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UE MEMS Cours 1: Transducteur

Electrostatique – Résonateur à paramètres localisés

Dimitri Galayko UE MEMS

1

Sommaire

•  Géométrie et fonctionnement des transducteurs électrostatiques

•  Résonateurs mécaniques •  Association entre transducteurs

électrostatiques et résonateurs •  Phénomène de pull-in •  Modélisation VHDL-AMS (TP)

2

Transducteur électrostatque

•  Condensateur à capacité variable

3

Transducteur électrostatque : la géométrie

•  Condensateur plan à paramètre géométrique variable

•  If the capacitance is variable, the relation between the current and the voltage is more complex :

C = QU

= ε0εSd

= ε0εL ⋅Wd

C =C(t)⇒ I = ddt

CU( ) =C dUdt +U dCdt

  ε0 = Permittivité électrique du vide = 8.854 pF/m

  ε = Permittivité électrique   S = surface de recouvrement   d = gap entre les électrodes

électrique Mécanique

L

d

W U

- - - - - - - - - - -

+ + + + + + + + + +

S +Q

-Q

I

ε

4

Géométries de transducteurs capacitifs

• 

ε

S

ΔC = ∂C∂ε

Δε + ∂C∂d

Δd + ∂C∂S

ΔS

d

5

Transducteur à mouvement latéral

•  Capacité proportionnelle à la surface de recouvrement

•  Variation linéaire de la capacité

•  Mesures, capteurs

l

w

d

Figure 2 –

mesurant la variation de la capacite par les tech-niques de mesure electrique. Nous consideronsdeux configurations correspondant a la variationde ces deux parametres. Ces techniques trouventune application dans les capteurs de pression,accelerometres, gyroscopes, etc.

Dans certains cas, notamment dans le domainede la microfluidique, on fait varier ! de l’entreferentre les electrodes. On ne considere pas ce casdans ce cours.

3.2.1 Transducteur en mouvement verti-cal

Soit un condensateur plan dont une electrodeest fixee (pour convenance), l’autre est mobile etpeut se deplacer uniquement selon l’axe perpen-diculaire aux plans des electrodes (gap-closingmotion), cf. fig. 3. Dans ce cas, la distance entreles electrodes varie comme d! x, ou d est la dis-tance (gap) au repos. L’axe x a son origine auniveau de la position repos de l’electrode mobile,et est oriente a l’interieur du condensateur. Lacapacite s’exprime comme :

C = !0S

d! x. (29)

Ainsi, la capacite d’un tel condensateur varieen fonction du deplacement, a travers une loialgebrique non-lineaire. Ainsi, pour la detectiondu mouvement, il faut mettre en oeuvre un cir-cuit de mesure d’une capacite.

l

w

d

0

x

Figure 3 – Condensateur en mouvement verti-cal.

l

w

x

d

0

Figure 4 –

3.2.2 Transducteur en mouvementlateral

Supposons maintenant que dans la formule(28) nous modifions non pas d mais S, en faisantglisser une electrode de sorte a ce qu’il reste dansson plan (fig. 4). Si on suppose que l’electrode aune forme rectangulaire, avec longueur l et lar-geur w, et si le mouvement de l’electrode mobilefait varier la largeur, on obtient :

C = !0l(w ! |x|)

d. (30)

Ici x designe la coordonnee sur l’axe se trou-vant dans le plan de l’electrode mobile. Notez

C(x) = ε0S(x)d

C(x) = ε0l(w ± x)d

6

Transducteur à mouvement vertical

•  Capacité dépend du gap

•  Variation non-linéaire de la capacité

•  Singularité ! (d=x)

C(x) = ε0S

d − x

l

w

d

Figure 2 –





C = !0S

d! x. (29)


l

w

d

0

x


l

w

x

d

0

Figure 4 –



C = !0l(w ! |x|)

d. (30)


7

Transduction

•  Mécanique électrique : le lien entre la position x et la capacité C

•  Electrique mécanique : la force générée par le transducteur

8

La force d’un condensateur •  Soit un élément de géométrie du résonateur peut

bouger selon l’axe x •  Le mouvement de cet élément de géométrie

modifie la capacité du transducteur •  Alors, cet élément subit une force :

•  Le gradient de C se calcule en faisant bouger l’élément de géométrie selon l’axe X

•  Une tension produit une force: couplage EM

F = 12U 2 ∂C

∂x

9

La force d’un transducteur à mouvement latéral

•  Se calcule comme :

•  Indépendante du déplacement !

F = 12U 2ε0

ld

l

w

d

Figure 2 –





C = !0S

d! x. (29)


l

w

d

0

x


l

w

x

d

0

Figure 4 –



C = !0l(w ! |x|)

d. (30)


10

La force d’un transducteur à mouvement vertical


•  Dépend du déplacement ! •  Non-linéaire vis-à-vis

du déplacement •  Peu être très élevée

(petits d)

F = 12U 2ε0

S(d − x)2

l

w

d

Figure 2 –





C = !0S

d! x. (29)


l

w

d

0

x


l

w

x

d

0

Figure 4 –



C = !0l(w ! |x|)

d. (30)


11

La force d’un transducteur à mouvement vertical


•  Dépend du déplacement ! •  Non-linéaire vis-à-vis

du déplacement •  Peu être très élevée

(petits d)

F = 12U 2ε0

S(d − x)2

l

w

d

Figure 2 –





C = !0S

d! x. (29)


l

w

d

0

x


l

w

x

d

0

Figure 4 –



C = !0l(w ! |x|)

d. (30)


12

Lien quadratique entre F et U

•  La force est proportionnelle à U2

•  Inconvénient ! Comment faire passer un signal ?

•  1ère méthode : superposer au signal u(t) une grande tension de polarisation U0. Ainsi

Inconvénient: nécessite une polarisation

F ∝U 2 = (U0 +u(t))2 ≈U0

2 + 2U0u(t)

13

Linéarisation de F vis-à-vis de U (1ère méthode)

• 

C(t)U0

i(t)

C(t)

U0

u(t)

14

Linéarisation de F vis-à-vis de U (2ère méthode)

•  Utilisation de transducteurs différentiels

-u(t) u(t) U0

F2 F1

F = F1 − F2 ∝ (U0 +u(t))2 − (U0 −u(t))

2

= 4U0u(t)

15

Transducteurs à peignes interdigités

•  Les capacités des transducteurs MEMS sont faibles (10-100 fF)

•  Pour les augmenter, on multiplie les transducteurs en parallèle:

Micralyne Inc., 2004

16


•  Peignes interdigités à mouvement latéral

électrode fixe

électrode mobile

ressort

V

17


•  Peignes interdigités à mouvement vertical

18

Transducteurs électrostatiques : transducteurs à peignes interdigitées

Fe1,x

Fe2,x

Fe2,y

d

d

w

U

L0

y

x

Fe1,y Variation de capacité en mouvement latéral (x) :

C(x) = ε0w(l + x)d

⋅N

Variation de capacité en mouvement vertical (y) :

C(x) = ε0S

d − x+ ε0

Sd + x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅N = ε0

2dSd 2 − x 2

⋅N19

Transducteurs électrostatiques : transducteurs à peignes interdigitées

Conclusion :

x

y L0

h0

h0

w t

Conclusions •  Grande capacité •  Grand déplacement en x •  Force constante selon x •  Pas d effet de pull-in

20

Exemples de transducteurs •  Commutateur optique SercaloTM

21

V

21

Exemples de transducteurs

•  Exemple de transducteur électrostatique en mouvement vertical : capacité variable (Univ.de Séoul)

22


•  Exemple de transducteur électrostatique en mouvement vertical : interrupteur Motorola

23


William Tang, 1990 Micralyne Inc., 2004

•  Exemple de transducteur électrostatique en mouvement latéral : transducteur en peigne

24


Micralyne Inc., 2004

•  Exemple de transducteur électrostatique en mouvement latéral : transducteur en peigne

25


•  Exemple de transducteur électrostatique en mouvement vertical : capacité variable (Univ.de Colombia)

26

Application numérique •  �� =10µ�, �=100�100µ�2: �=8.85 ��"•  �� "

•  �� : "�  � � �� "� � �� =1µ�"

27

Résonateurs MEMS à paramètres localisés

•  Un résonateur : un ressort (raideur k), une masse (m), un amortisseur (facteur d’amortissement µ), une force externe

28

k s’appelle ”rigidite” ou ”constante de rai-deur” du ressort. Le signe moins dans cette for-mule signifie que la force mecanique generee parle ressort est oriente de sorte a s’opposer a ladeformation.Dans un cas ou un terminal de ressort est fixe,

i.e., !x2 = 0, et l’axe x1 est choisi de sorte ace que la position du terminal 1 soit dans l’ori-gine pour le ressort non-deforme, on obtient unerelation bien connue :

Fx1 = !kx1. (18)

– Un amortisseur est egalement un elementmecanique a deux terminaux mecaniques quiest le plus souvent considere dans un contexteunidimensionnel. Chaque terminal est donc ca-racterise par sa coordonnee (x1, x2). L’amor-tisseur genere une force sur chaque terminal.Ces forces sont proportionnelles a la vitesse dela deformation de l’amortisseur, et de la mememaniere, s’oppose a la deformation dynamique :

Fx1 = µ(!x2 ! !x1), (19)

Fx2 = µ(!x1 ! !x2), (20)

Comme pour le ressort, souvent un terminalde l’amortisseur est fixe. Dans ce cas, on peutnoter 3 :

Fx1 = µx1 (21)

2.7 Equivalence electromecanique

Une equivalence electromecanique est baseesur la similitude d’equations mathematiques ex-primant les lois dynamiques pour les systemeselectriques et mecaniques. Elle est resumee dansla table 1.

2.8 Resonateurs mecaniques

Un resonateur mecanique est un systeme com-pose d’une masse, d’un ressort et d’un amor-tisseur (fig. 1). Si ces trois elements sont dis-tincts, on parle d’un resonateur ”a parametreslocalises”, c.a.d., les trois proprietes fondamen-tales (l’inertie, l’elasticite et la dissipation) sontisolees et localisees dans les elements correspon-dants. Dans les resonateurs reels, ces proprietes

3. Pourquoi nous n’avons pas besoin de specifier,comme pour le cas de ressort, le choix de la position del’origine de l’axe x1 ?

µ

k

m

!fext

x

Figure 1 –

sont reparties (par ex., une corde vibrante). Dansce cours, nous ne considerons que des systemesmecaniques a parametres localises. Une force ex-terne peut s’exercer sur la masse.La dynamique d’un resonateur mecanique se

decrit par la seconde loi de Newton :

!k"x! µ"x+ "fext = m"x (22)

Ici "x est la coordonnee de la masse mobile, "fextest la force externe qui s’exerce, eventuellement,sur la masse mobile.Afin de mettre en evidence l’equivalent

electromecanique, il est interessant de re-ecrirecette equation sous la forme :

mx+ µx+ kx = fext (23)

Ici nous avons remplace les vecteurs par leursprojections sur l’axe x.Si maintenant on applique la transformee de

Laplace a deux parties de cette equation, nousobtenons :

m · p2X + µ · pX + k ·X = Fext (24)

Ici les majuscules representent les images deLaplace des grandeurs correspondants.Si maintenant on remarque que pX represente

l’image de Laplace de la vitesse V , nous pouvonsecrire :

mp · V + µ · V +k

p· V = Fext (25)

Sachant que la vitesse est equivalente au cou-rant electrique, la force est equivalente a la f.e.m.,les coe!cients devant les vitesses represententles impedances mecaniques associes aux elements

Equivalence électromécanique

•  Utilisée par les électroniciens pour comprendre les systèmes mécaniques

moving mass, thus, formally, this force produces a workon the mechanical system. If this work calculated on sometime interval (t1, t2) is negative, the electrical system ac-cumulates energy coming from the mechanical domain.In this case one says that a mechanical energy harvestingtakes place.

The goal of the mechanical energy harvesting is totransmet a maximal energy toward the electromechani-cal transducer given an external acceleration aext(t), i.e.,given an external force Fext(t) = maext(t).

From the last two paragraphes, we can formulate: theproblem of the mechancial harvesting design is to designa transducer which generates a force Ft producing themaximal average power on some time intervale (t1, t2):

P = !1

t2 ! t1

! t2

t1

!F!vdt, (4)

The solution of this problem depends on the limitingfactors of the mechanical system (e.g., the amplitude ofthe mass vibration) and particularly, the physical andtechnological constraints particular to the used electrome-chanic transducer and its conditionning electronics. Insequel we will propose an analysis allowing to answer onthis question for the case of an electrostatic transducer.

1.3 Maximizing the generated power:fundamentals

If the external acceleration is periodic, in virtue of theproperty of forced oscillations, all physical quantities ofthe system are periodic as well. Thus, the Ft force isperiodic, and in (4) the integral can be considered onlyon one period. Hence, the general problem simplifies: it isnecessary to find an optimal waveform of Ft during onlyone period.

Our study (summarized in Appendix 1) showed thatonly the fundamental harmonic of Ft contributes to theenergy generation, the higher harmonics of this force dis-sipate the energy. Thus, the optimal waveform for Ft isa sinusoid wave, with frequency f . Its optimal magni-tude and phase can easily be calculated from the elec-tromechanical analogy (cf. Appendix 2) for magnitude-constrained and unconstrained cases [].

However, these conclusions are of purely theoretical in-terest when using an electrostatic transducer, which ishighly non-linear and which impose very particular limi-tations on the waveform of Ft.

Before starting the study of the mechanical propertiesof electrostatic transducer, we state the definition of me-chanical impedance which we will use in sequel.

1.4 Electromechanical equivalence andmechanical impedance

It is well-known that linear mechanical and electrical sys-tems are described by similar mathematical formalism

mµ 1/kmaext

Zm

v(t)Ze

Fe(t)

Energy source: external vibrationsResonator

Transducer impedance

Figure 2: Equivalent electrical representation of the har-vester in the mechancial domain.

which is the theory of linear di!erential equations. Fromthe point of view of mathematics, if all quantities and con-stants of mechancial equations are substituted by theirelectrical equivalences (cf. table 1), the new equation willdescribe a corresponding equivalent electrical system.

Table 1: Summary of equivalence between mechanicaland electrical quiantities.Mechanical quantity Electrical quantity

Force, F Electromotive force, E ,equal to minus voltage, !U .

Velocity, V Current, IPosition, X Charge, Q

Mass, m Inductance, LSti!ness, k Inverse of

capacitance, 1/CDamping

coe"cient µ Resistance, R

In the case of the harvester, the system of fig. 1 isequivalent to the electric network given in fig. 2. Theforce maext is presented as an independant voltage sourcesince it is known that it does not depend on the velocity(current). The transducer is presented as a general elec-trical dipole, whose voltage (the force) depend, generally,on the displacement and thus, undirectly, on the velocity(current).

Mechanical impedance is defined equivalently to itselectrical conterpart. Hence, for any force applied on amoving point, we have:

Zf =F

V, (5)

where F is the complex magnitude of the sinusoidal force,V is the complex magnitude of the velocity of the pointof force application.

For linear elements (e.g., spring, mass), the impedanceis a complex number independent on the displacement

29

Equivalence électromécanique

•  Un résonateur mécanique est équivalent à un résonateur électrique RLC série :

30

1/kµm

fext

mechanical resonator

v

k s’appelle ”rigidite” ou ”constante de rai-deur” du ressort. Le signe moins dans cette for-mule signifie que la force mecanique generee parle ressort est oriente de sorte a s’opposer a ladeformation.

Dans un cas ou un terminal de ressort est fixe,i.e., !x2 = 0, et l’axe x1 est choisi de sorte ace que la position du terminal 1 soit dans l’ori-gine pour le ressort non-deforme, on obtient unerelation bien connue :

Fx1 = !kx1. (18)

– Un amortisseur est egalement un elementmecanique a deux terminaux mecaniques quiest le plus souvent considere dans un contexteunidimensionnel. Chaque terminal est donc ca-racterise par sa coordonnee (x1, x2). L’amor-tisseur genere une force sur chaque terminal.Ces forces sont proportionnelles a la vitesse dela deformation de l’amortisseur, et de la mememaniere, s’oppose a la deformation dynamique :

Fx1 = µ(!x2 ! !x1), (19)

Fx2 = µ(!x1 ! !x2), (20)

Comme pour le ressort, souvent un terminalde l’amortisseur est fixe. Dans ce cas, on peutnoter 3 :

Fx1 = µx1 (21)

2.7 Equivalence electromecanique

Une equivalence electromecanique est baseesur la similitude d’equations mathematiques ex-primant les lois dynamiques pour les systemeselectriques et mecaniques. Elle est resumee dansla table 1.

2.8 Resonateurs mecaniques

Un resonateur mecanique est un systeme com-pose d’une masse, d’un ressort et d’un amor-tisseur (fig. 1). Si ces trois elements sont dis-tincts, on parle d’un resonateur ”a parametreslocalises”, c.a.d., les trois proprietes fondamen-tales (l’inertie, l’elasticite et la dissipation) sontisolees et localisees dans les elements correspon-dants. Dans les resonateurs reels, ces proprietes

3. Pourquoi nous n’avons pas besoin de specifier,comme pour le cas de ressort, le choix de la position del’origine de l’axe x1 ?

µ

k

m

!fext

x

Figure 1 –

sont reparties (par ex., une corde vibrante). Dansce cours, nous ne considerons que des systemesmecaniques a parametres localises. Une force ex-terne peut s’exercer sur la masse.

La dynamique d’un resonateur mecanique sedecrit par la seconde loi de Newton :

!k"x! µ"x+ "fext = m"x (22)

Ici "x est la coordonnee de la masse mobile, "fextest la force externe qui s’exerce, eventuellement,sur la masse mobile.

Afin de mettre en evidence l’equivalentelectromecanique, il est interessant de re-ecrirecette equation sous la forme :

mx+ µx+ kx = fext (23)

Ici nous avons remplace les vecteurs par leursprojections sur l’axe x.

Si maintenant on applique la transformee deLaplace a deux parties de cette equation, nousobtenons :

m · p2X + µ · pX + k ·X = Fext (24)

Ici les majuscules representent les images deLaplace des grandeurs correspondants.

Si maintenant on remarque que pX representel’image de Laplace de la vitesse V , nous pouvonsecrire :

mp · V + µ · V +k

p· V = Fext (25)

Sachant que la vitesse est equivalente au cou-rant electrique, la force est equivalente a la f.e.m.,les coe!cients devant les vitesses represententles impedances mecaniques associes aux elements

Résonateur + transducteur

•  Un résonateur mécanique peut être associé à un transducteur électrostatique

31

µ

k u

i

m

!fext

Figure 12 –

Cela donne une condition sur la tension U0 :

U0 >

!

8kd3

27S!0(72)

Cette tension s’appelle ”Tension de pull-in”.C’est donc une tension maximale que l’on peutappliquer a un transducteur electrostatique enmouvement vertical, associe a un ressort k.

5.1 Applications

1. Calculer les constantes de raideurelectrostatique pour un transducteur capa-citif fait a partir d’une capacite plane, pour lecas de deplacement vertical et lateral.

2. Pour le condensateur avec la geometrie sui-vante : S = 1cm ! 1cm, d = 20µm et pour unressort avec k = 100N/m, calculez la tension depull-in.

5.2 Association des resonateursavec des transducteurs capaci-tifs

Lorsque l’on associe un micro-resonateur avecun transducteur, on obtient un dispositif com-plexe agissant dans le domaine electrique ainsique dans le domaine mecanique (fig. 12). Dupoint de vue de l’electronique, il s’agit d’undispositif a 2 terminaux a dynamique com-plexe. Physiquement, entre ces deux terminauxil y a une capacite variable ; mais il faut etreconscient que ce n’est pas juste une capacitevariant selon une loi connue. La variation decette capacite depend de la force externe qui agiteventuellement sur le resonateur, ainsi que de latension appliquee aux bornes de la capacites. En

e!et, la tension appliquee au transducteur genereune force sur le resonateur. Cette force est sus-ceptible de modifier la dynamique des mouve-ment du resonateur, et donc la loi de la variationde la capacite variable.

Si on ne s’interesse qu’au fonctionnement ”pe-tit signal” du systeme, on peut associer le modeleequivalent electrique du transducteur (fig. 10)avec celui d’un resonateur mecanique (un reseauRLC serie). On obtient le schema presente fig.13.

Il faut etre conscient que ce reseau electriquemodelise les phenomenes electriques etmecaniques ; la ligne de separation passepar le transformateur, comme indique sur lafigure.

Ainsi, le circuit electrique ”voit” les elementsdu resonateur, ainsi que la source de la force ex-terne, a travers le transducteur represente par letransformateur ideal associe aux deux capacitesparasites 1/kt et C0. Il est connu qu’un trans-formateur ideal fonctionne comme une ”lentille”d’impedance. En e!et, la partie electrique”voit” directement la partie mecanique,seulement, les courants (vitesses), les tensions(forces) et les impedances du cote mecaniquessont mises a l’echelle :

ix = "v, ux = "f/", Zx = "/"2. (73)

Ici, les indices x signifient que les gran-deurs correspondants sont des ”images” des pro-cessus ayant lieu dans le domaine mecanique.On nomme ces grandeurs ”courant, tension,impedance lies au deplacement”, ou motionalcurrent, voltage, impedance. Ainsi, le schemaelectrique equivalent d’un resonateur mecaniquea interface capacitive est donne sur fig. 14. Untelle configuration de resonateur est toute a faitclassique : les resonateurs piezoelectriques, parexemple, ont le meme schema equivalent. Onpeut voir, qu’un resonateur complet possede 2parasites : une capacite parallele due a la capa-cite physique du transducteur au repos, et unecapacite negative en serie avec le reseau RLC,qui modifie la valeur de la capacite serie duresonateur. Ces deux capacites produisent les ef-fets suivants :

– La capacite "2/kt modifie la frequence deresonance serie du resonateur. Puisque kt estnegative, la capacite serie equivalente Ceq x duresonateur vaut :

1

Ceq x=

kt"2

+kr"2

=1

"2(kr " |kt|) (74)

Modèle petit signal de transducteur

•  On peut montrer que pour les petits déplacements et pour un signal électrique u(t) fortement inférieur à la polarisation U0, on a un schéma équivalent suivant :

32

C0

1/kt

f

v

! · v! · u u(t)

i(t)

Figure 9 –

C0

1/kt

f

v

u

! : 1

i

Figure 10 –

de tension (force) dans le domaine mecanique, etla grandeur qui commande le courant dans le do-maine electrique est la vitesse - donc courant. Leressort est remplace par un condensateur. x estune derivee de v, et v est equivalent au courantdans la representation electrique de systemesmecaniques. Ainsi, le schema equivalent d’untransducteur est donne fig. 9.

Ce schema contient un couple de sourcescommandees. Cette topologie est connue dansla theorie de circuit comme un transformateurideal, avec rapport de nombre de spires des deuxbobines de 1 :!. Un transformateur ideal est ob-tenu a l’aide de deux bobines a facteur d’induc-tion mutuelle de 1. Cela est possible si la sectionde chaque bobine est traversees par l’integralitedu flux magnetique genere par l’autre. Un trans-formateur ideal avec rapport de nombre de spiresde 1 :N a les proprietes suivantes :

– Les tensions sur les bobines 1 et 2 se rap-portent comme 1 :N

– les courants dans les bobines 1 et 2 se rap-porte comme N :1

– Par consequent, le circuit connecte a la bo-bine 2 voit l’impedance connectee a la bobine 1divise par N, le circuit connecte a la bobine 1voit l’impedance connectee a la bobine 2 multi-plie par N,

Ainsi, on arrive au schema equivalent petit si-gnal communement admis donne fig. 10.

4 Energie de transducteur

On peut demontrer qu’un transducteur trans-met de l’energie en mode petit signal.

Soit un cas general : un transducteur est sou-mis a une tension U0+u(t), ou u(t) << U0, et lapartie mobile du transducteur se deplace avec vi-tesse v(t), de sorte a ce que le deplacement restepetit.

Dans ce cas, la partie mobile subit une forcecomposee de trois termes, selon l’equation (54).

La puissance moyenne genere par le transduc-teur est donnee comme

Pmech =1

t

! t

0f · v · dt (58)

Si u(t) et v(t) sont sinusoıdaux de memefrequence, seul le deuxieme terme de (54) (celuiproportionnel a u) donne une puissance moyennenon-nulle lorsque multiplie par v(t) :

Pmech =1

t

! t

0u(t)U0

"C(x)

"x

"

"

"

"

"

x=X0

· v(t) · dt = (59)

Pmech =1

t!

! t

0u(t)v(t) · dt = (60)

En faisant un calcul identique du coteelectrique, nous avons, pour la puissancemoyenne :

Pelec =1

t

! t

0i · U · dt = (61)

Pelec =1

t

! t

0i · (U0 + u(t)) · dt (62)

Le courant se calcule selon la formule (51). Ona :

i · U = U0C0"u(t)

"t+ U2

0"C(x)

"x

"

"

"

"

"

x=X0

v (63)

+uC0"u(t)

"t+ uU0

"C(x)

"x

"

"

"

"

"

x=X0

v (64)

Seul le dernier terme a une moyenne tem-porelle non-nulle, donc, on a pour la puissancemoyenne :

Pelec =1

t

! t

0uU0

"C(x)

"x

"

"

"

"

"

x=X0

vdt = (65)

1

t

! t

0uU0

"C(x)

"x

"

"

"

"

"

x=X0

vdt = (66)

1

t!

! t

0uv · dt = (67)

Mécanique Electrique


•  Schéma électrique équivalent petit signal (démonstration : polycopié, tableau)

33

µ

k u

i

m

!fext

Figure 12 –


U0 >

!

8kd3

27S!0(72)


5.1 Applications









ix = "v, ux = "f/", Zx = "/"2. (73)



1

Ceq x=

kt"2

+kr"2

=1

"2(kr " |kt|) (74)

Electrical domainMechanical domain

C0

1/kt

v

u

! : 1

i1/kr

µrm

fext ft


Figure 13 –

!2/kt!2/krm/!2

ex = fext/!


i

u

µr/!2

iz

ix = !v

Figure 14 – Modele electrique equivalent d’un resonateur mecanique avec transducteur capacitif.


•  Schéma électrique équivalent petit signal (démonstration : polycopié, tableau)

34

µ

k u

i

m

!fext

Figure 12 –


U0 >

!

8kd3

27S!0(72)


5.1 Applications









ix = "v, ux = "f/", Zx = "/"2. (73)



1

Ceq x=

kt"2

+kr"2

=1

"2(kr " |kt|) (74)

Electrical domainMechanical domain

C0

1/kt

v

u

! : 1

i1/kr

µrm

fext ft


Figure 13 –

!2/kt!2/krm/!2

ex = fext/!


i

u

µr/!2

iz

ix = !v

Figure 14 – Modele electrique equivalent d’un resonateur mecanique avec transducteur capacitif.

Exemples de résonateurs

35

Exemples de résonateurs

36

• 

J. R. Clark et al., 2000

Pull-In •  Un phénomène se produisant avec des

transducteurs de type « rapprochement des plans - mouvement vertical »

•  Attraction sans limite entre les plans du transducteur

•  Phénomène « en avalanche » - instabilité, contre-réaction positive

•  Utilisé pour les switches et, plus généralement, pour des commutateurs

•  Souvent indésirable 37

Analyse du phénomène de pull-in

S U0

x

k

Fe

Fm

0

d

Fm Fe

x/d

forc

e

1 0

V

équilibre instable

équilibre stable

1/3

38

Upull−in =8kd 3

27Sε0Démonstration : tableau, polycopié

Utilisation du phénomène de pull-in Moteur électrostatique (thèse D. Galayko)

39

Utilisation du phénomène de pull-in Moteur électrostatique (thèse D. Galayko)

40

Utilisation du phénomène de pull-in

Scratch Drive Actuator

41

Utilisation du phénomène de pull-in

Application de Scratch Drive Actuator : microrobot (P. Basset, 2003)

42

Transducteurs électrostatiques : applications

•  Exemple de transducteur électrostatique en mouvement vertical : interrupteur

Motorola

43

Pull-in et transducteur •  Exemple de transducteur électrostatique en

mouvement latéral : micromiroir autoassemblé (E. Quévy et al., 200

44 Vidéo : http://masters2-mnt-tac.univ-lille1.fr/videos/copiedevideo3.htm

Question TD/TP

•  Soit un transducteur ayant la géométrie suivante :

U

k

x

0

-d

d

Trouvez : - l expression pour la fonction C(x) - l expression pour δ, kt, Vpi

Comparez avec le transducteur capacitif plan simple

Modéliser en VHDL-AMS 45

Transducteur électrostatque UE MEMS Cours 1: …galayko/MEMS/cours1-electrostatique.pptx.pdf ·...

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