΙ 9 ΓΙΙΙΙ 400 ΗΗΗΗ ....
Notre système de numération actuel • Au VIIième, Bagdad est un riche pole scientifique, les arabes, ont
de nombreux contacts avec la civilisation indienne. Ils ont besoin d’améliorer leur système de numération, aussi ils empruntent celui des Indes.
• C'est le perse Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (790 ; 850) qui contribue à la propagation du système de numération indien. Aujourd’hui ce système est adopté par de nombreux pays en utilisant les chiffres dits arabes alors que certains pays arabes on conservés les chiffres hindi
Peut-on retrouver les 10 chiffres
hindi ?
Système binaire• C’est le système d'écriture des nombres conçu par le
savant allemand Gottfried Leibniz (1646-1716). Il comprend deux chiffres : 0 et 1. La base est alors 2.
• Utilisé dans la résolution de certains problèmes de stratégie (0 / 1 OUI / NON) comme les « tour de Hanoï ».
• Aujourd’hui la numération binaire est la base de fonctionnement de l'ordinateur.
17 10001 18 10010 20 10100
25 10?00