Introduction aux probabilités

Expérience aléatoire

Si l’on énumère tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire, on constitue un ensemble appelé l’univers des possibles et noté Ω ( oméga ).

Exemple 1 :

Lorsque l’on observe la couleur d’une bille tirée au hasard d’un sac de billes, contenant des billes bleues, rouges et jaunes, l’univers des résultats possibles est :

Ω = bleue, rouge, jaune

Une expérience est dite aléatoire si son résultat dépend du hasardc’est-à-dire qu’on ne peut pas prédire avec certitude le résultat del’expérience.

Lors du lancer d’un dé à six faces numérotées de 1 à 6,l’univers des résultats possibles est :

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Exemple 2 :

Événement

Un événement est un sous-ensemble de l’univers des résultats possibles.

Exemple 1 :

Lors de la pige d’une carte dans un jeu de 52 cartes, « obtenir une dame » est un événement et correspond à:

dame de coeur, dame de pique, dame de carreau, dame de trèfle

Lors du lancer d’une pièce de monnaie, « obtenir pile » est unévénement élémentaire, car il représente un seul résultat, soit pile, de l’univers des résultats possibles.

Exemple 2 :

nombre de cas favorables

nombre de cas favorables

Calcul de la probabilité d’un événement

La probabilité d’un événement se calcule comme suit:

P(événement) = nombre de cas possibles

Exemple :

P(cœur) =nombre de cas possibles 52

13

Quelle est la probabilité de « choisir une carte de cœur » ?

=

Lors de la pige d’une carte dans un jeu de 52 cartes.

4

1=

On a donc 1 chance sur 4 de piger une carte de cœur .

Remarque: Une probabilité peut être exprimée sous la forme d’une fraction, d’un nombre décimal ou d’un pourcentage.

4

1= 0,25 = 25 %

Calcul de la probabilité d’un événement

La probabilité d’un événement composé de plusieurs événements est égale à la somme des probabilités de chacun de ces événements.

Exemple :

P(cœur ou trèfle) = P(cœur) + P(trèfle)

52

13

52

13+

52

26=

Quelle est la probabilité de « choisir une carte de cœur » ou de « choisir une carte trèfle » ?

Lors de la pige d’une carte dans un jeu de 52 cartes.

2

1=

On a donc 1 chance sur 2 de piger une carte de cœur ou une carte de trèfle.

Exemple 2 :

P(rouge ou noire) = P(rouge) + P(noire)

52

26

52

26+

52

52=

Quelle est la probabilité de « choisir une carte rouge » ou de « choisir une carte noire » ?

Lors de la pige d’une carte dans un jeu de 52 cartes.

1=

C’est un événement certain.

Remarque: La probabilité d’un évènement est toujours comprise entre 0 et 1.

Lorsque la somme des probabilités de deux évènements est égale à 1, alors les deux évènements sont dits complémentaires.

Exemple 3

On lance 2 dés semblables. On voudrait connaître la probabilité « d’obtenir une somme de 7 ».

Pour faciliter le dénombrement, construisons une table de résultats.

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9

5 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12

Nombre de cas possibles:

6 X 6 = 36

Nombre de cas favorables: 6

P (obtenir une somme de 7) :

nombre de cas favorables

nombre de cas possibles

6

36=

1

6=

+

P (obtenir une somme de 7) :1

6

Nombre de cas favorables

nombre de cas favorables

Probabilité théorique

La probabilité théorique d’un événement est un nombre qui quantifie la possibilité que cet événement se produise. Ce nombre est déterminé uniquement à l’aide d’un raisonnement mathématique. Dans le cas où tous les résultats sont équiprobables, on peut calculer la probabilité théorique d’un événement de la façon suivante.

Probabilité théorique = nombre de cas possibles

Lorsqu’on tire une bille d’un sac contenant 4 billes vertes, 5 billes blanches et 3 billes orange, la probabilité théorique de l’événement « obtenir une bille blanche » se calcule comme suit :

Probabilité théorique = Nombre de cas possibles 12

5=

P(obtenir une bille blanche) = 12

5

nombre de fois que le résultat attendu s’est réalisé

Probabilité fréquentielle

La probabilité fréquentielle d’un événement est obtenue à la suite d’une expérimentation. Elle est souvent utilisée lorsque la probabilité théorique est impossible à calculer.

Probabilité fréquentielle nombre de fois que l’expérience a été répétée

Dans une usine fabriquant des engrenages, on constate qu’à toutes les mille pièces usinées deux sont défectueuses.

=

Probabilité fréquentielle: 2

1 000= 0,002 = 0,2 %

Exemple 1:

Exemple 2:

On sait que la probabilité théorique « d’obtenir pile » est de 1/2 .

Pour s’amuser, on lance une pièce de monnaie 1 000 fois, on obtient alors 650 fois le côté « pile ».

Probabilité fréquentielle: 650

1 000= 0,650 = 65 %

On peut alors présumer que la pièce de monnaie est truquée.

Dans le cas d’une probabilité fréquentielle, plus le nombre de répétitions est grand, plus on a de chances que la probabilité fréquentielle se rapproche de la probabilité théorique.

Cette constatation que l’on fait dans les expériences aléatoires est appelée la loi des grands nombres.

Probabilité subjective

La probabilité subjective qu’un événement se produise est attribuée selon le jugement ou la perception d’une personne possédant un certain ensemble de renseignements sur la situation ou l’expérience aléatoire.

On annonce 75 % de probabilité d’averses de neige pour demain.

Chances pour

Chance pour nombre de résultats favorables possibles

nombre de résultats défavorables possibles=

Les chances pour une victoire de l’équipe locale à un tournoi sont de 3 : 2. Cela signifie que l’équipe locale a 3 chances de gagner et 2 chances de perdre.

=2

3

Probabilité nombre de résultats favorables possibles

nombre de résultats favorables possibles +nombre de résultats défavorables possibles

==

3+2

3

5

3=

Chances contre

Les chances contre un joueur ou une joueuse qui mise sur « 0 » à la roulette sont de 36 : 1. Cela signifie que le joueur ou la joueuse a 36 chances de perdre et 1 chance de gagner.

Chance contre nombre de résultats défavorables possibles

nombre de résultats favorables possibles= =

1

36

Probabilité nombre de résultats défavorables possibles

nombre de résultats défavorables possibles +nombre de résultats favorables possibles

= =36+1

36=

37

36

Les paris sportifs utilisent cette façon de calculer afin de déterminer les gains ou les pertes des parieurs.

Exemple: Les chances favorisant une victoire de l’équipe locale de soccer au prochain match sont de 5 : 4.

On voudrait connaître la somme d’argent que pourrait gagner une personne qui parie 10,00 $ pour l’équipe locale.

Il s’agit simplement de construire une proportion.

chances pour :

chances contre :

mise

somme à gagner=

5

4=

10 $

xx = 8 $

La somme à gagner est donc de 8,00 $.

La somme totale remise: somme gagnée + somme initiale = 8 + 10 = 18,00 $.

Les chances favorisant une victoire de l’équipe locale de soccer au prochain match sont de 5 : 4.

On voudrait connaître la somme d’argent que pourrait gagner une personne qui parie 10,00 $ contre l’équipe locale.

x = 12,50 $

La somme à gagner est donc de 12,50 $.

La somme totale remise: somme gagnée + somme initiale

4 = 10 $

x5

chances pour :

chances contre : mise

somme à gagner=

12,50 + 10,00 = 22,50 $

Aux courses, un cheval est coté à 8 contre 1 pour l’emporter. Quelle somme recevra-t-on si on mise 20,00$ que ce cheval gagne la course ?

Attention: Une cote de 8 contre 1 indique les chances contre;

donc 8 chances contre et 1 chance pour.

chances pour

chances contre

mise

somme à gagner=

1

8=

20 $

xx = 160 $

La somme à gagner est donc de 160,00 $.

La somme totale remise: somme gagnée + somme initiale =

160 + 20 = 180,00 $