jouer - Cours Pi

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Ce n’est pas parce que vous atteignez le CM2 que vous n’avez plus le droit de jouer. Et vous verrez, ils sont nombreux les jeux dans ce Cours de Maths. Allez, un peu de logique, creusez-vous la cervelle, vous allez trouver la solution.

Q u e l p l a i s i r d e v a i n c r e t o u t e s c e s é n i g m e s !

Ce cours, comme tous les autres que nous proposons de la Petite Section de Maternelle à la Terminale n’a été imaginé que pour tendre vers un seul et unique objectif : il doit permettre un apprentissage à distance, par correspondance. Ainsi, toute sa construction est orientée vers cette unique destination : il s’adresse à un élève, seul face aux notions en jeu. Il doit donc apporter et expliquer les notions, mais aussi permettre de s’évader, de s’entraîner et de se tester. En d’autres termes, il est construit dans l’optique de combler l’absence physique d’un professeur. Sa structure interne permet un avancement linéaire et simplifié : laissez-vous guider !

Ce guide de méthodologie vise à expliciter la construction du présent cours. Ne mésestimez pas son importance. Au-delà des conseils d’ordre général que vous retrouverez dans les prochaines pages, il apporte un éclairage particulier sur les notions en jeu ce trimestre… et peut donc être très utile, aussi, pour ceux ayant grandi à nos côtés. Nous vous en recommandons une lecture attentive. Pour partir du bon pied.


Le présent ouvrage trouve en son sein plusieurs entités qui s’entremêlent et découlent l’une de l’autre. Ainsi, on distinguera : Le guide de méthodologie, pour appréhender notre pédagogie

La lecture complète et attentive du présent guide de méthodologie permet de comprendre le cadre de travail proposé. Un retour à son contenu en cours d’année et plus encore dans les premières semaines apparaît souhaitable, pour mettre toutes les chances de réussite de son côté !

Les leçons détaillées, pour apprendre les notions en jeu

Ces dernières doivent être lues attentivement, et bien entendu comprises. Elles sont le cœur des apprentissages et il est absolument inutile et contreproductif d’avancer si elles ne sont pas totalement assimilées. Vous les distinguerez par leur encadrement toujours identique.

Les exemples et illustrations, pour comprendre par soi-même

Les exemples sont nombreux et permettent de se représenter concrètement la règle tout juste expliquée. Il ne faudra pas hésiter à les analyser en détails, ceux-ci permettant souvent une bonne compréhension de la notion.

Les prolongements numériques, pour être acteur et aller plus loin

Nous vous proposons 2 types de prolongements : 1) pour s’entraîner : parce qu’apprendre à écrire

demande de l’entraînement, nous avons créé des cahiers d’écriture. Une assurance de proposer à l’enfant des supports conformes et de qualité !

Nos cahiers ont été voulus évolutifs : orienterez vers le cahier d’écriture niveau débutant, puis progresserez vers les niveaux intermédiaire et expert.

2) pour apprendre autrement : vos « entractes » vous proposeront le recours à des ressources numériques complémentaires (vidéos, podcasts, textes, jeux, tutos, quiz...) ; une diversification des supports qui permettra un éclairage nouveau et plus riche pour l’élève.

Pour tendre vers cet objectif, nous avons innové et créé des « rubriques ». Nous vous proposons de découvrir leur utilité et leur valeur ajoutée en page suivante.

Important !

Pour retrouverez tous vos prolongements numériques, une seule adresse : www.cours-pi.com/ressources

N’hésitez pas à contacter votre Bureau de la Scolarité pour toute aide qui s’avérerait nécessaire.


En effet, au-delà de vous proposer le fil que vous suivrez pour construire vos apprentissages, nous jugeons indispensable de vous y associer, de vous permettre de devenir acteur de votre Cours. C’est pourquoi ce Cours est émaillé de séquences que vous aurez plaisir à retrouver – dans ce Cours comme dans ceux de vos prochains niveaux d’étude. Elles sont autant :

d’incitations à la recherche de propositions de lectures complémentaires en lien avec le thème étudié d’ouvertures à d’autres supports – vidéo, audio… - car de la diversité nait la curiosité… et

disparaît l’ennui d’éclairages sur la notion étudiée. Parce que dit autrement, par un autre moyen

(animation, bande-dessinée, podcast…), parfois on comprend encore mieux d’idées de sorties pour mettre en pratique, pour constater par soi-même, en « vrai » de solutions permettant la transdisciplinarité, ou à plusieurs disciplines de se croiser pour

que l’enfant fasse des ponts. Pour mieux imager. Pour rendre concret. Pour vous aider à le construire dans d’autres domaines, comme celui de son développement artistique. A ce titre et à titre d’exemple, la rubrique « évasion artistique » ci-dessous permet de prendre appui sur la thématique de la leçon et participe à développer des compétences imposées par les programmes officiels de l’Education nationale (« expérimenter, produire, créer » ; « représentation du monde » ; travail multi-support).

Mais comment aborder ces « entractes » ? ❶ Au fil de leur rencontre, au moment proposé, parce que ça s’y prête, que l’enfant est réceptif à l’idée ou parce que vous sentez le besoin de « passer à autre chose ». ❷ Parce que votre enfant focalise aujourd’hui particulièrement son attention sur le fond de la leçon, vous choisissez de conserver cette dynamique et mettez de côté l’entracte proposé. Faites ainsi. C’est le rythme de votre enfant qui doit primer. N’oubliez jamais : Ces ressources sont des compléments. Sans elles, le présent Cours est suffisant et reflète

déjà le contenu des programmes. Un enfant de Primaire a un temps de concentration réduit et le passage d’une « activité »

à une autre est un élément essentiel pour des apprentissages durables. Ces ressources sont positionnées à des moments d’apprentissages que nous savons être

des transitions : elles ne coupent jamais une activité. Mais en revanche elles s’y rapportent. Pour autant, l’idée vous plait mais le « timing » moins ? Créez-vous un carnet dans lequel vous compilerez les propositions que vous mettez de côté. Pour un jour de pluie… Pour un jour où l’attention de votre enfant est moindre… Parce que ces « entractes » c’est apprendre… sans en avoir l’air !


Des exercices d’application, pour s’entraîner encore et encore

Parce que « penser qu’on a tout compris » est une chose… et parce que se confronter à la réalisation d’exercices et se le prouver en est une autre, vous en trouverez de nombreux dans cet ouvrage. Ils doivent être faits, voire refaits.

Nous jugeons le volume suffisant pour permettre à l’enfant de s’approprier chacune des notions. Toutefois, nous savons certains parents soucieux de vouloir encore approfondir une connaissance en disposant de davantage d’exercices d’application. Nous comprenons cette attente, mais souhaitons toutefois vous alerter sur le pendant à cette tentation parentale. Celle-ci, souvent constatée, est compréhensible, part d’une réflexion positive et a toujours pour objectif de vouloir le meilleur pour son enfant. Mais attention, la frontière est ténue entre cette volonté et la surcharge de travail. Cependant, nous avons choisi de mettre des exercices complémentaires à la disposition de ceux qui souhaiteraient travailler davantage une notion, assurant ainsi le recours à des contenus de qualité. La pastille ci-contre vous signalera leur présence, à l’adresse suivante : www.cours-pi.com/ressources

N.B. : le dessin suivant vous annonce que le texte ou l’exercice en présence est enregistré. Une seule adresse pour l’écouter : www.cours-pi.com/ressources

Des fiches méthode, pour savoir « comment le faire »

Parce que l’accumulation des savoirs est une chose et que savoir les utiliser en est une autre, nous avons pensé et mis à votre disposition des fiches méthode permettant de s’approprier la technique,

le cadre dans lequel l’enfant fera évoluer ses connaissances, en concordance avec le type d’exercice proposé. Elles vous seront annoncées via la signalétique suivante :

Des corrigés d’exercices, pour vérifier ses acquis

Les exercices précités disposent de corrigés-types disponibles et regroupés en fin de fascicule.

Pour une meilleure manipulation, vous les repérerez à leur impression sur papier de couleur. Ne négligez pas le temps passé à corriger les exercices faits. L’analyse d’une bonne réponse (via l’explication par l’enfant de la règle utilisée) est une solution pédagogique fort utile pour faire le lien entre le « j’ai compris la règle » et le « je sais la mettre en pratique ». Dans le cas d’une erreur, l’étude du corrigé est encore plus importante. Le constat de l’erreur, son analyse et sa compréhension sont des signes de progression. Un élève qui retrouve ses erreurs, les comprend et les corrige est un élève faisant preuve d’un grand recul et un élève qui progresse : si l’on savait déjà tout, nul besoin d’apprendre.


Des devoirs, pour être encouragé par son professeur

Un grand nombre de devoirs émaille tous nos ouvrages de Cours. C’est à dessein. Placés à des endroits clés des apprentissages, ils permettent la vérification de la bonne assimilation des enseignements, qui plus est par quelqu’un dont c’est le métier. Aux Cours Pi, nous avons choisi de vous faire accompagner par un même et unique professeur tout au long de votre année d’étude. Pour un meilleur suivi personnalisé, et pour faciliter les échanges et créer du lien. Référez-vous au fascicule de présentation reçu avec les devoirs pour l’identifier et découvrir son parcours. Avant que votre enfant ne fasse un devoir, assurez-vous qu’il ait bien compris les consignes. Au besoin, refaites un exemple avec lui. Puis laissez-le faire seul ses exercices. Si vous repérez des difficultés lors de sa réalisation, n’hésitez pas à le mettre de côté et à revenir sur les leçons posant problème. Le devoir n’est pas un examen, il a pour objectif de s’assurer que, même quelques jours ou semaines après son étude, une notion est toujours comprise. Si vous repérez des erreurs, n’hésitez pas à interroger l’enfant sur ce qu’il produit, encouragez-le à se relire et à les débusquer. Encore une fois, la recherche et la correction par lui-même d’une erreur est signe de compréhension. Si un devoir vous semble long et afin de ne pas décourager votre enfant, vous pouvez répartir sa rédaction sur plusieurs jours. Aux Cours Pi, chaque enfant travaille à son rythme, parce que chaque enfant est différent et que ce mode d’enseignement permet le « sur-mesure ». Nous vous engageons à respecter le moment indiqué pour faire les devoirs. Vous les identifierez par le bandeau suivant :

Il est important que votre enfant puisse tenir compte des remarques, appréciations et conseils du professeur-correcteur. Pour cela, il est très important d’envoyer les devoirs au fur et à mesure et non groupés. C’est ainsi qu’il progressera !

Donc, dès qu’un devoir est rédigé, envoyez-le aux Cours Pi par le biais que vous avez choisi : 1) Par voie postale à Cours Pi, 6 rue Saint Denis, 34 000 Montpellier

Vous prendrez alors soin de joindre une grande enveloppe libellée à vos nom et adresse, et affranchie au tarif en vigueur pour qu’il vous soit retourné par votre professeur

2) Par envoi électronique à l’adresse mail dédiée qui vous a été communiquée 3) Par soumission en ligne via votre espace personnel – votre tableau de bord

N.B. : quel que soit le mode d’envoi choisi, vous veillerez à toujours joindre l’énoncé du devoir ; plusieurs énoncés étant disponibles pour le même devoir. N.B. : si vous avez opté pour un envoi par voie postale et que vous avez à disposition un scanner, nous vous engageons à conserver une copie numérique du devoir envoyé. Les pertes de courrier par la Poste française sont très rares, mais sont toujours source de grand mécontentement pour l’élève voulant constater le résultat des fruits de son travail.

Lorsqu’il recevra son devoir corrigé, regardez-le avec lui pour l’aider à comprendre ses erreurs, les annotations du professeur-correcteur et au besoin lui refaire exécuter les exercices non compris. Chaque devoir corrigé vous sera retourné avec un corrigé-type. N’hésitez pas à vous référer également à lui.


Votre Responsable Pédagogique Notre Etablissement a fait le choix d’asseoir son développement sur une Direction pédagogique à même d’être, pour vous, un repère permanent (lundi matin au vendredi soir) et capable de vous orienter et de répondre à vos questionnements pédagogiques et de trouver des solutions sur-mesure. Spécialistes de l’enseignement des matières scientifiques ou littéraires, ils sont là pour vous. Référez-vous au « Carnet de Route » pour retrouver toutes ses attributions et découvrir comment il peut vous aider, au quotidien.

Votre Professeur N’hésitez pas à solliciter votre professeur pour toute incompréhension, notamment lors d’un besoin d’éclaircissement sur les corrections qu’il a effectuées. Nos professeurs-correcteurs étant enseignants de métier et spécialistes de leur discipline, ils sont pour vous un 2ème point d’entrée pédagogique.

PoulPi

Votre portail numérique Pour se réunir, s’entraider, s’informer, administrer comptes et cursus, envoyer gratuitement & recevoir les devoirs. Et tellement plus encore ! Par exemple, pour votre aide du quotidien : • La salle des profs : l’équipe pédagogique est à votre écoute, afin de

répondre à vos interrogations, à vos questionnements et afin de vous conforter dans vos choix et orientations.

• Le café : allez faire un tour au café virtuel de PoulPi pour vous retrouver entre parents et partager votre expérience.

• La salle d’étude, espace consacré à la coopération entre élèves, sous l’œil bienveillant des encadrants pédagogiques de l’Etablissement.

• La salle d’expo, lieu de valorisation où les élèves partageront leurs réalisations, leurs exposés et leurs créations.

Votre Bureau de la Scolarité Le membres du Bureau de la Scolarité sont à votre écoute pour toute question d’ordre administratif. Retrouvez les contacts – mail et ligne téléphonique directe – dans le « Carnet de Route ».

Pour que le Cours vous soit profitable, vous procéderez ainsi :

o Lisez attentivement chaque chapitre.

o Faites les exercices d’entraînement du Cours. Pour cela, nous vous conseillons d’avoir deux cahiers pour faire tous vos exercices d’entraînement :

Un cahier d’arithmétique (numération, calcul, problème…), à grands carreaux de type « Seyes ».

Un cahier de géométrie à petits carreaux. Les constructions géométriques se font, toujours, au crayon à papier.


Ces cahiers devront être tenus avec soin. Vous indiquerez la date du jour, centrée par rapport à la largeur de la feuille et soulignée. Vous effectuerez les exercices dans l’ordre indiqué dans le Cours. Pour chaque exercice, vous noterez le numéro et la page correspondante du Cours. Appliquez-vous pour bien écrire, en suivant les conseils de présentation qui vous sont donnés dans le Cours, en particulier pour les opérations, les conversions et les problèmes.

o Une fois les exercices d’entraînement achevés, faites-les corriger par une personne de votre entourage (ils ne sont pas soumis à la correction du professeur-correcteur), en prenant soin de vérifier les réponses données dans les corrigés correspondants. Les exercices d’entraînement sont une application directe du Cours et vous préparent aux devoirs soumis à correction.

o Au moment où cela vous est indiqué dans le Cours, faites vos exercices du devoir sur un cahier d’essai, répondez aux questions dans l’ordre donné. N’oubliez pas de questions. Suivez bien les conseils donnés, relisez vos réponses, corrigez-les au besoin. Votre cahier d’essai doit être aussi bien tenu que les cahiers d’arithmétique et de géométrie.

Enfin, recopiez vos exercices du devoir proprement, en soignant l’écriture, la présentation et l’orthographe. Veillez à ne pas faire de fautes de copie et à ne pas oublier les majuscules : même en mathématiques, il ne faut pas les oublier au début de chaque phrase et aux noms propres… Vérifiez que vous n’avez pas oublié une question ou un exercice et envoyez votre devoir terminé aux Cours Pi. Très rapidement, chaque devoir vous sera retourné corrigé, noté et annoté par votre professeur, et accompagné de son corrigé-type. Lorsque vous recevrez votre devoir corrigé, comprenez vos erreurs, refaites les exercices que vous n’avez pas su faire. Pour le devoir suivant, tenez compte des observations de votre professeur. C’est pour cette raison qu’il est impératif d’envoyer vos devoirs au fur et à mesure et non groupés. C’est ainsi que vous progresserez.

La pratique des Mathématiques demande beaucoup de manipulation et d’entraînement. Cela passe bien sûr par le jeu (cartes, dés) mais aussi par la mise en situation et l’apprentissage au quotidien. Vous devez accompagner votre enfant dans ses apprentissages lors de la découverte du Cours et des exercices d’entraînement. Cela peut passer par la manipulation, la mise en situation, le jeu. Le calcul mental doit être fait quotidiennement. Lorsque votre enfant fait ses devoirs soumis à correction, votre rôle se limitera à veiller à ce qu’il n’oublie aucune question, aucun exercice et que le devoir soit présenté avec rigueur, clarté et précision. Veillez ensuite à ce qu’il relise son devoir pour corriger les erreurs possibles. Si un devoir vous semble long et afin de ne pas décourager votre enfant, vous pouvez répartir sa réalisation et rédaction sur plusieurs jours. Les conseils donnés dans le Cours pour poser les opérations ou présenter un problème sont très importants. Votre enfant prendra ainsi de bonnes habitudes qui lui serviront pendant toute sa scolarité. En géométrie, le travail doit être très précis et soigné.


Pour grandir et s’épanouir, l’enfant a besoin d’expérimenter, de manipuler et de tester. C’est ainsi qu’il prend confiance dans ses gestes et qu’il comprend le monde… Convenez que pour qu’il apprenne à arroser les plantes, il faudra plusieurs fois passer l’éponge 😊😊.

Il ne faut rien forcer, mais inciter l’enfant à sortir de sa zone de confort est positif ! Quand vous sentez qu’il en est capable, encouragez-le à faire « tout seul ». En sentant que vous lui faites confiance il se sentira plus fort !

Pour se hisser sur ses jambes et marcher, un bébé a besoin de s’y reprendre à plusieurs fois. Se tromper, échouer, fait partie intégrante de l’apprentissage. Rappelez-lui que c’est en essayant qu’on y arrive, et ne transformez pas l’envie de réussite en pression.

L’enfant a besoin de la reconnaissance des adultes, et principalement de ses parents. Soulignez ses réussites et le travail accompli pour y arriver. Cela viendra renforcer sa compréhension du chemin parcouru pour apprendre et lui apportera de l’estime de lui.

Tout le monde a des qualités ! Formulez-lui à voix haute quelles sont les siennes quand vous les voyez : solidaire, courageux, créatif, drôle, débrouillard, généreux… Autant de qualités bonnes à entendre plutôt que de lui répéter sans cesse ses petits défauts.

Aménagez des temps de découvertes. Le cerveau a besoin de s’aérer et d’être nourri d’activités parallèles : pratiques artistique ou sportive, spectacles, visites, expositions… Autant d’activités qui viendront enrichir l’enfant de nouvelles idées et apprendre sans en avoir l’air.

LAISSEZ-LE PRENDRE DES INITIATIVES ENCOURAGEZ-LE À ALLER PLUS LOIN

VALORISEZ SES ERREURS FÉLICITEZ-LE

FAITES-LUI DÉCOUVRIR SES QUALITÉS FAVORISEZ LA DÉCOUVERTE


A ce stade, les bases sont maintenant bien posées ! Vous êtes prêt à appréhender la première leçon et à prendre plaisir dans l’accompagnement de votre enfant, sur la route des découvertes et du savoir. Enfin, presque… Chers parents, encore deux conseils d’ordre méthodologique : Premièrement, une autre clé de la réussite réside dans l’organisation que vous allez mettre en place : l’enfant doit en effet sentir que le chemin qui lui est proposé est clair et défini.

Définissez un calendrier des apprentissages Deuxièmement, les « temps morts » pour faute de préparation doivent être au maximum gommés.

Anticipez la leçon ou activité du jour

1 Définissons un calendrier des apprentissages ! Nous croyons à l’intérêt supérieur de l’instruction sur-mesure et avons donc choisi de tout mettre en œuvre pour tendre vers cet objectif ambitieux. C’est pourquoi, nous nous refusons à vous présenter un cadre rigide pour les apprentissages de votre enfant : Pas de contrainte de temps pour arriver au bout de l’année : 6 mois, 10 mois ou 14 mois, l’important est

de coller au rythme d’apprentissage de l’enfant. Pour apprendre durablement. Pas de date imposée de remise des devoirs : notre Etablissement s’adapte à vous et ne tient pas compte

des vacances scolaires officielles. L’élève soumettra donc son devoir à la correction lorsqu’il l’aura fait, après avoir pris le temps d’étudier les notions qui l’y ont amené.

Pas d’emploi du temps ou de charge de travail imposé : chaque élève est unique, chaque cas de figure l’est aussi. Il nous semble donc profondément contreproductif de vous imposer un cadre de travail, au jour le jour. Les difficultés scolaires, les petites ou grosses maladies, les contraintes familiales, les troubles de l’apprentissage (…) : autant d’éléments qui doivent être pris en compte pour que l’enfant réussisse sur le long terme.

Néanmoins, nous savons que beaucoup d’entre vous ressentent le besoin d’un cadre. Mais, vous proposer un emploi du temps standard va à l’encontre de ce qui nous semble pertinent pour un enfant. Vous ne trouverez donc pas ici un calendrier fixe et rigide. Nous préférons vous proposer une aide en deux temps :

Vous présenter une méthodologie pour vous aider à constituer votre calendrier, en fonction de vos besoins, de vos contraintes et des capacités de votre enfant.

Et pour ceux ressentant le besoin d’un accompagnement :

Vous proposer un accompagnement personnalisé pour définir, avec vous, un calendrier sur-mesure.

Nous allons donc détailler ci-après comment construire un emploi du temps qui respecte tout le reste de votre quotidien et qui permet une instruction épanouissante pour l’enfant. Bien entendu, autre avantage, cet emploi du temps est évolutif : l’appétit d’apprentissage

formel de l’élève grandit ; la grand-tante de Patagonie vient à l’improviste passer une semaine ; la bronchite de l’enfant est persistante ; une super exposition temporaire vient d’ouvrir ses portes à 2h de route de la maison… Autant de raisons de réajuster l’emploi du temps, sans crainte, sans pression et sans que cela soit dommageable pour les apprentissages de l’enfant.


Base de l’exemple : nous allons fabriquer, pas à pas, l’emploi du temps de l’élève « Alix ». 1) Partir de nos certitudes (en jaune dans le tableau) :

• Alix se lève généralement, naturellement et sans réveil, vers 8h du matin. • Alix a besoin d’une demi-heure pour prendre son petit déjeuner et s’habiller. • Le déjeuner est souvent pris entre midi et 13h, selon les activités de la journée. • Alix goûte vers 16h. • Alix se douche au moins un soir sur deux, avant le dîner. • Le dîner est servi pour 20h. • Après le dîner, les rituels du couchage s’enchaînent : brossage de dents, passage aux

toilettes, histoire au lit, extinction des feux. Les horaires du déjeuner et du goûter dépendant des autres activités, nous attendrons pour les positionner sur notre emploi du temps.

2) Positionner les activités déjà connues et à heures fixes (en vert dans le tableau) : • Les parents d’Alix ont un impératif tous les jeudis après-midi ; Alix est donc chez sa grand-

mère. • Alix fait du judo, tous les mardis, de 17 à 18h. • Alix participe à un cours de danse avec ses copines le mercredi de 13h à 15h. • Alix fait un atelier d’arts plastiques, tous les samedis, de 15h à 17h.


3) Positionner les temps libres connus et indispensables à l’enfant (en bleu dans le tableau) : • Après son cours de danse du mercredi, Alix en profite généralement pour jouer avec ses

copains et copines le reste de l’après-midi • De même, les parents d’Alix ont remarqué la récurrence d’une fatigue après le judo du

mardi. Ils décident qu’une plage de temps libre devra suivre cette activité

4) Réfléchir aux temps d’instruction formel (en rouge dans le tableau) : • Nous y voilà ! Vous l’avez compris, notre recommandation est de faire en fonction de votre

enfant. Néanmoins, certaines tendances se dégageant, nous nous en inspirons pour ce qui suit (vous les retrouverez en prochaine page expliquées en détail).

• Les parents d’Alix souhaitent que des temps « d’école » soient positionnés, du lundi au vendredi, en matinée.

• Après discussion avec Alix, il a été convenu, d’un commun accord, que l’instruction débute à 9h. Ainsi, Alix aura un léger temps pour jouer durant le petit-déjeuner.

• Le temps scolaire se poursuivra jusqu’à 11h du matin. Peut-être un peu plus, pourquoi pas jusqu’au déjeuner si Alix s’épanouit dans l’activité proposée et souhaite la terminer.


D’accord, mais comment on s’organise pour et dans chaque plage dédiée au temps scolaire ? Pour les temps d’apprentissages formels (les apprentissages proposés dans ce cours), nous vous conseillons :

• De les positionner en matinée. En effet, lorsque l’on étudie les sciences cognitives et les rythmes des enfants, on comprend rapidement que le matin l’enfant est plus enclin à la concentration.

• De supprimer tout usage des outils audiovisuels le matin avant de commencer les cours afin de lui permettre d’être pleinement concentré pendant toute la durée de ses activités.

• De mettre en place des rituels, par exemple pour commencer la séance de travail et pour la conclure. En plus d’offrir des repères à l’enfant, ces rituels sont souvent attendus par lui et appréhendés avec plaisir. Les rituels doivent prendre une place importante et peuvent permettre à votre enfant d’apprendre sans avoir le sentiment de travailler vraiment. Ces activités reprendront toutes les notions vues en lecture, écriture, mathématiques (…), seront ludiques, et s’inscriront de préférence dans un cadre informel (d’où notre proposition de début et fin de séance, afin de marquer le basculement entre formel et informel). En voici quelques exemples :

• Calendrier / date • Français :

o dictée de phrases et analyse des mots (retrouver le verbe / le nom…) ; o jeu des « devinettes de mots » (« comment écris-tu le mot « rituel ») : à l’oral

ou à l’écrit sur une ardoise ; vous pouvez vous appuyer sur les « mots à savoir orthographier » ;

o lecture : la première page d’un livre choisi par l’enfant… ce qui pourra être l’occasion pour le parent de lire la suite de l’histoire

• Mathématiques : o dictées de nombres en chiffres et en lettres ; o calcul mental.

• De garder en mémoire que les enfants de Primaire sont toujours en train d’apprendre à se concentrer. Il vous faudra donc alterner régulièrement les activités, passer de l’une à l’autre quand vous sentez l’enfant décrocher. C’est d’ailleurs une des raisons pour lesquels les activités que vous retrouverez dans votre cours ne s’éternisent pas outre mesure.

• De ne pas faire du respect de votre calendrier une règle immuable : il peut arriver qu’une sortie ou certains contre-temps puissent vous empêcher de faire le travail imaginé, n’hésitez pas à remettre au lendemain les séances de travail prévues initialement. Il est effectivement important que l’enfant sente les contours d’un cadre à respecter, mais une trop grande rigidité est rarement synonyme de plaisir à faire les choses. Pour ceux souhaitant se rassurer et voulant s’imposer une durée précise pour arriver au bout du présent cours, un moyen simple reste de diviser le nombre de jours de travail annuels par le nombre de pages (« trente-six semaines, cinq jours par semaine = 180 ; nombre que je divise par XX pages »). Vous l’avez néanmoins compris, ce n’est pas là une orientation que nous préconisons, préférant réfléchir par rapport à l’enfant, à chaque enfant individuellement.

• De conserver certaines des activités de ce cours pour les après-midis, par exemple les activités proposées à travers vos rubriques.

5) Ce qui reste en blanc dans l’emploi du temps : du temps pour apprendre autrement et s’épanouir pleinement

• Apprentissage informel (tout ce que l’enfant se verra proposer grâce au temps dégagé) : musée, spectacle, lectures, visites, balade dans la nature, jeux…

• S’adonner aux arts et aux sports, librement. • …

Pour plus de conseils, reportez-vous à votre Carnet de Route et n’hésitez pas à appeler votre Responsable Pédagogique pour qu’il vous oriente, au besoin.


Bravo, nous venons de mettre en place un calendrier calqué sur vous et sur votre enfant ! En passant à la phase concrète de réalisation du vôtre, il se peut que vous ressentiez le besoin d’une « validation » ou d’un avis externe. Votre Responsable pédagogique est là pour ça : contactez-le.

Il se peut aussi que, bien qu’ayant lu ce pas à pas méthodologique, vous ressentiez le besoin d’un accompagnement pour mettre en place le quotidien de votre enfant. Votre Responsable pédagogique est toujours là pour ça : contactez-le. Vous travaillerez, ensemble, à définir la programmation hebdomadaire de votre enfant. Concrètement. Utilisez les contacts que vous retrouverez dans le « Carnet de Route », et n’hésitez pas à le contacter.

2 Anticipons la leçon ou l’activité du jour L’enfant de Primaire a généralement du mal à attendre, est souvent « pressé de commencer ». Il a besoin de sentir que l’adulte sait où il va et prendra alors plaisir à l’y accompagner : une bonne préparation évite les possibles démobilisations. C’est pourquoi, pour faciliter votre apprentissage au quotidien, nous avons imaginé les « séquences pas à pas » !

Remarque liminaire : à ce stade, après seulement quelques pages d’informations, vous commencez certainement à appréhender le fonctionnement choisi pour permettre à votre enfant de progresser dans ses apprentissages. Nous avons conscience que beaucoup d’informations et de concepts sont peut-être nouveaux pour vous et que de nombreuses zones d’ombre persistent. Pas d’inquiétude, cela est tout à fait normal. La lecture de ce guide de méthodologie a dû en dissiper de nombreuses, du moins quant à la « théorie ». Mais comme rien ne vaut la pratique et afin de vous accompagner au mieux, nous avons choisi de vous présenter ci-après des séances dites « pas à pas ». Les auteures vous y détaillent leur manière de procéder, comment elles feraient avec un élève de « leur classe », qu’elles auraient en en face d’elle. L’approche qui est la leur ne sera pas forcément la vôtre, ne sera pas forcément meilleure ou plus adaptée que la vôtre. Toutefois, elle vous permettra de vous donner un point de repère concret sur les différents points de passage présents dans une même leçon.

Avançons, néanmoins, que notre Cours est ainsi construit que le simple fait d’en suivre l’ordre chronologique doit permettre un avancement serein. Dit autrement, il a été conçu pour que vous n’ayez qu’à vous laisser guider, page après page. Toutefois, parce que certains enfants peuvent rencontrer des difficultés pour assimiler une notion et qu’il nous est déjà arrivé, à nous parents, de ne pas réussir à transmettre une idée ou un concept, nous avons choisi de vous proposer ci-après quelques techniques ou astuces pour appréhender différemment et contourner le blocage.

Contexte

Pour ce Cours de Mathématiques CM2, aucun apport extérieur spécifique n’est nécessaire, seul le présent fascicule est indispensable : il s’autosuffit.

Installez-vous dans un endroit calme et assurez-vous de ne pas être dérangés durant la séance.

Privilégiez pour les temps d’apprentissage, les moments où votre enfant est le plus réceptif. Par expérience, les matinées sont propices à un bon niveau de concentration.

Munissez-vous du matériel nécessaire (cahiers, trousse contenant : règle graduée, stylo, crayon à papier, gomme ainsi que quelques crayons de couleur).


Transmettre une notion n’est pas toujours chose facile d’autant plus lorsqu’il s’agit de notions simples. En effet, trouver des arguments convaincants pour expliquer clairement que 1 et 1 font 2 peut parfois nous laisser sans voix. Nous allons essayer dans cette partie de vous donner quelques outils et quelques pistes d’explications. Ces pistes ne sont pas obligatoires, mais elles pourront vous donner quelques idées en cas de panne sèche ou encore vous éclairer dans votre nouveau rôle de tuteur. En voici quelques-unes applicables à ce Cours de Mathématiques CM2.

Nombres et calcul

Pour aborder une leçon, commencez bien évidemment par lire l’élément de cours avec votre enfant. De manière générale, la manipulation d’objets est une manière très efficace de se familiariser avec les nombres et leurs opérations. Prenons pour exemple concret une leçon sur les chiffres et la structure de nombres. Chaque nombre et chaque chiffre est un « tout » qui peut se découper en deux ou plusieurs parties.

Par exemple 8 est un « tout » qui peut se séparer en deux parties, l’une de 5 et l’autre de 3. Schématisons-le pour rendre plus visible et plus intelligible :

Vous pouvez illustrer ce découpage en manipulant des petits objets, par exemple des cubes de jeu mais aussi simplement des haricots secs ou des petites pâtes, et vous amuser avec l’enfant à découper un même nombre en deux parties différentes à chaque fois. C’est l’addition en image, mais aussi la soustraction : si j’enlève une des deux parties à mon « tout » la partie restante est le résultat d’une soustraction !

Ensuite, remarquons qu’il est très utile de connaitre quasiment par cœur, toutes les façons d’additionner deux chiffres pour obtenir 10 : on appelle ça « les compléments à 10 » (par exemple 2+8 = 10). Proposez donc régulièrement à votre enfant d’effectuer ces petites opérations sous forme de calcul mental pour qu’ils les apprennent. De manière générale, stimulez votre enfant en lui faisant faire fréquemment de petites opérations sous forme de calcul mental : « que vaut 4+2 ? 6+3 ?... » Commencez doucement par des calculs simples pour ne pas décourager l’enfant. Lorsqu’un enfant répond plusieurs fois correctement à une question, il se sent valorisé, à juste titre, et cela crée un cercle vertueux dans son apprentissage. Attention, si c’est trop simple il risque de penser que vous le sous estimez, à vous de jouer pour trouver les bons calculs, pas trop difficiles mais pas trop faciles ! S’il peine à trouver le résultat en calcul mental, encouragez-le à trouver la réponse par manipulation. N’hésitez pas à le faire à des moments perdus, par exemple sur un trajet en voiture.


Vous pouvez maintenant introduire la notion de dizaines/unités en vous appuyant sur la méthode du découpage d’un « tout » en plusieurs parties. Prenez une poignée de haricots, faites des paquets de 10, comptez ces groupes de dix pour connaitre le chiffre des dizaines, les haricots restants correspondent aux unités. Voilà comment illustrer les nombres avec des modèles.

Pour expliquer les additions avec retenue, vous pouvez séparer les dizaines et les unités des deux nombres à additionner puis regrouper les dizaines entre elles puis les unités entre elles et à la fin ajouter les deux résultats. Lorsque le total des unités est plus grand que 10, on peut constituer une dizaine en plus, c’est la retenue. La multiplication est aussi une étape importante. Lorsque par exemple vous expliquez que 3 x 2 = 6 vous pouvez lui dire :

« Lundi je t’ai donné 2 bonbons. Mardi je t’ai donné 2 bonbons. Mercredi je t’ai donné 2 bonbons Combien de fois t’ai-je donné 2 bonbons ? 1 fois lundi, 1 fois mardi et 1 fois mercredi. Je t’ai donné 3 fois 2 bonbons donc au total 6 bonbons. 3 × 2 = 6 c’est pareil que 2 + 2 + 2 = 6 ».

Vous pouvez aussi lui dire : « avec 2 c’est facile de faire une addition parce que tu as appris et tu sais compter de 2 en 2. Mais si tu as de plus grands chiffres par exemple 6 + 6 + 6 + 6, tu risques de te tromper en additionnant donc il vaut mieux connaître par cœur que 4 × 6 = 24. En plus quand tu sauras bien tes tables tu iras plus vite ». Pour savoir les tables, il n’y a qu’une méthode : les apprendre par cœur l’une après l’autre, et pour y arriver il faut répéter et encore répéter. Il faut sans cesse réactiver la mémoire. N’hésitez pas à réciter ces tables « en rythme » ou encore à réaliser avec votre enfant un panneau, affiché dans la maison et consultable à tout moment de la journée.

Géométrie – Grandeurs – Se repérer dans l’espace

Il se peut que votre enfant confonde horizontal et vertical. Rappelez-lui que quand le soleil se couche, il, disparait derrière l’horizon... donc l’horizontale est une ligne couchée, la verticale est donc la ligne debout ! Pour expliquer la notion de grandeur, vous pouvez proposer à l’enfant de comparer une graduation de 1 cm sur plusieurs objets de mesure (un mètre ruban, une règle et une équerre par exemple) et de constater que c’est la même !

Cela lui permet de comprendre que cette unité est universelle. Ainsi, on pourra dire « combien de centimètres il y a » dans chaque longueur mesurable de notre environnement.

Pour aider votre enfant à assimiler les noms des différentes figures, proposez-lui de les répertorier dans un petit cahier au fur et à mesure qu’il les découvre. Cela lui permettra de mieux les connaitre, en prenant le temps de bien noter leur nom et de les dessiner une à une, avec leurs particularités (angles droits, cotés de mêmes longueurs, etc.). Cela permet aussi à l’enfant de faire travailler sa mémoire visuelle. En dessinant l’objet géométrique avec son nom, il se l’approprie et augmente sa qualité d’apprentissage.


La mémoire et la compréhension fonctionnent différemment chez chacun d’entre nous. Certains d’entre nous ont une mémoire plus visuelle alors que d’autres ont une mémoire plus auditive ou tactile ou encore scripturale. Aidez votre enfant à apprendre comment fonctionne, quels sont ses modes d’apprentissages « efficaces », cela lui servira toute sa vie (vous trouverez à cet effet des tests VAK – visuel, auditif, kinesthésique – sur votre plateforme numérique, www.cours-pi.com/ressources).

Pour cela nous vous encourageons à proposer différentes approches d’une même notion : par la manipulation (haricots) par l’écriture (répertoire de géométrie ou tables de multiplications illustrées) ou encore vocale en lui lisant la notion et en lui proposant de la reformuler à sa façon.

S’entraîner encore et encore

Les exercices sont organisés de manière progressive, c’est-à-dire en difficulté croissante. Ils vont permettre plusieurs choses :

s’assurer que la notion est comprise faire surgi certaines incompréhensions non détectées fixer la notion et permettre son acquisition de façon

pérenne. Il est important de tous les traiter.

Pour démarrer un exercice, commencez à lire l’énoncé avec l’enfant. Laissez-lui le temps de comprendre la question. S’il ne la comprend pas, aidez-le à déchiffrer l’énoncé, en formulant différemment la question pour le mettre sur la voie, comme une devinette. Incitez votre enfant à reformuler lui-même les consignes avec ses propres mots. Cette petite étape intermédiaire est loin d'être une perte de temps. En relisant et en traduisant de façon personnelle les consignes des exercices, votre enfant ne les comprendra que mieux. Il peut arriver qu’un enfant n’ait pas la réponse à une question, non pas parce qu’il n’a pas compris la notion mais plutôt parce qu’il ne comprend pas la question. Vous entendrez parfois cette phrase « ah mais en fait c’est facile, je n’avais pas compris ce qu’il fallait faire ! »

Vous pouvez également dessiner. Illustrer un calcul ou un exercice par un modèle concret (haricots, dessin de petits objets ou autre) est un système ingénieux qui aide les élèves à résoudre les problèmes. Quand ils sont confrontés à un énoncé, encouragez-les à dessiner eux-mêmes une représentation visuelle de la question. Concrètement, ils peuvent aussi dessiner des barres de différentes longueurs afin de déterminer quelles quantités sont données dans l’énoncé, quelles quantités sont inconnues, et quelles opérations vont les aider à trouver la solution. Par exemple, ci-dessous :

Marie a économisé 16 euros. Elle a économisé 5 euros de plus que Paul. Combien a économisé Paul ?

Le « ? » est la réponse à la question. Cela correspond à la soustraction 16 – 5 = 11 euros. En image, la question devient parfois plus claire.


En conclusion

Ne pas perdre de vue que le plus important est que votre enfant comprenne « pas à pas » chaque notion et cette compréhension passe aussi par une communication entre vous et lui. Faites-le participer en lui demandant s’il a compris, si c’est clair, voire même d’inventer ses propres exemples.

Nous proposons systématiquement des exemples pour illustrer la notion abordée mais n’hésitez pas à en proposer d’autres. Les exemples sont autant d’illustrations permettant d’accroître et de fixer la compréhension de l’enfant.

Si la notion est trop longue ou si vous percevez que votre enfant se déconcentre, ne forcez surtout pas. Il ne faut pas hésiter à fractionner une notion et à l’entrecouper d’exercices. A ce sujet, les différentes rubriques proposées au fil du fascicule constituent d’excellents entractes. L’apprentissage du français comporte beaucoup d’informations, il ne faut pas hésiter à inviter l’enfant à noter à la fin de chaque séance ce qu’il a retenu d’essentiel de sa séance.

Vous avez fait le choix d’enseigner vous-même à votre enfant et vous allez donc avoir la possibilité de lui apprendre de nombreuses choses, c’est un privilège mais aussi une responsabilité et nous sommes sûrs que vous y parviendrez sans difficulté. Nous allons vous accompagner tout au long de ce parcours en vous procurant un solide fil conducteur des différents apprentissages ainsi que de nombreux conseils pédagogiques.

Cependant, gardez à l’esprit qu’un bon enseignant est aussi quelqu’un de bienveillant qui partage et communique avec son élève sans le juger. Il n’y a pas « une » bonne façon de transmettre, il y en a presque autant que d’enseignants et d’élèves alors n’ayez crainte, vous trouverez la vôtre. Ainsi, pensez à communiquer l’un avec l’autre, à partager et à vous amuser au fil des différentes activités que nous allons vous proposer, c’est la meilleure façon d’apprendre et sans aucun doute l’une des plus efficaces.

D’après le Bulletin Officiel spécial n°11 du 26 novembre 2015 Le cycle 3 relie désormais les deux dernières années de l’école primaire et la première année du collège, dans un souci renforcé de continuité pédagogique et de cohérence des apprentissages au service de l’acquisition du socle commun de connaissances, de compétences et de culture. Ce cycle a une double responsabilité : consolider les apprentissages fondamentaux qui ont été engagés au cycle 2 et qui conditionnent les apprentissages ultérieurs ; permettre une meilleure transition entre l’école primaire et le collège en assurant une continuité et une progressivité entre les trois années du cycle. En ce qui concerne les langages scientifiques, le cycle 3 poursuit la construction des nombres entiers et de leur système de désignation, notamment pour les grands nombres. Il introduit la connaissance des fractions et des nombres décimaux. L’acquisition des quatre opérations sur les nombres, sans négliger la mémorisation de faits numériques et l’automatisation de modules de calcul, se continue dans ce cycle. Les notions mathématiques étudiées prendront tout leur sens dans la résolution de problèmes qui justifie leur acquisition. Le cycle 3 installe également tous les éléments qui permettent de décrire, observer, caractériser les objets qui nous entourent : formes géométriques, attributs caractéristiques, grandeurs attachées et nombres qui permettent de mesurer ces grandeurs. D’une façon plus spécifique, l’élève va acquérir les bases de langages scientifiques qui lui permettent de formuler et de résoudre des problèmes, de traiter des données. Il est formé à utiliser des représentations variées d’objets, d’expériences, de phénomènes naturels (schémas, dessins d’observation, maquettes...) et à organiser des données de nature variée à l’aide de tableaux, graphiques, ou diagrammes qu’il est capable de produire et d’exploiter.

Le Cours de Mathématiques des Cours Pi s’inscrit dans ce programme, comme vous pourrez le constater en consultant le sommaire proposé ci-après.


Dans le Bulletin Officiel spécial n°11 du 26 novembre 2015, le Ministère de l’Education Nationale indique trois grandes catégories au programme de Mathématiques du cycle 3 :

1) Nombres et calculs 2) Espace et géométrie 3) Grandeurs et mesures

Nous avons choisi de lier de l’histoire de l’art à ce Cours de Mathématiques et de faire des « problèmes » et de « l’organisation et gestion des données » des catégories à part entière, portant donc à 6 leur nombre. Vous retrouverez ces différentes catégories dans le sommaire ci-après et selon le code couleur suivant : • Nombres et calculs • Grandeurs et mesures • Problèmes • Espace et géométrie • Organisation et gestion des données • Histoire de l’art

• Rappel : les chiffres et les nombres • Les grands nombres entiers • Ordre sur les grands nombres entiers • La valeur approchée d’un nombre entier

Devoir n°1

• L’addition des nombres entiers • La soustraction des nombres entiers • Points, droites, segments, demi-droites • Les droites perpendiculaires • Les droites parallèles • Problèmes (1) : trier les informations

Devoir n°2

• La multiplication des nombres entiers o La multiplication avec un chiffre au

multiplicateur o La multiplication avec plusieurs chiffres

au multiplicateur • Jeux logiques (1) • Rappel : les multiples et les diviseurs • La division (1) : la division des nombres entiers • Problèmes (2) : la présentation des problèmes

Devoir n°3

• Les fractions • La comparaison des fractions • Les fractions égales • Effectuer des opérations avec les fractions • Les fractions décimales

Devoir n°4

• Les nombres décimaux • Les zéros inutiles • L’addition et la soustraction des nombres

décimaux • La multiplication des nombres décimaux

Devoir n°5

• La mesure des longueurs • Les angles

o L’utilisation du rapporteur o Les angles particuliers

• Jeux logiques (2)

Devoir n°6

Mathématiques CM2


• Rappel : la présentation d’un problème • La division (2) : le quotient décimal • La division (3) : diviser par 10, par 100, par

1 000… • La division (4) : la division d’un nombre décimal

par un nombre entier • Jeux logiques (3) : le sudoku

Devoir n°7

• La monnaie et les nombres décimaux • La mesure des masses • Jeux logiques (4)

Devoir n°8

• Se repérer sur un plan • Se repérer sur une carte routière • Les parenthèses • L’utilisation d’une calculatrice

Devoir n°9

• La symétrie • Jeux logiques (5) : le kakuro

Devoir n°10

• Les programmes de construction des figures planes

• Les polygones o Les quadrilatères particuliers o Les trapèzes o La construction d’un hexagone

régulier o La construction d’un octogone

régulier

Devoir n°11

• Les triangles • La construction des triangles particuliers • Médiatrice, médiane, hauteur et base • Le cercle et le disque

Devoir n°12

• Le périmètre des polygones • Le périmètre d’un cercle • La mesure des durées

o Le calendrier o Les mesures de durée o Opérations sur les durées

• Jeu logique (6)

Devoir n°13

• Lecture et utilisation des tableaux et des graphiques

• Les mesures de capacité

Devoir n°14

• La proportionnalité (1) • La proportionnalité (2) : les pourcentages

Devoir n°15

• La proportionnalité (3) : l’échelle • La proportionnalité (4) : agrandir ou réduire

une figure • La translation et la rotation

Devoir n°16

• Les solides • La proportionnalité (5) : la notion de vitesse • Jeux logiques (7) • Art du visuel : la géométrie selon « l’Op art »

Devoir n°17

• Les mesures d’aire • Aires et périmètres • Les volumes • Jeu logique (8) : la bataille navale

Devoir n°18


Le Cours

© Cours Pi Mathématiques – CM2 – Cours, 1er trimestre 1

NOMBRES ET CALCULS

Rappel : les chiffres et les nombres

Il ne faut pas confondre les nombres et les chiffres

Un chiffre est un caractère, ou signe, dont on se sert pour représenter un nombre, c'est-à-dire qu’un nombre est une quantité représentée à l’aide de chiffres.

Exemples : 12 roses ; 8 œillets… En France, on se sert de la numération arabe depuis le 15ème siècle. Cette numération est formée des chiffres : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 et 9.

Exemple : on utilise les chiffres 2, 3 et 7 pour écrire le nombre 732.

L’ordre donné aux chiffres est très important : 237 ; 273 ; 327 ; 372 ; 723 et 732 sont six nombres différents. La valeur d’un chiffre est différente selon sa position dans un nombre.

Exemple : dans le nombre 62 653, le premier 6 représente 6 dizaines de mille, soit 60 000, alors que le deuxième 6 représente 6 centaines d’unités simples soit 600. Dans le nombre 987 :

• Le chiffre des centaines est 9. • Le chiffre des dizaines est 8. • Le chiffre des unités est 7. • Le nombre de centaines est 9. • Le nombre de dizaines est 98. • Le nombre d’unités est 987.

987 = 900 + 80 + 7 = (9 x 100) + (8 x 10) + 7 = 9 c + 8 d + 7 u

Classe des unités simples centaines dizaines unités

9 8 7 9 8 7 9 8 7


NOMBRES ET CALCULS

Les grands nombres entiers

Un nombre entier est un nombre sans partie décimale, c'est-à-dire sans virgule. Les nombres entiers se rangent dans différentes classes : unités simples, mille (ou milliers), millions, milliards… Chaque classe est subdivisée en sous-classes : unités (u), dizaines (d) et centaines (c).

• Pour écrire un nombre en chiffres, il faut :

Écrire les nombres, en laissant toujours un espace (surtout pas de point) entre les chiffres des différentes classes par exemple entre le chiffre des milliers et les chiffres suivants, afin d’en faciliter la lecture.

Exemples : 3 000 ; 2 158 ; 3 697…

Ne jamais écrire de zéro à gauche du premier chiffre. Par contre, il faut écrire les zéros situés à l’intérieur du nombre ou à la droite du nombre : ceux-ci sont indispensables.

Exemples : 001 452 789 = 1 452 789 32 500 273 ≠ 325 273 3 270 ≠ 327

Remarque : le signe ≠ signifie « est différent de » ou « n’est pas égal à ».

• Pour écrire un nombre en lettres, il faut : Utiliser les mots suivants : un, une, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf,

dix, onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize, vingt, trente, quarante, cinquante, soixante, cent, mille, million, milliard, et.

Vous devez savoir écrire ces mots par cœur.

Combiner ces mots pour former un nombre. Exemple : le nombre 2 568 s’écrit en lettres : deux mille cinq cent soixante-huit.

Écrire un trait d’union entre les dizaines et les unités de chaque classe sauf lorsque l’on dit « et un ».

Exemples : quatre-vingt-dix-huit trente-six mille cent cinq cent vingt et un

Remarques : ❶ « mille » est un mot invariable.

Exemples : trois mille quatre mille cent vingt-huit

❷ « cent » et « vingt » sont invariables lorsqu’ils sont suivis d’un autre nombre. Exemples : cent quatre cents huit cent quatre

vingt quatre-vingts quatre-vingt-douze

❸ Lorsqu’on écrit une série de nombres en lettres, on ne les sépare pas avec des tirets pour ne pas confondre ceux-ci avec des traits d’union.

Exemple : trente-deux ; cinquante ; quatre…

Classe des milliards Classe des millions Classe des mille (ou

milliers) Classe des unités

simples c d u c d u c d u c d u


• Les différentes écritures d’un nombre Par exemple :

o En chiffres : 215 326 147 980 o En lettres : deux cent quinze milliards trois cent vingt-six millions cent quarante-sept

mille neuf cent quatre-vingts o Dans un tableau :

o En les décomposant :

200 000 000 000 + 10 000 000 000 + 5 000 000 000 + 300 000 000 + 20 000 000 + 6 000 000 + 100 000 + 40 000 + 7 000 + 900 + 80

(2 x 100 000 000 000) + (1 x 10 000 000 000) + (5 x 1 000 000 000) + (3 x 100 000 000) + (2 x 10 000 000) + (6 x 1 000 000) + (1 x 100 000) + (4 x 10 000) + (7 x 1 000) + (9 x 100) + (8 x 10)

o En les regroupant par puissances de 10 : Les nombres 10 ; 100 ; 1 000 ; 10 000… sont appelés des puissances de 10 parce qu’on les obtient en multipliant 10 par lui-même.

Exemples : 100 = 10 x 10 On écrit 10². On lit « 10 au carré » ou « 10 exposant 2 » 1 000 = 10 x 10 x 10 On écrit 103. On lit « 10 au cube » ou « 10 exposant 3 » 100 000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 On écrit 105. On lit « 10 exposant 5 »

2 ; 3 ; 5 sont les exposants. Ils correspondent au nombre de zéros. Pour le nombre 10, on n’écrit pas d’exposant : 101 = 10. Attention : 100 = 1

Exemple : 216 548 = (2 x 100 000) + (1 x 10 000) + (6 x 1 000) + (5 x 100) + (4 x 10) + 8 216 548 = (2 x 105) + (1 x 104) + (6 x 103) + (5 x 102) + (4 x 10) + 8

Exercice 1 : dans chacun des nombres suivants, que représente le chiffre 4 ?

Exemple : 214 521 698 4 représente les unités de millions

2 658 478 215 125 849 171 206 365 121 340 465 021 000 120

Exercice 2 : recopiez les nombres suivants en mettant les espaces oubliés.

25687413 – 69872541 – 6358124 – 36215 – 145652 – 5016540

Exercice 3 : encadrez le nombre qui correspond à chaque phrase.

Exemple : ce nombre a 3 248 dizaines d’unités simples : 54 800 32 480 3 248

Ce nombre contient 690 dizaines d’unités simples : 6 090 6 900 9 600 69 000 Ce nombre contient 42 milliers : 142 565 121 364 213 42 345 65 420 000 Ce nombre contient 3 812 dizaines d’unités simples : 15 381 425 38 122 3 812 63 812 650

Classe des milliards Classe des millions Classe des mille

(ou milliers) Classe des unités

simples c d u c d u c d u c d u 2 1 5 3 2 6 1 4 7 9 8 0


Exercice 4 : 1) Placez les nombres suivants dans le tableau ci-dessous.

Classe des milliards

Classe des millions

Classe des mille (ou milliers)

Classe des unités simples

c d u c d u c d u c d u Exemple : 126 514 081 397 1 2 6 5 1 4 0 8 1 3 9 7

1 640 356 290 67 582 035 006

210 000 687 031

2) Écrivez ces mêmes nombres en lettres.

Exemple : 126 514 081 397 = cent vingt-six milliards cinq cent quatorze millions quatre-vingt-un mille trois cent quatre-vingt-dix-sept

3) Décomposez ces mêmes nombres.

Exemple : 126 514 081 397 = (1 x 100 000 000 000) + (2 x 10 000 000 000) + (6 x 1 000 000 000) + (5 x 100 000 000) + (1 x 10 000 000) + (4 x 1 000 000) + (8 x 10 000) + (1 x 1 000) + (3 x 100) + (9 x 10) + 7

4) Décomposez ces mêmes nombres en puissances de 10.

Exemple : 126 514 081 397 = (1 x 1011) + (2 x 1010) + (6 x 109) + (5 x 108) + (1 x 107) + (4 x 106) + (8 x 104) + (1 x 103) + (3 x 102) + (9 x 10) + 7 Exercice 5 : barrez les zéros inutiles.

020 502 326 – 001 500 631 200 – 610 024 435 – 014 025 100 – 006 987 215 000 Exercice 6 : retrouvez les nombres.

Exemples : (7 x 10 000) + (5 x 1 000) + (3 x 100) + (9 x 10) + 4 = 75 394 (9 x 107) + (3 x 106) + (6 x 104) + (2 x 10) = 93 060 020

o (1 x 1 000 000) + (2 x 100 000) + (6 x 10 000) + (5 x 1 000) + (8 x 10) + 5 + =

o (3 x 100 000 000) + (4 x 10 000 000) + (6 x 10 000) + (5 x 100) + (8 x 10) + 1 =

o (6 x 105) + (9 x 103) + (8 x 102) + (1 x 10) + 6 =

o (2 x 1011) + (3 x 109) + (5 x 105) + (4 x 104) + (8 x 10) + 9 =


NOMBRES ET CALCULS

Ordre sur les grands nombres entiers

Pour comparer des nombres entiers, on regarde le nombre de chiffres contenus dans chaque nombre. Le plus grand nombre entier est celui qui a le plus grand nombre de chiffres. Exemple : 125 653 789 > 36 587 200

Si deux nombres entiers ont le même nombre de chiffres, on compare ces nombres en partant de la gauche, chiffre par chiffre. Le plus grand nombre est celui qui a le chiffre de gauche le plus grand qui suit des chiffres de mêmes rangs égaux. Exemple : 651 248 > 651 198 car 2 > 1

Exercice 7 : rangez dans l’ordre croissant les nombres suivants.

1 254 386 079 – 1 254 368 079 – 1 254 307 689 – 2 134 567 089 – 1 524 389 076 Exercice 8 : problème : voici la superficie, en km², des dix plus grands pays de l’Union Européenne (Source INSEE 2012).

l’Allemagne : 357 137 km² l’Italie : 301 336 km² la Finlande : 338 432 km² la Bulgarie : 110 900 km² la Pologne : 312 679 km² la France : 632 834 km² l’Espagne : 505 991 km² la Roumanie : 238 391 km² la Suède : 438 576 km² le Royaume-Uni : 248 528 km²

1) Rangez ces pays par ordre décroissant de leur superficie. 2) Quels pays ont une superficie supérieure à 300 000 km² et inférieure à 500 000 km² ? 3) Écrivez en lettres la superficie de la France et de la Pologne. 4) Quel pays a une superficie qui peut s’écrire : (3 x 105) + (1 x 103) + (3 x 102) + (3 x 10) + 6 ?

La valeur approchée d’un nombre entier

Lorsqu’on « arrondit » un nombre, on donne sa valeur approchée, c'est-à-dire que l’on trouve un nombre proche d’un autre nombre pour pouvoir calculer rapidement une opération et avoir l’ordre de grandeur de son résultat.

Pour arrondir un nombre à la dizaine près, on regarde le chiffre des unités : Si le chiffre des unités est inférieur à cinq, on « arrondit » le nombre à la dizaine

immédiatement inférieure. Si le chiffre des unités est supérieur ou égal à cinq, on « arrondit » le nombre à la dizaine

immédiatement supérieure. Exemple : le nombre approché de 47 625 613 à la dizaine près est 47 625 610. On note 47 625 613 ≈ 47 625 610 Remarque : le symbole ≈ se lit « est proche de »

De la même manière, la valeur approchée peut, ainsi, être trouvée à la centaine près (en regardant le chiffre des dizaines), au millier près (en regardant le chiffre des centaines), au million près (en regardant le chiffre des centaines de mille), etc.


Exemples : ❶ Le nombre approché de 47 625 613 à la centaine près est 47 625 600. On note : 47 625 613 ≈ 47 625 600

❷ Le nombre approché de 47 625 613 au millier près est 47 626 000. On note : 47 625 613 ≈ 47 626 000

❸ Le nombre approché de 47 625 613 au million près est 48 000 000. On note : 47 625 613 ≈ 48 000 000

Exercice 9 : sans poser les opérations, barrez celles qui sont certainement fausses.

a) 6 521 + 372 = 6 493 b) 10 635 + 964 = 11 599 c) 136 + 98 + 305 = 639 d) 987 – 301 = 686 e) 687 – 102 = 385 f) 450 x 21 = 945

Exercice 10 : complétez le tableau suivant.

Nombre qui précède terminé par 000 Nombre donné Nombre qui suit terminé par 000 121 431 000 Ex : 121 431 365 121 432 000

6 587 324

213 658 989

1 658 621 356

Exercice 11 : complétez le tableau suivant.

Nombre arrondi à la dizaine près

Nombre arrondi à la centaine près

Nombre arrondi au millier près

Ex : 235 658 942 235 658 940 235 658 900 235 659 000 214 752 369

651 001 621

987 056 936

Exercice 12 : sans poser les opérations, encadrez le nombre le plus proche du résultat. Exemple : 1 835 + 213 2 100 2 000 2 300 Raisonnement : 1 835 ≈ 1 800 213 ≈ 200 1 800 + 200 = 2 000

a) 3 654 + 8 210 11 800 11 900 12 000

b) 3 587 – 2 203 1 300 1 400 1 500

c) 965 + 423 + 388 1 800 1 900 2 000

d) 1 904 – 135 1 700 1 800 1 900

Calcul mental : 1) Comptez de 50 en 50 de 61 à 411 :

2) Comptez de 30 en 30 de 360 à 150 :


NOMBRES ET CALCULS

L’addition des nombres entiers

Quand on ajoute, réunit des objets, cherche un total, augmente, met ensemble une collection, met en commun (…), on effectue une addition : mentalement, en la posant ou à l’aide d’une calculatrice.

Le résultat d’une addition s’appelle une somme.

Pour poser une addition, en colonnes, il faut placer les nombres les uns sous les autres, les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines… Le 2ème nombre, et éventuellement les nombres suivants, s’écrit en commençant par les unités des unités simples. Il faut respecter les différentes classes : milliards, millions, mille, unités simples.

Il ne faut pas oublier pas de reporter le résultat de la somme dans l’opération posée en ligne.

Exemple : 148 204 + 6 165 879 + 350 = 6 314 433

Exercice 13 : les additions suivantes sont mal posées, reposez-les correctement en ligne et en colonnes et effectuez-les.

3 6 5 2 3 6 9 3 6 3

+ 1 2 8 1 + 6 5 1 2 3 + 4 2 4 + 2 3 6 + 2 5 3 + 3 2 0 = ……………… = ………………... = ………………...

Exercice 14 : complétez les additions suivantes.

5 3 2 ● 3 ● 2 7 ● 3 ● 2 + 1 8 ● 8 + 4 2 8 3 ● + ● 2 6 9 1 + ● 1 2 1 + ● 0 ● 5 + 5 ● 0 4 ● = 6 4 9 ● = 6 7 3 2 7 = 9 4 ● 4 3

Exercice 15 : problème : Monsieur et Madame Pilou ont acheté un lave-linge. Ils ont versé 156 € à la commande, 207 € à la livraison et ils calculent qu’il leur reste 304 € à payer. Quel est le prix du lave-linge ?

Calcul mental : calculez de tête. 55 + 32 + 11 = …… 140 + 60 + 21 = …… 1 000 + 500 + 123 = ……

+1 +1 +1 +1 +1

1 4 8 2 0 4 + 6 1 6 5 8 7 9 + 3 5 0

= 6 3 1 4 4 3 3


Exercice 16 : complétez la grille de nombres croisés.

Horizontalement : Exemple : a : 12 654 + 3 088 = 15 742 b : 987 + 600 + 14 309 = ……… c : 42 + 21 = ……… 98 + 96 = ……… d : 2 583 + 906 = ……… e : 25 987 + 12 006 + 9 512 = ……… f : 248 + 418 = ……… 63 + 31 = ……… Verticalement : g : 9 754 + 6 592 = ……… h : 98 654 + 54 822 = ……… i : 50 + 8 = ……… 321 + 535 = ……… j : 58 321 + 6 150 + 14 719 = ……… k : 215 + 254 = ……… 32 + 27 = ……… l : 21 + 25 = ………

NOMBRES ET CALCULS

La soustraction des nombres entiers

Quand on enlève, diminue, dépense, ôte, retranche, retire ou quand on cherche une différence, un écart ou à compléter une collection (…), on effectue souvent une soustraction : mentalement, en la posant ou à l’aide d’une calculatrice.

Le résultat d’une soustraction est appelé la différence.

Quand on pose une soustraction en colonnes, on écrit d’abord le plus grand nombre. Comme pour les additions, on n’oublie pas de placer les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines et les centaines sous les centaines en respectant les différentes classes. Selon la soustraction, il ne faut pas oublier les retenues.

Exemple :

Il ne faut pas oublier de reporter le résultat de la soustraction dans l’opération posée en ligne. 914 – 436 = 478

g h i j k l

a 1 5 7 4 2

b

c

d

e

f

9 1 14 On dit : 4 – 6, c’est impossible. On rajoute 10 unités (1 dizaine) à 914, on écrit une retenue (1) à côté du 4. On a maintenant 14 unités. On rajoute 1 dizaine à 436, on écrit une retenue +1 à côté du 3. 14 – 6 = 8, on pose 8 dans la colonne des unités.

1 – (3 + 1) = 1 – 4, c’est impossible. On rajoute 10 dizaines (1 centaine) à 914, on écrit (1) à côté du 1. On a maintenant 11 dizaines. On rajoute 1 centaine à 436, on écrit +1 à côté du 4. 11 – (3 + 1) = 11 – 4 = 7, on pose 7 dans la colonne des dizaines.

9 – (4 + 1) = 9 – 5 = 4, on pose 4 dans la colonne des centaines.

– 4 +13 6 = 8

9 11 14

– +14 +13 6 = 7 8

9 11 14

– +14 +13 6 = 4 7 8


Pour vérifier mon calcul, on peut en faire la preuve :

914 – 436 = 478 478 + 436 = 914

Exercice 17 : 1) Posez en ligne et en colonnes et effectuez les soustractions suivantes. 2) Faites la preuve de chaque soustraction. 1 731 – 304 = 63 789 – 12 567 =

365 987 125 – 165 472 659 = 305 000 – 185 061 = Exercice 18 : problème : dans une usine, des ouvriers ont tous la même durée de travail. Ceux qui commencent à travailler à 8 heures finissent à 16 heures. À quelle heure commencent les ouvriers qui terminent à 23 heures ? Exercice 19 : problème : pour atteindre leur lieu de vacances, la famille Pablo doit parcourir 952 km. Le voyage comporte trois étapes. Au 1er arrêt, il leur reste à parcourir 668 km, au 2ème arrêt 324 km. Quelle distance la famille Pablo a-t-elle parcourue lors de la 1ère et de la 2ème étape ? Exercice 20 : devinette : « J’aurai 23 ans en l’an 2018 » dit Marcel, et « moi j’aurai 15 ans cette année-là » dit Marie. Quelle est l’année de naissance de Marcel et de Marie ?

+1 +1

4 7 8 + 4 3 6 = 9 1 4


ESPACE ET GÉOMÉTRIE

Points, droites, segments, demi-droites

Deux droites sont sécantes lorsqu’elles se croisent en un point.

Exercice 21 : dans chaque cas, complétez les phrases avec des notations mathématiques.

1) Une droite qui passe par les points L et M s’écrit :

2) La demi-droite d’origine F qui passe par le point G s’écrit :

3) Le segment de droite ayant pour extrémités les points S et T s’écrit :

Ax y

Description Tracé Notation Remarques

Les points A et B. ● B

+ A

A B

Un point peut être représenté par une croix ou un point. Sur une même figure, chaque point porte un nom (une lettre) différent.

La droite qui passe par A et B ou C et D.

(AB) ou (BA) ou (x)

(CD) ou (DC) ou (yz)

La droite est « illimitée » de chaque côté.

Le segment de droite d’extrémités A et B.

[AB] ou [BA] Un segment de droite [AB] est « limité » des deux côtés par les points A et B.

La demi-droite d’origine A qui passe par B.

[AB) ou [Cx)

La demi-droite [AB) est « limitée » d’un côté par le point A et est illimitée de l’autre côté et elle passe par le point B. La demi-droite [Cx) est limitée d’un côté par le point C, et est illimitée de l’autre côté.

A B x

C Dy z

A B

A B

C x

(x) et (y) se croisent en A : (x) et (y) sont sécantes en A. A est le point d’intersection des droites (x) et (y). La longueur du segment [EF] est notée EF. EF = 2 cm


Exercice 22 : 1) Tracez en rouge la droite (AB). 2) Tracez en vert le segment [AC]. 3) Tracez en noir la demi-droite [BC).

Exercice 23 :

1) Tracez un segment de droite [AB] en sachant que AB = 3 cm. 2) Tracez une droite (d) sécante du segment [AB] en O.

Calcul mental : calculez de tête. 98 – 75 = …… 1 526 – 1 314 = …… 687 – 585 = ……

A

C B



Les droites perpendiculaires

Deux droites sont perpendiculaires lorsqu’elles se croisent en formant un angle droit. Pour le vérifier, on place l’angle droit de l’équerre à l’intersection des deux droites : Exemple :

Les droites D1 et D2 se croisent en formant un angle droit. Elles sont donc perpendiculaires.

On écrit D1 ┴ D2.

Les droites D1 et D3, ainsi que les droites D2 et D3 ne se croisent pas en formant un angle droit. Elles

ne sont donc pas perpendiculaires. Traditionnellement, lorsque deux droites sont perpendiculaires, on colorie en rouge ou on met un petit carré dans l’angle droit. Pour tracer deux droites perpendiculaires, il y a deux méthodes : 1ère méthode 1) Placer l’équerre le long de la droite D1. 2) Tracer une autre droite D2 en longeant l’autre côté de l’équerre. 2ème méthode Pour tracer deux droites perpendiculaires, vous pouvez utiliser votre compas :

1) Tracez votre droite D1 puis tracez un cercle dont le centre se situe sur la droite D1. 2) Tracez un deuxième cercle, de même rayon que le précédent, dont le centre se situe aussi

sur la droite D1, de telle manière que les cercles se croisent. 3) Les intersections des deux arcs de cercle indiquent la position de la droite D2 perpendiculaire

à la droite D1.



Les droites parallèles

Des droites parallèles ne se rencontrent jamais même si on les prolonge. Exemple :

L’écart entre les droites D1 et D2 reste toujours le même. On écrit D1 // D2.

On dit qu’une droite est parallèle à elle-même : D1 // D1.

Lorsque deux droites D1 et D2 sont parallèles, si une droite X est perpendiculaire à la droite D1, cette droite X sera perpendiculaire à la droite D2.

On écrit : si D1 // D2 et si X ┴ D1 alors X ┴ D2 De même, si deux droites D1 et D2 sont perpendiculaires à une droite X, les droites D1 et D2 sont parallèles.

On écrit : si D1 ┴ X et si D2 ┴ X alors D1 // D2

Pour construire deux droites parallèles, vous avez deux possibilités :

1) Tracer une droite Y. Placer un côté de l’angle droit de l’équerre sur cette droite, tracer la droite D1. Faire glisser l’équerre le long de la droite Y et tracer la droite D2. Vos droites D1 et D2 sont parallèles.


2) Tracer une droite D1, puis une droite X perpendiculaire à cette droite D1. Tracer ensuite une deuxième droite D2 perpendiculaire à la droite X. Les droites D1 et D2 sont parallèles.

Exercice 24 : 1) Tracez une droite D2 parallèle à la droite D1. 2) Tracez une droite Y perpendiculaire aux droites D1 et D2.

Exercice 25 :

1) Marquez tous les angles droits.

2) Complétez avec les signes « // » ou « ┴ ».

D1 D6 D6 D3 D5 D7 D3 D4

D2 D5 D1 D3 D1 D4 D2 D7

3) Tracez une droite D8 telle qu’elle soit perpendiculaire à la droite D1 en passant par le point O.

4) Complétez les phrases suivantes :

D8 est à D6 et à D1. D8 est à D3 et à D4.


PROBLÈMES (1)

Trier les informations Avant de résoudre un problème, il est indispensable, au préalable, de faire une lecture complète de l’énoncé. Toutes les données numériques ne sont pas toujours nécessaires pour résoudre un problème.

Exemple : Paul, âgé de 8 ans, joue aux billes avec son ami Cédric. Il en avait 18 avant de jouer et à la fin de la partie, il en a 25. Combien Paul a-t-il gagné de billes ? 8 ans : donnée inutile pour répondre à la question. 18 et 25 : données indispensables pour résoudre le problème. 25 – 18 = 7 Paul a gagné 7 billes.

Pour répondre à une question, dans un problème, il faut souvent poser des questions intermédiaires et y répondre.

Exemple : Marie a 70 euros. Elle veut s’acheter 3 C.D. à 21 euros l’un. Combien le vendeur lui rendra-t-il ? La question intermédiaire : quel est le prix des 3 C.D. ? 3 x 21 = 63 Les 3 C.D. coûtent 63 euros. 70 – 63 = 7 Le vendeur rendra 7 euros à Marie.

Exercice 26 : dans chacun des trois problèmes ci-dessous, barrez la ou les données numériques inutiles pour répondre à la question posée. Remarque : vous ne résoudrez pas les problèmes.

A – Marguerite achète 36 euros une jupe qui, avant les soldes, valait 45 euros. Elle achète aussi des ballerines à 25 euros. Combien a-t-elle dépensé ?

B – À 20h15 min, Patrick commande par téléphone 3 pizzas pour 4 personnes, coûtant chacune 21 euros. Le livreur est arrivé 25 min après la commande et 20 min après l’arrivée des 9 invités de Patrick. À quelle heure sont arrivés les invités de Patrick ?

C – Julie achète un rôti de veau de 2,150 kg coûtant 11 euros le kilogramme. Elle sait qu’il faut 45 min pour cuire le rôti après avoir préchauffé le four pendant 10 minutes à 200°C. Pour avoir son rôti cuit à 12 h 00, à quelle heure Julie doit-elle allumer le four ?


Exercice 27 : dans chacun des quatre problèmes ci-dessous, seule la question finale est posée. Il manque une ou plusieurs questions intermédiaires. Posez ces questions intermédiaires. Remarque : vous ne résoudrez pas les problèmes. A – Le maître dispose de 4 paquets de 400 feuilles de classeur pour les distribuer à ses 32 élèves. Combien de feuilles recevra chaque élève ? B – Devant un grand cinéma, 3 612 spectateurs attendent. 468 d’entre eux choisissent de voir le film de la 1ère salle ; 316 de plus choisissent de voir le film de la 2ème salle ; les autres personnes choisissent de voir le film de la 3ème salle. Combien de spectateurs attendent de voir le film de la 3ème salle ? C – Des enfants jouent au « jeu de 7 familles » qui comporte 6 cartes par famille. Chaque enfant reçoit 5 cartes et il en reste 12 pour la pioche. Combien d’enfants jouent à ce jeu ? D – La maman de Guylain a commandé par Internet un lot de 5 paires de chaussettes à 10,25 €, un pantalon à 26 €, un tee-shirt à 12 €, un blouson à 45,68 € et un short à 19 €. Les frais de port s’élèvent à 7,60 €. Comme la maman de Guylain est une bonne cliente, elle bénéficie d’une réduction. Elle a payé 113,40 €. Quel est le montant de la réduction accordée à la maman de Guylain ?


NOMBRES ET CALCULS

La multiplication des nombres entiers

On fait une multiplication, ou on calcule un produit, quand on cherche la somme de plusieurs nombres égaux, quand on calcule le nombre d’objets disposés régulièrement ou lorsqu’on calcule le nombre d’objets d’une collection ou d’objets groupés.

Le résultat de la multiplication, s’appelle le produit.

Exemples : 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 8 x 4 = 32 8 + 8 + 8 + 8 = 8 x 4 = 32 4 est répété 8 fois = 8 fois 4 8 est répété 4 fois = 4 fois 8

8 x 4 = 4 x 8 = 32

L’ordre des termes n’a pas d’importance.

Vous devez apprendre les tables de multiplication par cœur.

I. La multiplication avec un chiffre au multiplicateur

Posons la multiplication : 125 x 6

Dans notre exemple, 125 est le multiplicande ; 6 le multiplicateur ; 750, le résultat de la multiplication s’appelle le produit. Après avoir effectué une multiplication en colonnes, on n’oublie pas de reporter le résultat sur l’opération posée en ligne : 125 x 6 = 750

II. La multiplication avec plusieurs chiffres au multiplicateur

1 2 5 x 6 = 7 5 0

On dit 6 x 5 = 30. On écrit 0 et on retient 3. Les retenues se font dans la tête. On dit 6 x 2 = 12 et 12 + 3 = 15. On écrit 5 et on retient 1. On dit 6 x 1 = 6 et 6 + 1 = 7. On écrit 7.

1er exemple : calculons 89 x 35 35 = 30 + 5 = (3 x 10) + 5

On calcule d’abord 89 x 5 : On dit 5 x 9 = 45. On écrit 5 et on retient 4. On dit 5 x 8 = 40 et 40 + 4 = 44. On écrit 44.

On calcule maintenant 89 x 30 : Le résultat de ce produit sera écrit sous 445 en décalant d’un rang, puisqu’on multiplie par 30. On écrit 0 dans la colonne des unités.

On dit 3 x 9 = 27. On écrit 7 et on retient 2. On dit 3 x 8 = 24 et 24 + 2 = 26. On écrit 26.

On additionne maintenant les deux résultats en colonne : 445 + 2 670 = 3 115 On reporte le résultat sur l’opération posée en ligne : 89 x 35 = 3 115

8 9 x 3 5 4 4 5 8 9 x 3 5 4 4 5 2 6 7 0 8 9 x 3 5 4 4 5 + 2 6 7 0 = 3 1 1 5


2ème exemple : calculons 325 x 654 654 = 600 + 50 + 4 = (6 x 100) + (5 x 10) + 4

On calcule d’abord 325 x 4 : On dit 4 x 5 = 20. On écrit 0 et on retient 2. On dit 4 x 2 = 8 et 8 + 2 = 10. On écrit 0 et en retient 1. On dit 4 x 3 = 12 et 12 + 1 = 13. On écrit 13.

On calcule ensuite 325 x 50 : Le résultat de ce produit sera écrit sous 1 300 en décalant d’un rang, puisqu’on multiplie par 50. On écrit donc 0 dans la colonne des unités. On dit 5 x 5 = 25. On écrit 5 et on retient 2. On dit 5 x 2 = 10 et 10 + 2 = 12. On écrit 2 et on retient 1. On dit 5 x 3 = 15 et 15 + 1 = 16. On écrit 16.

On calcule enfin 325 x 600 : Le résultat de ce produit sera écrit sous 16 250 en décalant de deux rangs puisqu’on multiplie par 600. On écrit donc 0 dans la colonne des unités et un autre 0 dans la colonne des dizaines. On dit 6 x 5 = 30. On écrit 0 et on retient 3. On dit 6 x 2 = 12 et 12 + 3 = 15. On écrit 5 et on retient 1. On dit 6 x 3 = 18 et 18 + 1 = 19. On écrit 19.

On additionne les trois résultats en colonnes : 1 300 + 16 250 + 195 000 = 212 550

On n’oublie pas de reporter le résultat sur l’opération posée en ligne : 325 x 654 = 212 550

3 2 5 x 6 5 4 1 3 0 0 3 2 5 x 6 5 4 1 3 0 0 1 6 2 5 0 3 2 5 x 6 5 4 1 3 0 0 1 6 2 5 0 1 9 5 0 0 0 3 2 5 x 6 5 4 1 3 0 0 + 1 6 2 5 0 + 1 9 5 0 0 0 = 2 1 2 5 5 0

3ème exemple : calculons 406 x 209 209 = 200 + 9 = (2 x 100) + (0 x 10) + 9

On calcule d’abord 406 x 9 : On dit 6 x 9 = 54. On écrit 4 et on retient 5. On dit 9 x 0 = 0 et 0 + 5 = 5. On écrit 5. On dit 9 x 4 = 36. On écrit 36.

On calcule ensuite 406 x 00 : On ne fait rien. On n’écrit jamais une ligne de zéros.

On calcule 406 x 200 : Le résultat de ce produit sera écrit sous 3 654 en décalant de deux rangs puisqu’on multiplie par 200. On écrit donc 0 dans la colonne des unités et un autre 0 dans la colonne des dizaines. On dit 2 x 6 = 12. On écrit 2 et on retient 1. On dit 2 x 0 = 0 et 0 + 1 = 1. On écrit 1. On dit 2 x 4 = 8. On écrit 8.

On additionne les deux résultats en colonnes : 3 654 + 81 200 = 84 854

Après avoir effectué une multiplication en colonnes, on n’oublie pas de reporter le résultat sur l’opération posée en ligne : 406 x 209 = 84 854

4 0 6 x 2 0 9 3 6 5 4 4 0 6 x 2 0 9 3 6 5 4 8 1 2 0 0 4 0 6 x 2 0 9 3 6 5 4 + 8 1 2 0 0 = 8 4 8 5 4


Exercice 28 : posez, en ligne et en colonnes, et effectuez les multiplications suivantes.

321 512 x 638 = 6 041 x 905 = 365 100 x 3 700 = 6 500 x 2 010 = Exercice 29 : problème : Paul a fait tomber toutes ses boîtes de puzzles : 4 boîtes de 750 pièces, 6 boîtes de 1 250 pièces et 5 boîtes de 325 pièces. Il a déjà trié 12 000 pièces de puzzle. Combien lui reste-t-il de pièces à trier ? Exercice 30 : problème : pour une exposition Gauguin, un musée peut accueillir, au maximum, 4 250 personnes par jour.

1) En semaine, le prix d’entrée est à 16 euros. Quelle sera la recette maximale d’une journée ? 2) Le dimanche, les entrées sont à moitié prix. Quelle sera la recette maximale d’un dimanche ? 3) Le musée ferme tous les mardis. Quelle sera la recette maximale d’une semaine ?

4ème exemple : calculons 1500 x 253 230 = 200 + 30 = (2 x 100) + (3 x 10) + 0

On ne s’occupe pas, pour l’instant, des zéros situées à droite de chaque nombre. On s’en occupera en fin d’opération. On calcule donc 15 x 23 Maintenant que vous connaissez la méthode de calcul, on ne détaillera plus l’opération.

Lorsqu’on a fini de calculer 15 x 23, on reporte le résultat sur l’opération posée en ligne sans oublier d’écrire les trois zéros à droite du résultat : 1 500 x 230 = 345 000

1 5 0 0 x 2 3 0 4 5 + 3 0 0 = 3 4 5 0 0 0

Attention : on n’écrit jamais une ligne de zéros !


NOMBRES ET CALCULS

Jeux logiques (1) Exercice 31 : les carrés magiques sont des carrés dans lesquels sont placés des nombres choisis (pas nécessairement consécutifs) de telle manière que la somme des nombres figurant sur une ligne, une colonne, une diagonale soit toujours la même. Vérifiez que le carré ci-dessous est « magique » :

1 15 8 10 =

4 14 5 11 =

13 3 12

6 =

16 2 9 7 =

= = = = = = Exercice 32 : pour découvrir la signification d’un message secret, complétez, tout d’abord, le carré magique avec des nombres de 1 à 25. L’addition des nombres par ligne, par colonne ou par diagonale est égale à 65. Puis, trouvez les mots du message en suivant l’ordre des nombres du carré magique. Écrivez, en entier, le message secret.

Remarques : les mots sont découpés en syllabes. Il manque la ponctuation.

1 : tes 6 : vez 11 : fé 16 : vous 21 : se 2 : ta 7 : ti 12 : sa 17 : vous 22 : le 3 : cret 8 : un 13 : trou 18 : li 23 : dé 4 : a 9 : tions 14 : ve 19 : ge 24 : ê 5 : tec 10 : mes 15 : bon 20 : vé 25 : ci

17 vous

1 15

5 14 16

4 13 20 22

12 19 3

11 25 2


Exercice 33 : complétez les tableaux pour retrouver les résultats des produits de chaque ligne ou de chaque colonne. Exemple : 6 x 5 x … = 30 6 x 5 x 1 = 30

6 5 = 30 4 5 = 40

10 6 = 180 1 6 = 18

3 2 = 48 7 8 = 280

= 180

= 120

= 12

= 20

= 105

= 96

Exercice 34 : placez ces trois dominos dans le jeu (ils peuvent être retournés) pour que le total des points de chaque ligne soit égal à 25. Trouvez au moins deux solutions.


NOMBRES ET CALCULS

Les multiples et diviseurs

Un multiple d'un nombre entier est le produit de ce nombre entier et de n'importe quel autre nombre entier.

Les multiples d'un nombre sont obtenus en multipliant ce nombre par 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, etc.

Exemples : cherchons quelques multiples de 6 : 6 x 1 = 6 6 x 2 = 12 6 x 3 = 18 6 x 4 = 24 6 x 5 = 30 6 x 6 = 36 6 x 7 = 42 6 x 8 = 48 6 x 9 = 54 6 x 10 = 60 6 x 11 = 66 6 x 12 = 72 6 x 13 = 78 6 x 14 = 84 6 x 15 = 90

6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ; 48 ; 54 ; 60 ; 66 ; 72 ; 78 ; 84 et 90 sont des multiples de 6 (il y en a bien d’autres, bien sûr).

• Si un nombre est multiple d’un autre nombre, il est divisible par ce nombre (4 x 3 = 12 12 : 3 = 4 ou 12 : 4 = 3)

• Tous les nombres sont divisibles par 1 (223 : 1 = 223) • Tous les nombres sont divisibles par eux-mêmes (223 : 223 = 1)

Exemples : 36 = 4 x 9 36 est un multiple de 4 et de 9 4 et 9, ainsi que 1 et 36, sont des diviseurs de 36. Cherchons d’autres diviseurs de 36 : pour cela, on cherche par quoi on peut le diviser (on peut s’aider des tables de multiplication) : 1 x 36 = 36 2 x 18 = 36 6 x 6 = 36 4 x 9 = 36 9 x 4 = 36 12 x 3 = 36 36 x 1 = 36 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 et 36 sont des diviseurs de 36. 36 est un multiple de 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 et 36. Les multiples de 2 sont des nombres pairs, c'est-à-dire des nombres qui se terminent par 0, 2, 4, 6 ou 8. Exemples : 54 ; 76 ; 88 sont des multiples de 2. Les multiples de 5 sont tous les nombres terminés par 0 ou 5. Exemples : 15 ; 2 530 ; 305 ; 1 000 sont des multiples de 5. Les multiples de 10 sont tous les nombres qui se terminent par 0. Exemples : 200 ; 120 ; 30 sont des multiples de 10. Les nombres sont des multiples de 3 lorsque la somme des chiffres composant le nombre est un multiple de 3. Exemples : – 2 961 est un multiple de 3 car 2 + 9 + 6 + 1 = 18 18 est un multiple de 3 (1 + 8 = 9) – 4 325 n’est pas un multiple de 3 car 4 + 3 + 2 + 5 = 14 14 n’est pas un multiple de 3 (1 + 4 = 5)


Les nombres sont des multiples de 9 lorsque la somme des chiffres composant le nombre est un multiple de 9. Exemples : – 8 883 est un multiple de 9 car : 8 + 8 + 8 + 3 = 27 3 x 9 = 27 27 est un multiple de 9. – 5 354 n’est pas un multiple de 9 car : 5 + 3 + 5 + 4 = 17 17 n’est pas un multiple de 9. Il faut bien connaître ses tables de multiplication : tous les résultats de la table de 7 sont des multiples de 7 ; tous les résultats de la table de 9 sont des multiples de 9 ; etc. Exemple : 12 est un multiple de 6, de 2, de 3 et de 4 car : 2 x 6 = 6 x 2 = 12 3 x 4 = 4 x 3 = 12

Remarque : certains nombres ne sont multiples que de 1 et d’eux-mêmes. Ce sont des « nombres premiers » comme : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13…

Attention ! 1 n’est pas un nombre premier.

Exercice 35 : Placez les nombres suivants dans les cercles selon qu’ils sont multiples de 2, de 3 et de 5. Attention, certains nombres peuvent être placés à l’intersection de plusieurs cercles.

325 6 210 36 198 21 130 501 65 43 632 1 542 315 63 300

Multiples de 2 Multiples de 5 Multiples de 3 Exercice 36 : problème : Manon partage, avec 2 amies, un paquet de 25 galettes et un paquet de 15 bonbons.

1) Pourront-elles avoir le même nombre de galettes ? Pourquoi ? 2) Pourront-elles avoir le même nombre de bonbons ? Pourquoi ?

Exercice 37 : en utilisant une fois au maximum les chiffres 1, 2, 3 et 5, écrivez :

Le plus grand nombre divisible par 2. Le plus grand nombre divisible par 3. Le plus grand nombre divisible par 5.


NOMBRES ET CALCULS

La division (1) : la division des nombres entiers

On fait une division lorsqu’on partage en portions égales, on distribue la même quantité à chaque personne, lorsqu’on coupe en morceaux, etc.

Exemple : 54 : 9 = 6 parce que 9 x 6 = 54 On dit que 54 est divisible par 9.

54 est le dividende ; 9 le diviseur ; 6 le quotient et 0 le reste. Attention : le reste doit toujours être inférieur au diviseur.

Le signe de la division est « : » ou plus rarement, « ÷ ». Posons une division avec un chiffre au diviseur

Calculons 692 : 4

On peut vérifier la division en faisant la preuve grâce à une multiplication :

On vérifie que 173 x 4 est bien égal à 692 : 173 x 4 = 692 Posons une division avec deux chiffres au diviseur Maintenant, calculons 890 : 15

1) On cherche dans 6 centaines combien de fois on a 4 centaines : 1 fois, car 1 x 4 = 4. On écrit 1 centaine dans le quotient et on retire 4 centaines aux 6 centaines. Il reste 2 centaines qu’on écrit.

2) On abaisse 9 dizaines à côté des 2 centaines. Maintenant, on cherche dans 29 dizaines combien de fois on a 4 dizaines : 7 fois, car 7 x 4 = 28. On écrit 7 dizaines dans le quotient et on retire 28 dizaines aux 29 dizaines, il reste 1 dizaine qu’on écrit.

3) On abaisse 2 unités à côté de la dizaine. Maintenant, on cherche dans 12 unités combien de fois on a 4 unités : 3 fois, car 3 x 4 = 12. On écrit 3 unités dans le quotient et on retire 12 unités aux 12 unités et il ne reste rien. On écrit 0 unité. Le reste étant égal à 0, le quotient est exact.

692 : 4 = 173

6 9 2 4 – 4 1 = 2

6 9 2 4

– 4 1 7 2 9 – 2 8 = 0 1

6 9 2 4 – 4 1 7 3 2 9 – 2 8 0 1 2 – 1 2 = 0 0

1) On cherche dans 89 dizaines combien de fois on a 15 dizaines : 5 fois, car 5 x 15 = 75. (6 est trop grand car 6 x 15 = 90 et 90 est supérieur à 89) On écrit 5 dizaines dans le quotient et on retire 75 dizaines aux 89 dizaines, il reste 14 dizaines qu’on écrit.

8 9 0 1 5 – 7 5 5 = 1 4

1 7 3 x 4 = 6 9 2

54 9 0 6


► Pour faire la preuve, on vérifie que : (diviseur x quotient exact) + reste = dividende. (15 x 59) + 5 = 890 885 + 5 = 890

Exercice 38 : trouvez le nombre de chiffres au quotient pour chacune des divisions suivantes. Exemple : 658 457 : 98 Il y aura 4 chiffres au quotient.

321 540 : 31 5 689 : 91 87 100 : 52 626 419 : 54 654 : 9 320 : 4 1 894 : 231 687 954 : 104 Exercice 39 : 1) Posez en ligne et en colonnes et effectuez les divisions suivantes. 2) Faites la preuve de chaque division.

268 : 9 = 1 800 : 31 = 25 489 : 89 = 6 699 : 87 = 69 541 : 7 = 12 334 : 121 = 2 929 : 29 = 14 465 : 71 = Exercice 40 : problème : la fermière vend 453 œufs dans des boîtes de 12.

1) Combien d’œufs met-elle en boîte ? 2) Combien reste-t-il d’œufs non emballés ?

Exercice 41 : problème : pour une kermesse, Manon fabrique 180 biscuits. Elle hésite à les vendre en sachets de 6 ou en sachets de 8.

1) Quelle solution doit-elle choisir pour que tous les biscuits soient ensachés ? 2) Combien gagnera-t-elle en vendant tous ses sachets de biscuits à 3 euros pièce ?

Exercice 42 : problème : Pierre veut acheter des lots de cédéroms. Dans quel cas le prix du cédérom est-il le plus bas ? Expliquez votre choix.

Lot de 13 cédéroms dont 3 gratuits de la marque X

Lot de 14 cédéroms dont 2 gratuits de la marque Y

Lot de 11 cédéroms de la marque Z

39 € 28 € 25 € Exercice 43 : problème : pour vider une piscine contenant 1 639 200 litres d’eau, il a fallu utiliser 3 pompes pendant 8 heures. Quelle quantité d’eau est évacuée par pompe et par heure ? Calcul mental : calculez de tête.

125 : 5 = 1 242 : 2 = 6 393 : 3 =

2) On abaisse 0 unité à côté des 14 dizaines. Maintenant, on cherche dans 140 unités combien de fois on a 15 unités : 9 fois, car 9 x 15 = 135. On écrit 9 unités dans le quotient et on retire 135 unités aux 140 unités. Il ne reste que 5 unités. Le quotient n’est pas exact. On n’oublie pas d’indiquer le reste sur l’opération écrite en ligne. 890 : 15 = 59 reste 05

8 9 0 1 5

– 7 5 5 9 = 1 4 0 – 1 3 5 = 0 5

1 5 x 5 9 1 3 5

+ 7 5 0 = 8 8 5


PROBLÈMES

La présentation des problèmes

Elle a beaucoup d’importance : elle doit être claire, propre et soignée.

Avant de résoudre un problème : Lisez attentivement la totalité de l’énoncé. Cherchez à comprendre le sens de chaque mot. Faites la liste, mentalement, des données numériques en vous demandant ce que chacune

représente. Analysez chaque question : pouvez-vous répondre directement à la question en lisant

attentivement l’énoncé ou devez-vous effectuer un calcul préalable ? Demandez-vous ce que vous devez chercher. Sélectionnez les données utiles et écartez les autres. Faites attention aux unités (km, l, g, €…), s’il y en a.

Nous vous conseillons de faire un brouillon.

Détaillez votre raisonnement avec précision, comme si vous deviez expliquer la manière de

résoudre le problème à un camarade. Si nécessaire, faites un schéma ou un tableau. N’écrivez jamais d’unités (l, kg, €, m…) dans vos opérations posées en ligne (sauf lorsqu’il

s’agit d’un problème sur les durées), mais écrivez une phrase complète de conclusion pour présenter chaque résultat sans oublier son unité (s’il y en a) et d’enlever les zéros inutiles. Effectuez vos opérations mentalement ou en les posant en colonnes. Demandez-vous si chaque résultat est possible.

Vous devrez toujours présenter vos problèmes ainsi :

Exemple : Jean a vu des vestes coûtant 13 euros. Il veut en acheter 4 avec ses 131 euros. Combien lui restera-t-il d’euros ?

Solution(s) Opération(s) posées en colonnes Ce qu’on cherche : on cherche le prix des 4 vestes. L’opération posée en ligne : 13 x 4 = 52 1 3 La phrase de conclusion : les 4 vestes coûtent 52 euros. x 4 = 5 2 Ce qu’on cherche : on cherche la somme d’argent qu’il restera à Jean. L’opération posée en ligne : 131 - 52 = 79 1 3 1 La phrase de conclusion : il restera 79 euros à Jean. - 5 2 = 0 7 9


Remarques : ❶ Ne vous contentez pas d’écrire : « Il restera 79 », cela ne veut rien dire. N’oubliez pas de préciser de quoi il s’agit (ici : des euros). ❷ La phrase de conclusion doit reprendre la phrase de recherche. Remarques importantes :

Un problème sans raisonnement, sans opération ou sans conclusion n’a aucune valeur. En devoir, votre note s’en ressentirait…

Dans les devoirs, vous soignerez la présentation de vos problèmes : ils devront être rédigés proprement.

Exercice 44 : problème : Marguerite reçoit, depuis 5 ans et 7 mois, un lot de fiches de recettes de cuisine tous les mois. Elle veut ranger ses lots de fiches dans des classeurs. Dans chacun d’eux, Marguerite range 5 lots de fiches.

1) Combien de classeurs Marguerite a-t-elle achetés pour ranger ses fiches ? 2) Combien de lots de fiches Marguerite pourra-t-elle encore ranger dans le dernier classeur ? Exercice 45 : problème : un fleuriste achète chez un grossiste deux caisses de 300 roses qu’il paie 100 euros chaque caisse. Il revend toutes les roses par bouquet de 12 roses au prix de 7 euros le bouquet.

1) Quel bénéfice total fait-il ? 2) Quel bénéfice fait-il sur un bouquet ?

Exercice 46 : problème : 96 enfants font du football à l’école.

1) Combien d’équipes de 11 joueurs peut-on former ? 2) Combien faudrait-il de nouveaux joueurs pour faire une équipe de plus ?

Exercice 47 : problème : un agriculteur a un verger qui a produit 2 350 kg de pommes et 1 500 kg de poires. Les pommes sont expédiées en cageots de 19 kg et les poires en plateaux de 16 kg. Combien le producteur expédiera-t-il de cageots et de plateaux pleins ?

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