Introduction aux Equations aux D eriv ees Partielles...

Introduction aux Equations aux DeriveesPartielles, analyse de Fourier et introduction

aux distributions

Cours pour les etudiants de l’ENS de Bucarestpar B. Helffer

a partir de textes etablis par Thierry RamondDepartement de Mathematiques

Universite Paris-Sud

Version pour la Roumanie de Fevrier 2014

Table des matieres

1 Qu’est-ce qu’une EDP ? 131.1 Equations differentielles ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Equations aux Derivees Partielles . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.1 Derivees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.2 EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Premieres EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.1 Exemple 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.2 Exemple 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.3 Exemple 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 Discussion sur la notion de probleme bien pose . . . . . . . . . 191.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.1 Equations differentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.2 EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 EDP lineaires du premier ordre 232.1 Differentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1 Differentiabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.2 Differentielle et derivees partielles . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Les equations de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Equations a coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.1 Methode des caracteristiques . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.2 Methode du changement de variables . . . . . . . . . . 30

2.4 Equations a coefficients variables . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.1 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.2 Un probleme de Cauchy pour l’equation (2.9) . . . . . 32

2.5 Un exemple d’equation non-lineaire : Equation de Burgers . . 332.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6.1 Differentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6.2 EDP du premier ordre a coefficients constants . . . . . 362.6.3 Courbes integrales de champs de vecteurs . . . . . . . . 37

3

4 TABLE DES MATIERES

2.6.4 EDP du premier ordre a coefficients non-constants . . . 37

3 L’equation des ondes sur un axe 39

3.1 Le modele physique : cordes vibrantes . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Solutions de l’equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.1 Solution generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.2 La formule de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Causalite et conservation de l’energie . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.1 Vitesse de propagation finie . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.2 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.1 Ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Extrema 47

4.1 Fonctions d’une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2 Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5 L’equation de Laplace 53

5.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2 Principe du Maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3 Proprietes d’invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.4 Le Laplacien en coordonnees polaires . . . . . . . . . . . . . . 57

5.5 Solutions particulieres : separation des variables . . . . . . . . 59

5.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.6.1 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.6.2 Le principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6 L’equation de la chaleur sur un axe 63

6.1 Le modele physique : la loi de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2 Le principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.3 Fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.3.1 Invariances de l’equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.3.2 Une solution particuliere . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.3.3 La solution et ses proprietes . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.4.1 Avec le principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . 72

6.4.2 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.4.3 Fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

TABLE DES MATIERES 5

7 Rappels sur les series de Fourier 777.1 Series trigonometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.1.1 Applications periodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.1.2 Series trigonometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.2 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.2.1 Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.2.2 Series de Fourier. Cas des fonctions regulieres . . . . . 81

7.3 Theoreme de convergence simple de Dirichlet . . . . . . . . . . 83

8 Notions hilbertiennes 878.1 Espace vectoriel norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.1.1 Norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.1.2 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8.2 Espaces prehilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.2.1 Produit scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.2.2 Inegalite de Cauchy-Schwarz. . . . . . . . . . . . . . . 898.2.3 Norme prehilbertienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8.3 Orthogonalite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.3.1 Quelques definitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.3.2 Le procede d’orthogonalisation de Gram-Schmidt. . . . 908.3.3 Expression du produit scalaire dans une base ortho-

normee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.4 Espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.4.1 L’espace `2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.4.2 Definition d’un espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . 918.4.3 Convergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.5 Theoreme de la projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . 928.6 Convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . 938.7 Theorie hilbertienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9 Transformation de Fourier 999.1 Transformee de Fourier L1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999.2 L’espace S(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9.2.1 Definitions, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009.2.2 Convergence des suites et theoremes de densite . . . . 101

9.3 Transformation de Fourier dans S(Rn) . . . . . . . . . . . . . 1039.3.1 Definitions, premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . 1039.3.2 Gaussiennes (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059.3.3 Formule d’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069.3.4 Formule de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.3.5 Convolution et transformation de Fourier dans S(Rn) . 108


9.4 Transformee de Fourier L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.5 Retour a l’equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . 110

10 Distributions temperees 11310.1 Les distributions temperees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

10.1.1 Definition, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11310.1.2 Convergence dans S ′(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

10.2 Transformation de Fourier dans S ′(Rn) . . . . . . . . . . . . . 11610.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11610.2.2 Gaussiennes (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

11 Distributions 11911.1 Definitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

11.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11911.1.2 Les fonctions localement integrables definissent des dis-

tributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12111.1.3 Masse de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12211.1.4 Valeur principale de 1/x . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

11.2 Ordre d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12311.2.1 Definition, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12311.2.2 Les distributions positives . . . . . . . . . . . . . . . . 125

11.3 Premieres operations sur les distributions . . . . . . . . . . . . 12511.3.1 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12611.3.2 Produit par une fonction C∞ . . . . . . . . . . . . . . . 128

11.4 Support d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13111.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13111.4.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13211.4.3 Distributions a support compact . . . . . . . . . . . . . 13311.4.4 Distributions supportees en un point . . . . . . . . . . 135

11.5 Suites de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13811.5.1 Convergence, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13811.5.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

11.6 Distributions periodiques sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . 13911.6.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13911.6.2 Serie de Fourier d’une distribution periodique . . . . . 140

12 Espaces de Sobolev 14512.1 Espaces de Sobolev sur Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

12.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14512.1.2 Densite des fonctions regulieres . . . . . . . . . . . . . 14712.1.3 Multiplicateurs de Hs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

TABLE DES MATIERES 7

12.1.4 Injections de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15012.1.5 Dualite Hs(Rn)/H−s(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . 15212.1.6 Trace d’un element de Hs(Rn), s > 1/2 . . . . . . . . . 153

12.2 Espaces de Sobolev sur Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15512.2.1 Espaces de Sobolev d’ordre entier sur Rn . . . . . . . . 15512.2.2 Espaces de Sobolev d’ordre entier sur Ω . . . . . . . . 15612.2.3 L’inegalite de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15812.2.4 Le probleme de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

12.3 Regularite du probleme de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 162

Avant-Propos pour la premierepartie

Notre comprehension des phenomenes du monde reel et notre technolo-gie sont aujourd’hui en grande partie basees sur les equations aux deriveespartielles, qui seront notees en abrege EDP dans la suite. C’est en effet gracea la modelisation de ces phenomenes au travers d’EDP que l’on a pu com-prendre le role de tel ou tel parametre, et surtout obtenir des previsionsparfois extremement precises. L’etude mathematique des EDP nous a aussiappris a faire preuve d’un peu de modestie : on a decouvert l’impossibilitede prevoir a moyen terme certains phenomenes gouvernes par des EDP non-lineaires - pensez au desormais celebre effet papillon : une petite variationdes conditions initiales peut en temps tres long conduire a des tres grandesvariations. D’un autre cote, on a aussi appris a ”entendre la forme d’un tam-bour” : on a demontre mathematiquement que les frequences emises par untambour lors de la vibration de la membrane - un phenomene decrit par uneEDP, permettent de reconstituer parfaitement la forme du tambour.

L’une des choses qu’il faut avoir a l’esprit a propos des EDP, c’est qu’iln’est en general pas question d’obtenir leurs solutions explicitement ! Ce queles mathematiques peuvent faire par contre, c’est dire si une ou plusieurssolutions existent, et decrire parfois tres precisement certaines proprietes deces solutions.

L’apparition d’ordinateurs extremement puissants permet neanmoins au-jourd’hui d’obtenir des solutions approchees pour des equations aux deriveespartielles, meme tres compliquees. C’est ce qui s’est passe par exemple lorsquevous regardez les previsions meteorologiques, ou bien lorsque vous voyez lesimages animes d’une simulation d’ecoulement d’air sur l’aile d’un avion. Lerole des mathematiciens est alors de construire des schemas d’approximation,et de demontrer la pertinence des simulations en etablissant des estimationsa priori sur les erreurs commises.

Quand sont apparues les EDP ? Elles ont ete probablement formuleespour la premiere fois lors de la naissance de la mecanique rationnelle au cours

9


du 17eme siecle (Newton, Leibniz...). Ensuite le ”catalogue” des EDP s’estenrichi au fur et a mesure du developpement des sciences et en particulier dela physique. S’il ne faut retenir que quelques noms, on se doit de citer celuid’Euler, puis ceux de Navier et Stokes, pour les equations de la mecanique desfluides, ceux de Fourier pour l’equation de la chaleur, de Maxwell pour cellesde l’electromagnetisme, de Schrodinger et Heisenberg pour les equations dela mecanique quantique, et bien sur de Einstein pour les EDP de la theoriede la relativite.

Cependant l’etude systematique des EDP est bien plus recente, et c’estseulement au cours du 20eme siecle que les mathematiciens ont commence adevelopper l’arsenal necessaire. Un pas de geant a ete accompli par L. Schwartzlorsqu’il a fait naıtre la theorie des distributions (autour des annees 1950), etun progres au moins comparable est du a L. Hormander pour la mise au pointdu calcul pseudodifferentiel (au debut des annees 1970). Il est certainementbon d’avoir a l’esprit que l’etude des EDP reste un domaine de recherche tresactif en ce debut de 21eme siecle. D’ailleurs ces recherches n’ont pas seulementun retentissement dans les sciences appliquees, mais jouent aussi un role tresimportant dans le developpement actuel des mathematiques elles-memes, ala fois en geometrie et en analyse.

Venons-en aux objectifs de cette premiere partie du cours. On souhaiteque les etudiants prennent contact avec les EDP et quelques unes des methodeset des problematiques qui s’y rattachent. De ce point de vue relativementelementaire ou l’on se place, les EDP constituent un terrain de jeu (derecreation) extremement riche et vaste. Nous esperons revenir a certains as-pects plus delicats, une fois definies les distributions en Partie III.

Le contenu de la premiere partie du cours est tres largement inspire dulivre de W.A. Strauss : Partial Differential Equations : An Introduction, JohnWiley, 1992.Une presentation plus detaillee est donnee dans le livre d’Evans.

Cette presentation des EDP est aussi l’occasion de mettre en action cer-tains outils mathematiques : elements sur les equations differentielles ordi-naires, calcul differentiel des fonctions de plusieurs variables reelles, fonctionsdefinies par des integrales generalisees, series de Fourier...

La redaction a initialement ete preparee dans sa premiere partie pour deseleves de seconde annee d’universite. Ceci explique que parfois les exercicesproposes sont trop simples et que l’on rappelle beaucoup de resultats connus.Les deuxiemes et troisiemes parties sont en general de niveau troisieme annee,voir de quatrieme annee. Nous n’avons pas eu le temps dans ce cours de 24heures de parler de la convolution des distributions.

Part I : Introduction aux EDP

11

Chapitre 1

Qu’est-ce qu’une EDP ?

1.1 Equations differentielles ordinaires

Pour fixer les idees, on rappelle d’abord quelques notions a propos des equa-tions differentielles ordinaires (EDO). Une equation differentielle est une re-lation du type

F (x, u(x), u′(x), u′′(x), . . . , u(n)(x)) = 0 , (1.1)

entre la variable x ∈ R et les derivees de la fonction inconnue u au point x.La fonction F est une fonction de plusieurs variables (x, y) 7→ F (x, y) ou xest dans R (ou parfois dans un intervalle de R) et y = (y0, . . . , yn) est dansRn.L’exemple le plus simple est celui du mouvement d’un corps (identifie) a unpoint sur la droite. La variable x correspond alors au temps et le mouvementest decrit par l’equation :

u′′(x) = f(u(x)) , (1.2)

(c’est la celebre formule ~F = mγ, ou γ est l’acceleration).La fonction F qui intervient est ici la fonction

(x, y0, y1, y2) 7→ F (x, y0, y1, y2) = y2 − f(y0) .

On note que la fonction F ne depend pas de x et de y1.

Lorsque f(y) = −v′(y) pour une fonction v continument derivable, on peutmontrer, en derivant par rapport a x, la fonction “energie” :

x 7→ 1

2u′(x)2 + v(u(x)) ,

13

14 CHAPITRE 1. QU’EST-CE QU’UNE EDP ?

avec u solution de (1.2), que celle-ci est constante au cours du temps :

1

2u′(x)2 + v(u(x)) = E0 ,

ou E0 est calculee par la valeur de l’energie au temps initial x0.On obtient une nouvelle equation (plus facile a resoudre) qui a la formeci-dessus avec cette fois-ci :

F (x, y0, y1) :=1

2y2

1 + v(y0) .

Un autre exemple classique est celui des EDO lineaires a coefficients constants,qui s’ecrivent formellement

anu(n)(x) + an−1u

(n−1)(x) + . . .+ a1u′(x) + a0u(x) = f(x), (1.3)

ou f est une fonction donnee. On parle d’equation lineaire homogene lorsquef = 0. L’ordre d’une EDO est le plus grand ordre de derivation qui apparaitdans l’equation - ici n.

Remarque 1.1.1 On peut bien sur ecrire (1.3) sous la forme (1.1). Onverifiera que la fonction

R× Rn+1 3 (x, y) 7→ F (x, y0, y2, . . . , yn) =n∑j=0

ajyj − f(x)

repond a la question.

Resoudre une EDO, c’est trouver un intervalle ouvert I ⊂ R et une fonctionu definie sur I, suffisamment derivable sur cet intervalle, et telle que pourtout x ∈ I, la relation (1.1) a lieu.

On se convainquera rapidement que seule la connaissance de la fonction etde certaines de ses derivees en un point permettra d’identifier une solutionbien precise (probleme de l’unicite).

1.2 Equations aux Derivees Partielles

Le caractere particulier d’une equation aux derivees partielles (EDP) est demettre en jeu des fonctions de plusieurs variables

(x, y, . . .) 7→ u(x, y, . . .).

Une EDP est alors une relation entre les variables et les derivees partiellesde u.

1.2. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES 15

1.2.1 Derivees partielles

On se limite pour les enonces au cas de fonctions de deux variables, mais lesnotions qui suivent se generalisent facilement aux fonctions de n variablesreelles, ou n est un entier quelconque (superieur a 2). Pour le moment, nousn’examinons que les proprietes des applications partielles associees a une tellefonction f .

Definition 1.2.1Soit f : R2 → R et (x0, y0) ∈ R2. On appelle applications partielles associeesa f en (x0, y0), les deux applications de R dans R obtenues en figeant l’unedes variables :

f1 : x 7→ f1(x) := f(x, y0) et f2 : y 7→ f2(y) := f(x0, y)

La notion de derivee partielle de f en un point (x0, y0) est alors particu-lierement simple : il s’agit des derivees des applications partielles associees af en (x0, y0).

Definition 1.2.2Soit Ω =]a, b[×]c, d[ dans R2, et f : Ω ⊂ R2 → R une application. Soit(x0, y0) ∈ Ω, et f1 :]a, b[→ R l’application definie par

f1(x) = f(x, y0).

On dit que f admet une derivee partielle par rapport a la premiere va-riable en (x0, y0) lorsque f1 est derivable en x0. On note ∂1f(x0, y0) ou encore∂xf(x0, y0) le nombre f ′1(x0).De la meme maniere, si elle existe, on note ∂2f(x0, y0) la derivee partielle def par rapport a la deuxieme variable en (x0, y0).

On definit ensuite par recurrence les derivees partielles d’ordre superieur. Parexemple ∂2

xxu(x0, y0) designe en fait ∂x(∂xu)(x0, y0), c’est a dire la deriveepartielle par rapport a la premiere variable en (x0, y0) de la fonction de R2

dans R, (x, y) 7→ ∂xu(x, y).

Exercice 1.2.3Calculer ∂2

xxu(x0, y0), ∂2yyu(x0, y0), ∂2

xyu(x0, y0), ∂2yxu(x0, y0) et ∂2

xyxu(x0, y0),pour les trois premieres fonctions de l’exercice precedent.

On observe dans l’exercice que ∂2xyu = ∂2

yxu. On donnera plus tard des condi-tions suffisantes pour que ce soit le cas. Retenons pour l’instant que lorsquela fonction est suffisamment “gentille”(par exemple si toutes les derivees par-tielles sont continues) le resultat d’une succession de derivees partielles nedepend pas de l’ordre dans lequel on les fait.


1.2.2 EDP

Dans le cas de deux variables, une EDP d’ordre 1 s’ecrit

F (x, y, u(x, y), ∂xu(x, y), ∂yu(x, y)) = 0. (1.4)

et une equation du second ordre’ecrit

F (x, y, u(x, y), ∂xu(x, y), ∂yu(x, y),

∂2xu(x, y), ∂x∂yu(x, y) = 0 .

(1.5)

Plus generalement, on peut considerer des equations mettant en jeu desderivees ∂

mjx ∂

njy u. L’ordre d’une EDP est alors le plus grand ordre de derivation

mj + nj qui apparaıt dans l’equation.Resoudre une EDP dans un domaine Ω de Rd (d est le nombre de variables),c’est trouver une fonction suffisamment differentiable dans Ω (voir le Chapitre2), telle que la relation (1.4) soit satisfaite pour toutes les valeurs des variablesdans Ω.Voici quelques exemples, tres simples a priori, d’EDP a deux variables. Cer-taines de ces EDP modelisent l’evolution au cours du temps de certainssystemes, et il est d’usage de garder la notation t pour la variable temps.

1. ∂tu(t, x) + c∂xu(t, x) = 0 (une equation de transport) ; (Etudier s’ilexiste des solutions de la forme g(x− at) avec g de classe C1).

2. ∂tu(t, x) + u(t, x)∂xu(t, x) = 0 (une equation d’onde de choc) ;

3. ∂x∂yu(x, y) = 0 (variante de l’equation des ondes) ;

4. ∂2xxu(x, y) + ∂2

yyu(x, y) = 0 (l’equation de Laplace) ;

5. ∂2ttu(t, x) = ∂2

xxu(t, x) (l’equation des ondes ou des cordes vibrantes).

Comme pour les EDO, on parle d’EDP lineaires ou non-lineaires. Dans laliste ci-dessus, seule l’equation 3. est non-lineaire. Pour mieux comprendrede quoi il s’agit, il est commode de parler de l’operateur aux derivees partiellesassocie a une EDP. Il s’agit de l’application qui a une fonction u associe lemembre de gauche de l’EDP. Par exemple l’operateur associee a l’equation 1.est P1 : u 7→ ∂xu+∂yu, celui associee a l’equation (3) est P3 : u 7→ ∂xu+u∂yu.On dit que l’EDP est lineaire lorsque l’operateur P qui lui est associe l’est,c’est a dire que, pour toutes fonctions u, v “gentilles” et

∀α, β ∈ R, P (αu+ βv) = αP (u) + βP (v) . (1.6)

C’est bien le cas pour P1, et il est tres simple de verifier que P3(αu) 6= αP3(u)en general.

1.3. PREMIERES EDP 17

D’autre part on parle egalement d’EDP lineaire homogene lorsque la fonctionnulle u = 0 est solution. En d’autres termes tous les termes de l’equationcontiennent la fonction inconnue ou l’une de ses derivees partielles. Toutesles equations lineaires ci-dessus sont homogenes, alors que l’EDP

∂2xxu+ ∂2

yyu = f(x, y) (1.7)

ne l’est pas ! Notons que l’operateur aux derivees partielles associe a (1.7) estP5 = ∂2

xx + ∂2yy comme pour l’equation 5. ci-dessus.

Comme pour les EDO, les EDP lineaires homogenes ont une propriete parti-culiere, communement appele principe de superposition : toute combinaisonlineaire de solutions est encore une solution. Enfin lorsque l’on ajoute a unesolution d’une EDP lineaire inhomogene une solution quelconque de l’EDPhomogene associee, on obtient encore une solution de l’EDP inhomogene.

1.3 Premieres EDP

Comme on l’a souligne dans l’avant-propos, il est en general desespere devouloir connaıtre explicitement la ou les solutions d’une EDP. C’est cepen-dant parfois possible dans des cas particuliers : voici trois exemples a prioritres simples.

1.3.1 Exemple 1

On veut trouver les fonctions u : R2 → R telles que

∂2xxu = 0. (1.8)

Que faut-il lire ? Rappelons que la notation ∂2xx signifie que l’on applique

deux fois l’operateur ∂x :∂2xxu = ∂x(∂xu).

L’equation (1.8) signifie donc que la derivee partielle par rapport a le premierevariable, de la derivee partielle de u par rapport a la premiere variable estnulle : ∂x(∂xu) = 0. Commencons donc par poser v(x, y) = ∂xu(x, y). On doitavoir, pour tout (x, y) ∈ R2

∂xv(x, y) = 0.

Pour tout y fixe l’application partielle x 7→ v(x, y) doit donc etre constante.Bien sur cette constante peut dependre de y. On voit donc que necessairement

v(x, y) = C(y)


pour une certaine fonction C. On est ramene au probleme suivant : trouveru telle que

∂xu(x, y) = C(y).

En raisonnant de la meme maniere, on voit que necessairement,

u(x, y) = C(y)x+D(y)

ou D est encore une certaine fonction. Il est enfin immediat de verifier quen’importe quelle fonction de ce type verifie l’equation (1.8), pourvu que cettefonctions admette des derivees partielles. Notons des a present qu’il y aenormement de solutions pour l’equation (1.8), puisque aucune conditionsur les fonctions C et D n’est apparue dans la demonstration.

1.3.2 Exemple 2

On veut resoudre l’equation

uxx + u = 0 . (1.9)

Figeons la variable y, et posons v(x) = u(x, y). On doit resoudre l’equationdifferentielle v′′ + v = 0. Les solutions sont

v(x) = A cosx+B sinx,

et revenant a u on obtient

u(x, y) = A(y) cosx+B(y) sinx,

ou A et B sont deux fonctions quelconques.

1.3.3 Exemple 3

On s’interesse maintenant a l’equation

uxy = 0. (1.10)

Nous allons voir que l’on peut interpreter de deux manieres differentes -ettoutes les deux raisonnables- la notation uxy et aboutir a des ensembles desolutions differents. C’est bien entendu tres genant, et l’on verra tres vitecomment remedier a ce genre d’ambiguıte.Considerons d’abord que uxy designe ∂x(∂yu). L’equation (1.10) donne d’abord∂yu(x, y) = C(y), ou C est une fonction quelconque de y, puis

u(x, y) =

∫ y

y0

C(s)ds+D(x).

1.4. DISCUSSION SUR LA NOTION DE PROBLEME BIEN POSE 19

On doit noter que la fonction D est arbitraire, mais que C doit posseder uneprimitive. En particulier la fonction u(x, y) trouvee est derivable par rapporta y.Supposons maintenant que, suivant une autre convention uxy designe ∂y(∂xu).On trouve alors ∂xu(x, y) = E(x), puis u(x, y) =

∫ xx0E(s)ds + F (y). Cette

fois la fonction trouvee est derivable par rapport a x, et ne possede aucunepropriete particuliere par rapport a y. Autrement dit l’ensemble des solutionsdepend de l’interpretation de l’equation. On notera que la difficulte disparaıtsi on se limite a la recherche de solutions assez regulieres.

1.4 Discussion sur la notion de probleme bien

pose

Sur les exemples qui precedent, on voit que le nombre de solutions d’une EDPpeut etre tres grand. Rappelons le cas des equations differentielles lineaireshomogenes a coefficients constants. Pour l’equation

anu(n)(x) + an−1u

(n−1)(x) + . . .+ a1u′(x) + a0u(x) = 0 , (1.11)

on rappellera plus loin que l’ensemble des solutions est un espace vectorielde dimension n : la solution generale depend de n constantes (n est l’ordrede l’equation). On obtient une solution unique lorsque l’on fixe n conditionssupplementaires du type

u(0) = y0, u′(0) = y1, . . . , u

(n−1)(0) = yn−1, (1.12)

ou y0, y1, . . .yn−1 sont n reels fixes.Le probleme qui consiste a resoudre l’equation (1.11) sous la condition (1.12)porte le nom de probleme de Cauchy.Les trois exemples precedents sont des EDP lineaires homogenes d’ordre 2,et leur solution generale depend de deux fonctions arbitraires - au lieu dedeux constantes pour les EDO. On retiendra seulement que l’ensemble dessolutions d’une EDP peut etre difficile a decrire.Cependant lorsque les EDP proviennent de la modelisation d’un phenomenedu monde reel, les solutions interessantes sont celles qui satisfont certainesconditions supplementaires. Prenons un exemple. On cherche a decrire lesvibrations verticales d’une corde de longueur L, tendue entre deux pointsfixes A et B. On note u(t, x) la hauteur a l’instant t du point de la cordeplace a distance x de A. Il est bien clair que les seules fonctions u(t, x) quinous interessent sont celles pour lesquelles

∀t , u(t, A) = u(t, B) = O .


Ce type de condition est appele ”condition au bord”, mais il y a bien d’autressortes de contraintes que l’on rencontre tres souvent, par exemple :– Des conditions de regularite :

Les solutions doivent etre suffisamment differentiables, au moins pour quel’equation ait un sens. C’est en particulier ce genre de condition qui manquepour que l’equation (1.10) ait un sens precis.

– Des conditions initiales :On connaıt l’etat du systeme que l’on veut decrire a l’instant t = 0 et ils’agit de decrire son evolution dans le temps.

– Des conditions de comportement a l’infini.– Des conditions de stationarite.Il est alors possible que le probleme considere ”EDP+condition(s) physique(s)”admette une unique solution. Lorsque, de plus, la solution depend ”continument”des donnees physiques, dans le sens ou une petite erreur sur les donnees nechange que peu la solution, on parlera de probleme bien pose. Bien sur, ilfaudra definir tout ceci de maniere mathematiquement plus precise ! !

1.5 Exercices

1.5.1 Equations differentielles

1. Soit a une fonction continue sur R. Montrer, en les calculant explicite-ment, que les solutions de l’equation differentielle

y′ + a(x)y = 0

ne s’annulent jamais, sauf une.

2. Trouver toutes les solutions de l’equation differentielle

u′ − u2 = 0.

1. Montrer qu’en dehors de la fonction identiquement nulle, les solutionsde cette equation ne s’annulent pas.

2. Y-a-t-il des solutions definies sur R tout entier ?

1.5.2 EDP

1. Montrer que les fonctions u(t, x) = f(t) + g(x), ou f et g sont deuxfonctions de classe C1 sur R, sont solutions de l’EDP ∂t∂xu(t, x) = 0dans R2.

1.6. EXERCICES 21

2. Montrer que pour toute fonction f ∈ C1, u(x, t) = f(x−ct) est solutionde l’EDP ∂tu + c∂xu = 0. Comment faire de cette EDP un problemebien pose ?

3. Resoudre l’EDP ∂2yu(x, y) = 1. Comment faire de cette EDP un probleme

bien pose ?

4. Montrer que u(x, y) =√x2 + y2 est solution dans R2 \ 0 de l’EDP

∂2xu+ ∂2

yu = 1√x2+y2

.

5. Calculer ∆u dans R2 \ 0 pour u = ln(x2 + y2).

6. Etudier les solutions polynomes de ∆u = 0, dans R2.

7. Montrer que pour toute fonction f ∈ C1, u(x, t) = f(xt) verifie pour

tout t > 0 l’equation t∂tu+ x∂xu = 0.

1.6 Exercices

1. Trouver toutes les solutions de l’equation differentielle

u′(x)− u(x) = x2ex .

2. Resoudre les equations differentielles suivantes :

y′ + 2y = ex, y′ − 5y = x, y′ + 3y = x+ e−2x, y′ − 2y = x2e2x.


y′ − xy = x2, y′ − 2xy = x, (sur ]0,+∞[) y′ +1

xy = 3 cos(2x).

4. Soit f : R→ R une fonction continue et k un reel strictement positif.1. Ecrire la solution generale de l’equation y′ − ky = f .2. On suppose que f est bornee. Montrer que l’equation precedenteadmet une unique solution bornee.


y′′−4y′−12y = 0 , y(4)+2y(2)+y = 0 , y′′−6y′+9y = e3x , y′′−6y′+9y = xe3x.

6. Soit a une fonction continue sur R. Montrer que les solutions de l’equationdifferentielle

y′ + a(x)y = 0

ne s’annulent jamais, sauf une.

7. Trouver toutes les solutions de

X ′ =

(1 20 1

)X +

(1t

)

Chapitre 2

EDP lineaires du premier ordre

2.1 Differentielle

On a rappele dans le premier chapitre la notion de derivee partielle d’unefonction de plusieurs variables. Il s’agissait en fait de proprietes de fonctionsd’une variable, et l’on doit maintenant regarder la dependance de toutes lesvariables prises ensemble. Il nous faut investir un peu de temps pour explo-rer la notion - plus delicate - de differentielle. Nous ne detaillerons pas cettepartie qui est en principe acquise.

2.1.1 Differentiabilite

Il est certainement utile de rappeler quelques points concernant les fonctionsd’une variable. On dit que f :]a, b[→ R est derivable en s0 ∈]a, b[ lorsqu’ilexiste un nombre reel ` et une fonction ε de limite nulle en zero, tels que

f(s) = f(s0) + `(s− s0) + (s− s0)ε(s− s0). (2.1)

On parle aussi parfois du taux d’accroissement de f en s0, defini par

τs0(s) =f(s)− f(s0)

s− s0

,

et f est derivable en s0 si et seulement si τs0(s) a une limite ` quand s→ s0.Le nombre ` est alors appele nombre derive de f en s0. Lorsque f est derivableen chaque point de ]a, b[, la fonction derivee f ′ de f est la fonction qui achaque s de ]a, b[ associe le nombre derivee de f en s.Pour comprendre la notion de differentielle d’une fonction de plusieurs va-riables, il faut retenir l’aspect suivant de la definition precedente. La condi-tion (2.1) signifie que la fonction f est bien approchee par la fonction affine

23

24 CHAPITRE 2. EDP LINEAIRES DU PREMIER ORDRE

T : s 7→ `(s− s0) + f(s0) lorsque s est proche de s0. Remarquons egalementque une fois donnes f et s0, la fonction affine T est entierement determinepar la donnee de `, ou , ce qui revient au meme, de l’application lineaireds0f : s 7→ `s. C’est cet objet que l’on appelle differentielle de f en s0. Avecces notations (2.1) s’ecrit

f(s) = f(s0) + ds0f(s− s0) + (s− s0)ε(s− s0), (2.2)

et c’est cette formulation que l’on va garder.

Definition 2.1.1 Soit f :]a, b[×]c, d[→ R une application. On dit que f estdifferentiable en (x0, y0) ∈]a, b[×]c, d[ lorsqu’il existe une application lineaireL : R2 → R et une fonction ε de limite nulle en zero, telles que

f(x, y) = f(x0, y0) +L(x−x0, y− y0) + ‖(x−x0, y− y0)‖ε(‖(x−x0, y− y0)‖)(2.3)

Une fois fixee une base (e1, e2) de R2, par exemple la base canonique e1 =(1, 0) et e2 = (0, 1), l’application lineaire est decrite dans cette base par unematrice a une ligne et deux colonnes

L =(α β

).

En effet si u est un vecteur quelconque de R2, on peut ecrire u = u1e1 +u2e2,et puisque L est lineaire L(u) = u1L(e1) + u2L(e2). Il suffit de connaitreα = L(e1) et β = L(e2) pour determiner L :

L(u) =(α β

)( u1

u2

)= αu1 + βu2.

On sait que toutes les applications lineaires de R2 dans R sont continues.Dans le cas d’un espace de dimension infinie (cas des espaces de Banach), ilfaudrait ajouter la continuite de L dans la definition.

Lemme 2.1.2Il ne peut exister qu’une seule application lineaire continue verifiant (2.3).

Preuve :Suposons que L1 et L2 verifient (2.3). En soustrayant ces deux egalites onobtient, pour tout (x, y) dans ]a, b[×]c, d[,

0 = L1(x−x0, y−y0)−L2(x−x0, y−y0)+‖(x−x0, y−y0)‖ε(‖(x−x0, y−y0)‖).

2.1. DIFFERENTIELLE 25

Notons(α1 β1

)et(α2 β2

)les matrices respectives de L1 et L2 dans la

base canonique de R2. L’egalite ci-dessus s’ecrit alors

0 = (α1−α2)(x−x0)+(β1−β2)(y−y0)+‖(x−x0, y−y0)‖ε(‖(x−x0, y−y0)‖).

Prenons en particulier y = y0. On obtient, pour tout x ∈]a, b[

0 = (α1 − α2)(x− x0) + |x− x0|ε(|x− x0|),

et, pour x 6= x0,

(α1 − α2)x− x0

|x− x0|= ε(|x− x0|).

Ceci n’est possible que si α1 = α2. On montre de la meme maniere quenecessairement β1 = β2.

Exercice 2.1.3Montrer que si f est differentiable en (x0, y0), alors elle est continue en cepoint.

Definition 2.1.4Lorsque qu’elle existe, l’application lineaire continue L est appelee differentiellede f en (x0, y0), et notee d(x0,y0)f .Enfin lorsque f est differentiable en chaque point de ]a, b[×]c, d[, on note dfl’application qui a chaque (x, y) ∈]a, b[×]c, d[ associe la differentielle d(x,y)fde f en ce point. Il s’agit donc d’une application de ]a, b[×]c, d[⊂ R2 dansL(R2,R).

Exercice 2.1.5 Montrer que les applications suivantes sont differentiablessur R2, et donner leur differentielle.

f(x, y) = x2 + y3, f(x, y) = x2y3, f(x, y) = x2 cos(y)

2.1.2 Differentielle et derivees partielles

Definition 2.1.6 Soit f :]a, b[×]c, d[→ R une application, (x0, y0) un pointde ]a, b[×]c, d[ et u un vecteur non nul de R2. On appelle derivee directionnellede f en (x0, y0) dans la direction de u la derivee en s = 0, si elle existe, dela fonction d’une variable

fu : s 7→ f((x0, y0) + su).

On la note alors ∂uf(x0, y0).


Exemple 2.1.7 Les derivees partielles ∂xf et ∂yf ne sont autres que lesderivees directionnelles de f dans les directions des deux vecteurs de la basecanonique e1 et e2.

Proposition 2.1.8 Soit f :]a, b[×]c, d[→ R. Si f est differentiable en (x0, y0),alors f admet des derivees directionnelles en (x0, y0) dans toutes les direc-tions u, et

∂uf(x0, y0) = d(x0,y0)f(u) .

Cette derniere s’ecrit aussi sous la forme :

∂uf(x0, y0) = u1∂f

∂x(x0, y0) + u2

∂f

∂y(x0, y0) .

Attention la reciproque est fausse, comme le montrent les exemples suivants :

Exercice 2.1.9On considere l’application f : R2 → R definie par f(x, y) = x2y

x2+y2pour

(x, y) 6= (0, 0) et f(0, 0) = 0. Montrer que pour tout u ∈ R2 ∂uf(0, 0) existe,mais que f n’est pas differentiable en (0, 0).

2. Meme question pour l’application f : R2 → R definie par f(x, y) = x3yx4+y2

pour (x, y) 6= (0, 0) et f(0, 0) = 0.

En particulier ∂xf(x0, y0) = d(x0,y0)f(e1) et ∂yf(x0, y0) = d(x0,y0)f(e2). Autre-ment dit la matrice de d(x0,y0)f dans la base canonique est simplement

d(x0,y0)f =(∂xf(x0, y0) ∂yf(x0, y0)

).

On termine cette section par un critere tres simple de differentiabilite, et c’estpresque toujours a l’aide de ce critere que l’on discutera de la differentiabilitedes fonctions que l’on rencontrera. On admettra la proposition suivante.

Proposition 2.1.10Soit f :]a, b[×]c, d[→ R une application. Si f admet des derivees partielles∂xf et ∂yf dans ]a, b[×]c, d[ et que ces derivees partielles sont continues, alorsf est differentiable dans ]a, b[×]c, d[.

Definition 2.1.11Lorsque f admet des derivees partielles ∂xf et ∂yf continues dans ]a, b[×]c, d[,on dit que f est de classe C1 dans ]a, b[×]c, d[.

On peut bien sur considerer des applications de Rm a valeurs dans Rk.

2.2. LES EQUATIONS DE TRANSPORT 27

2.2 Les equations de transport

On considere un tube horizontal cylindrique, dans lequel coule de l’eau parexemple, a la vitesse constante c (en m/s). Un polluant (du petrole) est ensuspension dans l’eau. On note u(t, x) la concentration (en gr/m) de polluanta l’instant t et a l’abscisse x.La fonction u verifie l’EDP

∂tu(t, x) + c ∂xu(t, x) = 0. (2.4)

En effet, a l’instant t, la quantite de polluant entre les points d’abscisse 0 etx est

Q(t) =

∫ x

0

u(t, y)dy.

Entre l’instant t et l’instant t+ h, le polluant s’est deplace de ch metres. Laquantite de polluant entre les points d’abscisse ch et x+ ch est donc celle quise trouvait a l’instant t entre 0 et x. On a donc

Q(t) =

∫ x+ch

ch

u(t+ h, y)dy.

Nous voulons deriver l’egalite obtenue par rapport a x. Pour ce faire nouseffectuons le changement de variable y′ = y− ch dans la deuxieme integrale.Nous obtenons

Q(t) =

∫ x

0

u(t+ h, y′ + ch)dy′,

et doncu(x, t) = u(t+ h, x+ ch). (2.5)

Nous voulons enfin deriver par rapport a h l’egalite (2.5). On utilisera tressouvent le lemme suivant (differentielle d’une fonction composee).

Lemme 2.2.1Soit u : R2 → R une application differentiable. Soit aussi f1 et f2 deuxapplications derivables de R dans R. Alors l’application F : R → R definiepar

F (t) = u(f1(t), f2(t))

est derivable, et sa derivee est donnee par

F ′(t) = d(f1(t),f2(t))u(f ′1(t), f ′2(t)),

ou encore :

F ′(t) = f ′1(t)∂u

∂x(f1(t), f2(t)) + f ′2(t)

∂u

∂y(f1(t), f2(t)) .


Derivons maintenant les deux membres de (2.5) par rapport a h. Le membrede gauche est independant de h, et la derivee du membre de droite releve dulemme precedent. On obtient

∂tu(t, x) + c∂xu(t, x) = 0,

ce qui est bien l’equation annoncee.

2.3 Equations a coefficients constants

On va resoudre les EDP de la forme (2.4), ou de maniere un peu plus generale,les equations

a∂tu(t, x) + b∂xu(t, x) = 0, (2.6)

ou a et b sont deux constantes reelles, dont l’une au moins n’est pas nulle.Comme on l’a vu dans le premier chapitre, il est important de preciser ce quel’on entend par ”resoudre”. On cherche ici toutes les fonctions u definies surR2 (ou sur une partie plus petite Ω, reunion de boules ouvertes) de classe C1

et telles que pour tout (x, t) ∈ R2 l’egalite (2.6) soit verifiee. Commenconspour fixer les idees par examiner le cas de l’equation (a = 1 et b = 0)

∂tu(t, x) = 0.

On voit immediatement que u est solution si et seulement si u ne depend pasde t. Autrement dit, les solutions sont les fonctions u qui s’ecrivent

u(t, x) = f(x)

pour une fonction f : R→ R de classe C1. La premiere remarque qui s’impose,c’est qu’il y a beaucoup de solutions !On fait aussi une remarque d’ordre plus geometrique : les solutions (t, x) 7→u(t, x) sont exactement les fonctions qui sont constantes le long des droiteshorizontales du plan (Otx), c’est-a-dire le long des droites dirigees par le vec-teur (a, b) = (1, 0). Ce phenomene a egalement lieu pour toutes les equations(2.6), et c’est que nous allons mettre en evidence.

2.3.1 Methode des caracteristiques

On reprend l’equation (2.6). Supposons que u : R2 → R, de classe C1, soitsolution. En terme de differentielle, (2.6) se traduit par

∀(t, x) ∈ R2, d(t,x)u(a, b) = 0. (2.7)

2.3. EQUATIONS A COEFFICIENTS CONSTANTS 29

Autrement dit la derivee directionnelle ∂(a,b)u(t, x) de u dans la direction duvecteur (a, b) est nulle en tout point (t, x) de R2. On a alors la propositionsuivante.

Proposition 2.3.1 Si u est solution de (2.6), alors u est constante le longde chaque droite de direction (a, b).

Preuve :Soit (t, x) un point de R2. Soit ϕ : R→ R la fonction definie par

k 7→ ϕ(k) = u((t, x) + k(a, b)) = u(t+ ka, x+ kb).

La fonction ϕ donne les valeurs de u en chaque point (t′, x′) = (t, x) + k(a, b)de la droite D de direction (a, b) passant par (t, x). Or, en utilisant a nouveaule Lemme 2.2.1, on a

ϕ′(k) = d((t,x)+k(a,b))u(a, b) = d(t′,x′)u(a, b) = 0.

Donc ϕ est constante, et u l’est sur la droite D.

Definition 2.3.2 On appelle caracteristiques de l’equation (2.6) les droitesde vecteur directeur (a, b). Ce sont toutes les droitesDc d’equation bt−ax = c,ou c parcourt l’ensemble des reels.

Notons maintenant f : R → R la fonction qui a un reel c associe la valeurde u sur la droite Dc. Soit (t0, x0) un point de R2. Il existe une et une seulecaracteristique qui passe par (t0, x0) : c’est la droite Dc0 , ou c0 = bt0 − ax0.On a donc

u(t0, x0) = f(c0) = f(bt0 − ax0).

Ce raisonnement etant valable pour tout (t0, x0) de R2, on a finalement

∀(t, x) ∈ R2, u(t, x) = f(bt− ax). (2.8)

On remarque au passage que, puisque u est C1, f l’est aussi.On a raisonne jusqu’ici par condition necessaire. Il reste a prouver que toutefonction u de la forme (2.8) avec f : R → R de classe C1 est bien solutionde (2.6). C’est une verification tres simple, grace encore une fois au Lemme2.2.1, et qu’on laisse au lecteur. On a alors demontre le resultat suivant.

Theoreme 2.3.3 Les fonctions u : R2 → R de classe C1 qui verifient l’equation(2.6) sont toutes les fonctions qui s’ecrivent

u(t, x) = f(bt− ax)

pour une certaine fonction f : R→ R de classe C1.


2.3.2 Methode du changement de variables

Nous allons retrouver le resultat precedent a l’aide d’une autre methode, quis’avere etre tres pratique. Plutot que d’une methode totalement differente,il s’agit d’une autre formulation de la meme idee. On a vu que les solutionsde l’equation (2.6) ne dependent que de la variable bt − ax. On pose donct′ = bt− ax et on chosit une autre coordonnee x′ qui soit independante. Onprend par exemple

t′ = bt− axx′ = at+ bx.

On pose alors v : (x′, t′) 7→ v(t′, x′) = u(t, x), et l’on examine l’equationverifiee par v lorsque u est solution de (2.6). On calcule d’abord les deriveespartielles de u en fonction de celles de v. La encore l’ingredient essentiel estle Lemme 2.2.1. On a

∂tu(t, x) = ∂t(v(bt− ax, at+ bx))= b(∂1v)(bt− ax, at+ bx) + a(∂2v)(bt− ax, at+ bx),

∂xu(t, x) = ∂x(v(bt− ax, at+ bx))= −a(∂1v)(bt− ax, at+ bx) + b(∂2v)(bt− ax, at+ bx).

Donc u, de classe C1, est solution de l’equation (2.6) si et seulement si vverifie l’equation

(a2 + b2)(∂2v)(t′, x′) = 0.

Autrement dit, puisque a2 + b2 6= 0, u est solution de l’equation (2.6) si etseulement si v ne depend pas de x′ : v(t′, x′) = f(t′) pour une certaine fonctionf , de classe C1 puisque v l’est. Revenant a u, on retrouve le Theoreme 2.3.3 :

u(t, x) = f(bt− ax).

Donnons une approche legerement differente. Si on fait plus generalement lechangement de variables

t′ = α′t+ β′xx′ = γ′t+ bδ′ ,

ou on suppose que α′δ′ − γ′β′ 6= 0.Alors l’equation satisfaite par v est :

a′∂t′v + b′∂x′v = 0 ,

avec a′ = α′a+ β′bb′ = γ′a+ δ′b .

2.4. EQUATIONS A COEFFICIENTS VARIABLES 31

Le choix propose precedemment consistait en choisir le changement de va-riables de telle sorte que a′ = 0, soit α′a+ β′b = 0. La paire α′ = b, β′ = −aconvient. On trouve alors b′ = a2 + b2.Cette methode est aussi adaptee pour resoudre le probleme (equation avecsecond membre) de trouver u de classe C1 dans R2

a∂tu+ b∂xu = f(t, x) ,u(0, x) = ϕ(x) ,

ou a 6= 0, f est donnee dans C0, ϕ est donne dans C1.

2.4 Equations a coefficients variables

2.4.1 Champs de vecteurs

Considerons par exemple l’equation

∂xu(x, y) + x∂yu(x, y) = 0 (2.9)

On cherche a appliquer la methode des caracteristiques a cette equation.Lisons l’equation : la derivee directionnelle de u dans la direction du vecteurX = (1, x) doit etre nulle :

d(1,x)u(x, y) = 0.

Evidemment, la difficulte qui apparait est que le vecteur en question dependdu point (x, y) ou l’on se trouve. On doit adapter un peu la notion de ca-racteristique.

Definition 2.4.1 On appelle champ de vecteur une application (reguliere)X de Ω ⊂ R2, considere comme sous-ensemble des points du plan, dans R2

considere comme ensemble des vecteurs du plan (i.e. l’espace vectoriel R2).

Ici reguliere signifie de classe C0 ou de classe C1.

Par exemple, l’equation (2.9) amene naturellement a considerer le champ devecteur X(x, y) = (1, x). Un autre exemple est le champ de vecteurs grad V ,ou V est une fonction reguliere, definie sur Ω :

grad V (x, y) = ((∂xV )(x, y), (∂yV )(x, y)) .

On peut par exemple prendre Ω = R2 \ 0 et V (x, y) = 1/√x2 + y2. Le

champ de vecteur est appele central car il est parallele, au point (x, y) auvecteur (x, y).


Definition 2.4.2Soit X un champ de vecteurs regulier sur un ouvert Ω de R2. Une courbeintegrale de X est une courbe parametree γ : I ⊂ R→ Ω telle que, pour toutt ∈ I,

γ′(t) = X(γ(t)).

On appelle caracteristiques de l’equation (2.9) les courbes integrales du champde vecteurs X(x, y) = (1, x) (il y a une petite ambiguite ici car les courbesintegrales sont des courbes parametrees !). Cette definition est motivee parla

Proposition 2.4.3Si u est une solution de l’equation (2.9), u est constante le long des courbesintegrales t 7→ γ(t) du champ X :

d

dt(u(γ(t)) = 0 .

Cette proposition generalise ce que l’on a vu dans le cas des equations acoefficients constants : dans ce cas-la, le champ de vecteurs X associe al’equation est le champ constant X(x, y) = (a, b), dont les courbes integralessont les droites de direction (a, b). La preuve est la meme, et constitue unexcellent Exercice.

Remarque 2.4.4 Plus generalement on peut toujours localement ”redres-ser” un champ de vecteur par un diffeomorphisme local.

2.4.2 Un probleme de Cauchy pour l’equation (2.9)

A titre d’exemple nous allons resoudre un probleme de Cauchy associe al’equation (2.9) :

∂xu(x, y) + x∂yu(x, y) = 0,u(0, y) = φ(y),

(2.10)

ou φ : R→ R est une fonction C1 donnee.On commence en cherchant les courbes caracteristiques de l’equation. Cesont les courbes integrales t 7→ γ(t) = (x(t), y(t)) du champ de vecteurX(x, y) = (1, x). Par definition on a donc

x′(t) = 1,y′(t) = x(t),

ce qui donne x(t) = t + x0 et y(t) = t2

2+ x0t + y0, ou l’on a note (x0, y0) le

point de γ correspondant a t = 0. Si l’on prefere une equation cartesienne,

2.5. UN EXEMPLE D’EQUATION NON-LINEAIRE : EQUATION DE BURGERS33

on voit que la courbe γ qui passe par (x0, y0) (il y en a une et une seule...),a pour equation

γ : y =x2

2+ y0 −

x20

2.

On veut maintenant determiner la valeur de la solution du probleme de Cau-chy (2.10) au point (x0, y0). On sait que u est constante le long de la courbeintegrale qui passe par le point (x0, y0). Cette courbe coupe l’axe des or-

donnees au point (x1 = 0, y1 = y0 − x202

), et l’on sait que

u(x1, y1) = u(0, y1) = φ(y1) = φ(y0 −x2

0

2).

On obtient donc, pour n’importe quel (x0, y0) de R2,

u(x0, y0) = φ(y0 −x2

0

2).

En raisonnant par condition necessaire, on obtient donc u(x, y) = φ(y− x2

2).

Il est tres simple de verifier que cette fonction est effectivement solution de(2.10), et la methode des caracteristiques nous a encore permis de construirel’unique solution de ce probleme.

2.5 Un exemple d’equation non-lineaire : Equa-

tion de Burgers

On s’interesse maintenant a l’EDP du premier ordre non-lineaire

∂xu(x, y) + u(x, y)∂yu(x, y) = 0. (2.11)

S’agissant d’une equation du premier ordre, on va encore tenter d’utiliser lamethode des caracteristiques. Cette fois, le champ de vecteur X associe al’equation

X(x, y) =

(1

u(x, y)

)depend de la solution ! Supposons que celle-ci est connue, et considerons lescourbes integrales du champ de vecteurs X. Ce sont les courbes parametreesγ : t 7→ (x(t), y(t)) telles que

x′(t) = 1, y′(t) = u(x(t), y(t)). (2.12)


Sur une telle courbe on a donc

ddt

(u(x(t), y(t)) = x′(t)(∂xu(x(t), y(t))) + y′(t)(∂yu(x(t), y(t)))

= x′(t)(∂xu(x(t), y(t))) + u(x(t), y(t)) (∂yu(x(t), y(t)))= 0 .

Autrement dit, si u est solution, la fonction u est constante le long des courbesintegrales du champ X = Xu.

Reprenons alors (2.12) : notant Cγ la valeur (constante !) de u sur la courbeintegrale γ de Xu, on a

x′(t) = 1, y′(t) = Cγ.

Ces courbes integrales sont donc des droites y = mx+ p, puisque

x(t) = t+ x0, y(t) = Cγt+ y0.

Considerons maintenant le probleme de Cauchy pour l’equation (2.11)∂xu(x, y) + u(x, y)∂yu(x, y) = 0,u(x, 0) = φ(x),

(2.13)

ou φ est une fonction reguliere donnee.

On cherche d’abord les caracteristiques. Ce sont des droites d’equation y =mx + p et la pente m est egale a la valeur de u sur cette droite. La ca-racteristique issue du point (x0, 0) est donc la droite d’equation

y = φ(x0)(x− x0). (2.14)

Contrairement au cas des equations lineaires, ces caracteristiques peuventdonc se couper ! Supposons par exemple que deux d’entre elles, issues respec-tivement de (x1, 0) et de (x2, 0), se coupent en (x, y). Si u est definie en cepoint on doit avoir

u(x, y) = φ(x1) = φ(x2),

ce qui est absurde sans hypothese particuliere sur φ, x1, x2.

On peut donc conclure que le probleme (2.13) n’admet en general pas desolutions definies dans le plan tout entier, mais seulement dans un domaineDφ du plan dans lequel les droites caracteristiques (2.14) ne se coupent pas.

2.5. UN EXEMPLE D’EQUATION NON-LINEAIRE : EQUATION DE BURGERS35

Etudions le probleme (2.13) pour φ(x) = x2. Partant d’un point (x0, y0) telque u(x0, y0) 6= 0, on obtient la courbe integrale :

x(t) = x0 + t , y(t) = y0 + u(x0, y0)t .

La courbe integrale coupe la droite y = 0 au temps t = −y0/u(x0, y0). Ona donc

u(x0, y0) = u(x(t), y(t)) = u(x0 −y0

u(x0, y0), 0) = φ(x0 −

y0

u(x0, y0)) .

Dans notre cas particulier, on obtient l’equation

u(x0, y0) = (x0 −y0

u(x0, y0))2 .

Si cette equation determine un unique u, on aura resolu le probleme. Danstous les autres cas le probleme sera mal pose. Notre question devient donc(en posant λ = u(x0, y0)) :

f(λ) := λ3 − (x0λ− y0)2 = 0 .

Noter qu’on peut toujours supposer y0 6= 0, puisque u est connue sur x = 0.Un cas simple est celui ou l’on peut montrer que λ 7→ f(λ) est strictementcroissante sur ] −∞,+∞[. Un critere simple est de montrer que la deriveede f ne s’annule jamais sur R. On a

f ′(λ) = 3λ2 − 2x0(x0λ− y0) .

Son discriminant est

∆(x0, y0) := 4(x20 − 6x0y0) = 4x0(x0 − 6y0) .

Le probleme est que le discriminant est positif pour y0 petit par rapport ax0, situation qui n’est pas favorable ! !Le probleme est plus simple si on se donne une condition sur x = 0 :

u(0, y) = y .

On trouve assez facilement que la solution est determinee par

u(x, y) = y/(1 + x)

sur le domaine (x, y) ∈ R2 | x > −1.


2.6 Exercices

2.6.1 Differentielles

1. Soit α un reel positif, et f : R2 → R definie par f(0, 0) = 0 et f(x, y) =|x|α|y|αx2+y2

si (x, y) 6= (0, 0). On etudie f en (0,0). Pour quelles valeurs deα la fonction f y est-elle :a. continue par rapport a x ? continue par rapport a y ?b. continue ?c. differentiable ?d. continument differentiable ?On pourra poser x = r cos θ et y = r sin θ pour l’etude des differenteslimites en (0,0), ou bien utiliser l’inegalite |xy| ≤ (x2 + y2)/2.

2.6.2 EDP du premier ordre a coefficients constants

1. Resoudre dans R2 le probleme4∂tu(t, x)− 3∂xu(t, x) = 0u(0, x) = x3

2. Resoudre dans R2 le probleme3∂tu(t, x) + 5∂xu(t, x) = 0u(t, 0) = t2

3. Resoudre dans R2 le probleme2∂tu(t, x) + 3∂xu(t, x) = 0u(0, x) = sin(x)

4. On cherche les solutions C2 du probleme ∂2ttu(t, x)− 3∂2

txu(t, x)− 4∂2xxu(t, x) = 0,

u(0, x) = x2,∂tu(0, x) = 0.

a. Soit u : R2 → R une fonction de classe C2. Montrer que

(∂t − 4∂x)((∂t + ∂x)u)(t, x) = ∂2ttu(t, x)− 3∂2

txu(t, x)− 4∂2xxu(t, x).

b. Trouver toutes les fonctions v : R2 → R telles que

(1) ∂tv(t, x)− 4∂xv(t, x) = 0.

2.6. EXERCICES 37

c. Soit f : R→ R une fonction de classe C1. On veut trouver toutes lesfonctions u : R2 → R telles que

(2) ∂tu(t, x) + ∂xu(t, x) = f(4t+ x).

On pose t′ = −t + x, x′ = 4t + x et l’on note w : R2 → R la fonctiondefinie par w(t′, x′) = u(t, x).

c1) Quelle equation verifie w lorsque u est solution de (2) ?

c2) Resoudre cette equation. En deduire les solutions de (2).

d. Conclure.

2.6.3 Courbes integrales de champs de vecteurs

1. Determiner les courbes integrales du champ de vecteurs de R2 definipar X(x, y) = (1, 2xy2).

2. Determiner les courbes integrales du champ de vecteurs de R2 definipar X(x, y) = (1 + x2, 1).

3. Determiner les courbes integrales du champ de vecteurs de [−1, 1]×Rdefini par X(x, y) = (

√1− x2, 1).

4. Etudier les courbes integrales du champ de vecteur de R2 defini parX(x, y) = (y, x).

5. Etudier les courbes integrales du champ de vecteur de R2 defini parX(x, y) = (x, y).

6. Etudier les courbes integrales du champ de vecteur de R2 defini parX(x, y) = (y,−y).

7. Etudier les courbes integrales du champ de vecteur de R2 defini parX(x, y) = (x, 2y).

2.6.4 EDP du premier ordre a coefficients non-constants

1. On considere le champ de vecteurs X(x, y) = (1,−xy).

a. Determiner et tracer ses courbes integrales.

b. Montrer que les solutions (de classe C1) de l’equation

∂xu(x, y)− xy∂yu(x, y) = 0

s’ecrivent necessairement u(x, y) = f(yex2/2

) pour une certaine fonctionf de classe C1.


c. Trouver toutes les solutions du probleme de Cauchy∂xu(x, y)− xy∂yu(x, y) = 0,u(0, y) = y2.

d. Le probleme de Cauchy∂xu(x, y)− xy∂yu(x, y) = 0,u(x, 0) = x2,

a-t-il des solutions ?

Chapitre 3

L’equation des ondes sur un axe

3.1 Le modele physique : cordes vibrantes

On considere une corde de longueur L, de densite ρ constante, elastique,tendue entre deux points A et B. On s’interesse aux petites vibrations trans-versales de la corde. Penser par exemple aux vibrations d’une corde de gui-tare. On supposera que les effets de la gravite et des autres eventuelles forcesexterieures peuvent etre negligees. On choisit axe des abscisses la droite (AB),l’origine de l’axe etant le point A, et on note x les abscisses. On designe alorspar u(t, x) le deplacement vertical de la corde au point d’abscisse x et a l’ins-tant t. On va appliquer la loi de Newton a un petit morceau de corde delongueur ∆x commencant au point M d’abscisse x et d’extremite N d’abs-cisse x+ ∆x. Les forces exterieures sont les tensions exercees par le morceaude corde AM au point M , notee T (M), et celle T (N) exercee par le morceaude corde NB au point N . L’hypothese que la corde est elastique correspondau fait que ces forces de tensions sont dirigees tangentiellement a la corde.Puisque l’on suppose que les deplacements de la corde n’ont lieu que dans ladirection verticale, la loi de Newton donne

T (M) + T (N) = ρ∆x

(0

∂2ttu(t, x)

).

Il reste a determiner les composantes des vecteurs T (M) et T (N). L’angleentre la tangente a la corde au point d’abscisse x et la direction horizontaleest α(t, x) = ∂xu(t, x). On a donc, notant τ(t, x) la norme du vecteur T (t, x),

T (M) =

(−τ(t, x) cos(∂xu(t, x))−τ(t, x) sin(∂xu(t, x))

)et

(τ(t, x+ ∆x) cos(∂xu(t, x+ ∆x))τ(t, x+ ∆x) sin(∂xu(t, x+ ∆x))

).

39

40 CHAPITRE 3. L’EQUATION DES ONDES SUR UN AXE

On obtient donc le systeme (plutot complique !)τ(t, x+ ∆x) cos(∂xu(t, x+ ∆x))− τ(t, x) cos(∂xu(t, x)) = 0

τ(t, x+ ∆x) sin(∂xu(t, x+ ∆x))− τ(t, x) sin(∂xu(t, x)) = ρ ∂2ttu(t, x)

On ne va pas le resoudre ”exactement” mais on va faire des approximations.

On utilise maintenant l’hypothese de petitesse des deplacements, puis on faittendre ∆x vers 0. Dans la premiere equation on considere que les termes encosinus valent 1, et dans la seconde on utilise sinA ∼ A. On obtient alors∂xτ(t, x) = 0 donc τ(t, x) ne depend pas de x. On peut aussi montrer quel’hypothese de deplacement uniquement transverse entraıne que τ(t, x) nedepend pas non plus de t ; au total τ(t, x) = τ ∈ R pour tout (t, x) ∈ R2. Onobtient alors l’equation

∂2ttu(t, x) =

τ

ρ∂2xxu(t, x).

C’est cette equation que l’on appelle communement equation des ondes, et

la constante c =√

τρ, qui ne depend que du milieu ou se deplacent les ondes,

est, nous le verrons, la vitesse de propagation dans le milieu en question.

3.2 Solutions de l’equation des ondes

3.2.1 Solution generale

On va resoudre l’equation des ondes

c2∂2xxu(t, x) = ∂2

ttu(t, x), (3.1)

c’est a dire trouver les fonctions u(t, x), definies et de classe C2 sur R2 quiverifient cette egalite. On reprend la methode du changement de coordonnees.Soit

t′ = x+ ctx′ = x− ct,

et v : (x′, t′) 7→ u(t, x). On note que :

u(t, x) = v(x+ ct, x− ct) .

On verifie facilement que

∂tu(t, x) = c∂t′v(t′, x′)− c∂x′v(t′, x′), ∂xu(t, x) = ∂t′v(t′, x′) + ∂x′v(t′, x′)

3.2. SOLUTIONS DE L’EQUATION DES ONDES 41

puis que∂2ttu(t, x) = c2∂2

t′t′v(t′, x′) + c2∂2x′x′v(t′, x′)− 2c2∂2

t′x′v(t′, x′)∂2xxu(t, x) = ∂2

t′t′v(t′, x′) + ∂2x′x′v(t′, x′) + 2∂2

t′x′v(t′, x′).

Donc u est solution de l’equation des ondes si et seulement si v verifie

∂2t′x′v(t′, x′) = 0.

On a deja vu cette equation, et les solutions sont toutes les fonctions v quis’ecrivent

v(t′, x′) = f(t′) + g(x′),

ou f et g sont deux fonctions de classe C2 sur R.Revenant a u, on obtient que

u(t, x) = f(x+ ct) + g(x− ct). (3.2)

Rappelons que la solution generale d’une equation de transport a coefficientsconstants est une fonction arbitraire de la variable x − ct. On voit ici quela solution est la somme de deux fonctions arbitraires l’une de la variablex+ ct et l’autre de la variable x− ct. La premiere decrit une onde arbitrairese deplacant vers la gauche a la vitesse c, et la seconde une autre ondearbitraire se deplacant vers la droite a la vitesse c.On comprend mieux l’analogie avec les equations de transport si l’on re-marque que

∂2ttu(t, x)− c2∂2

xxu(t, x) = (∂t − c∂x)(∂t + c∂x)u(t, x).

Autrement dit pour resoudre l’equation des ondes, on doit chercher u et wtelles que

w = ∂tu+ c∂xu∂tw − c∂xw = 0

Exercice 3.2.1Resoudre ce systeme et retrouver (3.2).

3.2.2 La formule de D’Alembert

On vient de voir que l’equation des ondes sur l’axe reel a de nombreusessolutions. Notre objectif ici est de montrer le resultat suivant, qui remonte aD’Alembert au milieu du 18eme siecle.


Theoreme 3.2.2Soit φ et ψ deux fonctions definies sur R, avec φ ∈ C2 et ψ ∈ C1. Alors leprobleme

∂2ttu(t, x)− c2∂2

xxu(t, x) = 0 ,u(0, x) = φ(x) ,∂tu(0, x) = ψ(x) ,

(3.3)

admet une unique solution u de classe C2 sur R2.

Preuve :La preuve de l’existence est tres simple : il suffit de verifier que la fonction

u(t, x) =1

2(φ(x+ ct) + φ(x− ct)) +

1

2c

∫ x+ct

x−ctψ(s)ds

est une solution du probleme.

Bien sur, le lecteur trouvera que la formule a un cote “parachute”. En fait,on a vu precedemment que les solutions generales de l’equation des ondessont de la forme :

u(t, x) = f(x+ ct) + g(x− ct) ,

avec f et g de classe C2. On peut alors ecrire les conditions initiales quipermettront de determiner u par :

φ(x) = f(x) + g(x) , ψ(x) = c (f ′(x)− g′(x)) .

Cette deuxieme version a l’avantage de donner aussi l’unicite.

Exercice 3.2.3Resoudre le probleme de Cauchy pour l’equation des ondes avec φ(x) = sinxet ψ(x) = 0

Exercice 3.2.4Resoudre le probleme de cauchy pour l’equation des ondes avec φ(x) = 0 etψ(x) = cos x

Exercice 3.2.5Resoudre le probleme de cauchy pour l’equation des ondes avec φ(x) = ex etψ(x) = sinx

3.3. CAUSALITE ET CONSERVATION DE L’ENERGIE 43

3.3 Causalite et conservation de l’energie

3.3.1 Vitesse de propagation finie

On vient de voir que l’effet d’une position φ(x) a l’instant t = 0 est une paired’ondes et qui se propagent dans les deux directions a vitesse c. Si l’on a unevitesse ψ(x) a l’instant t = 0, on obtient une onde qui s’etale dans les deuxdirections, a une vitesse inferieure ou egale a c. Dans tous les cas rien ne sepropage a vitesse plus grande que c. Autrement dit la valeur de la solution uau point (t, x) ne depend que des valeurs de φ en x− ct et en x + ct, et desvaleurs de ψ sur l’intervalle [x− ct, x+ ct]. Pour le voir il suffit de reprendrel’expression de la solution donnee dans le theoreme de D’Alembert.

Proposition 3.3.1Soient φ et ψ comme dans le Theoreme 3.2.2, et u la solution du probemede Cauchy (3.3). Si φ et ψ sont nulles en dehors de l’intervalle −R ≤ x ≤ R,alors pour chaque t fixe, u(t, x) est nulle quand x /∈ [−R− c|t|, R + c|t|].

Remarque 3.3.2 On peut aussi suivre comment se propage en fonction dutemps la regularite des solutions.

3.3.2 Energie

Definition 3.3.3Soit u une solution de l’equation des ondes. On appelle energie de u la quan-tite

E(t) =ρ

2

∫R(∂tu(t, x))2dx+

τ

2

∫R(∂xu(t, x))2 dx

Il faut noter que, pour ce qui concerne les constantes, nous avons garde icila definition physique de l’energie de la corde vibrante : la premiere integraleest la partie energie cinetique (”1

2mv2”), et la deuxieme est la partie energie

potentielle, qui correspond a la tension τ multipliee par l’allongement dela corde elastique (

√1 + (∂xu)2 − 1 ∼ 1

2(∂xu)2). La encore l’hypothese de

petitesse des oscillations permet de simplifier considerablement l’etude !Nous allons demontrer rigoureusement un phenomene tres important, par-ticulier aux equations du meme type que celle des ondes - les equationshyperboliques : l’energie est constante au cours du temps.

Theoreme 3.3.4Soit φ et ψ deux fonctions definies sur R, avec φ ∈ C2 et ψ ∈ C1. On suppose


que φ et ψ sont nulles en dehors d’un intervalle borne |x| ≤ R. Soit u l’uniquesolution du probleme (3.3) :

τ∂2xxu(t, x)− ρ∂2

ttu(t, x) = 0u(0, x) = φ(x)∂tu(0, x) = ψ(x) .

La quantite

E(t) =ρ

2

∫R(∂tu(x, t))2dx+

τ

2

∫R(∂xu(x, t))2 dx

est une fonction constante de t.

Pour prouver ce resultat, on va deriver l’expression donnant E(t) par rapporta t, et montrer que l’on obtient 0. Il nous faut donc deriver une integralegeneralisee dependant d’un parametre. Avant de demontrer ce theoreme, ondonne d’abord une consequence importante de ce theoreme :

Corollaire 3.3.5Le probleme (3.3), ou φ est une fonction C2 et ψ une fonction C1, admet unesolution unique.

Preuve :Soit u1 et u2 deux solutions. La fonction v = u1−u2 est solution du probleme :

∂2ttu(t, x)− c2∂2

xxu(t, x) = 0u(0, x) = 0∂tu(0, x) = 0 .

Puisque l’energie de v est constante, on a pour tout t,

E(t) = ρ2

∫R(∂tu(x, t))2dx+ τ

2

∫R(∂xu(x, t))2dx

= E(0)= 0 .

Donc ∂xv et ∂tv sont toujours nulles, donc v est constante. Puisque v(0, x) =0, v est identiquement nulle et u1 = u2.

On est maintenant en mesure de prouver la conservation de l’energie pourl’equation des ondes.

Preuve du Theoreme 3.3.4 :Posons f(t, x) = (∂tu(x, t))2 et

A(t) =ρ

2

∫Rf(t, x)dx .

3.4. EXERCICES 45

On doit justifier la derivation sous le signe somme. Ici le controle des sup-ports est important. Notons d’abord que pour tout t fixe, l’integrale A(t) estconvergente puisque la fonction f(t, x), qui est continue, est nulle en dehorsde l’intervalle |x| ≤ R + ct. On obtient ainsi

A′(t) =ρ

2

∫R∂tf(t, x)dx = ρ

∫R∂tu(x, t)∂2

ttu(x, t)dx,

et, puisque u est solution de l’equation des ondes,

A′(t) = τ

∫R∂tu(x, t)∂2

xxu(x, t)dx.

Maintenant on integre par parties cette integrale, ou l’integrand est nul endehors d’un intervalle borne :

A′(t) = −τ∫R∂2xtu(x, t)∂xu(x, t)dx = −τ

2

∫R∂t(∂xu(x, t))2dx.

Notant alors B(t) =τ

2

∫R(∂xu(x, t))2dx, on montre de la meme maniere que

B′(t) =τ

2

∫R∂t(∂xu(x, t))2dx,

et puisque E(t) = A(t) +B(t), on a bien E ′(t) = 0.

3.4 Exercices

3.4.1 Ondes

1. Montrer que si u est une solution de l’equation des ondes

∂2ttu(t, x)− ∂2

xxu(t, x) = 0,

alors pour tout λ ∈ R les fonctions vλ : (t, x) 7→ u(t, x − λ) et wλ :(t, x) 7→ u(λt, λx) sont aussi solutions.

2. On considere l’equation des ondes amorties

(1) ∂2ttu(x, t) = ∂2

xxu(x, t)− r∂tu(x, t),

ou r est un reel positif ou nul (qui mesure la resistance de l’air). Onsuppose que u : R2 → R est une fonction de classe C2 qui verifiel’equation (1), et l’on pose

e(t, x) = 12(∂tu(t, x))2 + 1

2(∂xu(t, x))2

p(t, x) = ∂tu(t, x)∂xu(t, x).


A. On suppose dans cette partie que r = 0.

a. Montrer que ∂te(t, x) = ∂xp(t, x) et que ∂xe(t, x) = ∂tp(t, x). Endeduire que e et p sont egalement solution de (1) (toujours avec r = 0).

b. On suppose qu’a l’instant t = 0, u(t, x) et ∂tu(t, x) sont nulles pourtout x /∈ [−R,R].

b1) Rappelez pourquoi, pour chaque t, il existe un reel R(t) telle queu(t, x) est nulle pour tout x /∈ [−R(t), R(t)].

b2) Montrer que pour chaque t ∈ R,∫R∂te(t, x)dx = 0.

3. Quel theoreme du cours evoque ce resultat ?

II. On suppose maintenant que r > 0.

1. Montrer que ∂te(t, x) = −r(∂tu(t, x))2 + ∂xp(t, x).

2. En supposant encore une fois que u(t, x) est nulle pour tout x /∈[−R(t), R(t)], montrer que pour chaque t ∈ R,∫

R∂te(t, x)dx ≤ 0.

3. Comment interpretez-vous ce resultat ?

Chapitre 4

Extrema

4.1 Fonctions d’une variable

On commence par la formule de Taylor avec reste integral pour les fonctionsd’une variable reelle.

Theoreme 4.1.1Soit f : R→ R une fonction de classe Cn+1. Pour tout k ≤ n on a

f(s) = f(0) + sf ′(0) +s2

2f ′′(0) + . . .+

sk

k!f (k)(0) +

∫ s

0

(s− u)k

k!f (k+1)(u)du

On utilise cette formule egalement sous la forme

f(s) = f(0) + sf ′(0) + . . .+sk

k!f (k)(0) +

sk+1

k!

∫ 1

0

(1− u)kf (k+1)(su)du. (4.1)

Definition 4.1.2Soit f : R → R une fonction, et s0 un point de R. On dit que f admet unmaximum (resp. minimum) local en s0 s’il existe un intervalle ]s0−α, s0 +α[pour tout s duquel on ait f(s) ≤ f(s0) (resp. f(s) ≥ f(s0)).

Voici d’abord une condition necessaire d’extremum local.

Proposition 4.1.3Soit f : R→ R une fonction derivable. Si f admet un extremum local en s0,alors f ′(s0) = 0.

Preuve :On prend s0 = 0 pour simplifier. Puisque f est derivable, il existe une fonctionε de limite nulle en 0 telle que

f(s) = f(0) + s(f ′(0) + ε(s)).

47

48 CHAPITRE 4. EXTREMA

Supposons que f ′(0) 6= 0, par exemple que f ′(0) > 0. Puisque ε tend vers 0en 0, il existe un intervalle ]−α, α[ pour tout s duquel f ′(0) + ε(s) > 0. Maisalors f(s) > f(0) pour α > s > 0 et f(s) < f(0) pour −α < s < 0, ce quicontredit le fait que 0 est un extremum local pour f .

Remarque 4.1.4Attention ! Dans le cas ou la fonction f est definie sur un intervalle ferme[a, b], le critere ci-dessus ne vaut que pour les extrema de f dans ]a, b[. On levoit dans la demonstration ci-dessus puisque l’on doit pouvoir calculer f(s)pour des s < 0 et des s > 0. On peut aussi penser au cas d’une fonctionstrictement monotone, par exemple f : [0, 1] → R, f(x) = x. Cette fonctionadmet un maximum en x = 1, alors que f ′(1) = 1.

La formule de Taylor permet d’enoncer une condition suffisante pour qu’unefonction (suffisamment reguliere) admette un extremum local en s0.

Proposition 4.1.5Soit f : R→ R une fonction de classe C2, et s0 un point de R. Si f ′(s0) = 0,et si f ′′(s0) 6= 0, alors la fonction f admet un extremum local en s0. C’est unmaximum si f ′′(s0) < 0 et un minimum si f ′′(s0) > 0.

Preuve :On reprend la formule de Taylor ci-dessus, sachant que f ′(0) = 0 :

f(s)− f(0) =s2

2(f ′′(0) + ε(s)) ,

avec ε(s) = 2∫ 1

0(1− u)(f ′′(su)− f ′′(0)) du . L’hypothese que f est de classe

C2 implique que lims→0 ε(s) = 0.Supposons par exemple que f ′′(0) > 0. Prenant α > 0 assez petit, on peutdonc affirmer que pour tout s ∈]− α, α[, on a

f ′′(0) + ε(s) ≥ f ′′(0)− Cα > 0 .

Donc, pour tout s ∈] − α, α[, on a f(s) ≥ f(0), ce qui montre que f admetun minimum local en 0. Le cas f ′′(0) < 0 se traite de la meme maniere.

Remarque 4.1.6On appelle souvent points critiques de f les points ou f ′ s’annule. On vientde voir que les points critiques ou la derivee seconde de f ne s’annule pas sontdes extrema de f . Les points critiques ou la derivee seconde de f s’annulesont dits degeneres, et on peut par exemple utiliser la formule de Taylor aun ordre plus eleve pour connaitre l’allure du graphe de f au voisinage deces points.

4.2. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 49

L’exercice suivant est sans doute utile pour mieux comprendre ulterieurementla demonstration correspondant au principe du Maximum

Exercice 4.1.7Soit u une solution de classe C2([0, 1]) de −u′′(x) + q(x)u(x) = 0 dans [0, 1],avec u(0) = u(1) = 0. On suppose que q(x) > 0 sur ]0, 1[. Montrer que u = 0.Pour cela, on montrera que ±u ≤ 0 regardera ce qui se passe en un point x0

ou ±u est maximum.Une autre approche est de multiplier par u l’equation et d’integrer sur [0, 1].En utilisant une integration par parties, montrer qu’alors∫ 1

0

u′(x)2dx+

∫ 1

0

q(x)u(x)2dx = 0 .

En deduire le theoreme sous l’hypothese plus faible q ≥ 0. Peut-on encoreaffaiblir cette hypothese ?

4.2 Fonctions de plusieurs variables

Definition 4.2.1Soit F : R2 → R une fonction, et (x0, y0) un point de R2. On dit que F admetun maximum (resp. minimum) local en (x0, y0) s’il existe un reel α > 0 telque, pour tout (x, y) verifant d((x, y), (x0, y0)) < α, on ait F (x, y) ≤ F (x0, y0)(resp. F (x, y) ≥ F (x0, y0)).

Pour les fonctions de deux (plusieurs) variables, de classe C1, les extremasont egalement des points critiques.

Proposition 4.2.2Soit F : R2 → R une fonction de classe C1. Si F admet un extremum localen (x0, y0), alors d(x0,y0)F = 0 .

Preuve :On prend (x0, y0) = (0, 0) pour simplifier. Il suffit d’appliquer les resultatsde dimension 1 a la fonction t 7→ F (tu1, tu2) ou (u1, u2 6= (0, 0) est fixe. Ona ainsi montre que la derivee de F dans la direction (u1, u2) est nulle.

Remarque 4.2.3Comme dans le cas des fonctions d’une variable, il est tres important deremarquer que, dans la preuve de cette proposition, on utilise de manierecruciale le fait que F soit definie dans un voisinage de (0, 0). Lorsque lafonction F est definie sur un domaine avec bord, cette proposition ne vautdonc que pour les extrema qui ne se trouvent pas sur le bord.


On veut maintenant trouver une condition suffisante pour qu’un point (x1, x2)soit un extremum local de F : R2 → R. On se ramene au cas de (x1, x2) =(0, 0) en posant

u1 = x1 − x1 , u2 = x2 − x2 .

On suppose que F est une fonction de classe C2. En appliquant la formule deTaylor (4.1) a la fonction f : R→ R definie par

f(s) = F (s(u1, u2)),

et en prenant s = 1, on obtient la formule suivante :

F (u1, u2) = F (0, 0) + u1∂1F (0, 0) + u2∂2F (0, 0)

+1

2(u2

1∂211F (0, 0) + 2u1u2∂

222F (0, 0) + u2

2∂222F (0, 0))

+1

2s2(ε11(u1, u2)u2

1 + 2ε12(u1, u2)u1u2 + ε22(u1, u2)u22) ,(4.2)

avec

εij(u1, u2) := 2

∫ 1

0

(1− t)(∂2ijF (tu1, tu2)− ∂2

ijF (0, 0))dt .

Pour ce qui concerne le terme de reste, tout ce qui compte, c’est que, F etantde classe C2, les εij tendent vers 0 quand (u1, u2) tend vers (0, 0).A la vue du cas des fonctions d’une variable, on comprend donc que le com-portement de f au voisinage du point critique (x1, x2) ne va dependre quedu signe de la quantite

Q(u1, u2) = u21∂

211F (x1, x2) + 2u1u2∂

222F (x1, x2) + u2

2∂222F (x1, x2) (4.3)

pour (u1, u2) proche de (0, 0).

Remarque 4.2.4 On voit apparaıtre ici la matrice des derivees secondes deF aussi appelee le Hessien de F . On note que si F est de classe C2, c’est unematrice symetrique.

Rappelons qu’une des methodes les plus simples pour connaitre le signe decette quantite consiste a l’ecrire sous forme d’une somme ou difference decarres : c’est la methode de Gauss. On determine ainsi la signature de laforme quadratique Q : c’est le couple (n+, n−), ou n+ (resp. n−) est le nombrede valeurs propres strictement positives (resp. strictement negatives) de lamatrice associee a Q.

4.3. EXERCICES 51

Proposition 4.2.5Soit F : R2 → R une fonction de classe C2 telle que d(x1,x2)f = 0. Soit Q laforme quadratique associee a F en (x1, x2) definie par (4.3) qu’on supposerasans valeur propre nulle (= non degeneree). La fonction F admet un minimum(resp. maximum) local en (x1, x2) si et seulement si sgn(Q) = (2, 0) (resp.sgn(Q) = (0, 2)). Lorsque sgn(Q) = (1, 1), le point critique (x1, x2) est uncol.

Dans le cas ou Q admet une valeur propre nulle, le point critique est ditdegenere, et une etude plus approfondie est necessaire.Nous allons utiliser ce resultat surtout sous la forme (plus faible) suivante.Supposons que F admette un maximum local en (x1, x2). Alors on a

∂1F (x1, x2) = 0 et ∂211F (x1, x2) ≤ 0, ∂2

22F (x1, x2) ≤ 0 . (4.4)

Le premier point decoule du fait que (x1, x2) est un point critique. Pour lesecond point, il suffit de regarder les valeurs de F sur la droite x2 = x2 et surla droite x1 = x1 au travers de la formule (4.2). Une autre facon de le voirconsiste a reduire (4.3) en somme de carres : si ∂2

11F (x1, x2) > 0 par exemple,la somme de carres aura necessairement l’un de ces coefficients > 0, ce quiest contradictoire avec la presence d’un maximum local en (x1, x2).

Remarque 4.2.6 Sans l’hypothese de non degenerescence, la condition necessairequi reste est que le Hessien de F en (x1, x2) n’a pas de valeurs propres stric-tement positives.Ceci implique qu’une condition necessaire est que la trace du Hesssien de Fen ce point (qui est la somme des valeurs propres) est negative ou nulle.

4.3 Exercices

1. Determiner les points critiques de chacune des applications suivantes etdonner leur developpement limite a l’ordre 2 en chacun de leurs pointscritiques. Existe-t-il des extrema locaux ? globaux ?1. f(x, y, z) = x2/2 + xyz − y + z. 2. f(x, y) = x4 + y4 − 4(x− y)2.Dans le deuxieme cas, montrer que f tend vers +∞ lorsque

√x2 + y2 →

+∞.

2. Etudier les points critiques des fonctions suivantes :

a) f1(x, y) = x2 − y3 b) f2(x, y) = x+ y + x2 − xy + y2 + 1c) f3(x, y) = xy + yz + xz + xyz d) f4(x, y, z) = x2 + z2 + x2ye) f5(x, y) = x2 + 2y2 + π cosx cos y


3. Soit f1 et f2 les deux fonctions de R2 dans R definies par f1(x, y) =y + 2 − (x + 1)2 et f2(x, y) = y − 2 + (x − 1)2. On pose f = f1f2.Determiner les points critiques de f , et determiner pour chacun d’euxs’il s’agit d’un extremum. Tracer les courbes f1 = 0 et f2 = 0, et etudierdans le complementaire le signe de f . Placer les points critiques dansle dessin.

4. Soit f(x, y) = x3 + 3x2y− 15x− 12y. Trouver les extrema locaux de f .Lesquels sont des minima, lesquels sont des maxima ?

5. Soit a un reel positif. Quels sont les extrema locaux de f : (x, y) 7→f(x, y) = x2y2 + x2 + y2 + 2axy ?

Chapitre 5

L’equation de Laplace

5.1 Generalites

On s’interesse dans ce chapitre a l’equation de Laplace (on se limite au casde deux variables)

∆u(x, y) = f(x, y), (5.1)

ou ∆ designe l’operateur aux derivees partielles ∆ = ∂2xx + ∂2

yy, appele La-placien, et f est une fonction continue donnee.Cette equation est tres importante a la fois en physique et en mathematiques.Du cote physique, la solution de l’equation (5.1) est par exemple le potentielelectrique engendre dans le plan par la repartition de charges ρ = − 1

4πf .

L’equation de la chaleur ou des ondes pour deux variables d’espace s’ecrivent

∂tu = k(∂2xxu+ ∂2

yyu) et ∂2ttu = c2(∂2

xxu+ ∂2yyu).

On est donc aussi en presence de l’equation de Laplace lorsque l’on s’interesseaux phenomenes stationnaires, c’est-a-dire independant du temps, pour les-quels ∂tu = 0 et ∂2

ttu = 0. On est aussi interesse par des solutions de laforme u(t, x, y) = exp−λt φ(x, y) (avec λ > 0 pour la chaleur) ou u(t, x, y) =exp iλt φ(x, y) pour l’equation des ondes. Du point de vue des mathematiques,le Laplacien est un objet fondamental aussi bien en analyse qu’en geometrie.Les solutions de (5.1) pour f = 0 - qui doivent etre des fonctions de classe C2 -sont par exemple appelees fonctions harmoniques, et l’on va decrire quelquesunes de leurs proprietes.

5.2 Principe du Maximum

Theoreme 5.2.1Soit D un ouvert borne et connexe de R2. Soit u fonction de classe C2 dans

53

54 CHAPITRE 5. L’EQUATION DE LAPLACE

D, continue dans D = D ∪ ∂D. Si u est solution dans D de

∆u(x, y) = 0.

alors le maximum de u dans D est atteint sur le bord de D.

Preuve :Soit u une fonction harmonique, et vε(x, y) = u(x, y) + ε(x2 + y2). On a

∆vε(x, y) = ∆u(x, y) + ε∆(x2 + y2) = 0 + 4ε > 0.

D’un autre cote, si (x0, y0) est un maximum pour vε dansD, on a, par exempleen utilisant la formule de Taylor,

∆vε(x0, y0) = ∂2xxvε(x0, y0) + ∂2

yyvε(x0, y0) ≤ 0,

ce qui est absurde. Or, puisque vε est continue, elle doit atteindre son maxi-mum sur le compact D. Elle l’atteint donc en un point (x0, y0) du bord ∂D.On a donc, pour tout (x, y),

u(x, y) < vε(x, y) ≤ vε(x0, y0) = u(x0, y0) + ε(x20 + y2

0) ≤ max∂D

u+ εr2,

ou r > 0 est choisi pour que le disque centre a l’origine de rayon r contienneD. Ceci etant vrai pour tout ε > 0, on obtient, pour tout (x, y) ∈ D,

u(x, y) ≤ max(x,y)∈∂D

u(x, y) .

Encore une fois, ce theoreme dit que la fonction harmonique u, supposeeaussi continue sur le compact D, atteint son maximum au moins en un pointdu bord de D. C’est ce qu’on appelle le Principe du Maximum Fort : u n’apas d’extremum dans D. On ne demontrera pas ce resultat.

Exercice 5.2.2Montrer que la fonction u(x, y) = (1−x2− y2)/(1− 2x+x2 + y2) est harmo-nique dans le disque x2 + y2 < 1. Le principe du maximum est-il verifie dansD = x2 + y2 < 1 pour cette fonction ? Etudier le meme probleme dans undisque de rayon strictement inferieur a 1, dans une couronne ...

5.2. PRINCIPE DU MAXIMUM 55

Corrige :u n’est pas definie en (1, 0), et ne se prolonge pas parcontinuite en ce point puisque

limx→1−

u(x, 0) = limx→1−

1− x2

(1− x)2= lim

x→1−

1 + x

1− x= +∞.

On a

∂xu(x, y) = 2(x− 1)2 − y2

((x− 1)2 + y2)2, ∂yu(x, y) = 4

y(x− 1)

((x− 1)2 + y2)2,

et donc

∂2xxu(x, y) = −4

−1 + 3x− 3x2 + 3y2 + x3 − 3xy2

(1− 2x+ x2 + y2)3= −∂2

yyu(x, y),

ce qui montre que u est harmonique. On peut voir egalementque u n’a pas de point critique dans D, mais de toutesfacons, on a bien

u(x, y) ≤ max(x,y)∈∂D

u(x, y) = +∞.

Exercice 5.2.3Enoncer et demontrer un principe du minimum.

Corrige :Si u est harmonique dans D et continue sur D, v =−u aussi. Le Principe du Maximum dit que, pour tout(x, y) ∈ D,

v(x, y) ≤ max(x,y)∈∂D

v(x, y),

c’est-a-dire

u(x, y) ≥ − max(x,y)∈∂D

−u(x, y) = min(x,y)∈∂D

u(x, y).

On peut deduire du principe du maximum l’unicite de la solution du problemede Dirichlet pour le Laplacien.

Proposition 5.2.4 Soit D un ouvert borne et connexe de R2. Soit f unefonction continue sur D, et g une fonction continue sur ∂D. Le probleme de


Dirichlet ∆u(x, y) = f(x, y), (x, y) ∈ D

u(x, y) = g(x, y), (x, y) ∈ ∂D(5.2)

admet au plus une solution C2.

Preuve :Si u1 et u2 sont solutions de (5.2), w = u1−u2 verifie ∆w = 0 et est nulle sur∂D. Par le principe du maximum (et celui du minimum) on obtient w = 0sur D.

5.3 Proprietes d’invariance

Comme pour l’equation de la chaleur, il est tres important de noter les pro-prietes d’invariance de l’equation de Laplace. Nous allons montrer que cetteequation est invariante sous l’action des translations et des rotations du plan.De maniere plus explicite, il s’agit de montrer le resultat suivant.

Lemme 5.3.1Si u(x′, y′) est une solution de ∆u = f dans un domaine D, alors v(x, y) =u(τ(x, y)) = u(x−a, y−b) et w(x, y) = u(ρ(x, y)) = u(x cos θ−y sin θ, x sin θ+y cos θ) sont encore solutions, dans τ−1(D) et ρ−1(D) respectivement.

Preuve :On n’ecrit la preuve que pour w, le cas de v etant beaucoup plus simple (c’estdonc un excellent Exercice). On pose (anciennes coordonnees en fonctiondes nouvelles)

x′ = x cos θ − y sin θ,y′ = x sin θ + y cos θ.

On a alors∂xw(x, y) = cos θ(∂x′u)(x′, y′) + sin θ(∂y′u)(x′, y′)

∂yw(x, y) = − sin θ(∂x′u)(x′, y′) + cos θ(∂y′u)(x′, y′),

puis∂2xxw(x, y) = cos2 θ(∂2

x′x′u)(x′, y′) + 2 cos θ sin θ∂2x′y′ + sin2 θ(∂2

y′y′u)(x′, y′)

∂2yyw(x, y) = sin2 θ(∂2

x′x′u)(x′, y′)− 2 cos θ sin θ∂2x′y′ + cos2 θ(∂2

y′y′u)(x′, y′).

On a donc bien (∆x,yw)(x, y) = (∆x′,y′u)(x′, y′) = 0.

5.4. LE LAPLACIEN EN COORDONNEES POLAIRES 57

5.4 Le Laplacien en coordonnees polaires

Le fait que le Laplacien possede cette invariance par rotation suggere que sonexpression en coordonnees polaires doit etre relativement simple.Soit f : R2 → R une fonction reguliere. Pour (x, y) 6= (0, 0), il existe ununique couple (r, θ) dans ]0,+∞[×[0, 2π[ tel que

x = r cos θy = r sin θ

Notant g la fonction definie sur ]0,+∞[×[0, 2π[ par

g(r, θ) = f(x, y) = f(r cos θ, r sin θ),

on voit d’abord facilement que∂rg(r, θ) = cos θ∂xf(x, y) + sin θ∂yf(x, y)

∂θg(r, θ) = −r sin θ∂xf(x, y) + r cos θ∂yf(x, y).

Ensuite, en formant les combinaisons lineaires adequates, on obtient∂xf(x, y) = cos θ∂rg(r, θ)− sin θ

r∂θg(r, θ)

∂yf(x, y) = sin θ∂rg(r, θ) + cos θr∂θg(r, θ).

(5.3)

On peut alors demontrer le resultat suivant.

Lemme 5.4.1Soit u une fonction de classe C2, et v(r, θ) = u(r cos θ, r sin θ). On a

∆u(r cos θ, r sin θ) = ∂2rrv(r, θ) +

1

r∂rv(r, θ) +

1

r2∂2θθv(r, θ)

Preuve :Posons x = r cos θ et y = r sin θ. Soit aussi w(r, θ) = ∂xu(x, y). On a d’abord,en utilisant (5.3) pour f(x, y) = ∂xu(x, y) = w(r, θ),

∂2xxu(x, y) = ∂x(∂xu(x, y)) = cos θ∂rw(r, θ)− sin θ

r∂θw(r, θ).

On a ensuite, en utilisant (5.3) pour f(x, y) = u(x, y) = v(r, θ),∂rw(r, θ) = ∂r(∂xu(x, y)) = ∂r(cos θ∂rv(r, θ)− sin θ

r∂θv(r, θ))

∂θw(r, θ) = ∂θ(∂xu(x, y)) = ∂θ(cos θ∂rv(r, θ)− sin θr∂θv(r, θ)),


c’est-a-dire∂rw(r, θ) = cos θ∂2

rrv(r, θ) + sin θr2∂θv(r, θ))− sin θ

r∂2rθv(r, θ)

∂θw(r, θ) =− sin θ∂rv(r, θ) + cos θ∂2

rθv(r, θ)− cos θr∂θv(r, θ))− sin θ

r∂2θθv(r, θ)).

On a donc finalement

∂2xxu(x, y) = cos2 θ∂2

rrv(r, θ) +sin2 θ

r∂rv(r, θ) +

sin2 θ

r2∂2θθv(r, θ).

Un calcul identique donne

∂2yyu(x, y) = sin2 θ∂2

rrv(r, θ) +cos2 θ

r∂rv(r, θ) +

cos2 θ

r2∂2θθv(r, θ),

et l’on obtient le lemme en ajoutant ces deux dernieres egalites.

On peut par exemple utiliser cette expression pour determiner toutes lesfonctions harmoniques qui sont invariantes par rotation. Il s’agit des fonctionsu de classe C2 telles que ∆u(x, y) = 0, et pour lesquelles, notant v(r, θ) =u(r cos θ, r sin θ), on a ∂θv(r, θ) = 0 (v ne depend pas de θ).Avec le Lemme 5.4.1, on doit alors avoir

0 = ∆u(x, y) = ∂2rrv(r, θ) +

1

r∂rv(r, θ).

On peut remarquer que cette equation s’ecrit

0 = ∂r(r∂rv(r, θ)),

et donc que ses solutions sont

v(r, θ) = C1 log(r) + C2. (5.4)

Remarque 5.4.2On notera que l’on a pas precise dans quel domaine on cherche de tellessolutions invariantes par rotation. Ce domaine doit etre lui-meme invariantpar rotation, et ne pas contenir (0, 0).

Exercice 5.4.3Trouver toutes les fonctions u telles que ∆u = 1 dans la couronne a < r < bet qui s’annulent sur r = a et sur r = b.

5.5. SOLUTIONS PARTICULIERES : SEPARATION DES VARIABLES59

Corrige :La reponse est

v(r) =1

4(r2 − a2)− 1

4(b2 − a2)

log r − log a

log b− log a.

On cherche les solutions invariantes par rotation. Puisquel’on a unicite, si l’on trouve une solution de cette maniere,on n’aura rien oublie. On doit resoudre r = ∂r(r∂rv(r, θ))(attention : pas 1 = . . .) , c’est-a-dire r∂rv(r, θ) = r2/2+C1, donc ∂rv(r, θ) = r/2 + C1/r, d’ou v(r, θ) = r2/4 +C2 + C1 log r...

5.5 Solutions particulieres : separation des

variables

On cherche des solutions v(r, θ) de

∂2rrv(r, θ) +

1

r∂rv(r, θ) +

1

r2∂2θθv(r, θ) = 0 (5.5)

qui sont a variables separees, c’est-a dire qui s’ecrivent

v(r, θ) = R(r)Θ(θ), (5.6)

pour certaines fonctions R et Θ.Pour ce type de fonctions v, l’equation (5.5) s’ecrit

0 = R′′(r)Θ(θ) +1

rR′(r)Θ(θ) +

1

r2R(r)Θ′′(θ).

On cherche maintenant des solutions du type (5.6) pour lesquelles R et Θ nes’annulent jamais (on verra plus tard qu’il faut ensuite oublier cette conditiontrop restrictive). En divisant l’equation ci-dessus par R(r)/r2, on obtient

r2R′′(r)

R(r)+ r

R′(r)

R(r) = −Θ′′(θ)/Θ(θ) .

Puisque le membre de droite ne depend pas de r, le membre de gauche nonplus : la fonction r 7→ r2R

′′(r)R(r)

+ rR′(r)R(r)

est constante. Si une telle fonction vest solution, il existe donc un reel λ tel que

Θ′′(θ) + λΘ(θ) = 0

r2R′′(r) + rR′(r)− λR(r) = 0.(5.7)


On s’interesse a la premiere de ces equations. Puisque l’on veut que u soitreguliere, on cherche les fonctions Θ qui sont periodiques de periode 2π. Orles solutions de

Θ′′(θ) + λΘ(θ) = 0 (5.8)

sont des combinaisons lineaires d’exponentielles pour λ < 0 : de telles fonc-tions ne sont pas periodiques, donc necessairement λ ≥ 0, et dans ce cas lessolutions de (5.8) sont

Θ(θ) = A cos(√λθ) +B sin(

√λθ).

Encore une fois la condition Θ(0) = Θ(2π) ne peut etre satisfaite que lorsqueλ = n2 pour un certain entier naturel n. On obtient finalement une famillede solutions

Θn(θ) = An cos(nθ) +Bn sin(nθ). (5.9)

On reprend maintenant la deuxieme equation de (5.7), sachant que λ doitetre un entier naturel :

r2R′′(r) + rR′(r)− λR(r) = 0.

Cette equation differentielle ordniaire porte le nom d’equation d’Euler, etpresente la particularite que ses coefficients possedent une singularite en r =0. Il faut pour le voir ne pas oublier d’isoler le terme d’ordre le plus eleve, etecrire l’equation sous la forme

R′′(r) +1

rR′(r)− λ

r2R(r) = 0.

On peut etudier ce type d’equations de maniere systematique : c’est l’objetde la theorie de Fuchs. On peut se contenter ici de chercher des solutionssous la forme R(r) = rα. On obtient alors l’equation indicielle

α(α− 1) + α− λ = 0,

et donc necessairement α = ±√λ. Dans le cas ou λ = n2 6= 0, on obtient

deux solutions independantes r 7→ rn et r 7→ r−n, et la solution generales’ecrit

R(r) = Cnrn +Dnr

−n. (5.10)

Le cas ou λ = 0 a deja ete vu (cf. (5.4)). Les solutions s’ecrivent alors

R(r) = C0 log r +D0. (5.11)

Recapitulons : toutes les fonctions

vn(r, θ) = (Cnrn +Dnr

−n)(An cos(nθ) +Bn sin(nθ))

5.6. EXERCICES 61

sont solutions de l’equation pour n ∈ N∗ ; c’est aussi le cas de

v0(r, θ) = C0 log r +D0.

Revenons au probleme initial. Rappelons que l’on cherche des fonctions u declasse C2 dans tout le disque x2 + y2 < δ, en particulier a l’origine. Parmiles fonctions ci-dessus, on elimine donc toutes celles qui n’ont pas de limitequand r → 0. Il reste les fonctions

vn(r, θ) = (An cos(nθ) +Bn sin(nθ))rn, (5.12)

ou n est un entier positif ou nul.

5.6 Exercices

5.6.1 Fonctions harmoniques

1. Determiner toutes les fonctions harmoniques dans un intervalle [a, b] ⊂R. Prouver le principe du maximum dans ce cadre.

2. Soit k un entier positif.

1. Montrer que les fonctions u(x, y) = (x± iy)k sont harmoniques dansR2.

2. A quelle condition sur a et b la fonction u(x, y) = (ax+ by)k est-elleharmonique ?

5.6.2 Le principe du maximum

1. Soit Ω un disque du plan, et f : Ω → R une fonction de C∞(Ω). Onsuppose que

∆f(x) ≥ f(x)− 1 pour tout x ∈ Ω∇f(x) · x = 0 pour tout x ∈ ∂Ω

Montrer que f ≤ 1 dans Ω. On pourra montrer que le maximum de fsur Ω ne peut etre strictement superieur a 1.

2. Etudier dans le cas du carre si on a des fonctions harmoniques de laforme u(x)v(y).

Chapitre 6

L’equation de la chaleur sur unaxe

6.1 Le modele physique : la loi de Fourier

On decrit maintenant le phenomene de la diffusion, par exemple de la chaleurau travers d’un corps, ou bien d’un colorant dans un liquide au repos. Dansles deux cas le principe physique est le meme, et porte le nom de Loi deFourier (ou Loi de Fick) : le flot de chaleur est dirige de la region chaude a laregion froide, et son intensite est proportionnelle au gradient de temperature.De plus la chaleur ne peut etre perdue qu’a travers les eventuelles parois durecipient. On se limite encore une fois a la diffusion de la chaleur le long d’unaxe. Notons u(t, x) la temperature a l’instant t au point d’abscisse x. Laquantite totale de chaleur (en joules par exemple) sur l’axe entre les pointsx0 et x1 (x0 < x1) a l’instant t est

H(t) = cρ

∫ x1

x0

u(t, x) dx ,

ou c et ρ sont des constantes physiques : c est la chaleur specifique du materiauet ρ sa densite.On suppose que la chaleur decroit de la gauche vers la droite le long de l’axe,au moins au voisinage du segment [x0, x1]. On sait que la quantite de chaleurH(t) entre x0 et x1 ne peut changer au cours du temps qu’a cause d’entreesen x0 ou de sorties en x1. Or, d’apres la Loi de Fourier, le flot de chaleurentrant en x0 est κ ∂xu(t, x0) et celui sortant de x1 est κ ∂xu(t, x1), ou κ estune certaine constante positive, appelee conductivite calorifique. On obtientdonc

H ′(t) = κ∂xu(t, x1)− κ∂xu(t, x0),

63

64 CHAPITRE 6. L’EQUATION DE LA CHALEUR SUR UN AXE

c’est a dire

cρ

∫ x1

x0

∂tu(t, x) dx = κ∂xu(t, x1)− κ∂xu(t, x0) .

En derivant cette egalite par rapport a x1, et en posant k = κ/cρ, on obtientl’equation de la chaleur

∂tu(t, x) = k ∂2xxu(t, x) . (6.1)

6.2 Le principe du maximum

Nous sommes maintenant en mesure d’enoncer et prouver le principal resultatde ce chapitre.

Theoreme 6.2.1Soit u : R2 → R une fonction de classe C2, solution de l’equation de la chaleur

∂tu(t, x) = k ∂2xxu(t, x),

dans le rectangle [0, T ] × [0, L]. Alors u atteint son maximum sur l’un desbords t = 0, x = 0 ou x = L du rectangle.

Preuve :On pose, pour ε > 0, vε(t, x) = u(t, x) + εx2.Supposons que vε atteigne son maximum en un point (t0, x0) situe a l’interieurdu rectangle, donc dans ]0, T [×]0, L[. On a ∂tvε(t0, x0) = 0 et ∂xxvε(t0, x0) ≤0 . Puisque u est solution de l’equation de la chaleur, on obtient

∂tvε(t, x)− k∂2xxvε(t, x) = ∂tu(t, x)− k∂2

xxu(t, x)− 2kε = −2kε .

En particulier, puisque ∂tvε(t0, x0) = ∂tu(t0, x0) = 0, on a, pour tout ε > 0 ,

∂2xxvε(t0, x0) > 0 ,

ce qui est absurde.Supposons maintenant que vε atteigne son maximum en un point (t0, x0)situe sur le bord droit du rectangle, i. e. pour t0 = T . On a ∂xvε(t0, x0) = 0 et∂2xxvε(t0, x0) ≤ 0. On ne peut plus dire que ∂tvε(t0, x0) = 0, mais on a quand

meme ∂tvε(t0, x0) ≥ 0, puisque

∂tvε(t0, x0) = limδ→0+

vε(t0, x0)− vε(t0 − δ, x0)

δ≥ 0 .

6.2. LE PRINCIPE DU MAXIMUM 65

On aboutit donc a la meme contradiction.La fonction vε atteint donc son maximum dans [0, T ]×[0, L] en un point de γ,ou γ est la reunion des trois cotes du rectangle mentionnes dans le theoreme.Or sur γ on a

vε(t, x) ≤M + εL2,

ou M designe le maximum de u sur γ. Finalement pour tout (t, x) ∈ [0, T ]×[0, L], on a

u(t, x) = vε(t, x)− εx2 ≤M + ε(L2 − x2).

Ceci etant vrai pour tout ε > 0, on obtient enfin, pour tout (t, x) ∈ [0, T ]×[0, L],

u(t, x) ≤M.

Remarque 6.2.2Dans ce theoreme, la fonction u est continue dans le rectangle [0, T ]× [0, L],donc est bornee et atteint sa borne superieure dans [0, T ]×[0, L]. Le theoremeaffirme qu’il existe un point de l’un des cotes t = 0, x = 0 ou x = L durectangle, ou ce maximum est atteint. En fait on peut demontrer, mais c’estbeaucoup plus difficile un principe du maximum fort : le maximum n’est pasatteint ailleurs que sur l’un de ces cotes.

Remarque 6.2.3Notons que dans le theoreme, on n’utilise que l’inegalite

∂tu(t, x) ≤ k∂2xxu(t, x) ,

dans la demonstration du theoreme.

Exercice 6.2.4Montrer que la fonction u(t, x) = −2xt− x2 est solution de l’equation ∂tu−x∂2

xxu = 0 . ou se trouvent les maxima de u dans le rectangle [0, 1]× [−2, 2] ?Pourquoi le Principe du Maximum ne marche-t-il pas pour cette equation ?

Du Principe du Maximum decoule l’unicite de l’eventuelle solution du problemede Dirichlet pour l’equation de la chaleur :

∂tu(t, x)− k∂2xxu(t, x) = f(t, x) ,

u(0, x) = φ(x) ,u(t, 0) = g(t) , u(t, L) = h(t) .

(6.2)


Proposition 6.2.5Soit φ, g et h sont trois fonctions regulieres. Il existe au plus une fonctionde classe C2 sur R+ × [0, L] qui verifie (6.2).

Preuve :Supposons que u1 et u2 soient deux fonctions regulieres verifiant (6.2), etnotons w = u1 − u2. La fonction w est reguliere et verifie

∂tw(t, x)− k∂2xxw(t, x) = 0 ,

w(0, x) = 0 ,w(t, 0) = 0 , w(t, L) = 0 .

(6.3)

Soit T > 0. On sait que le maximum de w sur [0, T ] × [0, L] est atteint surl’un des cotes t = 0, x = 0 ou x = L. Mais w y est nulle, donc w(t, x) ≤ 0pour tout (t, x) ∈ [0, T ]× [0, L]. Le meme raisonnement vaut pour −w : on adonc aussi w(t, x) ≥ 0 pour tout (t, x) ∈ [0, T ] × [0, L], et finalement w = 0sur [0, T ]× [0, L]. Ceci etant vrai pour tout T , on a bien u1 = u2.

Remarque 6.2.6 On a juste besoin de u solution dans C2(]0,+∞[×]0, L[)∩C0([0, T ] × [0, L]) pour la demonstration, l’equation aux derivees partiellesetant satisfaite dans le rectangle ouvert. La redaction est trop floue un peupartout sur ce point. Cette remarque sera utile en fin de chapitre.

Revenons a l’equation de la chaleur sur toute la droite reelle. Dans ce cas, leresultat d’unicite que nous venons d’obtenir peut s’etendre modulo certainesconditions supplementaires a l’infini. Par exemple on peut s’interesser auxsolutions qui tendent vers 0, quand |x| → ∞ uniformement par rapport a t.

Proposition 6.2.7Soit φ une fonction reguliere. Il existe au plus une fonction u de classe C2 sur]0,+∞[×R, telle que

supt∈]0,+∞[

|u(t, x)| → 0 quand |x| → +∞ . (6.4)

et ∂tu(t, x)− k∂2

xxu(t, x) = f(t, x)limt→0+ u(t, x) = φ(x) ,

(6.5)

soient verifiees.

Preuve :Supposons que u1 et u2 soient deux fonctions regulieres, qui tendent vers0 a l’infini, et qui verifient (6.5). On note w = u1 − u2. La fonction w est

6.2. LE PRINCIPE DU MAXIMUM 67

reguliere, verifie (6.4) et (6.5) pour φ ≡ 0 et f ≡ 0. Appliquons le Principedu Maximum a w et a −w sur le domaine [0, T ]× [−L,L]. On a

min

(0, min

t∈[0,T ]w(t, L), min

t∈[0,T ]w(t,−L)

)≤ w(t, x) ≤ max

(maxt∈[0,T ]

w(t, L), maxt∈[0,T ]

w(t,−L), 0

).

Puisque w(t,±L) tend vers 0 quand L → +∞ uniformement par rapport at, on obtient en passant a la limite,

∀t > 0,∀x ∈ R, w(t, x) = 0 .

Remarque 6.2.8 En fait, on a demontre le resultat sous la condition plusfaible et plus facile a verifier que, pour tout T > 0

supt∈]0,T ]

|u(t, x)| → 0 quand |x| → +∞ . (6.6)

A titre d’illustration supplementaire de l’importance du Principe du Maxi-mum, on montre maintenant que le probleme de Dirichlet (6.2) est ”stable”,au sens ou des donnees proches vont donner des solutions proches (cf. lanotion de probleme bien pose).

Proposition 6.2.9

Soit φ1 et φ2 deux fonctions regulieres, et u1, u2 les solutions respectives desproblemes

∂tu(t, x)− k∂2xxu(t, x) = f(t, x)

u(0, x) = φj(x)u(t, 0) = 0, u(t, L) = 0.

Pour tout t > 0 on a

max0≤x≤L

|u1(t, x)− u2(t, x)| ≤ max0≤x≤L

|φ1(x)− φ2(x)|.

Preuve :On considere encore w = u1 − u2. La fonction w est solution du probleme

∂tw(t, x)− k∂2xxw(t, x) = 0 ,

w(0, x) = φ1(x)− φ2(x) ,w(t, 0) = 0 ,w(t, L) = 0 .


Le Principe du Maximum dit que dans tout le rectangle [0, T ]× [0, L] on a

w(t, x) ≤ maxx∈[0,L]

|φ1(x)− φ2(x)| .

Le meme principe applique a −w donne

w(t, x) ≥ − maxx∈[0,L]

|φ1(x)− φ2(x)| ,

ce qui prouve la proposition.

6.3 Fonction de Green

On veut resoudre explicitement le probleme de Cauchy pour l’equation de lachaleur dans [0,+∞[×R :

∂tu(t, x)− k∂2xxu(t, x) = 0 , (6.7)

avec comme condition initiale

u(0, x) = φ(x) , (6.8)

c’est a dire etablir un resultat parallele au theoreme de D’Alembert pourl’equation des ondes. Les choses sont notablement plus compliquees ici, et l’onva examiner de pres les proprietes d’invariance de l’equation, notre objectifetant d’obtenir un maximum de conditions necessaires pour qu’une fonctionu soit solution.

6.3.1 Invariances de l’equation

On regroupe toutes les proprietes dont nous aurons besoin dans la

Proposition 6.3.1Supposons que la fonction u soit une solution de l’equation de la chaleur(6.7).

1. N’importe quelle derivee partielle de u, des qu’elle existe et est suffi-samment reguliere, verifie (6.7).

2. Pour tout y ∈ R, la fonction uy : (t, x)→ u(t, x− y) verifie (6.7).

3. Si cette integrale converge et que l’on peut ”deriver sous le signe d’integra-

tion”, la fonction U : (t, x)→∫ +∞

−∞φ(y)u(t, x− y)dy verifie (6.7) pour

n’importe quelle fonction φ continue par morceaux (disons a supportcompact, pour ne pas avoir de probleme d’integration).

6.3. FONCTION DE GREEN 69

4. Pour tout a > 0, la fonction ua : (t, x)→ u(at,√ax) verifie (6.7).

Preuve :Toutes ces proprietes sont tres simples a verifier. Le point 3 est par exempleun consequence de la propriete 2 et de la linearite de l’equation. Pour le point4, on a ∂tua(t, x) = a(∂tu)(at,

√ax) et ∂2

xxua(t, x) = a(∂2xxu)(at,

√ax).

On va d’abord tirer partie de la quatrieme propriete vue dans la Proposi-tion 6.3.1. On suppose que le probleme (6.7) admet une unique solution upour φ donnee (cf. par exemple la Proposition 6.2.7). Notons

φa : x 7→ φa(x) = φ(√ax),

et ua l’eventuelle solution du probleme∂tu(t, x)− k∂2

xxu(t, x) = 0 ,u(0, x) = φa(x) .

Le point 4 de la Proposition 6.3.1 dit que ua(t, x) = u(at,√ax). Si l’on a

maintenant φ = φa pour tout a > 0, alors ua = u pour tout a > 0 par unicitede la solution, c’est a dire

∀a > 0 , ∀t ≥ 0 , ∀x ∈ R , u(at,√ax) = u(t, x) .

En prenant a = 1/t pour t > 0 on obtient donc, pour tout t > 0 et toutx ∈ R,

u(t, x) = u(1,x√t) .

Autrement dit, dans ces conditions, il existe une fonction f : R → R telleque

u(t, x) = f(x√t) .

6.3.2 Une solution particuliere

On va resoudre le probleme (6.7) avec comme donnee initiale

φ(x) =

1 si x > 0 ,12

si x = 0 ,0 si x < 0 .

Cette fonction φ est souvent appelee fonction de Heaviside 1 et notee H.On notera qu’elle n’est pas continue a l’origine. L’interet immediat de cette

1. avec une definition differente pour x = 0


donnee initiale particuliere est qu’elle verifie la propriete φa = φ pour touta > 0. Sous reserve d’unicite, la solution de (6.7) doit donc s’ecrire

u(t, x) = f(x√4kt

) (6.9)

pour une certaine fonction f . Par rapport a la discussion precedente, on achange de fonction f pour faire apparaıtre le facteur

√4k et faciliter les

calculs qui vont suivre. En calculant ses derivees partielles, on voit que lafonction u donnee par (6.9) est solution de l’equation de la chaleur si etseulement si

−1

2

4kx

(4kt)3/2f ′(

x√4kt

)− k 1

4ktf ′′(

x√4kt

) = 0.

On multiplie cette equation par 4t, on pose z = x√4kt

et on obtient

2zf ′(z) + f ′′(z) = 0.

Les solutions de l’equation differentielle ordinaire y′ + 2zy = 0 sont les fonc-tions

y(z) = C exp (−z2),

ou C ∈ R est une constante, ce qui donne

f(z) = C1

∫ z

0

e−s2

ds+ C2 ,

ou C1 et C2 sont deux constantes reelles. Revenant a la fonction u on a doncnecessairement

u(t, x) = C1

∫ x√4kt

0

e−s2

ds+ C2 .

On determine les constantes C1 et C2 en faisant tendre t→ 0 dans l’expres-sion ci-dessus. En prenant x > 0 puis x < 0, et en supposant que la solutionest continue par rapport a t ∈ [0,+∞[, on obtient

C1

√π

2+ C2 = 1 ,

−C1

√π

2+ C2 = 0 .

On a finalement obtenu comme solution la fonction

S(t, x) =1√π

∫ x/√

4kt

0

e−s2

ds+1

2. (6.10)

Remarque 6.3.2Il faut noter que l’on n’a aucun resultat a notre disposition permettant d’af-firmer que cette fonction est la seule solution du probleme...

6.3. FONCTION DE GREEN 71

6.3.3 La solution et ses proprietes

La solution S(t, x) que nous venons d’obtenir est C∞ en dehors de t = 0.Conformement a la propriete 1 de la Proposition 6.3.1, la fonction G(t, x) =∂xS(t, x) est encore une solution de l’equation de la chaleur pour t > 0. Il estd’ailleurs interessant de se demander pour quelle condition initiale... ce quine pourra etre fait que dans le cadre de la theorie des distributions.

Definition 6.3.3La fonction

G(t, x) =1√

4kπte−x

2/4kt

est appelee fonction de Green pour l’equation de la chaleur.

On peut maintenant prouver le

Theoreme 6.3.4Soit φ une fonction C∞ a support compact. La fonction u definie sur ]0,+∞[× Rpar

u(t, x) =

∫ +∞

−∞G(t, x− y)φ(y)dy

est solution du probleme de Cauchy pour l’equation de la chaleur (6.7). C’estla seule solution verifiant pour tout T > 0 (6.6).

Preuve :On sait deja qu’il ne peut y avoir qu’une seule solution de ce type : c’estla Proposition 6.2.7. Le point 3 de la Proposition 6.3.1 dit ensuite que l’ona bien ∂tu(t, x) = k∂2

xxu(t, x) dans ]0,+∞[×R. On verifie maintenant queu(t, x) tend vers φ(x) quand t → 0. On integre par parties (dans l’integraleci-dessous) en se souvenant que G(t, x) = ∂xS(t, x). On obtient

u(t, x) =

∫ +∞

−∞∂xS(t, x− y)φ(y)dy =

∫ +∞

−∞−∂y(S(t, x− y))φ(y)dy,

et donc

u(t, x) = [−S(t, x−y)φ(y)]+∞−∞+

∫ +∞

−∞S(t, x−y)φ′(y)dy =

∫ +∞

−∞S(t, x−y)φ′(y)dy,

puisque φ est identiquement nulle en dehors d’un intervalle compact. On peutmaintenant faire tendre t → 0 dans cette integrale, et on obtient (ce n’est


pas si simple ! ! le changement de variable donne ci-dessous en (6.11) donnela clef pour faire une demonstration rigoureuse)

limt→0

u(t, x) =

∫ +∞

−∞H(x− y)φ′(y)dy =

∫ x

−∞φ′(y)dy = φ(x).

Regardons maintenant les proprietes quand |x| → +∞.Pour t > 0, on a

u(t, x) =1√

4kπt

∫ +∞

−∞e−(x−y)2/4ktφ(y)dy =

1√4kπt

∫ A

−Ae−(x−y)2/4ktφ(y)dy,

ou l’on a choisit A suffisamment grand pour que le support de φ soit contenudans [−A,A]. Posons alors

z = (y − x)√

4kt . (6.11)

L’integrale ci-dessus s’ecrit

u(t, x) =1√π

∫ (A−x)/√

4kt

−(A+x)√

4kt

e−z2

φ(x+√

4ktz)dz.

Pour |x| assez grand, l’intervalle [−(A+ x)/√

4kt, (A− x)/√

4kt] ne contientpas 0. Prenons par exemple le cas x→ +∞. Pour x assez grand (on peut parexemple considerer x ≥ 2A), sur cet intervalle on a e−z

2 ≤ e−(A−x)2/4kt. Deplus φ est bornee par un reel M > 0 puisque continue et a support compact.On a donc

|u(t, x)| ≤ 2AM√4kt

e−(A−x)2/4kt ≤ 2AM

x− A

(supu>0

(u exp−u2)

),

qui donne le resultat.

6.4 Exercices

6.4.1 Avec le principe du maximum

1. Montrer que u(t, x) = 1−x2−kt est solution de l’equation de la chaleur.ou se trouvent ses maxima et minima dans le rectangle [0, T ]× [0, L] ?

2. Soit u une solution de l’equation de la chaleur, et M(T ) (resp. m(T ))le maximum (resp. le minimum) de u dans le rectangle [0, T ] × [0, L].La fonction M (resp. m) est-elle croissante ou decroissante ?

6.4. EXERCICES 73

6.4.2 Energie

1. Soit u une solution de∂tu(t, x)− k∂2

xxu(t, x) = 0,u(0, x) = φ(x),u(t, 0) = 0, u(t, L) = 0.

a. En multipliant l’equation par u, et en integrant sur le segment [0, L],montrer que

1

2

∫ L

0

∂t(u2(t, x))dx+ k

∫ L

0

(∂xu(t, x))2dx = 0

b. En deduire que l’energie E(t) = 12

∫ L

0

u2(t, x)dx est une fonction

decroissante.

c. Montrer l’unicite pour le probleme de Dirichlet.

2. On considere le probleme de Dirichlet suivant pour l’equation de lachaleur sur R+ × [0, 1] :

∂tu(t, x)− k∂2xxu(t, x) = 0,

u(0, x) = 4x(1− x),u(t, 0) = u(t, 1) = 0.

a. Montrer que u(t, x) ∈]0, 1[ pour tout t > 0 et tout x ∈]0, 1[.

b. Montrer que u(t, x) = u(t, 1− x) pour tout t ≥ 0 et tout x ∈ [0, 1].

c. Montrer queE(t) =∫ 1

0u(t, x)2dx est une fonction strictement decroissante.

6.4.3 Fonction de Green

1. Calculer une solution du probleme de Cauchy pour l’equation de lachaleur lorsque la donnee initiale est φ(x) = e−x. Discuter de l’unicite.

2. On veut calculer la valeur de l’integrale I =∫R z

2e−z2dz.

a) Calculer la solution u donnee par la fonction de Green, du problemede Cauchy pour l’equation de la chaleur lorsque la donnee initiale estφ(x) = x2.

b) Montrer que ∂3xxxu est solution de l’equation de la chaleur avec

donnee initiale nulle. En deduire que u est un polynome du seconddegre en x. Determiner ces coefficients.

c) Donner la valeur de I.


3. Resoudre l’equation de la chaleur avec dissipation :

∂tu(t, x)− k∂2xxu(t, x)− bu(t, x) = 0,

ou b est un reel positif. On pourra poser u(t, x) = e−btv(t, x).

4. Soit u(t, x) = G(x, t+ 1), et φ(x) = G(x, 1), de sorte que u est solutiondu probleme de Cauchy

∂tu = k∂2xxu,

u(0, x) = φ(x).

Que peut-on dire de u quand t → −1 ? Le probleme de Cauchy pourl’equation de la chaleur est-il bien pose pour les temps negatifs ?

Part II : Analyse de Fourier

75

Chapitre 7

Rappels sur les series deFourier

On rappelle principalement la theorie hilbertienne.

7.1 Series trigonometriques

7.1.1 Applications periodiques

On dit qu’une application f : R→ C est periodique de periode T ∈ R (on ditaussi T -periodique) si pour tout x de R, on a f(x+T ) = f(x). Il est facile devoir que l’ensemble P(T ) des fonctions T -periodiques est un espace vectorielsur C. Les fonctions x 7→ sinx et x 7→ cosx sont 2π-periodiques ; la fonctionx 7→ eix/T est (2π/T )-periodique. Une fonction definie sur un intervalle delongueur T peut bien sur etre identifiee a une fonction T -periodique.

On utilisera constamment la propriete elementaire suivante.

Proposition 7.1.1 Soit f une application T -periodique. Si f est continuepar morceaux sur [0, T ], alors pour tout x0 ∈ R, f est continue par morceauxsur [x0, x0 + T ] et l’on a ∫ x0+T

x0

f(t)dt =

∫ T

0

f(t)dt

7.1.2 Series trigonometriques

Une serie de fonctions de terme general fn(t) est appelee serie trigonome-trique lorsque la fonction f0 est constante et qu’il existe deux suites (an)n≥1

77

78 CHAPITRE 7. RAPPELS SUR LES SERIES DE FOURIER

et (bn)n≥1 de nombres reels telles que pour tout n ≥ 1 et tout t on ait

fn(t) = an cos(nt) + bn sin(nt)

On pose alors a0 = 2f0(t) et l’on ecrit∑n≥0

fn(t) =a0

2+∑n≥1

an cos(nt) + bn sin(nt)

Nous utiliserons plutot la notation exponentielle pour les series trigonometriques.Posant en effet c0 = a0/2 et, pour tout n ≥ 1,

cn =1

2(an − ibn) et c−n =

1

2(an + ibn)

on obtient la relation ∑n≥0

fn(t) =∑n∈Z

cneint

Reciproquement il est clair qu’une serie de fonctions du type∑

n∈Z cneint

est une serie trigonometrique, avec a0 = 2c0 et pour n ≥ 1, an = cn + c−n,bn = i(cn − c−n). Le lecteur devra pourtant prendre garde a cette nota-tion. On dira en effet que la serie

∑n∈Z cne

int converge lorsque la seriea02

+∑

n≥1 an cos(nt) + bn sin(nt) correspondante converge, ce qui conduita la

Definition 7.1.2 On appelle p-ieme somme partielle de la serie trigonome-trique

∑n∈Z cne

int la fonction de R dans C definie par

Sp(t) =

n=p∑n=−p

cneint

On dira que la serie est convergente (simplement, normalement) lorsque lasuite de fonctions (Sp) converge (simplement, normalement).

Lorsque les series∑|an| et

∑|bn| convergent, on voit immediatement que

la serie trigonometrique correspondante converge normalement, la fonctionsomme etant alors une fonction continue et 2π-periodique.

Proposition 7.1.3 L’ensemble D des points ou la serie trigonometriqueconverge simplement est invariant sous l’effet de la translation t 7→ t+ 2π, etla fonction somme S est 2π-periodique. Si la serie converge normalement surun intervalle I de D, la fonction S est continue sur I. C’est notament le caslorsque les series de termes generaux an et bn sont absolument convergentes.

7.2. SERIES DE FOURIER 79

Lorsque la serie trigonometrique∑

n∈Z cneint est normalement convergente

sur [0, 2π] (donc sur R), il existe une relation simple entre les coefficients cnet la fonction somme de cette serie.

Proposition 7.1.4 Soit∑

n∈Z cn eint une serie trigonometrique normale-ment convergente sur [−π, π] et S sa fonction somme. Alors la fonction S estcontinue sur R et l’on a, pour tout n ∈ Z,

cn =1

2π

∫ π

−πS(t)e−intdt

Si de plus la serie trigonometrique∑incne

int des derivees est normalementconvergente, de somme S1, la fonction S est derivable avec S ′ = S1.

Preuve : La fonction somme S est continue par la theorie generale et 2π-periodique. De plus on a∫ π

−πS(t)e−iptdt =

∑n∈Z

cn

∫ π

−πei(n−p)tdt

On utilise alors le lemme suivant dont la preuve est un Exercice facile.

Lemme 7.1.5 Soit k un entier relatif et I(k) =∫ π−π e

iktdt. On a

I(k) =

0 si k 6= 02π si k = 0

La derivabilite de S est directement donnee par le theoreme de derivabilitedes series de fonctions.

7.2 Series de Fourier

Pour alleger les notations, nous travaillerons avec des fonctions 2π-periodiques.L’ensemble des definitions et resultats de ce chapitre s’applique cependantaux fonctions T -periodiques, a condition de remplacer a chaque fois les fonc-tions 2π-periodiques t 7→ cos(nt), t 7→ sin(nt) et t 7→ eint respectivementpar les fonctions t 7→ cos(2πnt/T ), t 7→ sin(2πnt/T ) et t 7→ e2iπnt/T qui sontT -periodiques. On note E l’espace des fonctions 2π-periodiques et continuespar morceaux sur chaque periode.


7.2.1 Coefficients de Fourier

Definition 7.2.1 Soit f une fonction continue par morceaux sur [−π, π].On appelle coefficients de Fourier exponentiels de f les nombres complexescn definis pour tout n ∈ Z par

cn(f) =1

2π

∫ π

−πf(t)e−intdt

Les coefficients de Fourier trigonometriques sont definis par

an(f) =1

π

∫ π

−πf(t) cos(nt)dt et bn(f) =

1

π

∫ π

−πf(t) sin(nt)dt

Exercice 7.2.2 Calculer les coefficients de Fourier de la fonction 2π-perio-dique f definie sur [0, 2π] par f(x) = x2.

Exercice 7.2.3 Soit f une fonction de E et g la fonction de E definie parg(t) = f(t+ a) ou a est un reel fixe. Calculer les coefficients de Fourier de gen fonction de ceux de f .

Remarque 7.2.4 Si S est la somme d’une serie trigonometrique∑cne

int

normalement convergente, les coefficients de Fourier trigonometriques de Ssont les cn (cf. la Proposition 7.1.4).

Voici d’abord quelques proprietes tres simples de ces coefficients de Fourier.

1. On a b0 = 0, et a0/2 est la valeur moyenne de f sur une periode

2. Dans chacune des definitions ci-dessus, l’intervalle [−π, π] peut etreremplacee par n’importe quel intervalle de longueur 2π.

3. Si f est une fonction a valeurs reelles, an et bn sont reels et cn = c−npour tout n

4. Si f est une fonction paire, tous les bn sont nuls. De meme si f estimpaire, tous les an sont nuls

5. On a, pour tout n ∈ N, les relations an = cn + c−n, bn = i(cn − c−n) etcn = (an − ibn)/2, c−n = (an + ibn)/2

6. Les coefficients de Fourier d’une combinaison lineaire de fonctions sontles combinaisons lineaires correspondantes des coefficients de Fourierde chacune d’elles : cn(λ.f + µ.g) = λ.cn(f) + µ.cn(g)

7.

|cn(f)| ≤ 1

2π

∫ +π

−π|f(t)|dt .

7.2. SERIES DE FOURIER 81

8.

|cn(f)| ≤(

1

2π

∫ +π

−π|f(t)|2 dt

) 12

.

La propriete suivante porte le nom de Lemme de Riemann-Lebesgue.

Proposition 7.2.5 Soit f une fonction de E. Les suites (an(f)), (bn(f)),(cn(f)) et (c−n(f)) des coefficients de Fourier de f sont convergentes et ontpour limite 0.

PreuveIl est clair qu’il suffit de prouver la proposition pour les suites (cn) et (c−n)(n ∈ N). De plus puisque cn(f) = c−n(f), on voit qu’il suffit de prouver laproposition pour la suite (c−n). Pour les fonctions f =

∑Nj=0 Kj1I[xj ,xj+1] en

escaliers, on a

c−n(f) =1

2π

N∑j=0

∫ xj+1

xj

Kjeintdt =

1

2inπ

N∑j=0

Kj(einxj+1 − einxj),

et donc la majoration

|c−n| ≤1

nπ

N∑j=0

|Kj| .

Pour une fonction continue par morceaux f sur [−π,+π] quelconque, la pro-position decoule alors du fait qu’il existe (exercice) une suite (φk) de fonctionsen escaliers telle que

∫ π−π |f(x)− φk(x)|dx→ 0 quand n→ +∞.

Deux fonctions distinctes peuvent-elles avoir les memes coefficients de Fou-rier ? En appliquant le resultat suivant a leur difference, on voit qu’il n’en estrien si ces fonctions different en un point ou elles sont toutes deux continues :

Proposition 7.2.6 Soit f une fonction continue par morceaux periodique.S’il existe un point c ∈ [−π, π] tel que f(c) 6= 0 et f soit continue en c, alorsles coefficients de Fourier de f ne sont pas identiquement nuls.

7.2.2 Series de Fourier. Cas des fonctions regulieres

Nous venons de definir les coefficients de Fourier d’une fonction periodique fdont nous avons seulement suppose qu’elle etait continue par morceaux. Nousnous interessons maintenant a la serie trigonometrique dont les coefficientssont precisement les cn(f) et que l’on appelle serie de Fourier de f . Laquestion naturelle est de savoir si cette serie trigonometrique converge et


dans ce cas si sa fonction somme est f . La reponse est tres delicate dansle cas ou l’on ne fait pas d’hypotheses supplementaires sur la fonction f .Par contre, et c’est l’objet de ce paragraphe, on peut voir assez facilementque c’est bien le cas pour les fonctions periodiques qui sont suffisammentregulieres, c’est a dire plusieurs fois derivables. L’ensemble des resultats quisuivent repose sur la

Proposition 7.2.7 Soit k un entier strictement positif, f une fonction 2π-periodique, (cn(f)) la suite des coefficients de Fourier exponentiels de f . Si fest k fois continument derivable sur R, alors il existe un reel M > 0 tel quepour, tout n ∈ Z \ 0, on ait

|cn(f)| ≤ M

|n|k

Preuve : Supposons que f est continument derivable. En integrant par partieset puisque f(2π) = f(0) on obtient

cn(f) =

∫ 2π

0

f(t)e−intdt =1

in

∫ 2π

0

f ′(t)e−intdt

et donc

|cn(f)| ≤ 2π

nsup|f ′(t)|, t ∈ [0, 2π].

Dans le cas d’une fonction f de classe Ck avec k > 1, il suffit de montrer parrecurrence de la meme maniere que

cn(f) =1

(in)k

∫ 2π

0

f (k)(t)e−intdt.

Corollaire 7.2.8 Si f est une fonction 2π-periodique de classe Ck sur Ravec k ≥ 2, alors la serie de Fourier de f est normalement convergente et sasomme est f .

Preuve : Puisque l’on a |cn(f)| ≤M/n2, la serie trigonometrique∑cn(f)eint

est normalement convergente. On a vu que les coefficients de Fourier de lafonction somme S sont alors egaux a ceux de la fonction f . Puisque f et Ssont continues, la proposition 7.2.6 entraıne l’egalite f = S.

7.3. THEOREME DE CONVERGENCE SIMPLE DE DIRICHLET 83

7.3 Theoreme de convergence simple de Di-

richlet

Nous abordons maintenant le probleme difficile de la convergence des seriesde Fourier de fonctions peu regulieres. Dans ce cas la convergence uniformen’a pas toujours lieu et nous devrons nous contenter d’un theoreme de conver-gence simple du a G. Dirichlet.On dira qu’une fonction continue par morceaux sur [0, 2π] est continumentderivable par morceaux (on dit aussi C1 par morceaux) sur cet intervalle s’ilexiste une partition de [0, 2π] constituee d’un nombre fini d’intervalles [a, b]tels que

1. f est continue sur ]a, b[ ; de plus f possede une limite a droite en a etune limite a gauche en b,

2. f est derivable sur ]a, b[ et f ′ est continue par morceaux sur cet inter-valle.

Proposition 7.3.1 (Theoreme de Dirichlet) Soit f une fonction 2π-periodiquecontinument derivable par morceaux et x0 ∈ [0, 2π]. Alors la serie de Fourierde f converge simplement en x0 et sa somme est

f(x0+) + f(x0−)

2

ou f(x0+) et f(x0−) sont les limites a droite et a gauche de f en x0. Si deplus f est continue en x0, sa serie de Fourier converge vers f(x0).

La preuve de ce theoreme utilise le

Lemme 7.3.2 Pour tout n ∈ N∗, et tout u ∈ R \ 2πZ on a :

1

2+

n∑k=1

cos(ku) =1

2

sin[(n+ 12)u]

sin[u2]·

PreuveOn remarque que

∑nk=1 cos[ku] = Re

∑nk=1 e

iku. Or

n∑k=1

eiku = Ren∑k=1

(eix)k = eiu1− einu

1− eiu= eiu/2einu/2

e−inu/2 − einu/2

e−iu/2 − eiu/2= ei(n+1)u/2 sin(nu/2)

sin(u/2)·

Donc

12

+∑n

k=1 cos(ku) = 12

+ cos[(n+1)u/2] sin(nu/2)sin(u/2)

= 12

+ 12

sin[(n+1/2)u]+sin[−u/2]sin(u/2)

= 12

sin[(n+ 12

)u]

sin[u2

]·

(7.1)


En fait, on va demontrer le resultat un peu plus general suivant.

Proposition 7.3.3 Soit f une fonction 2π-periodique, integrable sur toutcompact de R. Si

1. la fonction f admet une limite a droite et une limite a gauche au pointx, notees respectivement f(x+ 0) et f(x− 0) ;

2. la fonction u 7→ 1u(f(x+u) +f(x−u)−f(x+ 0)−f(x−0)) est bornee

au voisinage de 0,

alors, la serie de Fourier de f converge (simplement) au point x vers f(x+0)+f(x−0)2

·

PreuveSoit Sn(x) la n−ieme somme partielle de la serie de Fourier de f :

Sn(x) =n∑k=0

ak cos(kx) + bk sin(kx).

En utilisant les definition des ak et des bk, on a

Sn(x) = 12π

∫ π−π f(t)dt+

∑nk=1

1π

∫ π−π f(t)[ cos(kt) cos(kx) + sin(kt) sin(kx)]dt

= 1π

∫ π−π f(t)[1

2+∑n

k=1 cos k(t− x)]dt

= 12π

∫ π−π f(t)

sin[(n+ 12

)(t−x)]

sin[ t−x2

]dt,

(7.2)ou la derniere egalite decoule du Lemme 7.3.2. En posant u = t − x, et enutilisant la periodicite de l’integrant, on obtient

Sn(x) =1

2π

∫ π−x

−π−x

sin[(n+ 12)u)]

sin[u2]

f(x+u)du =1

2π

∫ π

−π

sin[(n+ 12)u)]

sin[u2]

f(x+u)du.

On decoupe l’integrale en deux et on change de variable dans le premiermorceau :

Sn(x) = 12π

∫ 0

−πsin[(n+ 1

2)u)]

sin[u2

]f(x+ u)du+ 1

2π

∫ π0

sin[(n+ 12

)u)]

sin[u2

]f(x+ u)du

= 12π

∫ π0

sin[(n+ 12

)u)]

sin[u2

]f(x− u)du+ 1

2π

∫ π0

sin[(n+ 12

)u)]

sin[u2

]f(x+ u)du.

(7.3)

On a donc la ”formule de Dirichlet” :

Sn(x) =1

π

∫ π

0

sin[(n+ 12)u)]

sin[u2]

f(x+ u) + f(x− u)

2du.

7.3. THEOREME DE CONVERGENCE SIMPLE DE DIRICHLET 85

Au passage, on note que pour f0 = 1, on a a0(f0) = 1, an(f0) = bn(f0) = 0pour tout n ≥ 1, et la formule de Dirichlet donne

1 =1

π

∫ π

0

sin[(n+ 12)u)]

sin[u2]

du.

Notons alors α = f(x+0)+f(x−0)2

· On a

Sn(x)− α = 1π

∫ π0

sin[(n+ 12

)u)]

sin[u2

]f(x+u)+f(x−u)

2du− α 1

π

∫ π0

sin[(n+ 12

)u)]

sin[u2

]du

= 1π

∫ π0

sin[(n+ 12

)u)]

sin[u2

][f(x+u)+f(x−u)

2− α]du

= 1π

∫ π0φ(u) sin[(n+ 1

2)u)]du.

(7.4)

Dans cette expression,

φ(u) =u

sin[u2]

1

u[f(x+ u) + f(x− u)

2− α]

est une fonction bornee au voisinage de 0, et integrable sur tout intervallede la forme [ε, 2π], ε > 0, par hypothese. Par consequent φ est integrable sur[0, 2π], et le Lemme de Riemann-Lebesgue permet d’affirmer que

limn→+∞

Sn(x)− α = limn→+∞

1

π

∫ π

0

φ(u) sin[(n+1

2)u)]du = 0 ,

ce qui termine la preuve du theoreme de Dirichlet.

Chapitre 8

Notions Hilbertiennes etapplications aux series deFourier

8.1 Espace vectoriel norme

8.1.1 Norme

Definition 8.1.1 Soit E un espace vectoriel sur K ou K designe R ou C.On appelle norme sur E une application x 7→ ||x|| de E dans R verifiant lesproprietes suivantes :

1. ||x|| ≥ 0 ,∀x ;

2. ||x|| = 0 si et seulement si x = 0 ;

3. ||λx|| = |λ| ||x|| , ∀x ∈ E , ∀λ ∈ K ;

4. ||x+ y|| ≤ ||x||+ ||y|| .

Definition 8.1.2 Un espace vectoriel muni d’une norme est appele espacevectoriel norme.

Comme Exemple, Rm peut-etre muni de differentes normes. Pour tout p ∈[1,+∞[, on peut introduire la norme :

Rm 3 x 7→ |x|p = (m∑i=1

|xi|p)1p .

Le lecteur pourra facilement le verifier pour p = 1 et verra plus tard unedemonstration du cas p = 2.

87

88 CHAPITRE 8. NOTIONS HILBERTIENNES

De meme, on peut introduire :

Rm 3 x 7→ |x|∞ = supi|xi| .

Sur l’espace des fonctions continues sur [a, b] C0([a, b]), les applications f 7→supt∈[a,b] |f(t)|, f 7→

∫ ba|f(t)|dt definissent une norme.

8.1.2 Distance

Tout sous-ensemble Ω d’un espace vectoriel norme E est canoniquement munid’une distance associee :

d(x, y) = ||x− y||c’est a dire d’une application d qui verifie :

Definition 8.1.3 1. d(x, y) > 0 ,∀x, y avec x 6= y ;

2. d(x, x) = 0 si et seulement si x = 0 ;

3. d(x, y) = d(y, x) ;

4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

On peut alors definir la notion de limite d’une suite dans Ω. On dira qu’unesuite (xn) de points de Ω converge vers une limite ` dans Ω, si la suite d(xn, `)tend vers 0. On dira qu’une suite de xn est de Cauchy si :

∀ε > 0,∃N ∈ N tel que ∀n ≥ N,∀p ≥ N, on ait d(xn, xp) ≤ ε .

Comme dans le cas de R, on dit que Ω est complet si toute suite de Cauchydans Ω converge dans Ω. Rm est complet pour n’importe laquelle des distancesdefinies ci-dessus. Un intervalle ouvert ]a, b[ dans R n’est pas complet. Onpeut, par exemple, voir que la suite de terme general (a + b−a

2n)n ∈ N∗ est

de Cauchy, car convergente dans R vers a mais n’est pas convergente dans]a, b[ car la limite mentionnee n’est pas dans l’intervalle ]a, b[. Par contre,un intervalle ferme [a, b] est complet. Le disque ouvert dans R2 n’est pascomplet. On donnera plus tard des exemples plus subtiles dans des espacesde dimension infinie.

8.2 Espaces prehilbertiens

8.2.1 Produit scalaire.

Definition 8.2.1 Un produit scalaire sur un espace vectoriel E sur C estdefini par une application de E × E dans C : (x, y) 7→ 〈x, y〉 telle que

8.2. ESPACES PREHILBERTIENS 89

1. x 7→ 〈x, y〉 est une application lineaire, pour tout y ∈ E fixe.

2. 〈x, y〉 = 〈y, x〉 ;3. 〈x, x〉 = 0 si et seulement si x = 0 ;

4. 〈x, x〉 ≥ 0.

Definition 8.2.2 Un espace prehilbertien est un espace vectoriel muni d’unproduit scalaire.

Exemple 8.2.3 Sur E = Cm, (z, z′) 7→∑

j zj · z′j definit un produit scalairesur Cm. On parle d’espace hermitien. Sur E = Rm, (x, x′) 7→

∑j xj · x′j

definit un produit scalaire sur Rm. On parle d’espace euclidien.

Exemple 8.2.4 Sur E = C0([a, b];C), l’application (f, g) 7→ (∫ baf(t)g(t)dt)

definit un produit scalaire.Notons que, si on remplace C0([a, b];C), par l’espace des fonctions continuespar morceaux sur C, ce n’est plus un produit scalaire. Si en effet une fonctionf est nulle sauf en un nombre fini de points ou elle est non-nulle. Le produitscalaire 〈f, f〉 est nul sans que la fonction soit identiquement nulle.Le plus sage sera, pour beaucoup de problemes, de considerer que ces fonctionstelles que 〈f, f〉 sont “nulles” (comme on l’a vu dans le cas des series deFourier) mais c’est une autre histoire que l’on racontera (un peu mais) plustard.

8.2.2 Inegalite de Cauchy-Schwarz.

L’inegalite suivante, appelee inegalite de Cauchy-Schwarz, joue un role tresimportant dans l’analyse hilbertienne.

Proposition 8.2.5 Dans un espace prehilbertien on a :

|〈x, y〉| ≤√〈x, x〉

√〈y, y〉 .

8.2.3 Norme prehilbertienne

Un espace prehilbertien est automatiquement muni d’une norme definie par :

||x|| =√〈x, x〉 .

La verification que c’est une norme est une consequence immediate de Cauchy-Schwarz. On verifie en effet que :√

〈(x+ y), (x+ y)〉 ≤√〈x, x〉+

√〈y, y〉 ,

en elevant au carre.


Remarque 8.2.6 On peut retrouver, dans le cas d’une norme associee a unproduit scalaire, le produit scalaire a partir de la norme. Dans le cas K = R,il suffit en effet de remarquer l’identite :√

〈(x+ y), (x+ y)〉 −√〈(x− y), (x− y)〉 = 4〈x, y〉 ,

que l’on reecrit sous la forme :

〈x, y〉 =1

4

(||x+ y||2 − ||x− y||2

).

Dans le cas K = C, il faut jouer avec x+ y, x− y, x+ iy et x− iy.

Exemple 8.2.7 L’application f 7→(∫ b

a|f(t)|2dt

)definit une norme sur

C0([a, b];C). On parle de norme L2.

8.3 Orthogonalite

8.3.1 Quelques definitions.

On dit que x et y sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Plusgeneralement, deux espaces vectoriels M et N sont orthogonaux si pour toutx ∈M et y ∈ N , on a 〈x, y〉 = 0.

8.3.2 Le procede d’orthogonalisation de Gram-Schmidt.

Theoreme 8.3.1 Dans un espace prehilbertien H de dimension finie, onpeut toujours construire une base orthonormee.

Cela se fait par le procede de Gram-Schmidt.

8.3.3 Expression du produit scalaire dans une baseorthonormee.

Si x ∈ E et y ∈ E, avec x =∑xiei et y =

∑j yjej, on a :∑

i

xi · yi = 〈x, y〉 .

8.4. ESPACE DE HILBERT 91

8.4 Espace de Hilbert

8.4.1 L’espace `2

Jusqu’a maintenant, la plupart des exemples traites sont de dimension finie.Voila un exemple de base en dimension infinie.On designe par `2(N,C) (on peut aussi considerer `2(Z,C)) le sous ensembledes suites (xn)n∈N telles que :∑

n

|xn|2 < +∞ .

Proposition 8.4.1 L’ensemble `2 est un espace vectoriel sur C muni d’unestructure prehilbertienne par le produit scalaire :

〈x, y〉 :=∑i∈N

xiyi .

8.4.2 Definition d’un espace de Hilbert

Definition 8.4.2 On dit qu’un espace prehilbertien est un espace de Hilberts’il est complet, c’est-a-dire, si toute suite de Cauchy converge.

Exemple 8.4.3 `2 est complet. Soit en effet (Xn) (n ∈ N) une suite deCauchy dans `2 (attention, c’est une suite de suites). En designant par Xnp

le terme general d’ordre p de Xn, on en deduit d’abord que, pour tout p ∈ N,la suite Xnp (n ∈ N) est de Cauchy dans C qui est complet. Il existe doncX∞p dans C tel que :

X∞p = limn→+∞

Xnp .

On montre ensuite (exercice), en se rappelant que Xn est une suite de Cauchy,que la suite de terme general X∞p (p ∈ N) est dans `2 et que la suite Xn de`2 converge vers X∞ dans `2 :

limn→+∞

||X∞ −Xn||`2 = 0 .

8.4.3 Convergences

On discute ici les liens entre convergence faible et convergence forte.

Definition 8.4.4 On dit qu’une suite xn dans un espace prehilbertien Hconverge faiblement, si pour tout y ∈ H, la suite 〈xn, y〉 est convergente.


On verifie facilement, que si xn converge fortement vers une limite x∞, c’esta dire si d(x∞, xn) = ||x∞ − xn|| tend vers 0, alors xn converge faiblementvers x∞. On a en effet :

|〈xn, y〉 − 〈x∞, y〉| ≤ ||xn − x∞|| · ||y|| .

Proposition 8.4.5 Dans un HilbertH , si xn est une suite faiblement conver-gente, alors il existe x∞ dans H, tel que : 〈xn, y〉 tende vers 〈x∞, y〉 pour touty.

Demonstration : admise.

8.5 Theoreme de la projection orthogonale

Definition 8.5.1 Soit H un espace prehilbertien et F un sous-espace vecto-riel de dimension finie. On dit que x0 ∈ F est la meilleure approximation dex dans F si :

||x− x0|| ≤ ||x− y|| , ∀y ∈ F . (8.1)

L’exemple type est dans R2 muni du produit scalaire euclidien, le cas ou Fest une droite passant par l’origine.

Theoreme 8.5.2 .

1. x0 est la meilleure approximation de x dans F si et seulement si (x−x0)est orthogonal a F .

2. x0 s’il existe est unique.

3. Si F est de dimension finie m, x0 existe. Il est donne, si (ei) est unebase orthonormee de F (i = 1, · · · ,m) par :

x0 =∑i

〈x , ei〉ei .

Le point x0 est aussi appele la projection orthogonale de x sur F . On peutmontrer que l’application qui associe a x sa projection orthogonale x0 estlineaire. Elle est notee ΠF .On notera que :

||x||2 = ||ΠFx||2 + ||x− ΠFx||2 . (8.2)

Comme corollaire, nous obtenons l’inegalite de Bessel.

8.6. CONVERGENCE EN MOYENNE QUADRATIQUE 93

Proposition 8.5.3 Si (ei) est un systeme orthonorme, alors∑i

|xi|2 ≤ ||x||2 ,

avec xi = 〈x , ei〉.

Le cas ou le systeme est infini (i ∈ N∗) peut aussi etre traite en montrantd’abord, pour tout N , l’inegalite pour i = 1, · · · , N .Notons que l’on peut considerer plus generalement ce probleme de la meilleureapproximation dans le cas ou , a la place de F , on considere des ensemblesplus generaux Ω convexes, complets.

Exercice 8.5.4 On peut reprendre la demonstration du procede de Gram-Schmidt en utilisant la notion de projecteur orthogonal. On considere la pro-jection de yn sur l’espace E(n−1) :

ΠE(n−1)yn =n−1∑k=1

〈yn , xk〉xk .

On observe que le vecteur yn − ΠE(n−1)yn est orthogonal a E(n−1) d’apresle theoreme de la projection orthogonale. Multipliant par un scalaire ann onobtient xn.

Exercice 8.5.5 On considere l’espace prehilbertien C0([0, 1];C) muni de la

norme f 7→√∫ 1

0|f(t)|2 dt. On peut prendre comme F (m) l’espace des po-

lynomes de degre inferieur ou egal a m. Dans un premier temps, on peut ap-pliquer le procede de Gram-Schmidt a la base : (1, t, t2, · · · , tm) pour construireune base orthonormale de F (m).

Etudier le projecteur ΠF (m) .

8.6 Convergence en moyenne quadratique

Nous nous interessons maintenant a l’approximation des fonctions periodiquespar des polynomes trigonometriques. Le resultat principal dans ce domaineest que pour une notion naturelle de distance entre les fonctions de E , lepolynome trigonometrique de degre n fixe le plus proche d’une fonction f estprecisement la n-ieme somme partielle de la serie de Fourier de f .


Nous introduisons donc d’abord une notion adequate de ”distance” entre lesfonctions de E periodique et continues par morceaux sur une periode, qui al’avantage par rapport a la distance habituelle

d∞(f, g) = supx∈[0,2π]

|f(x)− g(x)|

(associee a la norme ||f ||∞ = supx∈[0,2π] |f(x)|) de n’etre pas sensible ad’eventuelles discontinuites isolees. On pose en effet, pour deux fonctionsf et g de E ,

d2(f, g) = (

∫ 2π

0

|f(t)− g(t)|2dt)1/2

et on appelle ce nombre ecart quadratique moyen entre f et g. Il s’agit de la“distance” associee a la “norme” prehilbertienne introduite comme exempledans un paragraphe precedent. L’introduction des guillemets est due au faitque l’ecart quadratique moyen entre deux fonctions qui ne different qu’en unnombre fini de points est nul alors que les fonctions sont distinctes.

Proposition 8.6.1 Si une suite de fonction (fn) de E converge vers unefonction f de E muni de la norme || · ||∞, alors cette suite converge vers f enecart quadratique moyen, c’est a dire

limn→+∞

d2(f, fn) = 0

Preuve : L’hypothese de convergence de la suite (fn) s’ecrit

limn→+∞

supx∈[0,2π]

|fn(x)− f(x)| = 0

Or on a

d2(f, fn) ≤ supx∈[0,2π]

|fn(x)− f(x)|(∫ 2π

0

dt)1/2

ce qui montre la proposition.

Proposition 8.6.2 Soit f une fonction periodique de periode 2π, continuepar morceaux sur R. Parmi tous les polynomes trigonometriques Q(x) dedegre inferieur a n, le polynome de Fourier de degre n est le seul pour lequell’ecart quadratique moyen d2(f,Q) atteint sa plus petite valeur, et l’on a

d2(f, Pn) =

∫ 2π

0

|f(t)|2dt− 2πn∑

k=−n

|ck(f)|2 (8.3)

8.6. CONVERGENCE EN MOYENNE QUADRATIQUE 95

Preuve : C’est juste (dans le cas ou f est continue) une application dutheoreme de la projection orthogonale. On prend comme espace prehilbertienH l’espace des fonctions continues periodiques et comme espace F l’espacede dimension m = 2n + 1 des polynomes trigonometriques d’ordre inferieurou egal a n.

Dans le cas general, il y a une petite difficulte liee au fait que la distance d2

n’est pas tout a fait une distance.

l’Inegalite de Bessel prend la forme suivante :

Corollaire 8.6.3 Soit f une fonction 2π-periodique et continue par mor-ceaux. Alors la serie

∑n∈Z |cn(f)|2 est convergente et l’on a

∑n∈Z

|cn(f)|2 ≤ 1

2π

∫ 2π

0

|f(t)|2dt

Voici enfin la celebre formule de Parseval qui en termes physiques montreque l’energie d’un signal est egal a la somme des energies des harmoniquesqui le composent.

Corollaire 8.6.4 Soit f une fonction 2π-periodique de classe C2. On al’egalite ∑

n∈Z

|cn(f)|2 =1

2π

∫ 2π

0

|f(t)|2dt (8.4)

Preuve : On a vu que la serie de Fourier des fonctions 2π-periodiques declasse C2 etait normalement convergente. Avec la proposition 8.6.1 on a donc

limn→+∞

d2(f, Pn) = 0

ou Pn designe le n-ieme polynome de Fourier de f . Il suffit alors de passer ala limite dans l’identite (8.3) de la proposition precedente.

La preuve de ce corollaire montre que la formule de Parseval est vraie desque la serie de Fourier de f converge normalement, par exemple pour lesfonctions C1 par morceaux qui sont continues. On peut aussi montrer (maisc’est beaucoup plus difficile !) que la formule de Parseval est vraie meme pourles fonctions qui sont seulement continues par morceaux. Ceci sera expliquebrievement dans la section suivante.


8.7 Theorie hilbertienne

On suppose ici que le lecteur est familier avec l’integrale de Lebesgue (allez-voir le Rudin). On aurait du mentionner auparavant que C0

per ou E (memequotiente par les ”fonctions ”nulles”) n’est pas un espace complet quand onchoisit comme norme la norme L2. On ne peut donc pas utiliser toute lapuissance de l’analyse Hilbertienne pour ces espaces. On definit facilementL2(T1) (autre notation L2(S1)) des (classes de) fonctions L2 sur le tore enl’identifiant a L2(]0, 2π[) muni de sa norme canonique. Pas de probleme carle point enleve sur le cercle est de mesure (de Lebesgue) nulle.On sait par la theorie de Lebesgue que cet espace muni de la norme L2 estcomplet.Comme C∞0 (]0, 2π[), qu’on peut identifier a un sous-espace des fonctions C∞(2π)-periodiques, est dense dans L2(]0, 2π[) muni de sa norme naturelle (c’estla methode de troncature et regularisation), on en deduit que C∞per est densedans L2(T1).

Par ailleurs, on a vu que les fonctions t 7→ en(t) := eint (n ∈ Z) forment unsysteme orthonorme dans L2(T1).Les coefficients de Fourier cn(f) sont egalement bien definis comme

cn(f) = 〈f , en〉L2 .

D’apres (8.4), on a, pour f dans C∞per∑n

|cn(f)|2 = ||f ||2L2 .

Cette identite se prolonge par continuite a f ∈ L2.Il est alors facile de verifier, que la famille en (n ∈ Z) est une base hilbertiennede L2(T1) et il resulte alors de la theorie Hilbertienne que f 7→ (cn(f))n∈Zdefinit une isometrie de L2(T1) sur `2(Z).

Espaces de Sobolev sur le cercle.On commence par travailler sur `2(Z;C). On pose h0(Z) = `2(Z) puis on

definit par recurrence pour k ≥ 1

hk(Z) = (an)n∈Z ∈ hk−1(Z) , (nan) ∈ hk−1(Z) ,

muni de la norme hilbertienne naturelle associee a la definition :

||(an)||2hk := ||(an)||2hk−1 + ||(nan)||2hk−1

8.7. THEORIE HILBERTIENNE 97

On vient de definir une isometrie de L2(T1) sur `2(Z). Grace a cette isometrie,on peut definir des sous-espaces naturels de L2(T1), notes Hk(T1), correspon-dant a hk. Si on observe que h1 est inclus dans l’espace des series absolumentconvergentes, qui est une consequence de l’inegalite de Cauchy-Schwarz :

∑n

|an| = |a0|+∑n6=0

1

n(n|an|) ≤ |a0|+ ||nan||`2

√∑n6=0

1

n2,

on peut inclure H1(T1) dans C0(T1), c’est a dire que si u ∈ H1(T1), il existeune fonction continue periodique dans la classe de fonctions de u (considereecomme element de L2(T1)). Elle est simplement definie comme :∑

n

cn(u)eint ,

ou cn(u) est le coefficient de Fourier de u.

Exercice 8.7.1 Montrer que ∩k∈Nhk := s(Z) correspond dans l’isomorphismecanonique aux fonctions C∞ sur T1 (ou encore aux fonctions C∞ (2π)-periodiquessur R).

Chapitre 9

Transformation de Fourier

9.1 Transformee de Fourier L1.

La transformation de Fourier d’une fonction f ∈ L1(Rn) est la fonctionF(f) ∈ L∞(Rn) definie par

F(f)(ξ) =

∫e−ix·ξf(x)dx . (9.1)

Par la theorie de l’integration, on observe que Ff est en fait continue et quel’on a :

‖F(f)‖L∞ ≤ ‖f‖L1 . (9.2)

Un resultat un peu plus delicat est le lemme de Riemann-Lebesgue :

Lemme 9.1.1 Si f ∈ L1(Rn), on a :

lim|ξ|→+∞

F(f)(ξ) = 0 .

La preuve est en deux temps.On montre d’abord que c’est vrai pour f dans C∞0 (Rb) en utilisant que

(−∆ + 1)e−ix·ξ = (1 + |ξ|2)e−ix·ξ .

On peut alors ecrire que

(Ff)(ξ) = (1 + |ξ|2)−1∫

(−∆ + 1)e−ix·ξ f(x)dx= (1 + |ξ|2)−1

∫(e−ix·ξ (−∆ + 1)f(x)dx

= (1 + |ξ|2)−1F((−∆ + 1)f) .

On peut alors appliquer (9.2) a (−∆ + 1)f .

99

100 CHAPITRE 9. TRANSFORMATION DE FOURIER

Dans une deuxieme etape, on utilise la densite de C∞0 (Rn) dans L1(Rn) et lacontinuite de la transformee de Fourier de L1 dans L∞.

Le role majeur que joue la transformation de Fourier dans l’etude des EDPest lie au fait que, lorsque ces objets sont bien definis,

F(∂jf)(ξ) = iξjF(f)(ξ).

Autrement dit, F transforme l’action d’un operateur differentiel a coefficientsconstants en produit par un polynome. Ce fait n’aurait aucun interet sansune formule d’inversion permettant de retrouver la fonction f connaissantF(f) :

f(x) =1

(2π)n

∫eix·ξF(f)(ξ)dξ .

Malheureusement, cette formule n’a de sens que lorsque F(f) ∈ L1(Rn), etce n’est en general pas le cas pour f ∈ L1. On commence donc par introduireune (suffisamment grande) classe de fonctions qui est stable par F , et pourlesquelles les deux proprietes ci-dessus sont vraies.

Notons finalement la proposition

Proposition 9.1.2 Pour f et g dans L1(Rn), la (classe de) fonction dansL1 definie (via Fubini) par

(f ? g)(x) =

∫f(x− y)g(y)dy p.p.

est dans L1(Rn) et admet comme transformee de Fourier

F(f ? g)(ξ) = (Ff)(ξ) (Fg)(ξ) . (9.3)

On notera parfois pour simplifier la fonction ξ 7→ (Ff)(ξ) par f(ξ).

9.2 L’espace S(Rn)

9.2.1 Definitions, exemples

Definition 9.2.1 On note S(Rn) l’ensemble des fonctions ϕ ∈ C∞(Rn) tellesque

∀(α, β) ∈ Nn,∃Cα,β > 0, t. q. supx|xα∂βϕ(x)| ≤ Cα,β.

Ici, on rappelle que xα = xα11 · · ·xαnn and ∂β = ∂β1x1 · · · ∂

βnxn .

9.2. L’ESPACE S(RN) 101

Exemples 9.2.2

1. C∞0 (Rn) ⊂ S(Rn).

2. Pour z ∈ C tel que Re z > 0, la fonction ϕ(x) = e−z|x|2

appartient aS(Rn).

3. Si ϕ1, ϕ2 ∈ S(Rn), alors ϕ1ϕ2 ∈ S(Rn).

On dit souvent qu’une fonction ϕ ∈ C∞ appartient a l’espace de SchwartzS(Rn) lorsque ϕ ∈ C∞ et ϕ ainsi que toutes ses derivees sont a decroissancerapide, entendant par la que leur produit par un polynome quelconque estborne. La topologie de S(Rn) qui nous interesse est celle donnee par la famillede semi-norme Np (en fait ce sont des normes) definies par

Np(ϕ) =∑

|α|+|β|≤p

sup |xα∂βϕ(x)|.

Par exemple pour ϕ ∈ C∞(Rn), on a l’equivalence

ϕ ∈ S(Rn)⇐⇒ ∀p ∈ N, Np(ϕ) < +∞.

Proposition 9.2.3 Si ϕ ∈ S(Rn) alors ∂βϕ ∈ S(Rn) et P (x)ϕ ∈ S(Rn)pour n’importe quel polynome P .

PreuveIl suffit de remarquer que

Np(xα∂βϕ) =

∑|λ|+|µ|≤p

sup |xλ∂µ(xα∂βϕ(x))| ≤ Np+q(ϕ) (9.4)

des que |α|+ |β| ≤ q.

9.2.2 Convergence des suites et theoremes de densite

Definition 9.2.4 Soit (ϕj) une suite d’elements de S(Rn). On dit que (ϕj)converge vers ϕ dans S(Rn) lorsque pour tout p ∈ N,

Np(ϕj − ϕ)→ 0 quand j → +∞.

Remarque 9.2.5 Soit α ∈ Nn. Si (ϕj) converge vers ϕ dans S(Rn), alors(xαϕj) converge vers xαϕ et (∂αϕj) converge vers (∂αϕ) dans S(Rn). Au-trement dit, la multiplication par xα et la derivation sont des operationscontinues dans S(Rn). Cela decoule immediatement de l’inegalite (9.4).


Proposition 9.2.6 Pour tout q ∈ [1,+∞], S(Rn) ⊂ Lq(Rn). On a meme,pour ϕ ∈ S(Rn),

‖xα∂βϕ‖Lq ≤ CqNp(ϕ)1−1/qNp+n+1(ϕ)1/q pour |α|+ |β| ≤ p.

Preuve.On demontre directement l’inegalite : dans le cas α = β = 0, elle donneS ⊂ Lq. On pose g(x) = xα∂βϕ(x).

‖xα∂βϕ‖qLq =∫|g(x)|qdx ≤ sup |g(x)|q−1

∫|g(x)|dx

≤ sup |g(x)|q−1 sup(1 + |x|)n+1|g(x)|∫

1(1+|x|)n+1dx

≤ CnN0(g)q−1Nn+1(g)= CnNp(ϕ)q−1Np+n+1(ϕ).

(9.5)

Puisque Np(ϕ) ≤ Np+n+1(ϕ), on a bien sur,

‖xα∂βϕ‖Lq ≤ CqNp+n+1(ϕ). (9.6)

On notera que dans le cas q = 1, la Proposition 9.2.6 et (9.6) donnent lameme majoration

‖xα∂βϕ‖L1 ≤ CNp+n+1(ϕ), (9.7)

alors que pour q =∞, la Proposition 9.2.6 est meilleure que (9.6) et donne

‖xα∂βϕ‖L∞ ≤ CNp(ϕ), (9.8)

ce qui decoule aussi directement de la definition de Np.Puisque C∞0 (Rn) est dense dans les Lp(Rn), pour p ∈ [1,+∞[, on en deduitle

Corollaire 9.2.7 S(Rn) est dense dans tous les Lp(Rn), pour p ∈ [1,+∞[.

On a aussi la

Proposition 9.2.8 C∞0 (Rn) est dense dans S(Rn) : pour ϕ ∈ S(Rn), il existeune suite (ϕj) de fonctions de C∞0 (Rn) qui converge vers ϕ dans S(Rn).

PreuveSoit ϕ ∈ S(Rn). Soit χ ∈ C∞0 (Rn) une fonction qui vaut 1 sur B(0, 1). Onpose ϕj(x) = ϕ(x)χ(x/j). Les fonctions ϕj sont C∞ a support compact, etvalent ϕ dans la boule B(0, j). La formule de Leibniz donne

∂β(ϕ− ϕj)(x) = ∂βϕ(x)(1− χ(x/j)) +∑

|γ|≥1,γ≤β

Cγβ

1

j|γ|∂β−γϕ(x)(∂γχ)(

x

j).

9.3. TRANSFORMATION DE FOURIER DANS S(RN) 103

Donc, quand j → +∞,

‖xα∂β(ϕ− ϕj)(x)‖∞ ≤ sup|x|≥j|xα∂βϕ(x)|+ C

j

∑γ≤β

‖xα∂β−γϕ‖∞ → 0.

Ici on rappelle que γ ≤ β signifie (par convention) que γ1 ≤ β1,...., γn ≤ βn.En effet

sup|x|≥j|xα∂βϕ(x)| ≤ 1

j2sup ||x|2xα∂βϕ(x)| ≤ 1

j2Np+2(ϕ).

9.3 Transformation de Fourier dans S(Rn)

9.3.1 Definitions, premieres proprietes

Pour ϕ ∈ S(Rn), on a ϕ ∈ L1(Rn), donc F(ϕ) est bien defini et appartient aL∞(Rn).

Definition 9.3.1 Pour ϕ ∈ S(Rn), on note ϕ, F(ϕ) ou encore Fx→ξ(ϕ(x))la fonction de L∞(Rn) definie par

ϕ(ξ) = F(ϕ)(ξ) = Fx→ξ(ϕ(x)) =

∫e−ix·ξϕ(x)dx.

L’application lineaire ϕ 7→ F(ϕ) est appelee transformation de Fourier.

On rassemble dans la proposition qui suit quelques proprietes de la transfor-mation de Fourier sur S(Rn).

Proposition 9.3.2 Soit ϕ ∈ S(Rn).

1. La fonction F(ϕ) est C1 et ∂jF(ϕ)(ξ) = Fx→ξ(−ixjϕ(x)).

2. Pour tout j ∈ 1, . . . , n, on a F(∂jϕ)(ξ) = iξjF(ϕ)(ξ).

3. Pour a ∈ Rn, Fx→ξ(ϕ(x− a)) = e−ia·ξF(ϕ)(ξ).

4. Pour a ∈ Rn, Fx→ξ(eia·xϕ(x)) = F(ϕ)(ξ − a).

Preuvei) La fonction (x, ξ) 7→ e−ix·ξϕ(x) est C1 sur Rn, et

|∂ξj(e−ix·ξϕ(x))| = | − ixje−ix·ξϕ(x)| = |xjϕ(x)| ∈ L1(Rn).


Donc le theoreme de derivation sous le signe somme dit que F(ϕ) est C1, etque

∂ξjF(ϕ)(ξ) =

∫−ixje−ix·ξϕ(x) = F(−ixjϕ(x)).

ii) On ecrit la preuve pour j = 1. En integrant par parties∫∂1ϕ(x)e−ix·ξdx1 = iξ1

∫ϕ(x)e−ix·ξdx1

On integre les deux membres de cette egalite par rapport a x′. Par Fubini,puisque ϕ, ∂1ϕ ∈ S(Rn) ⊂ L1(Rn), on obtient∫

∂1ϕ(x)e−ix·ξdx = iξ1

∫ϕ(x)e−ix·ξdx.

Pour (iv), il suffit d’ecrire

Fx→ξ(eia·xϕ(x)) =

∫e−ix·ξeia·xϕ(x)dx =

∫e−i(x−a)·ξϕ(x)dx = F(ϕ)(ξ − a).

On a enfin, en changeant de variable,

Fx→ξ(ϕ(x− a)) =

∫eix·ξϕ(x− a)dx =

∫ei(x+a)·ξϕ(x)dx = e−ia·ξF(ϕ)(ξ),

c’est a dire (iii).

En raison de la presence de i =√−1 dans les formules (i) et (ii), on introduit

la notation

Dj =1

i∂j.

Par exemple (ii) devient F(Djϕ) = ξjF(ϕ), et (i) s’ecritDjF(ϕ) = −F(xjϕ).On pourra retenir ces relations sous la forme

Djϕ = ξjϕ,

xjϕ = −Djϕ.

On remarque aussi, en utilisant (i), que F(ϕ) est C∞ puisque xαϕ ∈ S pourtout α ∈ Nn.


9.3.2 Gaussiennes (1)

Proposition 9.3.3 Pour z ∈ C tel que Re z > 0, on a

Fx→ξ(e−z|x|2

) = (

√π√z

)ne−|ξ|2/4z,

ou√z = e

12

ln(z), et ln z designe la determination principale du logarithmedans C \ R−.

PreuveOn remarque d’abord que

Fx→ξ(e−z|x|2

) =

∫e−i(x1ξ1+x2ξ2+...+xnξn)e−z(x

21+...x2n)dx1 . . . dxn =

n∏j=1

∫e−ixjξje−zx

2jdxj

Il suffit donc d’etablir le resultat en dimension 1. On suppose d’abord quez ∈]0,+∞[. Soit ϕz(x) = e−zx

2. On a vu que

∂ξϕ(ξ) =

∫e−ixξ(−ix)e−zx

2

dx

Donc, en integrant par parties,

∂ξϕ(ξ) =i

2z

∫e−ixξϕ′(x)dx = − i

2z

∫(−iξ)e−ixξϕ(x)dx = − ξ

2zϕ(ξ).

Ainsi ϕ(ξ) = e−ξ2/4zϕ(0). Or

ϕ(0) =

∫e−zx

2

dx =

√π√z,

d’ou le resultat dans ce cas.Soit alors Ω = z ∈ C,Re z > 0. Pour ξ ∈ Rn fixe, on note ϕ : Ω → C lafonction definie par

ϕ(z) =

∫e−ix·ξe−z|x|

2

dx.

ϕ est une fonction holomorphe sur Ω. En effet– z 7→ e−ix·ξe−z|x|

2est holomorphe pour tout x ∈ Rn,

– Si K ⊂ Ω est compact, il existe ε > 0 tel que Re z > ε pour tout z ∈ K, et

|e−ix·ξe−z|x|2| ≤ e−ε|x|2 ∈ L1(Rn).

Or on sait que pour z ∈]0,+∞[,

ϕ(z) = (

√π√z

)ne−|ξ|2/4z.

Comme le membre de droite est egalement holomorphe dans Ω, cette egalitereste vraie pour tout z dans Ω.


9.3.3 Formule d’inversion

Proposition 9.3.4 La transformation de Fourier est un isomorphisme del’espace vectoriel S(Rn). Son inverse F−1 est donne par

F−1(ϕ)(x) =1

(2π)n

∫eix·ξϕ(ξ)dξ =

1

(2π)nF(ϕ)

(x).

De plus F est une application lineaire bicontinue sur S(Rn), au sens ou ,pour tout p ∈ N, il existe Cp > 0 tel que

Np(F(ϕ)) +Np(F−1(ϕ)) ≤ CpNp+n+1(ϕ).

Preuvea) On montre d’abord que F(S(Rn)) ⊂ S(Rn). Soit p ∈ N, et |α| + |β| ≤ p.Pour ϕ ∈ S(Rn), on a vu que

ξα∂βξ F(ϕ)(ξ) = (−i)|α|+|β|Fx→ξ(∂α(xβϕ(x))).

Or la formule de Leibniz donne

∂α(xβϕ) =∑γ≤α

Cγα∂

γ(xβ)∂α−γϕ,

donc ∂α(xβϕ) ∈ S(Rn) ⊂ L1(Rn). Ainsi F(∂α(xβϕ)) ∈ L∞(Rn), et F(ϕ) ∈S(Rn).

On a d’ailleurs :

|ξα∂βξ F(ϕ)(ξ)| ≤ ‖Fx→ξ(∂α(xβϕ(x)))‖L∞≤ ‖∂α(xβϕ(x))‖L1

. Nn+1(∂α(xβϕ))

. Nn+1+p(ϕ)

(9.9)

d’apres la Proposition 9.2.6.Donc Np(F(ϕ)) ≤ CNn+1+p(ϕ).

b) On montre maintenant que pour ϕ ∈ S(Rn),

ϕ(x) =1

(2π)n

∫eix·ξϕ(ξ)dξ.

Or ∫eix·ξϕ(ξ)dξ =

∫eix·ξ(

∫e−iy·ξϕ(y)dy)dξ,


mais la fonction g : (y, ξ) 7→ eix·ξe−iy·ξϕ(y) n’est pas dans L1(Rny × Rn

ξ ),puisque |g(y, ξ)| = |ϕ(y)|, et on ne peut pas intervertir l’ordre des integrations.Cependant, par le theoreme de convergence dominee,∫

eix·ξϕ(ξ)dξ = limε→0+

∫eix·ξe−ε|ξ|

2

ϕ(ξ)dξ,

et ∫eix·ξe−ε|ξ|

2

(

∫e−iy·ξϕ(y)dy)dξ =

∫(

∫ei(x−y)·ξe−ε|ξ|

2

dξ)ϕ(y)dy.

Donc, grace a la proposition 9.3.3,∫eix·ξϕ(ξ)dξ = lim

ε→0+(

√π√ε

)n∫e−|x−y|

2/4εϕ(y)dy.

On effectue enfin le changement de variable u = (x− y)/2√ε, et on obtient∫

eix·ξϕ(ξ)dξ = limε→0+

(2√π)n

∫e−|u|

2

ϕ(x− 2√εu)du.

Le theoreme de convergence dominee, donne alors∫eix·ξϕ(ξ)dξ = (2

√π)nϕ(x)

∫e−|u|

2

du = (2π)nϕ(x).

c) Le reste de la proposition decoule du fait que F−1(ϕ) = 1(2π)nF(ϕ)

.

9.3.4 Formule de Parseval

Proposition 9.3.5 (Lemme des chapeaux) Soit ϕ et ψ dans S(Rn). On a

1.∫ϕ(x)ψ(x) dx =

∫ϕ(y)ψ(y) dy.

2.∫ϕ(y)ψ(y) dy = (2π)−n

∫ϕ(x)ψ(x) dx

Preuve(i) On a, par Fubini,∫

ϕ(x)ψ(x)dx =∫

(∫e−ix·yϕ(y)dy)ψ(x)dx

=∫

(∫e−ix·yψ(x)dx)ϕ(y)dy

=∫ϕ(y)ψ(y) dy .


(ii) Il suffit d’appliquer (i) a ϕ et ω = (2π)−nψ. En effet

ω(ξ) = (2π)−n∫e−ix·ξψ(x)dx = F−1(ψ)(ξ) = ψ(x) ,

donc ∫ϕω = (2π)−n

∫ϕψ =

∫ϕψ .

En terme du produit scalaire hermitien dans L2(Rn,C), la relation (ii) s’ecrit

(ϕ, ψ)L2 =1

(2π)n(ϕ, ψ)L2 .

En particulier pour ψ = ϕ, on obtient la formule de Parseval :

Corollaire 9.3.6 Soit ϕ ∈ S(Rn). On a

‖ϕ‖L2 = (2π)−n/2‖ϕ‖L2 . (9.10)

Exercice 9.3.7 Montrer que F(ϕ) = F(ϕ)

.

9.3.5 Convolution et transformation de Fourier dansS(Rn)

Proposition 9.3.8 Soit ϕ et ψ dans S(Rn). On a

1. ϕ ∗ ψ ∈ S(Rn), et ϕ ∗ ψ = ϕ ψ.

2. ϕ ψ = (2π)−nϕ ∗ ψ.

PreuveOn commence par le point (i). On sait que ϕ ∗ ψ ∈ L1 puisque ϕ, ψ ∈ L1.Soit p ∈ N, et α, β ∈ Nn avec |α|+ |β| ≤ p. Pour x ∈ Rn, on a

xα∂β(ϕ ∗ ψ)(x) = xα∂βx

∫ϕ(x− y)ψ(y)dy.

Comme la fonction y 7→ ∂βxϕ(x−y)ψ(y) est integrable pour tout x, et domineepar sup |∂βϕ| |ψ(y)| ∈ L1, on a

xα∂β(ϕ ∗ ψ)(x) =∫xα∂βxϕ(x− y)ψ(y)dy

=∫

(x− y + y)α∂βxϕ(x− y)ψ(y)dy=∑

γ≤αCαγ

∫(x− y)γyα−γ∂βxϕ(x− y)ψ(y)dy

=∑

γ≤αCαγ

∫(x− y)γ(∂βϕ)(x− y)yα−γψ(y)dy

=∑

γ≤αCαγ (yγ∂βϕ) ∗ (yα−γψ)(x).

(9.11)

9.4. TRANSFORMEE DE FOURIER L2 109

Ainsi, en utilisant l’inegalite de Young,

‖xα∂β(ϕ ∗ ψ)‖L∞ ≤∑γ≤α

Cαγ ‖yγ∂βϕ‖L1 ‖yα−γψ‖L∞ .

La proposition 9.2.6, en particulier (9.7) et (9.8), donne alors

Np(ϕ ∗ ψ) ≤ CNp+n+1(ϕ)Np(ψ), (9.12)

ce qui montre que ϕ ∗ ψ ∈ S(Rn).On a enfin, par Fubini,

F(ϕ ∗ ψ)(ξ) =∫e−ix·ξϕ ∗ ψ(x)dx =

∫e−ix·ξ(

∫ϕ(x− y)ψ(y)dy)dx

=∫ψ(y)(

∫e−ix·ξϕ(x− y)ψ(y)dx)dy

=∫ψ(y)(

∫e−i(y+z)·ξϕ(z)dz)dy

=∫e−iy·ξψ(y)dy

∫e−iz·ξϕ(z)dz = ϕ(ξ)ψ(ξ).

(9.13)On montre maintenant (ii). Soit ϕ, ψ ∈ S(Rn), et u = F−1(ϕ), v = F−1(ψ).On a

ϕψ(ξ) = F(uv)(ξ) = F(F(u ∗ v))(ξ) = (2π)nu ∗ v

(ξ)= (2π)n

∫u(−ξ − η)v(η)dη = (2π)n

∫u

(ξ + η)v(η)dη

= (2π)−n∫ϕ(ξ + η)ψ

(η)dη

= (2π)−n∫ϕ(ξ − η)ψ(η)dη

= (2π)−n(ϕ ∗ ψ

)(ξ).

(9.14)

9.4 Transformee de Fourier L2

Nous avons construit une application inversible de F de S(Rn) sur S(Rn)dont l’inverse est aussi continue de S(Rn) dans S(Rn).De plus ces deux applications sont continues pour S muni de la norme L2.On rappelle que S(Rn) est dense dans L2(Rn). Il existe alors par un theoremeclassique d’analyse fonctionnelle, une unique application lineaire continue deL2 dans L2 qui prolonge F defini sur S. C’est ainsi qu’on definit la trans-formee de Fourier L2.Rappelons la construction. Si f ∈ L2, soit fj une suites de fonctions dans Ssui tend vers f dans L2. La suite fj est donc une suite de Cauchy pour la

norme L2. Par l’identite de Parseval, la suite fj est une suite de Cauchy dans


L2 et on appelle f∞ sa limite (L2 est complet !).On verifie que f∞ ne depend pas de la suite fj et on appelle donc f∞ latransformee de Fourier (au sens L2) de f . On note qu’elle n’est pas definiepar une integrale mais comme une limite.Toutefois, si f ∈ L2 ∩L1, la transformee de Fourier au sens L1 et au sens L2

coıncident dans L1loc(Rn).

On recupere de l’identite de Parseval le fait que F est (a multiplicationpar (2π)−n pres) une isometrie de L2 sur L2. L’identite de Parseval (9.10)demontree pour f ∈ S s’etend a L2. Le prolongement de F−1 a L2 fournitl’inverse de la transformee de Fourier L2.

9.5 Retour a l’equation de la chaleur

On reprend la question etudiee au chapitre 6 (voir (6.7) et (6.8) ) avec unecondition initiale φ dans C∞0 (R). On prend la transformee partielle par rap-port a la variable x. On doit resoudre

∂tu(t, ξ) = −kξ2u(t, ξ)

etu(0, ξ) = φ(ξ) .

On trouve comme solution

u(t, ξ) = φ(ξ) exp−kt|ξ|2 .

Reprenant la transformee de Fourier inverse et utilisant notre resultat sur latransformee de Fourier d’une gaussienne, on retrouve (beaucoup plus simple-ment la solution donnee par le Theoreme 6.3.4.On note qu’on peut plus generalement prendre une condition intiale φ dansL2.

Part III Introduction auxdistributions

Ce document reprend partiellement les notes du cours de T. Ramond ”Dis-tributions et EDP” enseigne a partir de 2010/2011 a l’Universite Paris Sud,dans le cadre de la 1ere annee du Master MFA et qui indique dans son in-troduction :Il ne contient pratiquement aucun materiel original, et seul le choix des sujetspresentes ainsi que l’ordre dans lequel ils sont exposes relevent de l’auteur deses notes. Pour ce qui est du contenu mathematique, on s’est essentiellementinspire, souvent tres largement, des references suivantes :

[Bo] Jean-Michel Bony, Cours d’analyse - Theorie des distributions et ana-lyse de Fourier, Editions de l’Ecole Polytechnique, Ellipses, 2010.

[Zu] Claude Zuily : Introduction aux distributions et equations aux deriveespartielles, Collection Sciences Sup, Dunod, 2002.

Dans la mesure ou je n’avais que 12 heures sur ce sujet j’ai ete beaucoupmoins loin que ces auteurs. Un grand merci a T. Ramond pour la transmis-sion de son cours et des documents sources.

111

Chapitre 10

Transformee de Fourier desdistributions temperees

10.1 Les distributions temperees

10.1.1 Definition, exemples

Definition 10.1.1 Une distribution temperee est une forme lineaire conti-nue sur S(Rn). On note S ′(Rn) l’espace des distributions temperees.

Si T est une distribution temperee, le choix de la topologie sur S impliquequ’il existe C > 0 et p ∈ N tel que, pour toute fonction ϕ ∈ S,

|T (ϕ)| ≤ CNp(ϕ).

On notera que C∞0 etant dense dans S, il suffit de connaıtre la restriction deT a C∞0 . On utilise aussi la notation

T (φ) = 〈T , φ〉 ,

le crochet marquant la dualite entre S ′ et S.

Exemple 10.1.2 Pour p ∈ [1,+∞], on a Lp(Rn) ⊂ S ′(Rn). En effet, sif ∈ Lp(Rn), on pose, pour φ ∈ S,

Tf (φ) =

∫f(x)φ(x) dx

Tf est une distribution temperee et l’application qui a f associe Tf est lineaire,continue 1 et injective.

1. Ceci sera explique plus loin.

113

114 CHAPITRE 10. DISTRIBUTIONS TEMPEREES

Plus precisement, pour q ∈ [1,+∞] tel que 1/p+ 1/q = 1, on a

|Tf (ϕ)| ≤ |∫f(x)ϕ(x)dx| ≤ ‖f‖Lp‖ϕ‖Lq ≤ C‖f‖LpNn+1(ϕ),

grace a (9.6).Compte tenu du Corollaire 9.2.7, on a en particulier S(Rn) ⊂ S ′(Rn).

Exemple 10.1.3Soit f ∈ L1

loc(Rn), telle que |f(x)| ≤ C(1 + |x|)p pour une constante C > 0et un entier p ∈ N. On a

|Tf (ϕ)| ≤ C∫

(1 + |x|)p|ϕ(x)|dx≤ C

∫(1 + |x|)p+n+1|ϕ(x)| 1

(1+|x|)n+1dx

≤ CNp+n+1(ϕ)∫

1(1+|x|)n+1dx

≤ CnNp+n+1(ϕ).

(10.1)

Donc f ∈ S ′(Rn). En particulier les polynomes definissent des distributionstemperees, et L∞(Rn) ⊂ S ′(Rn). Un autre cas particulier est la fonction deHeaviside.

Exemple 10.1.4La masse de Dirac δ0 definie par la formule

δ0(φ) = φ(0) , ∀φ ∈ S(Rn) .

est une distribution temperee.

Operations sur les distributions temperees : multiplication, derivation

On cherche a prolonger des operations bien connues sur S a S ′. La strategieest toujours la meme.Considerons la multiplication par un monome xα.Si f est dans S, on observe que pour tout φ ∈ S, on a :∫

(xαf(x))φ(x)dx =

∫f(x)(xαφ(x))dx ,

qu’on peut reecrire sous la forme :

Txαf (φ) = Tf (xαφ) .

Il est alors naturel pour une distribution temperee T de definir xαT par :

(xαT )(φ) = T (xαφ) .

10.1. LES DISTRIBUTIONS TEMPEREES 115

De meme, considerons l’action de ∂β.Si f est dans S, on observe que pour tout φ ∈ S, on a, par integration parparties, ∫

(∂βxf(x))φ(x)dx = (−1)|β|∫f(x)(∂βxφ(x))dx ,

qu’on peut reecrire sous la forme :

T∂βx f (φ) = (−1)|β|Tf (∂βxφ) .

Il est alors naturel pour une distribution temperee T de definir ∂βxT par :

(∂βxT )(φ) = (−1)|β|T (∂βxφ) .

Proposition 10.1.5 Si T ∈ S ′(Rn), alors xα∂βT ∈ S ′(Rn) pour tout α, β ∈Nn.

Preuve Il suffit de verifier que φ 7→ (−1)|β|∂β(xαφ) est lineaire continue deS dans S.

Exercice 10.1.6 Montrer que la fonction x 7→ exeiex

n’est pas majoree parun polynome, mais qu’elle appartient a S ′(R). On pourra montrer que c’estla derivee d’une distribution temperee.

Exercice 10.1.7 Calculer la derivee de la fonction d’Heaviside.

Exercice 10.1.8 Montrer que (x, y) 7→ 12

ln(x2 + y2) est dans L1loc et qu’on

peut lui associer une distribution temperee T . Calculer −∆T .

Definition 10.1.9 On dit qu’une fonction f ∈ C∞(Rn) est a croissancemoderee lorsque pour tout β ∈ Nn, il existe Cβ > 0 et mβ ∈ N tel que

|∂βf(x)| ≤ Cβ(1 + |x|)mβ .

On note OM(Rn) l’ensemble de ces fonctions.

Proposition 10.1.10 Si T ∈ S ′(Rn) et f ∈ OM(Rn), alors fT ∈ S ′(Rn).

Preuve Soit ϕ ∈ S(Rn), et α, β ∈ Nn. La formule de Leibniz donne

|xα∂β(fϕ)| ≤∑γ≤α

Cβγ |xα∂γf | |∂β−γϕ| ≤ Cγ

∑γ≤α

Cβγ (1 + |x|)mγ |xα∂β−γϕ|.


On a doncNp(fϕ) ≤ CNp+M(ϕ),

avec M = max|γ|≤pmγ.On a

|fT (ϕ)| = |T (fϕ)| ≤ CNp(fϕ) ≤ C ′Np+M(ϕ),

ce qui montre que fT est une distribution temperee.

LocalisationUne fonction χ dans C∞0 (Rn) est dans OM , on peut donc localiser T enconsiderant χT .

Exercice 10.1.11 Montrer que pour tout ϕ ∈ C∞0 (Rn) et tout p ∈ N, il existeune constante C > 0 telle que, pour tout a ∈ R, Np(τaϕ) ≤ C(1 + |a|)p. Endeduire que (x 7→ ex) /∈ S ′(R).

10.1.2 Convergence dans S ′(Rn)

Definition 10.1.12 Soit (Tj) une suite de distributions temperees. On ditque (Tj) tend vers T dans S ′(Rn) lorsque pour toute fonction ϕ ∈ S(Rn),Tj(ϕ)→ T (ϕ).

Cette notion de convergence faible entraıne automatiquement une conver-gence plus forte dont nous ne parlerons pas ici. On admet la

Proposition 10.1.13 Si, pour toute fonction ϕ ∈ S(Rn), la suite Tj(ϕ)converge, alors il existe une distribution T ∈ S ′(Rn) telle que Tj tend faible-ment vers T dans S ′(Rn).

Remarque 10.1.14 Si (fj)→ f dans Lp(Rn), alors (fj)→ f dans S ′(Rn).Si Tj → T dans S ′(Rn), alors fTj → fT dans S ′(Rn) pour tout f ∈ OM(Rn).

10.2 Transformation de Fourier dans S ′(Rn)

10.2.1 Definition

Soit T ∈ S ′(Rn). La forme lineaire sur S(Rn) definie par ϕ 7→ T (ϕ) est unedistribution temperee puisqu’il existe C > 0 et p ∈ N tels que

|T (ϕ)| ≤ CNp(ϕ) ≤ C ′Np+n+1(ϕ),

grace a la Proposition 9.3.4.

10.2. TRANSFORMATION DE FOURIER DANS S ′(RN) 117

Definition 10.2.1 Pour T ∈ S ′(Rn), on note T = F(T ) la distributiontemperee definie par

T (ϕ) = T (ϕ) ,∀ϕ ∈ S(Rn).

Exemple 10.2.2

1. Pour f ∈ L1, on a, grace au lemme des chapeaux (Proposition 9.3.5),

Tf (ϕ) =

∫f(x)ϕ(x)dx =

∫f(x)ϕ(x) dx,

donc Tf = Tf et notre definition de la transformee de Fourier est rai-sonnable.

2. Pour ϕ ∈ S(Rn), δ0(ϕ) =∫ϕ(x)dx, donc δ0 = 1.

Proposition 10.2.3 La transformation de Fourier F est un isomorphismede l’espace vectoriel S ′(Rn). Son inverse est F−1 = (2π)−nF

. De plus F etF−1 sont continues sur S ′(Rn), dans le sens ou si Tj → T ∈ S ′(Rn), alorsF(Tj) → F(T ) dans S ′(Rn). Enfin si T ∈ L2, la transformee de Fourier ausens de S ′ s’identifie a la transformee de Fourier L2.

La preuve de cette proposition est immediate, compte tenu de la definitionci-dessus et de la Proposition 9.3.4. Dans le meme registre, du transport aS ′(Rn) des proprietes de la transformation de Fourier sur S(Rn), on noterales relations

F(DjT ) = ξjT , F(xjT ) = −DjT , et F F(T ) = (2π)n T

.

Exemple 10.2.4 1 = F F(δ0) = (2π)nδ0

= (2π)nδ0.

10.2.2 Gaussiennes (2)

Pour z ∈ C∗ verifiant Re z = 0, la fonction x 7→ e−z|x|2

n’est pas dans S(Rn).Par contre elle est bornee, donc definit un element de S ′(Rn) dont on peutcalculer la transformee de Fourier.

Proposition 10.2.5 Soit λ ∈ R∗ et T = eiλ|x|2 ∈ S ′(Rn). On a

T = Fx→ξ(eiλ|x|2

) =( √π√|λ|

)neinπsign (λ)/4e−i|ξ|

2/4λ.


Preuve Soit (zj) une suite de z ∈ C,Re z > 0 telle que zj → −iλ. Pourϕ ∈ S(Rn), le theoreme de convergence dominee donne, quand j → +∞,∫

e−zj |x|2ϕ(x)dx→

∫eiλ|x|

2ϕ(x)dx,∫

e−|ξ|2/4zjϕ(ξ)dξ →

∫e−iλ|ξ|

2/4λϕ(ξ)dξ.(10.2)

On en deduit que, notant Tj = e−zj |x|2, on a Tj → T dans S ′(Rn). Par

continuite de la transformation de Fourier, on a aussi F(Tj)→ F(T ). Or ona vu que

F(Tj) =(√π√zj

)ne−|ξ|

2/4zj ,

ou√zj =

√|zj| eiπsign (zj)/4 →

√|λ| e−iπsign (λ)/4. Donc, dans S ′(Rn),

F(Tj)→( √π√|λ|

)neinπsign (λ)/4e−i|ξ|

2/4λ = F(T ).

Chapitre 11

Distributions

Au chapitre precedent, nous avons introduit la notion de distribution temperee.On a aussi besoin d’une notion plus ”locale”. Dans ce chapitre, on definit lesdistributions sur un ouvert de Rn, et l’on passe en revue quelques unes des dis-tributions les plus courantes. On voit tout de suite qu’une tres grande classede fonctions s’identifie a des distributions, et l’un des aspects essentiels dela theorie est que toutes les notions que nous verrons sur les distributionscoıncident avec la notion correspondante pour les fonctions lorsque celle-ciexiste. On presentera aussi deux des principales operations sur les distribu-tions : la derivation et le produit par une fonction reguliere.

11.1 Definitions et exemples

11.1.1 Definitions

Definition 11.1.1 Soit Ω ⊂ Rn un ouvert, et T une forme lineaire T surC∞0 (Ω) a valeurs dans C. On dit que T est une distribution lorsque

∀K ⊂ Ω,∃C > 0,∃k ∈ N,∀ϕ ∈ C∞K (Ω), |T (ϕ)| ≤ C∑|α|≤k

sup |∂αϕ|.

On note D′(Ω) l’espace des distributions sur Ω, et parfois 〈T, ϕ〉 = T (ϕ), lecrochet utilise signifiant la dualite entre D′ et D.

Proposition 11.1.2 Une forme lineaire T sur C∞0 (Ω) est une distributionsi et seulement si T (ϕj) → T (ϕ) pour toute suite (ϕj) de fonctions C∞0 (Ω)qui converge dans C∞0 (Ω).

Autrement dit, une distribution n’est rien d’autre qu’une forme lineaire surl’espace C∞0 (Ω), continue pour la topologie associee a la famille de seminormes

119

120 CHAPITRE 11. DISTRIBUTIONS

apparaissant ci-dessus (famille parametree par K et k). Voir ci-dessous dansla preuve.Preuve :Dans un sens, supposons que la forme lineaire T soit une distribution surΩ. On peut definir la topologie dans C∞0 (Ω) (plus exactement la notion desuite convergente) ainsi. On dit que (ϕj) une suite de C∞0 (Ω) converge versϕ dans C∞0 (Ω), s’il existe un compact K ⊂ Ω tel que suppϕj ⊂ K pour toutj ∈ N, suppϕ ⊂ K et si, pour tout k, φj tend vers φ dans Ck. Or il existeC = CK > 0 et k = kK ∈ N tels que

∀ψ ∈ C∞K (Ω), |T (ψ)| ≤ C∑|α|≤k

sup |∂αψ|.

En particulier, pour tout j ∈ N, on a

|T (ϕj)− T (ϕ)| = |T (ϕj − ϕ)| ≤ C∑|α|≤k

sup |∂αϕj − ∂αϕ|.

Puisque le membre de gauche tend vers 0 quand j → +∞, on a bien T (ϕj)→T (ϕ).Reciproquement, on suppose maintenant que pour toute suite (ϕj) de fonc-tions C∞0 (Ω) qui converge vers ϕ dans C∞0 (Ω), T (ϕj) converge vers T (ϕ).On raisonne par l’absurde en supposant aussi que

∃K ⊂ Ω,∀C > 0,∀k ∈ N,∃ϕ ∈ C∞K (Ω) telle que |T (ϕ)| > C∑|α|≤k

sup |∂αϕ|.

En particulier pour tout j ∈ N, prenant C = k = j, il existe alors ϕj ∈ C∞K (Ω)telle que

|T (ϕj)| > j∑|α|≤j

sup |∂αϕj|.

Soit ψj ∈ C∞K (Ω) definie par ψj = ϕj/|T (ϕj)|. On a bien sur |T (ψj)| = 1pour tout j, et la suite (ψj) converge vers 0 dans C∞0 (Ω), puisque pour toutj ≥ |α|,

sup |∂αψj| ≤∑|α|≤j

sup |∂αψj| ≤1

j|T (ψj)| ≤

1

j·

Mais ceci est absurde, puisque l’on devrait alors avoir T (ψj)→ 0.

Remarque 11.1.3 Une distribution temperee definit par restriction a C∞0 (Rn)une distribution. Avec cette remarque, on comprend mieux le nom de ”Dis-tribution Temperee” donne par Laurent Schwartz.

11.1. DEFINITIONS ET EXEMPLES 121

11.1.2 Les fonctions localement integrables definissentdes distributions

Si f ∈ L1loc(Ω), la fonction fϕ est integrable pour toute fonction ϕ ∈ C∞0 (Ω),

et Tf : ϕ→∫fϕ est une forme lineaire. De plus si K ⊂ Ω est compact, pour

toute fonction ϕ ∈ C∞K (Ω), on a

|Tf (ϕ)| ≤ ‖f‖L1(K) sup |ϕ|,

ce qui montre que Tf est une distribution.

On peut identifier l’espace L1loc(Ω) a un sous-espace de D′(Ω), autrement dit

identifier f et Tf , puisque l’application f 7→ Tf est injective :

Proposition 11.1.4 Soient f et g deux fonctions de L1loc(Ω). Si Tf = Tg,

alors f = g.

Preuve :Soit f ∈ L1

loc(Ω). Supposons que 〈Tf , ϕ〉 =∫fϕ = 0 pour toute fonction ϕ ∈

C∞0 (Ω). Soit (Kj) une suite d’exhaustion 1 de Ω (Kj est une suite croissantede compacts de Ω tels que Kj ⊂ Int(Kj+1) (ou IntK designe l’interieur deK, c’est a dire le plus grand ouvert contenu dans K) et tout compact Kde Ω est contenu dans un Kj), et ψj ∈ C∞0 (Ω) telle que ψj = 1 sur Kj etsuppψj ⊂ Int(Kj+1). Soit enfin (χε)ε une approximation de l’identite, c’esta dire une famille

χε(x) = ε−nχ1(x/ε) (11.1)

avec χ1 ∈ C∞0 (Rn) et∫χ1(x) dx = 1 .

Pour chaque j fixe, la fonction ψjf est dans L1(Ω), et la famille ψjf ∗ χεest bien definie pour ε ∈]0, εj] (avec εj assez petit) dans C∞0 (Ω) et converge 2

quand ε→ 0 vers ψjf dans L1. Or

ψjf ∗ χε(x) =

∫f(y)ψj(y)χε(x− y)dy = 0,

puisque y 7→ ψj(y)χε(x − y) est une fonction de C∞0 (Ω). Donc ‖ψjf‖L1 = 0.Ceci etant vrai pour tout j, on obtient f = 0 dans L1(Ω).

1. On peut montrer qu’une telle suite existe toujours2. Le lecteur est invite a regarder les proprietes dans un cours standard d’integration.


11.1.3 Masse de Dirac

Soit x0 ∈ Rn. On note δx0 : C∞0 (Rn)→ C la forme lineaire definie par

δx0(ϕ) = ϕ(x0).

Pour K ⊂ Rn compact, et toute fonction ϕ ∈ C∞K , on a

|δx0(ϕ)| ≤ sup |ϕ|,

donc δx0 est une distribution sur Rn, que l’on appelle masse de Dirac en x0.Cette distribution n’est pas de la forme Tf avec f ∈ L1

loc(Rn). Supposonsen effet le contraire. On aurait, pour toute fonction ϕ ∈ C∞0 (Rn) telle quex0 /∈ suppϕ,

ϕ(x0) = 0 =

∫f(x)ϕ(x)dx.

Donc f = 0 p.p. Mais c’est absurde puisqu’alors, pour ψ fonction plateauvalant 1 pres de x0, on aurait

1 = ψ(x0) = 〈Tf , ψ〉 =

∫fψ = 0.

11.1.4 Valeur principale de 1/x

On considere maintenant la forme lineaire T : C∞0 (R)→ C definie par

T (ϕ) = limε→0+

∫|x|>ε

ϕ(x)

xdx.

Cette limite existe pour chaque fonction ϕ ∈ C∞0 (R). Pour une telle fonction,un peut trouver un reel A > 0 tel que suppϕ ⊂ [−A,A]. Par la formule deTaylor avec reste integral, il existe ψ ∈ C∞(R) telle que

ϕ(x) = ϕ(0) + xψ(x) , avec ψ(x) =

∫ 1

0

ϕ′(tx)dt ,

et on peut ecrire∫|x|>ε

ϕ(x)

xdx =

∫ε<|x|<A

ϕ(x)

xdx =

∫ε<|x|<A

ϕ(0)

xdx+

∫ε<|x|<A

ψ(x)dx.

Puisque la fonction x 7→ ϕ(0)/x est impaire, la premiere integrale est nulle.De plus, par exemple a l’aide du theoreme de convergence dominee, on a∫

ε<|x|<Aψ(x)dx→

∫ A

−Aψ(x)dx quand ε→ 0+.

11.2. ORDRE D’UNE DISTRIBUTION 123

On montre maintenant que la forme lineaire T est une distribution. Soit K ⊂R un compact. On peut sans perte de generalite supposer que K = [−A,A]pour un reel A > 0. Pour ϕ ∈ C∞[−A,A](R), on a vu que

T (ϕ) =

∫[−A,A]

ψ(x)dx .

On a donc

|T (ϕ)| ≤ 2A supx∈[−A,A]

|ψ(x)| ≤ 2A supx∈[−A,A]

|ϕ′(x)| ≤ 2A∑

0≤j≤1

sup |ϕ(j)(x)|,

(11.2)ce qui montre que T est bien une distribution. On notera que, comme attendu,la constante C vaut ici 2A, et depend du compact K choisi au depart.Cette distribution porte le nom de valeur principale de 1/x, et on note

〈vp(1

x), ϕ〉 = lim

ε→0+

∫|x|>ε

ϕ(x)

xdx.

Exercice 11.1.5 Montrer que vp( 1x) est dans S ′(R).

11.2 Ordre d’une distribution

Dans les trois exemples ci-dessus, le nombre k dont l’existence est demandeepar la definition ne depend pas du compact pris au depart. Ce n’est pastoujours le cas, et le fait est suffisamment remarquable pour qu’on utilise unvocabulaire specifique.

11.2.1 Definition, exemples

Definition 11.2.1 Soit T ∈ D′(Ω). On dit que T est d’ordre fini k0 ∈ Nlorsque

∀K ⊂ Ω,∃C > 0,∀ϕ ∈ C∞K (Ω), |〈T, ϕ〉| ≤ C∑|α|≤k0

sup |∂αϕ|.

On note D′(k)(Ω) l’ensemble des distributions d’ordre k.

Remarque 11.2.2 Noter que une distribution est toujours localement d’ordrefini. Ce qui est specifique ci-dessus est que k0 ne depend pas du compact K.


Lorsqu’une distribution est d’ordre k, elle est d’ordre k′ pour tout k′ ≥ k.

On vu que si T = Tf pour une fonction f ∈ L1loc(Ω), alors T est d’ordre 0.

De meme, la masse de Dirac δx0 est d’ordre 0. Enfin (11.2) montre que ladistribution vp( 1

x) ∈ D′(R) est d’ordre 1.

Exercice 11.2.3 Montrer que que vp( 1x) n’est pas d’ordre 0.

Solution de l’exercice. Supposons le contraire. Pour tout A > 0, il existeCA > 0 tel que pour tout ϕ ∈ C∞[−A,A] telle que

|〈T, ϕ〉| ≤ CA sup |ϕ|.

La distribution vp( 1x) est donne par une fonction L1

loc en dehors de 0 :precisement, si ϕ ∈ C∞0 (R) verifie suppϕ ⊂ R∗, on a

〈vp(1

x), ϕ〉 =

∫ϕ(x)

xdx,

dont le module peut etre majore par C sup |ϕ| avec C =∫

suppϕ| 1x|dx. On

va donc choisir une suite (ϕn) dont le support se rapproche de 0. On prendA = 2, et l’on choisit ϕn ∈ C∞[−2,2] telle que ϕn ≥ 0 et

ϕn(x) =

1 pour x ∈ [ 1

n, 1],

0 pour x /∈ [ 12n, 2].

Il existe C = C2 > 0 tel que |〈T, ϕn〉| ≤ C supϕn ≤ C, puisque sup |ϕn| = 1.Or on peut estimer

〈T, ϕn〉 =

∫ 2

12n

ϕn(x)

xdx ≥

∫ 1

1n

1

xdx ≥ lnn.

On devrait donc avoir lnn ≤ C pour tout n, ce qui est absurde.

Exercice 11.2.4 Soit T : C∞0 (R)→ C la forme lineaire definie par

T (ϕ) =∑j≥0

ϕ(j)(j).

Montrer que T est une distribution, et qu’elle n’est pas d’ordre fini.

11.3. PREMIERES OPERATIONS SUR LES DISTRIBUTIONS 125

11.2.2 Les distributions positives

Definition 11.2.5 On dit que T ∈ D′(Ω) est une distribution positive lorsque〈T, ϕ〉 ∈ R+ pour toute fonction ϕ ∈ C∞0 (Ω) a valeurs dans R+.

Proposition 11.2.6 Si T ∈ D′(Rn) est positive, alors elle est d’ordre 0.

Preuve :Soit K ⊂ Ω un compact, et χ ∈ C∞0 (Ω,R) telle que χ = 1 au voisinage de K.Pour ϕ ∈ C∞K (Ω) a valeurs reelles, on a

∀x ∈ Ω, −χ sup |ϕ| ≤ ϕ(x) ≤ χ sup |ϕ|,

donc

〈T, ϕ+ χ sup |ϕ|〉 ≥ 0 et 〈T, χ sup |ϕ| − ϕ〉 ≥ 0,

ce qui donne

|〈T, ϕ〉| ≤ |〈T, χ〉| sup |ϕ|.

Pour ϕ ∈ C∞K (Ω) a valeurs complexes, on peut ecrire ϕ = ϕ1 + iϕ2 avec ϕ1, ϕ2

a valeurs reelles, et, en utilisant ce qui precede pour ϕ1 et ϕ2,

|〈T, ϕ〉| = |〈T, ϕ1+iϕ2〉| ≤ |〈T, ϕ1〉|+|〈T, ϕ2〉| ≤ C sup |ϕ1|+C sup |ϕ2| ≤ C sup |ϕ|.

Les distributions positives sont donc des formes lineaires continues sur C0(Ω),autrement dit des mesures de Radon positives (voir par exemple Rudin pourune definition).

11.3 Premieres operations sur les distribu-

tions

Il n’y a pas beaucoup de difference avec ce qui a ete fait pour les distributionstemperees. C’est plutot plus facile.

Comme ensemble de formes lineaires continues, D′(Ω) est bien sur un espacevectoriel sur C : si T1, T2 ∈ D′(Ω) et λ1, λ2 ∈ C, alors λ1T1 + λ2T2 est ladistribution definie par

〈λ1T1 + λ2T2, ϕ〉 = λ1〈T1, ϕ〉+ λ2〈T2, ϕ〉.


Pour T ∈ D′(Ω), on note aussi parfois T ou T ∗ la distribution definie par

〈T , ϕ〉 = 〈T, ϕ〉.

Toute distribution T peut alors s’ecrire T = T1 + iT2 avec T1 et T2 desdistributions reelles, c’est a dire telles que 〈T, ϕ〉 ∈ R pour toute fonction ϕa valeurs reelles. Il suffit en effet de poser

T1 =1

2(T + T ) et T2 =

1

2i(T − T ).

11.3.1 Derivation

Proposition 11.3.1 Soit T ∈ D′(Ω). La forme lineaire sur C∞0 (Ω) definiepar ϕ 7→ 〈T,−∂jϕ〉 est une distribution, que l’on appelle derivee partielle deT par rapport a la j-ieme variable, et que l’on note ∂jT .

Preuve :Soit K ⊂ Ω un compact, et C = CK > 0, k = kK ∈ N des constantes donneespar le fait que T ∈ D′(Ω). Pour ϕ ∈ C∞K (Ω) on a

|〈∂jT, ϕ〉| = |〈T, ∂jϕ| ≤ CK∑|α|≤k

sup |∂α∂jϕ| ≤ C∑|α|≤k+1

sup |∂αϕ|,

ce qui montre que ∂jT est une distribution.

On notera que si T ∈ D′(Ω) est d’ordre k, alors ∂jT est d’ordre k + 1 auplus. Cependant la derivation n’augmente pas forcement l’ordre, comme parexemple pour les distributions associees a une fonction reguliere :

Proposition 11.3.2 Si T = Tf avec f ∈ C1(Ω), alors ∂jT = T∂jf .

Preuve :Soit ϕ ∈ C∞0 (Ω). La fonction ϕ se prolonge en une fonction ϕ ∈ C∞0 (Rn) enposant ϕ(x) = 0 pour x /∈ Ω. Soit alors A > 0 tel que supp ϕ ⊂ [−A,A]n, ona

〈∂jTf , ϕ〉 = −〈Tf , ∂jϕ〉 = −∫

Ωf∂jϕdx = −

∫Rn f∂jϕdx

= −∫. . .∫ (∫ A

−A f∂jϕdxj

)dx′ =

∫. . .∫ (∫ A

−A ∂jfϕdxj

)dx′ = 〈T∂jf , ϕ〉.

(11.3)


Puisque ∂jT est une distribution, elle admet des derivees partielles d’ordre1. En iterant cet argument, on peut definir ∂αT pour tout α ∈ Nn : lesdistributions admettent des derivees de tout ordre, donnees par

〈∂αT, ϕ〉 = (−1)|α|〈T, ∂αϕ〉.

Exemple 11.3.3 Soit H : R → C la fonction de Heaviside, definie parH(x) = 1R+(x). La fonction H appartient a L1

loc(R), et on note T = TH ladistribution associee. Pour ϕ ∈ C∞0 (R),

〈T ′, ϕ〉 = −〈T, ϕ′〉 = −∫ +∞

0

ϕ′(x)dx = ϕ(0),

donc T ′ = δ0.

Exemple 11.3.4 Soit f ∈ L1loc(R) la fonction definie par f(x) = ln(|x|),

et T = Tf ∈ D′(R) la distribution associee. On veut identifier T ′ ; il sembleraisonnable que T ′ ait un lien avec la fonction x 7→ 1/x, mais celle-ci n’estpas integrable en 0. Soit A > 0, et ϕ ∈ C∞0 ([−A,A]). On calcule

〈T ′, ϕ〉 = −∫ A−A ln |x| ϕ′(x)dx

= −∫ 0

−A ln(−x)ϕ′(x)dx−∫ A

0ln(x)ϕ′(x)dx.

(11.4)

On ne peut pas integrer par parties (x 7→ ln(x) n’est pas dans C1([0, A])),mais le theoreme de Convergence Dominee donne facilement

〈T ′, ϕ〉 = − limε→0

∫ −ε−A

ln(−x)ϕ′(x)dx− limε→0

∫ A

ε

ln(x)ϕ′(x)dx .

En integrant par parties, on obtient

〈T ′, ϕ〉 = − limε→0

(ln(ε)(ϕ(−ε)− ϕ(ε))−

∫ε<|x|<A

ϕ(x)

xdx

).

On utilise enfin la formule de Taylor avec reste integral :

ln(ε)(ϕ(−ε)− ϕ(ε)) = ε ln(ε)(ψ(−ε) + ψ(ε)),

ou ψ est la fonction C∞ telle que ϕ(x) = ϕ(0) + xψ(x). Finalement

〈T ′, ϕ〉 = limε→0

∫ε<|x|<A

ϕ(x)

xdx = 〈vp(1/x), ϕ〉,

donc T ′ = vp(1/x).


Seules les fonctions constantes ont une derivee nulle. Pour les distributionsd’une variable, on montre facilement le meme resultat.

Proposition 11.3.5 Si T ∈ D′(R) verifie T ′ = 0 alors T est donnee parune fonction constante.

Preuve :On commence remarquer qu’une fonction ϕ ∈ C∞0 (R) est la derivee d’unefonction ψ ∈ C∞0 (R) si et seulement si

∫ϕ = 0. En effet si ϕ = ψ′ avec ψ a

support compact, alors∫ +∞−∞ ϕ(x)dx =

∫ +∞−∞ ψ′(x)dx = 0. Reciproquement, si∫

ϕ = 0, la fonction ψ : x 7→∫ x−∞ ϕ(t)dt est a support compact inclus dans

le support de ϕ, et verifie ψ′ = ϕ.Soit χ ∈ C∞0 (R) une fonction telle que

∫χ = 1. Pour ϕ ∈ C∞0 (R), on ecrit

ϕ = ϕ1 + ϕ2 avec ϕ1 = ϕ− (

∫ϕ)χ, et ϕ2 = (

∫ϕ)χ,

et 〈T, ϕ〉 = 〈T, ϕ1〉+ 〈T, ϕ2〉. Puisque∫ϕ1 = 0, il existe ψ ∈ C∞0 (R) telle que

ϕ1 = ψ′. Donc

〈T, ϕ〉 = 〈T, ψ′〉+(

∫ϕ)〈T, χ〉 = −〈T ′, ψ〉+(

∫ϕ)〈T, χ〉 = C

∫ϕ = 〈TC , ϕ〉,

ou C = 〈T, χ〉 est une constante independante de ϕ.

Notons que la proposition 11.3.2 dit en particulier que la derivee d’une dis-tribution de D′(R) associee a une fonction constante est nulle. La propositionci-dessus enonce donc une equivalence.

11.3.2 Produit par une fonction C∞

Proposition 11.3.6 Soit T ∈ D′(Ω), et f ∈ C∞(Ω). La forme lineaire surC∞0 (Ω) definie par ϕ 7→ 〈T, fϕ〉 est une distribution, que l’on note fT .

Preuve :Soit (ϕj) une suite de fonctions de C∞0 (Ω), qui converge vers 0 dans C∞0 (Ω).Il existe un compact K ⊂ Ω tel que suppϕj ⊂ K pour tout j. On a doncsupp fϕj ⊂ K pour tout j. De plus, pour tout α ∈ Nn,

∂α(fϕ) =∑β≤α

Cβα∂

βf ∂α−βϕ


On note alorsM = max

β≤αsupK|∂βf | ,

et l’on voit que

eiθ1J + sup |∂α(fϕj))| ≤M∑β≤α

Cβα sup |∂α−βϕj| .

Or chacun des termes de la somme tends vers 0 quand j → +∞, donc,∂α(fϕj) → 0 dans C∞0 (Ω). Puisque T est une distribution, 〈T, fϕj〉 → 0, cequi montre que la forme lineaire ϕ→ 〈T, fϕ〉 est continue sur C∞0 (Ω).

Exemple 11.3.7 Pour f ∈ C∞(Rn), on a fδ0 = f(0)δ0.

Exemple 11.3.8 Pour f ∈ C∞(Rn) et g ∈ L1loc(Rn), on a fTg = Tfg.

Exemple 11.3.9 Soit f ∈ C∞(R), telle que f(0) = 0. On sait qu’il existeg ∈ C∞(R) telle que f(x) = xg(x), et l’on voit facilement que f vp(1/x) = Tg.En particulier x vp(1/x) = 1.

Proposition 11.3.10 Soit f ∈ C∞(Ω), et T ∈ D′(Ω). On a la formule deLeibniz

∀α ∈ Nn, ∂α(fT ) =∑β≤ α

Cβα∂

βf ∂α−βT.

Preuve :Soit ϕ ∈ C∞0 (Ω), et α ∈ Nn. On raisonne par recurrence sur |α|. La formuleest bien sur vraie pour |α| = 0, et on suppose qu’elle l’est pour tout |α| ≤ m.Pour γ ∈ Nn tel que |γ| = m + 1, on peut ecrire γ = α + 1j pour un α delongueur m et un j ∈ 1, . . . , n. Donc

〈∂γ(fT ), ϕ〉 = 〈∂j(∂α(fT )), ϕ〉= −〈∂α(fT )∂jϕ〉= −〈

∑β≤ αC

βα∂

βf ∂α−βT, ∂jϕ〉=∑

β≤ αCβα〈∂j(∂βf ∂α−βT ), ϕ〉

=∑

β≤ αCβα〈∂β+1jf ∂α−βT + ∂βf ∂α+1j−βT, ϕ〉,

(11.5)

en utilisant la formule de Leibniz pour les derivees partielles d’ordre 1.On remarque que, en renumerotant,∑

β≤ α

Cβα〈∂β+1jf ∂α−βT, ϕ〉 =

∑1j≤β≤ γ

Cβ−1jγ−1j〈∂βf ∂γ−βT, ϕ〉


et l’on obtient

〈∂γ(fT ), ϕ〉 = 〈f ∂γT, ϕ〉+∑1j≤β≤ α

(Cβ−1jγ−1j

+ Cβγ−1j

)〈∂βf ∂γ−βT, ϕ〉

+〈∂γf T, ϕ〉,(11.6)

ce qui donne bien la formule de Leibniz pour ∂γ(fT ).

Voici un premier exemple de resolution d’equation differentielle dans D′(R).On retiendra qu’en fait, on utilise un facteur integrant pour se ramener a laseule equation differentielle que l’on sache resoudre pour l’instant : l’equationT ′ = 0 (cf la proposition 11.3.5).

Proposition 11.3.11 Soit I ⊂ R un intervalle ouvert. Soit a ∈ C∞0 (I). Lesdistributions de D′(I) qui verifient l’equation differentielle (lineaire d’ordre1 homogene)

T ′ + aT = 0 dans I

sont exactement les fonctions C1 solution de cette equation, autrement dit lesTf avec f : x 7→ CeA(x), ou C ∈ C est une constante, et A une primitive dea sur I.

Preuve :Soit A une primitive de a sur I. Pour T ∈ D′(I), on a, grace a la formule deLeibniz ci-dessus,

(eAT )′ = aeAT + eAT ′ = eA(T ′ + aT ).

Donc

T ′ + aT = 0 ⇐⇒ (eAT )′ = 0⇐⇒ eAT = TC ⇐⇒ T = e−ATC = TCe−A .

Exercice 11.3.12 Resoudre dans D′(R) l’equation inhomogene T ′+aT = f ,ou f ∈ C∞0 (R).

Exercice 11.3.13 Montrer que x vp 1x

= 1. Y-a-t-il d’autres solutions dexT = 1 ?

11.4. SUPPORT D’UNE DISTRIBUTION 131

11.4 Support d’une distribution

11.4.1 Definition

Definition 11.4.1 Soit T ∈ D′(Ω), et V ⊂ Ω un ouvert. On dit que T estnulle dans V lorsque

∀ϕ ∈ C∞0 (Ω), suppϕ ⊂ V ⇒ 〈T, ϕ〉 = 0.

Proposition 11.4.2 Soit (Vj) une famille d’ouverts de Ω, et V =⋃j Vj. Si

T ∈ D′(Ω) est nulle dans chacun des Vj, alors T est nulle dans V .

Preuve :Soit ϕ ∈ C∞0 (Ω) telle que K = suppϕ ⊂ V . Puisque K est compact, on peuttrouver j1, j2, . . . , jN tels que K ⊂

⋃Nk=1 Vjk . Soit alors (χk) une partition de

l’unite C∞ associee. On a ϕ =∑N

k=1 ϕχk et

〈T, ϕ〉 =N∑k=1

〈T, ϕχk〉 = 0,

puisque suppϕχk ⊂ Vk.

Definition 11.4.3 Le support d’une distribution T ∈ D′(Ω) est le complementairedu plus grand ouvert (de la reunion des ouverts) ou T est nulle. On le notesuppT .

On notera que suppT est un ferme, et dans la pratique on utilise l’une oul’autre des caracterisations suivantes :

(i) x0 /∈ suppT si et seulement si il existe un voisinage V de x0 tel que〈T, ϕ〉 = 0 pour toute fonction ϕ ∈ C∞0 (V ).

(ii) x0 ∈ suppT si et seulement si pour tout voisinage V de x0, on peuttrouver ϕ ∈ C∞0 (V ) telle que 〈T, ϕ〉 6= 0.

Exemple 11.4.4

i) Soit T = δ0. Si V est un ouvert qui ne contient pas 0, alors 〈T, ϕ〉 =ϕ(0) = 0 pour toute fonction C∞0 (Rn) telle que suppϕ ⊂ V . DoncsuppT ⊂ 0.


ii) Si T = Tf avec f ∈ C0(Ω), Ω ouvert de Rn, on a suppT = supp f .En effet supposons que x0 n’appartient pas au support de f . Il existeun voisinage V de x0 tel que f|V = 0. Pour ϕ ∈ C∞0 (V ) on a 〈Tf , ϕ〉 =0, donc Tf est nulle sur V , et x0 n’est pas dans le support de Tf .Reciproquement, si x0 /∈ suppTf , il existe un voisinage V de x0 telque, pour toute fonction ϕ ∈ C∞0 (V ),

∫fϕdx = 〈Tf , ϕ〉 = 0. On a vu

(dans la preuve de la proposition 11.1.4), que cela entraıne f = 0 dansV , donc x0 /∈ supp f .

11.4.2 Proprietes

Lemme 11.4.5 Soit Ω ⊂ Rn, et T ∈ D′(Ω).

i) Pour α ∈ Nn, supp ∂αT ⊂ suppT .

ii) Pour f ∈ C∞(Ω), supp fT ⊂ supp f ∩ suppT .

Preuve :

Soit x0 /∈ suppT . Il existe un voisinage V de x0 tel que pour toute fonc-tion ψ ∈ C∞0 (V ), 〈T, ψ〉 = 0. Or si ϕ ∈ C∞0 (V ), ψ = ∂αϕ ∈ C∞0 (V ), donc

〈∂αT, ϕ〉 = (−1)|α|〈T, ∂αϕ〉 = 0.

Donc x0 /∈ supp ∂αT , ce qui prouve le point i).On prouve maintenant le second point. Si x0 /∈ supp f

⋃suppT , x0 appar-

tient ou bien a (supp f)c ou bien a (suppT )c. Dans le premier cas, il existeun voisinage V de x0 tel que f|V = 0. Pour ϕ ∈ C∞0 (V ), on a 〈fT, ϕ〉 =〈T, fϕ〉 = 0, donc x0 /∈ supp(fT ). Dans le second cas, il existe un voisi-nage V de x0 tel que, pour toute fonction ψ ∈ C∞0 (V ), 〈T, ψ〉 = 0. Pourϕ ∈ C∞0 (V ), fϕ est une fonction C∞, nulle en dehors d’un compact inclusdans V . Donc 〈fT, ϕ〉 = 〈T, fϕ〉 = 0, et x0 /∈ supp fT .

Proposition 11.4.6 Soit ϕ ∈ C∞0 (Ω) et T ∈ D′(Ω). Si suppϕ∩ suppT = ∅,alors 〈T, ϕ〉 = 0.

Preuve :Soit x ∈ suppϕ. Par hypothese x /∈ suppT , donc il existe un voisinage Vx dex sur lequel T est nulle. Du recouvrement du compact suppϕ par les ouvertsVx, on peut extraire un sous-recouvrement fini

suppϕ ⊂N⋃j=1

Vxj .


Soit maintenant χ1, χ2, . . . , χN une partition de l’unite C∞ associee. On a

〈T, ϕ〉 =N∑j=1

〈T, χjϕ〉 = 0,

puisque χjϕ ∈ C∞0 (Vxj).

Attention : On peut avoir ϕ = 0 sur suppT et 〈T, ϕ〉 6= 0. C’est le cas parexemple pour T = δ′0 et ϕ ∈ C∞0 (R) telle que ϕ(0) = 0 et ϕ′(0) = 1. Onreexamine cette question dans la Section 11.4.4.

11.4.3 Distributions a support compact

Pour Ω ⊂ Rn, on note E ′(Ω) l’espace vectoriel des distributions sur Ω asupport compact.

Proposition 11.4.7 Les distributions a support compact sont d’ordre fini.Si T ∈ E ′(Ω), notant m son ordre, pour tout voisinage compact K de suppT ,il existe une constante C > 0 telle que

∀ϕ ∈ C∞0 (Ω), |〈T, ϕ〉| ≤ C∑|α|≤m

supK

|∂αϕ| .

Preuve :Soit K un voisinage compact de suppT , i.e. un compact tel que suppT ⊂Int (K), et χ ∈ C∞0 (Int (K)) une fonction plateau, telle que χ = 1 au voisinagede suppT .Puisque T est une distribution, il existe C = C(K) > 0, m = m(K) ∈ N telsque

∀ψ ∈ C∞0 (Ω), suppψ ⊂ K ⇒ |〈T, ψ〉| ≤ C∑|α|≤m

sup |∂αψ| ,

et on note desormais m le plus petit entier pour lequel cette propriete estvraie.Pour toute fonction ϕ ∈ C∞0 (Ω), puisque supp(ϕ− χϕ) ∩ suppT = 0, on a

〈T, ϕ〉 = 〈T, χϕ〉+ 〈T, ϕ− χϕ〉 = 〈T, χϕ〉.

La fonction χϕ etant C∞ a support dans K, on obtient donc

|〈T, ϕ〉| ≤ |〈T, χϕ〉| ≤ C∑|α|≤m

sup |∂α(χϕ)| .


Enfin, la formule de Leibniz permet de montrer que

sup |∂α(χϕ)| = supK

|∂α(χϕ)| ≤ C∑β≤α

supK

|∂βϕ| ,

ce qui est l’inegalite annoncee.

Attention : Comme le montre l’exemple ci-dessous, on ne peut pas engeneral remplacer le compact K par suppT dans l’estimation de la pro-position 11.4.7.

Exercice 11.4.8 Montrer que la forme lineaire T sur C∞0 (R) definie par

T (ϕ) =∑n≥0

1

n(ϕ(

1

n)− ϕ(0))

est une distribution. Donner son support, que l’on notera K, et montrer queT est d’ordre 1.Montrer qu’il n’existe pas de constante C > 0 telle que, pour toute fonctionϕ ∈ C∞0 (R), on ait

|〈T, ϕ〉| ≤ C‖ϕ‖C1(K).

On pourra tester cette inegalite sur des fonctions plateau bien choisies.

On identifie maintenant E ′(Ω) a l’espace des formes lineaires continues surl’espace C∞(Ω). Cette identification repose sur la

Proposition 11.4.9 Soit T ∈ E ′(Ω), m ∈ N son ordre, et χ ∈ C∞0 (Ω) unefonction telle que χ = 1 sur un voisinage de suppT . On note T : C∞(Ω)→ Cla forme lineaire definie par

T (f) = 〈T, χf〉.

1. T ne depend pas du choix de χ.

2. Pour ϕ ∈ C∞0 (Ω), T (ϕ) = 〈T, ϕ〉.3. T est continue sur C∞(Ω) :

∃K ⊂ Ω,∃C > 0,∀f ∈ C∞(Ω), |T (f)| ≤ C∑α≤m

supK

|∂αf | .

Enfin si L : C∞(Ω)→ C est une forme lineaire qui verifie (ii) et (iii), L = T .


Preuve :Soit χ1, χ2 deux fonctions de C∞0 (Ω) qui valent 1 dans un voisinage de suppT .Pour ϕ ∈ C∞0 (Ω), on a

〈T, χ1ϕ〉 − 〈T, χ2ϕ〉 = 〈T, (χ1 − χ2)ϕ〉 = 0 ,

puisque supp(χ1−χ2)ϕ∩suppT = ∅. De la meme maniere, pour ϕ ∈ C∞0 (Ω),puisque supp(1− χ)ϕ ∩ suppT = ∅,

T (ϕ) = 〈T, χϕ〉 = 〈T, χϕ〉+ 〈T, (1− χ)ϕ〉 = 〈T, ϕ〉.

On a donc prouve les points (i) et (ii). Soit maintenant K un voisinagecompact de suppT . Puisque T est une distribution d’ordre m, il existe C =C(K) > 0 tels que

∀ψ ∈ C∞0 (Ω), suppψ ⊂ K ⇒ |〈T, ψ〉| ≤ C∑|α|≤m

sup |∂αψ| .

Pour f ∈ C∞(Ω), suppχf ⊂ K, donc

|T (f)| = |〈T, χf〉| ≤ C∑|α|≤m

sup |∂α(χf)| ≤ C ′∑|α|≤m

supK

|∂αf | ,

ce qui prouve le point (iii).Soit enfin L verifiant (ii) et (iii). En raison de l’inegalite du (iii), si f ∈ C∞(Ω)verifie supp f ∩ K = ∅, on a L(f) = 0. Soit donc χ ∈ C∞0 (Ω) telle que χ = 1pres de K. On a

L(f) = L(χf) + L((1− χ)f) = L(χf) = 〈T, χf〉,

grace a (ii).

On pourra noter que la notion de continuite ci-dessus coıncide avec la conti-nuite des formes lineaires sur C∞(Ω).

11.4.4 Distributions supportees en un point

Soit x0 ∈ Rn. On s’interesse aux distributions non-nulles T ∈ D′(Rn) tellesque suppT ⊂ x0. Pour eviter d’alourdir inutilement les notations, et sansperte de generalite, on considere le cas x0 = 0. On a besoin d’un resultatintermediaire, qui a aussi son propre interet.


Proposition 11.4.10 Soit T ∈ E ′(Ω), et m son ordre. On suppose quesuppT = x0. Si ϕ ∈ C∞(Ω) verifie

∀α ∈ Nn, |α| ≤ m, ∂αϕ(x0) = 0 ,

alors 〈T, ϕ〉 = 0 .

Il est important de confronter cet enonce avec l’exemple qui suit la proposi-tion 11.4.6.Preuve :On traite pour simplifier le cas de la dimension 1 avec x0 = 0. On part de

|T (ψ)| ≤ C supk≤m,x∈[−1,+1]

|ψ(k)(x)| , ∀ψ ∈ C∞0 (R) .

Soit χ une fonction plateau egale a 1 sur [−12, 1

2] et a support dans ]− 1,+1[,

et χε(x) = χ(x/ε).En utilisant l’hypothese sur le support de T , on a, pour tout ε > 0, t

|T (ϕ)| = |T (χεϕ)| ≤ C supk≤m,x∈[−1,+1]

|(χεϕ)(k)(x)| .

Sous l’hypothese d’annulation de ϕ et de ses m premieres derivees en 0, onverifie facilement en utilisant la formule de Leibnitz, que le membre de droiteest O(ε). Mais le membre de gauche est independant de ε. En faisant tendreε vers 0. On obtient le resultat.

On est maintenant en mesure de montrer le resultat principal de cette section.

Proposition 11.4.11 Soit T ∈ D′(Ω) une distribution non-nulle, et x0 ∈ Ω.Si suppT ⊂ x0, il existe N ∈ N et des nombres complexes aα pour |α| ≤ Ntels que l’un des aα avec |α| = N n’est pas nul, et

T =∑|α|≤N

aα∂αδx0 .

Preuve :On ecrit la preuve pour x0 = 0. Une telle distribution T est a support com-pact, et on note N son ordre exact. Soit χ ∈ C∞0 (Ω) telle que χ = 1 pres de0. Pour ϕ ∈ C∞0 (Ω) on peut ecrire

ϕ(x) =∑|α|≤N

xα

α!∂αϕ(0)χ(x) + r(x),


ou

r(x) = (1− χ(x))∑|α|≤N

xα

α!∂αϕ(0) + (N + 1)

∑|α|=N+1

xα

α!

∫ 1

0

(1− t)N∂αϕ(tx)dt.

Comme la fonction r s’annule a l’ordre N en 0, i.e. sur le support de T , laproposition precedente dit que

〈T, ϕ〉 =∑|α|≤N

∂αϕ(0)〈T, xα

α!χ(x)〉,

d’ou la forme annoncee en notant aα = 〈T, xαα!χ(x)〉. Enfin si tous les aα avec

|α| = N etaient nuls, T serait d’ordre ≤ N − 1.

Les coefficients cα dans cette decomposition sont uniquement determines. Eneffet

Proposition 11.4.12 Soit x0 ∈ Ω, et N ∈ N. Les distributions (∂αδx0)|α|≤Nsont lineairement independantes dans D′(Ω).

Preuve :Encore une fois, on ecrit la preuve pour x0 = 0. Supposons que∑

|α|≤N

aα∂αδ0 = 0

pour des aα ∈ C.Soit χ ∈ C∞0 (Ω) telle que χ = 1 pres de 0 et β ∈ Nn. On calcule

〈∂αδ0, xβχ〉 = (−1)|α|∂α(xβχ)|x=0

Or ∂α(xβχ)|x=0 est nul si α 6= β et vaut α! sinon. Donc, pour tout |β| ≤ N ,

0 = 〈∑|α|≤N

aα∂αδ0, x

βχ〉 = (−1)|β|β! aβ,

ce qui montre que tous les aα sont nuls.

Exercice 11.4.13 Resoudre dans D′(R) l’equation xpT = 0, pour p ∈ N.

Exercice 11.4.14 On considere l’application de C∞0 (R2) dans C definie par

φ 7→∫φ(x, x)dx .

Montrer que l’on definit une distribution T sur R2. Quel est son support ?Montrer que c’est une solution au sens des des distributions de l’equation desondes.


11.5 Suites de distributions

11.5.1 Convergence, exemples

Definition 11.5.1 Soit (Tj) une suite de distributions de D′(Ω). On dit que(Tj) converge vers T ∈ D′(Ω) lorsque, pour toute fonction ϕ ∈ C∞0 (Ω), lasuite (〈Tj, ϕ〉) converge vers 〈T, ϕ〉.

Exemple 11.5.2 Soit Tk ∈ D′(R) la distribution associee a la fonction x 7→eikx. Pour ϕ ∈ C∞0 (R), notant A > 0 un reel tel que suppϕ ⊂ [−A,A], on a

〈Tk, ϕ〉 =

∫ A

−Aeikxϕ(x)dx→ 0

par le theoreme de Riemann-Lebesgue (ou, ici, par une simple integrationpar parties). Donc la suite (Tk) converge vers 0 dans D′(R).

Exemple 11.5.3 Soit (χε) une approximation de l’identite dans C∞0 (Rn),et (Tε) la famille de distributions de D′(Rn) associees. Pour ϕ ∈ C∞0 (Rn),notant A > 0 un reel tel que suppϕ ⊂ [−A,A]n, on a

〈Tε, ϕ〉 =

∫[−A,A]n

χε(x)ϕ(x)dx =

∫[−A/ε,A/ε]n

χ(y)ϕ(εy)dy,

et le theoreme de convergence dominee montre que 〈Tε, ϕ〉 → ϕ(0) quandε→ 0. On dit donc que la suite (χε) converge vers δ0 dans D′(Rn).

Exercice 11.5.4 Montrer que la suite ( 1x±iε) converge vers vp( 1

x)∓iπδ0 dans

D′(R) quand ε→ 0+. On note desormais

1

x− i0= vp(

1

x) + iπδ0 et

1

x+ i0= vp(

1

x)− iπδ0.

11.5.2 Proprietes

Les operations que l’on a definit sur les distributions sont continues par rap-port a la convergence des suites. Autrement dit :

Proposition 11.5.5 Si (Tj) converge vers T dans D′(Ω), alors

1. Pour tout α ∈ Nn, (∂αTj) converge vers ∂αT .

2. Pour toute fonction f ∈ C∞(Ω), (fTj) converge vers fT .

11.6. DISTRIBUTIONS PERIODIQUES SUR R 139

Preuve :Soit ϕ ∈ C∞0 (Ω). On a immediatement

〈∂αTj, ϕ〉 = (−1)|α|〈Tj, ∂αϕ〉 → (−1)|α|〈T, ∂αϕ〉 = 〈∂αT, ϕ〉,

et〈fTj, ϕ〉 = 〈Tj, fϕ〉 → 〈T, fϕ〉 = 〈fT, ϕ〉.

Exercice 11.5.6 Montrer que si (fj) converge vers f dans C∞(Ω), alors(fjT ) converge vers fT dans D′(Ω).

11.6 Distributions periodiques sur R

11.6.1 Definitions

Si ϕ : R → R est un fonction reguliere, et a ∈ R, on note τaϕ la fonctiondefinie par τaϕ(x) = ϕ(x − a). Cette fonction τaϕ a la meme regularite queϕ, et est a support compact quand ϕ l’est.

Proposition 11.6.1 Soit T ∈ D′(R), et a ∈ R. La forme lineaire τaT laforme lineaire sur C∞0 (R) definie par

τaT (ϕ) = 〈T, τ−aϕ〉,

est une distribution sur R, qu’on appelle translatee de T .

Definition 11.6.2 Soit T ∈ D′(R), et a ∈ R. On dit que T est periodiquede periode a lorsque τaT = T .

Par exemple la serie∑

n∈Z δ2πn converge dans D′(R), et definit une distribu-tion 2π-periodique, connue sous le nom de peigne de Dirac.

Proposition 11.6.3 Soit (cn) une suite de nombres complexes. S’il existeune constante C > 0 et un entier p ∈ N tels que

|cn| ≤ C(1 + |n|)p,

la serie∑

n∈Z cneinx converge dans D′(R) et sa somme est une distribution

2π-periodique.


Preuve :Soit ϕ ∈ C∞0 (R), et A > 0 un reel tel que suppϕ ⊂ [−A,A]. Notant SN laN -ieme somme partielle de la serie, on a

〈SN , ϕ〉 =N∑

n=−N

cn

∫ A

−Aeinxϕ(x)dx.

En integrant par parties p+ 2 fois, on obtient

〈SN , ϕ〉 = c0

∫ A

−Aϕ(x)dx+

N∑n=−N ,n6=0

cn(−1)p+2

∫ A

−A

einx

(in)p+2ϕ(p+2)(x) dx ,

et, en utilisant l’hypothese de croissance moderee de la suite (cn),

|〈SN , ϕ〉| ≤ 2CA(1 +N∑

n=−N ,n6=0

(1 + |n|)p)|n|p+2

) sup |ϕ(p+2)| . sup |ϕ(p+2)| ,

ce qui montre que la suite (〈SN , ϕ〉)N converge.La suite de distributions (SN)N converge donc dans D′(R) vers une certainedistribution S, et choisissant A assez grand pour que suppϕ ⊂ [−A,A] ∩[−A+ 2π,A+ 2π],

〈SN , τ−2πϕ〉 =∑N

n=−N cn∫ A−A e

inxϕ(x+ 2π)dx

=∑N

n=−N cn∫ A+2π

−A+2πein(y−2π)ϕ(y)dy = 〈SN , ϕ〉.

(11.7)

En passant a la limite N → +∞, on obtient bien que τ2πS = S.

Cette proposition admet une reciproque : toute distribution 2π-periodiqueadmet une decomposition en serie de Fourier.

11.6.2 Serie de Fourier d’une distribution periodique

On commence par un resultat tres simple.

Lemme 11.6.4 Il existe une fonction ψ ∈ C∞0 (R) telle que

∀x ∈ R,∑n∈Z

ψ(x+ 2πn) = 1.


Preuve :Soit ω ∈ C∞0 (R) une fonction positive, et telle que ω(x) > 0 pour x ∈ [0, 2π].Soit aussi A > 0 tel que suppω ⊂ [−A,A]. Pour x ∈ R fixe, ω(x+ 2πn) = 0pour tout n /∈ [−A−x

π, A−x

π]. Donc pour x ∈ [−B,B], ω(x + 2πn) = 0 pour

tout n ∈ N tel que n /∈ [−A−Bπ

, A+Bπ

]. La serie∑n∈Z

τ−2πnω(x)

est donc localement finie, ce qui prouve qu’elle converge (par exemple uni-formement sur tout compact), et que sa somme est C∞. Elle est aussi stric-tement positive, et la fonction

ψ(x) =ω(x)∑

n∈Z ω(x+ 2πn),

est bien definie et verifie les conditions du lemme.

Soit T ∈ D′(R) une distribution 2π-periodique, et ψ1, ψ2 deux fonctionscomme dans le lemme. Pour n ∈ Z, on a

〈T, e−inxψ1〉 = 〈T, e−inx∑k∈Z

(τ−2πkψ2)ψ1〉 =∑k∈Z

〈T, e−inx(τ−2πkψ2)ψ1〉 .

Or puisque T est 2π-periodique, on a

〈T, e−inxτ−2πkψ2ψ1〉 = 〈τ−2πkT, e−inx(τ−2πkψ2)ψ1〉 = 〈T, e−inxψ2 (τ2πkψ1)〉 .

Donc

〈T, e−inxψ1〉 =∑k∈Z

〈T, e−inxψ2(τ2πkψ1)〉 = 〈T, e−inxψ2

(∑k∈Z

τ−2πkψ1

)〉 = 〈T, e−inxψ2〉.

Autrement dit, le nombre 〈T, e−inxψ〉 ne depend pas du choix de la fonctionψ verifiant les conditions du lemme, ce qui justifie la

Definition 11.6.5 Soit T ∈ D′(R) une distribution 2π-periodique. On ap-pelle coefficients de Fourier de T les nombres

cn(T ) =1

2π〈T, e−inxψ〉, n ∈ Z,

ou ψ ∈ C∞0 (R) est comme dans le lemme.


Il est tres simple de voir que la suite (cn(T ))n des coefficients de Fourier deT est a croissance moderee puisque T est une distribution, il existe C > 0 etm ∈ N tels que

|cn| ≤ C∑j≤m

sup |∂jx(e−inxψ)|,

donc |cn| = O((1 + |n|)m). D’apres la proposition 11.6.3, la serie∑

n∈Z cneinx

converge dans D′(R) vers une distribution 2π-periodique, qu’on appelle seriede Fourier de T .

Proposition 11.6.6 Soit T ∈ D′(R) une distribution 2π-periodique. Laserie de Fourier de T est egale a T :

T =∑n∈Z

cn(T )einx

On prendra garde au fait que meme si chaque terme de la serie est une fonc-tion reguliere, la convergence n’a lieu que dans D′(R) en general. Autrementdit, cette egalite ne dit pas que toute distribution periodique est une fonction.Preuve :Soit ψ ∈ C∞0 (R) telle que

∑n∈Z τ2πnψ = 1 et cn(T ) = 1

2π〈T, e−inxψ〉, n ∈ Z,

les coefficients de Fourier de T . Pour φ ∈ C∞0 (R), on note ϕ la fonction C∞,2π-periodique definie par

ϕ(x) =∑k∈Z

(τ2kπϕ)(x) =∑k∈Z

ϕ(x− 2kπ).

Notant

cn(ϕ) =1

2π

∫ 2π

0

φ(x)e−inxdx

pour n ∈ Z, ses coefficients de Fourier, on sait que

ϕ(x) =∑n∈Z

cn(ϕ)einx ,

ou la serie converge dans Ck pour tout k.Or on a

〈T, φ〉 = 〈T,∑

n∈Z (τ2πnψ)φ〉 =∑

n∈Z 〈T, (τ2πnψ)φ〉 . (11.8)

Ensuite en utilisant la periodicite de T on obtient

〈T, φ〉 =∑

n∈Z 〈T, ψ τ−2πnφ〉= 〈T, ψϕ〉 . (11.9)


Donc, en utilisant la propriete de T avec K = suppψ (ordre fini p) et laconvergence dans Cp entionnee ci-dessus :

〈T, φ〉 =∑n∈Z

cn(ϕ)〈T, einxψ〉 = 2π∑n∈Z

c−n(T ) cn(ϕ).

On revient alors a la definition des cn(ϕ) :

〈T, ϕ〉 =∑

n∈Z c−n(T )∫ 2π

0ϕ(x)e−inxdx

=∑

n∈Z c−n(T )∫ 2π

0

∑k∈Z ϕ(x− 2πk)e−inxdx

=∑

n∈Z c−n(T )∫φ(x)e−inxdx

=∫φ(x)

∑n∈Z c−n(T )e−inxdx

= 〈∑

n∈Z c−n(T )e−inx, ϕ〉,

(11.10)

ce qui termine la preuve de la proposition.

Exercice 11.6.7 Verifier que si T = Tf avec f dans L2loc et (2π)-periodique,

alors cn(T ) est bien le coefficient de Fourier cn(f) introduit dans le chapitresur les series de Fourier.

Chapitre 12

Espaces de Sobolev

On veut distinguer parmi les distributions (temperees) celles qui sont plusregulieres, par exemple donnees par des fonctions Ck. On a vu que plus f estreguliere, plus f decroit rapidement a l’infini, par exemple puisque

‖ξαf‖L2 = ‖Dαf‖L2 .

On aurait aussi pu ecrire ‖ξαf‖L∞ ≤ ‖Dαf‖L1 , mais on va tirer parti demaniere essentielle de la structure d’espace de Hilbert de L2(Rn).

12.1 Espaces de Sobolev sur Rn

12.1.1 Definitions

Pour ξ ∈ Rn, on note 〈ξ〉 =√

1 + |ξ|2. La fonction ξ 7→ 〈ξ〉 est C∞, et ilexiste une constante C > 0 telle que, pour |ξ| ≥ 1,

1

C|ξ| ≤ 〈ξ〉 ≤ C|ξ|.

Autrement dit 〈ξ〉 est une version regularisee de |ξ| qui a le meme compor-tement a l’infini.

Definition 12.1.1 Soit s ∈ R. On dit qu’une distribution temperee u ∈S ′(Rn) appartient a Hs(Rn) lorsque 〈ξ〉su ∈ L2(Rn).

Remarque 12.1.2 La distribution u ∈ S ′(Rn) est dans Hs(Rn) si et seule-ment si il existe une fonction g ∈ L2(Rn) telle que u = 〈ξ〉−sg.

Exemple 12.1.3

145

146 CHAPITRE 12. ESPACES DE SOBOLEV

1. δ0 ∈ Hs(Rn) si et seulement si s < −n2

. En effet δ0 = 1 donc 〈ξ〉sδ0 ∈L2(Rn) si et seulement si 2s < −n.

2. Les fonctions constantes ne sont dans aucun Hs(Rn), puisque C = Cδ0

n’est pas une fonction L1loc.

Proposition 12.1.4 La forme bilineaire (·, ·)s sur Hs(Rn)×Hs(Rn) definiepar

(u, v)s = (〈ξ〉su, 〈ξ〉sv)L2 =

∫u(ξ)v(ξ)〈ξ〉2sdξ

est un produit scalaire hermitien qui fait de Hs(Rn) un espace de Hilbert. Onnote

‖u‖s =√

(u, u)s = ‖〈ξ〉su‖L2

la norme associee.

PreuveSoit (uj) une suite de Cauchy de Hs(Rn). La suite (〈ξ〉su) est une suite deCauchy de L2, donc converge vers un v ∈ L2. Soit alors u la distributiontemperee definie par u = F−1(〈ξ〉−sv). On a u = 〈ξ〉−sv avec v ∈ L2, doncu ∈ Hs(Rn), et

‖uj − u‖s = ‖〈ξ〉suj − v‖L2 → 0 quand j → +∞.

Donc (uj) converge dans Hs(Rn).

Il est important de noter que H0(Rn) = L2(Rn), ou l’egalite a lieu entreespaces de Hilbert. On a aussi

s1 ≤ s2 ⇒ Hs2(Rn) → Hs1(Rn)

puisque 〈ξ〉s1 ≤ 〈ξ〉s2 , ou le symbole → designe une injection continue. Les Hs

forment donc une famille decroissante d’espaces de Hilbert. En particulier,pour s ≥ 0, on a Hs(Rn) ⊂ L2(Rn). On a meme la

Proposition 12.1.5 (Interpolation) Soit s0 ≤ s ≤ s1 trois reels. Pour u ∈Hs0(Rn) ∩Hs1(Rn), on a u ∈ Hs(Rn) et

‖u‖s ≤ ‖u‖(1−θ)s0‖u‖θs1 ,

ou θ ∈ [0, 1] est defini par s = (1− θ)s0 + θs1.

12.1. ESPACES DE SOBOLEV SUR RN 147

PreuveOn ecrit simplement

‖u‖2s =

∫〈ξ〉2s|u|2dξ =

∫(〈ξ〉2(1−θ)s0|u|2(1−θ))(〈ξ〉2θs1|u|2θ)dξ,

et on applique l’inegalite de Holder avec p = 1/(1− θ) et q = 1/θ.

On voit apparaıtre la notion de regularite que l’on cherche dans la propositionqui suit : plus on derive, plus on descend dans l’echelle des espaces de Sobolev.

Proposition 12.1.6 Si u ∈ Hs(Rn), alors ∂αu ∈ Hs−|α|(Rn).

PreuveSoit u ∈ Hs(Rn). On a ∂ju = ξju, donc ∂ju est une fonction L1

loc. De plus

‖〈ξ〉s−1∂ju‖L2 = ‖〈ξ〉s−1ξju‖L2 ≤ C‖〈ξ〉su‖L2 ,

ce qui montre que ∂ju ∈ Hs−1(Rn). Le cas general s’obtient par recurrencesur |α|.

Voici une autre illustration du fait que Hs contient des elements de plus enplus singuliers quand s diminue.

Proposition 12.1.7 Soit T ∈ E ′(Rn) une distribution a support compact.Si p ≥ 0 est l’ordre de T , alors T ∈ Hs(Rn) pour tout s < −p− n

2·

PreuvePour T ∈ E ′(Rn), on sait que T ∈ C∞ ⊂ L1

loc. De plus

|〈ξ〉sT (ξ)| = |〈ξ〉s〈Tx, e−ix·ξ〉| ≤ C〈ξ〉s∑|α|≤p

sup |∂αx (e−ix·ξ)| ≤ C〈ξ〉s+p

Donc T ∈ Hs(Rn) des que 2(s+ p) < −n.

12.1.2 Densite des fonctions regulieres

Proposition 12.1.8 Pour tout s ∈ R, S(Rn) est dense dans Hs(Rn).


PreuveD’abord, l’application S(Rn) 3 u 7→ 〈ξ〉su ∈ S(Rn) est une bijection pourtout s ∈ R. En particulier si u ∈ S(Rn), 〈ξ〉su ∈ S(Rn) ⊂ L2(Rn), doncS(Rn) ⊂ Hs(Rn).Soit alors u ∈ Hs(Rn) telle que u ∈ S(Rn)⊥. Pour toute fonction ϕ ∈ S(Rn),on a

0 = (u, ϕ)s = (〈ξ〉su, 〈ξ〉sϕ)L2 .

Donc pour tout ψ ∈ S(Rn), on a (〈ξ〉su, ψ)L2 = 0. Comme S(Rn) est densedans L2(Rn) (cf. le corollaire 9.2.7), cela entraıne u = 0. Ainsi

S(Rn) = (S(Rn)⊥)⊥ = 0⊥ = Hs(Rn).

Remarque 12.1.9 On a donc S(Rn) ⊂ ∩s∈RHs(Rn), mais l’inclusion in-verse est fausse.Par exemple, en dimension 1, si u(x) = 1

1+x2on a u(ξ) = e−|ξ|, donc

u ∈ Hs(R) pour tout s ∈ R, mais u /∈ S(Rn).

Proposition 12.1.10 Pour tout s ∈ R, C∞0 (Rn) est dense dans Hs(Rn).

PreuvePuisque S(Rn) est dense dans Hs(Rn), il suffit de montrer que C∞0 (Rn) estdense dans S(Rn) pour la norme Hs(Rn). On raisonne par troncature : soitχ ∈ C∞0 (Rn) telle que χ = 1 sur B(0, 1). Pour k ∈ N, on pose χk(x) = χ(x/k)et ϕk = χkϕ. On a

‖ϕk − ϕ‖s ≤ (∫〈ξ〉2s|ϕk(ξ)− ϕ(ξ)|2dξ)1/2

≤ sup (〈ξ〉s+(n+1)/2|ϕk(ξ)− ϕ(ξ)|) (∫〈ξ〉−(n+1)dξ)1/2

≤ C Np(ϕk − ϕ)≤ C Np+n+1(ϕk − ϕ),

(12.1)

ou p ∈ N est tel que p ≥ s+ (n+ 1)/2.On a vu dans la preuve de la Proposition 9.2.8 que, pour tout q, Nq(ϕk−ϕ)→0 quand k → +∞.

12.1.3 Multiplicateurs de Hs

Proposition 12.1.11 Soit ϕ ∈ S(Rn). La multiplication par ϕ est uneoperation continue dans Hs(Rn).


PreuvePour ϕ ∈ S(Rn) et u ∈ Hs(Rn), on a ϕu ∈ S ′(Rn) et

〈ξ〉sϕu = (2π)−n〈ξ〉sϕ ∗ u.

On peut supposer d’abord que u ∈ S. Pour controler la norme L2 du secondmembre, on va faire le produit scalaire L2 avec un element ψ ∈ C∞0 .Donc pour ψ ∈ C∞0 (Rn), on a :

〈〈ξ〉sϕu, ψ〉L2 == (2π)−n∫ ∫

〈ξ〉sϕ(ξ − η)u(η)ψ(ξ)dξdη .

On en deduit la majoration :

|〈〈ξ〉sϕu, ψ〉L2| ≤ (2π)−n∫ ∫

〈ξ〉s|ϕ(ξ − η)| |u(η)||ψ(ξ)| dξdη

On a besoin du

Lemme 12.1.12 (Lemme de Peetre) Pour (ξ, η) ∈ R2n, et pour tout s ∈ R,on a

〈ξ〉s ≤ 2|s|/2〈ξ − η〉|s|〈η〉s .

Preuve du lemme de PeetreEn echangeant ξ et η on voit qu’il suffit de prouver l’inegalite pour s ≥ 0 etde fait pour s = 2. Or dans ce cas, c’est evident. en developpant le terme dedroite.

Revenons a la proposition. Avec le lemme de Peetre, on a

|〈〈ξ〉sϕu, ψ〉L2 | ≤ 2||s|2 (2π)−n

∫ ∫|〈ξ − η〉s|ϕ(ξ − η)| |〈η〉s|u(η)||ψ(ξ)| dξdη

≤ 2||s|2 (2π)−n

∫ (∫|〈ξ − η〉s|ϕ(ξ − η)| |〈η〉s|u(η)| dη

)|ψ(ξ)| dξ .

On reconnait la convolution de 〈ξ〉|s||φ et de 〈ξ〉su qu’on va considerer commela convolution d’une fonction de L1 et d’une fonction de L2. L’inegalite deYoung combinee a l’inegalite de Cauchy-Schwarz nous donne donc :

|〈〈ξ〉sϕu, ψ〉L2| ≤ 2||s|2 (2π)−n||u||s ||〈·〉φ||L1 ||ψ||L2 .

On en tire d’abord que pour ϕ dans S et u dans S, la norme dans L2 de〈ξ〉sϕu est controlee par

||〈ξ〉sϕu||L2 ≤ 2||s|2 (2π)−n||u||s ||〈·〉φ||L1 ,


soit encore||ϕu||s ≤ 2|

|s|2 (2π)−n||u||s ||〈·〉φ||L1 . (12.2)

S etant dense dans Hs, on en deduit que l’application u 7→ φu se prolongeen une application continue de Hs dans Hs. On verifie que c’est bien l’appli-cation de multiplication au sens de S ′.

Remarque 12.1.13 La demonstration (voir (12.2)) montre qu’on peut pro-longer la multiplication a tous les ϕ tels que 〈·〉|s|ϕ ∈ L1.

12.1.4 Injections de Sobolev

Les resultats ci-dessous peuvent etre vus comme une reponse a la question”qu’est-ce qui n’est pas dansHs(Rn)”, ou encore comme un pas supplementairedans la description de la regularite des distributions temperees.On note Ck→0(Rn) l’espace des fonctions Ck sur Rn qui tendent vers 0 a l’infiniainsi que toutes leurs derivees d’ordre ≤ k.

Proposition 12.1.14 Si s > n2

+ k, alors Hs(Rn) → Ck→0(Rn).

PreuveSoit u ∈ Hs(Rn). Pour α ∈ Nn avec |α| ≤ k, on a ξαu ∈ L1. En effet

|ξαu(ξ)| ≤ |ξ||α|

〈ξ〉s〈ξ〉s|u(ξ)| ≤ 〈ξ〉k−s〈ξ〉s|u(ξ)|,

et 〈ξ〉k−s ∈ L2(Rn) puisque −2(k − s) > n. On a donc, par Cauchy-Schwarz,

‖ξαu‖L1 ≤ Cs,n‖u‖s . (12.3)

Ainsi Dαu = F−1(ξαu) ∈ C0→0, et la continuite de l’injection de Hs(Rn) dans

Ck→0(Rn) n’est qu’une autre maniere de formuler les inegalites

∀|α| ≤ k, ‖Dαu‖L∞ ≤ ‖ξαu‖L1 ≤ Cs,n‖u‖s .

Proposition 12.1.15 Soit s > n2. Si u, v ∈ Hs(Rn), alors uv ∈ Hs(Rn) et

il existe une constante Cs > 0, telle que, pour tout u, v ∈ Hs(Rn),

‖uv‖s ≤ Cs‖u‖s‖v‖s .


PreuveLa proposition precedente dit que u et v sont des fonctions continues, doncle produit uv est bien defini. On a d’abord u, v ∈ L2 ∩ L∞, puisque s ≥ 0d’une part, et puisque u et v sont des fonctions continues qui tendent vers 0 al’infini. Du coup f = uv est une fonction de L1∩L∞, et on a f = (2π)−nu∗ v.Donc

‖f‖2s = (2π)−2n

∫〈ξ〉2s|u∗v(ξ)|2 dξ ≤ (2π)−2n

∫ (∫〈ξ〉s|u(ξ−η)| |v(η)|dη

)2

dξ .

Or puisque s ≥ 0, on a (a + b)s ≤ 2s(as + bs) pour tout (a, b) ∈ R+. Enecrivant l’inegalite triangulaire, on obtient facilement

〈ξ〉s ≤ 2s(〈ξ − η〉s + 〈η〉s) .

L’inegalite precedente donne alors

‖f‖2s ≤ (2π)−2n22s

∫ ( ∫〈ξ − η〉s|u(ξ − η)| |v(η)|+ |u(ξ − η)|〈η〉s|v(η)|dη

)2

dξ

≤ (2π)−2n22s+1∫ ( ∫

〈ξ − η〉s|u(ξ − η)| |v(η)|dη)2

+( ∫|u(ξ − η)|〈η〉s|v(η)|dη

)2

dξ

≤ (2π)−2n22s+1(‖〈η〉s|u| ∗ |v|‖2L2 + ‖|u| ∗ 〈η〉s|v|‖2

L2 .)(12.4)

L’inegalite de Young dit que, pour le premier terme par exemple,

‖〈η〉s|u| ∗ |v|‖2L2 ≤ ‖〈η〉s|u|‖2

L2‖v|‖2L1 ≤ Cs‖u‖2

s‖v‖2s ,

en utilisant aussi (12.3).Le second terme se traite de le meme maniere, et l’on obtient bien

‖f‖2s ≤ C ‖u‖2

s ‖v‖2s .

Proposition 12.1.16 Pour p ≥ 2 et s ≥ n(12− 1

p), on a Hs(Rn) → Lp(Rn).

Precisement, il existe une constante Cn,s,p > 0 telle que

∀u ∈ Hs(Rn), ‖u‖Lp ≤ Cn,s,p‖u‖s .

Remarque 12.1.17 Hn/2(Rn) n’est pas inclus dans L∞(Rn) (donc pas dansC0→0), ce qui est la cause d’un certain nombre de difficultes techniques.

PreuveOn l’admet.


12.1.5 Dualite Hs(Rn)/H−s(Rn)

On s’interesse maintenant de plus pres aux espaces de Sobolev d’ordre negatif.Une facon souvent commode de traiter l’espace H−s(Rn) avec s > 0, consistea le considerer comme l’espace des formes lineaires continues sur Hs(Rn). Ona effet la

Proposition 12.1.18 Soit s ∈ R, et u ∈ H−s(Rn). La forme lineaire Ludefinie sur S(Rn) par 1

Lu(ϕ) = 〈u, ϕ〉,

se prolonge de maniere unique en une forme lineaire continue sur Hs(Rn).De plus l’application L : u 7→ Lu est un isomorphisme bicontinu de H−s(Rn)dans (Hs(Rn))′.

PreuveTout d’abord, pour ϕ ∈ S(Rn), on a

|Lu(ϕ)| = |〈u, ϕ〉| ≤ (2π)−n‖u‖−s‖ϕ‖s , (12.5)

ce qui, compte tenu de la densite de S(Rn) dans Hs(Rn) donne le premierpoint.On montre maintenant que L est bijective. Elle est clairement injective,puisque

∀ϕ ∈ S(Rn), Lu(ϕ) = 0 ⇐⇒ ∀ϕ ∈ S(Rn),∫〈ξ〉−su(ξ)〈ξ〉sϕ(ξ)dξ = 0

⇐⇒ ∀ψ ∈ S(Rn),∫〈ξ〉−su(ξ)ψ(ξ)dξ = 0

⇐⇒ u = 0 .(12.6)

Soit ϕ ∈ (Hs(Rn))′ ; on cherche u ∈ H−s(Rn) telle que Lu = ϕ . Soit Ψ laforme lineaire sur L2(Rn) definie par

Ψ(f) = ϕ(F−1(〈ξ〉−sf)) .

On a, pour tout f ∈ L2(Rn),

|Ψ(f)| ≤ C‖F−1(〈ξ〉−sf)‖s ≤ C‖f‖L2 ,

donc Ψ est continue sur L2(Rn). Par le theoreme de Riesz, il existe g ∈ L2(Rn)telle que Ψ(f) = (g, f)L2 , et on pose u = F(〈ξ〉sg) . On a

〈ξ〉−su = (2π)n〈ξ〉−s〈ξ〉sg ∈ L2(Rn) ,

1. Le 〈·〉 designe au depart la dualite S ′/S.


donc u ∈ H−s(Rn). De plus pour ϕ ∈ S(Rn) ,

Lu(ϕ) = 〈u, ϕ〉 =

∫〈ξ〉sg(ξ)ϕ(ξ)dξ = Ψ(〈ξ〉sϕ) = ϕ(ϕ).

Donc L est surjective. Enfin la continuite de L : u 7→ Lu provient de (12.5) :

‖Lu‖ = supϕ∈Hs,‖ϕ‖s=1

|Lu(ϕ)| ≤ (2π)−n‖u‖−s ,

et celle de L−1 est automatique puisque l’on travaille dans des espaces deBanach.

12.1.6 Trace d’un element de Hs(Rn), s > 1/2

Lorsqu’une fonction f est continue, il n’y a aucune difficulte pour definir sarestriction a une hypersurface, par exemple en utilisant une parametrisationde celle-ci : la restriction de f a l’hypersurface xn = 0 de Rn est la fonctionγ(f) : Rn−1 → C definie par

γ(f)(x1, . . . , xn−1) = f(x1, . . . , xn−1, 0) . (12.7)

Il n’y a a priori rien d’equivalent pour les fonctions definies presque partout,puisqu’une hypersurface est de mesure nulle. Lorsque u est dans un espace deSobolev d’ordre pas trop petit, sans pour autant etre une fonction continue,on peut neanmoins donner un sens a cette restriction.

Proposition 12.1.19 Pour tout s > 12, l’operateur γ : S(Rn) → S(Rn−1)

defini par (12.7) s’etend de maniere unique en un operateur lineaire continuet surjectif de Hs(Rn) dans Hs−1/2(Rn−1) .

PreuveOn veut montrer qu’il existe une constante C > 0 telle que pour tout ϕ ∈S(Rn),

‖γ(ϕ)‖Hs−1/2(Rn−1) ≤ C‖ϕ‖Hs(Rn) . (12.8)

L’existence de l’unique prolongement continu de γ decoulera alors de la den-site de S(Rn) dans Hs(Rn) .Pour ϕ ∈ S(Rn), on peut ecrire

γ(ϕ)(x′) = ϕ(x′, 0)= F−1

(ξ′,ξn)→(x′,0)(ϕ(ξ′, ξn))

= (2π)−n∫ ∫

eix′·ξ′ϕ(ξ′, ξn)dξ′dξn

= (2π)−(n−1)∫eix′·ξ′(

1(2π)

∫ϕ(ξ′, ξn)dξn

)dξ′.

(12.9)


Donc, dans S(Rn−1) ,

γ(ϕ)(ξ′) =1

(2π)

∫ϕ(ξ′, ξn)dξn.

En particulier

|γ(ϕ)(ξ′)|2 ≤ 1(4π)2|∫〈ξ〉s|ϕ(ξ′, ξn)|〈ξ〉−sdξn|2

≤ 1(4π)2

∫〈ξ〉2s|ϕ(ξ′, ξn)|2dξn ×

∫〈ξ〉−2sdξn .

Or, en posant ξn = (1 + |ξ′|2)1/2t, on obtient∫〈ξ〉−2sdξn =

∫1

(1+|ξ′|2+|ξn|2)sdξn

=∫

1(1+t2)s(1+|ξ′|2)s

(1 + |ξ′|2)1/2dt

= 〈ξ′〉−2s+1∫

dt(1+t2)s

= Cs〈ξ′〉−2s+1 .

(12.10)

Ainsi ∫〈ξ′〉2s−1|γ(ϕ)(ξ′)|2dξ′ ≤ Cs

(4π)2

∫〈ξ〉2s|ϕ(ξ)|2dξ ,

c’est-a-dire (12.8).Il reste a montrer la surjectivite. On va exhiber pour cela un inverse a droiteR de γ. Pour v ∈ Hs−1/2(Rn−1), on pose

u(x) = Rv(x) = F−1ξ→x

(KN〈ξ′〉2N

〈ξ〉2N+1v(ξ′)

),

ou N ∈ N et KN > 0 seront fixes plus loin.On a

‖u‖2s = K2

N

∫〈ξ〉2s 〈ξ

′〉4N〈ξ〉4N+2 |v(ξ′)|2dξ

≤ K2n

∫〈ξ′〉4N |v(ξ′)|2 (

∫〈ξ〉2s−4N−2dξn) dξ′

≤ K2nC∫〈ξ′〉2s−1|v(ξ′)|2dξ′

≤ K2nC ‖v‖2

Hs−1/2(Rn−1),

(12.11)

ou l’on a utilise (12.10) et choisi N > s/2−1/4 pour que l’integrale converge.Donc R envoie bien Hs−1/2(Rn−1) dans Hs(Rn).On calcule alors

γ(Rv)(ξ′) = 1(2π)

∫Rϕ(ξ′, ξn)dξn

= KN(2π)

∫ 〈ξ′〉2N〈ξ〉2N+1 v(ξ′)dξn

= v(ξ′) KN(2π)〈ξ′〉2N

∫〈ξ〉−(2N+1)dξn

=CN+1

2KN

2πv(ξ′)

= v(ξ′) ,

(12.12)

12.2. ESPACES DE SOBOLEV SUR Ω 155

en choisissant pour obtenir la derniere egalite KN = 2π/CN+ 12

, ou CN+ 12

est

la constante introduite dans (12.10).Donc γ R = Id .

12.2 Espaces de Sobolev sur Ω

12.2.1 Espaces de Sobolev d’ordre entier sur Rn

On commence par quelques remarques simples. Pour k ∈ N les elements deHk(Rn) peuvent etre caracterises par

u ∈ Hk(Rn)⇐⇒ ∀α ∈ Nn, |α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Rn) .

En effet‖〈ξ〉ku(ξ)‖2

L2 =∫

(1 + |ξ|2)k|u(ξ)|2dξ=∑|α|≤k

k!α!

∫ξ2α|u(ξ)|2dξ

=∑|α|≤k

k!α!

∫ξαu(ξ)ξαu(ξ)dξ

=∑|α|≤k

k!α!‖Dαu‖2

L2

=∑|α|≤k

k!α!‖Dαu‖2

L2

(12.13)

Donc 〈ξ〉ku ∈ L2(Rn) si et seulement si Dαu est dans L2 pour tout |α| ≤ k.L’egalite (12.13) dit meme davantage :

Proposition 12.2.1 Pour k ∈ N, l’espace de Hilbert (Hk(Rn), (·, ·)k) estegal a l’espace

u ∈ S ′(Rn), ∀α ∈ Nn, ∂αu ∈ L2(Rn)

muni du produit scalaire

((u, v))k =∑|α|≤k

(∂αu, ∂αv)L2 .

On notera ‖u‖Hk =√

((u, u))k la norme associee, qui est donc equivalente ala norme ‖ · ‖k.Pour les entiers negatifs, en utilisant la Proposition 12.1.18, et la densite deC∞0 (Rn) dans Hk(Rn), on obtient la caracterisation suivante :

Proposition 12.2.2 Soit k ∈ N. L’espace H−k(Rn) est l’espace des formeslineaires u sur Hk(Rn) telles qu’il existe une constante C > 0 pour laquelle

∀ϕ ∈ C∞0 (Rn), |〈u, ϕ〉| ≤ C ‖ϕ‖Hk .


12.2.2 Espaces de Sobolev d’ordre entier sur Ω

Un des interets principaux de ces remarques sur les Sobolev d’indice entierest qu’elles permettent de definir une echelle d’espaces de Hilbert, qui doitpermettre de mesurer la regularite des distributions, sans recours a la trans-formation de Fourier. En particulier, pour k ∈ Z, on peut parler d’espace deSobolev d’ordre k sur n’importe quel ouvert Ω ⊂ Rn.

Definition 12.2.3 Soit Ω ⊂ Rn un ouvert, et k ∈ N. On dit que u ∈ D′(Ω)appartient a l’espace Hk(Ω) lorsque pour tout |α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω). On note(·, ·)k la forme sesquilineaire definie sur Hk(Ω)×Hk(Ω) par

(u, v)k =∑|α|≤k

(∂αu, ∂αv)L2 .

Proposition 12.2.4 Muni du produit scalaire hermitien (·, ·)k, l’espace Hk(Ω)est un espace de Hilbert.

PreuveSoit (uj) une suite de Cauchy de Hk(Ω). Pour chaque |α| ≤ k, la suite (∂αuj)est une suite de Cauchy de L2, donc converge vers un vα ∈ L2. En particulieruj → v0 dans D′(Ω), donc ∂αuj → ∂αv0 = vα ∈ L2(Ω), et (uj) → v0 dansHk(Ω)

Lorsque Ω 6= Rn, l’espace des fonctions test C∞0 (Ω) n’est pas toujours densedans Hk(Ω). On est donc conduit a la

Definition 12.2.5 On note Hk0 (Ω) l’adherence de C∞0 (Ω) dans Hk(Ω). C’est

un espace de Hilbert.

Exemple 12.2.6 Soit I =]− a, a[∈ R. On va decrire H1(I) et H10 (I).

– Pour f ∈ H1(I), on a f ′ ∈ L2(I) ⊂ L1(I). Donc la fonction g : I → Cdefinie par

g(x) =

∫ x

−af ′(t)dt

est continue. De plus g′ − f ′ = 0 donc la distribution g − f est constante.Comme g se prolonge en une fonction continue sur [−a, a], f aussi.

– La fonction x 7→ |f(x)| est continue sur [−a, a], donc atteint son minimumen b ∈ [−a, a]. Comme

2a|f(b)|2 =

∫ a

−a|f(b)|2dt ≤

∫ a

−a|f(t)|2dt,


on a√

2a|f(b)| ≤ ‖f‖L2. Enfin puisque

f(x) = f(b) +

∫ x

b

f ′(t)dt,

on obtient

|f(x)| ≤ 1

2√a‖f‖L2 +

√2a‖f ′‖L2 ≤ C‖f‖H1 .

En particulier la forme lineaire δx est continue sur H1(I).– H1

0 (I) = f ∈ H1(I), f(−a) = f(a) = 0. En effet on a vu que les formeslineaires δ±a sont continues sur H1(I), et sont nulles sur C∞0 (I). Donc sif ∈ H1

0 (I), on a f(−a) = f(a) = 0.Reciproquement, soit f ∈ H1(I) verifiant f(a) = f(−a) = 0. Soit aussig la fonction qui vaut f sur [−a, a] et 0 ailleurs. On a g′ = f ′1[ − a, a],donc g′ ∈ L2(R), et g ∈ H1(R). Pour λ < 1, la suite gλ = g(x/λ) tendvers f dans H1(I) quand λ → 1, et le support de gλ est contenu dans[−aλ, aλ] ⊂ I. Si (χε) est une approximation de l’identite, gλ∗χε appartienta C∞0 (I) pour ε > 0 assez petit, et converge vers gλ dans H1(R). Doncgλ ∈ H1

0 (I) et f ∈ H10 (I).

Remarque 12.2.7 L’orthogonal F de H10 (Ω) dans H1(Ω) est le sous-espace

constitue des fonctions f telles que

(1−∆)f = 0 dans D′(Ω) .

En effet la fonction f appartient a F si et seulement si pour tout u ∈ H10 (Ω),

et par densite pour toute u ∈ C∞0 (Ω),

0 = (f, u)H1 =

∫Ω

fudx+n∑j=1

∫Ω

∂jf∂ju dx = 〈f −∆f, u〉.

Definition 12.2.8 Soit k ∈ N. L’espace H−k(Ω) est le sous-espace des u ∈D′(Ω) telles qu’il existe une constante C > 0 pour laquelle

∀ϕ ∈ C∞0 (Ω), |〈u, ϕ〉| ≤ C‖ϕ‖Hk .

On note ‖u‖H−k la plus petite constante C possible dans l’inegalite ci-dessus.Ces distributions s’identifient aux formes lineaires continues sur Hk

0 (Ω).

Exemple 12.2.9 Si f ∈ L2(Ω), on a ∂jf ∈ H−1(Ω). En effet, pour ϕ ∈C∞0 (Ω), on a

|〈∂jf, ϕ〉| = |〈f, ∂jϕ〉| ≤∫|f | |∂jϕ|dx ≤ ‖f‖L2‖ϕ‖H1 .

On a d’ailleurs au passage ‖∂jf‖H−1 ≤ ‖f‖L2.


On peut en fait demontrer le resultat suivant

Proposition 12.2.10 Soit k ∈ N. Une distribution u ∈ D′(Ω) appartient aH−k(Ω) si et seulement si il existe des fonctions fα ∈ L2(Ω) telles que

u =∑|α|≤k

∂αfα.

12.2.3 L’inegalite de Poincare

Proposition 12.2.11 Soit Ω ⊂ Rn un ouvert, borne dans une direction. Ilexiste une constante C > 0 telle que

∀u ∈ H10 (Ω),

∫Ω

|u|2dx ≤ C

∫Ω

|∇u|2dx.

PreuveL’hypothese signifie qu’il existe R > 0 tel que, par exemple Ω ⊂ |xn| < R.Pour ϕ ∈ C∞0 (Rn), on a alors

ϕ(x′, xn) =

∫1[−R,xn](t)∂nϕ(x′, t)dt.

En utilisant Cauchy-Schwarz, on a alors

|ϕ(x′, xn)|2 ≤ 2R

∫ R

−R|∂nϕ(x′, t)|2dt.

On integre cette inegalite sur Ω, et on obtient∫Ω|ϕ(x′, xn)|2dx ≤ 2R

∫ R−R

∫Rn−1

∫ R−R |∂nϕ(x′, t)|2dtdxndx′

≤ 4R2∫|∂nϕ(x)|2dx

≤ 4R2∫|∇ϕ(x)|2dx.

(12.14)

On obtient alors le resultat dans H10 (Ω) par densite.

Remarque 12.2.12 L’inegalite de Poincare n’est pas vraie pour les u constantesnon-nulles, qui n’appartiennent donc pas a H1

0 (Ω) pour Ω borne (dans unedirection).

On notera que l’inegalite de Poincare entraıne que pour un ouvert borne (aumoins dans une direction), l’application

u 7→√∑|α|=1

‖∂αu‖2L2 ,

est une norme sur H10 (Ω) equivalente a la norme ‖ · ‖H1 .


12.2.4 Le probleme de Dirichlet

On termine par la resolution du tres classique probleme de Dirichlet dans unouvert Ω borne de Rn. Soit (aij(x))1≤i,j≤n une famille de fonctions de L∞(Ω).On suppose que la matrice A = (aij) est symetrique, i.e. que aij = aji, etqu’il existe une constante c > 0 telle que

∀x ∈ Ω, ∀ξ ∈ Cn, c|ξ|2 ≤ Re(∑i,j

aij(x)ξiξj) ≤1

c|ξ|2

On note alors ∆a l’operateur differentiel

∆af =n∑

i,j=1

∂i(ai,j(x)∂jf)

Lorsque A = Id, ∆a n’est autre que le Laplacien habituel.

Pour f ∈ H10 (Ω), ∆af a bien un sens et appartient a H−1(Ω), puisque ∂jf ∈

L2 et aij∂jf ∈ L2, donc ∂i(aij∂jf) ∈ H−1(Ω). On va montrer que, pour Ωborne, ∆a est un isomorphisme de H1

0 (Ω) dans H−1(Ω). Pour prouver ceresultat, on va utiliser un resultat general abstrait qui a un interet en lui-meme.

Proposition 12.2.13 (Theoreme de Lax-Milgram) Soit V un espace de Hil-bert sur C, et a(x, y) une forme sesquilineaire sur V (anti-lineaire par rapporta x et lineaire par rapport a y). On suppose que

1. la forme sesquilineaire a est continue, i.e. il existe M > 0 tel que

|a(x, y)| ≤M‖x‖ ‖y‖

pour tout x, y ∈ V .

2. la forme sesquilineaire a est coercive, i.e. il existe c > 0 tel que

|a(x, x)| > c‖x‖2

pour tout x ∈ V .

Alors pour tout forme lineaire continue ` sur V , il existe un unique x ∈ Vtel que

∀y ∈ V , `(y) = a(x, y).

De plus ‖x‖ ≤ ‖`‖/c.


PreuvePour tout x ∈ V , la forme lineaire y 7→ a(x, y) est continue. D’apres letheoreme de Riesz, il existe un unique A(x) ∈ V tel que

∀y ∈ V , a(x, y) = A(x) · y.

L’application A : x 7→ A(x) est anti-lineaire puisque, pour tout y ∈ V ,

A(α1x1+α2x2)·y = a(α1x1+α2x2, y) = α1a(x1, y)+α2a(x2, y) = (α1A(x1)+α2A(x2))·y.

L’application A est aussi continue puisque ‖A(x)‖ ≤M‖x‖.Soit maintenant ` une forme lineaire continue sur V . Encore avec le theoremede Riesz, il existe z ∈ V tel que

∀y ∈ V , `(y) = z · y.

Donc il s’agit de resoudre l’equation A(x) = z pour z ∈ V donne, et on vamontrer que A est une bijection sur V .Puisque a est coercive, on a

c‖x‖2 ≤ |A(x) · x| ≤ ‖A(x)‖ ‖x‖,

donc‖A(x)‖ ≥ c‖x‖, (12.15)

ce qui montre que A est injectif.De plus =A est un sous-espace ferme de V . En effet, si (yj) ∈ =A convergevers y dans V , notant yj = Axj, on a grace a (12.15)

c‖xp − xq‖ ≤ ‖yp − yq‖,

donc (xj) est une suite de Cauchy. Puisque V est un Hilbert, elle convergevers un certain x ∈ V et puisque A est continue, on a

y = limj→+∞

yj = limj→+∞

A(xj) = A( limj→+∞

xj) = Ax.

Donc y ∈ =A.Maintenant si x ∈ (=A)⊥, on a 0 = |A(x) · x| ≥ c‖x‖2, donc (=A)⊥ = 0,et =A = V .

Proposition 12.2.14 Soit Ω ⊂ Rn un ouvert borne. Pour tout f ∈ H−1(Ω),l’equation ∆u = f admet dans l’espace H1

0 (Ω) une unique solution.


PreuveL’equation ∆au = f dans D′(Ω) signifie

∀ϕ ∈ C∞0 (Ω), 〈∆au, ϕ〉 = 〈f, ϕ〉. (12.16)

ou encore

∀ϕ ∈ C∞0 (Ω),∑i,j

〈u, ∂i(aij(x)∂jϕ)〉 = 〈f, ϕ〉.

Pour u ∈ H10 (Ω), cela equivaut a

∀ϕ ∈ C∞0 (Ω),∑i,j

∫Ω

aij(x)∂iu(x)∂jϕ(x)dx = −〈f, ϕ〉.

On note alors a(u, v) la forme sesquilineaire sur H10 (Ω)×H1

0 (Ω) definie par

a(u, v) =∑i,j

∫Ω

aij(x)∂iu(x)∂jv(x)dx,

et ` la forme lineaire sur H10 (Ω) donnee par `(v) = −〈f, v〉. L’equation (12.16)

s’ecrit

∀ϕ ∈ C∞0 (Ω), a(u, ϕ) = `(ϕ),

et l’on veut montrer qu’elle admet une unique solution u ∈ H10 (Ω). Il suffit

pour cela de prouver que a est continue et coercive.

La continuite decoule facilement du fait que les aij sont bornees. Pour lacoercivite, on a, d’abord pour u ∈ C∞0 (Ω), puis, par densite, pour u ∈ H1

0 (Ω),

|a(u, u)| ≥ Re a(u, u) =

∫Ω

Re

(∑i,j

ai,j∂ju∂iu

)dx ≥ c

∫Ω

∑j

|∂ju|2 dx .

Il reste donc a etablir que∫Ω

∑j

|∂ju|2dx ≥ ‖u‖2H1 ,

ce qui est une consequence immediate du lemme de Poincare.


12.3 Regularite du probleme de Dirichlet

On a vu au paragraphe precedent que pour f ∈ H−1(Ω), il existait une uniquedistribution u ∈ H1

0 (Ω) telle que

−∆u = f .

On suppose maintenant que f ∈ L2(Ω) et on aimerait regarder les effets decette hypothese sur la regularite de u. On a dans cette direction le resultatsuivant :

Theoreme 12.3.1 Si Ω est a bord regulier 2 et si f ∈ L2(Ω), alors la solutiondonnee par le theoreme de Lax-Milgram est dans H2(Ω).

Preuve.Nous ne demontrerons pas ce theoreme mais nous contenterons de demontrerla propriete plus faible que

u ∈ H2loc(Ω) ,

c’est a dire que pour tout φ ∈ C∞0 (Ω), φu ∈ H2(Ω). On appelle cette proprietela regularite interieure et ce que nous ne demontrons pas ici est la regulariteau bord.On sait que u ∈ H1

0 (Ω). Considerons −∆(φu). On a

−∆(φu) = φf − 2∇φ · ∇u−∆φu ∈ L2(Ω) .

(En etendant par 0 en dehors de Ω, tous les termes sont a support compactdans Ω), on le reecrit sous la forme

(−∆ + 1)(φu) ∈ L2(Rn) .

Il est immediat (en considerant la transformee de Fourier) que ceci impliqueφu ∈ H2(Rn).

Remarque 12.3.2 Par recurrence on peut montrer que si f ∈ Hkloc(Ω) (k ≥

0) alors u ∈ Hk+2loc (Ω).

Exercice 12.3.3 Soit u ∈ D′(Ω) une distribution dans Ω telle que −∆u =f ∈ C∞(ω) pour un ouvert ω ⊂ Ω. Montrer qu’alors la restriction a ω de uest dans C∞(ω).

2. i.e. defini localement comme ensemble des zeros d’une fonction de classe C2 degradient non-nul

Introduction aux Equations aux D eriv ees Partielles...

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