Introduction à la statistique inférentielle Expérimentation en 6 e G Pierre Henrotay Hilda...

Introduction à la statistique inférentielleIntroduction à la statistique inférentielle

Expérimentation en 6Expérimentation en 6ee G G

Pierre HenrotayPierre Henrotay

Hilda RosseelHilda Rosseel

Maggy SchneiderMaggy Schneider

ULg, LadimathULg, Ladimath11

Le but poursuiviLe but poursuivi

Introduire la statistique inférentielle, via la problématique Introduire la statistique inférentielle, via la problématique des tests d’hypothèses portant sur une situation :des tests d’hypothèses portant sur une situation :

de la vie courante (industrielle)de la vie courante (industrielle) nécessitant une modélisationnécessitant une modélisation faisant intervenir un critère de décisionfaisant intervenir un critère de décision amenant à une étude fréquentisteamenant à une étude fréquentiste ne permettant une conclusion qu’avec un risque ne permettant une conclusion qu’avec un risque

d’erreurd’erreur sans nécessité d’un formalisme avancé ni sans nécessité d’un formalisme avancé ni

algorithmes ou formulesalgorithmes ou formules Terminer par un exemple plus proche des élèves : le Terminer par un exemple plus proche des élèves : le

QCMQCM22

Le contexte scolaireLe contexte scolaire

1 classe de 13 élèves de 6e Humanités Générales1 classe de 13 élèves de 6e Humanités Générales Math 4H Math 4H Connaissances en statistique disparates; un rappel sur la Connaissances en statistique disparates; un rappel sur la

notion de fréquence a été faitnotion de fréquence a été fait Déjà abordé : analyse combinatoire (y compris binôme de Déjà abordé : analyse combinatoire (y compris binôme de

Newton)Newton) Probas : rien sauf un exposé sur la notion (« historique ») Probas : rien sauf un exposé sur la notion (« historique »)

de probabilitéde probabilité 4 séances de 50 minutes, travaux en groupes de 4-54 séances de 50 minutes, travaux en groupes de 4-5 Inspiré de JM Parnaudeau (Lycée Poitiers)Inspiré de JM Parnaudeau (Lycée Poitiers)

« Quelques hypothèses sur les risques que l’on prend « Quelques hypothèses sur les risques que l’on prend lorsque l’on souhaite enseigner les tests d’hypothèses ! » lorsque l’on souhaite enseigner les tests d’hypothèses ! » (Atelier JN 2006 APMEP Clermont Ferrand)(Atelier JN 2006 APMEP Clermont Ferrand)

33

Jour 1-1Jour 1-1

Après formation des groupes de réflexion (3 groupes de 4 Après formation des groupes de réflexion (3 groupes de 4 à 5 élèves), la situation suivante est donnée aux élèves à 5 élèves), la situation suivante est donnée aux élèves pour en débattre :pour en débattre :

44

Quelques extraitsQuelques extraits

m’enfin ce n’est que 38 produits, peut-être que si on en prend m’enfin ce n’est que 38 produits, peut-être que si on en prend 10000, ce sera quand même inférieur à 7%, peut-être que 10000, ce sera quand même inférieur à 7%, peut-être que justement un grand nombre…justement un grand nombre…

on en a prélevé que 38 peut-être que lui (le responsable), il en avait on en a prélevé que 38 peut-être que lui (le responsable), il en avait justement prélevé beaucoup, en fait ça pourrait être 7% si t’en justement prélevé beaucoup, en fait ça pourrait être 7% si t’en prends 1000prends 1000

si ça se met, il vend des camions, alors les 38…, c’est déjà pas malsi ça se met, il vend des camions, alors les 38…, c’est déjà pas mal ou alors il vend des cure-dents et 38, pf…ou alors il vend des cure-dents et 38, pf… en gros c’est pas vrai mais comme c’est un petit nombre…en gros c’est pas vrai mais comme c’est un petit nombre… 6/38, c’est plus que 7% - ça paraît un peu fort6/38, c’est plus que 7% - ça paraît un peu fort tu fais 38*7/100 et tu regardes si c’est plus grand…tu fais 38*7/100 et tu regardes si c’est plus grand… ah 2,6 donc c’est supérieur donc le mec il ment ; il ment pour ah 2,6 donc c’est supérieur donc le mec il ment ; il ment pour

vendre ses produitsvendre ses produits

55

Idées en gestationIdées en gestation

rôle du hasardrôle du hasard variabilité, représentativité d’un échantillonvariabilité, représentativité d’un échantillon taille d’un échantillon et coût ou faisabilité d’un taille d’un échantillon et coût ou faisabilité d’un

sondagesondage critère de comparaisoncritère de comparaison rôle du testeur et type de risque d’erreurrôle du testeur et type de risque d’erreur

66

Jour 1-2Jour 1-2

Les élèves sont invités à réfléchir en groupe aux questions Les élèves sont invités à réfléchir en groupe aux questions suivantes (1-Q1 à 1-Q5) :suivantes (1-Q1 à 1-Q5) :

77


le responsable de la fabricationle responsable de la fabrication ça peut être quelqu’un de malveillant pour l’entreprise ; on en tient ça peut être quelqu’un de malveillant pour l’entreprise ; on en tient

compte de ça ?compte de ça ? on ne sait pas qui fait les mesures, on ne sait pas ses diplômes, on ne sait pas qui fait les mesures, on ne sait pas ses diplômes,

c’est peut-être le responsable, peut-être pasc’est peut-être le responsable, peut-être pas ah non le responsable de la fabrication puisque c’est lui qui affirme ah non le responsable de la fabrication puisque c’est lui qui affirme

queque…… on doit voir si 7% est juste ; 6/38 ça représente 16% en faisant une on doit voir si 7% est juste ; 6/38 ça représente 16% en faisant une

règle de 3 - ça en ferait 16 mauvais sur 100règle de 3 - ça en ferait 16 mauvais sur 100 avec 7%, ça ferait 2,63, y a sûrement un problèmeavec 7%, ça ferait 2,63, y a sûrement un problème et si on prenait le plus de produits possible ?et si on prenait le plus de produits possible ? si ça tombe, c’est 7% de plein de produits qu’ils ont pris et ici on si ça tombe, c’est 7% de plein de produits qu’ils ont pris et ici on

n’en a que 38n’en a que 38 les %, ils les ont peut-être trouvés sur plus, et c’est ça que c’est 7%les %, ils les ont peut-être trouvés sur plus, et c’est ça que c’est 7%

88

Un contexte à préciserUn contexte à préciser

Il y a bien problème, sinon on ne ferait rienIl y a bien problème, sinon on ne ferait rien Qui fait les mesures ? – l’attitude peut-elle être différente Qui fait les mesures ? – l’attitude peut-elle être différente

? (position acheteur/vendeur)? (position acheteur/vendeur) Quelle garantie a-t-on que les mesures soient faites Quelle garantie a-t-on que les mesures soient faites

dans les mêmes conditions que celles du responsable dans les mêmes conditions que celles du responsable de fabrication ? de fabrication ?

Remise en cause : >7%, voire >>7%Remise en cause : >7%, voire >>7% Le responsable de fabrication ne souhaite pas être pris Le responsable de fabrication ne souhaite pas être pris

en défaut, donc il annonce probablement chiffre en défaut, donc il annonce probablement chiffre pessimiste, avec marge de sécuritépessimiste, avec marge de sécurité

99

Jour 1-3+4Jour 1-3+4

Débriefing organisé par le professeur pour consolider les Débriefing organisé par le professeur pour consolider les résultats ; les élèves restent en groupe et commentent résultats ; les élèves restent en groupe et commentent leurs résultatsleurs résultats

Puis, les élèves réexplorent en groupe les questions 1-Puis, les élèves réexplorent en groupe les questions 1-Q1 à 1-Q5Q1 à 1-Q5

1010


38 c’est pas énorme, faut une quantité beaucoup plus grande38 c’est pas énorme, faut une quantité beaucoup plus grande ça ne correspond pas à ce qui est annoncéça ne correspond pas à ce qui est annoncé c’est une trop petite quantité, et on ne peut pas juger : il y a peut-c’est une trop petite quantité, et on ne peut pas juger : il y a peut-

être beaucoup de problèmes dans les produits qu’il a pêchés, ce être beaucoup de problèmes dans les produits qu’il a pêchés, ce n’est que 38, on ne peut pas jugern’est que 38, on ne peut pas juger

s’il prend les 38 produits d’après, il aura peut-être moins de défauts’il prend les 38 produits d’après, il aura peut-être moins de défaut le responsable de la fabrication : il veut améliorer la qualité, il essaie le responsable de la fabrication : il veut améliorer la qualité, il essaie

de faire moins pour diminuer le nombre de défautsde faire moins pour diminuer le nombre de défauts

1111


(la discussion porte sur la situation : le responsable a fait les (la discussion porte sur la situation : le responsable a fait les mesures)mesures) on veut optimaliser la vente, on veut que ce soit rentableon veut optimaliser la vente, on veut que ce soit rentable on veut une qualité du produiton veut une qualité du produit pour améliorer le produitpour améliorer le produit le responsable de la production, il le sait : il essaie de le prouver le responsable de la production, il le sait : il essaie de le prouver

(que c’est moins), de se rassurer, rien n’a changé(que c’est moins), de se rassurer, rien n’a changé pour être sûr que c’est inférieur à 7%pour être sûr que c’est inférieur à 7% une machine qui déconneune machine qui déconne

(la discussion porte sur la situation : le client a fait les mesures)(la discussion porte sur la situation : le client a fait les mesures) on essaie de prouver qu’il y a plusieurs défautson essaie de prouver qu’il y a plusieurs défauts on essaie de prouver qu’il y a « jamais plus de 7% de défauts » on essaie de prouver qu’il y a « jamais plus de 7% de défauts »

c’est fauxc’est faux

1212


(la discussion porte sur les conditions de l’expérience)(la discussion porte sur les conditions de l’expérience) sur une quantité plus grandesur une quantité plus grande ça dépend par rapport à qui c’estça dépend par rapport à qui c’est ça dépend des critèresça dépend des critères le client ne va pas acheter 38 produitsle client ne va pas acheter 38 produits le nombre de produits testés, on doit tjrs prendre le même nombre de le nombre de produits testés, on doit tjrs prendre le même nombre de

produitsproduits le même genre de test, la manière dont on les testele même genre de test, la manière dont on les teste il faut un classementil faut un classement les outils pour le testerles outils pour le tester sur une même périodesur une même période faut pas qu’on ait remplacé des machines, sinon la valeur sera fausséefaut pas qu’on ait remplacé des machines, sinon la valeur sera faussée faut les prendre au même momentfaut les prendre au même moment on va les prendre au hasard, par ex le 1on va les prendre au hasard, par ex le 1erer qui vient, puis le 17 qui vient, puis le 17ee……

1313

Idées en gestationIdées en gestation

nécessaires nécessaires garanties sur le prélèvementgaranties sur le prélèvement prélèvement au hasardprélèvement au hasard rôle du hasard (fluctuation d’échantillonnage)rôle du hasard (fluctuation d’échantillonnage) échantillon vs populationéchantillon vs population risque vendeur vs acheteurrisque vendeur vs acheteur estimation à partir d’un échantillonestimation à partir d’un échantillon représentativité de l’échantillonreprésentativité de l’échantillon biais possiblebiais possible

1414

Jour 1-5Jour 1-5

Le professeur propose de réécrire le problème : Le professeur propose de réécrire le problème :

Faisons comme si 7% était bien le taux de défectueux. Faisons comme si 7% était bien le taux de défectueux. On laisse donc le maximum de chances au responsable On laisse donc le maximum de chances au responsable de la fabrication. Si on est un client mécontent : on se de la fabrication. Si on est un client mécontent : on se met dans le pire des cas, on laisse le bénéfice du doute.met dans le pire des cas, on laisse le bénéfice du doute.

=>=> hypothèse statistiquehypothèse statistique

1515

Jour 1-5Jour 1-5

1616

Les élèves sont invités à réfléchir en groupe aux questions Les élèves sont invités à réfléchir en groupe aux questions 2-Q1 à 2-Q22-Q1 à 2-Q2

On se quitte sur un double malaise :On se quitte sur un double malaise : Ça semble beaucoupÇa semble beaucoup 7% c’est entre 2 et 3, mais pas un nombre entier 7% c’est entre 2 et 3, mais pas un nombre entier


ça ne tombe pas justeça ne tombe pas juste c’est bizarrec’est bizarre c’est le doublec’est le double sur le total de la production ça irait encoresur le total de la production ça irait encore 15% c’est pas énorme15% c’est pas énorme de 7 à 15, c’est le doublede 7 à 15, c’est le double il n’a pas pris assez de marge de sécurité : il a dit 7, c’est 15… c’est il n’a pas pris assez de marge de sécurité : il a dit 7, c’est 15… c’est

beaucoupbeaucoup il y a trop de produits défectueux, il n’a pas pris assez de marge de il y a trop de produits défectueux, il n’a pas pris assez de marge de

sécuritésécurité

1717

Jour 2-1Jour 2-1

Résumé par le professeur de la séance précédenteRésumé par le professeur de la séance précédente Après formation des groupes de réflexion, les questions Après formation des groupes de réflexion, les questions

3-Q1 à 3-Q4 sont données aux élèves3-Q1 à 3-Q4 sont données aux élèves

1818=> variabilité, fluctuations, loi des grands nombres=> variabilité, fluctuations, loi des grands nombres


on s’attend à moins : 2 à 3 si on croit le responsable on peut faire autant de prélèvements de 38 qu’on veut, ça

peut être moins, ça peut être plus si on faisait beaucoup de prélèvements de 38, on aurait 2

ou 3 à chaque fois, ça devrait être plutôt entre 2 et 3, pour le 7% il se pourrait très bien, sur les 38 qu’on vient de prendre

juste maintenant, qu’il n’y en ait aucun qui soit défectueux il peut y en avoir jusqu’à 38 défectueux la pire des situations : 38 et la meilleure : 0 – on peut tout

obtenir entre

1919


Débriefing organisé par le professeur pour consolider les Débriefing organisé par le professeur pour consolider les résultats; les élèves restent en groupe et commentent résultats; les élèves restent en groupe et commentent leurs résultatsleurs résultats

Les questions 4-Q1 et 4-Q2 sont abordées en communLes questions 4-Q1 et 4-Q2 sont abordées en commun

2020


on pourrait faire une moyenne si on fait plusieurs prélèvements de 38

il y a peut-être un nombre qui se répétera, qui arrivera plus souvent qu’un autre

il y en aura sûrement au minimum 2 ou 3, pour les 7% on fait au hasard on le garde près de soi et on ne le remet pas sinon on ressortirait tt le temps le même défectueux

(le modèle de l’urne est introduit) oui mais ça veut dire qu’on peut tirer 38 blanches, donc

aucune noire, aucun défaut

2121


c’est totalement au hasard on en tire 1 on va décider si … il est bon ou pas on en tire un autre, non d’abord on note puis on en

prend un autre jusque 38 on le garde près de soi, on ne le remet pas

2222


Modèle = nécessité de s’entendre sur les « garanties », les conditions de Modèle = nécessité de s’entendre sur les « garanties », les conditions de l’expérience, du prélèvementl’expérience, du prélèvement

on prélève un produit, on teste, on note, on prend un autre produit, on on prélève un produit, on teste, on note, on prend un autre produit, on s’arrête après 38s’arrête après 38

le produit est fabriqué en grande quantité – sinon ? (prélever modifie le produit est fabriqué en grande quantité – sinon ? (prélever modifie la proportion de défectueux)la proportion de défectueux)

le responsable de production dit vrai (on fait une hypothèse)le responsable de production dit vrai (on fait une hypothèse) on prélève au hasard (le lundi est un jour difficile)on prélève au hasard (le lundi est un jour difficile)

=> utilité d’un modèle, urne, tirage exhaustif ou non=> utilité d’un modèle, urne, tirage exhaustif ou non

2323

Jour 2-4Jour 2-4

La question 5-Q1 est abordée en communLa question 5-Q1 est abordée en commun

2424

Les caractéristiques communesLes caractéristiques communes

CaractéristiquesCaractéristiques tirage individuel : succès ou échectirage individuel : succès ou échec on répète : plusieurs tirageson répète : plusieurs tirages entre tirages : rapport des fréquences inchangéentre tirages : rapport des fréquences inchangé on s’intéresse au nombre de succès (ou d’échecs)on s’intéresse au nombre de succès (ou d’échecs) pas de mémoire d’un résultat à l’autre (indépendance pas de mémoire d’un résultat à l’autre (indépendance

et non-exhaustivité)et non-exhaustivité)

=> tirage de Bernoulli, « succès vs échec », absence de => tirage de Bernoulli, « succès vs échec », absence de mémoire, indépendancemémoire, indépendance

2525

Jour 2-5Jour 2-5

Les questions 7-Q1 à 7-Q4 sont distribuées mais seules Les questions 7-Q1 à 7-Q4 sont distribuées mais seules 7-Q1 et 7-Q2 sont abordées ce jour en groupe7-Q1 et 7-Q2 sont abordées ce jour en groupe

2626


0 sur 38 c’est bien mais il peut toujours y avoir un défectueux, ce sera 0 sur 38 c’est bien mais il peut toujours y avoir un défectueux, ce sera rare mais moinsrare mais moins

on devrait avoir 0 plus souvent que 6 mais je ne sais pas pourquoion devrait avoir 0 plus souvent que 6 mais je ne sais pas pourquoi le 0 est plus près de 2-3 que 6 : on devrait avoir plus souvent 0 que 6le 0 est plus près de 2-3 que 6 : on devrait avoir plus souvent 0 que 6 oui mais 2-3 c’est juste au milieuoui mais 2-3 c’est juste au milieu 0 sur 38 ça pourrait arriver, 38 sur 38 aussi0 sur 38 ça pourrait arriver, 38 sur 38 aussi 38/38 c’est plus rare : on a quand même plus de bonnes que de 38/38 c’est plus rare : on a quand même plus de bonnes que de

mauvaisesmauvaises 0/38, ça va arriver plus souvent que 60/38, ça va arriver plus souvent que 6 ce qui arrivera le plus souvent, c’est d’arriver entre 2 et 3ce qui arrivera le plus souvent, c’est d’arriver entre 2 et 3 0 est plus près que 6 de 2-3, donc 0 sera plus souvent0 est plus près que 6 de 2-3, donc 0 sera plus souvent 6 c’est vache : 0 par rapport à 3 et 6 par rapport à 3…6 c’est vache : 0 par rapport à 3 et 6 par rapport à 3…

=> valeur attendue (espérance), comment quantifier la dispersion, => valeur attendue (espérance), comment quantifier la dispersion, distribution, asymétriedistribution, asymétrie

2727


Résumé par le professeur de la séance précédenteRésumé par le professeur de la séance précédente Répondre à un besoin de chiffrer notre « bon sens » :Répondre à un besoin de chiffrer notre « bon sens » :

38/38 rarissime, 0/38 rare38/38 rarissime, 0/38 rare entre 2 et 3/38 le plus fréquent, si 7% de entre 2 et 3/38 le plus fréquent, si 7% de

défectueux … mais encore ?défectueux … mais encore ? Les questions 7-Q3 et 7-Q4 sont discutées en communLes questions 7-Q3 et 7-Q4 sont discutées en commun

2828

L’analyse combinatoire à la rescousseL’analyse combinatoire à la rescousse

Vérifions par dénombrements :Vérifions par dénombrements : une urne, 100 billes : 93 B et 7 Nune urne, 100 billes : 93 B et 7 N on en tire 38, l’une après l’autre, avec remiseon en tire 38, l’une après l’autre, avec remise

2929

Jour 3-3Jour 3-3

8-Q1 est discutée en commun8-Q1 est discutée en commun

3030

Et le hasard dans tout cela ?Et le hasard dans tout cela ?

On a fait un dénombrement ! L’analyse précédente repose On a fait un dénombrement ! L’analyse précédente repose sur un comptage : les dénombrements obtenus en tirant de sur un comptage : les dénombrements obtenus en tirant de notre urne de toutes les manières possibles (il y en a 100notre urne de toutes les manières possibles (il y en a 1003838) ) ; évidemment, ce n’est pas tout à fait conforme à la réalité, ; évidemment, ce n’est pas tout à fait conforme à la réalité, où on fait un ou quelques prélèvement(s) de 38où on fait un ou quelques prélèvement(s) de 38

=> Fréquences vs probabilités, lois des grands => Fréquences vs probabilités, lois des grands nombres, confiance en une « régularité statistique »nombres, confiance en une « régularité statistique »

3131

Comparons…Comparons…

3232

Jour 4-1Jour 4-1

Résumé de la séance précédente fait par le professeurRésumé de la séance précédente fait par le professeur Les questions 9-Q1 à 9-Q5 sont remises aux élèvesLes questions 9-Q1 à 9-Q5 sont remises aux élèves Réflexion en 3 groupes sur 9-Q1 à 9-Q2Réflexion en 3 groupes sur 9-Q1 à 9-Q2

3333

Jour 4Jour 4

3434

Jour 4-2Jour 4-2

Débriefing par le professeurDébriefing par le professeur Retour sur la notion d’hypothèseRetour sur la notion d’hypothèse Questions 9-Q2 à 9-Q5 abordées en groupeQuestions 9-Q2 à 9-Q5 abordées en groupe

=> Hypothèse nulle et alternative, seuil, risque de => Hypothèse nulle et alternative, seuil, risque de rejeter l’hypothèse alors qu’elle est vraie (1ere rejeter l’hypothèse alors qu’elle est vraie (1ere espèce)espèce)

3535


(le professeur : si j’étais le responsable de la production, je pourrais dire : qu’est-ce qui vous autorise à ne pas me croire)

(le professeur : et 6 ou plus, ça arrive souvent ?) ça arrivera rarement 3% non c’est pour 6 seulement c’est la somme, il faut faire la somme

(le professeur : donc on peut rejeter à tort – avec quelle fréquence ?) on va se tromper 4 fois sur 100 à peu près

(le professeur introduit la notion de seuil, d’ erreur de 1ere espèce : je vais me plaindre quand ça dépasse le seuil de 5%)

le seuil, c’est accepter de se tromper

3636

Jour 4-3Jour 4-3

Les questions 10-Q1 à 10-Q4 sont remises aux élèvesLes questions 10-Q1 à 10-Q4 sont remises aux élèves

3737

Risques et types d’erreursRisques et types d’erreurs

Rejeter hypothèse >< déclarer fausseRejeter hypothèse >< déclarer fausse Ne pas rejeter hypothèse >< déclarer vraieNe pas rejeter hypothèse >< déclarer vraie Types d’erreurTypes d’erreur

erreur 1e espèce : rejeter hypothèse nulle alors erreur 1e espèce : rejeter hypothèse nulle alors que vraie ; à un seuil de 5% : le risque de se que vraie ; à un seuil de 5% : le risque de se tromper est de 5 cas sur 100tromper est de 5 cas sur 100

erreur 2e espèce : accepter hypothèse nulle alors erreur 2e espèce : accepter hypothèse nulle alors que fausse ; le risque de se tromper dépend de que fausse ; le risque de se tromper dépend de notre hypothèse alternativenotre hypothèse alternative

On veut essayer de minimiser les 2 risques à la fois or On veut essayer de minimiser les 2 risques à la fois or c’est antagonistec’est antagoniste

3838


(le professeur introduit la notion d’hypothèse nulle) elle n’est pas correcte, c’est pas faux mais pas non plus… je ne

sais pas comment expliquer le risque de se tromper en disant elle est fausse est faible

3939

Jour 4-4Jour 4-4

Illustration des concepts introduits par une simulation de Illustration des concepts introduits par une simulation de QCM :QCM :

20 questions, 3 propositions chacune, une seule 20 questions, 3 propositions chacune, une seule vraievraie

Si pas étudié :Si pas étudié : 1 chance sur 3 de réussir une question individuelle1 chance sur 3 de réussir une question individuelle Décision : on buse l’élève s’il a moins de 11 : on élimine 96 sur 100 Décision : on buse l’élève s’il a moins de 11 : on élimine 96 sur 100

mais 4 sur 100 passent malgré toutmais 4 sur 100 passent malgré tout

Si un peu étudié (6 chances sur 10 par question) :Si un peu étudié (6 chances sur 10 par question) : moins de 11 dans 24 cas sur 100 ; donc environ 1 sur 4 de ceux qui ont moins de 11 dans 24 cas sur 100 ; donc environ 1 sur 4 de ceux qui ont

étudié seront éliminés malgré toutétudié seront éliminés malgré tout

Inspiré de : Inspiré de : Dutarte Ph., L'induction statistique au lycée, Didier, 2005Dutarte Ph., L'induction statistique au lycée, Didier, 2005

4040


(professeur : comment séparer bons et mauvais au QCM)

à la proposition de mettre la cote à 8 au lieu de 10 il y en a plus qui vont passer

à la proposition de mettre la cote à 11 ou 12 ceux qui ont étudié vont en pâtir aussi

sur quoi jouer alors ? il faut poser plus de questions

4141

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