Calcul de probabilités

Expérience aléatoire à plusieurs étapes

( exemple : 2 tirages )

Calcul de la probabilité d’expérience aléatoire

Dans une expérience aléatoire à plusieurs étapes, la probabilité d’un événement est égale au produit des probabilités de chacun des événements intermédiaires qui forment cet événement.

Deux événements peuvent être indépendants :

C’est-à-dire que la réalisation de l’un n’influence pas la probabilité de réalisation de l’autre.

À la loto, le résultat de l’extra est 7 numéros provenant de 7 bouliers contenant chacun des boules numérotées de 0 à 9.

Deux événements peuvent être dépendants :

C’est-à-dire que la réalisation de l’un influence la probabilité de réalisation de l’autre.

La lotto 6/49 est un bon exemple.

Après le premier tirage, on ne remet pas la boule dans le boulier et on fait le deuxième tirage. Ainsi de suite pour les 6 numéros.

Regardons la différence entre ces deux évènements et regardons également comment calculer leurs probabilités en utilisant un arbre de probabilités.

Arbre de dénombrement et arbre de probabilités

L’arbre de probabilités est obtenu à partir de l’arbre de dénombrement.

Exemple:

On lance deux fois de suite une pièce de monnaie, on voudrait connaître la probabilité d’obtenir 2 fois « pile ».

1er lancer 2e lancerArbre de dénombrement

P , P

P , F

F , P

F , F

pièce

P

F

F

P

P

F

résultats

pièce

1er lancer 2e lancer

P

F

F

P

1

21

2

1

2

1

2

P

F

1

21

2

1

4

1

4

1

4

1

4

Arbres de probabilités

probabilités

Il y a une chance sur deux d’obtenir pile.

L’arbre de probabilités est comme un arbre de dénombrement sur lequel on inscrit la probabilité de chaque possibilité.

P , P

P , F

F , P

F , F

pièce

P

F

F

P

P

F

Arbre de dénombrement

Il y a 4 résultats possibles.

Chaque résultat a 1 chance sur 4 de se produire.

Arbres de probabilités

pièce

1er lancer 2e lancer

P

F

F

P

1

21

2

1

2

1

2

P

F

1

21

2

1

4

1

4

1

4

1

4

probabilités

L’arbre de probabilités permet de calculer directement la probabilité de chaque résultat.

Arbres de probabilités

pièce

1er lancer 2e lancer

P

F

F

P

1

21

2

1

2

1

2

P

F

1

21

2

1

4

1

4

1

4

1

4

probabilités

La probabilité d’obtenir « pile » suivi de « face » se calcule comme suit:

P( pile suivi de face ) = P(A) X P(B) =

A : obtenir pile

B : obtenir face

1

2

1

2X =

1

4

P ( A ∩ B ) = P(A) X P(B) =1

2

1

2X =

1

4

Probabilités de deux évènements indépendants.

Dans une expérience aléatoire à deux étapes, deux évènements sont dits indépendants si la première étape n’influence pas la deuxième.

Exemple:

On tire 2 billes d’une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues.Après le premier tirage, on remet la boule dans l’urne.

Le deuxième tirage ne sera donc pas influencé par le premier, puisqu’on remet la boule, obtenue au premier, tirage dans l’urne.

Regardons à l’aide de l’arbre de probabilités, cette situation.

Exemple : On tire 2 billes d’une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. Quelle est la probabilité de piger une bille rouge suivi d’une bille bleue si on remet la boule dans l’urne ?

R

B

R

B

R

B

3/10

7/10

3/10

7/10

3/10

7/10

(R,R)

(R,B)

(B,R)

(B,B)

3/10 X 3/10 = 9/100

3/10 X 7/10 = 21/100

7/10 X 3/10 = 21/100

7/10 X 7/10 = 49/100

1ère pige 2e pige Résultat Probabilité

Avec la formule:

P( rouge suivi bleue ) = P (R ∩ B ) = P(R) X P(B) =3

10X =

7

10

21

100

Probabilité de deux évènements indépendants.

Traçons l’arbre de probabilité de cette expérience aléatoire.

R : obtenir une bille rouge. B : obtenir une bille bleue.

Probabilités de deux évènements dépendants.

Dans une expérience aléatoire à deux étapes, deux évènements sont dits dépendants si la première étape influence la deuxième.

Exemple:

On tire 2 billes d’une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues.Après le premier tirage, on ne remet pas la boule dans l’urne.

Le deuxième tirage sera donc influencé par le fait que l’on ne remet pas la boule obtenue au premier tirage.

Le deuxième tirage est donc influencé par le premier.

Regardons à l’aide de l’arbre de probabilités, cette situation.

L’arbre de probabilités ( sans remise )

R

B

R

B

R

B

3/10

7/10

2/9

7/9

3/9

6/9

(R,R)

(R,B)

(B,R)

(B,B)

3/10 X 2/9 = 6/90

3/10 X 7/9 = 21/90

7/10 X 3/9 = 21/90

7/10 X 6/9 = 42/90

1ère pige 2e pige Résultat Probabilité

On tire 2 billes d’une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues.Après le premier tirage, on ne remet pas la boule dans l’urne. Quelle est la probabilité de tirer 1 bille rouge suivi d’une bille bleue ?

R : obtenir une bille rouge. B : obtenir une bille bleue.

Il ne reste que 9 boules dans l’urne.

Réponse: 21/90

L’arbre de probabilités ( sans remise )

R

B

R

B

R

B

3/10

7/10

2/9

7/9

3/9

6/9

(R,R)

(R,B)

(B,R)

(B,B)

3/10 X 2/9 = 6/90

3/10 X 7/9 = 21/90

7/10 X 3/9 = 21/90

7/10 X 6/9 = 42/90

1ère pige 2e pige Résultat Probabilité

P ( R ∩ B) = P(R) X P(B I R)

Ici, il faut lire : la probabilité de tirer une bille bleue étant donné le tirage sans remise de la bille rouge :

P ( R ∩ B) = P(R) X P(B I R)

P ( R ∩ B) =3

10

7

9X =

21

90

Avec la formule:

S’il n’y a pas de remise de la bille dans l’urne (Sans remise) :

10

3

=

9

2x90

6=15

1=

On n’a pas remis la première bille dans l’urne.

On tire 2 billes d’une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. La probabilité de l’événement « tirer successivement 2 billes rouges » se note :

P(Rouge suivie de Rouge) = P(Rouge) x P(Rouge)

S’il y a remise de la bille dans l’urne (Avec remise) :

10

3

=

10

3x100

9=

P(Rouge suivie de Rouge) = P(Rouge) x P(Rouge Rouge)

Exemple : Lors d’une expérience aléatoire, on lance successivement une pièce de monnaie et un dé.

P

F

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1/2

1/2

1/61/61/6

1/61/61/6

1/6

1/61/61/61/61/6

(P,1)

(P,2)

(P,3)

(P,4)

(P,5)

(P,6)

(F,1)

(F,2)

(F,3)

(F,4)

(F,5)

(F,6)

1/2 X 1/6 = 1/12

1/2 X 1/6 = 1/12

1/2 X 1/6 = 1/12

1/2 X 1/6 = 1/12

1/2 X 1/6 = 1/12

1/2 X 1/6 = 1/12

1/2 X 1/6 = 1/12

1/2 X 1/6 = 1/12

1/2 X 1/6 = 1/12

1/2 X 1/6 = 1/12

1/2 X 1/6 = 1/12

1/2 X 1/6 = 1/12

1er lancer 2e lancer Résultat Probabilité

Les deux évènements sont indépendants donc:

P(A ∩ B ) = P(A) X P(B)

A : obtenir pile B : obtenir le nombre 4

Quelle est la probabilité d’obtenir pile suivi du nombre 4 ?

P(A ∩ B ) =1

2

1

6X =

1

12

Remarque: On voit parfois écrit P(A ∩ B ) comme ceci P(A , B).

Avec la formule:

Lors d’une expérience à 2 étapes, la probabilité d’obtenir un à la suite de l’autre deux évènements indépendants se calcule par :

P(A ∩ B ) = P(A) X P(B)

Lors d’une expérience à 2 étapes, la probabilité d’obtenir un à la suite de l’autre deux évènements dépendants se calcule par :

P ( A ∩ B) = P(A) X P(B I A)

Un sac contient 8 billes de même format: 3 sont bleues, 4 sont vertes et 1 est jaune. On réalise l’expérience aléatoire suivante: tirer 2 billes avec remise.

Quelle est la probabilité de tirer 2 billes de la même couleur ?

P(B) = 3/8 P(V) = 4/8 P(J) = 1/8

P( tirer deux billes de même couleur) :

P(B ∩ B) + P(V ∩ V) + P(J ∩ J) =

+3

8

3

8X +

4

8

4

8X =

1

8

1

8X

9

64

16

64

1

64+ + = 26

64= 13

32

Ici, il faut comprendre tirer 2 billes bleues ou 2 billes vertes ou 1 bille jaune.