Mesures et incertitudes en laboratoire

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Contenu théorique original de

Mesures et incertitudes en laboratoire

Texte : Eric Laflamme

Collaboration : Benoît Villeneuve

Illustrations : Eric Laflamme

Programmation (exercices aléatoires auto-corrigés) : Eric Laflamme

Révision linguistique : Catherine Dumont

Conception du site modappi.com : Eric Laflamme

Remerciements : Jean Laflamme, Ariane Dumont, Karine Laflamme, Stéphane Durand, Alexandre Beausoleil, Hélène St-Jean, Jason Beaudin, Sabrina Morel, Anne Tremblay, Johane Deslandes, Daniel Comtois, Eve-lyne Bélair et Erin Gatto (http://box2d.org).

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Table des matières :

1 Notions de base sur les mesures et incertitudes 1.1- Les unités du système international (SI) 1.2- La notation scientifique et les chiffres significatifs 1.3- L’utilisation de préfixes 1.4- Le vocabulaire de base 1.5- Les règles d’écriture 1.6- Le diagramme de comparaison 1.7- Les résultats expérimentaux égaux (ou compatibles) 2 Les instruments de mesure 2.1- L’incertitude due à un thermomètre gradué (et autres instruments de mesure gradués nécessitant une seule lecture) 2.2- L’incertitude due à une règle graduée (et autres instruments de mesure gradués nécessitant deux lectures) 2.3- L’incertitude due à un appareil de mesure à affichage numérique 2.4- L’incertitude fournie par le fabricant 2.5- Les Appareils de mesure ayant une résolution non automatisée 2.6- Le pied à coulisse muni d'un vernier 3 Rappel mathématique 3.1- La conversion de préfixes et d’unités 3.1a- La conversion de préfixes 3.1b- La conversion d’angles 3.1c- La conversion de vitesses 4 La propagation des incertitudes 4.1 La méthode des extrêmes

4.1.1 L’incertitude 4.1.2 La meilleure estimation 4.1.3 Règle lors de calculs intermédiaires

4.2.1 « Méthode des extrêmes » lors de l’addition de deux résultats expérimentaux 4.2.2 Règle simple lors de l’addition de deux résultats expérimentaux

4.3.1 « Méthode des extrêmes » lors de la soustraction de deux résultats expérimentaux 4.3.2 Règle simple lors de la soustraction de deux résultats expérimentaux

4.4.1 « Méthode des extrêmes » lors de la multiplication de deux résultats expérimentaux 4.4.2 Règle simple lors de la multiplication de deux résultats expérimentaux

4.5.1 « Méthode des extrêmes » lors de la division de deux résultats expérimentaux 4.5.2 Règle simple lors de la division de deux résultats expérimentaux

4.6.1 Règle simple lorsqu’un résultat expérimental est mis à l’exposant 4.7 Présence d’une constante sans incertitude dans le calcul d’un résultat expérimental

4.7.1 Le cas d’une constante qui divise un résultat expérimental 4.7.2 Le cas d’une constante qui multiplie un résultat expérimental

4.7.3 Le cas d’une constante au numérateur et d’un résultat expérimental au dénominateur 4.8 La méthode différentielle afin de prouver les règles simples

4.8.1 Le cas de l’addition de deux résultats expérimentaux 4.8.2 Le cas de la soustraction de deux résultats expérimentaux 4.8.3 Le cas de la multiplication de deux résultats expérimentaux 4.8.4 Le cas de la division de deux résultats expérimentaux 4.8.5 Le cas d’un résultat expérimental mis à l’exposant

4.9 L’incertitude provenant de fonctions complexes (méthode des règles simples) 4.9.1 Les fonctions complexes composées de plusieurs types d’opération mathématique (addition, soustraction, multiplication et division) : méthode des règles simples 4.9.2 Les fonctions complexes composées de plusieurs types d’opération mathématique (exposants et constantes n’ayant pas d’incertitude) : méthode des règles simples 4.10 L’incertitude provenant de fonctions complexes (méthode des extrêmes) 4.10.1 Les fonctions complexes strictement croissantes ou décroissantes dans l’intervalle ciblé

4.10.2 Les fonctions complexes passant par un maximum ou un minimum local 4.10.3 Les fonctions complexes pouvant tendre vers l’infini

4.10.4 Les fonctions complexes composées de plusieurs types d’opération mathématique (méthode des extrêmes)

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4.10.4.1 Les fonctions complexes composées de plusieurs types d’opération mathématique (addition, soustraction, multiplication et division) 4.10.5 Les fonctions complexes composées de plusieurs types d’opération mathématique (exposants et constantes n’ayant pas d’incertitude) 4.11.1 Utilité de la dérivée afin de déterminer si une fonction est croissante, décroissante ou si elle passe par un extremum 4.11.2 L’incertitude provenant de fonctions complexes strictement croissantes ou décroissantes dans un intervalle ciblé 4.11.3 Les fonctions complexes composées de plusieurs types d’opération mathématique (addition, soustraction, multiplication et division) : la méthode différentielle

5 Contexte expérimental 5.1.1 Erreur aléatoire et erreur systématique

5.1.2 Exemples d’erreur systématique 5.1.2.1 Erreur systématique provenant d’un instrument mal calibré 5.1.2.2 Erreur systématique provenant d’une erreur de lecture 5.1.2.3 Erreur systématique provenant de manipulations inadéquates

5.2.1 Évaluation de l’incertitude due au contexte expérimental 5.2.2 Évaluation de l’incertitude due au temps de réaction d’un être humain

5.2.3 Évaluation de l’incertitude d’une mesure directe à l’aide de la « méthode des extrêmes » 5.3.1 Évaluation de l’incertitude due à l’effet parallaxe

5.4.1 Incertitude provenant d’un petit nombre de mesures répétées 5.4.2 Mesures répétées égales 5.4.3 Mesures répétées qui ne sont pas égales 5.4.4 Arrondir une mesure répétée

6 Présentation des résultats 6.1 Présentation des tableaux 6.2 Présentation des graphiques 6.3 Changement de variable et linéarisation d’un graphique 6.4 Échelle logarithmique ou semi-logarithmique d’un graphique

7 Analyse des résultats provenant d’un graphique 7.1.1 Détermination de la courbe de tendance

7.1.2 Exemple du calcul permettant de trouver les paramètres de la meilleure droite d’une série de données expérimentales 7.1.3 Le coefficient de détermination R2

7.1.4 Exemple de calcul permettant de trouver le coefficient de détermination R2 d’une série de points 7.2 Les points singuliers 7.3.1 Incertitudes sur la pente et l’ordonnée à l’origine d’une droite (méthode centrée)

7.3.2 Incertitudes sur la pente et l’ordonnée à l’origine d’une droite (méthode non centrée)

7.3.3 Mise en garde à propos des méthodes graphiques permettant de trouver les incertitudes sur la pente et l’ordonnée à l’origine d’une droite 7.4.1 Évaluer la pertinence d’un modèle théorique

7.4.2 Conditions supplémentaires permettant d’évaluer la pertinence d’une modèle théorique

7.4.3 Exemple d’évaluation de la pertinence d’un modèle théorique 7.4.4 Cas particulier lorsque la pente ou l’ordonnée à l’origine ne correspond pas

directement à la variable nous permettant de vérifier la théorie

2016-08-15

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1 Notions de base sur les mesures et incertitudes

1.1- Les unités du système international (SI)

Les unités du système international (SI) que nous connaissons aujourd’hui, telles que le mètre, la seconde ou lekilogramme, n’ont pas toujours existé. Les unités de mesure anciennes, utilisées par les Romains ou les Chinois,par exemple, ont d’abord fait référence à des parties du corps humain telles que le pied. Malheureusement, lagrandeur physique d’un pied, d’un pouce ou d’un doigt varie énormément d’un individu à l’autre. Ainsi, ladéfinition du pied, par exemple, qu’il soit romain, chinois, ou autre, a continuellement changé selon les pays etles époques. C’est dans le contexte d’un début de mondialisation marqué par une augmentation des échangesentre les pays et les cultures qu’il est rapidement devenu essentiel de définir une unité de référence unique,universelle, fiable et indépendante des pays et des époques.

Figure 1.1.1 Exemples des proportions de différentes définitions du pied en comparaison avec le pied normald'une femme et d'un homme. Selon statistique Canada, la longueur moyenne d’un pied pour une femme de 19ans est de 24,3 cm et de 26,2 cm pour un homme de 19 ans.

C’est à l’Académie des Sciences que l’on doit la première définition officielle du mètre. En 1791, elle propose quela longueur d’un mètre corresponde à celle d’un dix-millionième (1/10 000 000) d’un quart de méridien terrestre(distance entre le pôle Nord et l’équateur le long de la surface de la terre). La définition du mètre aurait pu, biensûr, être tout à fait différente si l’Académie des Sciences en avait décidé autrement. L’intérêt de cette définitionest que, tout comme dans le cas de la définition du mille marin1, elle utilise une fraction de la planète commerepère au lieu d’une partie de l’anatomie humaine. De plus, le but de l'Académie des Sciences était « de choisirune unité qui, dans sa détermination, ne renferme rien ni d’arbitraire, ni de particulier à la situation d’aucunpeuple sur le globe ». En 1799, on créa, à partir de cette définition, un mètre étalon en platine qui fut établicomme la référence d’unité de longueur. Pour être viable, cet étalon devait être défini sans aucune ambigüité, en

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plus d’être fiable et reproductible. En 1983, afin de ne plus avoir à utiliser un étalon sensible aux conditionsatmosphériques (pression, température, humidité, etc.), le mètre fut défini comme la distance parcourue par lalumière en 1/299 792 458 seconde. D’ailleurs, on utilise aussi la lumière pour définir l’étalon de la mesure dutemps, la seconde. D’après le Bureau international des poids et mesures :

La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entreles deux niveaux hyperfins de l'état fondamental de l'atome de césium 133.

Même si les définitions du mètre et de la seconde semblent avoir été faites de façons plus ou moins aléatoires,cela n’enlève en rien leur importance, leur utilité et la finesse avec laquelle elles ont été établies. Ces définitionsreflètent simplement notre histoire des sciences et les décisions prises par les scientifiques de l’époque. Ce quiimporte, en revanche, c’est que les unités de mesure soient définies sans ambiguïté afin qu’elles servent de façonuniverselle à quiconque. Par exemple, si la définition du mètre permettait d’interpréter sa longueur à plus oumoins 50 % de sa valeur, la Lune pourrait être à une distance de 200 000 km à 600 000 km de la Terre selonl’interprétation choisie… pas très pratique pour décrire le mouvement de la Lune!

Finalement, il est important de mentionner que le SI comprend sept unité de base : le mètre (longueur), lekilogramme (masse), la seconde (temps), l'ampère (courant électrique), le kelvin (température), la mole(quantité de matière) et la candela (intensité lumineuse). C'est à partir de celles-ci que l'on peut définir toutes lesautres unités, appelées unités dérivées, telles que le newton (force), le joule (énergie), le mètre par seconde(vitesse), le mètre par seconde carrée (l’accélération), le coulomb (charge électrique), le tesla (champmagnétique), le pascal (pression), le watt (puissance), etc.

1 Le mille marin correspond à 1/60 de degré (une minute d’arc) de latitude. Cela est égal à 1/5400 d’un quart de méridien(distance entre le pôle Nord et l’équateur le long de la surface de la terre).


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1.2- La notation scientifique et les chiffres significatifs

Les grandeurs physiques peuvent être extrêmement petites, mais aussi extrêmement grandes. Par exemple, lediamètre D d’un noyau d’hydrogène mesure de l’ordre de :

Dhydrogène = 0, 000 000 000 000 002 m.

En revanche, le diamètre de notre galaxie mesure de l’ordre de :

Dgalaxie = 1 000 000 000 000 000 000 000 m.

La présentation de ces données, avec autant de chiffres, peut parfois être lourde et peu pratique. La notationscientifique, qui est représentée par un nombre décimal multiplié par une puissance de 10, permet justement desimplifier la présentation de très petits ou de très grands nombres. Le premier chiffre, qui est toujours avant lavirgule, est obligatoirement un chiffre entre 1 et 9. La notation scientifique prend donc la forme suivante :

?,??... · 10n où n est un nombre entier (négatif ou positif).

Par exemple, une longueur (L) de 0,00032 mètre, en notation scientifique, devient :

L = 0,00032 m = m = m = m = 3,2 · 10-4 m.

Les diamètres d’un noyau d’hydrogène et de notre galaxie deviennent alors :

Dhydrogène = 2 · 10-15 m

Dgalaxie = 1, 000 000 000 000 000 000 000 · 1021 m.

Comme vous pouvez le constater, le diamètre de notre galaxie, en notation scientifique, ne semble pas être moinscompliqué, au contraire. C’est que, pour l’instant, nous supposons que tous les chiffres présents dans unedonnée, peu importe la notation, sont significatifs. En d’autres termes, tous les chiffres d’une donnée sontimportants et nous ne pouvons pas les négliger. Par exemple, si un ou une scientifique mesure une distance de1,000 m entre deux objets, c’est que son instrument de mesure lui permet d’exprimer cette distance sansambigüité jusqu’aux millimètres. S’il ou elle avait écrit simplement 1,00 m pour exprimer cette même distance, ilou elle aurait indiqué au lecteur ou à la lectrice que la distance ne peut être mesurée sans ambigüité qu’auxcentimètres près. Ainsi, il est important d’écrire tous les zéros qui sont significatifs pour ne pas perdred’information.

Il n’y a qu’une seule exception à cette règle : les zéros avant le premier chiffre significatif de un à neuf sont dits


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non significatifs.

Figure 1.2.1 Il arrive que des appareils électroniques, comme certains multimètres, affichent les zéros avant lepremier chiffre significatif de un à neuf. Ces zéros sont dits non significatifs.

Pour un nombre plus petit que un, ces zéros ne servent qu’à donner un ordre de grandeur à ce nombre. D’ailleurs,en notation scientifique, ces zéros sont remplacés par une puissance de 10, comme dans l’exemple du diamètredu noyau d’hydrogène :

Dhydrogène = 0, 000 000 000 000 002 m = 2 · 10-15 m

Ainsi, mis à part les zéros avant le premier chiffre significatif de un à neuf, tous les chiffres d’une donnéeprésentée dans un ouvrage, un livre, ou autres, sont significatifs.


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1.3- L’utilisation de préfixes

En plus de la notation scientifique, l’utilisation d’un préfixe est une autre façon pratique d’exprimer l’ordre degrandeur d’une mesure. Par exemple, les préfixes milli (m), centi (c) et kilo (k) sont souvent utilisés devant lemètre (mm, cm, km). Intuitivement, nous savons que les millimètres sont plus petits que les centimètres et queles kilomètres sont beaucoup plus grands que les centimètres. En fait, le préfixe est une lettre qui exprime unepuissance de 10. Par exemple, milli (m) représente 10-3, centi (c) symbolise 10-2, etc.

L’utilisation des préfixes est omniprésente dans plusieurs expressions intégrées à notre vocabulaire courant. Parexemple, en informatique, on parle souvent de gigahertz (109 hertz) pour exprimer la fréquence d’un ordinateur,de téraoctets (1012 octets) pour exprimer la taille d’un disque dur ou de mégaoctets (106 octets) pour la tailled’un fichier. Il en est de même pour l’expression « nanotechnologie », qui fait référence à des structures de lataille d’un atome, lequel est de l’ordre de 0,1 nanomètre (0,1 x 10-9 mètre).

En résumé, voici les préfixes les plus utilisés en science :

Tableau 1.3.1 Quelques préfixes utilisés en science.

Ainsi, le diamètre d’un noyau d’hydrogène (section 1.2) pourrait s’écrire :

Dhydrogène = 2 · 10-15 m = 2 fm


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1.4- Le vocabulaire de base

Un ou une scientifique, lorsqu’il ou elle tente de décrire les phénomènes qui l’entourent, doit utiliser unedémarche objective et rigoureuse. La mise en place d’un vocabulaire de base est donc primordiale avant decontinuer.

Mesure directe : Mesure obtenue directement à partir d’un instrument de mesure étalonné.

Mesure indirecte : Mesure obtenue à partir d’un calcul réalisé à l’aide de plusieurs mesures directes ouindirectes.

Résolution d’un instrument1 : Désigne le plus petit intervalle qu’un instrument permet d’obtenir sansambiguïté. Par exemple, nous verrons qu’une règle ordinaire, lorsque nous l’utilisons pour mesurer la distanceentre deux points fixes, a une résolution d’un millimètre. Plus l’intervalle est petit, plus la résolution est petite etplus l’appareil est performant.

« Vraie » valeur : Représentation idéale d’une mesure obtenue avec un instrument qui aurait une résolutioninfinitésimale. De façon générale, cette « vraie » valeur n’existe pas puisqu’à très petite échelle, il y anécessairement une imprécision sur la mesure (qui s’explique par le fameux principe d’incertitude de Heisenberg).

Meilleure estimation ( ) : Valeur approximative, mesurée ou calculée, qui devrait être le plus près possible dela « vraie » valeur. Dans le cas d’une mesure directe, il s’agit tout simplement du résultat donné par l’instrument.

Dans les prochaines sections, nous utiliserons le tilde (~) au-dessus d’une variable (x) afin de représenter la

meilleure estimation ( ). Par contre, notez qu’il est plus courant de voir une barre au-dessus d’une variable ( )

afin de représenter la meilleure estimation. Ce symbole ( ) a toutefois le désavantage de représenter aussi la

valeur moyenne d’une variable, ce qui peut parfois porter à confusion. C’est la raison pour laquelle nous

utiliserons plutôt le tilde au-dessus d'une variable afin de représenter la meilleure estimation ( ).

De plus, puisqu’il n’est pas toujours possible d’ajouter un tilde (ou une barre) au-dessus d’une variable (il faut

nécessairement un éditeur d’équation), il arrive de voir, dans certains ouvrages, la variable elle-même (x)représenter la meilleure estimation. Par exemple, en mesurant la largeur d’un objet avec une règle, il est courantde voir :

x = 2,5 cm.

Par contre, dans les prochaines sections, nous utiliserons plutôt :

= 2,5 cm.

Incertitude2 ( x) : Valeur mesurée ou calculée, toujours positive, qui estime un écart maximal acceptable entrela meilleure estimation et la « vraie » valeur.


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Dans le cas d’une mesure directe, on l’obtient simplement en additionnant l’incertitude due à la résolution del’instrument de mesure utilisé à celle qui dépend du contexte expérimental.

Incertitude = +

x = xinstrument + xcontexte.

Résultat expérimental (x) : Intervalle qui regroupe la meilleure estimation ( ) et son incertitude ( x). Si le oula scientifique a bien estimé l’incertitude sur sa mesure, la « vraie » valeur devrait nécessairement se trouver àl’intérieur du résultat expérimental.

Mathématiquement, cela donne :

résultat expérimental = meilleure estimation incertitude

x = x.

Figure 1.4.1 Schéma représentant un résultat expérimental où x = (8 ± 5) cm.

Avec le concept de résultat expérimental, le ou la scientifique représente donc la réalité par des intervalles àl’intérieur desquels se trouvent les « vraies » valeurs. Le prix à payer, par contre, est d’avoir une incertitude sursa mesure dont il ou elle devra tenir compte lors de ses calculs et lorsqu’il ou elle voudra interpréter ses résultats.

Dans certains ouvrages, la variable (x) pourra représenter soit le résultat expérimental, soit la meilleure

estimation. Selon le contexte, vous devrez déduire de quel cas il s’agit. Par exemple, si x = (2,5 ± 0,1) cm, il est

alors évident qu’il s’agit du résultat expérimental à cause de la présence de l’incertitude. En revanche, si x = 5,42 m, il s’agit de la meilleure estimation.

Incertitude relative : Valeur qui représente l’importance de l’incertitude par rapport à la meilleure estimation.Plus sa valeur est petite, plus l’incertitude est négligeable comparativement à la meilleure estimation. Elle estégale au rapport entre l’incertitude et la valeur absolue de la meilleure estimation :


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incertitude relative = .

L'incertitude relative est souvent exprimée en pourcentage. Pour cela, il suffit de mutiplier l'incertitude relative par100% :

incertitude relative (%) = · 100 %.

Précision d’une mesure : Qualité d’une mesure déterminée par son incertitude relative. Plus l’incertituderelative d’un résultat expérimental est petite, plus la mesure est précise.

Par exemple, si D = (100 ± 5) m et que L = (0,4 ± 0,1) cm, leur incertitude relative en pourcentage est égale à :

· 100 % = · 100 % = 0,05 · 100 % = 5,0 %

· 100 % = · 100 % = 0,25 · 100 % = 25 %.

Bien que l’incertitude de D soit beaucoup plus grande que celle de L (5 m comparativement à 0,1 cm), c’est D quia l’incertitude relative la plus petite (5,0 % comparativement à 25 %). D a donc la mesure la plus précise.

1 Parfois appelée précision de l’instrument.

2 Souvent appelée incertitude absolue.


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1.5- Les règles d’écriture

Afin de présenter un résultat expérimental de façon adéquate, il existe certaines règles d’écriture. À la sectionprécédente, nous avons vu que :

résultat expérimental = meilleure estimation incertitude

x = x.

Figure 1.5.1 Schéma représentant un résultat expérimental où x = (8 ± 5) cm.

Première règle : L’incertitude d’une mesure comporte un seul chiffre significatif,sauf exception.

Supposons tout d’abord que nous ayons une incertitude égale à 0,82 °C. On constate que les deux centièmes dedegrés Celsius d’incertitude (0,02 °C) représentent moins de 3 % des huit dixièmes de degré Celsius (0,8 °C). Ilssont donc tout à fait négligeables et non significatifs. Ainsi, il n’est pas nécessaire d’alourdir la présentation del’incertitude en gardant une multitude de chiffres négligeables. Ce qui importe, c’est de garder un seul chiffresignificatif, celui qui donne un ordre de grandeur à l’incertitude. Dans notre exemple, il faut arrondir aux dixièmesde degrés Celsius puisque les centièmes sont superflus. L’incertitude est donc de 0,8 °C.

Par contre, il arrive parfois qu’il soit utile de garder deux chiffres significatifs. C’est le cas lorsque le deuxièmechiffre significatif n’est pas négligeable par rapport au premier. En effet, si l’incertitude sur une distance est de,par exemple, 0,25 m, les centièmes (0,05 m) représentent alors 20 % de la valeur des dixièmes (0,2 m), ce quiest non négligeable. En général, lorsque le premier chiffre significatif de l’incertitude est plus petit ou égal à deux,on peut arrondir à deux chiffres significatifs. Ainsi, dans notre exemple, l’incertitude pourrait être de 0,3 m, ou0,25 m, selon les recommandations de votre enseignant.

Deuxième règle : Les derniers chiffres significatifs de la meilleure estimation et del’incertitude doivent être du même ordre de grandeur.

Par exemple, si une incertitude sur une mesure est de l’ordre des centimètres, le dernier chiffre significatif de lameilleure estimation doit aussi être de l’ordre des centimètres. Il serait illogique de vouloir présenter unemeilleure estimation avec plus de chiffres significatifs que ne le permet l’incertitude.

Quelle température indique le thermomètre ci-dessous? Est-ce que T = (20 ± 0,5) °C serait une façon convenablede présenter notre résultat expérimental?


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Figure 1.5.2 Thermomètre gradué

Eh bien, non. Dans ce cas, le dernier chiffre significatif de l’incertitude est de l’ordre des dixièmes de degrésCelsius (0,5 °C), alors que le dernier chiffre significatif de la meilleure estimation est de l’ordre du degré Celsius(20 °C). Une façon acceptable d’écrire ce résultat expérimental aurait plutôt été T = (20,0 ± 0,5) °C. Ainsi, leursderniers chiffres significatifs sont du même ordre de grandeur.

Lorsque l’incertitude dépasse les unités, il semble parfois plus naturel d’exprimer l’incertitude avec plusieurschiffres significatifs. En effet, lorsque l’incertitude est de l’ordre des centaines, il pourrait être tentant d’écrire, parexemple, D = (10 000 ± 500) m. Malgré que la deuxième règle soit respectée, l’incertitude comporte alors troischiffres significatifs et contrevient à la première.

Par conséquent, afin d’éviter ce genre de situation, la meilleure estimation devrait idéalement être exprimée ennotation scientifique. Puisque le nombre décimal de la notation scientifique a forcément une valeur plus petite que10, l’incertitude sera fort probablement du même ordre de grandeur ou plus petite que l’unité.

De plus, dans le but de simplifier la présentation, le facteur multiplicatif devrait idéalement être le même pour lameilleure estimation et l’incertitude. L’emploi de parenthèses autour du résultat expérimental est aussi fortementsuggéré. Ainsi, en ajoutant la notation scientifique pour la meilleure estimation et les parenthèses autour durésultat expérimental, on obtient :

D = (1,00 ± 0,05) x 104 m.

Finalement, l’utilisation de préfixe est aussi valable que la notation scientifique, tant qu’elle ne contrevient pasaux deux premières règles. Notre exemple devient alors :

D = (10,0 ± 0,5) km.

Utilisons l’exemple précédent, où D = (10 000 ± 500) m, pour élaborer une procédure permettant de présenterun résultat expérimental selon les règles d’écriture (dans le cas où la meilleure estimation doit être en notationscientifique) :

1. Trouver la puissance de dix (10x) permettant de présenter la meilleure estimation en notation scientifique engardant tous les chiffres significatifs de celle-ci :


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= 10 000 m = 1,000 0 · 104 m.

2. Présenter l’incertitude avec de cette même puissance de dix en gardant tous les chiffres significatifs decelle-ci :

ΔD = 500 m = 500 · (104 /104) m = (500 / 104) · 104 m = 0,0500 · 104 m.

3. Arrondir l’incertitude afin qu’elle ne comporte qu’un seul chiffre significatif (sauf exception) :

ΔD = 0,0500 · 104 m = 0,05 · 104 m.

4. Arrondir la meilleure estimation pour que les derniers chiffres significatifs de la meilleure estimation et del’incertitude soit du même ordre de grandeur. Dans notre exemple, la meilleure estimation doit afficher jusqu’auxcentièmes puisque le dernier chiffre significatif de l’incertitude est de l’ordre des centièmes :

= 1,000 0 · 104 m = 1,00 · 104 m.

5. Écrire le résultat expérimental en respectant les règles d’écriture :

D = (1,00 ± 0,05) · 104 m.

Troisième règle : La meilleure estimation et l’incertitude ont les mêmes unités.

Cette règle a pour but de simplifier la présentation du résultat expérimental. Par exemple, si D = 1,000 km ±1 m, la meilleure estimation et l’incertitude semblent, au premier coup d’œil, être du même ordre de grandeur.Par contre, en écrivant D = (1,000 ± 0,001) km, il est plus facile de voir à quel point l’incertitude est petitecomparativement à la meilleure estimation.

Quatrième règle : L’incertitude relative (%) s’exprime avec deux chiffressignificatifs, sauf exception.

En effet, puisque l’incertitude relative (%) a pour but, ultimement, de donner un ordre de grandeur à la précisiond’une mesure, il n’est pas nécessaire de la présenter avec plus de deux chiffres significatifs. Par exemple, si D =(100 ± 5) m, l'incertitude relative en pourcentage de D est égale à :

· 100 % = · 100 % = 0,05 · 100 % = 5,0 %

Par contre, lorsque l’incertitude relative (%) est égale ou supérieure à 100 %, il faut naturellement exprimerl’incertitude avec plus de chiffres significatifs puisqu’elle contient alors au moins trois chiffres significatifs. Parexemple, si L = (5 ± 8) mm, alors l'incertitude relative en pourcentage de L est égale à :

· 100 % = · 100 % = 1,6 · 100 % = 160 %


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Que faire lorsqu'un résultat expérimental n'a pas d'incertitude?

Lorsqu’on résout des exercices pratiques dans un cahier de science, il est très fréquent que l’incertitude sur lesmesures données ne soit pas indiquée. Dans ce cas, on peut supposer qu’elle est du même ordre de grandeurque son dernier chiffre significatif. Par exemple, si une mesure donnée est égale à 15,8 m dans un exercice, onpeut supposer que son incertitude se situe quelque part entre 0,1 et 0,9 m. Si on effectue des calculs avec detelles mesures et qu’on désire connaître le nombre de chiffres significatifs que doit avoir le résultat final, il estcourant d’utiliser les deux règles suivantes :

Lors d’une addition ou d’une soustraction de mesures, le résultat final1 a le même nombre de décimalesque la mesure qui en contient le moins.Lors d’une multiplication ou d’une division de mesures, le résultat final2 a le même nombre de chiffressignificatifs que la mesure qui en contient le moins.

Il est important de mentionner que ces deux règles ne font que conserver approximativement le bon nombre dechiffres significatifs d’un résultat. En effet, si l’incertitude de chaque mesure d’un calcul n’est pas connue, il estimpossible de connaître avec certitude le nombre de chiffres significatifs d’un résultat3.

Dans ce module d’apprentissage, nous allons simplifier encore plus les calculs impliquant des mesures n’ayant pasd’incertitudes connues en appliquant les deux règles suivantes :

Les mesures données auront toujours trois chiffres significatifs.Le résultat final4 d’un calcul sur ces mesures aura toujours trois chiffres significatifs.

Tout comme les deux autres règles vues précédemment, ces deux nouvelles règles ne conserventqu’approximativement le bon nombre de chiffres significatifs d’un résultat.

1 Pour les résultats intermédiaires permettant d’arriver à un résultat final, il est courant de conserver au moins 4 chiffressignificatifs.2Pour les résultats intermédiaires permettant d’arriver à un résultat final, il est courant de conserver au moins 4 chiffressignificatifs.3 Nous verrons, dans un prochain chapitre, comment calculer l’incertitude d’un résultat à partir de mesures d’un calcul ayantdes incertitudes connues.4 Pour les résultats intermédiaires permettant d’arriver à un résultat final, il est courant de conserver au moins 4 chiffressignificatifs.


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1.6- Le diagramme de comparaison

Le diagramme de comparaison permet de comparer des résultats expérimentaux entre eux. Il permet de repérerfacilement la présence ou l’absence d’un domaine commun.

Par exemple, voici un diagramme de comparaison dans le cas où t1 = (5 ± 4) s et que t2 = (11 ± 5) s :

Figure 1.6.1 Exemple d’un diagramme de comparaison affichant un domaine commun entre deux résultatsexpérimentaux.

Pour que la lecture d’un diagramme de comparaison soit facilitée, celui-ci doit respecter certains critères de base.

L’échelle possède des graduations principales et secondaires. La progression de l’échelle est marquée pardes nombres sous les graduations principales.

1.

Les graduations principales et secondaires sont des multiples décimaux de 1, 2 ou 5 afin de faciliter lalecture (ici, 5 pour les graduations principales et 1 pour les graduations secondaires).

2.

Le symbole de l’unité de mesure des résultats expérimentaux, précédé ou non par un préfixe ou unepuissance de 10, apparaît à droite de l’échelle graduée (ici, les secondes (s)).

3.

Le dernier chiffre significatif des nombres sous les graduations principales doit être du même ordre degrandeur que l’intervalle entre deux graduations secondaires (ici, puisque l’intervalle entre deuxgraduations secondaires est de l’ordre de la seconde, il doit en être de même pour les nombres sous lesgraduations principales (0, 5, 10 et 15).

4.

Les graduations de l’échelle doivent être optimisées afin que la largeur totale des résultats expérimentauxsoit égale ou légèrement inférieure à celle de l’échelle graduée (ici, la largeur totale des résultatsexpérimentaux est de 15 secondes, alors que celle de l’échelle graduée est de 16 secondes).

5.

Pour chaque résultat expérimental, la meilleure estimation est représentée par un point et l’incertitude parun segment de droite.

6.

Les résultats expérimentaux, clairement identifiés par un symbole, sont présentés l’un au-dessus del’autre. De plus, il est parfois utile d’ajouter la valeur numérique des résultats expérimentaux à côté dessymboles (t1 = (5 ± 4) s et t2 = (11 ± 5) s ).

7.

S’il y a lieu, le domaine commun entre les résultats expérimentaux doit être mis en évidence par une zonehachurée ou ombragée, comme dans l’exemple ci-dessus (ici, de 6 à 9 s). S’il n’y a qu’un seul point encommun, celui-ci est mis en évidence par une ligne comme dans la figure ci-dessous :

8.


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Figure 1.6.2 Diagramme de comparaison de deux résultats expérimentaux qui ont un seul point en commun.

Si D = (10 ± 1) cm et que L = (9,1 ± 0,3) cm, vérifiez que tous les critères sont bel et bien respectés dansl’exemple du diagramme de comparaison ci-dessous :

Figure 1.6.3 Exemple de diagramme de comparaison.

Les graduations principales et secondaires sont présentes. La progression de l’échelle est marquée par desnombres sous les graduations principales.

1.

Les graduations principales sont des multiples de 1, alors que les graduations secondaires sont desmultiples de 0,2. Elles sont donc des multiples décimaux de 1, 2 ou 5.

2.

L’unité des résultats expérimentaux, le centimètre (cm), est présente à droite de l’échelle graduée.3. Les nombres sous les graduations principales comprennent les dixièmes de centimètre (8,0, 9,0, 10,0 et11,0) puisque l’intervalle entre deux graduations secondaire est de 0,2 cm.

4.

La largeur de l’échelle est de 3,0 cm, alors que la largeur totale des résultats expérimentaux, égale à 2,2cm, est légèrement inférieure, ce qui est adéquat.

5.

Pour chaque résultat expérimental, la meilleure estimation est représentée par un point et l’incertitude parune droite.

6.

Les résultats expérimentaux D et L sont clairement identifiés.7. Le domaine commun de D et L, représenté par une zone ombragée, est situé entre 9,0 et 9,4 cm.8.

Maintenant, prenons l’exemple d’un diagramme de comparaison où D = (11,0 ± 0,5) cm et L = (7 ± 1) cm. Quelcritère de base n’est pas respecté?

Figure 1.6.4 Diagramme de comparaison dont un des critères de base n’est pas respecté. Alors que les graduations principales sont des multiples de 2, les graduations secondaires sont des multiples de0,4. Puisque cet intervalle n’est pas un multiple décimal de 1, 2 ou 5, le deuxième critère n’est pas respecté.

Le problème avec les multiples décimaux de 4, c’est qu’ils ne facilitent pas la lecture du diagramme decomparaison. Si un lecteur ou une lectrice veut connaître la valeur d’une graduation secondaire, il ou elle devraajouter successivement des multiples de 0,4 à chaque graduation secondaire. Dans le cas de la figure 1.6.4, celadonne 6,4 cm, 6,8 cm, 7,2 cm et 7,6 cm. Les sauts de 0,4 ne sont donc pas très pratiques.


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Figure 1.6.5 Échelle d’un diagramme de comparaison dont l’intervalle entre les graduations principales est de 2,alors que l’intervalle entre les graduations secondaires est de 0,4.

En revanche, il est tout de même possible de respecter le deuxième critère même si les graduations principalessont des multiples de 2. Pour cela, il faut que l’espace entre les graduations principales soit divisé en quatre :chaque graduation secondaire est alors un multiple décimal de 5.

Figure 1.6.6 Échelle d’un diagramme de comparaison dont l’intervalle entre les graduations principales est de 2,alors que l’intervalle entre les graduations secondaires est de 0,5.

Le diagramme de comparaison de la figure 1.6.4 devient alors beaucoup plus facile à interpréter :

Figure 1.6.7 Diagramme de comparaison dont l’intervalle entre les graduations principales est de 2, alors quel’intervalle entre les graduations secondaires est de 0,5.


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1.7- Les résultats expérimentaux égaux (ou compatibles)

Deux résultats expérimentaux sont dits égaux, ou compatibles, lorsqu’ils ont un domaine commun ou, auminimum, un point en commun.

De plus, l’expression « résultats reproductibles » est parfois utilisée lorsqu’un même dispositif expérimental donnedes résultats égaux. On dit alors que les résultats obtenus par ce dispositif expérimental sont reproductibles.Dans ce qui suit, nous utiliserons le terme « égaux », plutôt que « compatibles » ou « reproductibles », afin desimplifier la lecture.

Reprenons un exemple de la section précédente. Si D = (10 ± 1) cm et que L = (9,1 ± 0,3) cm, ces résultatsexpérimentaux sont égaux parce qu’ils ont un domaine commun (de 9,0 à 9,4 cm).

Figure 1.7.1 Diagramme de comparaison de deux résultats expérimentaux égaux.

Pour affirmer que plusieurs résultats sont égaux, il faut s’assurer qu’ils ont tous un domaine commun. Si D = (10± 1) cm, que L = (9,1 ± 0,3) cm et que R = (9,8 ± 0,6) cm, ces résultats expérimentaux sont égaux parcequ’ils ont un domaine commun (de 9,2 à 9,4 cm).

Figure1.7.2 Diagramme de comparaison de plusieurs résultats expérimentaux égaux.

D’autre part, si D = (10,1 ± 0,7) cm et que L = (9,0 ± 0,4) cm, ces résultats expérimentaux sont aussi égauxpuisqu’ils ont un point en commun, soit 9,4 cm.

Figure1.7.3 Diagramme de comparaison de deux résultats expérimentaux égaux ayant un seul point en commun.


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Notons que lorsque deux résultats n’ont qu’un seul point en commun, il est clair que la prudence est de mise aumoment d’affirmer qu’il s’agit de résultats égaux. Cette situation devrait nous inciter à revoir en tout ou en partiel’expérience qui a mené à ce résultat (ou même la validité de la théorie associée à l’expérience).

Par contre, si D = (10,2 ± 0,6) cm et que L = (8,8 ± 0,4) cm, ces deux résultats expérimentaux ne sont paségaux parce qu’ils n’ont aucun domaine commun.

Figure1.7.4 Diagramme de comparaison de deux résultats expérimentaux qui ne sont pas égaux, où D = (10,2 ±0,6) cm et que L = (8,8 ± 0,4) cm.

S’il n’y a pas de domaine commun, mais qu’on s’attendait à obtenir une égalité entre deux résultats, il peut êtreintéressant de calculer l’écart en pourcentage entre les deux résultats expérimentaux. Pour cela, il faut d’aborddéterminer l’écart entre les résultats expérimentaux à partir de la valeur minimale du résultat expérimental leplus grand (ici, Dmin) et de la valeur maximale du résultat expérimental le plus petit (ici, Lmax).

Écart = | Dmin - Lmax|= | ( - D) - ( + L) |.


Si l’une des deux meilleures estimations est celle de référence, c’est par elle qu’on divise l’écart afin de calculerl’écart en pourcentage. Si ce n’est pas le cas, on peut diviser par la moyenne des deux. Si le résultat obtenu esttrès petit, cela peut signifier que les incertitudes avaient été sous-estimées et qu’il pourrait être intéressant derevoir l’ensemble du procédé expérimental utilisé. Dans le cas contraire, plus l’écart calculé est grand, plus il estclair qu’il n’y a aucune égalité possible entre les deux résultats expérimentaux considérés.

Voici un exemple de calcul pour le cas ci-dessus, en supposant que la meilleure estimation de D est la référence :

Écart (%) = · 100 %


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Écart (%) = · 100 % = · 100 %

Écart (%) = · 100 % = 3,9 %.

Par ailleurs, il existe une autre façon similaire de calculer l’écart en pourcentage entre deux résultatsexpérimentaux. Avec cette deuxième méthode, il faut d’abord calculer l’écart entre les meilleures estimations desrésultats expérimentaux :

Écart (%) = | - |.


Ensuite, le calcul de l’écart en pourcentage se fait comme nous l’avons vu précédemment. Voici un exemple decalcul pour le cas de la figure 1.7.6, en supposant que la meilleure estimation de D est la référence :

Écart (%) = · 100 %

Écart (%) = · 100 %

Écart (%) = · 100% = 14 %.

Notez que cette méthode est surtout utilisée lorsque l’incertitude de chaque résultat expérimental n’est pasconnue, comme dans l’exemple ci-dessous :


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Figure1.7.7 Diagramme de comparaison de deux résultats expérimentaux qui n’ont pas d’incertitude connue.

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2 Les instruments de mesure

2.1- L’incertitude due à un thermomètre gradué (et autres instruments de mesuregradués nécessitant une seule lecture)

Figure 2.1.1 Thermomètre gradué

Supposons tout d’abord que le thermomètre de la figure 2.1.1 soit de grande qualité et qu’il soit bien calibré.Quelle température indique-t-il? 20,5 °C? 20,6 °C? 20,4 °C? 20,7 °C? La réponse n’est pas nécessairementévidente… Ce thermomètre, qui est gradué en degrés Celsius, ne permet pas d’exprimer facilement latempérature avec autant de certitude. Il aurait fallu un thermomètre gradué jusqu’aux dixièmes de degrésCelsius.

En général, un appareil de mesure gradué est conçu de telle sorte que l’espace entre chaque graduation permetde dire si :

La mesure est approximativement sur une graduationLa mesure est approximativement entre deux graduations.

Ainsi, habituellement, un instrument gradué permet d’estimer une mesure à une demi-graduation près. L’incertitude due à la résolution de cet instrument est donc égale à la moitié de sa plus petite division. Pour lethermomètre de la figure 2.1.1, gradué au degré Celsius près, il s’agit de 0,5 °C. On dit qu’un tel thermomètrepossède une résolution d’un demi-degré. Naturellement, afin de compléter le calcul de l’incertitude, il faudraéventuellement tenir compte de l’incertitude due au contexte expérimental (ce que nous verrons bientôt).

De plus, dans le but de respecter les règles d’écriture, les derniers chiffres significatifs de la meilleure estimationet de l’incertitude doivent être du même ordre de grandeur. Si l’incertitude est de quelques dixièmes de degrésCelsius (0,5 °C), le dernier chiffre significatif de la meilleure estimation doit aussi être de l’ordre des dixièmes dedegrés Celsius. Pour l’exemple de la figure ci-dessus, T = (20,5 ± 0,5) °C.

Il arrive parfois qu’un expérimentateur ou une expérimentatrice juge qu’il ou elle peut exprimer la meilleureestimation au-delà des multiples de la demi-graduation. Par exemple, à la figure 2.1.1, il pourrait être tentantd’écrire T = (20,6 ± 0,5) °C, T = (20,4 ± 0,5) °C ou même T = (20,7 ± 0,5) °C. Après tout, puisque les règlesd’écriture sont respectées et que l’incertitude est de quelques dixièmes de degrés Celsius (0,5 °C), cetexpérimentateur ou cette expérimentatrice pourrait, s’il ou elle se sent à l’aise de le faire, se donner la liberté


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d’exprimer la meilleure estimation avec n’importe quel multiple des dixièmes de degrés. Cette pratique estacceptable.

Par contre, il arrive que les graduations d’un instrument de mesure soient tellement rapprochées qu’elles nepermettent pas de lire les demi-graduations. Dans ce cas, l’incertitude est égale à la plus petite division. Enrespectant les règles d’écriture, on aurait, par exemple, T = (87 ± 1) °C. Dans un tel cas, on dira du thermomètrequ’il possède une résolution de un degré, comme dans l’exemple ci-dessous.

Figure 2.1.2 Thermomètre possédant une résolution de un degré. La température qu’il indique est de (87 ± 1) °C.


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2.2- L’incertitude due à une règle graduée (et autres instruments de mesure graduésnécessitant deux lectures)

La règle, comme le thermomètre, est un instrument de mesure gradué. Par contre, contrairement authermomètre, qui ne nécessite qu’une seule lecture, la règle en requiert deux. En effet, pour déterminer, parexemple, la largeur d’un objet, l’échelle graduée de la règle doit être alignée à chaque extrémité de celui-ci (unelecture par extrémité).

Comme nous l’avons vu précédemment, l’incertitude due à la résolution d’un instrument de mesure gradué esthabituellement égale, par lecture, à la moitié de sa plus petite division. En général, une mesure effectuée avecune règle graduée au millimètre a donc une incertitude de 0,5 mm par lecture. Dans l’exemple ci-dessous, on voitque :

La position du côté droit est égale à (0,0 ± 0,5) mmLa position du côté gauche est égale à (32,0 ± 0,5) mm.

Figure 2.2.1 Règle mesurant la largeur d’un objet.

Afin d’obtenir la meilleure estimation de la largeur de l’objet, il faudra soustraire la position du côté gauche à celledu côté droit :

= 32,0 mm – 0,0 mm = 32,0 mm.

Puisque l’utilisation de la règle génère une incertitude sur la position de chaque côté et que toutes deuxcontribuent à l’incertitude, celle-ci sera égale à la somme des incertitudes1. En général, l’incertitude due à larésolution d’une règle, graduée au millimètre près, est égale à :

L = 0,5 mm + 0,5 mm = 1 mm.

En respectant les règles d’écriture, le résultat expérimental de notre exemple devient alors :

L = (32 ± 1) mm.


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Selon le contexte, il n’y a aucun problème à exprimer la mesure d’une règle en millimètre, en centimètre, endécimètre ou en mètre (en notation scientifique ou non), tant que les règles d’écritures sont respectées. Lalargeur L de notre objet pourrait donc être présentée de plusieurs façons équivalentes :

L = (32 ± 1) mmL = (3,2 ± 0,1) cm = (0,32 ± 0,01) dm = (0,032 ± 0,001) m

L = (3,2 ± 0,1) x 10-2 m.

La règle n’est pas le seul instrument de mesure nécessitant deux lectures. En plus du ruban à mesurer, tous lesinstruments de mesure dont on doit ajuster le zéro avant de faire la mesure, comme certaines balances oucertains dynamomètres (appareil de mesure servant à mesurer une force), exigent l’équivalent de deux lectures :une pour ajuster le zéro (calibration) et une autre pour réaliser la mesure. Dans ces cas particuliers, l’incertitudesur le résultat expérimental sera le double de l’incertitude due à une seule lecture.

1 Nous verrons, dans une prochaine section, toutes les règles de propagation des incertitudes lors d’opérationsmathématiques entre des résultats expérimentaux qui comportent des incertitudes.


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2.3- L’incertitude due à un appareil de mesure à affichage numérique

Un appareil de mesure à affichage numérique, comme un thermomètre ou une balance électronique, permet delire directement la mesure à l’aide d’un afficheur numérique. Par exemple, quelle est la température T affichée surle thermomètre ci-dessous?

Figure 2.3.1 Thermomètre électronique.

S’il est clair que = 37,4 °C, ce thermomètre n’indique pas quelle est l’incertitude sur cette mesure. En général,le fabricant fournit une façon de calculer l’incertitude. S’il ne l’indique pas, nous allons assumer que le fabricant aconçu son instrument de façon à ce qu’il permette à chaque lecture d’être précise jusqu’à la dernière unité (oudécimale) affichée. En effet, alors qu’un instrument de mesure gradué permet généralement de lire à unedemi-graduation près, les instruments de mesure à affichage numérique ne permettent pas d’aller chercher plusd’information que la dernière unité affichée. Ainsi, dans notre exemple, puisque la dernière unité affichée est ledixième de degrés Celsius, l’incertitude due à la résolution de cet instrument de mesure numérique est de 0,1 °C.Le résultat expérimental sur cette mesure est alors :

T = (37,4 ± 0,1) °C.

Pour l’instant, nous ne tiendrons pas compte de l’incertitude due au contexte expérimental. Cette incertitudes’ajoute normalement à l’incertitude due à la résolution de l’instrument et devra être considérée lors de vosexpériences (nous en discuterons dans le prochain chapitre).

Voici un autre exemple, qui concerne, quant à lui, le cas de la balance électronique :

Figure 2.3.2 Balance électronique

La masse lue est = 0,342 kg et la dernière unité affichée est égale à 0,002 kg. En l’absence de consignes dufabricant, on attribue une incertitude due à la résolution de cette balance de 0,001 kg (ce qui est cohérent avecl’ordre de grandeur de la dernière décimale affichée sur la balance). Par conséquent, en respectant les règlesd’écriture, le résultat expérimental est :


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m = (0,342 ± 0,001) kg.

Si cette balance avait eu besoin d’être initialisée afin d’être mise à zéro lorsqu’il n’y a pas de masse, l’incertitudetotale (0,001 kg) aurait été doublée (0,002 kg), comme nous l’avons vu dans la section précédente (section 2.2).Le résultat expérimental aurait donc été :

m = (0,342 ± 0,002) kg.

En revanche, si le fabricant fournit une façon de calculer l’incertitude, il est nécessaire d’en tenir compte.

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2.4- L’incertitude fournie par le fabricant

Le fabricant connaît mieux que quiconque les limites de son appareil de mesure et il est nécessaire de suivre sesrecommandations. En général, les fabricants fournissent une incertitude qui a deux composantes :

Une composante fixe qui a un lien avec l’ordre de grandeur de la dernière unité affichableUne composante relative donnée par un pourcentage sur la valeur lue, souvent attribuée aux limites del’appareil et à son influence sur la mesure.

Examinons le cas d’un multimètre à affichage numérique, en mode ampèremètre, dont la documentation donneles règles suivantes pour obtenir l’incertitude :

Tableau 2.4.1 Incertitude due à un ampèremètre

Par conséquent, en fonction de l’intensité du courant, le calcul de l’incertitude ne se fera pas de la même façon.Prenons, par exemple, le cas d’un multimètre qui affiche un courant de 187,4 μA :

Figure 2.4.1 Multimètre en mode ampèremètre.

Afin de déterminer l’incertitude de cette lecture, il faut tenir compte de la valeur affichée et du tableau 2.4.1. Si lalecture est de 187,4 μA, l’intensité du courant se situe entre 0,1 et 199,9 μA. Le tableau 2.4.1 nous indique alorsque l’incertitude sur la mesure se calcule à l’aide de la formule 0,2%lecture + 2 unités. Notez que dans cetteformule, le mot « unité » fait référence à la dernière unité (ou décimale) affichable par l’instrument. Dans ce cas,il s’agit de 0,1 μA. Il ne reste plus qu’à faire le calcul :


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I = 0,2 % · lecture + 2 unités

I = · 187,4 µA + 2 · (0,1 µA)

I = 0,3748 µA + 0,2 µA = 0,5748 µA.

D’après nos règles d’écriture, il ne faut garder, dans ce contexte, qu’un seul chiffre significatif à l’incertitude enarrondissant :

I = 0,6 μA.

Le résultat expérimental est alors égal à :

I = (187,4 ± 0,6) μA.

Il est donc possible, même si un instrument de mesure affiche une résolution d’un dixième d’unité, quel’incertitude de celui-ci soit beaucoup plus grande.


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2.5- Les appareils de mesure ayant une résolution non automatisée

Il arrive parfois que la résolution des appareils de mesure, comme certains multimètres, ne soit pas automatisée.En effet, pour ces appareils de mesure, c’est l’expérimentateur ou l'expérimentatrice qui doit s’assurer que lalecture est la meilleure possible. S’il ou elle ne le fait pas, le résultat obtenu n’aura pas autant de chiffressignificatifs que ne le permet l’instrument. Cela pourrait alors compromettre l’analyse des résultats.

Dans le but d’illustrer ceci, prenons un exemple. L’ohmmètre ci-dessous, capable de lire la valeur d’une résistance(dont l’unité SI est l’ohm (Ω)), est muni de plusieurs échelles de mesure de la résistance. Ces échelles sontcaractérisées par les valeurs suivantes : 200 Ω, 2 kΩ, 20 kΩ, 200 kΩ, 2 MΩ et 20 MΩ.

Figure 2.5.1 Ohmmètre

En fait, bien que l’écran de cet ohmmètre ne puisse afficher plus de quatre chiffres, l’utilisation appropriée deséchelles permettra de mesurer des valeurs de résistance très petites (0,1 Ω), mais aussi très grandes (20,00 MΩ).Chaque échelle a donc pour but d’afficher, pour un intervalle de valeurs de résistance bien particulier, une valeurde résistance avec le plus grand nombre de chiffres significatifs possible. L’utilisation de préfixes, tels que le kilo(k) ou le méga (M), permet aussi d’alléger la présentation des résultats. À chaque échelle, la virgule change doncde position :

L’échelle 200 Ω est optimale pour mesurer une résistance de 0,1 Ω à 199,9 ΩL’échelle 2 kΩ de 0,200 kΩ à 1,999 kΩ (200 Ω à 1999 Ω)L’échelle 20 kΩ de 2,00 kΩ à 19,99 kΩL’échelle 200 kΩ de 20,0 kΩ à 199,9 kΩL’échelle 2 MΩ de 0,200 MΩ à 1,999 MΩL’échelle 20 MΩ de 2,00 MΩ à 19,99 MΩ.

La meilleure lecture est toujours celle qui affiche le plus grand nombre de chiffres significatifs. Pour être optimale,l’échelle sélectionnée doit être la plus petite à dépasser la valeur lue. Par exemple, dans la figure ci-dessous,l'échelle optimale est 20 kΩ puiqu'elle est la plus petite à dépasser la valeur lue de 15,67 kΩ (voir figure 2.5.2c)). Si la valeur de l’échelle est plus petite que la valeur lue, l'ohmmètre indiquera qu’il a dépassé ses capacités delecture. Dans ce cas, sur l’écran, les inscriptions OL ou Overload apparaissent parfois (voir les figures 2.5.2 a) et


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b)). En revanche, si l’échelle n’est pas la plus petite à dépasser la valeur lue, celle-ci sera affichée avec moins dechiffres significatifs que ce que peut donner l’ohmmètre. Ainsi, si la valeur lue est de 15,67 kΩ à l’échelle 20 kΩ,elle sera de 015,7 kΩ à l’échelle 200 kΩ, de 0,016 MΩ à l’échelle 2MΩ et de 00,02 MΩ à l’échelle 20MΩ (voir lesfigures 2.5.2 c), d), e) et f)). À chaque changement d’échelle, la valeur lue perd un chiffre significatif puisque leszéros avant le premier chiffre de un à neuf ne sont pas significatifs.

Figure 2.5.2 Lecture d’une résistance de 15,67 kΩ à l’aide d’un ohmmètre selon l'échelle sélectionnée. Remarquezque la position l'échelle de ce multimètre affecte la valeur lue. La lecture optimale, c'est à dire celle ayant le plusgrand nombre de chiffres significatifs, est de 15,67 kΩ à l’échelle 20 kΩ.

Par conséquent, il faut toujours placer l’échelle de façon optimale afin de ne pas dépasser les capacités de lecturede l’ohmmètre et d’obtenir la meilleure lecture possible. C’est à partir de cette meilleure lecture possible que l’onpeut déterminer l’incertitude sur la mesure, comme nous l’avons vu aux sections 2.3 et 2.4.


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2.6- Le pied à coulisse muni d'un vernier

Le pied à coulisse est un instrument de mesure qui, comme la règle, mesure une distance entre deux points. Sion place un objet entre ses pinces coulissantes, il permet d’en mesurer la taille.

Figure 2.6.1 Pied à coulisse mesurant la taille d’un objet.

De plus, il permet de mesurer la dimension interne et la profondeur d’un objet creux avec beaucoup plus defacilité qu’une règle normale.

Figure 2.6.2 Pied à coulisse mesurant la dimension interne d’un objet creux.


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Figure 2.6.3 Pied à coulisse mesurant la profondeur d’un objet creux.

La résolution d’un pied à coulisse varie d’un instrument à l’autre, passant d’un dixième de millimètre pour unmodèle de base, et allant jusqu’à quelques centièmes de millimètre pour un modèle plus performant. Il est doncutilisé lorsqu’un expérimentateur ou une expérimentatrice a besoin d’une mesure plus précise que ce que nepermet une règle graduée, qui est généralement limitée à une résolution d’un millimètre.

Mis à part les pieds à coulisse électroniques munis d’un afficheur numérique, beaucoup de pieds à coulisseutilisent encore aujourd’hui un vernier. Un vernier comprend deux échelles superposées qui permettent de liresans ambiguïté une fraction d’un millimètre. Prenons, tout d’abord, l’exemple d’un vernier possédant dixgraduations. La clé du fonctionnement de ce vernier est simple, mais subtile. Elle repose sur le fait que dixgraduations de l’échelle fixe (ou principale) mesurent dix millimètres, comme sur une règle normale, tandisqu’elles n’en mesurent que neuf pour l’échelle mobile.

Figure 2.6.4 Échelles fixe et mobile du vernier d’un pied à coulisse.

Ainsi, en déplaçant l’échelle mobile d’un dixième de millimètre, la première graduation de celle-ci est la seule àêtre alignée avec une graduation de l’échelle fixe. En déplaçant l’échelle mobile d’un autre dixième de millimètre,c’est sa deuxième graduation qui est maintenant la seule à être alignée avec une graduation de l’échelle fixe. Aucours d’un déplacement d’un millimètre, chacune des dix graduations de l’échelle mobile du vernier se seraalignée successivement à une graduation de l’échelle fixe, permettant ainsi de lire les dixièmes de millimètre.Vérifiez que c’est le cas dans la figure ci-dessous :


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Figure 2.6.5 Échelles fixe et mobile du vernier d’un pied à coulisse. Remarquez qu'à chaque déplacement successifd'un dixième de millimètre de l'échelle mobile, chaque graduation de celle-ci s'aligne successivement à unegraduation de l’échelle fixe, permettant ainsi de lire les dixièmes de millimètre.

Regardez les échelles du vernier du pied à coulisse ci-dessous, gradué en millimètre. Quelle est le diamètre de labille à l’origine de ce positionnement?

Figure 2.6.6 Échelles fixe et mobile d’un pied à coulisse

Tout d’abord, nous devons noter de combien de millimètres entiers l’échelle mobile a été déplacée en repérant oùse trouve le zéro de l’échelle mobile par rapport aux graduations de l’échelle fixe. Dans notre exemple ci-dessus,puisqu’il se situe entre le deux et le trois de l’échelle fixe, le diamètre de la bille est alors d’au moins deuxmillimètres (2 mm).


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Figure 2.6.7 Échelles fixe et mobile d’un pied à coulisse.

Ensuite, pour lire une fraction de millimètre, il faut déterminer quelle graduation de l’échelle mobile est alignéeavec une graduation de l’échelle fixe. Puisqu’il s’agit, dans notre exemple, de la troisième graduation, il faut

ajouter 0,3 mm aux 2 mm mesurés précédemment. La meilleure estimation du diamètre de notre objet est

donc :

= 2 mm + 0,3 mm = 2,3 mm

Le nombre de graduations de l’échelle mobile du vernier permet de connaître la résolution du pied à coulisse. Sil’échelle mobile possède dix graduations, le pied permet de lire les dixièmes de millimètre (0,1 mm), puisquechaque millimètre est alors partagé en dix.

Reprenons l’exercice précédent à partir de l’image ci-dessous.

Figure 2.6.8 Échelles fixe et mobile d’un pied à coulisse.


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Le zéro de l’échelle mobile a dépassé la quatrième graduation de l’échelle fixe : l’objet mesure donc au moins 4millimètres. Ensuite, nous pouvons voir que c’est la cinquième graduation de l’échelle mobile qui est alignée avecune graduation de l’échelle fixe: il faut donc ajouter cinq dixièmes de millimètre à ce que nous avons trouvé

précédemment. La meilleure estimation du diamètre de l’objet est :

= 4 mm + 0,5 mm = 4,5 mm

Comme nous l’avons déjà mentionné, l’échelle mobile du vernier d’un pied à coulisse n’a pas toujours dixgraduations, même si le principe de fonctionnement reste le même. Par exemple, si l’échelle possède 20graduations, ces dernières pourraient avoir une largeur de 19 mm alors que 20 graduations de l’échelle fixe enmesureraient 20. En parcourant un millimètre avec l’échelle mobile, les vingt graduations de celle-ci se seraientsuccessivement alignées avec l’échelle fixe, permettant ainsi de lire les vingtièmes de millimètre (0,05 mm).

Figure 2.6.9 Échelles fixe et mobile du vernier d’un pied à coulisse qui permet de lire les vingtièmes de millimètre(0,05 mm).

Finalement, à propos de l’incertitude due à la résolution d’un pied à coulisse, il faut se référer à ce que nousavons vu concernant les instruments de mesure gradués. En effet, nous avons vu que, si les graduations d’uninstrument de mesure sont trop rapprochées pour distinguer clairement les demi-graduations, l’incertitude due àla résolution de ce même instrument est égale à sa plus petite division. Dans le cas du pied à coulisse, l’échellemobile est tellement sensible aux déplacements qu’il est difficile de savoir si la mesure est réellement entre deuxgraduations. Ainsi, en général, l’incertitude due à la résolution d’un pied à coulisse est égale à la plus petitedivision de son échelle mobile. Pour un pied à coulisse possédant un vernier de dix graduations, l’incertitude due àla résolution de celui-ci est donc d’un dixième de millimètre (0,1 mm). Lorsqu’un vernier possède 20 graduations,l’incertitude due à la résolution de l’instrument est plutôt de 0,05 mm. Par conséquent, si nous revenons auxexemples précédents, la lecture de la figure 2.6.6 serait :

D = (2,3 ± 0,1) mm

Pour la figure 2.6.8, la lecture serait :


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D = (4,5 ± 0,1) mm.

Évidemment, l’incertitude devra aussi tenir compte de l’incertitude due au contexte expérimental. C’est ce quenous verrons dans le prochain chapitre.

Vous voulez valider votre compréhension du vernier à l'aide d'exercices aléatoires auto-corrigés?




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3 Rappel mathématique

3.1- La conversion de préfixes et d’unités

En décembre 1998, la sonde Mars Climate Orbiter décollait vers la planète Mars dans le but d’étudier samétéorologie. Malheureusement, la sonde s’écrasa sur la planète en septembre 1999 alors qu’elle devaittranquillement amorcer une mise en orbite. Le diagnostic de l’enquête de la NASA ne fut pas très réjouissant :l’écrasement aurait été dû à une mauvaise conversion d’unités. En effet, il semble qu'une des équipes ayant conçula sonde utilisait les unités britanniques (pieds, livres, etc.), alors que l'équipe de navigation de la sonde utilisaitles unités du système international (mètre, newton, etc.). Coût de l’opération ratée : 125 millions de dollars.

Figure 3.1.1 Vue de la planète mars depuis la sonde Viking en 1976 (NASA).

Bien que la conversion d’unités n’entraîne pas toujours de conséquences aussi désastreuses et coûteuses, il estprimordial, lors d’un calcul, de vérifier la cohérence des unités et des préfixes et d’appliquer une conversionlorsque nécessaire. Dans le cadre de cours en science, il existe plusieurs types de conversion, dont :

La conversion de préfixes. Par exemple, on sait que 25 mm est égal à 2,5 cm.La conversion d’un angle en radians vers un angle en degrés (et vice-versa).La conversion de vitesse en km/h, utilisée dans la vie de tous les jours, vers une vitesse en m/s, qu’il estnécessaire d’utiliser dans les équations en science qui utilisent le SI (et vice-versa).

3.1a- La conversion de préfixes

Comme nous l’avons vu précédemment, un préfixe représente une puissance de 10 et permet d’alléger laprésentation des résultats. La valeur du nombre devant un préfixe est souvent plus grande que 1 et plus petiteque 1000. Néanmoins, il n’y a pas de règle absolue, pourvu que la présentation des résultats soit claire.

De plus, lors de la présentation de résultats expérimentaux, il est parfois préférable d’utiliser un préfixe plutôtqu’un autre. Par exemple, le résultat expérimental D = (110 ± 60) mm ne respecte pas la deuxième règled’écriture (section 1.5), car l’incertitude de 60 mm est donnée avec deux chiffres significatifs. Il suffit d’exprimerce même résultat expérimental en centimètre (cm) pour satisfaire la règle:


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D = (11 ± 6) cm.

Ainsi, dans le cas de résultats expérimentaux, le choix du préfixe doit être fait de façon à ce que la présentationsoit claire, mais aussi de façon à ce que les règles d’écriture soient respectées.

Observons, tout d’abord, le tableau des préfixes fréquemment utilisés en science (section 1.3) :

Tableau 3.1a.1 Tableau des préfixes fréquemment utilisés en science. Dans ce tableau, on peut constater qu’il y a souvent un facteur de 103 entre chaque préfixe. En d’autres termes, ilfaut multiplier ou diviser par 1000 un préfixe pour atteindre un préfixe supérieur ou inférieur. Par exemple, il fautmille kilos (k) pour égaler un méga (M). Vérifions qu’il y a bel et bien égalité :

1000 k = 1 M1000*103 = 1*106

103*103= 106

106 = 106.

Les seuls préfixes qui font exception sont :

Le centi (c), qui a plutôt un facteur de 10 avec ses voisins immédiats (le milli (m) et le déci (d)).Le déci (d), qui un facteur de 10 avec le centi (c) et de 10 000 avec le kilo (k).

Par exemple, il faut 10 milli (m) pour égaler 1 centi (c) :

10 m = 1 c10*10-3 = 1*10-2

10-2 = 10-2.

En résumé, voici un tableau des équivalences des préfixes avec leurs voisins immédiats. Ceséquivalences peuvent aisément être retrouvées à partir du tableau 3.1a.1 :


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Tableau 3.1a.2 Tableau des équivalences des préfixes avec leurs voisins immédiats.

En ayant ce tableau d’équivalence en tête, il est possible de convertir le préfixe de n’importe quelle mesure. Pourcela, il est commun d’utiliser un facteur de conversion. Voici sa définition :

Facteur de conversion : Rapport de deux valeurs équivalentes.

Ce rapport est donc nécessairement égal à un. Par exemple, on sait que :

1 centimètre (cm) = 10 millimètres (mm).

Ainsi, le rapport de ces deux valeurs est égal à un facteur de conversion :

facteur de conversion = = 1.

De plus, rien n’empêche d’inverser la fraction du facteur de conversion puisque les valeurs qui la composent sontéquivalentes et leur rapport donnera aussi nécessairement 1 :


En multipliant une mesure par un facteur de conversion, on ne change donc pas sa valeur puisqu’on ne fait quemultiplier par 1. Par contre, si on utilise un facteur de conversion de façon adéquate, il est possible de convertirn’importe quel préfixe, accompagné ou non de son unité, vers un autre préfixe très facilement.

Afin d’illustrer l’utilisation d’un facteur de conversion, prenons un exemple dans lequel une mesure, en mm, doitêtre convertie en cm :

D = 150 mm = ??? cm.

Même si cette conversion peut sembler simple, nous allons présenter une méthode systématique qui fonctionnedans tous les cas (simple ou pas). Ainsi, pour obtenir des cm, on devra multiplier la mesure par un facteur deconversion qui permettra d’annuler les mm, mais aussi de convertir la mesure en cm. En choisissant un facteur deconversion donné en cm par mm, on accomplit exactement ce travail.

D = 150 mm = 150 mm · 1 = 150 mm · facteur de conversion = 150 mm · .

On doit ensuite s’assurer que le numérateur et le dénominateur du facteur de conversion correspondent à deuxvaleurs équivalentes (voir tableau 3.1a.2). Puisque l’on sait que 1 cm = 10 mm, le facteur de conversionapproprié dans ce cas est de 1 cm / 10 mm, de sorte que :


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D = 150 mm · facteur de conversion = 150 mm · = = 15,0 cm.

Notez que l’unité et le préfixe de la mesure (mm) se sont bel et bien annulés par l’unité et le préfixe dudénominateur du facteur de conversion (mm). De plus, n’oubliez pas qu’il est important de garder tous les chiffressignificatifs d’une mesure, même après la conversion de préfixes. En effet, puisque les préfixes représententsimplement une puissance de 10, il n’y a aucune raison qu’une mesure perde ou gagne des chiffres significatifsaprès une conversion. Ainsi, le « 0 » de 150 mm doit être conservé après la conversion (15,0 cm).

Par ailleurs, il est important de mentionner que, si la conversion doit se faire vers un préfixe inférieur (des km

vers les m, par exemple), la mesure ne doit pas gagner de chiffres significatifs. Par exemple, si la distance dentre deux maisons est de 1 km et que l’on souhaite la convertir en m, il pourrait être tentant d’écrire :

d = 1 km = 1000 m.

On remarque que cette conversion a fait gagner trois chiffres significatifs à la mesure, ce qui n’est pas cohérentavec ce que nous avons dit précédemment. Dans ce cas, il est pratique d’exprimer la mesure convertie ennotation scientifique en s’assurant que le nombre de chiffres significatifs de la mesure est le même avant et aprèsla conversion :

d = 1 km = 1 · 103 m.

Maintenant, exprimez la fréquence ( f ) d’un poste de radio FM en GHz (gigahertz), alors qu’elle est présentée enMHz (mégaHertz) :

f = 95,2 MHz = ??? GHz.

En choisissant un facteur de conversion donné en GHz par MHz, on annule les MHz et on convertit la mesure enGHz. Il ne reste qu’à s’assurer que le numérateur (en GHz) et le dénominateur (en MHz) du facteur deconversion correspondent à deux valeurs équivalentes. Du tableau 3.1a.2, on déduit que 1 GHz = 1000 MHz :

f = 95,2MHz · facteur de conversion

f = 95,2 MHz · = GHz = 0,095 2 GHz.

Dans cet autre exemple, exprimez la largeur (L) d’une protéine en nm, alors qu’elle est présentée en μm :

L = 0,800 μm = ???? nm.

Voici la solution :

L = 0,800 μm · facteur de conversion

L = 0,800 μm · = 0,800 · 1000 nm = 800 nm.

Finalement, voici un exemple dans lequel des décimètres au carré (dm2) doivent être convertis en centimètres aucarrée (cm2) :

L = 3,00 dm2 = ??? cm2.


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Ce qui est important, lors de la conversion d’unités et de préfixes mis au carré, c’est qu’un facteur de conversionsera nécessaire pour chaque unité et préfixe mis au carré :

L = 3,00 dm2 = 3,00 dm · dm = 3,00 (dm · facteur de conversion) · (dm · facteur de conversion).

Dans ce cas, on voit que le facteur de conversion est simplement mis au carré :

L = 3,00 dm2 · (facteur de conversion)2.

En choisissant un facteur de conversion donné en cm par dm, et en sachant que 10 cm = 1 dm (voir tableau3.1a.2), on trouve :

L = 3,00 dm2 · = 3,00 dm2 · = 3,00 · 100 cm2 = 300 cm2.

Pour convertir une mesure au cube, par exemple, il faudra simplement multiplier la mesure par le facteur deconversion adéquat au cube.


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3.1b- La conversion d’angles

En science, les angles sont très pratiques pour décrire les phénomènes de rotation et d’oscillation, et poureffectuer des calculs impliquant des vecteurs. Selon le contexte, deux unités de mesure sont principalementutilisées pour exprimer un angle : les degrés (°) ou les radians (rad).

Les degrés subdivisent la surface d’un cercle en 360 « pointes de tarte » équivalentes à partir de son centre.

Figure 3.1b.1 Figure illustrant une des 360 subdivisions en « pointes de tarte » d’un cercle. Elle représente unangle de un degré (°).

Le nombre 360 est un des rares nombres qui se divise par 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 et 10. Cette particularité le renddonc bien utile pour subdiviser facilement le cercle en portions égales sans générer de fractions (ou de nombresayant des chiffres après la virgule).

Ainsi, en parcourant un tour complet le long de la circonférence d’un cercle, les 360 « pointes de tarte » ont étéfranchies : l’angle est égal à 360 °. Pour un demi-tour, l’angle qui est décrit correspond à la moitié de 360 °, c’est-à-dire 180 °. Pour un quart de tour, c’est plutôt un quart de 360 °, c’est-à-dire 90 °. Il y a donc les mêmesproportions entre une fraction d’un tour complet et une fraction de 360 °.

Les radians, quant à eux, ont été définis d’une toute autre façon. La valeur en radian d’un angle ( ) inscrit dans

un cercle est donnée par la valeur de la longueur de l’arc de cercle (S) divisée par la valeur du rayon (r) ducercle1 :


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Figure 3.1b.2 Figure illustrant l’angle ( ), le rayon (r) et l’arc de cercle (S) d’un cercle.

Le rapport de la circonférence d’un cercle sur son rayon est toujours le même : il est égal à 2 (6.283185…), peu

importe le rayon du cercle. En parcourant un tour complet, le rapport de la circonférence sur le rayon, c'est-à-dire

l’angle en radians, est donc égal à 2 rad. Pour un demi-tour, c’est la moitié de la circonférence qui est parcourue

et l’angle est égal à la moitié de 2 rad, c’est-à-dire rad. Pour un quart de tour, c’est un quart de 2 rad, c’est-

à-dire /2 rad. Il y a donc, dans le cas d’un angle en radians, les mêmes proportions entre une fraction d’un tour

complet et une fraction de 2 .

Pour résumer, voici quelques exemples d’équivalences entre des angles en degrés et en radians :

Tableau 3.1b.1 Tableau d'équivalence entre des angles en degrés et en radians.


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Figure 3.1b.3 Illustration de quelques angles équivalents, en radians et en degrés, dans un cercle.

Le tableau 3.1b.1 nous permet de voir que 180 ° = rad. Puisqu’il y a une égalité entre ces deux valeurs, il est

possible d’en faire un facteur de conversion :


De plus, rien n’empêche d’inverser la fraction du facteur de conversion :


Afin de convertir un angle en radians vers un angle en degrés (ou vice versa), il suffit d’utiliser un facteur de

conversion. Supposons, tout d’abord, que l’on veut convertir un angle ( ) en radians (rad) vers un angle en

degrés (°) :

= 0,449 rad = ??? °.

En suivant les étapes vues précédemment, on sait qu’il faudra un facteur de conversion en degrés par rad afind’annuler les rad et de convertir la mesure en degrés. De plus, il faut s’assurer que les valeurs de son numérateur(en °) et de son dénominateur (en rad) soient équivalentes. D’après le tableau 3.1b.1, on sait que :


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Il ne reste plus qu’à multiplier la mesure par le facteur de conversion :

= 0,449 rad · facteur de conversion

= 0,449 rad · = 0,449 rad · = = 25,7 °.

Supposons maintenant que l’on veut convertir un angle ( ß ) en degrés vers un angle en radians :

ß = 36,0 ° = ??? rad.

Voici la solution :

ß = 36,0 ° · facteur de conversion

ß = 36,0 ° · = = 0,628 rad.

Notez que, par rapport à l’exemple précédent, le facteur de conversion a dû être inversé afin d’annuler les degréset de convertir la mesure en radians. Il est donc important d’utiliser le facteur de conversion correctement afind’obtenir le résultat voulu.

1 Bien qu’on dise que le rad est l’unité d’angle dans le SI, il faut savoir que le rad n’a pas vraiment d’unité, car on l’obtienten divisant une longueur (arc de cercle) par une longueur (rayon), et donc en divisant des m par des m. Bref, lorsqu’onindique rad à côté d’un nombre, c’est simplement pour indiquer qu’il s’agit d’un angle.


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3.1c- La conversion de vitesses

La vitesse correspond à une distance parcourue par unité de temps :

vitesse = .

L’unité de mesure de la vitesse représente donc un rapport d’une unité de longueur sur une unité de temps. Dansla vie de tous les jours, il est commun d’utiliser le kilomètre par heure, ou km/h. Par contre, en science, il estnécessaire d’utiliser le mètre par seconde, ou m/s, parce que les équations en science requièrent les unités dusystème international. Ainsi, lorsqu’une vitesse est exprimée en km/h dans un exercice, il est nécessaire de laconvertir en m/s avant de l’inclure dans une équation.

Puisque l’unité de la vitesse contient une unité de longueur et une unité de temps, chacune d’elle a son proprefacteur de conversion. La conversion d’une vitesse de km/h en m/s nécessite donc de convertir les km en m, maisaussi les heures (h) en secondes (s). Afin d’illustrer cela, prenons l’exemple de la vitesse v d’une voiture :

v = 60,0 = ??? .

Tout d’abord, appliquons les étapes afin de trouver le facteur de conversion adéquat pour les km. Ainsi, il faut unfacteur de conversion en m par km :

facteur de conversion de distance = .

Ce facteur de conversion permettra d'éliminer les km et de convertir la mesure en m. De plus, il faut s’assurerque les valeurs de son numérateur (en m) et de son dénominateur (en km) soient équivalentes. D’après letableau 3.1a.1, on déduit que 1000 m = 1 km :

facteur de conversion de distance = = 1.

Pour les étapes qui permettent de trouver le facteur de conversion adéquat pour les heures (h), il y a une subtilitéqu’il ne faut pas oublier : l’unité du temps (h) est au dénominateur, contrairement à l’unité de distance (km) quiest au numérateur.

v = 60,0

Afin de convertir les et en , on peut choisir de multiplier la vitesse1 par un facteur de conversion en h par s :

facteur de conversion de temps = .


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De plus, il faut s’assurer que les valeurs du numérateur et du dénominateur du facteur de conversion soientéquivalentes. Tout d’abord, nous savons qu’une heure (h) est égale à 60 minutes (min) :

1 h = 60 min.

Il faut ensuite convertir les minutes en secondes en multipliant par un facteur de conversion qui élimine lesminutes (min). Pour ce faire, le facteur de conversion doit être en s par min :


Puis, en sachant que 1 min = 60 s, on trouve que :


Il ne reste plus qu'à convertir les minutes en secondes :

1 h = 60 min · facteur de conversion de temps

1 h = 60 min ·

1 h = 3600 s.

Si on choisit de multiplier la vitesse par un facteur de conversion, le facteur de conversion adéquat doit être en hpar s et être égal à :

facteur de conversion de temps = = 1

Il faut ensuite multiplier la vitesse par les deux facteurs de conversion trouvés précédemment :

v = 60,0 · facteur de conversion de distance · facteur de conversion de temps

v = 60,0 · ·

v = = 16,7 m/s

Finalement, essayons de convertir une mesure en m/s vers une mesure en km/h. Utilisons l’exemple ci-dessous :

v = 5,00 = ??? .


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Afin de convertir les m en km, il faut un facteur de conversion en km par m. En s’assurant de l’équivalence entrele numérateur et le dénominateur du facteur de conversion, on trouve :

facteur de conversion de distance = = 1.

Afin de convertir les en , il faut un facteur de conversion en s par h. En respectant l’égalité entre le

numérateur et le dénominateur du facteur de conversion, on trouve :

facteur de conversion de temps = = 1.

Il ne reste qu’à multiplier la vitesse par les deux facteurs de conversion :

v = 5,00 · facteur de conversion de distance · facteur de conversion de temps

v = 5,00 · ·

v = = 18,0 km/h.

1 On peut aussi choisir de diviser la vitesse par un facteur de conversion en s par h.


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4 La propagation des incertitudes

4.1 La méthode des extrêmes

Nous avons vu, dans les sections précédentes, que le résultat expérimental (x) regroupe la meilleure estimation (

) et son incertitude ( x). De plus, si le ou la scientifique a bien estimé l’incertitude de sa mesure, la « vraie »valeur devrait nécessairement se trouver à l’intérieur du résultat expérimental. Ainsi, en définissant le concept derésultat expérimental, le ou la scientifique représente la réalité à l’aide de mesures à l’intérieur desquelles setrouvent les « vraies » valeurs. La « vraie » valeur devrait donc toujours se situer quelque part entre les valeursminimale (xmin) et maximale (xmax) d’un résultat expérimental.

Figure 4.1.1 Schéma représentant un résultat expérimental où x = (8 5) mm, xmin = 3 mm et xmax = 13 mm.Si le ou la scientifique a bien estimé l’incertitude, la « vraie » valeur devrait se retrouver quelque part entre 3 mmet 13 mm.

Dans cet ouvrage, nous allons supposer, sauf exception, que la valeur de l’incertitude est la même de part etd’autre de la meilleure estimation (incertitude symétrique). Ce choix, qui simplifie nos calculs d’incertitude,constitue une bonne approximation lorsque l’incertitude de chaque mesure est petite par rapport à la meilleureestimation (voir Figure 4.1.2).

N’oubliez jamais que pour pouvoir appliquer les méthodes de cet ouvrage de façon adéquate,l’incertitude de chaque mesure doit être petite par rapport à la meilleure estimation!


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Figure 4.1.2 Voici le cas d’une fonction exponentielle où y = ex. À cause de la nature non linéaire de cette

fonction, l’incertitude en y ( y) est asymétrique lorsque l’incertitude en x ( x) est de l’ordre de grandeur de la

meilleure estimation de x ( x ≈ ). D’ailleurs, le deuxième point du graphique illustre cette situation, où x =

0,8 et = 2,0. Par contre, lorsque l’incertitude en x ( x) est petite par rapport à la meilleure estimation de x (

x << ), l’incertitude en y est approximativement symétrique (voir le dernier point où x = 0,07 et = 4,00).

Néanmoins, sachez que dans certains domaines, les incertitudes supérieure et inférieure n’ont pas toujours lamême valeur. En effet, certains appareils de mesure, ou certains calculs non linéaires, génèrent des incertitudesnon symétriques qui ne sont pas négligeables.


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4.1.1 L’incertitude Puisque nous supposons que la largeur de l’incertitude représente la moitié de la largeur totale d’un résultatexpérimental (incertitude symétrique), il est possible d’exprimer l’incertitude en fonction des valeurs minimale etmaximale d’un résultat expérimental. Ce calcul, qui utilise les valeurs extrêmes du résultat expérimental, estappelé « méthode des extrêmes » ou « méthode des min-max » :

x =

x =

Dans le cas de l'exemple ci-dessous, cela donne :

x = = = 5 mm

Figure 4.1.1.1 Schéma représentant un résultat expérimental où x = (8 5) mm, xmin = 3 mm et xmax = 13

mm. Il est possible de trouver l'incertitude de x ( x = 5 mm) à partir des valeurs minimale et maximale de x.

Dans le cas d’une mesure directe, c'est-à-dire une mesure obtenue directement à partir d’un instrument demesure étalonné, l’incertitude se calcule généralement à l’aide de l’incertitude due à la résolution de l’instrumentutilisé et de l’incertitude due au contexte expérimental (voir section 1. 4) :

x = xinstrument + xcontexte La « méthode des extrêmes » peut alors être utilisée afin de déterminer, en totalité ou en partie, l’incertitude dueau contexte expérimental (nous en discuterons dans une autre section). De plus, lorsqu’un résultat expérimental provient d’une mesure indirecte, c’est-à-dire que la valeur de celui-ci aété calculée à l’aide de plusieurs résultats expérimentaux ayant des meilleures estimations et des incertitudesdistinctes, la « méthode des extrêmes » peut être très utile, comme nous le verrons dans les prochainessections. En effet, cette méthode peut nous permettre de trouver, par exemple, le résultat expérimental d’une

vitesse v si celle-ci dépend de la distance parcourue d = (100 6) m et du temps t = (17 1) s :

v = =


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v = (??? ???) m/s.


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4.1.2 La meilleure estimation Tout d’abord, il est important de mentionner que lorsqu’un ou une scientifique prend une mesure directe à l’aided’un instrument, la lecture lui donne immédiatement la meilleure estimation. Il ou elle n’a pas besoin d’utiliser lesvaleurs maximale et minimale de sa mesure pour connaître la meilleure estimation.

Figure 4.1.2 Ce thermomètre indique (20,5 ± 0,5) °C. Cette mesure directe n’a pas nécessité l’utilisation desvaleurs minimale et maximale. De plus, lorsqu’il s’agit de trouver la meilleure estimation d’une mesure indirecte, nous verrons qu’il est préférabled’utiliser les meilleures estimations provenant directement du calcul (nous le démontrerons à la section 4.4.1).

Dans l’exemple de la vitesse v ci-dessus, où d = (100 6) m et t = (17 1) s, on obtient :

= = = 5,882352941176471 … m/s

Par contre, si un ou une scientifique n’a accès qu’aux valeurs minimale et maximale d’un résultat expérimental, ilpeut considérer que la meilleure estimation se trouve approximativement à mi-chemin entre les valeurs minimaleet maximale de celui-ci. Dans ce cas, on effectue le calcul suivant à l’aide des valeurs extrêmes afin de trouver lameilleure estimation :

= Valeur à mi-chemin du résultat expérimental

=

Cette approximation qui, en fait, utilise la valeur moyenne du résultat expérimental, n’est valable que si x variede façon linéaire (nous le démontrerons à la section 4.4.1) ou constitue une bonne approximation si l'incertitudede x est très petite par rapport à la meilleure estimation de x. Il faut donc être très prudent lorsqu’on utilise lesvaleurs extrêmes dans le but de déterminer la meilleure estimation.


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4.1.3 Règle lors de calculs intermédiaires Il arrive souvent qu’un calcul mathématique nécessite plusieurs étapes et que nous ayons à passer par des calculsintermédiaires afin de trouver notre réponse finale. Dans ce cas, il est important de garder le plus grand nombrede chiffres significatifs lors de chaque étape. C’est seulement lors de l’étape finale du calcul que nousappliquerons les règles d’écriture vues à la section 1.5. Sinon, au fur et à mesure des étapes du calcul, nousrisquons de décaler notre réponse finale parce que nous aurons utilisé des valeurs trop peu précises. Ainsi, voici larègle que nous appliquerons dans les prochaines sections :

Lors de calculs intermédiaires, il est important de garder le plus grand nombre de chiffres significatifslors de chaque étape. Ce n’est qu’à l’étape finale du calcul qu’il faut appliquer les règles d’écriture de

la section 1.5.

Dans cet ouvrage, afin de ne pas alourdir la présentation de nos calculs intermédiaires, nous afficherons jusqu’àun maximum de 7 chiffres significatifs, puis nous inscrirons trois petits points (...) si une ou plusieurs décimalessubséquentes n’ont pas été affichées. Cependant, notez que pour arriver à la réponse finale, nous tiendronstoujours compte, lors de nos calculs, de plus d’une dizaine de chiffres significatifs à chaque étape.

Par exemple, la meilleure estimation de la vitesse v ci-dessus, où d = (100 6) m et t = (17 1) s, est égale à :

= = = 5,882353 … m/s


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4.2.1 « Méthode des extrêmes » lors de l’addition de deux résultats expérimentaux Imaginons que nous parcourions en voiture une distance 1 pour aller d’un point A à un point B, suivi d’une

distance 2 pour aller d’un point B à un point C. Ces distances parcourues, indiquées par l’odomètre de la voiture,sont égales à :

1 = 1,53 km et 2 = 2,46 km.

Figure 4.2.1 Distance totale parcourue par une voiture pour aller du point A au point C. La distance totale parcourue par la voiture pour aller du point A au point C est donc égale à la somme desdistances :

= 1 + 2 = 1,53 km + 2,46 km = 3,99 km. Supposons maintenant que nous ayons déterminé, à l’aide des données fournies par le fabriquant de l’odomètreet du contexte expérimental, que les incertitudes des mesures directes de 1 et 2 sont égales à :

L1 = 0,02 km et L2 = 0,03 km.

Les résultats expérimentaux de L1 et L2 valent donc :

L1 = (1,53 ± 0,02) km et L2 = (2,46 ± 0,03) km.

Puisque les distances L1 et L2 ont des incertitudes, leur « vraie » valeur peut se retrouver quelque part entre lesvaleurs minimale et maximale de leur résultat expérimental. Ainsi, on détermine la plus petite distance totale

parcourue par la voiture en minimisant les valeurs de L1 et L2 :

Lmin = L1min + L2min

Lmin = ( 1 – L1) + ( 2 – L2)

Lmin = (1,53 – 0,02) km + (2,46 – 0,03) km

Lmin = 3,94 km.

De même, on détermine la plus grande distance totale parcourue à l’aide des valeurs maximales de L1 et L2 :


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Lmax = L1max + L2max

Lmax = ( 1 + L1) + ( 2 + L2)

Lmax = (1,53 + 0,02) km + (2,46 + 0,03) km

Lmax = 4,04 km.

La « vraie » valeur de la distance parcourue devrait donc se situer quelque part entre Lmin = 39,4 km et Lmax =40,4 km. En utilisant la « méthode des extrêmes », on peut trouver l’incertitude :

L = =

L = 0,05 km. Pour trouver la meilleure estimation, il existe deux possibilités, comme nous en avons discuté précédemment(section 4.1) :

1. Faire la somme des meilleures estimations (méthode recommandée) :

= L1 + L2 = 2,46 km + 1,53 km = 3,99 km.

2. Calculer la meilleure estimation de L à l’aide des valeurs extrêmes :

= = = 3,99 km.

Dans ce cas en particulier, les deux méthodes donnent la même réponse puisque L est le résultat d’une opérationlinéaire. Néanmoins, il est recommandé d’utiliser, en général, la première méthode. En effet, en utilisant lesvaleurs extrêmes pour trouver la meilleure estimation, la valeur obtenue peut être décalée lors de l’utilisationd’une équation non linéaire (nous verrons à la section 4.4.1 que l’utilisation de la deuxième méthode, lorsqu’elleest appliquée au calcul de la meilleure estimation du produit de deux valeurs, décale la valeur de cette meilleureestimation).

Maintenant que la meilleure estimation ( = 3,99 km) et l’incertitude ( L = 0,05 km) sont connues, il est

possible d’écrire le résultat expérimental L. En tenant compte des règles d’écriture, cela donne :

L = (3,99 ± 0,05) km.


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4.2.2 Règle simple lors de l’addition de deux résultats expérimentaux Généralisons la démarche permettant de trouver la valeur d’un résultat expérimental qui est égal à la somme dedeux résultats expérimentaux indépendants :

x = a + b

où a = ± a et b = ± b Les valeurs maximale et minimale de x sont données par :

xmax = amax + bmax = ( + Δa) + ( + Δb) = ( + ) + (Δa + Δb)

xmin = amin + bmin = ( - Δa) + ( - Δb) = ( + ) - (Δa + Δb). Utilisons la somme des meilleures estimations afin de trouver la meilleure estimation de x :

= + . L’incertitude, quant à elle, se trouve à partir de la « méthode des extrêmes » :

x =

Δx =

Δx = Δa + Δb. On remarque que lors de l’addition de deux résultats expérimentaux, l’incertitude est simplement égale à lasomme des incertitudes.

Règle simple lors de l’addition de deux résultats expérimentaux

Si x = a + b,

avec a = ± a et b = ± b,

alors = +

et Δx = Δa + Δb.


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4.3.1 « Méthode des extrêmes » lors de la soustraction de deux résultatsexpérimentaux Imaginons que nous voulions connaître la masse d’un liquide à partir de la masse 1 d’un bécher rempli de celiquide et de la masse 2 de ce même bécher vide.

1 = 0,377 kg 2 = 0,110 kg

Figure 4.3.1 Bécher plein et bécher vide sur une balance. La masse du liquide est donc égale à la masse 2 du bécher rempli à laquelle on soustrait la masse 1 du béchervide :

= 1 - 2 = 0,377 kg - 0,110 kg = 0,267 kg. Supposons maintenant que nous ayons déterminé, à l’aide des données fournies par le fabriquant de la balance etdu contexte expérimental, que les incertitudes des mesures directes de 1 et 2 sont égales à :

m1 = 0,005 kg et m2 = 0,004 kg. Les résultats expérimentaux de m1 et m2 sont donc :

m1 = (0,377 ± 0,005) kg et m2 = (0,110 ± 0,004) kg. Puisque les masses m1 et m2 ont des incertitudes, leur « vraie » valeur peut se retrouver quelque part entre les

valeurs minimale et maximale de leur résultat expérimental. À cause de la présence du signe négatif devant m2,

pour minimiser m, il faut minimiser m1, mais maximiser m2 :

mmin = m1min – m2max

mmin = ( 1 – m1) - ( 2 + m2)

mmin = (0,377 – 0,005) kg - (0,110 + 0,004) kg

mmin = 0,258 kg. De la même manière, on détermine la plus grande masse de liquide à l’aide de la valeur maximale de m1 et de la

valeur minimale de m2:


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mmax = m1max - m2min

mmax = ( 1 + m1) - ( 2 - m2)

mmax = (0,377 + 0,005) kg - (0,110 - 0,004) kg

mmax = 0,276 kg. La « vraie » valeur de la masse de liquide devrait donc se trouver quelque part entre mmin = 0,258 kg et mmax =0,276 kg. En utilisant la « méthode des extrêmes », on peut déterminer l’incertitude :

m = =

m = 0,009 kg. Pour trouver la meilleure estimation, il existe deux possibilités, comme nous en avons discuté précédemment(section 4.1) :

1. Faire la soustraction des meilleures estimations (méthode recommandée) :

= 1 - 2 = 0,377 kg - 0,110 kg = 0,267 kg.

2. Calculer la meilleure estimation de m à l’aide des valeurs extrêmes :

= = = 0,267 kg.

Encore une fois, les deux méthodes donnent la même réponse puisque m est le résultat d’une opération linéaire.Néanmoins, comme nous l’avons déjà mentionné, il est généralement recommandé d’utiliser la première méthode(voir section 4.4.1). Maintenant que la meilleure estimation ( = 0,267 kg) et l’incertitude (Δm = 0,009 kg) sont connues, il est

possible d’écrire le résultat expérimental m. En tenant compte des règles d’écriture, cela donne :

m = (0,267 ± 0,009) kg.


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4.3.2 Règle simple lors de la soustraction de deux résultats expérimentaux Le cas de la soustraction est très similaire à celui d’une addition de résultats expérimentaux indépendants :

x = a − b

où a = ± a et b = ± b. Il y a cependant une subtilité : pour maximiser x, il ne suffit pas d’additionner les valeurs maximales de a et bcomme nous l’avons fait pour l’addition. En effet, à cause du signe négatif devant b, il faudra maximiser a, mais

minimiser b :

xmax = amax - bmin = ( + a) - ( - b) = ( - ) + ( a + b). Pour minimiser x, il faut minimiser a et maximiser b :

xmin = amin - bmax = ( - a) - ( + b) = ( - ) - ( a + b). En appliquant la soustraction des meilleures estimations, on trouve la meilleure estimation de x :

= - . On applique ensuite la « méthode des extrêmes » afin de trouver l’incertitude :

x =

Δx =

Δx = Δa + Δb. Ainsi, lors de la soustraction de deux résultats expérimentaux, l’incertitude est égale à la somme des incertitudes.Puisque les cas de l’addition et de la soustraction de deux résultats expérimentaux génèrent la même incertitude,nous utiliserons la même règle simple dans les deux cas.

Règle simple lors de l’addition et de la soustraction de deux résultats expérimentaux

Si x = a + b ou si x = a − b,


alors = + ou = - et Δx = Δa + Δb.


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4.4.1 « Méthode des extrêmes » lors de la multiplication de deux résultatsexpérimentaux Imaginons que nous voulions calculer l’aire d’un rectangle à partir de la mesure de ses côtés en utilisant une règleet que nous ayons mesuré 1 = 34 mm et 2 = 51 mm. L’aire de ce rectangle se calcule en multipliant lalongueur de ses côtés :

= 1 · 2 = 34 mm · 51 mm = 1734 mm2. Supposons que nous ayons déterminé, à l’aide de l’incertitude due à la résolution de la règle et du contexte

expérimental, que l’incertitude de la mesure directe de L1 est de 5 mm et que celle de L2 est de 4 mm :

L1 = 5 mm et L2 = 4 mm.

Les résultats expérimentaux de L1 et L2 sont donc :

L1 = (34 ± 5) mm et L2 = (51 ± 4) mm.

Figure 4.4.1 L’aire d’un rectangle peut prendre une valeur quelque part entre l’aire minimale et l’aire maximale.

Puisque les longueurs L1 et L2 comportent des incertitudes, leur « vraie » valeur peut se retrouver quelque partentre les valeurs minimale et maximale de leur résultat expérimental. Ainsi, on peut minimiser l’aire du rectangle

en utilisant les valeurs minimales des résultats expérimentaux L1 et L2 :

Amin = L1min · L2min = ( 1 – L1) · ( 2 – L2)

Amin = (34 – 5) mm * (51 – 4) mm

Amin = 1363 mm2. Il est aussi possible de maximiser l’aire du rectangle à l’aide des valeurs maximales des résultats expérimentaux


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de L1 et L2 :

Amax = L1max · L2max = ( 1 + L1) · ( 2 + L2)

Amax = (34 + 5) mm + (51 + 4) mm

Amax = 2145 mm2. La « vraie » valeur de l’aire de ce rectangle devrait donc se situer quelque part entre 1363 mm2 et 2145 mm2. Enutilisant la « méthode des extrêmes », on peut trouver l’incertitude :

ΔA = =

ΔA = 391 mm2

ΔA = 391 (m·10-3)2 = 391·10-6 m2

ΔA = 3,91·10-4 m2. En respectant les règles d’écriture, on trouve :

ΔA = 4·10-4 m2. En revanche, pour déterminer la meilleure estimation, il existe deux possibilités :

1. Faire la multiplication des meilleures estimations (méthode recommandée) :

= 1 · 2 = 34 mm · 51 mm = 1734 mm2.

2. Calculer la meilleure estimation de A à l’aide des valeurs extrêmes :

= =

= 1754 mm2. Dans ce cas en particulier, les deux méthodes ne donnent pas la même réponse, même si celles-ci sont

relativement proches parce que les incertitudes de L1 et L2 sont petites. Ce décalage est dû au fait que lamultiplication de deux variables n’est pas une opération linéaire. La deuxième méthode engendre donc undécalage de la meilleure estimation et dorénavant, nous ne l’utiliserons plus dans le cas de mesures indirectes. Ainsi, en utilisant la première méthode, la meilleure estimation de A est égale à :

= 1 · 2 = 1734 mm2

= 1734 (m·10-3)2 = 1734·10-6 m2

= 1,734·10-3 m2. En tenant compte des règles d’écriture, le résultat expérimental de A est donc égal à :

A = (1,734·10-3 m2 ± 4·10-4 m2)

A = (1,7 ± 0,4) ·10-3 m2


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A = (1,7 ± 0,4) ·103 mm2.


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4.4.2 Règle simple lors de la multiplication de deux résultats expérimentaux Généralisons la démarche permettant de trouver la valeur d’un résultat expérimental qui est égal à lamultiplication de deux résultats expérimentaux positifs et indépendants :

x = a · b

où a = ± a et b = ± b. Les valeurs maximale et minimale sont données par :

xmax = amax · bmax = ( + a) · ( + b)

xmin = amin · bmin = ( - a) · ( - b). Utilisons la multiplication des meilleures estimations afin de trouver la meilleure estimation de x (méthoderecommandée) :

= · . L’incertitude, quant à elle, se trouve à partir de la « méthode des extrêmes » :

x =

x =

x = Δa · + Δb · . Cette forme de l’équation des règles simples lors de la multiplication n’est pas la plus usuelle. En divisant de partet d’autre de l’égalité par , on obtient plutôt :

.

En présentant cette équation de cette façon, on remarque que lors de la multiplication de deux résultats

expérimentaux, l’incertitude relative de x est simplement égale à la somme des incertitudes relatives de a et b.Puisque ce résultat restera valide qu’importe le signe des valeurs, que l’incertitude relative demeure toujours


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positive et que nous voulons toujours maximiser l’incertitude de x, nous allons mettre, à partir d’ici, des valeursabsolues autour des meilleures estimations :

.

Pour trouver x, il suffit de l’isoler :

Δx = · .

N’oubliez pas que plus les incertitudes sont petites comparativement aux meilleures estimations, plus vosmesures sont précises.

Règle simple lors de la multiplication de deux résultats expérimentaux

Si x = a · b,


alors = · et

Δx = · .

Notez que cette généralisation demeure vraie même si les résultats expérimentaux a et b sont négatifs.


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4.5.1 « Méthode des extrêmes » lors de la division de deux résultats expérimentaux Imaginons que nous voulions calculer la vitesse d’un vélo à partir de la distance parcourue d par celui-ci et du

temps écoulé t, où = 2700 m et = 560 s :

= = = 4,8214 … m/s.

Figure 4.5.1 La vitesse du vélo dépend de la distance parcourue et du temps nécessaire pour effectuer cettedistance. Supposons que nous ayons déterminé, en tenant compte des données fournies par le fabriquant de l’odomètre etdu chronomètre, et du contexte expérimental, que leur incertitude sont :

d = 3 m et t = 5 s. Les résultats expérimentaux de d et t valent donc :

d = (2700 ± 3) m et t = (560 ± 5) s. Puisque la distance d et le temps t ont chacun une incertitude, il est possible de minimiser ou maximiser la

vitesse v du vélo. Par contre, pour minimiser la vitesse v, il ne suffit pas d’utiliser les valeurs minimales de d et

de t. En effet, à cause de la division, il faut utiliser la valeur minimale de d, mais aussi la valeur maximale de t(en divisant par un plus gros chiffre, on diminue la valeur de v) :

vmin = =

vmin = = 4,7734 … m/s.

De plus, il est possible de maximiser la vitesse v à l’aide de la valeur maximale de d et de la valeur minimale de t:


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vmax = =

vmax = = 4,8702… m/s.

La « vraie » valeur de la vitesse du vélo devrait donc se situer quelque part entre 4,77345 … m/s et 4,87027…m/s. On utilise ensuite la « méthode des extrêmes » afin de trouver l’incertitude de v :

Δv = =

Δv = 0,048409… m/s. En respectant les règles d’écriture, on trouve :

Δv = 0,05 m/s. Afin d’obtenir la meilleure estimation, nous allons simplement diviser les meilleures estimations (méthoderecommandée) :

= = = 4,8214 … m/s.

En tenant compte des règles d’écriture, le résultat expérimental de v est égal à :

v = (4,8214… ± 0,05) m/s

v = (4,82 ± 0,05) m/s.


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4.5.2 Règle simple lors de la division de deux résultats expérimentaux Généralisons la démarche permettant de déterminer la valeur d’un résultat expérimental qui est égal à la divisionde deux résultats expérimentaux positifs et indépendants :

x =

où a = ± a et b = ± b. Les valeurs minimale et maximale sont données par :

xmin = =

xmax = = .

Utilisons la division des meilleures estimations afin de trouver la meilleure estimation de x :

= .

L’incertitude, quant à elle, se trouve à partir de la « méthode des extrêmes » :

x =

Δx =

Δx = .

Afin de simplifier cette équation, nous allons supposer que les incertitudes sont beaucoup plus petites que lesmeilleures estimations. Ainsi, le terme b2, qui représente le carré d’une incertitude très petite, est négligeable

par rapport à 2 :


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Δx =

Δx =

Δx = .

Cette façon de présenter l’équation des règles simples lors de la division n’est pas la plus usuelle. En divisantchaque terme de l’égalité par , on obtient la même équation que pour la multiplication de deux résultatsexpérimentaux :

= où =

.

Encore une fois, l’incertitude relative de x est simplement égale à la somme des incertitudes relatives de a et b.De plus, afin de nous assurer que l’incertitude relative soit toujours positive et afin de maximiser en tout tempsl’incertitude de x, nous allons mettre des valeurs absolues autour des meilleures estimations :

.

Pour trouver Δx, il suffit de l’isoler :

Δx = · .

N’oubliez pas que vous ne pouvez utiliser cette équation que lorsque les incertitudes sont petitescomparativement aux meilleures estimations.

Règle simple lors de la multiplication et de la division de deux résultats expérimentaux

Si x = a · b ou x = ,



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alors = · ou = et

Δx = · .

Notez que cette généralisation demeure vraie même si les résultats expérimentaux a et b sont négatifs.


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4.6.1 Règle simple lorsqu’un résultat expérimental est mis à l’exposant Il est possible de trouver une règle simple lorsqu’un résultat expérimental est égal à un résultat expérimental misà l’exposant. Afin de simplifier la situation au maximum, commençons par une fonction qui dépend d’un résultatexpérimental positif mis au carré :

x = a2

où a = ± a.

On constate immédiatement qu’un terme au carré n’est, en fait, que la multiplication d’un terme par lui-même :

x = a2 = a · a. Les valeurs minimale et maximale sont données par :

xmax = amax · amax = ( + a) · ( + a)

xmin = amin · amin = ( - a) · ( - a). Utilisons la multiplication des meilleures estimations afin de trouver la meilleure estimation de x (méthoderecommandée) :

= · = 2. L’incertitude, quant à elle, se trouve à partir de la « méthode des extrêmes » :

x =

x =

x = a · + a ·

x = 2 a · . En divisant chaque terme de l’égalité par , on obtient :

= 2 · où = · .

L’incertitude relative de x est donc égale à deux fois l’incertitude relative de a. On remarque aussi que la valeur

du terme qui multiplie l’incertitude relative de a, c’est-à-dire le chiffre 2, est égale à la valeur de l’exposant de adans l’équation x = a2. À partir de cette constatation, tentons une généralisation lorsqu'un résultat expérimentalest mis à l’exposant :


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Si, lorsque x = a2, = 2 · ,

alors, lorsque x = an, = |n| · .

Notez que la valeur de l’exposant n a été mise en valeur absolue ainsi que les valeurs des meilleures estimations.Cela est nécessaire puisqu’un exposant négatif ou une meilleure estimation négative ne doivent pas donner uneincertitude relative négative : celle-ci est, par définition, toujours positive (voir section 1.4). De plus, cettegénéralisation, même si elle est vraie, sera prouvée de façon plus rigoureuse à l’aide de la méthode différentielle(section 4.8.5).

Règle simple lorsqu’un résultat expérimental est mis à l’exposant

Si x = an,

avec a = ± a,

alors = n et

x = = |n| · · | |.


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4.7 Présence d’une constante sans incertitude dans le calcul d’un résultat expérimental Mesurons le diamètre D d’un cercle à l’aide d’une règle en tenant compte de l’incertitude due à la résolution decet instrument et à l’incertitude due au contexte expérimental :

D = (4,3 ± 0,2) cm.

Figure 4.7.1 Le rayon d’un cercle peut être calculé à partir de son diamètre. Imaginons maintenant que nous voulions connaître le résultat expérimental du rayon R de ce cercle à l’aide du

diamètre D de celui-ci. Pour cela, il faut d’abord savoir que le rayon d’un cercle est égal à la moitié de sondiamètre :

R = .

Dans cette situation, une constante n’ayant pas d’incertitude est insérée dans le calcul d’un résultat expérimental.Il faut donc trouver une façon de calculer l’incertitude d’un résultat expérimental en présence d’une constante quin’a pas d’incertitude. Dans les quelques exemples qui suivent, nous verrons que nous pouvons, à partir des règlessimples vues précédemment, traiter n’importe quel cas impliquant une constante sans incertitude dans le calculd’un résultat expérimental. 4.7.1 Le cas d’une constante qui divise un résultat expérimental Pour trouver le résultat expérimental du rayon R à partir du diamètre D, il suffit de se référer à ce que nousavons vu précédemment lors de la division de résultats expérimentaux (voir la section 4.5.2). Premièrement,pour trouver la meilleure estimation de R, utilisons la meilleure estimation de D :

= = = 2,15 cm.

Pour trouver l’incertitude de R, on peut appliquer la règle simple lors d’une division (voir section 4.5.2) ensupposant que la constante 2 est une variable (il s’agit d’un petit abus de langage mathématique qui nouspermettra d’appliquer les règles simples lors de la présence d’une constante dans une équation). De plus, il y aune subtilité très importante qu’il faut bien comprendre : la constante 2 n’a pas d’incertitude. En effet, noussavons que par définition, le rayon d’un cercle est bel et bien égal, sans ambigüité, à la moitié du diamètre. Ainsi,nous allons supposer que la constante 2 est une variable et que son incertitude, Δ2, est égale à zéro ( 2 = 0). Enappliquant la règle simple de la division à notre équation, cela donne :


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R =

R =

R = .

Soulignons qu’en divisant par | | de chaque côté de l’égalité, cette équation implique que l’incertitude relativede R est égale à l’incertitude relative de D :

.

En appliquant les valeurs numériques à cette équation, nous trouvons :

R = =

R = 0,099999 … cm. En respectant les règles d’écriture, le résultat expérimental de R est égal à :

R = (2,15 ± 0,099999 ... ) cm

R = (2,2 ± 0,1) cm. Notez qu’il est normal que l’incertitude du rayon R soit deux fois plus petite que celle du diamètre D. En effet,

lorsqu’une constante divise un résultat expérimental, on constate que l’incertitude relative de R est égale à

l’incertitude relative de D : cela implique donc que R doit être deux fois plus petite que D.


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4.7.2 Le cas d’une constante qui multiplie un résultat expérimental Imaginons maintenant que nous devions trouver le résultat expérimental de la circonférence d’un cercle à partirde son diamètre D en supposant que :

D = (4,3 ± 0,2) cm.

Figure 4.7.2 La circonférence d’un cercle peut être calculé à partir de son diamètre. Tout d’abord, il faut savoir qu’il y a relation entre la circonférence d’un cercle et son diamètre: le rapport de lacirconférence sur le diamètre est toujours égal à .

=

Ainsi, la circonférence d’un cercle est égale à :

C = D. Pour trouver le résultat expérimental de la circonférence C à partir du diamètre D, il suffit de se référer à ce quenous avons vu précédemment lors de la multiplication de résultats expérimentaux (section 4.4.2). Premièrement,pour trouver la meilleure estimation de C, utilisons la meilleure estimation de D :

= = · 4,3 cm = 13,5088… cm.

Pour trouver l’incertitude de C, on peut appliquer la règle simple lors d’une multiplication (voir section 4.4.2) ensupposant, une fois de plus, que la constante ( ) est une variable. De plus, il faut savoir que la constante a unnombre infini de décimales et n’a donc pas d’incertitude. En appliquant la règle simple de la multiplication à notreéquation, et en posant que = 0, on obtient :

C = ·| |

C = ·| |


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C = ·| |

= .

Cette équation nous indique encore une fois que l’incertitude relative de C et D est la même. En appliquant lesvaleurs numériques à cette équation, nous trouvons :

C = · 13,50884… cm

C = 0,628318 … cm. Notez qu’il est normal que l’incertitude de la circonférence C soit plus grande que celle du diamètre D. En effet,

lorsqu’une constante multiplie un résultat expérimental, nous venons de voir que l’incertitude relative de C est

égale à l’incertitude relative de D : cela implique donc que C doit être plus grande que D. En respectant les règles d’écriture, le résultat expérimental de C est égal à :

C = (13,5088… ± 0,62831…) cm

C = (13,5 ± 0,6) cm.


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4.7.3 Le cas d’une constante au numérateur et d’un résultat expérimental audénominateur Imaginons que nous voulions trouver le résultat expérimental de la fréquence d’une onde sonore ( f ) à partir de

sa période ( T ). Pour effectuer ce calcul, nous savons que la fréquence ( f ), qui représente le nombre

d’oscillations par seconde, est égale à l’inverse de la période ( T ). En effet, par définition, la période ( T )représente justement le temps nécessaire pour faire une oscillation complète, c'est-à-dire l’inverse du nombred’oscillations par seconde :

f = .

Dans cet exemple, nous allons supposer que :

T = (0,026 ± 0,004) s. Premièrement, il faut trouver la meilleure estimation de f (dont l’unité, qui représente l’inverse d’une seconde(1/s), est le hertz (Hz)) :

= = = 38,46154 … Hz.

Pour trouver l’incertitude de f, on peut appliquer la règle simple lors d’une division (voir section 4.5.2) ensupposant que la constante (1) est une variable et que 1 = 0 :

f = · | |

f = · | |

f = · | |.

En appliquant les valeurs numériques à cette équation, nous obtenons :

f = · 38,46154 … Hz

f = 5,91716 … Hz. En respectant les règles d’écriture, le résultat expérimental de f est égal à :

f = (38,4615 … ± 5,91716 …) Hz

f = (38 ± 6) Hz.


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4.8 La méthode différentielle afin de prouver les règles simples Pour les étudiants qui ont déjà fait le premier cours de mathématique différentiel au niveau collégial, voici uneautre façon de trouver les règles simples. Ainsi, depuis ce cours, nous savons que (lorsque x et y sont trèspetits) :

= .

Pour trouver y, on doit simplement l'isoler :

y = · x

Si on pose que la variation x correspond à l’incertitude de x, on peut alors dire que la valeur de y obtenue par

ce calcul correspond à l’incertitude de y. En revanche, si y ne dépend pas seulement de x, mais aussi d’une autre

variable indépendante comme le temps (t), chacune d’elles provoquera une variation y. Ainsi, il faudra tenir

compte des contributions de chaque variable afin de trouver l’incertitude totale y. Afin d’exprimer la pente de yen fonction de chacune des variables, nous allons utiliser les dérivées partielles. On les obtient en dérivant chaquevariable indépendamment en supposant, pour chacune d’elles, que les autres variables sont constantes. Parexemple, lorsque y dépend de la position (x) et du temps (t), cela donne :

y = x + t

Lorsqu’on procède ainsi pour déterminer l’incertitude, on dit qu’on utilise la méthode différentielle. Dernièreprécaution : puisque y correspond à une incertitude, il faut s’assurer que celle-ci soit toujours positive etmaximisée. Ainsi, il faut ajouter des valeurs absolues aux dérivées partielles puisque celles-ci peuvent êtrenégatives :

y = x + t.

Dans les prochaines sections, nous allons utiliser la différentielle totale première afin de prouver, une fois de plus,les règles simples définies précédemment. Naturellement, pour appliquer cette méthode de façon adéquate,l'incertitude de chaque mesure doit être petite.


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4.8.1 Le cas de l’addition de deux résultats expérimentaux Dans cette section, utilisons la différentielle totale première afin de prouver la règle simple lors de l’addition derésultats expérimentaux. Ainsi, imaginons la somme de deux résultats expérimentaux indépendants :

x = a + boù a = ± a et b = ± b.

Pour trouver la meilleure estimation, il faut simplement calculer la somme des meilleures estimations :

= + . Pour trouver l’incertitude, utilisons la méthode différentielle. Dans le but d’alléger l’écriture, nous allons, à partir

de maintenant, écrire toutes nos dérivées par rapport aux résultats expérimentaux de a et b, plutôt que par

rapport aux meilleures estimations de a et b :

x = a + b

x = a + b

x = |1 + 0| a + |0 +1| b

x = a + b. Nous obtenons exactement le même résultat que par la méthode des règles simples :

Si x = a + b,


alors = + et

x = a + b.


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4.8.2 Le cas de la soustraction de deux résultats expérimentaux Pour ce qui est du cas de la soustraction, le raisonnement est le même. Par exemple, prenons l’équationsuivante :

x = a - boù a = ± a et b = ± b.

Pour trouver la meilleure estimation, il faut simplement faire la différence des meilleures estimations :

= - . Pour trouver l’incertitude, utilisons la méthode différentielle :

x = a + b

x = a + b

x = |1 + 0| a + |0 - 1| b

x = a + b. Ici, l’une des dérivées partielles fait apparaitre un signe moins dans le résultat. N’oubliez pas qu’afin de toujoursdéterminer l’incertitude maximale, il importe de considérer la valeur absolue des résultats des dérivées partielles.Ainsi, l’incertitude lors d’une soustraction donne exactement le même résultat que par la méthode des règlessimples :

Si x = a - b,

avec a = ± a et b = ± b.

alors = - et

x = a + b.


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4.8.3 Le cas de la multiplication de deux résultats expérimentaux Imaginons la multiplication de deux résultats expérimentaux indépendants :

x = a · boù a = ± a et b = ± b.

Pour trouver la meilleure estimation, il faut simplement faire la multiplication des meilleures estimations :

= · . Pour trouver l’incertitude, utilisons la méthode différentielle :

x = a + b

x = a + b

x = |b| a + |a| b. En divisant chaque terme de l’égalité par | |, on obtient :

Pour trouver x, il suffit de l’isoler :

Δx = · .

Cela donne exactement le même résultat que par la méthode des règles simples :

Si x = a · b,


alors = · et

Δx = · .


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4.8.4 Le cas de la division de deux résultats expérimentaux Imaginons la division de deux résultats expérimentaux indépendants :

x =

où a = ± a et b = ± b. Pour trouver la meilleure estimation, il faut simplement faire la division des meilleures estimations :

= .

Pour trouver l’incertitude, utilisons la méthode différentielle :

x = a + b

x = a + b

x = a + b

x = + b.

En divisant chaque terme de l’égalité par | |, on obtient :

.

Pour trouver Δx, il suffit de l’isoler :

Δx = · .



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Si x = ,


alors = et

Δx = · .


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4.8.5 Le cas d’un résultat expérimental mis à l’exposant Imaginons un résultat expérimental mis à l’exposant :

x = an

où a = ± a. Pour trouver la meilleure estimation, il faut simplement appliquer l’exposant à la meilleure estimation :

= n. Pour trouver l’incertitude, utilisons la méthode différentielle :

x = a

x = a

x =| n ∙ an - 1| a. En divisant chaque terme de l’égalité par | |, on obtient :

= |n| · .

En isolant x, on trouve :

x = = |n| · · | |.


Si x = an,

avec a = ± a,

alors = n et

x = = |n| · · | |.


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4.9 L’incertitude provenant de fonctions complexes (méthode des règles simples)

En résumé, voici les règles simples que nous avons vues précédemment lorsque a = ± a et b = ± b :

Addition ou soustraction :

Si x = a + b ou x = a - b,

alors = + ou = - et

Δx = Δa + Δb.

Multiplication ou division :

Si x = a · b ou x = ,

alors = · ou = et

Δx = · .

Exposant :Si x = an,

alors = n et

x = = |n| · · | |.

Constante sans incertitude :

Utiliser les règles simples en supposant que la constanteest une variable dont l'incertitude est égale à zéro.

Pour trouver un résultat expérimental issu de plusieurs types d’opérations, il faut appliquer les règles simples defaçon successive en respectant les priorités d’opération de l’algèbre linéaire. Par contre, nous n’utiliserons pas lesrègles simples dans le cas de fonctions trigonométriques, exponentielles, logarithmiques ou autres. En effet, avecce genre d’équation, la « méthode des extrêmes » et la méthode différentielle (que nous verrons plus en détaildans la prochaine section) sont plus appropriées. Pour appliquer les règles simples, il faudra s’assurer, à chaque fois, que la fonction ne tende pas vers l’infini dansl’intervalle que nous avons ciblé et qu’elle soit strictement croissante ou strictement décroissante dans ce mêmeintervalle. Si on a un doute, il faut faire un graphique en se référant aux sections 4.10.2 et 4.10.3, ou vérifier lerésultat de la dérivée (voir section 4.11.1).


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4.9.1 Les fonctions complexes composées de plusieurs types d’opération mathématique(addition, soustraction, multiplication et division)

Voici une équation de la cinématique permettant de connaître la vitesse vx d’un objet à partir de sa vitesse initiale

vox, de son accélération ax, et de l’intervalle de temps écoulé entre l’instant initial ti et l’instant final tf :

vx = vox + ax (tf – ti).

Figure 4.9.1 Voiture allant vers la droite en accélérant.

Ce genre d’équation est composé de plusieurs types d’opérations mathématiques. Les règles simples ont étéélaborées spécifiquement dans le but de calculer l’incertitude dans ce genre de cas. Dans cet exemple, supposonsque nous ayons déterminé la meilleure estimation et l’incertitude de chaque résultat expérimental en nousservant de leur instrument respectif, en utilisant les incertitudes fournies par les fabricants (odomètre,accéléromètre et chronomètre) et en estimant les incertitudes provenant du contexte expérimental :

vox = (13 ± 2) m/s

ax = (1,34 ± 0,06) m/s2

ti = (12,8 ± 0,2) s

tf = (18,5 ± 0,8) s.

Ici on note que dans l’intervalle de variation de nos variables, la fonction ne comporte aucun maximum ouminimum local et ne tend pas vers l’infini. Ces conditions sont nécessaires pour pouvoir appliquer les règlessimples de façon adéquate. Pour trouver un résultat expérimental issu de plusieurs types d’opération, il fautappliquer les règles simples de façon successive en respectant les priorités d’opération habituelles. Regrouponscertains termes de l’équation afin de simplifier l’application de la méthode des règles simples. Dans cet exemple,posons que :

où A = ax B et B = (tf – ti).

Afin de respecter les priorités d’opération, le terme B sera traité en premier. Ainsi, la meilleure estimation de Bdépend des meilleures estimations de tf et ti :

= f - i


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= 18,5 s – 12,8 s = 5,7 s.

D’après les règles simples, lors d’une soustraction, l’incertitude de B est simplement égale à la somme des

incertitudes de tf et ti :

B = tf + tiB = 0,8 s + 0,2 s = 1,0 s.

Ensuite, utilisons les meilleures estimations de ax et B afin de trouver la meilleure estimation de A :

= x ·

= 1,34 m/s2 · 5,7 s = 7,638 m/s.

À cause de la multiplication, l’incertitude de A dépend de la somme des incertitudes relatives de ax et B :

A = · | |

A = · 7,638 m/s = 1,682 m/s.

N’oubliez pas, comme nous l’avons mentionné à la section 4.1.3, qu’il est important de garder, lors de calculsintermédiaires, le plus grand nombre de chiffres significatifs lors de chaque étape. Sinon, au fur et à mesure desétapes du calcul, nous risquons de décaler notre réponse finale parce que nous aurons utilisé des valeurs trop peuprécises. Finalement, la meilleure estimation de vx dépend des meilleures estimations de vox et A :

= +

= 13 m/s + 7,638 m/s = 20,638 m/s.

L’incertitude de vx, quant à elle, dépend de la somme des incertitudes de vox et A :

vx = vox+ Avx = 2 m/s + 1,682 m/s = 3,682 m/s.

En tenant compte des règles d’écriture, le résultat expérimental de vx est égal à :

vx = (20,638 ± 3,682) m/s

vx = (21 ± 4) m/s.


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*** Rappel des règles simples ***

En résumé, voici les règles simples que nous avons vues précédemment lorsque a = ± a et b = ± b :

Addition ou soustraction :

Si x = a + b ou x = a - b,

alors = + ou = - et

Δx = Δa + Δb.

Multiplication ou division :

Si x = a · b ou x = ,

alors = · ou = et

Δx = · .

Exposant :Si x = an,

alors = n et

x = = |n| · · | |.

Constante sans incertitude :

Utiliser les règles simples en supposant que la constanteest une variable dont l'incertitude est égale à zéro.


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4.9.2 Les fonctions complexes composées de plusieurs types d’opération mathématique(exposants et constantes n’ayant pas d’incertitude)

Voici l’exemple d’une fonction permettant de trouver la fréquence f d’un système bloc-ressort oscillant sur une

surface sans frottement à partir de la constante de rappel k d’un ressort et des masses m1 et m2 accrochées auressort :

f = .

Figure 4.9.2 Masses oscillant autour d’une position d’équilibre à une fréquence f.

Afin de simplifier l’application des règles simples, nous allons regrouper des termes :

où A = m1 + m2, B = k/A et C = B1/2.

Dans cet exemple, supposons que :

k = (22,4 ± 0,2) N/m

m1 = (0,0500 ± 0,0004) kg

m2 = (0,102 ± 0,003) kg.

Ici, on note que dans l’intervalle de variation de nos variables, cette fonction ne comporte aucun maximum ouminimum local et ne tend pas vers l’infini. Ces conditions sont nécessaires pour pouvoir appliquer les règlessimples de façon adéquate. Afin de respecter les priorités d’opération, le terme A sera traité en premier. Ainsi, la

meilleure estimation de A dépend des meilleures estimations de m1 et m2 :

= 1 + 2

= 0,0500 kg + 0,102 kg = 0,1520 kg.


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D’après les règles simples, lors d’une addition, l’incertitude de A est simplement égale à la somme des

incertitudes de m1 et m2 :

A = m1 + m2

A = 0,0004 kg + 0,003 kg = 0,0034 kg.

N’oubliez pas, comme nous l’avons mentionné à la section 4.1.3, qu’il est important de garder, lors de calculsintermédiaires, le plus grand nombre de chiffres significatifs lors de chaque étape. Sinon, au fur et à mesure desétapes du calcul, nous risquons de décaler notre réponse finale parce que nous aurons utilisé des valeurs trop peuprécises. Ensuite, utilisons les meilleures estimations de k et A afin de trouver la meilleure estimation de B :

=

= = 147,36 … s-2.

À cause de la division, l’incertitude de B dépend de la somme des incertitudes relatives de k et A :

B = ·| |

B = · 147,36 … s-2 = 4,6121 … s-2.

L’étape suivante consiste à trouver la meilleure estimation de C à partir de la meilleure estimation de B :

= 1/2

= (147,36 … s-2)1/2 = 12,139 … s -1.

Puisque l’exposant de B est égal à ½, nous savons, d’après les règles simples, que l’incertitude de C est égale à :

C = ·| |

C = · · 12,139 … s -1 = 0,18997 … s -1.

Finalement, la meilleure estimation de la fréquence f, qui s’exprime en hertz (Hz, où 1 Hz = 1 s-1), est donnée


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par :

= ·

= ·12,139 … Hz = 1,9320 … Hz.

D’après les règles simples, dans le cas de la multiplication, l’incertitude de f dépend de la somme des incertitudes

relatives de la constante (1/2 ) et de C. Si on suppose que la constante (1/2 ) n’a pas d’incertitude, on arrivefinalement à :

f = ·| |

f = · 1,9320 … Hz = 0,030235 … Hz.

En tenant compte des règles d’écriture, le résultat expérimental de f est égal à :

f = (1,9320 … ± 0,030235 …) Hz

f = (1,93 ± 0,03) Hz.


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4.10 L’incertitude provenant de fonctions complexes (méthode des extrêmes)

Nous venons de voir, dans les sections précédentes, une façon de calculer un résultat expérimental issu, entreautres, de l’addition, de la soustraction, de la division et de la multiplication de deux résultats expérimentaux.Cependant, le calcul de l’incertitude provenant de certaines équations contenant des fonctions sinusoïdales,exponentielles, logarithmiques ou autres, ne peut être trouvé à partir de ces règles simples. Dans cette section,nous allons utiliser la « méthode des extrêmes » pour trouver l’incertitude provenant de pratiquement n’importequelles fonctions. 4.10.1 Les fonctions complexes strictement croissantes ou décroissantes dansl’intervalle ciblé

Voici l’exemple d’une fonction complexe pour laquelle les règles simples vues précédemment ne sont pas utiles :la fonction sinus.

y = sin .

Supposons que nous voulions trouver le résultat expérimental de y à partir de l’angle = (24 ± 4)°. Toutd’abord, on note que cette fonction ne tend pas vers l'infini dans l'intervalle ciblé puisque la valeur d'une fonctionsinus ne peut jamais être, plus grande que 1 et plus petite que -1. De plus, si nous voulons utiliser les valeursminimale et maximale de , il est important de nous assurer d’une chose : la fonction doit être strictementcroissante ou strictement décroissante dans l’intervalle que nous avons ciblé. Sinon, les valeurs de ymin et ymaxne proviendront pas nécessairement de min et max, mais possiblement d’un angle correspondant au maximum

ou au minimum de la fonction y. Pour nous assurer que la fonction y est strictement croissante ou strictementdécroissante lorsque l’angle = (24 ± 4)° (c'est-à-dire lorsque l’angle est entre 20° et 28°), il est possibled’utiliser un graphique (la méthode différentielle peut aussi être utilisée, mais nous verrons cette méthode à lasection 4.11.1) :

Figure 4.10.1.1 La pente d’un sinus est croissante lorsque l’angle est entre 20° et 28°.


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Comme nous pouvons le constater, cette fonction est strictement croissante entre = 20° et = 28°. Ainsi, il estpossible de minimiser y en utilisant la valeur minimale de et de maximiser y en utilisant la valeur maximale de

:

ymin = sin( min) = sin( - ) = sin(24° - 4°) = 0,34202 …

ymax = sin( max) sin( + ) = sin(24° + 4°) = 0,46947 ... Pour trouver l’incertitude de y, il suffit d’appliquer la « méthode des extrêmes » :

y =

y =

y =

y = 0,06373 ...

y = 0,06. Pour trouver la meilleure estimation de y, il faut utiliser la meilleure estimation de :

= sin

= sin 24°

= 0,40674 ...

En tenant compte des règles d’écriture, le résultat expérimental de y est égal à :

y = 0,40674 ± 0,06

y = 0,41 ± 0,06.


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Figure 4.10.1.2 Résultat expérimental d’une fonction sinusoïdale.


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4.10.2 Les fonctions complexes passant par un maximum ou un minimum local

Si une fonction complexe passe par un minimum ou un maximum local dans l’intervalle que nous avons ciblé,nous devons nous assurer de prendre réellement les valeurs maximales et minimales de cette fonction. Prenonsl’exemple de la fonction cosinus lorsque = (3 ± 5)° :

x = cos .

Figure 4.10.2.1 Fonction cosinus passant par un maximum local dans l’intervalle ciblé.

Puisque cette fonction passe par un maximum à = 0° :

xmax = cos 0°

xmax = 1.

De plus, on remarque que cette fonction est minimale lorsque l’angle est maximal ( = 8°) :

xmin = cos max = cos 8°

xmin = 0,99027 …

Pour trouver l’incertitude de x, il faut simplement appliquer la « méthode des extrêmes » :

x =

x =

x = 0,0048659 …


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Pour trouver la meilleure estimation de x, il faut utiliser la meilleure estimation de :

= cos

= cos 3° = 0,99863 ...

En respectant les règles d’écriture, on trouve :

x = 0,99863 ... ± 0,0048659 …

x = 0,999 ± 0,005. Par contre, il y a un problème avec ce résultat expérimental et il ne faut pas l’utiliser tel quel. En effet, le cosinusd’un nombre réel ne peut admettre une valeur plus grande que 1.

Figure 4.10.2.2 Le cosinus d’un nombre réel ne peut jamais avoir une valeur plus grande que 1 : l’application desincertitudes symétriques telle que nous l’avons vu n’est donc pas souhaitable dans ce cas. Pour remédier à la situation, il pourrait être intéressant d’utiliser, pour ce cas d’exception, des incertitudesasymétriques. Les valeurs minimale et maximale pourraient alors délimiter le résultat expérimental autour de lameilleure estimation. De cette façon, le cosinus ne dépasserait jamais sa valeur maximale, ni sa valeur minimale.

xinférieure = – xmin = 0,99863 ... - 0,99027 … = 0,00836 = 0,008

xsupérieure = xmax – = 1 - 0,99863 ... = 0,00137 = 0,001. Ainsi, en utilisant les incertitudes asymétriques, le résultat expérimental est égal à :

x =


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Figure 4.9.2.3 Application des incertitudes asymétriques dans le cas d’une fonction cosinus passant par unmaximum local. Nous venons de voir une situation où les incertitudes asymétriques prennent tout leur sens. Néanmoins, si voustenez absolument à avoir une incertitude symétrique tout en ayant un cosinus dont la valeur ne dépasse pas 1,vous devez utiliser les extrêmes pour l’incertitude, mais aussi pour la meilleure estimation :

x =

x =

x = 0,0048659 …

=

=

= 0,99514 … En respectant les règles d’écriture, cela donne :

x = 0,995 ± 0,005 Le prix à payer, dans ce cas-ci, est de se retrouver une meilleure estimation de x décalée par rapport à cellecalculée à partir de la meilleure estimation de l'angle .


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4.10.3 Les fonctions complexes pouvant tendre vers l’infini

Il est important de comprendre que la « méthode des extrêmes » a des limites. Par exemple, si une fonction tendvers l’infini dans l’intervalle que nous avons ciblé, il est impossible de trouver le résultat expérimental puisquel’incertitude peut alors tendre vers l’infini. Par exemple, la fonction tangente lorsque = (87 ± 3)° :

z = tan

Figure 4.10.3 Fonction tangente.

En se servant du graphique, on remarque que cette fonction est strictement croissante entre = 84° et = 90°.Utilisons la « méthode des extrêmes » pour trouver l’incertitude de z :

z =

z =

z =

z =


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z = .

Ainsi, dans ce genre de situation, il n’est pas possible de déterminer l’incertitude puisque celle-ci tend vers l’infini.


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4.10.4 Les fonctions complexes composées de plusieurs types d’opérationmathématique (méthode des extrêmes)

Nous avons déjà démontré avec succès que nous pouvions utiliser les règles simples pour déterminer l’incertitudeissue d’une fonction complexe composée de plusieurs types d’opération mathématique. Ces règles simplespermettent généralement de simplifier grandement le calcul d’incertitude comparativement à la « méthode desextrêmes ». À cet égard, cette section est davantage à considérer comme un exercice intellectuel puisqu’elle tentede déterminer les incertitudes sans tenir compte des règles simples. Dans chaque exemple, nous allonsdéterminer, à l’aide de la « méthode des extrêmes », l’incertitude appliquée à des fonctions complexes. 4.10.4.1 Les fonctions complexes composées de plusieurs types d’opérationmathématique (addition, soustraction, multiplication et division)

Voici le cas d’une des équations de la cinématique permettant de connaître la vitesse vx d’un objet à partir de sa

vitesse initiale vox, de son accélération ax, et de l’intervalle de temps écoulé entre l’instant initial ti et l’instant

final tf :

vx = vox + ax (tf – ti).

Figure 4.10.4.1 Voiture allant vers la droite en accélérant.

Dans cet exemple, supposons que nous ayons déterminé la meilleure estimation et l’incertitude de chaquerésultat expérimental :

vox = (13 ± 2) m/s

ax = (1,34 ± 0,06) m/s2

ti = (12,8 ± 0,2) s

tf = (18,5 ± 0,8) s. Ici, on note que dans l’intervalle de variation de nos variables, cette fonction linéaire ne comporte aucunmaximum ou minimum local, et qu’elle ne tend pas vers l’infini. Afin de maximiser vx, on peut regrouper certainstermes de l’équation. Cela permet de simplifier l’application de la « méthode des extrêmes ». Par exemple,posons que :


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où A = ax B et B = (tf – ti). L’équation de la cinématique devient alors :

vx = vox + A.

Pour maximiser vx, il suffit d’additionner les valeurs maximales de vox et A :

vxmax = voxmax + Amax.

Puisque nous devons maximiser A et que ce terme dépend de la multiplication de ax et B, nous allons devoir

maximiser ax et B :

Amax = axmax Bmax.

Pour maximiser B, il faut maximiser tf, mais minimiser ti à cause de la présence du signe négatif devant ti :

Bmax = (tfmax – timin).

Ainsi, pour maximiser vx, il faudra utiliser adéquatement les valeurs minimale et maximale de chaque terme del’équation :

vxmax = voxmax + axmax (tfmax – timin)

vxmax = ( ox + vox) + ( x + ax)(( f + tf) – ( i - ti))vxmax = (13 + 2) m/s + ((1,34 + 0,06) m/s2) ((18,5 + 0,8) – (12,8 - 0,2)) s

vxmax = 24,38 m/s.

N’oubliez pas, comme nous l’avons mentionné à la section 4.1.3, qu’il est important de garder, lors de calculsintermédiaires, le plus grand nombre de chiffres significatifs lors de chaque étape. Sinon, au fur et à mesure desétapes du calcul, nous risquons de décaler notre réponse finale parce que nous aurons utilisé des valeurs trop peuprécises.

En appliquant le même principe, il est aussi possible de minimiser vx :

vxmin = voxmin + axmin (tfmin – timax)

vxmin = ( ox - vox) + ( x - ax)(( f - tf) – ( i + ti))vxmin = (13 - 2) m/s + ((1,34 - 0,06) m/s2) ((18,5 - 0,8) – (12,8 + 0,2)) s

vxmin = 17,016 m/s.

L’incertitude se trouve à partir de la « méthode des extrêmes » :

v =

v =

v = 3,682 m/s.


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Ensuite, utilisons les meilleures estimations afin de trouver la meilleure estimation de vx :

x = ox - x( f - i)

x = 13 m/s + (1,34 m/s2) (18,5 – 12,8) sx = 20,638 m/s.

En tenant compte des règles d’écriture, le résultat expérimental de vx est égal à :

vx = (20,638 ± 3,682) m/s

vx = (21 ± 4) m/s.

Notez que ce résultat est exactement le même qu’avec les règles simples (section 4.9.1).


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4.10.5 Les fonctions complexes composées de plusieurs types d’opérationmathématique (exposants et constantes n’ayant pas d’incertitude)

Voici l’exemple d’une fonction permettant de trouver la fréquence f d’un système bloc-ressort oscillant sur une

surface sans frottement à partir de la constante de rappel k d’un ressort et des masses m1 et m2 accrochées àcelui-ci :

f =

Figure 4.10.5 Masses oscillant autour d’une position d’équilibre à une fréquence f.

Nous allons utiliser la « méthode des extrêmes » afin de calculer l’incertitude de cette fonction qui comporte unexposant (1/2) et deux constantes n’ayant pas d’incertitude (2 et ). Dans cet exemple, supposons que :

k = (22,4 ± 0,2) N/m

m1 = (0,0500 ± 0,0004) kg

m2 = (0,102 ± 0,003) kg.

Ici, notons que dans l’intervalle de variation de nos variables, la fonction ne comporte aucun maximum ouminimum local, et qu’elle ne tend pas vers l’infini. De plus, les constantes 2 et n’ont pas à être minimisées, nimaximisées : en effet, elles n’ont pas d’incertitude.

Comme dans l’exemple précédent, nous devons regrouper certains termes de l’équation afin de maximiser f. Celapermet de simplifier l’application de la « méthode des extrêmes ». Dans cet exemple, posons que :

A = m1 + m2

L’équation de la fréquence f devient alors :

f =

À cause de présence de la division entre k et A, il faut maximiser k et minimiser A pour maximiser f :


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fmax =

Pour minimiser A, il suffit de minimiser m1 et m2 :

Amin = m1min + m2min

Ainsi, pour maximiser f, il faut utiliser adéquatement les valeurs minimale et maximale de chaque terme del’équation (la fréquence s’exprime en Hertz (Hz), où 1 Hz = 1 s-1) :

fmax =

fmax =

fmax =

fmax = 1,96275 ... Hz.

N’oubliez pas, comme nous l’avons mentionné à la section 4.1.3, qu’il est important de garder, lors de calculsintermédiaires, le plus grand nombre de chiffres significatifs lors de chaque étape. Sinon, au fur et à mesure desétapes du calcul, nous risquons de décaler notre réponse finale parce que nous aurons utilisé des valeurs trop peuprécises.

En appliquant le même principe, il est aussi possible de minimiser f :

fmin =

fmin =

fmin =

fmin = 1,90227 ... Hz.

L’incertitude se trouve à partir de la « méthode des extrêmes » :


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f =

f = = 0,030235 … Hz.

Utilisons les meilleures estimations afin de trouver la meilleure estimation de f :

=

=

= 1,93207 … Hz.

En tenant compte des règles d’écriture, le résultat expérimental de f est égal à :

f = (1,93207 … ± 0,030235 …) Hz

f = (1,93 ± 0,03) Hz.

Notez que ce résultat est exactement le même qu’avec les règles simples (section 4.9.2).


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4.11.1 Utilité de la dérivée afin de déterminer si une fonction est croissante,décroissante ou si elle passe par un extremum (minimum ou maximum)

Nous avons vu, dans les sections précédentes, que les règles simples sont issues de la méthode différentielle.Dans les prochaines sections, nous allons voir que la méthode différentielle permet aussi, comme la « méthodedes extrêmes », de trouver l’incertitude provenant de certaines équations complexes comportant des fonctionssinusoïdales, exponentielles, logarithmiques ou autres. D’après la méthode différentielle, si une fonction y dépend

de la position x et du temps t, l’incertitude de y est égale à (voir section 4.8) :

y = x + t.

Avant d’utiliser la méthode différentielle sur une fonction, nous devons nous assurer que celle-ci ne tende pasvers l’infini : sinon, nous ne pourrons l’appliquer (d’ailleurs, même la « méthode des extrêmes » et les règlessimples n’y peuvent rien dans ce cas!).

De plus, nous devons nous assurer que la fonction est strictement croissante ou strictement décroissante dansl’intervalle que nous avons ciblé. Sinon, il est préférable d’utiliser la méthode des extrêmes appliquée à unefonction passant par un minimum ou un maximum local (voir section 4.10.2).

Afin de déterminer si la fonction est strictement croissante ou décroissante, il est possible de faire un graphique.Néanmoins, il existe une alternative intéressante à la méthode graphique : la dérivée. Lorsque la dérivée estpositive en un point, la fonction est croissante tandis qu’elle est décroissante lorsque sa dérivée est négative.Lorsque la dérivée est nulle en un point, cela implique nécessairement un maximum ou un minimum local en cepoint. La fonction sinus permet d’illustrer ces situations :

y = sin


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Figure 4.11.1 La dérivée permet de savoir si la fonction est croissante, décroissante ou si elle est maximale ouminimale en un point.

Dans l’exemple ci-dessus, nous observons que la fonction sinus atteint un maximum lorsque = 90 °. Vérifionsque la dérivée de cette fonction est bel et bien égale à zéro à cet angle :

= = cos

= cos 90 °

= 0.

Ainsi, en dérivant une fonction, on peut déterminer si celle-ci passe par un maximum ou un minimum en un ouplusieurs points de l’intervalle ciblé en vérifiant si la dérivée de cette fonction est égale à zéro.

De plus, on remarque sur le graphique (Figure 4.11.1) que la pente du sinus est croissante avant le maximum,puis décroissante après le maximum. Cela veut dire que si la dérivée change de signe dans l'intervalle ciblé, il y anécessairement un maximum ou un minimum local dans cet intervalle. Vérifions que c'est bel et bien le cas pourla fonction sinus en utilisant avant maximum = 88 ° et après maximum = 92 ° :

= cos 88 ° = 0,034899 ...

= cos 92 ° = -0,034899 ...

Dans ce cas en particulier, il s'agit d'un maximum puisque la dérivée est positive avant l'extremum (la fonction estcroissante lorsque = 88 °), puis négative après l'extremum (la fonction est décroissante lorsque = 92 °).

Il existe donc deux façons permettant de savoir si une fonction passe par un extrêmum dans un intervalle ciblé àl'aide de la dérivée (à condition que les points de part et d'autres de l'intervalle soient suffisamment près l'un del'autre pour ne pas contenir plus d'un extremum) :

si la dérivée est égale à zéro en un point de l'intervalle ciblési la dérivée change de signe de part et d'autre de l'intervalle ciblé.

En conclusion, n'oubliez pas que si la fonction passe par un minimum ou un maximum local, il ne faut pas utiliserla méthode différentielle : il faut alors privilégier la « méthode des extrêmes » (voir section 4.10.2).

*** Rappel à propos des dérivées ***

Soit une fonction x(u), où u est une fonction a, alors :


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4.11.2 Incertitude provenant de fonctions complexes strictement croissantes oudécroissantes dans un intervalle ciblé (méthode différentielle)

Voici une fonction complexe : la fonction sinus.

y = sin .

Supposons que nous voulions trouver le résultat expérimental de y à l’aide de la méthode différentielle et à partirde l’angle = (24 ± 4) °. Tout d’abord, il est important de s’assurer que la fonction soit strictement croissanteou strictement décroissante dans l’intervalle ciblé. Pour cela, il est possible de tracer un graphique, mais nousallons plutôt utiliser la dérivée :

=

= cos

Calculons la valeur des dérivées de part et d'autre de l'intervalle :

= cos20° = 0,93969 … et = cos28° = 0,88295 …

Comme la dérivée est positive dans tout l’intervalle ( = 20° à 28°), on conclut que la fonction est croissante etne passe pas par un extremum. On peut donc appliquer la méthode différentielle à cette fonction pour trouverl’incertitude de y. Dans cette situation, y n'a qu'une variable et nous allons utiliser la dérivée totale plutôt que ladérivée partielle :

y = ·

y = ·

y = |cos | · . Dans le cas de fonctions trigonométriques, notons que l’incertitude de l’angle doit être exprimée en radians, etnon en degrés, afin de respecter les unités de y (analyse dimensionnelle). En effet, seul un angle exprimé enradian n’a pas d’unités puisqu’il provient d’un rapport de deux longueurs (la longueur de l’arc de cercle /circonférence), comme c’est le cas pour un sinus, un cosinus ou une tangente. Lorsque = (24 ± 4)°, celadonne :

y = |cos | rad

y = |cos 24 °| (4 °)rad

y = 0,91355 … · 0,069813 rad

y = 0,063778 … Pour trouver la meilleure estimation de y, il faut utiliser la meilleure estimation de :


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= sin

= sin 24 °

= 0,40674 ...

En tenant compte des règles d’écriture, le résultat expérimental de y est égal à :

y = 0,40674 ± 0,063778 …

y = 0,41 ± 0,06.

Notez que ce résultat est exactement le même qu’avec la « méthode des extrêmes » (section 4.10.1).

Figure 4.11.2 Résultat expérimental d’une fonction sinusoïdale.


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*** Rappel à propos des dérivées ***

Soit une fonction x(u), où u est une fonction a, alors :

4.11.3 Les fonctions complexes composées de plusieurs types d’opérationmathématique (méthode différentielle)

Voici la même équation de la cinématique que nous avons utilisée aux sections 4.9.1 et 4.10.4.1 permettant deconnaître la vitesse vx d’un objet à partir de sa vitesse initiale vox, de son accélération ax, et de l’intervalle de

temps écoulé entre l’instant initial ti et l’instant final tf :

vx = vox + ax (tf – ti)

Figure 4.11.3 Voiture allant vers la droite en accélérant.

Ce genre d’équation est composé de plusieurs types d’opération mathématique. Même si les règles simplespermettent généralement de simplifier le calcul d’incertitude provenant de fonctions complexes, nous pouvonstoujours calculer l’incertitude d’une fonction en utilisant directement la méthode différentielle. Dans cet exemple,supposons que :

vox = (13 ± 2) m/s

ax = (1,34 ± 0,06) m/s2

ti = (12,8 ± 0,2) s

tf = (18,5 ± 0,8) s.

Ici on note que dans l’intervalle de variation de nos variables, cette fonction linéaire ne comporte pas de


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maximum ni de minimum local, et qu’elle ne tend pas vers l’infini. On peut donc appliquer la méthodedifférentielle à cette fonction pour trouver l’incertitude de vx :

vx = vox + ax + tf + ti

vx = |1 + 0| vox + |1 · (tf – ti)| ax + |ax (1 – 0)| tf + |ax (0 – 1)| ti

vx = vox + |tf – ti| ax + |ax| tf + |-ax| ti

vx = 2 m/s + |18,5 – 12,8 | · 0,06 m/s + |1,34| · 0,8 m/s + |-1,34| · 0,2 m/s

vx = 2 m/s + 0,342 m/s + 1,072 m/s + 0,268 m/s

vx = 3,682 m/s. La meilleure estimation de vx, quant à elle, dépend des meilleures estimations de vox et ax, tf et ti :

x = ox + x( f + i)

x= 13 m/s + (1,34 m/s2) · (18,5 – 12,8) s

x= 20,638 m/s. En tenant compte des règles d’écriture, le résultat expérimental de vx est égal à :

vx = (20,638 ± 3,682) m/s

vx = (21 ± 4) m/s

Cette réponse est égale à ce que nous avons trouvé par les règles simples (section 4.9.1) et par la « méthode desextrêmes » (section 4.10.4).


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5 Contexte expérimental

Rappel :

Incertitude1 ( x) : Valeur mesurée ou calculée, toujours positive, qui estime un écart maximal acceptable entrela meilleure estimation et la « vraie » valeur.

Dans le cas d’une mesure directe, on l’obtient simplement en additionnant l’incertitude due à la résolution del’instrument de mesure utilisé à celle qui dépend du contexte expérimental.

Incertitude = +

x = xinstrument + xcontexte

5.1.1 Erreur aléatoire et erreur systématique Avant de continuer, définissons quelques mots de vocabulaire supplémentaires : Erreur aléatoire : Toujours présente lors d’une prise de mesure, elle se manifeste lorsqu’une mesure estrépétée. On constate alors que les meilleures estimations obtenues se distribuent au hasard autour d’une valeurcentrale. Ce type d’erreur est, en général, inclus dans l’incertitude due à la résolution de l’instrument. Par contre,selon la méthode utilisée dans une expérience donnée, elle peut être nettement plus grande. Dans ce cas, l’erreuraléatoire contribue à établir l’incertitude due au contexte expérimental. Il est possible d’évaluer son importance àl’aide d’une analyse statistique. Erreur systématique : Décalage ou déviation du résultat d’une mesure, présent à chaque mesure, dont lacontribution n’est pas aléatoire. Ce type d’erreur contribue à établir l’incertitude due au contexte expérimental.L’erreur systématique peut provenir d’un instrument de mesure mal calibré, de la manipulation maladroite d’un ouune scientifique, d’un montage inadéquat, etc. L’erreur systématique est donc difficile à détecter puisqu’ellesurvient souvent à l’insu du ou de la scientifique. L’incertitude due à l’erreur systématique devrait toujours être nulle si les instruments de mesure utilisés sontcalibrés, le montage adéquat et si l’expérience est effectuée par une personne expérimentée et rigoureuse. En casde doute, il est important de s’assurer que les appareils de mesure soient calibrés en utilisant un autre appareilservant de contrôle. De plus, la cohérence d’un résultat expérimental devrait idéalement être vérifiée à l’aided’une autre méthode expérimentale ou, lorsque c’est possible, en le comparant à une valeur théorique.

______________________________1 Souvent appelée incertitude absolue.


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5.1.2 Exemples d’erreur systématique 5.1.2.1 Erreur systématique provenant d’un instrument mal calibré Un dynamomètre (appareil servant à mesurer une force appliquée) endommagé et mal calibré, dont le ressort aété étiré au-delà des recommandations du fabricant, peut générer une erreur systématique. En effet, la valeur luesur ce dynamomètre sera nécessairement décalée par rapport à la « vraie » valeur. Pour éviter cette erreursystématique, qui aurait pour conséquence d’augmenter grandement l’incertitude due au contexte expérimental, ilfaut utiliser un autre dynamomètre fonctionnel et bien calibré.

Figure 5.1.2.1 Ces dynamomètres mesurent la force gravitationnelle d’un bloc dont la masse est de 0,1 kg. Enthéorie, nous savons que le module de la force gravitationnelle P d’un bloc de 0,1 kg est égale à P = mg = (0,1kg) · (9,8 m/s²) = 0,98 N. Ainsi, seul le deuxième dynamomètre, qui n’affiche pas une lecture d’environ 0,98 N,est défectueux et mal calibré.


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5.1.2.2 Erreur systématique provenant d’une erreur de lecture Une erreur systématique peut provenir d’un ou une scientifique qui ne lit pas un instrument de mesure de façonadéquate. Cette mesure introduira alors un décalage qui contribuera à l’incertitude due au contexte expérimental. Par exemple, nous savons que l’eau forme un ménisque vers le bas dans un tube de verre alors que le mercureforme un ménisque vers le haut. Peu importe la forme du ménisque, une lecture adéquate avec ce genred’instrument doit toujours se faire en se référant au sommet de la courbe du ménisque. Si un ou une scientifiqueutilise les extrémités du ménisque pour faire sa lecture, il ou elle introduira nécessairement une erreursystématique à sa mesure.

Figure 5.1.2.2 Éprouvette remplie d’eau (à gauche) et baromètre à mercure (à droite). Quel est le volume d’eau(Véprouvette) lu sur l’éprouvette et la hauteur de la colonne de mercure (Hmercure) lue sur le baromètre? Réponse : Véprouvette = (4,2 ± 0,1) ml, Hmercure = (764,0 ± 0,5) mm.

5.1.2.3 Erreur systématique provenant de manipulations inadéquates Lorsqu’un ou une scientifique effectue des manipulations inadéquates, il ou elle peut produire des erreurssystématiques. Par exemple, en transvidant plusieurs fois un liquide, on perd nécessairement, à chaque transfert,un peu de liquide.

Pour éviter cette perte de liquide, il faut concevoir une expérience qui minimise le transfert de liquide.


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5.2.1 Évaluation de l’incertitude due au contexte expérimental

Comme nous l’avons mentionné précédemment, l’incertitude1 ( x) est une valeur mesurée ou calculée, toujourspositive, qui estime un écart maximal acceptable entre la meilleure estimation et la « vraie » valeur. Dans le casd’une mesure directe, on l’obtient simplement en additionnant l’incertitude due à la résolution de l’instrument demesure utilisé à celle qui dépend du contexte expérimental :

Incertitude = +

x = xinstrument + xcontexte.

Pour évaluer l’incertitude due au contexte expérimental d’une mesure directe, il faut tenter de tenir compte detout ce qui pourrait produire une erreur sur la lecture. Il faut utiliser son jugement, tenter d’être le plus objectifpossible et estimer de façon approximative la contribution de chaque élément pouvant introduire un écart entre lameilleure estimation et la « vraie » valeur.

N’oubliez jamais que lors d’une mesure directe, l’incertitude n’est rien d’autre qu’un jugement quel’on pose afin d’estimer de notre mieux l’erreur globale commise.

Plusieurs erreurs aléatoires et systématiques peuvent contribuer à l’incertitude due au contexte expérimental et ilimportant d’estimer l’influence de chacune d’elle. Par exemple, tentons d’estimer, à l’aide d’un mètre, la longueurhorizontale L d’une corde élastique attachée à un crochet et tendue jusqu’à une poulie. Supposons que cettelongueur, mesurée à l’aide d’un mètre, est égale à :

L = 70,7 cm.

Figure 5.2.1.1 Corde élastique tendue entre deux points.


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Puisqu’il s’agit d’une mesure directe, il faut calculer l’incertitude de cette mesure en additionnant l’incertitude dueà la résolution de l’instrument de mesure utilisé à celle qui dépend du contexte expérimental :

L = Linstrument + Lcontexte. Tout d’abord, nous savons que l’incertitude due à la résolution d’une règle introduit une incertitude de 1 mm(section 2.2) :

Linstrument = 1 mm. Dans ce cas, nous allons supposer que l’erreur systématique est nulle puisque l’instrument de mesure utilisé estcalibré et le montage adéquat. De plus, la personne effectuant les mesures est expérimentée et rigoureuse. Leserreurs systématiques ne contribueront donc pas, pour cet exemple, à l’incertitude due au contexte expérimental. Maintenant, énumérons les autres facteurs pouvant contribuer à l’incertitude due au contexte expérimental surcette mesure :

Le point d’attache de la corde sur le crochet, dont la largeur est d’environ 2 mm, introduit donc uneincertitude de plus ou moins 1 mm.

Lcrochet = 1 mm

Figure 5.2.1.2 Le point d’attache de la corde au crochet introduit une incertitude sur la longueur de cette corde.

Le point de contact de la corde sur la poulie n’est pas défini clairement. Il y a une zone d’environ 6 mmentre le point qui ne touche clairement plus à la poulie et un autre point qui touche clairement à la poulie.L’incertitude due à cette mesure est donc d’environ 3 mm.

Lpoulie = 3 mm


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Figure 5.2.1.3 Le point de contact de la corde sur la poulie introduit une incertitude sur la longueur de la corde.

Pour trouver l’incertitude sur cette mesure, nous allons simplement calculer la somme des incertitudes dues aucontexte expérimental et à la résolution de l’instrument :

L = Linstrument + Lcontexte

L = Linstrument + ( Lcrochet + Lpoulie)

L = 1 mm + (1 mm + 3 mm)

L = 5 mm. L’incertitude, lorsque l’incertitude due au contexte expérimental n’est pas négligeable, peut donc être beaucoupplus grande que l’incertitude due à la résolution d’une règle (1 mm). En respectant les règles d’écriture, et ensachant que L = 70,7 cm, on trouve que :

L = 70,7 cm ± 5 mm

L = (70,7 ± 0,5) cm. Il est important de noter que la détermination de la valeur de l’incertitude due au contexte expérimental n’est pasune science exacte et qu’il n’existe pas qu’une seule « bonne réponse ». Par exemple, si un ou une scientifique avait déterminé, en justifiant son raisonnement, que l’incertitude autour dela poulie était plutôt de plus ou moins 2 mm, cela aurait tout aussi bien pu être acceptable :

Lpoulie = 2 mm.


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Figure 5.2.1.4 L’évaluation de l’incertitude du point de contact de la corde avec la poulie peut varier d’un ou unescientifique à l’autre.

Dans ce cas, l’incertitude de L aurait été :

L = Linstrument + Lcontexte

L = Linstrument + ( Lcrochet + Lpoulie)

L = 1 mm + (1 mm + 2 mm)

L = 4 mm. Dans cet exemple, nous remarquons néanmoins que l’ordre de grandeur de l’incertitude est le même dans lesdeux situations (5 mm vs 4 mm). Ainsi, en général, si deux scientifiques tentent indépendamment d’estimerl’incertitude d’une mesure en utilisant les mêmes instruments, ceux-ci devraient obtenir des incertitudes qui sontdu même ordre de grandeur. En effet, s’ils sont tous deux objectifs, rigoureux, et qu’ils justifient chacune desvaleurs des incertitudes dues au contexte expérimental, leurs estimations de l’incertitude devraient êtrerelativement près l’une de l’autre.

1 Souvent appelée incertitude absolue


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5.2.2 Évaluation de l’incertitude due au temps de réaction d’un être humain Le temps de réaction d’une personne face à un évènement imprévu n’est jamais nul. Par exemple, lorsqu’unconducteur ou une conductrice doit freiner à la suite d’un évènement inattendu sur la route, son temps deréaction face à l’évènement génère un décalage entre l’évènement et le moment où cette personne se met àfreiner. En effet, l’évènement doit d’abord être observé, puis analysé par le cerveau. Ensuite, le cerveau doit générer uninflux nerveux qui doit se rendre jusqu’aux membres de la personne afin qu’elle réagisse. Tout ce processus prendun certain temps et cela introduit une erreur systématique. En revanche, lorsqu’un ou une scientifique veut mesurer à quel moment se produit un évènement dans unlaboratoire, cet évènement ne devrait jamais être inattendu. Ainsi, lorsqu’un ou une scientifique est attentif à unévènement et veut mesurer, par exemple, le temps de chute d’une bille en identifiant à quel moment la billetouche le sol, celui-ci ou celle-ci peut :

anticiper le moment où la bille touche le solêtre en retard par rapport au moment où la bille touche le sol.

Malgré que le temps de réaction ne soit jamais nul, le fait que l’événement soit attendu transforme l’erreursystématique en erreur aléatoire. En effet, si un ou une scientifique mesure plusieurs fois le temps de chute d’unebille à l’aide d’un chronomètre dont la résolution est de l’ordre du centième de seconde, il ou elle sera incapablede retrouver, à chaque fois, exactement la même valeur de temps. Il ou elle mesurera alors des valeurs de tempsqui se distribueront au hasard autour d’une valeur moyenne.

Figure 5.2.2 Le temps de chute d’une bille estimé par un ou une scientifique.

Plutôt que de faire une analyse statistique de chaque situation impliquant un temps de réaction chez un ou unescientifique attentif ou attentive à un évènement, nous allons ajouter une incertitude due au contexteexpérimental de l’ordre du dixième de seconde :

ttemps de réaction = 0,1 s.


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Même si cette incertitude décrit l’erreur aléatoire qui se produit lors de la mesure d’un événement attendu, lamajorité des auteurs l’appelle incertitude due au temps de réaction. Nous allons, nous aussi, adopter cetteformulation, mais en rappelant qu’il ne s’agit pas vraiment de la mesure d’un retard systématique dû à un tempsde réaction.


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5.3.1 Évaluation de l’incertitude d’une mesure directe à l’aide de la « méthode desextrêmes » Lors d’une mesure directe, nous avons vu qu’il faut normalement calculer son incertitude en additionnantl’incertitude due à la résolution de l’instrument de mesure utilisé ( xinstrument) à celle qui dépend du contexte

expérimental ( xcontexte) :

x = xinstrument + xcontexte. Lorsqu’un ou une scientifique peut lire les valeurs minimale et maximale d’une mesure, il ou elle peut utiliser cesvaleurs extrêmes afin d’évaluer l’incertitude due, en totalité ou en partie, au contexte expérimental :

xextrêmes = .

Si un ou une scientifique estime que l’incertitude due aux valeurs minimale et maximale ( xextrêmes) est la seule

à contribuer à l’incertitude due au contexte expérimental ( xcontexte), c'est-à-dire que xextrêmes = xcontexte,alors l’incertitude est égale à :

x = xinstrument + xcontexte

x = xinstrument + xextrêmes. De plus, lorsqu’un ou une scientifique ne peut déterminer la meilleure estimation de façon directe, il ou elle peutse servir des valeurs extrêmes afin de déterminer la meilleure estimation :

= .

Dans la prochaine section, nous verrons que cette approche est particulièrement utile lors de la présence d’uneffet de parallaxe.

Preuve alternative de la valeur de l’incertitude lorsqu’un ou une scientifique n’a accèsqu’aux valeurs minimale et maximale d’une lecture Pour obtenir cette preuve, il faut tenir compte de l’incertitude due à la résolution de l’instrument ( xinstrument)lors de l’application de la « méthode des extrêmes ». En effet, en maximisant la valeur de la lecture maximale(xmax-max) et en minimisant la valeur de la lecture minimale (xmin-min), on trouve :

x =

x =


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x =

x = xinstrument +

x = xinstrument + xextrêmes.


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5.3.2 Évaluation de l’incertitude due à l’effet parallaxe Selon le point de vue d’un observateur ou d’une observatrice, la position apparente d’un objet peut varier parrapport à un repère situé en arrière-plan : c’est l’effet parallaxe. Par exemple, si le curseur d’un thermostat estplus près de la personne faisant la lecture que l’échelle graduée servant de repère, l’observateur ou l’observatricepourra lire, en fonction de sa position d’observation, une valeur de température différente.

Figure 5.3.2.1 L’effet parallaxe influence la valeur de la température lue en fonction de la position d’unobservateur ou d’une observatrice. Dans cet exemple, l’effet parallaxe a grandement été exagéré afin d’êtreillustré clairement. Cet effet introduit donc une incertitude sur la lecture due au contexte expérimental. Elle s’ajoute à l’incertitudedue à la résolution de l’instrument. Pour l’éviter, il faut que l’échelle graduée servant de repère soit complètementcollée sur le curseur ou sur l’objet à mesurer. Dans ce cas, l’échelle graduée et le curseur sont confondus etl’effet parallaxe disparait presque complètement. Par exemple, en collant une règle mince sur un objet plat, onpeut considérer que l’incertitude due à l’effet parallaxe est nulle.

Figure 5.3.2.2 L’effet parallaxe disparait presque complètement lorsqu’une règle mince est collée sur un objetplat.


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De plus, il est parfois possible de diminuer l’effet parallaxe en plaçant, si possible, un miroir derrière uninstrument. Par exemple, si un miroir est placé dernière un thermomètre gradué et que celui-ci est aligné defaçon à confondre l’instrument et sont reflet, l’effet parallaxe s’en trouve beaucoup diminué. Néanmoins, il est parfois impossible d’éviter l’effet parallaxe. Comme nous l’avons mentionné précédemment,pour certains appareils de mesures comme de vieux thermostats, l’aiguille qui indique la température estrelativement loin de l’échelle graduée servant de repère. En bougeant de gauche à droite, un observateur ou uneobservatrice pourra lire des valeurs différentes de température. Les valeurs extrêmes peuvent alors servir àtrouver le résultat expérimental de la température et permet de tenir compte de l’effet parallaxe. Ainsi, dans l’exemple de l’effet parallaxe ci-dessus (Figure 5.3.2.1), voici ce qu’un ou une scientifique voit enplaçant sa tête légèrement à gauche, puis légèrement à droite :

Tmax = 21,0 °C

Tmin = 15,0 °C

Textrêmes = = = 3,0 °C.

Si l’on suppose, dans ce cas, que l’incertitude due à l’effet parallaxe ( Textrêmes) est la seule à contribuer à

l’incertitude due au contexte expérimental ( Tcontexte), on sait que (section 5.3.1) :

T = Tinstrument + Tcontexte

T = Tinstrument + Textrêmes

T = (0,5 °C) + (3,0 °C)

T = 3,5 °C. Les valeurs extrêmes peuvent aussi être utilisées pour trouver la meilleure estimation de la température :

=

= = 18,0 °C.

En respectant les règles d’écriture, on trouve :

T = (18 ± 4) °C.


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5.4.1 Incertitude provenant d’un petit nombre de mesures répétées Nous avons vu, dans les sections précédentes, comment évaluer l’incertitude d’une mesure provenant d’uninstrument gradué (à une ou deux lectures) et d’un appareil de mesure numérique (avec ou sans les incertitudesfournies par le fabricant). De plus, nous savons maintenant qu’il est important de tenir compte du contexteexpérimental lors de l’évaluation de l’incertitude d’une mesure directe. Par contre, lorsqu’un ou une scientifique veut s’assurer de la qualité d’une mesure, il ou elle devrait toujoursrépéter une mesure. Cette répétition est particulièrement utile lorsqu’on considère que le contexte expérimentalpourrait être à l’origine d’une erreur aléatoire importante. Une seule mesure aurait alors tendance à sous-évaluerl’incertitude. En général, pour déterminer l’importance de l’erreur aléatoire sur l’incertitude provenant d’une mesure répétée, ilfaut plus de 30 lectures. Ce nombre, qui provient de la « loi normale » en statistique, nous permet de faire uneanalyse statistique rigoureuse et complète de l’écart type, c'est-à-dire de l’écart typique entre les valeurs lues etla valeur moyenne. Si l’échantillon de mesures respecte les lois de la statistique, les valeurs lues devraient serépartir selon une distribution normale en forme de cloche autour de la valeur moyenne.

Figure 5.4.1.1 Distribution normale en forme de cloche obtenue en estimant à plusieurs reprises le temps dechute d’une bille. La fonction f(t) représente la densité de probabilité d’obtenir une valeur de temps. Dans ce cas,on voit que cette distribution est répartie autour d’une valeur moyenne égale à 2 secondes. Cependant, la lecture et l’analyse d’un grand nombre de mesures ne sont pas toujours réalisables. En effet, dansle cadre d’un laboratoire en milieu scolaire, qui doit être effectué en quelques heures, il serait difficile, voireimpossible, de prendre une trentaine de lectures pour chaque mesure, puis d’en faire l’analyse. De plus, dans le cas d’un petit nombre de mesures, une analyse statistique rigoureuse exigerait normalementd’utiliser la loi de Student afin de déterminer l’importance de l’erreur aléatoire sur l’incertitude. Dans lesprochaines sections, nous allons plutôt utiliser une méthode rapide, intuitive et approximative afin de déterminerla meilleure estimation et l’incertitude provenant d’un petit nombre de mesures répétées. Notez toutefois que cette méthode a tendance à surévaluer la valeur de l’incertitude. Il faut donc être très


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prudent en l’utilisant : elle n’est utile que dans le cadre d’une première approximation. En effet, elle permetd’estimer un résultat expérimental provenant d’un petit nombre de mesures répétées, alors qu’une analysestatistique rigoureuse exigerait plus de 30 répétitions.


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Rappel : Mesures égales ou compatibles : Deux résultats expérimentaux sont dits égaux, ou compatibles, lorsqu’ils ontun domaine commun ou, au minimum, un point en commun. De plus, l’expression « résultats reproductibles » est parfois utilisée lorsqu’un même dispositif expérimental donnedes résultats égaux. On dit alors que les résultats obtenus par ce dispositif expérimental sont reproductibles.Dans ce qui suit, nous utiliserons le terme « égaux », plutôt que « compatibles » ou « reproductibles », afin desimplifier la lecture. 5.4.2 Mesures répétées égales Même lorsque des mesures répétées sont égales (voir section 1.7), il est possible que le domaine que couvre lesrésultats expérimentaux soit plus grand que les incertitudes individuelles. Si tel est le cas, c’est que nous avonsprobablement sous-estimé l’importance de l’erreur aléatoire sur les incertitudes dues au contexte expérimental. Par exemple, supposons que nous voulions estimer le temps de descente d’une bille à l’aide d’un plan incliné etd’un chronomètre :

Figure 5.4.2.1 Bille se dirigeant vers le bas d’un plan incliné.

Supposons que l’incertitude du dispositif ait été déterminée, entre autres, à partir du temps de réaction moyend’un être humain et qu’elle ait été estimée au total à 0,3 seconde. Afin de nous assurer de la qualité de nosmesures, nous avons répété l’expérience trois fois :

t1 = (3,5 ± 0,3) s

t2 = (3,7 ± 0,3) s

t3 = (3,6 ± 0,3) s.

Figure 5.4.2.2 Résultats expérimentaux répétés égaux. Le domaine commun, qui est entre 3,4 s et 3,8 s, a étémis en évidence en bleu.


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Ces trois mesures, différentes mais égales, nous permettent d’établir une tendance : la valeur lue semble sesituer, en moyenne, autour de 3,6 s. Ainsi, dans le cas d’un petit nombre de mesures répétées et égales, nousallons considérer que la meilleure estimation est simplement égale à la valeur moyenne des meilleuresestimations :

=

où n est la valeur de la meilleure estimation pour une nième mesure répétée et

N est le nombre de lectures répétées. Dans la situation de la figure 5.4.2.2, puisqu’il y a trois mesures (N = 3), cela donne :

= =

=

= 3,6 s. Bien que les mesures soient égales, le domaine que couvrent les résultats expérimentaux est plus grand que lesincertitudes individuelles. Ainsi, l’incertitude ne peut pas être égale à l’incertitude estimée initialement (0,3 s) :nous avons probablement sous-estimé l’incertitude due au contexte expérimental. Dans le but de faire une première approximation de l’incertitude, nous allons simplement utiliser la largeur totalede la distribution des résultats expérimentaux :

t = .

Ici, tmax-max représente la valeur maximale de l’ensemble des résultats expérimentaux. De même, tmin-min

représente la valeur minimale de l’ensemble des résultats expérimentaux. Dans notre situation, c’est t2 qui a la

valeur maximale de l’échantillon et c’est t1 qui a la valeur minimale (voir figure 5.4.2.2) :

tmax-max = t2max = 2 + t2 = (3,7 + 0,3) s = 4,0 s

tmin-min = t1min = 1 – t1 = (3,5 - 0,3) s = 3,2 s. Ainsi, à l’aide de la « méthode des extrêmes », on peut estimer l’incertitude de ces mesures répétées et égales :

t =

t =


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t =

t = 0,4 s.

Figure 5.4.2.3 Résultats expérimentaux répétés égaux. En respectant les règles d’écriture, le résultat expérimental est égal à :

t = (3,6 ± 0,4) s.

Figure 5.4.2.4 Résultat expérimental provenant de mesures répétées et égales.

N’oubliez pas que cette valeur de l’incertitude est probablement surévaluée. Il s’agit d’une premièreapproximation. Normalement, en répétant la mesure plus de 30 fois, une analyse statistique rigoureuse nouspermettrait de mieux cerner l’incertitude en lui attribuant une valeur aussi bien à la hausse qu’à la baisse.


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5.4.3 Mesures répétées qui ne sont pas égales Lorsque des mesures répétées ne sont pas égales, et que nous nous attendions à ce qu’elles le soient, la situationest délicate. Nous avons fort probablement sous-estimé l’incertitude ou réalisé l’expérience dans un contexteexpérimental inadéquat. Dans certaines expériences complexes, il peut être difficile d’évaluer toutes les erreurspouvant générer une incertitude. Ainsi, une analyse approfondie de la situation doit être effectuée : elle permettrapeut-être de trouver la source du problème. Dans ce cas, le concept de « moyenne » ne tient plus la route puisque les mesures répétées ne sont pas égales.Au mieux, le résultat expérimental se trouve quelque part entre les valeurs minimale et maximale de l’ensembledes résultats expérimentaux. Ainsi, nous allons utiliser les valeurs extrêmes de l’ensemble des résultatsexpérimentaux afin de déterminer la meilleure estimation et l’incertitude de notre résultat expérimental :

=

x =

Figure 5.4.3.1 Résultats expérimentaux qui ne sont pas égaux puisqu’ils n’ont aucun domaine commun. Afin d’illustrer cette situation, imaginons la même expérience que celle vue à la section 5.4.2, qui permettait dedéterminer le temps de descente d’une bille à l’aide d’un plan incliné et d’un chronomètre. Dans ce cas,supposons que nos mesures ne soient pas égales :

t1 = (3,1 ± 0,3) s

t2 = (3,7 ± 0,3) s

t3 = (4,0 ± 0,3) s

Figure 5.4.3.2 Résultats expérimentaux qui ne sont pas égaux. Bien que le temps t1 et t2 aient un domaine


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commun entre 3,7 s et 4,0 s, toutes les mesures doivent avoir un domaine commun pour être égales. Ainsi, dans cette situation, tout ce que nous pouvons dire, c’est que le résultat expérimental se situe quelque partentre les valeurs extrêmes tmin-min et tmax-max :

tmin-min = t3min = 3 – t3 = (3,1 - 0,3) s = 2,8 s

tmax-max = t2max = 2 + t2 = (4,0 + 0,3) s = 4,3 s. Afin de nous assurer que le résultat expérimental se trouvera entre ces valeurs, nous allons les utiliser afin dedéterminer la meilleure estimation et son incertitude :

=

=

= 3,55 s

t =

t =

t = 0,75 s.

Figure 5.4.3.3 Résultats expérimentaux qui ne sont pas égaux.

En respectant les règles d’écriture, le résultat expérimental est égal à :

t = (3,6 ± 0,8) s.


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Figure 5.4.3.4 Résultat expérimental provenant de mesures répétées qui ne sont pas égales. Notez que la largeurdu résultat expérimental t dépasse légèrement la valeur maximale à cause des valeurs arrondies de la meilleureestimation et de l’incertitude. Encore une fois, il est important de noter que cette valeur de l’incertitude est probablement surévaluée. Il s’agitd’une première approximation. De plus, le fait que les mesures ne soient pas égales nous indique qu’il y aprobablement un problème avec l’expérience. Voici quelques exemples de problèmes qu’il faudrait corriger :

nous sous-estimons les incertitudesle montage n’est pas adéquatle modèle théorique n’est pas appropriéetc.


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5.4.4 Arrondir une mesure répétée Lorsque l’on applique les règles d’écriture à une mesure répétée, il se peut que l’on doive l’arrondir plus d’unefois. Dans cette situation, afin de ne pas surestimer l’incertitude d’un nombre finissant par le chiffre 5 etd’arrondir toujours à la hausse, il est d’usage d’arrondir à la hausse lorsque le chiffre avant le 5 est pair, etd’arrondir à la baisse lorsque le chiffre avant le 5 est impair. Cette astuce permet d’équilibrer la valeur del’incertitude en surévaluant, puis en sous-évaluant la valeur de la mesure en fonction du chiffre devant le 5puisque celui-ci a, statistiquement, autant de chance d’être pair qu’impair.

Arrondir seulement à la hausse des mesures répétées finissant par le chiffre 5 ajoute nécessairement une erreursystématique. C'est pourquoi il faut, dans ce cas bien particulier, arrondir parfois à la hausse, parfois à la baisse.

Figure 5.4.4.1 Lors d’une mesure répétée qui doit être arrondie, il faut, pour les nombres finissant par le chiffre 5,arrondir à la hausse lorsque le chiffre avant le 5 est pair et arrondir à la baisse lorsque le chiffre avant le 5 estimpair.


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6 Présentation des résultats Il existe plusieurs façons pour un ou une scientifique de présenter les résultats d’une expérience, mais lestableaux et les graphiques sont sans aucun doute les plus utilisés. Tout d’abord, sachez que chaque revue,domaine scientifique et enseignant ou enseignante peut avoir ses propres exigences quant à la présentation desrésultats. À cet égard, il est important de connaître et de suivre les recommandations de la revue, du domainescientifique ou de l’enseignant ou enseignante qui révise vos résultats. Même si chaque réviseur ou réviseure peut avoir des exigences particulières, le but visé devrait toujours être derendre la présentation des résultats la plus claire possible. L’information fournie doit être complète et permettreau lecteur ou à la lectrice de comprendre rapidement et sans effort les résultats. En conséquence, nous allonsfaire quelques suggestions permettant de présenter les résultats d’un tableau ou d’un graphique de façon efficace.Néanmoins, sachez qu’il existe d’autres façons de présenter les résultats de façon adéquate. De plus, pour toutautre diagramme, histogramme ou schéma, il faut, encore une fois, s’assurer que la présentation des résultats estla plus claire possible. 6.1 Présentation des tableaux En général, un tableau contient :

1- Un numéro permettant de l’identifier et de s’y référer

2- Un titre général :

a) décrivant en mots son contenu et, si possible, le contexteb) ou décrivant l’utilité du tableau

3- Le symbole de chaque donnée ou groupe de données

4- Une unité de mesure :

a) sous chaque symbole pour un groupe de donnéesb) ou à côté d’une donnée si elle est unique

Les données uniques qui sont utiles pour l’expérience ou dans le traitement des données peuvent être, selon lecas, dans le tableau ou sous le tableau.

5- Une incertitude :

a) sous l’unité si elle est la même pour tout le groupe de donnéesb) ou à côté de chaque donnée lorsqu’elle varie d’une donnée à l’autrec) ou à côté d’une donnée lorsque celle-ci est unique

6- Des résultats expérimentaux qui respectent les règles d’écriture (voir section 1.5)

7- Un mot ou un groupe de mots décrivant la signification de chaque symbole :

a) dans une légendeb) ou dans le tableau à proximité du symbole


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Par exemple, voici deux façons acceptables de présenter des données dans un tableau (les chiffres dans lescercles bleus sont en lien avec la liste ci-dessus) :


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6.2 Présentation des graphiques En général, un graphique comporte : 1- Un numéro permettant de l’identifier et de s’y référer

2- Un titre général :

a) décrivant en mots les axes et, si possible, le contexteb) ou décrivant l’utilité du graphique

3- Des axes ayant les caractéristiques suivantes :

a) L’échelle possède des graduations principales et secondaires. La progression de l’échelle est marquée par desnombres sous les graduations principales.

Il est aussi possible d’ajouter des quadrillages principaux et secondaires. Pour plus de clarté, les quadrillagesprincipaux peuvent être plus foncés que les quadrillages secondaires.

b) Les graduations principales et secondaires sont des multiples décimaux de 1, 2 ou 5 afin de faciliter la lecture.

c) Un symbole permet d’identifier la variable associée à chacune d’elle avec, entre parenthèses, l’unité de mesure(s’il y a lieu).

d) Le dernier chiffre significatif des nombres sous les graduations principales doit être du même ordre degrandeur que :

i. l’intervalle entre deux graduations secondairesii. ou le dernier chiffre significatif des données reliées à cet axe.

e) Sauf exception, les graduations des échelles doivent être optimisées afin que l’espace que couvrent lesdonnées expérimentales soit égal ou légèrement inférieur à celles des échelles graduées.

f) Lorsque le titre général décrit l’utilité du graphique, il peut être intéressant de nommer la variable quireprésente chaque axe le long de celle-ci.

4- S’il y a lieu, les incertitudes de chaque point (en forme de croix ou de rectangle s’il y a uneincertitude sur chaque axe)

5- S’il y a plus d’une série de données, chacune d’elle est identifiée à l’aide d’une légende

6- Une courbe de tendance décrivant la série de points lorsque, par exemple, la série de données sertà vérifier une théorie. Dans ce cas, il est souvent utile d’écrire l’équation de la courbe de tendance enutilisant les symboles représentant les axes.


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Voici deux façons acceptables de présenter un graphique (les chiffres entourés en bleu sont en lien avec la liste dela page précédente) :


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Dans les graphiques 6.2.1 et 6.2.2, le saut des graduations principales est de 0,05 s (multiple de 5) et le saut desgraduations secondaire est de 0,01 s (multiple de 1).


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6.3 Changement de variable et linéarisation d’un graphique Il arrive parfois que l’on veuille changer les variables que l’on porte sur les axes d’un graphique afin que la courbeobtenue prenne l’apparence d’une droite. Cette opération se nomme la linéarisation d’un graphique. En effectuantun changement de variable de façon adéquate, on obtient la forme générale de l’équation d’une droite :

y = mx + boù m est la pente et b l’ordonnée à l’origine.

À chaque fois, il s’agit d’effectuer un changement de variable et d’identifier le terme qui représente la pente (m)

et celui qui représente l’ordonnée à l’origine (b). 6.3.1 Linéarisation d’une fonction polynomiale Supposons que nous ayons déterminé la position verticale y d’une bille en chute libre en fonction du temps àl’aide d’un appareil à ultrason. Afin que la position et l’accélération gravitationnelle soient toujours positives, nousavons utilisé un axe des y qui se dirige vers le bas. De plus, dans cette expérience, la bille part du repos à uneposition de départ égale à 0,00 m.

Figure 6.3.1.1 Bille en chute libre.


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En théorie, nous savons que l’équation décrivant la position d’un objet en chute libre en fonction du temps,lorsque l’objet a une vitesse initiale nulle, devrait être polynomiale :

y = yo + t2

où y est la position verticale de la bille,

yo la position initiale de la bille,

g la valeur de l’accélération gravitationnelle terrestre et

t le temps. Afin de linéariser cette fonction, il importe de faire un changement de variable et d’identifier le terme qui

représente la pente (m) et celui qui représente l’ordonnée à l’origine (b). Ainsi, en exprimant le graphique de la

position d’une bille (y) en fonction du temps au carré (t2), on obtient une droite dont la pente (m) est égale à

g/2 et l’ordonnée à l’origine (b) à yo :


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Avec cet exemple, nous avons effectivement réussi à linéariser une fonction qui était, initialement, polynomiale.Le même principe s’applique peu importe l’équation à linéariser.


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6.3.2 Linéarisation d’une fonction sinusoïdale Supposons que nous voulions vérifier la loi de la réfraction à partir de la mesure de différents angles de réfraction( r) dans l’air obtenus pour différents angles d’incidence ( i) dans le verre :

nair sin r = nverre sin i.

Figure 6.3.2.1 Rayon laser passant du verre vers l’air. Tout d’abord, isolons le terme en sinus à gauche de l’équation :

sin r = sin i.

En choisissant de mettre en graphique sin r en fonction de sin i, on devrait obtenir une droite dont l’ordonnée à

l’origine (b) est égale à zéro et la pente (m) est égale à nverre / nair :


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6.4 Échelle logarithmique ou semi-logarithmique d’un graphique Parfois, le comportement des variables mesurées est décrit par des fonctions exponentielles ou logarithmiques, etil peut être pratique de présenter un graphique à l’aide d’une échelle logarithmique. On dira du graphique qu’il estde type semi-log ou log-log selon qu’un seul axe ou les deux soient présentés à l’aide de l’échelle logarithmique. Par exemple, la fonction R(t) exprimant le taux de désintégration d’une substance radioactive est de typeexponentiel :

R(t) = Ro .

où Ro est le taux de désintégration initial et

la constante de désintégration de la substance considérée.


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Il est possible de linéariser cette fonction en appliquant les règles vues précédemment. Ici, pour obtenir lesvariables appropriées, il faut prendre le logarithme naturel de chaque côté de l’égalité :

ln R(t) = ln(Ro )

Ainsi, en exprimant le graphique du logarithme naturel du taux de désintégration (ln R(t)) en fonction du temps

(t), on obtient une droite dont la pente (m) est égale à – et l’ordonnée à l’origine (b) à (ln Ro).

Or, il existe une autre possibilité permettant de linéariser une fonction exponentielle : il suffit de placer lesrésultats expérimentaux dans un graphique semi-logarithmique où l’échelle verticale est tracée et espacée defaçon logarithmique. La courbe exponentielle prend alors directement l’apparence d’une droite :

En se fiant au graphique, on remarque qu’avec une échelle semi-logarithmique, le facteur multiplicatif devant

l’exponentielle (Ro) devient l’ordonnée à l’origine (b) et le facteur multiplicatif à l’exposant (- ) devient la pente

(m).


7 Analyse des résultats provenant d’un graphique


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7.1.1 Détermination de la courbe de tendance

La mise en graphique d’un ensemble de données expérimentales permet de présenter les résultats obtenus defaçon visuelle. Très souvent, cela permet aussi d’évaluer la pertinence d’un modèle théorique. Dans ce cas, laplupart du temps, il faut trouver la courbe de tendance, c’est-à-dire la meilleure relation mathématique qui décritla distribution des données. Aujourd’hui, plusieurs logiciels, comme Excel ou Numbers, utilisent une méthodeéprouvée et très efficace pour accomplir ce travail : la méthode des moindres carrés. En effet, celle-ci permet detrouver facilement la courbe de tendance d’une série de données, qu’elle soit linéaire, polynomiale, exponentielle,logarithmique ou de puissance. Il est alors possible de comparer visuellement, rapidement et sans effort la courbede tendance à la position de chaque donnée expérimentale.

En ajoutant une courbe de tendance à un graphique, on peut mettre en évidence la relation mathématique quirelie les données expérimentales. Afin de simplifier la situation au maximum, les coordonnées des points dugraphique 7.1.1.1 sont sans dimension et n’ont donc pas d’unité.

En théorie, la courbe de tendance devrait être choisie de façon à ce qu’elle minimise l’écart entre elle et lesdonnées expérimentales. Dans cette section, nous allons démontrer comment, en respectant ce principe, onarrive à trouver les paramètres de la courbe de tendance. Notez que dans le cas d’une relation linéaire, la courbede tendance peut aussi s’appeler la meilleure droite. Celle-ci est alors caractérisée par sa pente m et son

ordonnée à l’origine b. Même si on se limite ici au cas d’une relation linéaire, le même principe permet de traiterd’autres types de fonctions (polynomiales, exponentielles, logarithmiques ou de puissances).

Supposons que nous voulions trouver la meilleure droite correspondant à la série de points du graphique de lafigure 7.1.1.1. Tout d’abord, définissons l’écart ei entre la valeur expérimentale de l’ordonnée (yi) et la valeur de

l’ordonnée prévue par la meilleure droite (yi meilleure droite = mxi + b) en un point xi :

ei = yi – yi meilleure droite

ei = yi – (mxi + b)


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Figure 7.1.1.1 Pour chaque point du graphique, il existe un écart (ei) entre la valeur expérimentale de l’ordonnée

(yi, identifiée par un cercle bleu) et la valeur de l’ordonnée prévue par la meilleure droite (yi meilleure droite = mxi

+ b, identifiée par un carré rouge).

À première vue, pour minimiser l’écart entre la meilleure droite et les données expérimentales, celle-ci doit avoirdes valeurs de la pente (m) et de l’ordonnée à l’origine (b) qui minimisent la somme de tous les écarts :

ei = (yi – (mxi + b)) = le plus petit possible,

où n est le nombre de données dans le graphique.

L’utilisation de cette somme d’écarts pose cependant un problème puisque chaque écart ei peut être positif, mais

aussi négatif si un point yi se trouve sous la meilleure droite (comme dans le cas des écarts e2 et e4 dans legraphique 7.1.1.1).


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Figure 7.1.1.2 Les ordonnées des points (x2, y2) et (x4, y4) sont sous la meilleure droite. Les écarts e2 et e4sont donc négatifs.

Un écart positif peut alors annuler la contribution d’un écart négatif de même grandeur. Cela équivaut à ne pastenir compte de ces écarts et cela n’est pas souhaitable. Ainsi, afin de s’assurer que la contribution de chaqueécart soit prise en compte, peu importe le signe, on règle le problème en élevant chaque écart au carré. Ondéfinit ainsi la somme des carrés des écarts (SC) par :

SC = ei2

SC = (yi – (mxi + b))2 = 0

SC = (yi2 – 2yi (mxi + b) + (mxi + b)2) = 0

SC = (yi2 – 2yimxi - 2yib + m2xi2 + 2mxib + b2 ) = 0.

Pour trouver la meilleure droite, nous allons donc tenter de minimiser la somme des carrés des écarts de tous lespoints du tableau. Lorsque la somme des carrés est minimisée, les dérivées partielles de celle-ci en fonction de met b sont nulles. La dévirée partielle par rapport à m nous donne alors la relation suivante :

= (0 – 2yixi - 0 + 2mxi2 + 2xib + 0) = 0

= (-2yixi + Σ 2mxi2 + Σ 2xib) = 0

(yixi) = m (xi2) + bΣxi

(xi yi) = m (xi2) + bΣxi.

Quant à la dérivée partielle par rapport à b, elle permet de trouver la relation suivante :


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= (0 – 0 - 2yi + 0 + 2mxi + 2b) = 0

= (-2yi + 2mxi + 2b ) = 0

yi = mxi + b

yi = m xi + nb.

Les résultats de ces dérivées partielles nous donnent donc deux équations et deux inconnus : m et b.

(xi yi) = m (xi2) + b xi

yi = m xi + nb

En isolant b dans la deuxième équation , on obtient :

b = ( yi - m xi).

Puis, en l’insérant dans la première équation , on trouve :

(xi yi) = m (xi2) + ( yi - m xi) xi

(xi yi) = m (xi2) + yi xi - xi xi

(xi yi) - yi xi = m (xi2) - xi xi

n (xi yi) - yi xi = m(n (xi2) – ( xi)2)

m = .

L’équation représente le calcul qu’il faut effectuer afin de trouver la pente de la meilleure droite, c’est-à-direcelle qui minimise, selon l’ordonnée, la somme des carrés des écarts entre la meilleure droite et les donnéesexpérimentales.

Pour trouver b, nous allons procéder de la même façon. Il faut d’abord isoler m dans la deuxième équation :


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m = ( yi - nb).

Ensuite, nous allons l’insérer dans la première équation :

(xi yi) = ( yi - nb) (xi2) + b xi

(xi yi) xi = yi (xi2) - nb (xi2) + b xi xi

(xi yi) xi - yi (xi2) = b(( xi)2 - n (xi2))

b =

b = .

Ce calcul permet de trouver l’ordonnée à l’origine qui minimise la somme des carrés des écarts selon l’ordonnéeentre la meilleure droite et les données expérimentales.

Équations permettant de trouver la pente et l’ordonnée à l’origine de la meilleure droite décrivant lesdonnées expérimentales

m =

b =



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7.1.2 Exemple de calcul permettant de trouver les paramètres de la meilleure droited’une série de données expérimentales

À la section précédente, nous avons démontré que, dans le cas d’une relation linéaire entre des donnéesexpérimentales, la pente (m) et l’ordonnée à l’origine (b) de la meilleure droite se calculent de la façon suivante :

m =

b =

où n est le nombre de données dans le graphique.

Maintenant, appliquons ces résultats à l’aide d’un exemple concret. Voici la coordonnée de chaque point dugraphique 7.1.1.1 selon son indice :

Dans ce tableau, chaque donnée du graphique 7.1.1.1 a été classée selon son ordre d’apparition dans legraphique. Afin de simplifier la situation au maximum, les coordonnées des points sont sans dimension et n’ontdonc pas d’unité.

Notez que les incertitudes présentes dans le graphique 7.1.1.1 n’apparaissent pas dans le tableau 7.1.2.1. Celaest intentionnel puisque le calcul que nous nous apprêtons à faire ne s’intéresse qu’à l’écart entre la valeur del’ordonnée de chaque point expérimental et la valeur de l’ordonnée prévue par la meilleure droite, peu importe lavaleur de l’incertitude.

En remplaçant les valeurs numériques des données expérimentales du tableau 7.1.2.1 dans les équationspermettant de trouver m et b, il est possible de trouver la pente et l’ordonnée à l’origine de la meilleure droite.

Avant d’effectuer le calcul permettant de trouver m et b, nous allons d’abord trouver le résultat de chaquesomme.

La somme des xi :


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xi = x1 + x2 + x3 + x4 = 0,05 + 0,10 + 0,15 + 0,20 = 0,50.

La somme des yi :

yi = y1 + y2 + y3 + y4 = 0,6 + 0,8 + 1,7 + 1,9 = 5,0.

La somme des xi mis au carré :

(xi)2 = x12 + x22 + x32 + x42 = 0,052 + 0,102 + 0,152 + 0,202 = 0,07500 ...

La somme des xi yi :

(xi yi) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + x4 y4

(xi yi) = 0,05·0,6 + 0,10·0,8 + 0,15·1,7 + 0,20·1,9

(xi yi) = 0,74500 ...

Maintenant, en sachant que n = 4 puisqu’il y a 4 données expérimentales dans le tableau 7.1.2.1, on peut trouverla valeur numérique de la pente :

m =

m =

m =

m = 9,6000 ... De plus, il est possible de trouver la valeur numérique de l’ordonnée à l’origine :

b =

b =

b =


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b = 0,0500 ...

Ce calcul peut paraître long et complexe, surtout si le tableau comporte plusieurs points. Heureusement, il existedeux fonctions dans Excel ou Numbers qui permettent de trouver automatiquement la pente (PENTE()) etl’ordonnée à l’origine (ORDONNEE.ORIGINE()) d’une série de données ayant un comportement linéaire. De plus,dans un graphique sur Excel ou Numbers, les paramètres de la courbe de tendance d’une série de donnéeslinéaire sont déterminés à partir de ces fonctions. Pour vous en convaincre, comparez les résultats des calculsci-haut et vérifiez que ces fonctions donnent les mêmes résultats que dans le fichier moindrescarres.xlsx.

Maintenant que vous comprenez le principe qui se cache derrière la courbe de tendance, n’hésitez pas à utiliser lapuissance de logiciels comme Excel ou Numbers : ils vous simplifieront grandement la vie!


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7.1.3 Le coefficient de détermination R2

Le coefficient de détermination R2 permet d’estimer à quel point une courbe de tendance suit la position despoints expérimentaux d’un graphique. Il peut prendre une valeur entre 0 et 1 et évalue, en quelque sorte, laqualité d’une courbe de tendance. Pour l’obtenir, on compare, pour chaque xi, la position du point expérimental

selon l’ordonnée (yi) et du point situé sur la meilleure droite (yi meilleure droite = mxi + b) à la valeur moyenne desordonnées expérimentales ( ). Cette valeur moyenne s’obtient par le calcul suivant :

=

où n est le nombre de données expérimentales.

Figure 7.1.3.1 La moyenne des ordonnées ( ), représentée par une ligne verte pointillée, se retrouve, selonl’ordonnée, de part et d’autre des points expérimentaux.

La moyenne des ordonnées ( ) est un choix intéressant de valeur de comparaison. En effet, dans le cas d’unefonction linéaire, elle se trouve nécessairement de part et d’autre des points expérimentaux selon l’ordonnée.

Pour calculer le coefficient de détermination R2, il faut comparer deux écarts distincts :


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un écart entre la valeur de l’ordonnée prévue par la meilleure droite (yi meilleure droite = mxi + b) en un

point xi et la valeur moyenne des ordonnées ( ), représenté par une accolade rouge sur la figure 7.1.3.2

ei meilleure droite = yi meilleure droite -

ei meilleure droite = (mxi + b) -

un écart entre la valeur expérimentale de l’ordonnée (yi) en un point xi et la valeur moyenne desordonnées ( ), représenté par une accolade bleu sur la figure 7.1.3.2

ei expérimental = yi -

Figure 7.1.3.2 Illustration des deux écarts distincts utilisés afin de calculer le coefficient de détermination R2.

Si les écarts ei meilleure droite et ei expérimental sont identiques, c’est que les points suivent parfaitement la courbede tendance, comme on peut le voir sur la figure 7.1.3.3 :


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Figure 7.1.3.3 Graphique dans lequel les points expérimentaux, représentés par des cercles bleus, sontexactement sur les points de la courbe de tendance, représentés par des carrés rouges. Dans ce cas, les écarts ei

meilleure droite et ei expérimental sont identiques.

Comme dans le cas de la courbe de tendance, chaque écart peut être positif, mais aussi négatif si yi meilleure droite

ou yi se trouve sous la valeur moyenne ( ). Afin de s’assurer que la contribution de chaque écart soit prise encompte, peu importe le signe, on en élève chaque écart au carré. De plus, pour tenir compte de la contribution dechaque point, on calcule la somme des carrés des écarts :

SC meilleure droite = Σ(ei meilleure droite)2

SC expérimental = Σ(ei expérimental)2.

Puisque le coefficient de détermination sert à comparer la meilleure droite à la position des points expérimentaux,on calcule le rapport de la somme des carrés des écarts :

R2 = .

Si les écarts sont identiques, c’est que les points suivent parfaitement la courbe de tendance et la valeur de R2

sera alors égale à 1. Plus le facteur R2 se rapproche de 0, plus les points expérimentaux sont loin de la courbe detendance.


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7.1.4 Exemple de calcul permettant de trouver le coefficient de détermination R2 d’unesérie de points

Voici le cas des sections 7.1.1 et 7.1.2, où le coefficient de détermination devrait être relativement près de 1puisque nous avons vu sur le graphique 7.1.1.1 que la relation qui unit les points est approximativement linéaire.

Afin de simplifier la situation au maximum, les coordonnées des points sont sans dimension et n’ont donc pasd’unité. De plus, les valeurs des incertitudes ne sont pas indiquées car nous avons vu à la section 7.1.3 que lesincertitudes ne sont pas considérées dans le calcul du coefficient de détermination R2. Voici le graphique quiprovient de la section 7.1.1 et 7.1.2 et qui utilise les données expérimentales du tableau 7.1.4.1 :


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Le coefficient de détermination de la courbe de tendance du graphique 7.1.4.1 devrait être relativement près de1. En effet, on remarque que sa courbe de tendance suit, en général, la position de chaque point expérimental.

Pour trouver le coefficient de détermination, il faut d’abord calculer la valeur moyenne des ordonnées en seréférant au tableau 7.1.4.1. Celui-ci contient 4 données expérimentales (n = 4).

=

où n est le nombre de données expérimentales

=

= = 1,2500 ...

Ensuite, il faut connaître la pente et l’ordonnée à l’origine de la courbe de tendance. D’après l’exemple de lasection 7.1.2, on trouve que m = 9,60 et b = 0,050 :

yi meilleure droite = 9,60xi + 0,050.

Puis, pour chaque xi, il faut calculer l’écart selon l’ordonnée entre le point sur la meilleure droite et la moyenne :

ei meilleure droite = ei md = yi meilleure droite -

ei md = (mxi + b) - .

Pour les quatre points du tableau 7.1.4.1, cela donne :

e1 md = (mx1 + b) - = (9,6·0,05 + 0,050) – 1,25 = -0,72

e2 md = (mx2 + b) - = (9,6·0,10 + 0,050) – 1,25 = -0,24

e3 md = (mx3 + b) - = (9,6·0,15 + 0,050) – 1,25 = 0,24

e4 md = (mx4 + b) - = (9,6·0,20 + 0,050) – 1,25 = 0,72.

De façon similaire, pour chaque xi, il faut aussi calculer l’écart selon l’ordonnée entre le point expérimental et lamoyenne :

ei expérimental = ei exp = yi - .

Pour les quatre points du tableau 7.1.4.1, cela donne :


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e1 exp = y1 - = 0,6 – 1,25 = -0,65

e2 exp = y2 - = 0,8 – 1,25 = -0,45

e3 exp = y3 - = 1,7 – 1,25 = 0,45

e4 exp = y4 - = 1,9 – 1,25 = 0,65.

Finalement, pour calculer le coefficient de détermination, il suffit de faire le rapport de la somme des carrés desécarts (vous pouvez vérifier qu’Excel arrive au même résultat en ouvrant le fichier r2.xlsx) :

R2 = =

R2 =

R2 =

R2 = 0,9216 ...

Puisque le coefficient de détermination sert à donner un ordre de grandeur de la qualité d’une courbe detendance, il n’est pas nécessaire de le présenter avec plus de trois chiffres significatifs :

R2 = 0,922.

Comme nous l’avons mentionné précédemment, il est normal que la valeur du R2 de cet exemple soitrelativement près de 1 puisque tous les points expérimentaux sont proches de la meilleure droite. Néanmoins,comme nous le verrons à la section 7.4.3, une courbe de tendance ayant un coefficient de détermination dont lavaleur est inférieure à 0,950 n’est pas considérée comme une courbe de tendance de qualité. Pour obtenir unevaleur de R2 égale ou supérieure à 0,950, il aurait fallu, comme dans le cas du graphique 7.1.4.2 ci-dessous, queles points expérimentaux soient beaucoup plus près de la meilleure droite.


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Lorsque les points expérimentaux sont très près de la courbe de tendance, le coefficient de détermination frôle lavaleur 1, comme dans le cas du graphique 7.1.4.2, où R2 = 0,998.

Notez que si les données dont nous disposons n’obéissent pas à une relation linéaire et qu’on s’acharne àchercher quand même la meilleure droite, l’effet sur la valeur du R2 sera immédiat. Dans l’exemple qui suit, on amis en graphique des données obtenues lors de la décharge d’un condensateur. Puisqu’en théorie, ces donnéesobéissent à une relation exponentielle, la meilleure droite obtenue s’écarte remarquablement des données et soncoefficient de détermination R2 est loin de 1.


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Lorsqu’une série de données a un comportement exponentiel et que la courbe de tendance est linéaire, lecoefficient de détermination R2 est loin de 1. Dans le graphique 7.1.4.3, R2 = 0,706. Cela indique souvent que letype de courbe de tendance est inapproprié.


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7.2 Les points singuliers

Tout d’abord, il faut se rappeler qu’une donnée expérimentale comportant des incertitudes n’apparaît pas commeun point dans un graphique, mais plutôt comme :

une ligne horizontale, si l’incertitude est seulement selon l’axe des abscisses (x)

une ligne verticale, si l’incertitude est seulement selon l’axe des ordonnées (y)une croix ou un rectangle, s’il y a une incertitude selon chaque axe.

Figure 7.2.1 Un résultat expérimental dans un graphique peut apparaître comme une ligne horizontale, une ligneverticale, une croix ou un rectangle.

De plus, il est important de noter que lorsqu’un résultat expérimental est représenté par une croix, celui-ci a lesmêmes dimensions dans un graphique qu’un rectangle de même hauteur et de même longueur.

Figure 7.2.2 Même si les incertitudes dans un graphique sont présentées en forme de croix, il faut toujours serappeler qu’un résultat expérimental ayant une incertitude selon chaque axe représente un rectangle.

Idéalement, avec une collecte de données minutieuse et un modèle théorique adéquat, la courbe de tendancedevrait toucher à la surface délimitée par l’incertitude de chaque point, c’est-à-dire que chaque rectangle ou lignereprésentant le résultat expérimental devrait croiser la courbe de tendance. Par exemple, le graphique 7.2.1ci-dessous ne contient aucun point singulier puisque les rectangles délimités par les incertitudes de chaquerésultat expérimental touchent clairement à la courbe de tendance.


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Par contre, il arrive parfois qu’un point, malgré ses incertitudes, ne touche pas à la courbe de tendance : il s’agitd’un point singulier.

Figure 7.2.3 Lorsque la ligne ou la surface rectangulaire représentant le résultat expérimental ne touche pas à lacourbe de tendance, il s’agit d’un point singulier. Dans ces exemples, l’espacement entre chaque résultatexpérimental et la courbe de tendance a été encerclé en rouge.

Lorsqu’on se rend compte qu’un point singulier est présent dans un graphique, on doit se poser quelquesquestions:

Est-ce que la présence de ce point est simplement due à une erreur de manipulation?Y-a-t-il un problème avec le montage?Y-a-t-il un problème avec la prise de données?L’incertitude de ce point a-t-elle été sous-estimée?Le modèle théorique est-il adéquat?

Notez que la présence de points singuliers devrait toujours être marginale (approximativement égale ou inférieureà 15%). De plus, il serait préférable de répéter l’expérience afin de valider l’existence ou non de points singuliers.

D’ailleurs, les points singuliers devraient généralement être exclus du calcul de la courbe de tendance puisqueceux-ci, étant marginaux, faussent la courbe de tendance. Il faut alors les identifier et les retirer un à la fois en


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commençant par celui qui est le plus éloigné de la courbe de tendance. En effet, il est possible que le retrait d’unseul point singulier fasse en sorte que d’autres points singuliers ne le soient plus.


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7.3.1 Incertitudes sur la pente et l’ordonnée à l’origine d’une droite (méthode centrée)

Déterminer les incertitudes sur la pente et l’ordonnée à l’origine d’une droite exigerait normalement une analysestatistique rigoureuse. Dans cette section, nous allons plutôt utiliser une méthode simple, intuitive etapproximative permettant de trouver l’incertitude des paramètres de la meilleure droite d’un graphique. Malgré lefait que cette méthode ait tendance à surestimer les incertitudes des paramètres d’une droite, elle a l’avantaged’être simple et de donner une bonne idée de l’ordre de grandeur de la valeur de chaque incertitude. Même si onse limite ici au cas de fonctions ayant une relation linéaire, n’oubliez pas qu’il est souvent possible de linéariserune fonction non linéaire à l’aide d’un changement de variable ou d’échelle (voir sections 6.3 et 6.4). La méthodeprésentée dans cette section peut donc être appliquée à des fonctions linéaires, mais aussi à des fonctions qui ontété linéarisées.

Il est important de comprendre qu’une série de points comportant des incertitudes admet normalement uneinfinité de droites passant par tous les résultats expérimentaux. En effet, dans l’exemple du graphique 7.3.1.1ci-dessous, on voit qu’en plus de la meilleure droite, en orange, une multitude d’autres droites pourraient passerpar cette série de résultats expérimentaux :

Bien que la meilleure droite du graphique 7.3.1.1, en orange, soit celle qui minimise l’écart selon l’ordonnéeentre elle et les points expérimentaux, d’autres droites, en rouges pointillées, peuvent aussi croiser tous lesrésultats expérimentaux.

Toutes ces droites possibles passant par tous les résultats expérimentaux mettent en évidence que la meilleuredroite n’est pas l’unique possibilité : la pente et l’ordonnée à l’origine de cette série de points, qui peuventprendre plusieurs valeurs, ont chacune une incertitude. Afin de déterminer l’incertitude de la pente de la meilleuredroite (Δm) et celle de son ordonnée à l’origine (Δb), il existe une façon très simple que nous connaissons déjà :la méthode des extrêmes.

Δm =


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Δb = .

Nous allons présenter ici une façon simple de trouver les paramètres maximaux et minimaux de la meilleuredroite. Nous allons les associer aux paramètres des deux droites extrêmes d’un graphique : la droite dite de pentemaximale (mmax) et celle dite de pente minimale (mmin). Afin d’illustrer la situation, nous allons prendrel’exemple des sections 7.1.1 et 7.1.2. Notez que les coordonnées des points du tableau 7.3.1.1 sont sansdimension et n’ont donc pas d’unité.

Tout d’abord, afin de simplifier les calculs, nous allons construire les droites extrêmes à partir du premier et dudernier point du graphique. En effet, puisque les premier et dernier points délimitent la série de données dugraphique, il est logique de les utiliser afin de trouver les droites extrêmes.

Commençons par trouver la meilleure droite à l’aide d’un logiciel en nous assurant qu’il n’y a pas de pointsingulier. La détermination de l’incertitude des paramètres d’une droite n’est cohérente que si la présence depoints singuliers est marginale (approximativement moins de 15%). Sinon, il vaudrait mieux vérifier s’il n’y a pasun problème avec l’expérience ou avec la théorie (section 7.2). Dans l’exemple des sections 7.1.1 et 7.1.2, il n’y aaucun point singulier et l’équation de la meilleure droite est égale à :

y = mx + by = 9,6x + 0,050.


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Afin de s’assurer que les incertitudes de la pente et de l’ordonnée à l’origine se distribuent de part et d’autre de lameilleure estimation (incertitude symétrique), il est préférable de recentrer selon l’ordonnée les premier etdernier points sur la meilleure droite. Cette méthode permet aussi d’éviter de surestimer l’incertitude desparamètres d’une droite dans l’éventualité où le premier ou le dernier point sont singuliers.

Dans le graphique 7.3.1.3, on voit les premier et dernier points recentrés sur la courbe de tendance. Ils sontreprésentés par des points rouges. Dans ce graphique, les premier et dernier résultats expérimentaux ont étépâlis afin de mieux distinguer les points recentrés en rouge.


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Pour recentrer le premier point expérimental, il faut utiliser la valeur de x1 et l’équation de la meilleure droite

trouvée précédemment. Celle-ci permettra de trouver la valeur de y1centré, c’est-à-dire la position selonl’ordonnée du premier point centré se situant sur la meilleure droite :

y1centré = 9,6x1 + 0,050

y1centré = 9,6·0,05 + 0,050 = 0,53

Coordonnées du premier point centré (x1; y1centré) : (0,05; 0,53).

Ensuite, il faut utiliser x4 afin de trouver la valeur de y4centré, le dernier point centré qui se situe sur la meilleuredroite :

y4centré = 9,6x4 + 0,050

y4centré = 9,6·0,20 + 0,050 = 1,97

Coordonnées du dernier point centré (x4; y4centré) : (0,20; 1,97).

N’oubliez pas que, lors de calculs intermédiaires, il faut garder le plus grand nombre de chiffres significatifs àchaque étape.

De plus, afin d’être cohérent, les incertitudes des points recentrés doivent être les mêmes que les incertitudes deleur point expérimental respectif (voir tableau 7.1.3.1) :

Δx1 = 0,01 Δy1centré = 0,1

Δx4 = 0,02 Δy4centré = 0,2.


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Les premier et dernier résultats expérimentaux centrés du graphique 7.3.1.4, représentés par des croix rouges,ont les mêmes incertitudes que leur résultat expérimental respectif, représenté par une croix bleu pâle.

Graphiquement, dans le cas d’une droite croissante, on déterminera la droite de pente maximale en exigeantqu’elle passe par le coin inférieur droit du premier point centré (x1max; y1min) et par le coin supérieur gauche du

dernier point centré (x4min; y4max) :

Point 1 droite max = (x1max; y1min) = (x1 + Δx1; y1 centré - Δy1centré)

(x1max; y1min) = (0,05 + 0,01; 0,53 – 0,1)

(x1max; y1min) = (0,06; 0,43)

Point 4 droite max = (x4min; y4max) = (x4 – Δx4; y4 centré + Δy4centré)

(x4min; y4max) = (0,20 - 0,02; 1,97 + 0,2)

(x4min; y4max) = (0,18; 2,17).

Dans le cas d’une droite croissante, comme dans le graphique 7.3.1.5, on peut dire que la droite ayant une pentemaximale passe par le coin inférieur droit du premier point centré (x1max; y1min) et par le coin supérieur gauche

du dernier point centré (x4min; y4max).

Dans le graphique 7.3.1.5, on constate aussi que cette droite maximale permet de trouver l’ordonnée à l’origineminimale. L’équation de cette droite est donc :

y = mmaxx + bmin.

Puisque nous connaissons deux points de cette droite, et que nous savons qu’une pente est égale à une variationde l’ordonnée sur une variation de l’abscisse, il est possible de trouver la valeur de la pente maximale :


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mmax =

mmax = = 14,500 ...

À partir d’un des deux points connus de cette droite, c'est-à-dire le premier ((x1max; y1min) = (0,06; 0,43)) ou le

dernier point recentré ((x4min; y4max) = (0,18; 2,17)), on peut trouver l’ordonnée à l’origine minimale :

y1min = mmaxx1max + bmin

0,43 = 14,5 · 0,06 + bmin

bmin = -0,44000 ...

Notez que le calcul de la pente maximale et de l’ordonnée à l’origine minimale à partir des points (x1max, y1min)

et (x4min, y4max) peut aussi se faire en ajoutant une deuxième série de point dans le graphique d’Excel (ouNumbers) et en affichant l’équation de la courbe de tendance de type linéaire.

En respectant la même logique, on trouve la droite de pente minimale et d’ordonnée à l’origine maximale d’unedroite croissante en exigeant qu’elle passe par le coin supérieur gauche du premier point centré (x1min; y1max) et

le coin inférieur droit du dernier point centré (x4max; y4min) :

Point 1 droite min = (x1min; y1max) = (x1 - Δx1; y1 centré + Δy1centré)

(x1min; y1max) = (0,05 - 0,01; 0,53 + 0,1)

(x1min; y1max) = (0,04; 0,63)

Point 4 droite min = (x4max; y4min) = (x4 + Δx4; y4 centré - Δy4centré)

(x4max; y4min) = (0,20 + 0,02; 1,97 - 0,2)

(x4max; y4min) = (0,22; 1,77).


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Dans le cas d’une droite croissante, comme dans le graphique 7.3.1.6, on peut dire que la droite ayant une penteminimale passe par le coin supérieur gauche du premier point centré (x1min; y1max) et par le coin inférieur droit

du dernier point centré (x4max; y4min).

Puisque nous connaissons deux points de cette droite, il est possible de trouver la valeur de la pente minimale :

mmin =

mmin = = 6,33333 ...

À partir d’un des deux points connus de cette droite ((x1min; y1max) ou (x4max; y4min)), on peut trouverl’ordonnée à l’origine maximale. Si nous utilisons le premier point, cela donne :

y1max = mminx1min + bmax

0,63 = (6,33333 ...) · 0,04 + bmax

bmax = 0,376667 ...

À l’aide de la méthode des extrêmes, il est maintenant possible de calculer l’incertitude des paramètres de ladroite :

Δm =

Δm = = 3,98684 ...


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Δb =

Δb = = 0,40883 ...

Puisque les valeurs des paramètres de la meilleure droite sont connues, il est préférable que les valeurs desmeilleures estimations de la pente et de l’ordonnée à l’origine soient données par ceux-ci. En effet, ces meilleuresestimations ont été calculées en tenant compte de tous les points, et pas seulement des points extrêmes (voir legraphique 7.3.1.2) :

m = pente de la courbe de tendance = 9,6

b = ordonnée à l’origine de la courbe de tendance = 0,050

En respectant les règles d’écriture, voici les valeurs des résultats expérimentaux de m et b :

m = 9,6 ± 3,98684 ... = 10 ± 4

b = 0,050 ± 0,40883 ... = 0,1 ± 0,4


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Résumé des étapes permettant de trouver les incertitudes sur la pente et l’ordonnée à l’origine d’unecourbe de tendance linéaire (méthode centrée)

1- Tracer un graphique, présenter la courbe de tendance et afficher son équation2- Trouver les coordonnées des premier et dernier points recentrés3- Déterminer l’incertitude des points recentrés en se référant aux incertitudes de leur point expérimentalrespectif4- Calculer la pente maximale. Pour une droite croissante ayant deux points expérimentaux, utilisez les points(x1max, y1min) et (x4min, y4max).5- Calculez l’ordonnée à l’origine minimale à l’aide de l’équation de la courbe de tendance.6- Calculer la pente minimale. Pour une droite croissante ayant deux points expérimentaux, utilisez les points(x1min, y1max) et (x4max, y4min).7- Calculer l’ordonnée à l’origine maximale à l’aide de l’équation de la courbe de tendance.8- À l’aide de la méthode des extrêmes, déterminer l’incertitude de la pente et de l’ordonnée à l’origine9- Utiliser les paramètres de la courbe de tendance afin de trouver la meilleure estimation de la pente et del’ordonnée à l’origine10- Écrire le résultat expérimental de la pente et de l’ordonnée à l’origine en respectant les règles d’écriture.


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7.3.2 Incertitudes sur la pente et l’ordonnée à l’origine d’une droite (méthode noncentrée)

*** Le contenu de cette diapositive d’introduction est similaire à celui de la section 7.3.1, mais il a étéadapté à la méthode non centrée***

Déterminer les incertitudes sur la pente et l’ordonnée à l’origine d’une droite exigerait normalement une analysestatistique rigoureuse. Dans cette section, nous allons plutôt utiliser une méthode simple, intuitive etapproximative permettant de trouver l’incertitude des paramètres de la meilleure droite d’un graphique. Malgré lefait que cette méthode ait tendance à surestimer les incertitudes des paramètres d’une droite, elle a l’avantaged’être simple et de donner une bonne idée de l’ordre de grandeur de la valeur de chaque incertitude. Même si onse limite ici au cas de fonctions ayant une relation linéaire, n’oubliez pas qu’il est souvent possible de linéariserune fonction non linéaire à l’aide d’un changement de variable ou d’échelle (voir sections 6.3 et 6.4). La méthodeprésentée dans cette section peut donc être appliquée à des fonctions linéaires, mais aussi à des fonctions qui ontété linéarisées.

Tout d’abord, il est important de comprendre qu’une série de points comportant des incertitudes admetnormalement une infinité de droites passant par tous les résultats expérimentaux. En effet, dans l’exemple dugraphique 7.3.2.1 ci-dessous, on voit qu’en plus de la meilleure droite, en orange, une multitude d’autres droitespourraient passer par cette série de résultats expérimentaux :

Bien que la meilleure droite du graphique 7.3.2.1, en orange, soit celle qui minimise l’écart selon l’ordonnéeentre elle et les points expérimentaux, d’autres droites, en rouges pointillées, peuvent croiser tous les résultatsexpérimentaux.

Toutes ces droites possibles passant par tous les résultats expérimentaux mettent en évidence que la meilleuredroite n’est pas l’unique possibilité : la pente et l’ordonnée à l’origine de cette série de points, qui peuventprendre plusieurs valeurs, ont donc chacune une incertitude. Afin de déterminer l’incertitude de la pente de lameilleure droite (Δm) et celle de son ordonnée à l’origine (Δb), il existe une façon très simple que nousconnaissons déjà : la méthode des extrêmes.


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Δm =

Δb = .

Nous allons donc présenter ici une façon simple de trouver les paramètres maximaux et minimaux de la meilleuredroite. Nous allons les associer aux paramètres des deux droites extrêmes d’un graphique : la droite dite de pentemaximale (mmax) et celle dite de pente minimale (mmin). Afin d’illustrer la situation, nous allons prendrel’exemple des sections 7.1.1 et 7.1.2. Notez que les coordonnées des points du tableau 7.3.2.1 sont sansdimension et n’ont donc pas d’unité.

Tout d’abord, dans le but de simplifier les calculs, nous allons construire les droites extrêmes à partir du premieret du dernier point du graphique. En effet, puisque les premier et dernier points délimitent la série de données dugraphique, il est logique de les utiliser afin de trouver les droites extrêmes. Il faut néanmoins s’assurer que lespremier et dernier points soient relativement près de la meilleure droite et qu’ils ne soient pas singuliers, sinon, ilvaudrait mieux utiliser la méthode centrée présentée à la section 7.3.1.

Commençons par trouver la meilleure droite à l’aide d’un logiciel en nous assurant qu’il n’y a pas de pointsingulier. La détermination de l’incertitude des paramètres d’une droite n’est cohérente que si la présence depoints singuliers est marginale (approximativement moins de 15%). Sinon, il vaudrait mieux vérifier s’il n’y a pasun problème avec l’expérience ou avec la théorie (section 7.2). Dans l’exemple des sections 7.1.1 et 7.1.2, il n’y aaucun point singulier et l’équation de la meilleure droite est égale à :

y = mx + by = 9,6x + 0,050.


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Graphiquement, dans le cas d’une droite croissante, on déterminera la droite de pente maximale en exigeantqu’elle passe par le coin inférieur droit du premier point (x1max; y1min) et par le coin supérieur gauche du dernier

point (x4min; y4max) :

Point 1 droite max = (x1max; y1min) = (x1 + Δx1; y1 - Δy1)

(x1max; y1min) = (0,05 + 0,01; 0,6 – 0,1)

(x1max; y1min) = (0,06; 0,5)

Point 4 droite max = (x4min; y4max) = (x4 – Δx4; y4 + Δy4)

(x4min; y4max) = (0,20 - 0,02; 1,9 + 0,2)

(x4min; y4max) = (0,18; 2,1).


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Dans le cas d’une droite croissante, comme dans le graphique 7.3.2.3, on peut dire que la droite ayant une pentemaximale passe par le coin inférieur droit du premier point (x1max; y1min) et par le coin supérieur gauche du

dernier point (x4min; y4max).

Dans le graphique 7.3.2.3, on constate aussi que cette droite maximale permet de trouver l’ordonnée à l’origineminimale. L’équation de cette droite est donc :

y = mmaxx + bmin.

Puisque nous connaissons deux points de cette droite, et que nous savons qu’une pente est égale à une variationde l’ordonnée sur une variation de l’abscisse, il est possible de trouver la valeur de la pente maximale :

mmax =

mmax = = 13,333 ...

N’oubliez pas que, lors de calculs intermédiaires, il faut garder le plus grand nombre de chiffres significatifs àchaque étape.

À partir d’un des deux points connus de cette droite, c'est-à-dire le premier ((x1max, y1min) = (0,06, 0,5)) ou le

dernier point ((x4min, y4max) = (0,18, 2,1)), on peut trouver l’ordonnée à l’origine minimale :


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y1min = mmaxx1max + bmin

0,5 = (13,333 ...) · 0,06 + bmin

bmin = -0,30000 ...

Notez que le calcul de la pente maximale et de l’ordonnée à l’origine minimale à partir des points (x1max, y1min)

et (x4min, y4max) peut aussi se faire en ajoutant une deuxième série de point dans le graphique d’Excel (ouNumbers) et en affichant l’équation de la courbe de tendance de type linéaire.

En respectant la même logique, on trouve la droite de pente minimale et d’ordonnée à l’origine maximale d’unedroite croissante en exigeant qu’elle passe par le coin supérieur gauche du premier point (x1min; y1max) et le coin

inférieur droit du dernier point (x4max; y4min) :

Point 1 droite min = (x1min; y1max) = (x1 - Δx1; y1 + Δy1)

(x1min; y1max) = (0,05 - 0,01; 0,6 + 0,1)

(x1min; y1max) = (0,04; 0,7)

Point 4 droite min = (x4max; y4min) = (x4 + Δx4; y4 - Δy4)

(x4max; y4min) = (0,20 + 0,02; 1,9 - 0,2)

(x4max; y4min) = (0,22; 1,7).

Dans le cas d’une droite croissante, comme dans le graphique 7.3.2.4, on peut dire que la droite ayant une penteminimale passe par le coin supérieur gauche du premier point (x1min; y1max) et par le coin inférieur droit du

dernier point (x4max; y4min).

Puisque nous connaissons deux points de cette droite, il est possible de trouver la valeur de la pente minimale :


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mmin =

mmin = = 5,5556 ...

À partir d’un des deux points connus de cette droite ((x1min; y1max) ou (x4max; y4min)), on peut trouverl’ordonnée à l’origine maximale. Si nous utilisons le premier point, cela donne :

y1max = mminx1min + bmax

0,7 = (5,5556 ...) · 0,04 + bmax

bmax = 0,47778 ...

À l’aide de la méthode des extrêmes, il est maintenant possible de calculer l’incertitude des paramètres de ladroite :

Δm =

Δm = = 3,8889 ...

Δb =

Δb = = 0,38889 ...

Puisque les valeurs des paramètres de la meilleure droite sont connues, il est préférable que les valeurs desmeilleures estimations de la pente et de l’ordonnée à l’origine soient données par ceux-ci. En effet, ces meilleuresestimations ont été calculées en tenant compte de tous les points, et pas seulement des points extrêmes (voir legraphique 7.3.2.2) :

m = pente de la courbe de tendance = 9,6

b = ordonnée à l’origine de la courbe de tendance = 0,050.

En respectant les règles d’écriture, voici les valeurs des résultats expérimentaux de m et b :

m = 9,6 ± 3,8889 … = 10 ± 4

b = 0,050 ± 0,38889 … = 0,1 ± 0,4.

Notez que les valeurs des incertitudes sont exactement les mêmes qu’avec la méthode centrée de la section7.3.1. Ainsi, lorsque les premier et dernier points d’un graphique sont relativement près de la meilleure droite etqu’ils ne sont pas singuliers, il est possible d’utiliser cette méthode parce qu’elle est plus simple à appliquer etqu’elle donne une incertitude qui est du même ordre de grandeur que la méthode centrée (dans notre exemple, ils’agit de la même réponse après avoir appliqué les règles d’écriture!).


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Résumé des étapes permettant de trouver les incertitudes sur la pente et l’ordonnée à l’origine d’unecourbe de tendance linéaire (méthode non centrée)

1- Tracer un graphique en s’assurant que les points aux extrémités sont près de la courbe de tendance, présenterla courbe de tendance et afficher son équation2- Trouver les coordonnées et incertitudes des premier et dernier points expérimentaux3- Calculer la pente maximale. Pour une droite croissante ayant deux points expérimentaux, utilisez les points(x1max; y1min) et (x4min; y4max).4- Calculez l’ordonnée à l’origine minimale à l’aide de l’équation de la courbe de tendance.5- Calculer la pente minimale. Pour une droite croissante ayant deux points expérimentaux, utilisez les points(x1min; y1max) et (x4max; y4min).6- Calculer l’ordonnée à l’origine maximale à l’aide de l’équation de la courbe de tendance.7- À l’aide de la méthode des extrêmes, déterminer l’incertitude de la pente et de l’ordonnée à l’origine8- Utiliser les paramètres de la courbe de tendance afin de trouver la meilleure estimation de la pente et del’ordonnée à l’origine9- Écrire le résultat expérimental de la pente et de l’ordonnée à l’origine en respectant les règles d’écriture.


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Vous voulez valider votre compréhension de la méthode non centrée à l'aide d'exercices aléatoiresauto-corrigés?




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7.3.3 Mise en garde à propos des méthodes graphiques permettant de trouver lesincertitudes sur la pente et l’ordonnée à l’origine d’une droite

Les méthodes graphiques utilisées dans les sections 7.3.1 et 7.3.2 permettent de trouver l’incertitude de la penteet de l’ordonnée à l’origine d’une droite, mais elles ne sont pas parfaites. Comme nous l’avons mentionnéprécédemment, puisque ces méthodes utilisent des droites extrêmes, celles-ci ont tendance à maximiserl’incertitude de chaque paramètre.

De plus, lorsqu’une des droites extrêmes ne touche pas à tous les points expérimentaux, l’effet de maximisationdes incertitudes de la pente et de l’ordonnée à l’origine a tendance à s’accentuer.

Figure 7.3.3.1 Le troisième point des graphiques 7.3.1.7 et 7.3.2.5 ne touche pas à l'une des droites extrêmes.

Lorsque cette situation se présente, il faut être prudent :

Y-a-t-il eu des erreurs de manipulation?Y-a-t-il un problème avec le montage?Y-a-t-il un problème avec la prise de données?Les incertitudes ont-elles été sous-estimées?Le modèle théorique est-il adéquat?

Afin d’éviter ce genre de situation, on pourrait essayer de trouver des droites extrêmes qui passent réellementpar tous les points. Malheureusement, cette méthode peut s’avérer laborieuse, hasardeuse et compliquée, surtoutlorsqu’un graphique contient beaucoup de points. Ainsi, même lorsqu’un ou plusieurs points d’un graphique netouchent pas aux droites extrêmes, nous allons tout de même utiliser les méthodes graphique suggérées dans lessections 7.3.1 et 7.3.2. Bien qu’elles maximisent l’incertitude de chaque paramètre, elles donnent tout de mêmeune bonne idée de l’ordre de grandeur de la valeur de chaque incertitude.


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7.4.1 Évaluer la pertinence d’un modèle théorique

Lorsque les données expérimentales recueillies dans le cadre d’une expérience ont pour but d’illustrer ou deconfirmer la pertinence d’un modèle théorique, on peut utiliser les résultats de l’analyse graphique pour décider sile modèle théorique est pertinent et recevable. Pour l’être, on exigera que les deux points suivants soientrespectés:

1- le nombre de points singuliers, par rapport à la courbe de tendance (dont le type d’équation dépend dela théorie), est marginal (approximativement inférieur ou égal à 15%)

2- chaque paramètre de la courbe de tendance, ou chaque valeur calculée à partir d’un paramètre de lacourbe de tendance, est égal à une valeur prédite par la théorie

Ainsi, dans le cas d’une droite où y = mx + b, le modèle théorique est pertinent et recevable si :

1- le nombre de points singuliers par rapport à la meilleure droite est marginal (approximativementinférieur ou égal à 15%)2- a. le résultat expérimental de la pente m est égal à une valeur prédite par la théorie

2- b. le résultat expérimental de l’ordonnée à l’origine b est égal à une valeur prédite par la théorie


7.4.2 Conditions supplémentaires permettant d’évaluer la pertinence d’un modèlethéorique

1- Lorsqu’un modèle théorique est recevable et qu’il respecte les conditions de la section 7.4.1, il peut êtreintéressant de s’assurer que le coefficient de détermination R2 de la courbe de tendance (section 7.1.3) estrelativement près de 1 (idéalement supérieur ou égal à 0,950). Lorsque cette condition est respectée, c’est que les points expérimentaux sont relativement près de la courbe detendance.

2- Dans le cas d’une fonction ayant une relation linéaire, il peut être pertinent de vérifier que tous les résultatsexpérimentaux du graphique, à l’exception des points singuliers, touchent aux droites extrêmes (voir la mise engarde de la section 7.3.3). Lorsque cette condition est respectée, c’est que les valeurs des incertitudes des paramètres de la droite sont fortprobablement adéquates.


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7.4.3 Exemple d’évaluation de la pertinence d’un modèle théorique

Supposons que les données expérimentales du tableau 7.4.3.1 ci-dessous soient mises dans le graphique 7.4.3.1afin de déterminer si l’accélération gravitationnelle terrestre est constante et si sa valeur est bel et bien égale à lavaleur admise, c’est-à-dire g = (9,80665 ± 0,00001) m/s2.

Puisque les valeurs numériques du tableau 7.4.3.1 ont été utilisées dans les sections précédentes, nousconnaissons déjà :

1- l’équation de cette série de points (section 7.1.2). En tenant compte des unités de l’abscisse (s) et del’ordonnée (m/s), et des symboles des axes, cela donne :


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v = (9,6 m/s2) · t + 0,05 m/s.

2- le nombre de points singuliers (section 7.2) :

nombre de point singulier = 0.

3- le résultat expérimental de la pente et de l’ordonnée à l’origine de cette série de points (section 7.3.1 ou7.3.2). En tenant compte des unités des axes, cela donne :

m = (10 ± 4) m/s2 b = (0,1 ± 0,4) m/s.

En théorie, si l’accélération gravitationnelle terrestre est constante, nous savons qu’un graphique de la vitessed’une bille en chute libre en fonction du temps devrait être linéaire et prendre la forme suivante :

v = gt + vo

où g est l’accélération gravitationnelle terrestre dont la valeur est (9,80665 ± 0,00001) m/s2

vo la vitesse initiale de la bille en chute libre. Si l’objet part du repos, sa vitesse initiale vo est nulle (vo = 0 m/s).

Figure 7.4.3.1 Bille en chute libre partant du repos. Afin que la vitesse et l’accélération gravitationnelle soientpositives, l’axe des y est dirigée vers le bas.

Pour évaluer la pertinence de ce modèle théorique, il faut, entres autres, comparer les deux équations suivantes :

celle trouvée de façon expérimentale

v = mt + b

v = (10 ± 4) m/ s2 · t + (0,1 ± 0,4) m/s


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celle provenant de la théorie

v = gt + vo

v = (9,80665 ± 0,00001) m/s2 · t + 0 m/s.

Ainsi, nous sommes prêts à vérifier si le modèle théorique est pertinent et recevable. Voici ce que nous pouvonsconclure pour cette expérience :

1- le nombre de points singuliers dans le graphique est marginal puisqu’il est de 0%.

2- a. Le résultat expérimental de la pente, m = (10 ± 4) m/s2, est égal à la valeur admise de l’accélération

gravitationnelle : g = (9,80665 ± 0,00001) m/s2. En effet, ces deux résultats expérimentaux ont undomaine commun.

2- b. Le résultat expérimental de l’ordonnée à l’origine, b = (0,1 ± 0,4) m/s, est égal à la valeur prédite

par la théorie pour un objet qui part du repos : vo = 0 m/s. En effet, ces deux résultats expérimentaux ontun point en commun.

Puisque toutes les caractéristiques ont été vérifiées, le modèle théorique est pertinent et recevable. Notez que siune seule de ces trois conditions n’avait pas été respectée, le modèle théorique aurait été jugé irrecevable.

Malgré la pertinence de ce modèle théorique, il est important de se rendre compte que la situation n’est pasidéale. Par exemple, le coefficient de détermination R2 de la courbe de tendance, qui est égal à 0,922 (section7.1.4), est plus petit que 0,950. Cela nous indique que les points expérimentaux sont relativement éloignés de lameilleure droite (section 7.4.2). De plus, le troisième point du graphique ne touche pas à la droite extrême qui ala pente minimale (section 7.3.3). Ainsi, il y a peut-être un problème avec l’évaluation des incertitudes.

En conclusion, bien que le modèle théorique soit recevable, il vaudrait peut-être mieux, si la situation le permet,recommencer l’expérience dans des conditions expérimentales plus adéquates en utilisant, par exemple, desinstruments de mesure ayant une résolution plus petite.


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7.4.4 Cas particulier lorsque la pente ou l’ordonnée à l’origine ne correspond pasdirectement à la variable nous permettant de vérifier la théorie

Il arrive parfois que la valeur de la pente ou de l’ordonnée à l’origine ne corresponde pas directement à la variablequi nous permet de vérifier la théorie. Par exemple, en théorie, nous savons que l’équation décrivant la position

d’un objet en chute libre en fonction du temps, lorsque l’objet a une vitesse initiale nulle et que l’axe des y pointevers le sol, devrait être égale à :

y = t2 + yo

où y est la position verticale de la bille

yo la position initiale de la bille

g la valeur de l’accélération gravitationnelle terrestre

t le temps écoulé depuis le début de la chute.

Figure 7.4.4.1 Bille en chute libre partant du repos. Afin que la vitesse et l’accélération gravitationnelle soientpositives, l’axe des y est dirigée vers le bas.

Lorsqu’on linéarise cette fonction, en exprimant le graphique de la position d’une bille (y) en fonction du temps au

carré (t2), on obtient une droite dont la pente (m) est égale à g/2 et l’ordonnée à l’origine (b) à yo :


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Ainsi, la pente dissimule une valeur expérimentale de l’accélération gravitationnelle (gexpérimentale) :

m = .

Dans cet exemple, supposons que la valeur de la pente, trouvée à l’aide de la méthode des droites extrêmes, estégale à :

m = (5 ± 1) m/s2.

Pour trouver le résultat de l’accélération gravitationnelle terrestre expérimentale, il faut d’abord l’isoler dansl’équation vue précédemment :

gexpérimentale = 2 · mgexpérimentale = 2 · 5 m/s2 = 10 m/s2.

Puis, il faut trouver l’incertitude de gexpérimentale en appliquant les règles simples (section 4.4.2) :

gexpérimentale = · gexpérimentale

gexpérimentale = · 10 m/s2 = 2 m/s2.

En respectant les règles d’écriture, cela donne :

gexpérimentale = (10 ± 2) m/s2.

La valeur de la pente nous a donc servi à trouver une valeur expérimentale de l’accélération gravitationnelle. Lorsde l’évaluation du modèle théorique, il faudra modifier légèrement le point 2.a (section 7.4.1), comme dansl’exemple suivant :

2- a. La valeur de l’accélération gravitationnelle expérimentale, gexpérimentale = (10 ± 2) m/s2, trouvée à

partir du résultat expérimental de la pente, m = (5 ± 1) m/s2, est égale à la valeur admise de

l’accélération gravitationnelle : g = (9,80665 ± 0,00001) m/s2. En effet, ces deux résultats expérimentauxont un domaine commun.

Il peut aussi arriver que l’ordonnée à l’origine ne corresponde pas directement à la variable permettant de vérifierla théorie. Dans ce cas, il s’agit de trouver le résultat expérimental de la variable nous permettant de vérifier lathéorie, comme nous venons de le faire avec la pente.

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