La géométrie élémentaire peut-elle encorenous surprendre ?

Auderghem 2013

" Comprendre quelque chose de nouveau est un plaisir."

" Comprendre plus que démontrer. Quand on peut mettre divers éléments en relation et voir que cela marche."

" Je distingue comprendre et démontrer."

" Comprendre, c’est voir à quoi le problème qu’on étudie peut se ramener, à des choses déjà comprises et voir comment cela peut donner un éclairage à de nouvelles questions."

Pierre Deligne (prix Abel 2013)

Extrait d'un article de France Caron, Université de Montréal

Plusieurs enjeux sont évoqués :

• Fournir aux élèves les outils intellectuels utiles au citoyen pour appréhender, de façon critique, les informations et les propositions qui lui sont soumises.

• Eveiller au caractère scientifique des mathématiques et à leur large applicabilité.

• Initier très tôt les élèves à la façon spécifique dont les mathématiques envisagent le rapport au vrai et au faux, soit en s’appuyant sur leur rapport au « réel » en ayant recours à la puissance du raisonnement.

• Commencer, lorsque c’est possible, à situer les connaissances mathématiques dans une perspective historique pour les faire percevoir comme construction humaine.

• Initier à une pratique de l’activité mathématique, caractérisée à la fois par :

◦ le goût du questionnement, de la recherche, de l’investigation ;

◦ la nécessité de structurer, d’organiser, d’expliciter, de prouver.

Ce dernier enjeu est, à mes yeux, essentiel.

En vue de l’illustrer, nous développerons un schéma d’approche de faits géométriques en trois étapes :

• Expérimenter - Explorer – Découvrir

• Conjecturer – Vérifier

• Argumenter - Justifier – Démontrer

Nous tenterons de répondre aux questions suivantes :

- L’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique peut-elle favoriser l’implantation d’un schéma de ce type chez (certains de) nos élèves ?

Et chez l’adulte réputé « matheux » ?

- La géométrie du début du secondaire offre-t-elle des occasions de développer un tel schéma ?

Quelques remarques préliminaires :

• Les propriétés géométriques qui seront abordées ne sont pas d’une importance capitale, elles ne vont pas révolutionner la géométrie élémentaire !

• Les situations choisies, en espérant qu’elles soient peu ou pas connues, devraient illustrer la démarche proposée.

• Ces situations mettront en œuvre principalement des quadrilatères quelconques et concerneront surtout la notion d’aire (grandeur principale attachée aux surfaces planes).

• Les comparaisons d’aires seront favorisées (sans recours aux formules de calcul d'aire).

• L'utilisation du logiciel favorisera une présentation dynamique des énoncés.

• Les propriétés permettant les justifications sont des outils majeurs de la géométrie élémentaire :

1. détermination d’un parallélogramme,

2. Thalès,

3. polygones de même aire, …

Première partie :

Le rôle des médianesExtension

Deuxième partie :Le rôle des diagonales

ExtensionBonus

Première partie :

Sit 1

Les médianes

Un aspect moins connu (?)

Richesses de l'approche dynamique

TestLabo

Extrait de l'article de Daniel Reisz

Plot (APMEP) n°39 2012

Sit 2 Les "trianes"

Triane : néologisme ou abus de langage autorisé aux personnes âgées.

Comme une médiane … mais pour les tiers.

Personne âgée : prof à la retraite affranchi de toute contrainte.

Réf. : Finding conjectures using geometer's sketchpad (GSP) Mathematics teaching 221 (march2011)

Labo

Sit 3

Angel theorem

Mathematics in School Nov 2012

Dr Chris Pritchard

Labo

Première partie :

Le rôle des médianes

Extension

Deuxième partie :

Le rôle des diagonales

Extension

Bonus

Sit 4

Partages

Sit 5

Les quarts

Sit 6

Losange 21

Traduction par Y. Noël d'un article de C. Pritchard

Pierre- Léon Anne 1806-1850

http://www.pandd.demon.nl/vierh/newtonlijn.htm

Newton-lijn dans un quadrilatère complet

Bonus

Trianes dans un triangle

Sit 7 Les trianes dans un triangle

Chris Pritchard

Hugo Steinhaus

Amusements :

Finding conjectures using geometer's sketchpad by S. Fallstom et M. Walter

Mathematics teaching 221 March 2011

Spinning Pegs and Varignon's Friends by Chris Pritchard

Mathematics in school March 2012

Fibonacci Pegs and an Angel Theorem by Chris Pritchard

Mathematics in school Nov 2012