GIRAUD Magali N° 04STA00050

Professeur agrégé stagiaire

Lycée du Clos Maire 21200 Beaune

IUFM DE BOURGOGNE

Comment aider les élèves en difficulté

dans la résolution d’un problème ?

DISCIPLINE : Mathématiques Directeur de mémoire :

J.BEAUBERNARD

Année : 2005

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SOMMAIRE

SOMMAIRE .................................................................................................... 1 INTRODUCTION........................................................................................... 2 I) REPRESENTATION DES PROBLEMES............................................... 3

1) COMMENT SE CONSTRUIT LA REPRESENTATION DU PROBLEME ................... 3 a) Le processus d’interprétation et de sélection ........................................ 3 b) Le processus de structuration ................................................................ 5 c) Le processus d’opérationnalisation ....................................................... 6

2) LES OUTILS DE LA MODELISATION............................................................... 7 a) Fonctions d’un outil de modélisation .................................................... 7 b) Mobilisation des outils et ses conditions ............................................... 8

3) COMMENT AIDER ?...................................................................................... 9 a) Qu’est-ce qu’une aide à la représentation ? ......................................... 9 b) La présentation du problème ............................................................... 10

II) PREMIERE EXPERIENCE : LE TRAVAIL EN GROUPE ............. 12 1) ORGANISATION DES GROUPES ................................................................... 12 2) ANALYSE DU PROBLEME ........................................................................... 12 3) LE DEROULEMENT DE LA SEANCE ............................................................. 14 4) ANALYSE DES RESULTATS ET CONCLUSIONS ............................................. 16

III) SECONDE EXPERIENCE : VARIATION D’ENONCE.................. 18 1) PRESENTATION ET ANALYSE DES DIFFERENTS ENONCES............................ 18 2) LE DEROULEMENT DE LA SEANCE ............................................................. 20 3) ANALYSE DES RESULTATS ET CONCLUSIONS ............................................. 21

IV) CONCLUSION....................................................................................... 25

BIBLIOGRAPHIE................................................................................... 26

ANNEXE 1.................................................................................................... 27

ANNEXE 2.................................................................................................... 28

ANNEXE 3.................................................................................................... 29

ANNEXE 4.................................................................................................... 31

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INTRODUCTION Lors de mon arrivée au lycée du Clos Maire à Beaune, j’ai eu en responsabilité la classe de seconde 7. Celle-ci est composée de 33 élèves partagés en deux options (exceptées les langues et le latin) :

- l’option MPI (Mesure Physique et Informatique) comprenant 20 élèves. - l’option SES (Sciences Economiques et Sociales) comprenant 13 élèves.

Dans cet établissement, le recrutement pour l’option MPI se faisant uniquement sur dossier,

je pensais être en présence d’une classe d’un bon niveau et relativement homogène. Cependant, au bout de quelques semaines, j’ai constaté une grande hétérogénéité : sur l’ensemble, environ un quart éprouve de grandes difficultés tandis qu’un autre quart est constitué de très bons élèves. Je me suis alors heurtée au problème suivant : lorsque je donne des problèmes ou des exercices du niveau attendu pour un élève de seconde, les bons élèves progressent assez rapidement alors que les élèves en difficulté ainsi que ceux dont les connaissances sont assez fragiles, n’avancent pas dans la résolution. Lors de la scolarité d’un individu, la répétition d’échecs a des conséquences sur plusieurs niveaux :

- niveau social : passage dans la catégorie de « ceux qui sont en échec ». - niveau affectif, émotionnel : sentiment d’infériorité. - niveau cognitif : non acquisition d’un savoir (la réussite est nécessaire …).

La résolution d’un problème n’a pas seulement pour objectif la réussite de celui-ci, elle a également un enjeu personnel. En effet, la solution du problème ne représente pas en soi l’unique but de la recherche, elle se termine par une satisfaction personnelle : trouver cette solution par soi-même. Mais comment aider les élèves en difficulté pour que ces deux enjeux, tout aussi importants l’un que l’autre, se réalisent ?

Tout d’abord, j’ai pensé que ces élèves avaient besoin de plus de temps pour mobiliser leurs connaissances et pour comprendre le sujet. Puis, je me suis rendu compte que cela ne suffisait pas pour une grande majorité d’entre eux. Parmi mes lectures, j’ai essentiellement retenu l’ouvrage de Jean JULO : Représentation des

problèmes et réussite en mathématiques. Cet ouvrage m’a permis de comprendre une des causes de la difficulté de résolution de problème, c’est pourquoi j’exploiterai par la suite les principales idées de ce livre.

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I) Représentation des problèmes

L’étude de la résolution de problèmes ne peut pas être séparée de celle des connaissances : résoudre un problème c’est d’abord mobiliser des connaissances. De façon générale, « comprendre quelque chose » c’est, d’une manière ou d’une autre, se construire une représentation de cette chose. Ces deux notions sont inséparables. La représentation n’est pas une simple reproduction ou une photographie d’une partie de notre environnement mais elle est le résultat d’une véritable activité mentale mettant en oeuvre tout un ensemble de processus chargé de traiter les informations. Lorsque nous lisons un texte, de nombreux processus cognitifs sont mis en œuvre, certains concernent la reconnaissance visuelle des mots, d’autres leur signification. Quand nous cherchons à résoudre un problème, nous nous construisons progressivement une certaine représentation de celui-ci. S’intéresser à cette représentation, c’est aussi s’intéresser à l’ensemble des processus de découverte qui caractérisent l’activité de résolution de problème. C’est pourquoi nous verrons dans un premier temps, comment se construit la représentation d’un problème en terme de processus, puis dans un deuxième temps les outils de la modélisation de celui-ci et enfin, comment aider.

1) Comment se construit la représentation du problème

Trois processus paraissent importants lors de la construction des représentations : - le processus d’interprétation et de sélection - le processus de structuration - le processus d’opérationnalisation

a) Le processus d’interprétation et de sélection

Le contenu de la représentation reflète les données du problème et la tâche à réaliser. Tout ce qui est donné par l’énoncé, son interprétation et sa signification forment ce que l’on appelle un contexte sémantique, c’est « l’habillage » du problème en lui-même. Cette interprétation nous donne accès aux informations concernant l’objet et la tâche qui caractérisent celui-ci. Le contenu de notre

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représentation est donc le résultat de ce processus d’interprétation qui est aussi, nécessairement un processus de sélection d’informations. Pour illustrer le rôle important du processus d’interprétation et de sélection, nous allons analyser les résultats d’une expérience traitée dans le livre de Jean Julo : On dispose de trois échantillons regroupant des élèves de Terminale et des étudiants de Sciences Humaines. On donne à chaque échantillon un problème ayant un contexte sémantique différent mais une même problématique. Voici ces trois problèmes :

- Problème 1 : mélange eau/vin : on dispose d’une jarre de vin et d’une jarre d’eau. On prend un verre de vin dans la jarre de vin et on le verse dans la jarre d’eau. Puis on prend un verre du mélange obtenu et on le verse dans la jarre de vin (le verre est le même pour les deux opérations). Parmi ces trois affirmations laquelle vous paraît juste : a) il y a plus de vin dans la jarre d’eau que d’eau dans la jarre de vin. b) il y a plus d’eau dans la jarre de vin que de vin dans la jarre d’eau. c) il y a autant de vin dans la jarre d’eau que d’eau dans la jarre de vin. - Problème 2 : mélange eau /huile : même énoncé en remplaçant le vin par de l’huile. - Problème 3 : mélange billes vertes/billes rouges : Une boîte A contient des billes vertes et une boîte B contient des billes rouges. On prend une poignée de billes vertes dans A et on la verse dans B. Puis on prend une poignée de billes dans B que l’on verse dans A (on fait attention de remettre exactement autant de billes qu’on en avait retirées). Parmi ces trois affirmations laquelle vous paraît juste : a) il y a plus de billes vertes dans la boîte B que de billes rouges dans la boîte A. b) il y a plus de billes rouges dans la boîte A que de billes vertes dans la boîte B. c) il y a autant de billes vertes dans la boite B que de billes rouges dans la boîte A.

La bonne réponse est la c). Dans le problème 1, le pourcentage de réponse correcte atteint 21% alors que dans le problème 2, il s’élève à 38% et pour le problème 3 à 39%. Nous avons donc ici un exemple assez remarquable de dysfonctionnement au niveau du processus de sélection d’informations où le contexte sémantique en est l’origine (le problème eau/vin est interprété comme un problème de concentration induit par le fait que l’eau et le vin sont des liquides miscibles). Ce dysfonctionnement a des répercussions considérables sur la représentation que le sujet se construit et donc sur sa performance dans un problème qui ne fait appel pourtant qu’à des connaissances élémentaires.

La représentation que nous avons d’un problème donné est le résultat d’un processus d’interprétation qui conduit à sélectionner certaines informations en leur accordant une signification particulière. Ce sont les connaissances dont nous disposons à un moment donné, qui guident notre interprétation.

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Les informations données dans un énoncé de problème doivent permettre de se construire une représentation de cet objet mais dans le cadre d’une tâche à réaliser. L’énoncé du problème et le contexte sémantique qui le caractérise constituent une sorte de contrat de communication entre celui qui donne le problème et celui qui cherche à le résoudre.

b) Le processus de structuration

Le contenu de la représentation ne se contente pas de se transformer et de s’enrichir au cours de la résolution du problème, et l’apport d’une information nouvelle ne suffit pas forcément à progresser dans la recherche d’une solution. Les représentations apparaissent le plus souvent comme des entités fortement organisées formant un ensemble structuré c'est à dire dont les éléments sont solidaires et constituent un tout qui a sa propre logique de fonctionnement. On peut se demander, comment se structure ce problème et comment éventuellement remettre en cause cette structuration pour permettre une restructuration ?

D’une part, le contexte sémantique peut intervenir dans la structuration de notre représentation. Revenons sur l’exemple précédent : le problème du mélange. Nous pouvons remarquer que le caractère miscible des éléments mis en jeu (eau et vin) renforce considérablement notre interprétation et nous enferme dans une structuration du problème qui ne nous permet plus de répondre correctement au problème donné. Une expérience supplémentaire fut testée sur les sujets ayant le problème 1 (mélange eau/vin) : on leur présente les deux autres problèmes et les résultats sont surprenants. Ils sont relativement peu nombreux à changer leur interprétation du problème, et beaucoup de sujets ne donnent pas la même réponse pour les trois versions du problème. La structuration imposée par le caractère miscible des éléments ne parvient pas à être remis en cause par les versions où ce caractère n’est plus présent.

D’autre part, les connaissances particulières que nous possédons influent aussi sur le processus d’interprétation. Par exemple, si la connaissance mobilisée par l’énoncé du problème semble correspondre à une sorte de « prototype » de problème, la mise en œuvre d’une procédure de résolution est alors immédiate. Plus un prototype permet la mise en œuvre rapide d’une procédure, plus il structure fortement la représentation. Mais, dans le cas où cette procédure ne

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permet pas la résolution, il est alors très difficile et demande parfois du temps, de se restructurer une nouvelle représentation.

c) Le processus d’opérationnalisation

La représentation que nous construisons dans une situation de résolution de problème a pour fonction de nous permettre d’agir en vue d’atteindre le but proposé. Mais une représentation peut être plus ou moins opérationnelle c'est à dire rendre plus ou moins aisée l’élaboration d’une procédure ou d’une stratégie. Le processus d’opérationnalisation est celui qui permet le passage à l’action, qu’il s’agisse d’une action effective ou d’une action mentale. Ce passage à l’action résulte de la mise en oeuvre d’un certain nombre de connaissances que nous conviendrons d’appeler opératoires : ce sont celles qui, issues de notre expérience passée en matière de résolution de problème, nous permettent d’agir. Une première opérationnalisation de la représentation se traduit par le recours à un outil particulier et par la mise en oeuvre d’une stratégie qui consiste à transformer l’énoncé du problème pour le rendre plus clair. Cette transformation modifie le contenu de notre représentation, renforce sa structuration et permet de passer à un autre niveau d’opérationnalisation : la mise en oeuvre d’une série de déductions qui conduit à la solution. En fait, dès que notre représentation le permet, c'est à dire dès qu’elle est opérationnelle, nous agissons. Le fait d’agir a de nombreuses répercussions sur la représentation, et il est l’un des moteurs essentiels de son évolution. Le fait de pouvoir agir peut avoir un impact décisif sur la représentation en renforçant considérablement son contenu et son organisation. Une autre répercussion de l’action est la possibilité de prendre en compte des éléments nouveaux dans la représentation. Le processus d’opérationnalisation a donc deux fonctions :

- Il permet la mise en oeuvre de nos connaissances opératoires en vue d’élaborer une procédure de résolution. - Il permet à la représentation de se transformer et d’évoluer dans le cas où elle ne conduit pas immédiatement à une procédure de résolution. Un phénomène particulier est à noter, quand nous avons réfléchi longtemps à un problème

sans parvenir à la solution, il suffit parfois de ne plus y penser pour que cette solution apparaisse avec clarté et évidence. Il s’agit d’un phénomène d’incubation, tout se passe comme si la restructuration de la représentation et son opérationnalisation résultaient d’un travail subconscient.

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En cessant d’agir, la structuration de la représentation peut diminuer et le contenu de cette représentation peut alors se transformer en intégrant des nouveaux éléments qui n’avaient pu être mobilisés auparavant. La restructuration de la représentation permettant alors une nouvelle opérationnalisation et la découverte de la solution.

2) Les outils de la modélisation

On peut considérer que la construction de modèles -la modélisation- est l’une des composantes fondamentales de la démarche scientifique. Elle concerne tout système que nous cherchons à maîtriser en le connaissant mieux. Un modèle possède deux caractéristiques principales :

- il est une simplification d’un système donné. - il permet une action sur ce système On modélise toujours pour agir, c’est-à-dire qu’on modélise pour apporter, d’une manière ou d’une autre, une solution à un problème identifié comme tel. Cette notion de modèle permet d’aborder sous un autre angle les questions liées aux processus de représentation. Le processus de modélisation peut être considéré comme une forme particulière d’opérationnalisation de la représentation. Cette forme particulière se caractérise par la mise en oeuvre d’un outil de modélisation. Ainsi, on peut considérer l’ensemble des savoirs dont on dispose à un moment donné comme autant d’outils pouvant servir à modéliser des situations auxquelles nous sommes confrontés. On peut alors se poser deux questions :

- Quelles sont les fonctions exactes d’un tel outil dans la construction d’une représentation plus performante de ce problème ?

- Quelles sont les conditions de la mise en œuvre d’un outil de modélisation dans un problème particulier ?

a) Fonctions d’un outil de modélisation

La modélisation est souvent liée à l’idée de traduction, mais en fait, elle ne peut intervenir qu’à partir d’un certain niveau de structuration de la représentation. Un exemple d’outil de modélisation, souvent utilisé en mathématique, est la mise en équation.

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Nous allons voir maintenant les fonctions d’un outil de modélisation : - Sa première fonction est de rendre notre représentation plus opérationnelle et de permettre ainsi un passage à l’action plus performant. - Cet outil contribue à structurer la représentation d’une autre manière, par la simplification qu’il permet.

- Enfin, il permet de contrôler plus facilement et plus efficacement la pertinence de notre représentation par rapport au but à atteindre. Ainsi, l’outil de modélisation contribue au contrôle de la représentation et éventuellement à sa remise en cause et à son évolution. Il renforce aussi la structuration de celle-ci et fournit des possibilités nouvelles d’explication.

b) Mobilisation des outils et ses conditions

Une question importante, au niveau didactique, est de savoir comment procéder pour qu’une notion soit effectivement acquise comme un outil de modélisation. Une première condition : l’accès à l’outil. Une deuxième condition : la connaissance de celui-ci et de ses propriétés mathématiques. L’outil mis en oeuvre et l’opérationnalisation de la représentation dépendent des connaissances que l’élève est capable de mobiliser avec l’outil : si ces connaissances sont suffisamment précises et solides, elles permettront une opérationnalisation plus efficace de la représentation que le cas contraire, où l’élève n’aura fait que traduire le problème.

La fonction principale de la modélisation reste le renforcement considérable du processus d’opérationnalisation et l’amplification des possibilités d’action qu’il permet. En permettant d’agir, non seulement l’outil de modélisation conduit à des transformations immédiates de la représentation mais il entraîne la mobilisation d’autres connaissances. Mais le processus de modélisation ne peut se mettre en place que si la représentation est déjà en cours de structuration. C’est là certainement l’idée la plus importante car, tant que l’on considère l’outil comme la base ou le point de départ de la représentation du problème, on ne peut pas bien comprendre les difficultés propres à la résolution de problème ni aider véritablement les élèves. La modélisation est un processus à part entière, qui participe à l’activité de représentation et qui entretient les mêmes liens complexes avec les processus d’interprétation et de structuration.

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Il est illusoire de penser que l’idée de traduction/formalisation d’un problème soit considérée comme la source de sa compréhension. Cette illusion provient du fait que dès que nous avons compris quelque chose, nous oublions le cheminement de la pensée qui nous a amené à cette compréhension. Nous avons donc beaucoup de mal à nous placer du point de vue de celui qui ne comprend pas. La mise en oeuvre d’un outil de modélisation nous permet de traduire le problème et de le penser de manière plus abstraite. Une étape déjà avancée du processus de résolution va occulter complètement les étapes précédentes, en particulier toutes celles qui relèvent des processus d’interprétation et de structuration.

3) Comment aider ?

Il est important que les élèves soient actifs et partie prenante (acteurs) dans la construction des connaissances qu’ils doivent acquérir, mais intéresser les élèves et les rendre actifs, ne sont pas suffisants pour qu’il y ait véritablement acquisition d’un savoir.

a) Qu’est-ce qu’une aide à la représentation ?

Une indication n’est pas toujours une aide. Tout enseignant sait donner une indication ou une aide, mais si on analyse de près le rôle de cette “aide” au niveau du processus de résolution, on peut observer deux faits :

- elle ne vise presque jamais la représentation du problème. - elle a un impact très faible.

Le but est donc de mettre au point des aides qui, sans tuer le problème, permettront autant que possible d’éviter l’échec. Il faut aider “ni trop, ni trop peu”. L’idée fondamentale est donc d’agir “aussi légèrement ” que possible et de se préserver de tout guidage. Rien ne réduit autant un problème qu’une solution que l’on souffle ou une procédure que l’on suggère. On doit aider à comprendre le problème, à mieux décoder et interpréter l’énoncé mais on ne doit pas donner la solution et on ne doit pas guider la mise en oeuvre de telle ou telle procédure. Une manière de concevoir ce qu’est une aide à la représentation est de la penser comme un environnement. Il existe trois environnements sur lesquels on peut intervenir :

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- L’environnement immédiat du problème : il est formé de l’ensemble des éléments fournis en même temps que l’énoncé de la problématique. Il s’agit en premier lieu des données du problème, mais aussi de tous les éléments qu’on peut ajouter à ces informations principales (par exemple, d’une consigne ou d’une indication fournie en même temps que l’énoncé …).

- L’environnement disponible : il est constitué de tous les éléments disponibles pour résoudre le problème mais qui ne sont pas présents dans l’environnement immédiat. Il s’agit, par exemple, de toutes les aides que l’on peut solliciter soit par des réponses à des questions que l’on pose, soit par les éléments que l’on trouve en relisant son cours…

- L’environnement conditionnel : il est composé d’éléments qui ont une fonction d’aide. Si on constate un blocage ou une grande difficulté, on va intervenir pour « secourir » celui qui est « en panne » ou qui se trompe. Il est difficile de choisir le moment de l’intervention et la nature de celle-ci car elle aura un impact très fort : celui à qui est destinée l’aide va nécessairement accorder une grande importance à ces éléments nouveaux que l’on place délibérément dans son environnement.

Le fait de distinguer trois sortes d’environnements correspond à trois catégories de variables et d’aides.

b) La présentation du problème

La présentation du problème relève de ce que nous avons appelé précédemment l’environnement immédiat. Nous allons donc nous intéresser au rôle de l’énoncé dans la résolution de problèmes plus précisément, aux différentes modalités de celui-ci :

- Tout d’abord, les caractéristiques linguistiques de l’énoncé : la lecture de l’énoncé mais aussi sa complexité ont une importance capitale lors de la résolution de problème. Une simple variation de formulation peut faire que l’on réussisse ou que l’on échoue et ceci, indépendamment de toutes les autres variables. Les facteurs linguistiques ont un rôle important dans la construction de la représentation. L’interaction entre le langage courant et le langage mathématique devient de plus en plus grande et peut être à l’origine de dysfonctionnements importants dans la compréhension de l’énoncé.

- L’organisation de l’énoncé : l’énoncé du problème est un texte donc son organisation a un effet sur le processus d'interprétation et de sélection et donc sur la représentation.

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Aussi, la place de la question peut avoir de l’influence sur la façon dont se met en place la représentation.

- Le contexte sémantique : peu de recherches se sont directement intéressées à cette question. On constate souvent l’effet négatif de telle ou telle variation du contexte.

- Et enfin, les tâches sur-ajoutées : cette dernière modalité consiste à associer à l’énoncé une ou plusieurs tâches annexes par rapport à la tâche principale. Ces tâches portent le plus souvent sur le traitement des informations données (par exemple, lire un énoncé à haute voix, poser des questions sur l’énoncé …) et peuvent constituer des aides pour la construction de la représentation. Mais il faut faire attention au fait que ces tâches risquent d’alourdir la tâche principale.

Ainsi, deux facteurs constituent l’aide à la résolution de problème : - Tout d’abord la présentation du problème. - Et enfin, l’environnement sur lequel on va intervenir.

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II) Première expérience : le travail en groupe

Pour qu’un élève puisse résoudre un problème, il faut d’abord que cet élève soit actif. On peut remarquer que les élèves en difficulté sont très souvent passifs face aux difficultés et se découragent avant même d’avoir une représentation du problème suffisamment opérationnelle. J’ai alors pensé que le travail en groupe pouvait être une solution.

1) Organisation des groupes

Deux heures de module par semaine en demi classe sont planifiées pour ma classe de seconde. Ces heures sont en parallèle avec les différentes langues vivantes et le choix de ces groupes se fait en fonction de celles-ci. En ce qui concerne les Mathématiques, chaque groupe est hétérogène et la répartition des bons élèves et des élèves en difficulté se fait de manière presque égale entre les deux groupes. Pour plus de commodités, on les appellera : groupe 1 et groupe 2. Le but de mon expérience est de comparer les résultats des élèves qui ont travaillé en sous-groupe avec ceux qui ont traité individuellement ce même problème. Ainsi, les travaux en sous-groupe s’effectueront dans le groupe 1 et le travail individuel dans le groupe 2. Le groupe 1 comporte 17 élèves, il y aura donc trois sous-groupes de trois élèves (appelés G1, G2, et G3) et deux sous-groupes de quatre élèves (G4 et G5). Chaque sous-groupe aura un « chef de groupe » que je nommerai (il s’agira de bons élèves), et les élèves feront eux-mêmes leur groupe en respectant cette consigne. En procédant de cette façon, chaque sous-groupe aura un « meneur » ce qui leur permettra d’avancer, et le dialogue devrait être favorisé par le fait que ce soit eux-mêmes qui ont formé leurs groupes. La semaine précédent mon expérience, je leur ai expliqué le fonctionnement de cette séance afin qu’ils puissent s’organiser. Aussi, chaque élève me rendra son travail à la fin de la séance.

2) Analyse du problème

Le problème choisi est le suivant : Sur une tablette découverte en 1936 lors des fouilles de Suse à 300 km de Babylone, on a trouvé le problème suivant :

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A vous de jouer ... En ce qui concerne la présentation du problème, on peut remarquer que :

- il n’y a aucune contrainte linguistique. - le contexte sémantique n’aura pas, à priori, d’influence sur la résolution de ce problème

puisque la problématique de celui-ci est claire. - La consigne est mélangée avec la problématique et celle-ci est annoncée dès le début.

Ainsi, les élèves pourront se construire une représentation du problème en connaissant leur but.

Volontairement, la figure n’est pas faite. En effet, le fait de faire soi-même la figure a pour effets d’améliorer le processus d’interprétation-sélection et le processus de structuration (car la construction de celle-ci permet de s’approprier plus rapidement les données du problème) et d’augmenter l’efficacité de la modélisation du problème. Les outils nécessaires à la résolution sont : le théorème de Pythagore, la trigonométrie, et les droites remarquables dans un triangle isocèle. On remarque l’importance du codage au fur et à mesure de la progression ce qui permettra de faire apparaître des figures clés. En cas de blocage des élèves, j’ai préparé plusieurs aides à différents niveaux de progression du problème. Ceci nous permettra de voir leurs influences quant aux résultats.

- A : Aide à la construction. - B : Aide à la notation sur la figure. - C : Eviter de trop charger la figure. - 1 : Qu’est-ce qu’on cherche, quel est notre but ? - 2 : Qu’est-ce qu’on a comme triangles ? - 3 : Quelles sont les longueurs que tu peux calculer ? - 4 : On a des triangles rectangles et on connaît des longueurs, est-ce qu’il y a un outil

que tu pourrais utiliser ? - 5 : Par rapport à l’objectif du problème, peux-tu faire un lien avec cet outil ?

Calculer le rayon du cercle circonscrit à un triangle dont les côtés mesurent respectivement 50 ; 50 ; et 60 mètres

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Les aides A, B, C concernent l’environnement immédiat : elles ont pour but d’aider les élèves à bien démarrer. L’aide B concerne surtout les élèves qui travaillent en groupe afin qu’ils puissent dialoguer de manière plus efficace alors que la A est destinée aux élèves qui travaillent de façon individuelle car la construction de la figure n’est pas le but en soi du problème. Les aides 1 et 2 concernent l’environnement disponible : il s’agit de questions qui doivent les aider à prendre un bon départ tout en se rappelant le but du problème. Enfin, les aides 3, 4 et 5 agissent sur l’environnement conditionnel car les réponses à ces questions sont des pistes à la résolution. A noter que les aides sont formulées par des questions afin de ne pas leur souffler la réponse. Aussi, j’ai établi un questionnaire que les élèves devront remplir et me rendre à la fin de la séance. Il a pour but de voir leurs difficultés et l’efficacité de leur représentation du problème.

3) Le déroulement de la séance

Commençons par le groupe 1 : Pour G3, G4 et G5, le démarrage est rapide même s’ils dialoguent peu, en revanche G1 et G2 mettent plus longtemps à effectuer leur construction. Le groupe 4 a rencontré des difficultés pour la construction de la figure, mais en communiquant les uns avec les autres, ils ont solutionné le problème. Le tableau suivant récapitule les aides apportées en fonction de la progression des groupes, de leurs demandes et de leurs idées :

G1 G2 G3 G4 G5 A

B x x x x x

C x

1 x

2 x x x

3 x

4 x

5

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J’ai donné l’aide B car en circulant dans les rangs, j’ai constaté que chacun utilisait ses propres notations. Il était plus commode que chaque sous-groupe possède les mêmes notations. J’ai constaté qu’il y avait beaucoup moins d’échanges dans G4. Dans les autres groupes, chacun apportait ses idées ce qui leur permettait d’avancer dans la résolution. G2 a demandé volontairement de l’aide à deux reprises (aide C puis 2) car ils se trouvaient complètement bloqués et à court d’idées. Leur figure était trop chargée ce qui empêchait leur représentation d’être efficace. Aussi, au bout de 30 minutes, G1, G3 et G5 ont trouvé une solution approchée du résultat à l’aide de la calculatrice alors que j’attendais une valeur exacte. J’aurai dû préciser ce point sous forme d’une consigne rajoutée à la fin de l’énoncé pour éviter cela. Je leur ai donc demandé d’affiner leur travail pour me donner un résultat exact. En ce qui concerne le groupe 2 : D’une façon générale, les élèves ont éprouvé des difficultés à débuter. Souvent les figures faites sont incomplètes, petites, voir fausses (certains commencent par tracer un cercle, puis prennent n’importe quel triangle inscrit dans ce cercle …), et quand elles sont correctes, ils ne voient pas comment procéder. Là aussi leur représentation est inefficace. Voici le tableau représentant les aides données avec le nombre d’élèves ayant reçu exactement les mêmes aides :

A X

X X

B

X

X

C

1 X

2 X X X X

X X

3

4

X

X

5

Nombre d'élèves 1 3 1 1 1 4 1 4

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Là aussi on retrouve le problème de la valeur approchée de la solution. J’ai donc effectué la même intervention que le groupe 1.

4) Analyse des résultats et conclusions

Après avoir lu les résultats de chaque élève, nous allons les classer en trois catégories pour les deux groupes et nous verrons ensuite l’influence des aides apportées. Catégorie A : pourcentage d’élèves dans le groupe ayant la solution en valeur exacte. Catégorie B : pourcentage d’élèves dans le groupe ayant la solution en valeur approchée. Catégorie C : pourcentage d’élèves dans le groupe n’ayant pas de solutions

Le groupe 1 obtient de meilleurs résultats que le groupe 2 même si la catégorie B ne fourni pas la solution exacte. Peut-être qu’avec plus de temps ces élèves auraient fini par trouver la valeur exacte. Cela montre qu’il faut être plus précis dans l’énoncé d’un problème car certains élèves de seconde ont gardé des automatismes (bons ou mauvais) induits par les classes du collège (ici, par exemple, c’est travailler avec une valeur numérique plutôt que l’expression exacte).

Si on regarde les aides apportées dans les deux groupes, on remarque que pratiquement le

même nombre d’élèves a bénéficié des mêmes aides. Intéressons-nous aux résultats dans chaque groupe : Dans le groupe 1 : il n’y a que G4 qui a échoué et, cela peut-être dû à un manque de dialogue. En revanche, G1 et G3 ont trouvé la solution exacte.

Groupe 2

19%

75%

6%

A B C

Groupe 1

35%24%

41%

A B C

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Dans le groupe 2 : Les élèves de la catégorie A n’ont reçu aucune aide et ceux de la catégorie B ont eu que l’aide n°2. Ainsi, on peut conclure que les aides n’ont eu que très peu d’influence sur les résultats. Elles n’ont pas permis aux élèves de rendre leur représentation plus opérationnelle.

En analysant les réponses des questionnaires rendus par les élèves, on remarque que les élèves du groupe 1 ont tous fait le lien entre la figure et la problématique et donc leur représentation du problème leur a permis d’élaborer une procédure. En revanche, dans le groupe 2, deux élèves ont rencontré des difficultés au niveau de la construction de la figure et quatre n’ont pas réussi rapidement à faire le lien entre la figure et la problématique : leur représentation du problème était insuffisante. Aussi, j’ai constaté que de bons élèves du groupe 2 n’avaient pas réussi et que des élèves de niveau moyen ont trouvé une valeur approchée. Ce qui montre à priori qu’il n’y avait pas de difficultés liées à l’apprentissage du cours mais que la représentation a un rôle essentiel. Cette première expérience nous permet de conclure sur l’efficacité du travail en sous-groupe. En effet, les échanges y sont plus fréquents et permettent de modifier plus facilement la représentation de chacun. Aussi, la confrontation des idées structure davantage cette représentation et favorise l’élaboration d’une procédure de résolution. A noter que le travail en sous-groupe rend les élèves beaucoup plus actifs, et que cette activité est essentielle pour résoudre un problème. Quant aux aides, on remarque qu’elles ne suffisent pas toujours à restructurer la représentation qu’ont certains élèves et donc elles ne permettent pas forcément la résolution du problème.

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III) Seconde expérience : variation d’énoncé Ma seconde expérience concerne la variation d’énoncé d’un même problème. Pour cela, j’ai partagé ma classe en trois groupes hétérogènes et chaque groupe aura un problème à résoudre. Il s’agit du même problème mais formuler de trois manières différentes. Ainsi, nous allons voir l’influence de l’environnement immédiat et de la présentation du problème sur la représentation de celui-ci, et par conséquent sur sa résolution. De cette manière, je n’interviendrais pas sur l’enjeu personnel des élèves : trouver la solution par soi-même.

1) Présentation et analyse des différents énoncés

Voici les trois énoncés que l’on appellera respectivement énoncé A, B et C :

Enoncé A Effectuer les tracés décrits ci-après : • Un triangle ABC • Un rectangle BCDE à l’extérieur du triangle • La perpendiculaire passant par A à (BC), noté d1 • La perpendiculaire passant par D à (AB), noté d2 • La perpendiculaire passant par E à (AC), noté d3 1) Que peut-on conjecturer sur les droites d1, d2, d3 ? On veut démontrer que d1, d2 et d3 sont concourantes en un même point que l’on appellera I. 2) Déterminer les images des hauteurs du triangle ABC par la translation de vecteur BE . 3) Conclure.

Enoncé B ABC est un triangle. Dans ce triangle, on appelle I le pied de la hauteur issue de A, J celui issue de B, K celui issue de C et on note H son orthocentre. BCDE est un rectangle construit à l’extérieur du triangle. On mène par D la perpendiculaire à (AB) noté d1, et par E la perpendiculaire à (AC) noté d2 . On appelle d3 la hauteur issue de A. On note M le point d’intersection de d1 avec [AB], et N celui de d2 avec [AC].

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Démontrer, en utilisant la translation de vecteur BE , que les droites d1, d2 et d3 sont concourantes en un même point que l’on appellera T.

Enoncé C On considère la figure suivante :

ABC est un triangle. On a tracé ces hauteurs et on appelle H son orthocentre. BCDE est un rectangle construit à l’extérieur du triangle. On mène par D la perpendiculaire à (AB) noté d1, et par E la perpendiculaire à (AC) noté d2 . On appelle d3 la hauteur issue de A.

Démontrer, en utilisant la translation de vecteur BE , que les droites d1, d2 et d3 sont concourantes en un même point que l’on appellera I.

Le but de ces mêmes problèmes est de montrer que trois droites d1, d2 et d3 sont concourantes en un même point que l’on appellera I (excepté pour l’énoncé B où il sera nommé T). Pour cela, il faut utiliser une transformation du plan : une translation. Ayant remarqué quelques difficultés chez certains élèves lors du chapitre « transformations du plan » traité plusieurs semaines auparavant, j’ai décidé d’intervenir éventuellement sur l’environnement disponible en autorisant la relecture du cours pour les élèves qui seraient complètement bloqués. De plus, pour ne pas rajouter une difficulté supplémentaire, on donne le vecteur de translation dans chaque énoncé. Si H est l’orthocentre du triangle en question, il s’agit de montrer que I est l’image de H par la

translation de vecteur BE . Pour se faire, il faut démontrer que cette translation transforme les trois hauteurs du triangle en d1, d2 et d3. Ainsi, au niveau linguistique, on trouve deux mots clés pour la résolution du problème : « orthocentre » et « hauteurs ». Chaque énoncé possèdera alors l’un de ces mots :

- Enoncé A : le mot « hauteur » est utilisé dans la formulation d’une question. - Enoncé B : le mot « orthocentre » apparaît lors de la construction de la figure. - Enoncé C : les deux mots sont explicités lors de la description de la figure.

Aussi, on peut constater deux autres différences dans la formulation de ces énoncés.

E

B

D

C

A

H

d1

d2

d3

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Tout d’abord, la figure : volontairement, elle n’est pas construite dans les énoncés A et B, seule une description est faite. Celle de l’énoncé A est succincte de part sa formulation et de part sa présentation. De plus, on ne donne que les éléments nécessaires à la résolution du problème ce qui n’est pas le cas dans l’énoncé B où la description est complexe car trop précise. Elle comporte trop de données inutiles. La figure de l’énoncé C est très claire et positionnée sous « sa forme classique » : le triangle et le rectangle ont un côté « horizontale ». De cette façon, l’image de H par

la translation de vecteur BE apparaît plus facilement sur celle-ci. Là aussi, il n’y a que les données nécessaires pour la résolution du problème et elles sont explicités juste à côté de la figure. Et enfin, l’énoncé de la problématique : Dans l’énoncé A, on annonce le but du problème et on le décompose en deux questions, la première donnant une procédure pour y parvenir. En revanche, dans les énoncés B et C, la problématique et la procédure à utiliser sont annoncées simultanément. La procédure de l’énoncé A est plus guidée que les autres (elle précise que l’on doit d’abord

déterminer l’image des hauteurs par la translation de vecteur BE ) car dans les autres énoncés, on

a défini explicitement l’orthocentre H et si on applique la translation de vecteur BE à tous les points définis sur la figure, on obtiendra le résultat. D’autre part, comme je l’ai dit précédemment, dans l’énoncé C, on peut visualiser facilement la translation. Aussi, pour aider les élèves, j’ai nommé le point de concours des trois droites d1, d2 et d3 afin qu’ils n’ait pas à définir par eux-mêmes l’image de H.

Ainsi, avec cette analyse, je pense que l’énoncé A aura le plus de réussite. En effet, la construction de la figure et ses caractéristiques linguistiques permettront une meilleure représentation du problème. En revanche, par sa complexité, l’énoncé B aura sans doute le plus d’échec. En ce qui concerne l’énoncé C, on visualise facilement l’image de H par la translation de

vecteur BE ce qui devrait facilité le travail des élèves.

2) Le déroulement de la séance

Pour plus de commodités, j’ai divisé la classe en trois groupes hétérogènes que l’on appellera groupe A, B et C, noms relatifs aux énoncés distribués. Chaque groupe est composé de 11 élèves excepté le groupe C car il y avait un absent.

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Tout d’abord, presque 50% des élèves du groupe B ont eu beaucoup de difficultés à la construction de la figure. Certains ont même recommencé plusieurs fois car ils n’arrivaient pas à travailler avec leur figure. En revanche, dans le groupe A, seule une élève a effectué deux figures.

Comme je l’avais pensé, au bout de 30 minutes une majorité d’élèves n’avançait pas et

restait complètement inerte devant le sujet. Je leur ai donc autorisé à relire leur cours. Nous verrons par la suite que cette intervention n’a pas réellement eu d’impact sur les résultats. Aussi, je n’intervenais qu’auprès des élèves qui le souhaitaient en leur répondant uniquement si leur démonstration était complète où non. Je voulais intervenir le moins possible afin qu’ils puissent résoudre eux-mêmes ce problème. C’est ainsi que je me suis aperçue qu’énormément d’élèves ne ressentaient pas le besoin de démontrer, par exemple, que la droite d1 était l’image d’une hauteur

par translation de vecteur BE . Ils faisaient la construction graphiquement et affirmaient que telle droite était l’image de telle hauteur mais ne le démontraient pas. Après avoir vu ce problème, je me suis rendu compte que, pour l’énoncé A, je n’avais pas été assez explicite dans la formulation de la question 2 mais qu’il n’y avait pas d’ambiguïté pour les autres énoncés. Je suis donc intervenue oralement en leur expliquant ce problème. Etant donné qu’il ne restait plus beaucoup de temps, je leur ai demandé de me rédiger la démonstration du problème en écrivant ce qu’ils admettaient.

A la fin de la séance, chaque groupe avait à remplir un questionnaire propre a leur énoncé.

Ces questionnaires ont pour but de voir si la figure posait des problèmes et de voir s’ils avaient compris ce qu’ils devaient faire, autrement dit de vérifier si leur représentation leur permettaient de résoudre le problème.

3) Analyse des résultats et conclusions

Après la lecture des copies et des réponses du questionnaire, j’ai établie quatre catégories : - Catégorie 1 : l’élève a résolu le problème mais a démontré partiellement ou de façon

très confuse la translation (problème cité précédemment). - Catégorie 2 : l’élève a compris le but mais subsiste un problème de vocabulaire dans la

rédaction : problème de sens avec le mot « image », confusion entre « image par » et « est l’image de ». Sans cette confusion, le raisonnement est correct.

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- Catégorie 3 : l’élève a compris le but et a trouvé une procédure (il faut montrer que I est l’image de H par …) mais la rédaction n’est pas correcte : souvent peu d’articulations logiques, rédaction très incomplète, manque de sens dans certaine phrase …

- Catégorie 4 : l’élève n’a pas forcément compris le but et n’a pas réussi à établir une procédure, leur représentation n’est pas opérationnelle. Ce qu’ils écrivent n’a pas forcément de sens.

Voici les résultats :

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Groupe A

36%

18%0%

46%

Catégorie 1 Catégorie 2 Catégorie 3 Catégorie 4

Groupe B

0% 10%

30%60%

Catégorie 1 Catégorie 2 Catégorie 3 Catégorie 4

Groupe C

20%

0%

50%

30%

Catégorie 1 Catégorie 2 Catégorie 3 Catégorie 4

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Même si les pourcentages de réussite ne sont pas très élevés, on peut dire que le groupe A a les meilleurs résultats et que le groupe B a le plus d’échec : 60%. Pour les élèves de la catégorie 2, on peut penser que leur confusion provient d’un mauvais apprentissage du cours et qu’ils pourraient se corriger eux-mêmes. Pour les élèves de la catégorie 3, on voit que leur représentation leur permet d’établir une procédure, mais que les difficultés de résolution proviennent plutôt d’un problème de rédaction de démonstration en géométrie et non un problème de représentation. On constate souvent trois types de problèmes :

- Problème de vocabulaire : les élèves n’utilisent pas le bon vocabulaire au bon moment. - Problème de logique : il s’agit d’une mauvaise utilisation des mots de logique (exemple :

donc, or, ou, et, si, alors …). - Problème de sens dans leurs phrases : ce problème est le plus grave, certaines phrases

n’ont aucun sens, parfois il manque des mots … Pour certains, rédiger une démonstration signifie « en écrire le plus possible », ainsi on retrouve des élèves qui mentionnent tout ce qu’ils « voient » sur la figure et concluent au résultat demandé.

Ainsi, pour les catégories 2 et 3, il ne s’agit pas de problèmes liés à la représentation mais plutôt un problème d’outils et d’acquisition. En revanche, pour les élèves de la catégorie 4, cela concerne bien un problème de représentation. En comparant les différents résultats de chaque groupe, on constate qu’une modification de l’environnement disponible n’a pas été efficace pour le groupe B, celle-ci n’a permis aucune restructuration de leur représentation. C’est en fait l’environnement immédiat qui a un rôle essentiel lors de la représentation du problème. A noter que dans le groupe B, quelques bons élèves n’ont pas réussi à résoudre le problème, certains n’avaient même pas réussi à établir une procédure de résolution, ce qui montre bien l’inefficacité de leur représentation. De plus, le fait d’écrire « on appellera I le point d’intersection des

droites d1, d2 et d3 » a induit en erreur certains élèves qui ont utilisé ce résultat de façon confuse. Chaque phrase du contenu de l’énoncé a donc une importance, surtout pour les élèves en difficulté. Cette seconde expérience nous montre l’importance de l’énoncé aussi bien au niveau du contenu (l’environnement immédiat) que du point de vue linguistique, de sa complexité ou de sa présentation. Si au départ notre représentation du problème est complètement bloquée et inefficace, je pense que les aides apportées par la suite ne permettront pas une restructuration de celle-ci et par conséquent on ne pourra résoudre le problème.

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IV) Conclusion

L’aide à la résolution de problème est un travail assez difficile si l’on veut apporter une aide minimale, sans souffler la procédure ou la réponse. Il n’y a pas réellement de solutions qui « marchent » à tous les types de problèmes.

D’une part, il me semble important que les élèves soient le plus actif possible afin d’apporter le maximum d’éléments nouveaux dans leur représentation du problème. Ainsi cela structure davantage et permet une meilleure opérationnalisation de celle-ci. Le travail en sous-groupe peut être une solution : les échanges et les confrontations d’idées permettent aux élèves d’avancer. De plus chacun peut s’exprimer, ce qui donne plusieurs possibilités aux élèves en difficulté :

- Soit de proposer une idée, ce qui leur redonne confiance. - Soit de poser des questions sans avoir le regard de la classe.

Mais cette solution a des limites. En effet, ces groupes de travail peuvent parfois devenir des groupes de relation. J’ai pu remarquer cela lors d’un autre travail. Aussi, certains élèves se raccrochent parfois au « chef de groupe » pour l’élaboration d’une procédure.

D’autre part, j’ai pu constater l’importance du fond et de la forme de l’énoncé lors de ma seconde expérience. Le contenu, les caractéristiques linguistiques et la présentation de celui-ci sont essentiels pour que notre représentation du problème soit la plus opérationnelle possible. Tous ces éléments font partie de ce que l’on a appelé « environnement immédiat ». Dès le début du problème, il me parait primordial de structurer suffisamment la représentation de celui-ci pour éventuellement établir une procédure de résolution, et par conséquent, permettre un passage à l’action. Ainsi, la première aide que l’on peut apporter aux élèves passe par un travail sur l’énoncé du problème. Ensuite, il faudra exploiter « quand » et « comment » intervenir pour apporter un minimum d’aides aux élèves qui en auraient besoin. De plus, si l’on agit uniquement sur l’énoncé, et plus généralement sur l’environnement immédiat, les élèves pourront concrétiser cet enjeu personnel qui est de résoudre le problème « tout seul », sans l’aide du professeur ...

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BIBLIOGRAPHIE

- DESCAVES Alain – Comprendre des énoncés, résoudre des problèmes.

- HOUDEBINE Jean et LABORDE Colette – Variations sur des énoncés de

problèmes de géométrie au collège – Repères IREM N°33 – octobre 1998.

- JULO Jean – Représentation des problèmes et réussite en mathématiques.

- NOIRFALISE R . et PORTE J. – Résolution de problème en second cycle - Repères

IREM N°1 – octobre 1990.

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ANNEXE 1

Travail d’un élève de G3 lors de l’expérience n°1 ainsi que le questionnaire :

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ANNEXE 2

Travail d’un élève travaillant individuellement lors de l’expérience n°1 :

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ANNEXE 3 Travaux d’élèves concernant l’expérience n°2 :

Élève du groupe A, ayant réussi le problème

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Élève du groupe C ayant trouvé le but (catégorie 3) et utilisant le point I

Élève de groupe C n’ayant pas réussi le problème :

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ANNEXE 4 Questionnaires de l’expérience n°2 : Enoncé A Ce questionnaire est à remplir et à rendre avec sa copie. Merci 1) As-tu rencontré des difficultés pour la construction de la figure ? Non Oui : lesquelles ou pourquoi : 2) As-tu compris le lien entre d1, d2, d3 et les hauteurs ? Oui Non 3) Si on appelle H l’orthocentre du triangle, que devais-tu finalement démonter ? 4) As-tu eu besoin de ‘’regarder’’ ton cours ? Oui Non 5) L’énoncé était-il clair pour toi? Oui Non : Pourquoi ? Enoncé B Ce questionnaire est à remplir et à rendre avec sa copie. Merci 1) As-tu trouvé la figure compliquée? Non Oui : pourquoi : 2) As-tu compris le lien entre d1, d2, d3 et les hauteurs ? Oui Non 3) Sachant que H est l’orthocentre, que devais-tu finalement démonter ? 4) As-tu eu besoin de ‘’regarder’’ ton cours ? Oui Non 5) L’énoncé était-il clair pour toi? Oui Non : Pourquoi ? Enoncé C Ce questionnaire est à remplir et à rendre avec sa copie. Merci 1) As-tu compris le lien entre d1, d2, d3 et les hauteurs ? Oui Non 2) Sachant que H est l’orthocentre, que devais-tu démontrer ? 3) As-tu eu besoin de ‘’regarder’’ ton cours ? Oui Non 4) L’énoncé était-il clair pour toi? Oui Non : Pourquoi ?

Comment aider les élèves en difficulté dans la résolution d’un problème ?

RÉSUMÉ : Une première solution pour aider les élèves en difficulté consiste à les rendre le plus actif possible. Pour cela, le travail en groupe est très efficace. Il favorise le dialogue entre élèves et permet à chacun de s’exprimer. Aussi, la représentation d’un problème est essentielle pour le résoudre. Une deuxième solution est donc d’agir sur cette représentation afin de la rendre la plus efficace possible.

MOTS CLÉS :

- Mathématiques - Résolution - Représentation - Groupe - Variation d’énoncé

Nom de l’établissement : Lycée du Clos Maire à Beaune (21) Niveau de la classe : Seconde