Equations différentielles, DUT MP, CM3

Les équations différentiellesOutils de résolution des équations linéaires du premier ordre

Christophe Palermo

IUT de MontpellierDépartement Mesures Physiques

&Institut d’Electronique du Sud

Université Montpellier 2Web : http://palermo.wordpress.com

e-mail : [email protected]: @chr_palermo

Cours du 30 novembre 2010

MONTPELLIER

Plan

1 Résolution des équations homogènesRecherche de la solution généraleExemple du circuit RC série

2 Résolution des équations inhomogènesRecherche de la solution généraleLien entre les solutions générales homogènes et inhomogènesRecherche d’une solution particulièreExemple du circuit RC série

3 La méthode de LagrangePrincipeExemple du circuit RC série

IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 2

Outils et linéarite

Au premier ordre, deux possibilités :L’équation n’est pas linéaire

(exemple : y − 3ty2 = 0

)L’équation est à variable séparéesL’équation n’est pas à variable séparées (substitution, numérique)

L’équation est linéaire =⇒ deux questions : est-ellehomogène ou inhomogène ?à coefficients constants ou pas ?


Résolution des équations homogènes

Plan





Résolution des équations homogènes Recherche de la solution générale

EDL1 homogène

Equation Différentielle Linéaire du 1er ordre (EDL1) homogène :a(t) · y + b(t) · y = 0 c’est à dire a(t) · dydt + b(t) · y = 0

En manipulant un peu : dyy = −b(t)

a(t)· dt

Une EDL1 homogène est à variables séparées !

En intégrant des deux côtés : ln[y(t)] = −∫ b(t)

a(t)· dt + B, B ∈ R

Ensuite, deux possibilités :a(t) et/ou b(t) sont des fonctions : coefficients variablesa(t) = a et b(t) = b sont des constantes : coefficients constants


Résolution des équations homogènes Recherche de la solution générale

Solution générale d’une EDL1 homogène

Pour des coefficients variables :on pose −

∫ b(t)

a(t)· dt = F (t) (pratique : constante d’intégration nulle)

donc ln(y) = F (t) + B, B ∈ Ret puis exp [ln y(t)] = y(t) = exp [−F (t) + B] = exp(B) · exp[−F (t)]On remplace exp(B) par K ∈ R et donc

y(t) = K · exp[−F (t)] , K ∈ R

Pour des coefficients constants :plus simple : primitive de −b/a avec const. d’intégration nulle : −bt/adonc −

∫ ba · dt = −b

a t + B avec B ∈ R

On remplace aussi exp(B) par K ∈ R et donc

y(t) = K · exp(−ba t), K ∈ R


Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série

Un exemple physique : circuit RC série

u

iE uR

ExempleDans un circuit RC série où règne aux bornes d’un condensateur decapacité 2 mF une tension u constante de 3 V, on coupe le générateur detension. Décrire l’évolution de u dans le temps pour une résistance de1 kΩ.



Analyse de l’énoncé


Analysons l’énoncé :Pour la mise en équation :

L’inconnue à déterminer ?La loi à appliquer ?Le terme perturbateur ?

Autres informations utiles ?






L’inconnue à déterminer ? uLa loi à appliquer ?Le terme perturbateur ?







L’inconnue à déterminer ? uLa loi à appliquer ? Noeuds et maillesLe terme perturbateur ?







L’inconnue à déterminer ? uLa loi à appliquer ? Noeuds et maillesLe terme perturbateur ? E = 0 V =⇒ équation homogène

Autres informations utiles ?La condition initiale : u(0) = 3 VLes valeurs R = 1000 Ω et C = 2× 10−3 F



L’équation différentielle

u

iE uR

Le courant i est le même dans tout le circuitCondensateur : Q = Cu =⇒ i = dQ

dt = CuRésistance : uR = R · i = RCuLoi des mailles : E = u + uR =⇒ 0 = u + RCuL’équation différentielle :

u +uRC = 0



Résolution de l’équation différentielle

duu =

∫ −1RC · dt (variables séparées et coefficients constantes)

Donc ln u = − 1RC · t + B avec B ∈ R

Et finalement

u = K · exp[−tτ

]avec K ∈ R

avec τ = RC = 1000 Ω · 2× 10−3 F= 2 s

Analyse dimensionnelle : τ est un temps[τ ] = [Ω·F] =

[VA ·

CV

]=

[CA

]=

[A · sA

]= T

Expression de la solution générale : infinité de solutions



La résolution du problème

Nous avons extrait une infinité de solutions(donc) nous n’avons toujours pas résolu le problème physique

Equation différentielle

Solution générale La solution du problème

Problème physiqueLoi ou principe

Grandeurs physiques

1ère étape

Outil math.

Conditions initiales

ou aux limites

2ème étape

Outil math.

Maintenant, on intègre les conditions initialesu(0) = 3 V d’après l’énoncéu(0) = K · exp(0) = K d’après notre solution généraleDonc K = 3 V

On a extrait l’unique solution du problème

u(t) = 3 · exp[−t2

]où u est en V et t en s.



Courbes

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 2 4 6 8

Tens

ion

aux

born

es d

e C

(V)

Temps

3 exp( t/ )2 exp( t/ )

exp( t/ )

La tension à un instant donnédépend de la tension initiale !

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8

Tens

ion

norm

alis

ée u

(t)/u

(0)

Temps

37 %5 %

Courbe intégrale : accès à toutes lessolutions en multipliant par un réel


Résolution des équations inhomogènes

Plan





Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale

Solution d’une EDL1 linéaire inhomogène

a(t) · y + b(t) · y = p(t) [ 6= 0] (I)

p(t) 6= 0 ne change rien à la définition de la solutionRésoudre une EDL1 inhomogène ⇐⇒ Résoudre une EDL1homogène :

trouver toutes les solutions de l’équationune infinité de solutions

Solution générale : écriture avec une constante d’intégrationSolution particulière : une fonction bien précise

Mais il y a une nuance !...La recherche de la solution générale d’un EDL1 inhomogène n’est pasaussi simple que celle d’une EDL1 homogène



Exemple

Circuit RC série forcé par une tension E = 3 · cos(4t)

dudt +

uRC =

3τ· cos(4t)

Essayons de procéder comme précédemment :

duu =

(− 1RC + 3 · cos(4t)

u

)dt

L’équation n’est pas à variables séparées : impossible de continuer

Différence entre EDL1 linéaire homogène et inhomogèneHomogène : facile de trouver la solution généraleInhomogène : le plus souvent impossible de déterminer directementla solution générale



Contre-exemple avec du déjà vu...

La solution générale de y = 2 est une somme

y = 2t + r

la solution générale de y = 0une solution particulière de y = 2avec constante d’intégration nulle

La solution générale de y = 2 est une somme

y = t2 + rt + s

la solution générale de y = 0une solution particulière de y = 2avec constante d’intégration nulle

Nous revenons sur cet aspect de somme maintenant !



Une astuce ! ?

Attention :“contre-exemple” car solution générale facile à trouver

, mais les techniques de résolution (somme) s’appliquent⇒ 1 écriture → 2 approches

Ce que nous venons de voir n’est pas une démonstration

Mais : possibilité de trouver la solution générale de (I) par unesimple addition ?

Possibilité de “d’utiliser” (I) “sous une forme” homogène ?

Maintenant :

Définition de l’équation homogène associée

Un petit peu d’algèbre linéaire (mais juste un petit peu alors....)



Une astuce ! ?

Attention :“contre-exemple” car solution générale facile à trouver

, mais les techniques de résolution (somme) s’appliquent⇒ 1 écriture → 2 approches

Ce que nous venons de voir n’est pas une démonstration

Mais : possibilité de trouver la solution générale de (I) par unesimple addition ?

Possibilité de “d’utiliser” (I) “sous une forme” homogène ?

Maintenant :

Définition de l’équation homogène associée

Un petit peu d’algèbre linéaire (mais juste un petit peu alors....)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 17


Equation homogène associée

Soit une équation différentielle du premier ordre inhomogène :

a(t) · y + b(t) · y = p(t) (I)

On lui associe l’équation homogène :

a(t) · y + b(t) · y = 0 (H)

(H) est l’équation homogène associée à (I)

Les solutions de yI de (I) sont liées aux solutions de yH de (H) !


Résolution des équations inhomogènes Lien entre les solutions générales homogènes et inhomogènes

Propriété importante des équations linéaires # 1

solutions de (I)

autr

es fonctions

solu

tio

ns de (H)

autre fonction

linéaire

Somme de deux solutions....y1(t) −→ 0 est solution de (H) mais pas de (I)y3(t) −→ p(t) est solution de (I)Linéarité : y1(t) + y3(t) −→ 0 + p(t) = p(t)y1(t) + y3(t) est aussi solution (I) !Pareil pour y1(t) + y2(t) + y8(t) + y3(t)



Propriété importante des équations linéaires # 2

La somme d’une solution particulière yP de (I) et de la solutiongénérale yH de (H) est solution de (I)

Mais surtout : la somme d’une solution particulière yP de (I) et de lasolution générale yH de (H) est la solution générale de (I)

Théorème (que nous ne démontrerons pas !)La solution générale yI d’une équation différentielle linéaire inhomogènedu premier ordre est la somme d’une solution particulière yP de cetteéquation (I) et de la solution générale yH de l’équation différentiellehomogène associée (H), de sorte que :

yI = yH + yP



Synthèse de la recherche de yI

Résoudre une équation inhomogène (I)⇐⇒ Trouver sa solutiongénérale

Difficulté : pas de séparation de variables (sauf exception)

On utilise ce qui est en fait une astuce de calcul en 4 étapes :1 Ecrire l’équation homogène associée (H)

2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)

3 Trouver une solution particulière yP de (I)4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP

Concrètement :yH est facile à trouverMais comment trouver yP ?


Résolution des équations inhomogènes Recherche d’une solution particulière

Recherche de yP

Pour trouver yP1 On va exprimer yP “à quelque chose près” : quelques inconnues2 On va injecter yP dans l’équation inhomogène (I) (puisqu’elle en est

une solution)3 On va fixer les inconnues

Mais comment choisir l’expression de yP de l’étape 1 ?Méthode du tableauMéthode de Lagrange


Résolution des équations inhomogènes Recherche d’une solution particulière

La méthode du tableau

Forme de p(t) Forme yPrecommandée

Remarques

k ∈ R α ∈ Rekt · [A · sin(mt) ekt · [α · sin(mt) • valable pour k = 0+B · cos(mt)] +β · cos(mt)] et pour A = 0 ou B = 0exp(kt) · P(t) exp(kt) · Q(t) • valable pour k = 0

• deg(Q) = deg(P)si k 6= −b/a• deg(Q) = 1+deg(P)

si k = −b/aP1(t) sin(mt) Q1(t) sin(mt) • Faire apparaître sin

+P2(t) cos(mt) +Q2(t) cos(mt) et cos dans yP même siP1(t) = 0 ou P2(t) = 0• deg(Q1) = deg(P1)

et deg(Q2) = deg(P2)


Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série

Exemple # 1 : circuit RC série et tension continue

On applique au circuit RC vu précédemment une tension continueE (t) = E = 3 V alors que le condensateur n’est initialement paspolarisé. Décrire l’évolution dans le temps de u.

u +1τu =

3τ

(I)

avec τ = RC = 2 s.

Equation différentielle

Solution générale La solution du problème

Problème physiqueLoi ou principe

Grandeurs physiques

1ère étape

Outil math.

Conditions initiales

ou aux limites

2ème étape

Outil math.

Ce que nous allons faire :1 Déterminer la solution générale de (I)2 Donner la solution du problème



Exemple # 1 : détermination de uIEn 4 étapes :

1 Equation homogène associée (H)

u +1τu = 0 (H)

avec τ = RC = 2 s

2 Equation déjà résolue : uH(t) = K exp[−t2]avec K ∈ R

3 Trouver une solution particulière uP de (I)1 Forme de uP(t) “à quelque chose près” : uP(t) = α2 Injection dans (I) : 0 + α/τ = 3/τ3 α = 3 et donc uP = 3

4 Solution générale uI de (I) :uI = uH + uP = uI = K · e−t/2 + 3 avec K ∈ R



Exemple # 1 : Solution du problème

La solution du problème = solution pour laquelle les conditionsinitiales sont vérifiées

Conditions initiales : u(0) = 0 d’après l’énoncé

u(0) = K + 3 d’après la solution générale uI

donc K = −3

La solution du problème :

u(t) = 3(1− e

−t2)

N. B. : pas de constante d’intégration → solution particulière



Exemple # 1 : courbe de la solution

condition initiale

vers régimecontinu (permanent)

RemarquesModification de la solution générale par le terme perturbateurConditions initiales : courbe croissante ( 6= cas de la décharge)



Exemple # 2 : circuit série RC et tension harmonique

On applique au circuit une tension sinusoïdale E (t) = 3 · cos(4t) etdonc :

u +1τ· u =

3τ· cos(4t)

Même chose que précédemment : uH = K · e−t/2 avec K ∈ RSeule différence : détermination de uP

Choix de uP = α cos(4t) + β sin(4t)Injection dans (I) :−4α sin(4t) + 4β cos(4t)︸︷︷︸

uP

+ 12 [α cos(4t) + β sin(4t)︸︷︷︸

uP

] = 32 cos(4t)

Détermination par identification :(α2 + 4β) cos(4t) + (−4α + β

2 ) sin(4t) = 32 cos(4t) ∀t ∈ R

α2 + 4β = 3

2−4α + β

2 = 0 ⇔α = 3/65β = 24/65 ⇔ uP =

365 cos(4t) +

2465 sin(4t)



Exemple #2 : Solutions générale uI et du problème u

uI(t) = K · e−t/2 +365 cos(4t) +

2465 sin(4t) avec K ∈ R

Solution du problème = solution particulière pour laquelle u(0) = 0Solution générale à t = 0 : 0 = K +

365 ⇔ K =

−365

Solution du problème :

u(t) =−365 · e

−t/2 +365 cos(4t) +

2465 sin(4t)

−3

−2

−1

0

1

2

3

0τ 2τ 4τ 6τ 8τ−0.4−0.3−0.2−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

Pertu

rbat

ion

p(t)

(V)

Tens

ion

u(t)

(V)

Temps u(t)p(t)


La méthode de Lagrange

Plan





La méthode de Lagrange Principe

La méthode de Lagrange

Aussi appelée méthode de variation de la constante.

Principe de la méthode au premier ordreOn peut trouver une solution particulière yP de (I) en remplaçant laconstante K de la solution générale yH par une fonction du temps K (t)puis en l’injectant dans (I) pour déterminer K (t).

Avantages :Pas besoin d’apprendre le tableau par cœurPeu de risques de se tromper

Inconvénients :Souvent un petit peu plus longueIl faut savoir intégrerFastidieuse au second ordre


La méthode de Lagrange Exemple du circuit RC série

Retour sur l’exemple # 1

u +1τu =

3τ

(I)

avec τ = RC = 2 s.On a uH = K exp(−t/τ), K ∈ ROn pose uP = K (t) · exp(−t/τ) et l’on injecte dans (I) :

K (t) · exp(−t/τ)− 1τK (t) · exp(−t/τ)︸︷︷︸

uP

+1τK (t) · exp(−t/τ)︸︷︷︸

uP

=3τ

Simplification systématique : K (t) =3τexp

( tτ

)Constante nulle :K (t) = 3 exp

( tτ

)⇐⇒ uP(t) = 3 exp

( tτ

)exp

(− tτ

)= 3

On trouve la même chose qu’avec le tableauIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 32


Retour sur l’exemple # 2

u +1τu =

3τcos(4t) (I)

uH = K · exp(− t

2)⇒ uP = K (t) · exp

(− t

2)

On arrive à K (t) = 32 cos(4t) exp(t/2) = Re

(32e

t/2ej4t)

L’intégration de 32 · e

t(1/2+4j) donne 32 ·

2−16j65 et(1/2+4j) avec cste nulle

En ne gardant que la partie réelle :K (t) =

[365 cos(4t) + 24

65 sin(4t)]et/2

Même solution particulière qu’avec le tableau :

uP(t) =365 cos(4t) +

2465 sin(4t)



Synthèse de résolution d’un problème physique

1 Faire la mise en équation

2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielleSi elle est inhomogène (I) :

1 Ecrire l’équation homogène associée (H)

2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)

3 Trouver une solution particulière yP de (I)1 exprimer yP “à quelque chose près” : quelques inconnues (tableau ou

Lagrange)2 injecter yP dans l’équation inhomogène (I)3 fixer les inconnues

4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP

3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :solution du problème


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