简介

MEMS 模块

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文档编号：CM020904

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版本：COMSOL 5.3

目录

MEMS 模块 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

MEMS 设备：物理场和应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

MEMS 模块物理场接口指南. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

根据空间维度和研究类型排列的物理场接口 . . . . . . . . . . . 17

教学示例：对电容式压力传感器建模 . . . . . . . . . . . . . . 21

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MEMS 模块

MEMS 模块用于工程师和科学家们理解、预测和设计微型系统。在设计周期中使用模拟工具能够增强理解，减少制造原型机，最终用较低的开发成本制造出合格的产品。用户可以通过 MEMS 模块来快速准确地预测 MEMS 设备的结构力学、电学和热学表现。COMSOL Multiphysics 内建的多物理场能力使得模拟不同物理效应耦合在一起的设备变成一件简单的事情，特别适合处理在 MEMS设计中广泛遇到的问题。

MEMS 模块能够在二维和三维中模拟设备的稳态和动态性能，并能结合基于电路的主动和被动设备进行建模。在频域中，功能强大的工具可用于模拟交流和直流信号或力等耦合驱动的设备。 预设的物理场接口，也就是 MEMS 模块的物理场接口，处理 MEMS 传感器和执行器中广泛存在的物理现象。 MEMS 模块的物理场接口可用于模拟结构力学、静电、电流、压电、压敏电阻、薄膜流体流动、传热和电路。 这些物理场接口也能任意耦合在一起来求解多物理场问题，并且一系列预设耦合也可用于 MEMS 物理场接口，包括机电 （耦合静电力和结构力学）、焦耳热、焦耳热和热膨胀，以及流固耦合 （耦合流体流动和结构力学）。

对于每个 MEMS 物理场接口，底层的物理原理采用偏微分方程的形式来表达，以及相应的初始条件和边界条件。 COMSOL 的设计通过为用户提供按每个特征求解的方程以及对底层方程组的完全访问来强调物理场，同时也具有极大的灵活性将用户定义的方程和表达式添加到方程组。 例如，模拟结构中的焦耳热，其中的材料具有随温度变化的弹性属性，只需要简单地输入以温度的函数形式表征的弹性常数即可，无需编写脚本或代码。当 COMSOL 编译方程时，这些用户定义的表达式生成的复杂耦合自动包含在方程组中，然后这些方程使用有限元方法和一组工业级求解器来求解。求解完成后，便可使用大量的后处理工具分析得到的数据，自动生成预设的绘图，以显示设备响应。 COMSOL提供了计算和可视化各种物理量的灵活性，包括诸如温度、电场或应力张量

（通过方便的菜单来使用）等预设因变量，或者用户定义的任意表达式。

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要为 MEMS 设备建模，请先在软件中定义几何 （或从一个 CAD 文件或软件导入）。然后选择适当的材料，并添加合适的 MEMS 物理场接口。在物理场接口内建立初始条件和边界条件。 接下来，定义网格和选择求解器。最后通过广泛的后处理工具来可视化结果。所有这些步骤都可以在 COMSOL 图形用户界面访问。

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MEMS 设备：物理场和应用

MEMS 设备的微小尺寸在控制其工作的物理过程上有着重要的效应， MEMS物理场接口可用于模拟微尺度下占主要地位的重要物理效应。

通常，当设备的长度尺度 (L) 减小时，和 L 有关的物理效应的比例决定了它的相对重要性。产生刚体固定加速度所需的惯性力是体积比例关系，即 L3，其他力与惯性力相比的比例对 MEMS 设备有重要的影响。 例如体积等效弹簧常数的比例是 L1，因此当系统尺寸减少时，弹簧刚度减少得比系统质量更慢，导致更小的设备有更高的谐振频率 （谐振频率的比例为 L-1）。这意味着微机械系统通常比宏观系统有更高的工作频率和更快的响应时间。

当设备尺寸减小时，静电力的比例不变 （例如，施加固定电压的平行板之间的静电力的比例为 L0）。此外，静电执行器不消耗直流功率，可以使用与标准半导体制造工艺一致的方法制造，因此许多 MEMS 设备利用静电驱动。

下图显示了一个静电驱动 MEMS 谐振器的振型，通过施加的直流偏压来运行。 曲线图显示当施加的电势增大时，谐振频率减小；这是由耦合机电系统的软化所导致。设备的小尺寸导致即使对一个简单的弯曲模式，也具有 MHz 谐振频率。此外，电磁力不变的比例可以使用有效电容的驱动方式，这在宏观尺寸上是不可能实现的。

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当设备尺寸减小时，压电力的扩展性很好 （施加恒定电压产生的力随设备尺寸一次方 L1 变化）。此外，压电传感器和执行器主要表现出线性，且在工作过程中不消耗直流功率。压电比较难与标准半导体工艺集成，但随着市场上的商业成功已经取得了重大进步 （例如 FBAR 滤波器）。石英振子可以被认为是目前生产量最大的 MEMS 设备，每年制造的设备超过 1 亿个。虽然传统上并不认为它属于 MEMS （石英工业远早于该术语的创造），许多这类设备有毫米及亚毫米尺寸，通过平板印刷来定义。此外，一些石英产品现在标注为 MEMS 设备。

下图显示了厚度方向剪切石英振荡器的机械响应，还有一张图显示了串联电容 (Cs) 的频率响应。串联电容常用于调整或吸合石英振荡器的谐振。

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由固定的温度变化产生的热力随设备尺寸二次方 L2 变化。该比例与惯性力相比仍然有优势，而且扩展性也很好 (L2)，使得热执行器在微尺度上反应更快

（热执行器通常比电容或压电执行器的速度慢）。热执行器也很容易与半导体工艺集成，虽然通常消耗大量功率，因此在商业应用上有所限制。 热效应在许多商用 MEMS 技术的制造中非常重要，因为薄镀层中的热应力对许多应用很关键。 下图显示了一个变形的焦耳热执行器内的温度。

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流控 MEMS 设备，或称为微流控设备，代表了一个越来越重要的 MEMS 领域， COMSOL 提供了一个单独的微流体模块来专门处理这些应用。尽管如此， MEMS 模块也包含了重要的微流体功能来模拟 MEMS 结构和流体的相互作用。一个有巨大吸引力的领域是薄膜阻尼，通常阻尼力的比例是 L1，对于MEMS 设备往往都很重要，导致对真空封装的需求。下图显示了一个加速度计表面上的压力，该压力来自加速度计和封装之间稀薄气体薄层的压缩 （封装未在图上显示）。

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前面的讨论集中在可用于驱动执行器的力，这种比例关系对传感器的工作也相当重要。 压敏电阻传感器通常产生与应力成比例的输出，在固定应变的情况下，与设备尺寸无关 (L0)。压敏电阻效应相当于对应于施加应力所发生的材料电导率的变化。小型压敏电阻器与标准半导体工艺集成方便，且传感器线性响应合理，使得这种技术在压力传感器产业中特别重要。 下图显示了感应压力传感器偏转的压敏电阻器中的电流分布和产生的电压。

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MEMS 模块物理场接口指南MEMS 物理场接口用于模拟 MEMS 设备。每个物理场接口以一系列偏微分或常微分方程的形式，并结合恰当的边界和初始条件来表征相关的物理现象。添加到物理场接口的每个特征都表示底层方程组中的一个项或一种条件。这些特征通常与模型中的几何实体相关联，例如域、边界、边 （适用于三维组件）或点。图 1 使用微镜模型 （可在 MEMS 模块案例库中找到）来展示模型开发器和选定的线弹性材料 1 特征节点的设置窗口，此节点在选定域内的仿真中添加了结构力学方程。在线弹性材料部分下，几个设置表明杨氏模量、泊松比和密度继承自指定给域的材料属性，这些材料属性可以设为模型中其他因变量的函数，例如温度。 在模型树中还显示了自由和固定边界条件。 模型中所有表面默认应用自由边界条件，允许表面自由运动。固定边界条件用于约束保持固定的表面，例如附着在晶圆片的柄上。

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设置窗口中突

材料属性通常是通过导入材料添加至模型。当材料属性不是由本物理场接口变量控制时，可以在模型输入栏输入值和表达式

出显示节点

边界条件

坐标系决定各向异性材料的材料属性方向

图 1: 模型开发器 （左）和选定特征节点线弹性材料 1 的设置窗口 （右）。设置窗口中的方程栏显示了模型方程，由特征添加到方程组的项带有虚线下划线。注意几何非线性在求解器设置中被禁用，使得方程形式更简单。

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MEMS 模块包含一些能模拟在 MEMS 设计中遇到的不同物理现象的物理场接口。开始一个新模型时，从模型向导中选择这些接口。图 2 显示了模型向导中MEMS 模块包含的物理场接口。 由于 MEMS 是一种多学科工业，物理场接口分散在 COMSOL 支持的物理场类型的一些不同领域中，且在各自的模型向导分支上出现。请参见根据空间维度和研究类型排列的物理场接口。下面是对每个 MEMS 模块物理场接口的基本概述。

图 2: 显示在模型向导中的 MEMS 模块物理场接口。 注意这适用于三维组件。

静电静电接口 ( ) 位于模型向导的 AC/DC 分支下，求解电势，考虑电荷在域中的分布和应用至边界的电压。用于为静态或准静态条件下的静电设备建模，即频率足够低，以致可以忽略波传播效应。本物理场接口的典型应用是计算无偏压 MEMS 设备的低频电容。

电流电流接口 ( ) 位于模型向导的 AC/DC 分支下，用于为传导介质和容性介质中的直流、交流和瞬态电流流动建模。本物理场接口求解因变量为电势的电流守恒方程，可用于计算互连层中的电流分布。

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电路电路接口 ( ) 位于模型向导的 AC/DC 分支下，通过方程为连接或未连接至分布式场模型的电路建模。本接口求解电压、电流和与电路元件相关联的电荷。电路模型能包含电阻、电容和电感之类的被动元件，以及类似二极管和晶体管的主动元件。 可以从已有的 SPICE 网表导入电路。本物理场接口的典型应用是计算石英晶体振荡器上串联电容的影响。

机电机电接口 ( ) 位于模型向导的结构力学分支下，求解结构力学方程，耦合静电方程。电力自动添加到模型内的结构中，也可根据需要包含各向同性电致伸缩。本物理场接口常用于模拟静电驱动的 MEMS 设备，以及检测结构变形的基于电容的传感器。

流固耦合流固耦合 (FSI) 接口 ( ) 位于模型向导的流体流动分支下，结合流体流动和固体力学来获取流体和固体结构之间的相互作用。一个固体力学接口和一个单相流接口分别用来模拟固体和流体，其中的流动可以是层流或湍流 （湍流需要CFD 模块）。 FSI 的耦合出现在流体和固体间的边界上。流固耦合接口使用任意拉格朗日 - 欧拉 (ALE) 方法来结合使用欧拉公式描述的流体流动和使用拉格朗日公式描述的结构力学空间坐标系，以及材料 （参考）坐标系。

焦耳热和热膨胀焦耳热和热膨胀接口 ( ) 可将热、电和结构多物理场效应组合到一起。预设耦合添加了来自电场的电磁损耗作为热源。从模型向导选择此选项可将结构力学 ( )、电流 ( ) 和固体传热 ( ) 接口添加到模型，并适当耦合焦耳热

（位于模型树多物理场分支下 ( )）。多物理场接口描述了电流在结构中的传导、在结构中由欧姆损耗导致的电热，以及由温度场导致的热应力。 典型应用包括热执行器。

压电设备压电设备接口 ( ) 位于模型向导的结构力学分支下，用于模型中的压电材料，压电耦合可以指定为应力 - 电荷型或应变 - 电荷型。从模型向导选择此选项，可将固体力学和静电接口添加到模型。压电材料默认添加到固体力学接口的所有域上，且电荷守恒。在静电接口，压电节点添加到相同的域。这两个节点通

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过压电效应这种多物理场耦合特性进行耦合 （在模型开发器的多物理场节点下）。

压敏电阻压敏电阻接口 ( ) 位于模型向导的结构力学分支下，结合固体力学接口 （或壳接口）和电流接口 （或电流，壳接口），并添加压敏电阻材料的本构关系。压敏电阻材料可与结构和传导材料一起建模，典型应用包括对压敏电阻式压力传感器进行建模。

固体力学固体力学接口 ( ) 定义应力分析和一般线性和非线性固体力学的物理量和特征，求解位移。 线弹性材料节点是默认的材料模型。另外，弹性材料模型能扩展至热膨胀、粘弹性、阻尼，以及预应力和应变特征。模块中弹性材料的描述包括各向同性、正交各向异性，和完全各向异性材料。 提供了大量的预设研究类型 — 请参见根据空间维度和研究类型排列的物理场接口。

薄膜流动薄膜流动 ( ) 接口可对限制在薄层中的液体或气体的流动进行建模，这些多物理场接口使用定义在表面上的方程计算狭窄平面结构中的平均速度和压力。在 MEMS 应用中，这些多物理场接口通常用于对薄膜阻尼建模。

热应力热应力接口 ( ) 将热和结构多物理场效应组合到一起。预设耦合添加了结构的传热问题所导致的热膨胀。从模型向导选择此选项可将固体力学 ( ) 和固体传热 ( ) 接口添加到模型，并添加耦合结构膨胀至固体中温度分布的特征

（这些特征位于模型开发器的多物理场分支下 ( )）。典型应用是对热梯度导致的设备变形建模。

热弹性热弹性接口 ( ) 与固体力学接口类似，此外还有线性热弹性材料。它求解结构位移和温度偏差，并得到由热弹性耦合导致的热传递。对高质量因子 MEMS谐振器建模时，热弹性非常重要。

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根据空间维度和研究类型排列的物理场接口下表列出了除 COMSOL Multiphysics 基本模块可用的物理场接口外，本模块中可以使用的物理场接口。

物理场接口 图标 标记 空间维度 可用的预设研究类型 AC/DC

电流 1 ec 所有维度 稳态；稳态源扫描；频域；瞬态；小信号分析，频域

电流，壳 ecs 三维；二维；二维轴对称

稳态；频域；瞬态； 小信号，频域

电路 cir 与空间无关 稳态；频域；瞬态小信号，频域

静电 1 es 所有维度 稳态；瞬态；稳态源扫描；特征频率；频域；小信号分析，频域

流体流动

流固耦合 fsi 三维；二维；二维轴对称

稳态；稳态，单向耦合；瞬态；瞬态，单向耦合

流固耦合，固定几何 2 — 三维；二维；二维轴对称

稳态；瞬态

单相流

层流 1 spf 三维；二维；二维轴对称

稳态；瞬态

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薄膜流动

薄膜流动，壳 tffs 三维 稳态；瞬态；频域；特征频率

薄膜流动，域 tff 二维 稳态；瞬态；频域；特征频率

薄膜流动，边 tffs 二维；二维轴对称

稳态；瞬态；频域；特征频率

电磁热

焦耳热 1,2 — 所有维度 稳态；瞬态；小信号分析，频域

结构力学

固体力学 1 solid 三维；二维；二维轴对称

稳态；特征频率；预应力分析，特征频率 ; 模态分析；瞬态；瞬态模态；频域；频域模态；预应力分析，频域；模态约化阶次模型；线性屈曲；螺栓预紧力

热应力 2 — 三维；二维；二维轴对称

稳态；瞬态

焦耳热和热膨胀 2 — 三维；二维；二维轴对称

稳态；瞬态

热弹性 te 三维；二维；二维轴对称

特征频率；频域；瞬态

物理场接口 图标 标记 空间维度 可用的预设研究类型

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机电 emi 三维；二维；二维轴对称

稳态；预应力分析，特征频率；瞬态；预应力分析，频域

压电设备 2 — 三维；二维；二维轴对称

稳态；特征频率；瞬态；瞬态模态；频域；频域模态；模态约化阶次模型；小信号分析，频域；预应力分析，特征频率 ;

预应力分析，频域磁致伸缩 — 三维；

二维；二维轴对称

稳态；特征频率；瞬态；频域；小信号分析，频域；预应力分析，特征频率 ;

预应力分析，频域 压敏电阻

压敏电阻，域电流 — 三维 稳态；特征频率；瞬态；瞬态模态；频域；频域模态；小信号分析，频域；预应力分析，特征频率；

预应力分析，频域；模态约化阶次模型；

压敏电阻，壳 3 — 三维 稳态；瞬态；

瞬态模态；频域； 频域模态小信号分析，频域；预应力分析，特征频率；

预应力分析，频域；模态约化阶次模型；

物理场接口 图标 标记 空间维度 可用的预设研究类型

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压敏电阻，边界电流 — 三维 稳态；特征频率；瞬态；瞬态模态；频域；频域模态；小信号分析，频域；预应力分析，特征频率；

预应力分析，频域；模态约化阶次模型

1 此物理场接口包含在核心的 COMSOL 包中，在本模块中添加了更多功能。2 本接口是自动添加所有所需物理场接口和耦合特征的预定义多物理场耦合。3 需要结构力学模块。

物理场接口 图标 标记 空间维度 可用的预设研究类型

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教学示例：对电容式压力传感器建模

本教程分析一个假想中的绝对压力传感器，是 V. Kaajakari 所著书籍 Practical MEMS 中的一个示例 (V. Kaajakari, Practical MEMS, Small Gear Publishing, Las Vegas, 2009, pp. 207–209)。最初在理想工作条件下评估设备的敏感性，然后分析封装导致的应力效应，采用设备对压力的敏感性和设备对温度的敏感性两种方式。

设备的几何结构如图 3 所示。压力传感器是硅片的一部分，在 70°C 下粘合至金属板。 COMSOL 模型利用几何对称性，仅对设备的四分之一进行建模。

图 3: 模型几何。左：对称的设备几何，其中四分之一的边高亮为蓝色，显示了对称面。右：在 COMSOL 中仅对高亮的四分之一进行建模，截面壁面上使用对称边界条件。

图 4 显示了设备的功能部分的二维切面上的细节，其中薄膜上施加固定的 1V电势，膜通过一个高度真空密封的腔体与接地面分离，腔体侧面绝缘，避免膜与接地面连接 （为简化起见， COMSOL 模型中不需要显式地对绝缘层建模 —— 这个假设将对求解结果略有影响）。

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膜， 1V 电势偏压 封闭腔室 接地部分 绝缘

图 4: 显示电容的设备截面，其中放大垂直轴方向，强调间隙。

周围气体对膜的压力导致膜发生变形，膜的间隙厚度随之发生变化，对地电容因此发生改变。电容值由连接的电路进行监测，例如 Practical MEMS 的案例研究中讨论的开关电容放大器电路。

由于热导率在硅片和金属板间失配，以及用于粘合过程的温度提高 （假设为70°C， 与工作温度 20°C 相比）会产生结构上的热应力。这些应力为响应施加的压力而改变了振膜的形状，并随之改变了传感器的响应。此外，由于应力具有温度依赖性，它们引入了不希望出现的设备输出的温度依赖性。

最初传感器在没有封装应力的情况下进行分析，然后考虑封装应力的影响。首先，计算固定温度和指定封装应力的情况下的设备响应。最后分析施加固定压力下设备响应的温度依赖性。

模型向导

注：这些操作指南适用于 Windows 下的用户界面，但也可用于 Linux 和 Mac，只是略有差别。

1 双击桌面上的 COMSOL 图标，启动软件。当软件打开后，选择使用模型向导来创建新的 COMSOL 模型或选择空模型来手动创建。本教程中，单击模型向导按钮。

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如果 COMSOL 已打开，可以通过文件菜单选择新建 ，然后单击模型向导来启动模型向导 。

模型向导会指导您完成建立一个模型的最初几个步骤。下一个窗口让您选择对空间建模的维度。

2 在选择空间维度窗口单击三维按钮 。

3 在选择物理场树下选择结构力学 > 机电 (emi) 。

4 单击添加按钮，然后单击研究 。

5 选择预设研究 > 稳态 。

6 单击完成 。

几何 1

几何从一个外部文件导入。由于结构对称，仅需要四分之一的物理几何。

导入 11 在几何工具栏单击导入 。

注：在 Linux 和 Mac 下，主屏幕工具栏可以参考 Desktop 顶部附近控制区的特定设置。

2 浏览至案例库文件夹 MEMS_Module\Sensors 中的文件 capacitive_pressure_sensor_geom_sequence.mph。

注：本练习使用的文件位置根据安装而有所不同。例如，如果安装在硬盘上，文件路径可能类似 C:\Program Files\COMSOL\COMSOL53\Multiphysics\applications\。

3 单击构建所有对象 。

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全局定义

参数1 在主屏幕工具栏单击参数 。

2 在参数下的设置窗口中输入以下设置：

注：SI 单位或其倍数，例如 Pa、 kPa 等，甚至某些非 SI 单位，例如摄氏度，能通过方括号和对应的字符串来输入至图形用户界面。有关受支持单位的详细列表，请参见 COMSOL Multiphysics Reference Manual 中的 “Using Units”部分。

名称 表达式 描述p0 20[kPa] 压力T0 20[degC] 工作温度Tref 70[degC] 芯片胶合温度

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定义

接下来，添加一个组件耦合算子以计算模型中派生的全局变量。这些算子可以很方便地应用于后处理，而且 COMSOL 的求解器也能在求解过程中使用它们，例如在方程组中包含积分量。本例添加一个平均算子，用来计算膜的平均位移，另外使用一个点积分得到膜中心点的位移。

平均值 11 在定义工具栏单击组件耦合 并选择平均值 。

2 在平均的设置窗口中找到源选择栏。 在几何实体层列表选择边界。

3 选择边界 12。

注：有多种方法来选择几何实体。例如，要选择边界，放置光标于图形窗口中的边界上，如果想要的边界没有高亮为红色，则旋转滚轮直到被高亮，然后左键单击将其选中 （上下箭头键也能用于代替滚轮）。或者，单击粘贴选择 按钮 。在粘贴选择对话框的文本栏中输入 12 （边界编号），然后单击确定。 或使用选择列表 来显示一个可用边界编号的列表 （如果使用windows，可从主屏幕 > 窗口菜单调用，或者从其他平台上的窗口菜单调用）。先单击边界，然后右键单击并选择添加到选择 ，即可将边界添加到选择。要添加多个边界，左键单击的同时按下 Ctrl 键。

积分 11 在定义工具栏单击组件耦合 ， 选择积分 。

2 在积分的设置窗口中找到源选择栏。从几何实体层列表选择点。

3 仅选择点 4。

接下来定义选择，以简化材料和物理场的建立。

框 11 在定义工具栏单击框 。

2 在框的设置窗口中找到几何实体层栏。从级别列表选择边界。

3 找到框界限栏，在 x 最大值编辑框中输入 1e-6。

4 找到输出实体栏，从包含实体的条件为列表选择实体在框内。

5 在标签文本框输入 YZ Symmetry Plane。

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框 21 在定义工具栏单击框 。

2 在框的设置窗口中找到几何实体层栏。从级别列表选择边界。

3 找到框界限栏，在 y 最大值编辑框中输入 1e-6。

4 找到输出实体栏，从包含实体的条件为列表选择实体在框内。

5 在标签文本框输入 XZ Symmetry Plane。

框 31 在定义工具栏单击框 。

2 找到框界限栏，在 z 最大值编辑框中输入 -100[um]。

3 找到输出实体栏，从包含实体的条件为列表选择实体在框内。

4 在标签文本框输入 Steel Base。

显式 11 在定义工具栏单击显式 。

2 仅选择域 3。

3 在标签文本框输入 Cavity。

显式 21 在定义工具栏单击显式 。

2 在显式的设置窗口中找到输入实体栏。选中所有域复选框。

3 在标签文本框输入 All domains。

差集 11 在定义工具栏单击差集 。

2 在差集的设置窗口中找到输入实体栏。在要添加的选择下单击添加 。

3 前往添加对话框。从要添加的选择列表中选择所有域， 单击确定。

4 在差集设置窗口中找到输入实体栏。 在要减去的选择下单击添加 。

5 前往添加对话框。从要添加的选择列表中选择 Cavity， 单击确定。

6 在标签文本框输入 Linear Elastic。

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机电

接下来，将物理场特征设置添加至模型，其中包括对传感器起作用的压力、施加的检测电压，以及其他正确的边界条件。

在机电接口中，仅使用线弹性材料求解结构中的力学方程，电场并不穿透这些区域。

线弹性材料 11 在物理场工具栏单击域 ，选择线弹性材料 。

2 在线弹性材料的设置窗口中找到域选择栏。从选择列表选择线弹性。

在对称边界上应用结构对称边界条件。

对称 11 在物理场工具栏单击边界 ，选择对称 。

2 在对称的设置窗口中找到边界选择栏。从选择列表选择 XZ Symmetry Plane。

对称 21 在物理场工具栏单击边界 ，选择对称 。

2 在对称的设置窗口中找到边界选择栏。从选择列表选择 YZ Symmetry Plane。

注：电对称边界条件 （零电荷特征）是默认应用的边界条件。

结构的运动在大多数方向上通过对称边界条件来约束。然而，整个设备仍然能沿 z 轴上下滑动，通过施加一个点约束来避免这种情况。

指定位移 21 在物理场工具栏单击点 ，选择指定位移 。

2 仅选择点 44。

3 在指定位移的设置窗口中找到指定位移选项。选中在 z 方向上指定复选框。

施加一个边界载荷来代表作用在膜顶面上的压力。

边界载荷 11 在物理场工具栏单击边界 ，选择边界载荷 。

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2 仅选择边界 13。

3 在边界载荷的设置窗口中找到力选项。

- 从载荷类型列表选择压力。- 在 p 文本框输入 p0。

移动网格边界条件必须应用在空气域变形，以及不应用默认的机电界面边界条件的边界上。机电界面边界条件自动由结构和变形空气域之间的界面边界得到指定，它将正确的电力施加到结构分析，同时约束空气域的形变等于结构形变。

指定网格位移 11 在模型开发器的机电下，单击指定网格位移 1 。

2 在指定网格位移的设置窗口中找到指定网格位移选项，清除指定 z 位移复选框。

此操作允许膜 （和网格）在 z 方向上移动。

将终端和接地特征添加到模型以应用模型静电部分的边界条件。

终端 11 在物理场工具栏单击边界 ，选择终端 。

2 仅选择边界 12。

3 在边界载荷的设置窗口中找到终端选项，从终端类型列表选择电压

本例可以直接使用默认值 1V。

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接地 11 在物理场工具栏单击边界 ，选择接地 。

2 仅选择边界 9。

材料

压力传感器由硅片和封闭的腔体组成，在封装过程中粘合至圆柱形钢板上。COMSOL 提供了一个有很多预设材料属性的材料库。本例中钢板使用预设材料，硅则作为一个用户定义的材料建立，对本模型使用各向同性材料参数可以直接对比 Practical MEMS 中的结果。腔体也需要材料属性 （用来定义相对介电常数），使用一个用户定义的材料来设置本区域的相对介电常数为 1。

材料 11 在主屏幕工具栏单击空材料 。

2 在材料的设置窗口中找到材料属性明细栏，在表中输入以下设置：

3 在标签文本框输入 Silicon。

默认情况下，硅的材料属性定义为所有区域，通过添加一些新材料来覆盖一些所选材料。

材料 21 在主屏幕工具栏单击空材料 。

2 在材料的设置窗口中找到几何实体选择栏，从选择列表选择 Cavity。

属性 名称 值相对介电常数 epsilonr 11.7

杨氏模量 E 170[GPa]

泊松比 nu 0.06

密度 rho 2330

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3 在材料的设置窗口中找到材料属性明细栏，在表中输入以下设置：

设置空气材料属性为非固体。这是一个重要步骤，决定了泊松方程中材料压缩时的行为。 固体材料的介电常数在压缩中会增大，而对于非固体材料则不会发生这种行为。

4 单击展开材料属性栏，找到材料类型，从材料类型列表选择非固体。

5 在标签文本框输入 Vacuum。

Steel AISI 43401 在主屏幕工具栏单击添加材料 。

2 前往添加材料窗口，在内置材料树下选择 Steel AISI 4340 。

3 单击添加到组件 ，然后在主屏幕工具栏单击添加材料以关闭添加材料窗口。

4 在模型开发器中单击 Steel AISI 4340 。

5 在材料的设置窗口中找到几何实体选择栏，从选择列表选择 Steel Base。

网格 1

接下来建立一个结构化网格来求解问题。

尺寸和自由四面体网格 11 在模型开发器中右键单击网格 1 ，选择重置物理场引导序列 。

禁用默认的自由四面体网格。2 在模型开发器中右键单击自由四面体网格 1 ，选择禁用 。

尺寸 1在传感器膜上设置一个最大单元尺寸。

1 右键单击网格 1 并选择尺寸 。

2 在尺寸的设置窗口中找到单元尺寸栏，单击定制按钮。

属性 名称 值相对介电常数 epsilonr 1

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3 找到单元尺寸参数栏，选中最大单元尺寸复选框。在相关文本框中输入 50[um]。

4 找到几何实体选择栏，从几何实体层列表选择边界。

5 仅选择边界 3。

映射 1在设备的下表面上创建一个映射网格。

1 右键单击网格 1，选择更多操作 > 映射 。

2 仅选择边界 3、 16 和 32。

3 单击全部构建按钮 。

基于面网格在结构中进行扫掠。

扫掠 11 右键单击网格 1，然后单击扫掠 。

2 单击全部构建 。

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研究 1

建立一个研究，在施加压力的范围内扫描，对传感器的响应进行评估。

步骤 1：稳态1 在模型开发器展开研究 1 节点，然后单击步骤 1：稳态 。

2 在稳态的设置窗口中单击展开研究扩展栏，选中辅助扫描复选框。

3 单击添加 。

自动添加连续参数 p0 （压力），这是要扫描的正确参数。4 单击范围按钮 ，前往范围对话框。

- 在开始文本框中输入 0。- 在步长文本框中输入 5000。- 在停止文本框中输入 25000。

5 单击添加按钮。

6 在主屏幕工具栏单击计算 。

结果

在这个初始研究中，结构的大部分没有位移。为使后处理更容易，将选择添加到解的数据集，这将确保后处理中只显示感兴趣的域。

数据集1 在模型开发器中展开结果 > 数据集 节点。

2 右键单击解 1 ，并选择选择。

3 在选择的设置窗口中找到几何实体选择栏，从几何实体层列表选择域。

4 仅选择域 3 和 4。

位移 (emi)1 在模型开发器中选择结果 > 位移 (emi) 节点。

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2 单击图形工具栏的缩放到窗口大小按钮 。

绘图现在仅显示膜的位移，如预期那样，在传感器中心最大。

下一步，在传感器膜和接地面之间的 xy 向平面上绘制电势。

势能 (emi)1 在模型开发器展开势能 (emi) 节点，单击切面 1 。

2 在切面的设置窗口中找到平面数据栏。

- 从平面列表选择 xy- 平面。- 在平面文本框中输入 1。- 选中交互复选框。- 在偏移文本框中输入 -5.8E-6。

3 单击绘制按钮 。

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由于膜的变形，电势在平面上非均匀分布。

下一步，将膜的变形绘制为跨过它的压力差的函数，并绘制平均位移和最大位移。

一维绘图组 31 在主屏幕工具栏单击添加绘图组 ，并选择一维绘图组 。

2 在一维绘图组工具栏单击全局 。

使用之前定义的点积分和面平均算子来计算膜中点的位移和平均位移。

1 在全局的设置窗口中找到 y- 轴数据栏。在表中输入以下设置：

2 在模型开发器单击一维绘图组 3 。

表达式 单位 描述intop1(w) um 最大位移aveop1(w) um 平均位移

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3 在一维绘图组的设置窗口中单击展开标题栏。

- 从标题类型列表选择手动。

- 在标题文本框中输入膜位移。4 找到绘图设置栏。

- 选中 x 轴标签复选框，在相关文本框中输入压力 (Pa)。- 选中 y 轴标签复选框，在相关文本框中输入位移 (\mu m)。

5 单击展开图例栏，在位置列表选择左下角。

6 在标签文本框输入膜位移 vs 压力。

7 单击绘制 。

施加的压力为 10kPa 时，膜中心的位移是 0.89mm，膜的平均位移是0.27mm。这些值与 Practical MEMS 中给出的近似模型基本符合 （最大位移0.93mm，平均位移 0.27mm）。

现在，绘制传感器电容为施加压力的函数。 如果 Practical MEMS 中描述的开关电容放大器用于制造输出，传感器输出或传递函数便与电容的变化成正比。

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一维绘图组 41 在主屏幕工具栏单击添加绘图组 ，选择一维绘图组 。

2 在一维绘图组工具栏单击全局 。

由于终端边界条件用于膜的底面， COMSOL 自动计算其对地的电容，结果可以作为一个后处理变量来使用。

3 在全局的设置窗口中单击 y- 轴数据栏右上角的替换表达式 ，从菜单双击机电 > 终端 > 电容 (emi.C11)。

下一步，比较计算的电容和源于 Practical MEMS 中的小位移，线性解析表达式。

4 找到 y- 轴数据栏，在表中输入以下设置：

5 在模型开发器中单击一维绘图组 4 。

6 在一维绘图组的设置窗口中找到标题栏。

- 从标题类型列表选择手动。- 在标题文本框中输入模型电容 vs 压力。

7 在绘图设置栏

- 选中 x 轴标签复选框。在 x 轴标签文本框输入压力 (Pa)。- 选中 y 轴标签复选框。在 y 轴标签文本框输入电容 (pF)。

8 单击展开图例栏，从位置列表选择左上角。

9 在标签文本框输入模型电容 vs 压力。

10单击绘制 。

表达式 单位 描述emi.C11 pF 电容0.738[pF]*(1+8.87e-6[1/Pa]*p0) pF 线性解析电容

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传感器的电容随施加压力增大，绘制出的曲线斜率很好地表现了设备响应。在原点处模型 （整个传感器的 1/4）的响应是 7×10-6 pF/Pa，与之对应的解析响应是 7×10-6 pF/Pa。 整个传感器的响应是 29×10-6 pF/Pa，与之对应的解析值是 26×10-6 pF/Pa。 根据 Practical MEMS 中提议的测量电路，这就相当于是COMSOL 模型的传感器传递函数为 29mV/Pa，简单解析模型为 26mV/Pa。响应是非线性的，因此在 20kPa 时模型输出为 14×10-6 pF/Pa （设备的输出57pF/Pa）。

接下来，将热膨胀添加到模型，评估封装应力对设备表现的影响。

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机电

热膨胀 11 在模型开发器中单击线弹性材料 1 ，在物理场工具栏单击属性 ，然后

选择热膨胀 。

模型温度应该设为之前定义的室温参数 T0。2 在热膨胀的设置窗口中找到模型输入栏。 在 T 文本框中输入 T0。

参考温度表示在此温度处结构没有热应变。 本例中将其设为之前定义的参数， Tref。 Tref 代表在此温度下将硅片粘合至金属载流板。

3 找到热膨胀栏，在 Tref 文本框中输入 Tref。

材料

之前添加的硅的用户定义属性不包括其热膨胀系数，所以必须添加一个参数。

SiliconCOMSOL 在材料属性设置中显示一个警告来指出缺少的属性。

1 在模型开发器下的材料 中，单击 Silicon 。

2 在材料的设置窗口中找到材料属性明细栏。

3 在表的适当列中，添加硅的热膨胀系数值：

研究 2

添加新研究来计算包含热膨胀系数的系统响应。

添加研究

1 在主屏幕工具栏单击添加研究 。

属性 名称 值热膨胀系数 alpha 2.6e-6

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2 前往添加研究窗口，在树中展开预设研究，单击稳态 。

3 单击添加研究 ，然后单击主屏幕工具栏的添加研究 关闭添加研究窗口。

步骤 1：稳态1 在稳态的设置窗口中单击展开研究扩展栏，选中辅助扫描复选框。

2 单击添加 。

自动添加了参数 p0 (Pressure)，这是要扫描的正确参数。3 单击范围 ，前往范围对话框。

- 在开始文本框中输入 0。- 在步长文本框中输入 5000。- 在停止文本框中输入 25000。

4 单击添加按钮。

5 在主屏幕工具栏单击计算 。

结果

创建一个镜像数据集来可视化设备的一个截面。

数据集1 在结果工具栏单击更多数据集 ，选择三维镜像 。

2 在三维镜像的设置窗口中找到数据栏。在数据集列表选择研究 2/ 解 2。

位移 (emi) 11 在模型开发器的结果下单击位移 (emi)1 。

2 在三维绘图组的设置窗口中找到数据栏。 在数据集列表选择三维镜像 1。

3 单击绘制按钮 。

请注意，现在整个结构在室温下发生位移，这是热膨胀的结果。

现在查看热应力对传感器响应的影响。

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为之前定义的绘图添加一个额外的全局节点。这个单独节点可指向一个不同的数据集，在无应力的绘图旁边创建有热应力的设备位移图。

膜位移 vs 压力1 在模型开发器的结果 > 膜位移 vs 压力下右键单击全局 1 ，选择生成

副本 。

2 在全局的设置窗口中找到数据栏。 从数据集列表选择研究 2/ 解 2。

3 找到 y- 轴数据栏，在表中输入以下设置：

注意，表中移除了表达式 aveop1(w)。4 单击绘制按钮 。

现在，膜的最大位移在零施加压力时为非零，这是封装应力的结果，位移 - 压力线的斜率也发生了改变。

表达式 单位 描述intop1(w) um 封装应力下的最大位移

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模型电容 vs 压力现在，将有热应力的结果添加到电容 vs 压力图。

1 左键单击模型电容 vs 压力节点，在模型电容 vs 压力工具栏单击全局 。

2 在全局的设置窗口中找到数据栏，从数据集列表选择研究 2/ 解 2。

3 单击 y- 轴数据栏右上角的替换表达式 ，在菜单双击机电 > 终端 > 电容(emi.C11)。

4 找到 y- 轴数据栏，在表中输入以下设置 （注意单位改为 pF）：

5 单击绘制按钮 。

封装应力引起了设备响应的重要改变。在零施加压力时， COMSOL 模型的敏感性增大至 10×10-6 pF/Pa （整个设备是 40×10-6 pF/Pa）。与之相比无应力的值是 7.3e-6 pf/Pa （整个设备是 29×10-6 pF/Pa）。 在 20kPa 的压力下影响更显著，包含热应力的模型显示的压力敏感性为 25×10-6 pf/Pa （整个设备是100pF/Pa），与之相比无应力的压力敏感性是 14×10-6 pf/Pa （传感器输出

表达式 单位 描述emi.C11 pF 带封装应力的电容

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57pF/Pa）。可以通过校准该设备来移除封装应变的影响， 热应力会导致设备响应依赖于温度，这种影响在最后的求解中进行评估。

研究 3

添加研究1 在主屏幕工具栏单击添加研究 ，打开添加研究窗口。

2 前往添加研究窗口，在树中的预设研究下选择稳态 。

3 单击添加研究 ，然后再次单击添加研究 以关闭添加研究窗口。

步骤 1：稳态1 在模型开发器的研究 3 下单击 步骤 1：稳态 。

2 在稳态的设置窗口中找到研究扩展栏，选中辅助扫描复选框。

扫描施加常压下的工作温度，以评估设备的温度敏感性。3 单击添加。

4 在表中，选择参数 T0 ( 工作温度 )：

5 单击范围 ，前往范围对话框。

- 在开始文本框中输入 290。- 在步长文本框中输入 5。- 在停止文本框中输入 300。

6 单击添加按钮。

本研究禁用默认绘图，因为结果将与研究 2 中已生成的图非常相似。

7 在模型开发器中单击研究 3 。

8 在研究的设置窗口中找到研究设置栏。清除生成默认图复选框。

9 在主屏幕工具栏单击计算 。

参数名称T0

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结果

一维绘图组 71 在主屏幕工具栏单击添加绘图组，选择一维绘图组 。

2 在一维绘图组的设置窗口中找到数据栏，从数据集列表选择研究 3/ 解 3。

3 在一维绘图组工具栏单击全局 。

4 在全局的设置窗口中单击 y- 轴数据栏右上角的替换表达式 ，从菜单双击机电 > 终端 > 电容 (emi.C11)。

5 找到 y- 轴数据栏，在表中输入以下设置：

6 在模型开发器中单击一维绘图组 7 。

7 在一维绘图组的设置窗口中找到标题栏。

- 从标题类型列表选择手动。- 在标题文本框中输入模型电容 vs 工作温度。

8 找到绘图设置栏。

- 选中 x 轴标签复选框。在相关文本框中输入工作温度 (K)。9 在标签文本框中输入模型电容 vs 工作温度。

表达式 单位 描述emi.C11 pF 电容

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10单击绘制 。

在 20kPa 压力时，模型的温度敏感性由这条曲线的斜率给出，约为 3.5×10-3

pF/K （整个设备是 14×10-3 pF/K）。在 20kPa 时给出的压力敏感性是25×10-6 pF/Pa，这与传感器输出 140Pa/K 的等效压力一致。 与 Practical MEMS 中建议的测量电路的最小噪声 (0.6Pa) 相比，这个数字非常大。

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