IMN317 - Chapitre 4 - Conception de...

IMN317Chapitre 4 - Conception de filtres

Olivier Godin

Université de Sherbrooke

10 novembre 2011

4. Conception de filtres 1 / 66

Plan du chapitre

1 Caractéristiques d’un filtre

2 Conception de filtres FIR

3 Conception de filtres IIR

4 Conception de filtres avec Matlab


Caractéristiques d’un filtre

Plan de la section







Introduction

Dans ce chapitre, on s’attarde au problème de concevoir un filtre quirépond à certains besoins précis.

Pour y arriver, on devra d’abord établir des contraintes sur l’effet quele filtre doit avoir :

Des contraintes sur l’amplitude de la réponse en fréquences :quelles fréquences doit-on conserver ?

Des contraintes sur la phase de la réponse en fréquences :jusqu’à quel point peut-on perturber la phase du signal original ?



Introduction

Deuxièmement, on devra avoir des contraintes sur la complexité dufiltre :

Est-il préférable d’utiliser un filtre FIR ou IIR ?

Quel ordre (degré de la fonction de transfert) le filtre peut-ilavoir pour maintenir un niveau de performance acceptable ?



Introduction

Une fois qu’on a fait ces choix, il ne reste qu’à trouver un ensemblede coefficients ai et bi qui produisent un filtre répondant le pluspossible à ces contraintes.

On va maintenant s’attarder à définir formellement lescaractéristiques d’un filtre qui permettront de respecter cescontraintes.



Conception d’un filtre passe-bas

On considère ici le cas de la conception d’un filtre passe-bas ayantune fréquence de coupure à ωc .

Le filtre idéal répondant à cette contrainte sera caractérisé par lesréponse en fréquences et réponse impulsionnelle suivantes :

Hi (eiω) =

1 si 0 ≤ |ω| ≤ ωc

0 si ωc < |ω| ≤ πet hi [n] =

sin (ωcn)

πn




Comme on l’a vu au chapitre précédent, un tel filtre n’est pasréalisable (c-à-d instable et non causal). Il est donc nécessaire derelaxer les contraintes sur la réponse en fréquences.

Typiquement, l’amplitude d’un filtre passe-bas sera plutôt de la forme

1− δp ≤

∣∣H(eiω)∣∣ ≤ 1 + δp si 0 ≤ |ω| ≤ ωp∣∣H(eiω)

∣∣ ≤ δs si ωs < |ω| ≤ π




Ainsi, au lieu de définir seulement une fréquence de coupure ωc , ondéfinit une bande de transition sur l’intervalle [ωp, ωs].

On définit aussi l’atténuation stop-bande δs et la distorsionpasse-bande δp qui limiteront les variations de l’amplitude le longde la bande passante et de la bande stop, respectivement.

Chapter 9

Filter Design 9.1 INTRODUCTION This chapter considers the problem of designing a digital filter. The design process begins with the filter specifications, which may include constraints on the magnitude and/or phase of the frequency response, constraints on the unit sample response or step response of the filter, specification of the type of filter (e.g., FIR or IIR), and the filter order. Once the specifications have been defined, the next step is to find a set of filter coefficients that produce an acceptable filter. After the filter has been designed, the last step is to implement the system in hardware or software, quantizing the filter coefficients if necessary, and choosing an appropriate filter structure (Chap. 8).

9.2 FILTER SPECIFICATIONS

Before a filter can be designed, a set of filter specifications must be defined. For example, suppose that we would like to design a low-pass filter with a cutoff frequency w,.. The frequency response of an ideal low-pass filter with linear phase and a cutoff frequency w,. is

which has a unit sample response sin(n - a)w, .

hd(n) = n(t7 - a )

Because this filter is unrealizable (noncausal and unstable), i t is necessary to relax the ideal constraints on the frequency response and allow some deviation from the ideal response. The specifications for a low-pass filter will typically have the form

as illustrated in Fig. 9-1. Thus, the specifications include the passband cutoff frequency, w,, the stopband cutoff frequency, w,, the passband deviation, 6,. and the stopband deviation, 6,. The passband and stopband deviations

I I I Passband 4 Stopband -i

I I I

Fig. 9-1. Filter specifications for a low-pass filter,


Conception de filtres FIR

Plan de la section


2 Conception de filtres FIRFiltres FIR simplesConception de filtres FIR avec la méthode des fenêtres




Conception de filtres FIR Filtres FIR simples

Filtres FIR simples

Avant de voir les méthodes plus avancées de conception de filtres, ons’intéresse à des filtres de petit ordre, qui sont plus simples àconcevoir.

Les filtres FIR de petit ordre sont non seulement simple à concevoir,mais aussi simple à implanter, ce qui les rend particulièrement utileslorsque les ressources sont limitées ou pour des implantationshardware.



Filtre FIR passe-bas

Le filtre FIR passe-bas le plus simple est le filtre moyenneur avecM = 2. Sa réponse impulsionnelle et sa fonction de transfert sontdonnées par

h0[n] =

12 si 0 ≤ n ≤ 10 si sinon

et H0(z) =12(1 + z−1) =

z + 12z

H0(z) possède un zéro à z = −1 et un pôle à z = 0. Le cercle unitéest donc dans la ROC de la TZ.




Comme le cercle unité est dans la ROC, on peut évaluer la réponseen fréquences du filtre.

H0(eiω) = H(z)|z=eiω =eiω + 1

2eiω

=e−

12 iω

e−12 iω· eiω + 1

2eiω

=e

12 iω + e−

12 iω

2e12 iω

= e−12 iω cos

ω

2




La réponse en amplitude∣∣H0(eiω)

∣∣ = cos ω2 est une fonction

décroissante entre ω = 0 et ω = π. On a que

∣∣∣H0(ei·0)∣∣∣ = 1 et

∣∣∣H0(ei·1)∣∣∣ = 0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Amplitude

!/"




La fréquence de coupure sera la fréquence ωc pour laquelle∣∣∣H0(eiωc )∣∣∣ =

1√2

∣∣∣H0(ei·0)∣∣∣

Pour ce filtre, on trouve ωc = π2 .

La bande passante est donc l’intervalle[0, π2

]et la bande stop est

l’intervalle[π2 , π

].




On s’entend pour dire que c’est moche comme filtre. La bande detransition couvre l’étendue des fréquences ! On peut améliorer (unpeu) la situation en appliquant le filtre à plusieurs reprises.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Amplitude

!/"

Le problème principal et qu’on ne contrôle pas la fréquence decoupure ωc ! Pour l’application en série, celle-ci devient 0.3π.


Conception de filtres FIR Conception de filtres FIR avec la méthode des fenêtres

Approximation d’un filtre idéal

Soit hd [n] la réponse impulsionnelle d’un filtre idéal ayant lescaractéristiques souhaitées.

Comme hd [n] sera la plupart du temps de longueur infinie, noncausal et instable, on va lui chercher une approximation de longueurfinie.

Cette approximation sera faite par la méthode des fenêtres.




La méthode des fenêtres consiste à multiplier hd [n] avec un signalfenêtre w [n] :

h[n] = hd [n]w [n]

Le signal fenêtre devra être

de longueur finie N (w [n] = 0 en dehors de l’intervalle[0 ≤ n ≤ N]), et

symétrique par rapport à son centre, c’est-à-dire quew [n] = w [N − n].




Soient Hd (eiω) et W (eiω), les DTFT de hd [n] et w [n] respectivement.Avec la propriété de modulation (inverse du théorème deconvolution), on trouve que

H(eiω) = Hd (eiω) ∗W (eiω) =1

2π

∫ π

−πHd (eiθ)W (ei(ω−θ)) dθ

C’est le choix de la fenêtre qui dictera à quel point le filtres’approche d’un filtre idéal.




FILTER DESIGN [CHAP. 9

I Peak Sidelobe

I W

- ?r -4 A it Mainlobe 'IT

Width Fig. 9-2. The DTFT of a typical window, which is characterized by the width of its main lobe. A.

and the peak amplitude of its side lobes, A, relative to the amplitude of W ( d ' " ) at o = 0.

Ideally, the main-lobe width should be narrow, and the side-lobe amplitude should be small. However, for a fixed-length window, these cannot be minimized independently. Some general properties of windows are as follows:

1. As the length N of the window increases, the width of the main lobe decreases, which results in a decrease in the transition width between passbands and stopbands. This relationship is given approximately by

where A f is the transition width, and c is a parameter that depends on the window. 2. The peak side-lobe amplitude of the window is determined by the shape of the window, and it is

essentially independent of the window length. 3. If the window shape is changed to decrease the side-lobe amplitude, the width of the main lobe will

generally increase.

Listed in Table 9.2 are the side-lobe amplitudes of several windows along with the approximate transition width and stopband attenuation that results when the given window is used to design an N th-order low-pass filter.

Table 9-1 Some Common Windows

Rectangular

Hanning'

Hamming

Blackman

I O s n s N w ( n ) =

0 else

10 else

I0 else

I 0 else

' In the literature, this window is also called a Hann window or a von Hann window.

On évaluera la performance d’une fenêtre selon deux critères :

la largeur du pic principal, notée ∆, etla hauteur du pic secondaire, notée A.




Pour que le filtre estimé s’approche le plus du filtre idéal, on souhaiteraque ∆ et A soient le plus petit possible.

Malheureusement, ces deux valeurs ne peut pas être minimiséesindépendamment.



Les fonctions fenêtre

Les fenêtres utilisées pour la conception de filtres respectent lesgrands principes suivants :

1 À mesure que N (la longueur de la fenêtre et l’ordre du filtre) croît,∆ diminue ;

2 L’amplitude A dépend essentiellement de la forme choisie pour lafenêtre, et très peu de N ;

3 Un changement de type de fenêtre visant à diminuer A aurasouvent pour effet d’augmenter ∆, et vice versa.

Les deux tableaux suivantes présentent certaines fonctions fenêtreainsi que leurs propriétés.




FILTER DESIGN [CHAP. 9

I Peak Sidelobe

I W

- ?r -4 A it Mainlobe 'IT

Width Fig. 9-2. The DTFT of a typical window, which is characterized by the width of its main lobe. A.

and the peak amplitude of its side lobes, A, relative to the amplitude of W ( d ' " ) at o = 0.

Ideally, the main-lobe width should be narrow, and the side-lobe amplitude should be small. However, for a fixed-length window, these cannot be minimized independently. Some general properties of windows are as follows:

1. As the length N of the window increases, the width of the main lobe decreases, which results in a decrease in the transition width between passbands and stopbands. This relationship is given approximately by

where A f is the transition width, and c is a parameter that depends on the window. 2. The peak side-lobe amplitude of the window is determined by the shape of the window, and it is

essentially independent of the window length. 3. If the window shape is changed to decrease the side-lobe amplitude, the width of the main lobe will

generally increase.

Listed in Table 9.2 are the side-lobe amplitudes of several windows along with the approximate transition width and stopband attenuation that results when the given window is used to design an N th-order low-pass filter.

Table 9-1 Some Common Windows

Rectangular

Hanning'

Hamming

Blackman

I O s n s N w ( n ) =

0 else

10 else

I0 else

I 0 else

' In the literature, this window is also called a Hann window or a von Hann window.




CHAP. 91 FILTER DESIGN

EXAMPLE 9.3.1 Suppose that we would like to design an FIR linear phase low-pass filter according to the following specifications:

Table 9-2 The Peak Side-Lobe Amplitude of Some Common Windows and the Approximate Transition Width and Stopband Attenuation of an Nth-Order Low-Pass Filter

Designed Using the Given Window.

For a stopband attenuation of 20 log(0.O I ) = -40 dB. we may use a Hanning window. Although we could also use a Hamming or a Blackman window, these windows would overdesign the filter and produce a larger stopband attenuation at the expense of an increase in the transition width. Because the specification calls for a transition width of Aw = w, - w, = 0.02n, or Af = 0.01, with

NAf = 3.1

Window

Rectangular Hanning

Hamming Blackman

for a Hanning window (see Table 9.2), an estimate of the required filter order is

The last step is to find the unit sample response of the ideal low-pass filter that is to be windowed. With a cutoff frequency of w,. = (w, + w,)/2 := 0.2n, and a delay of cr = N/2 = 155, the unit sample response is

Side-Lobe Amplitude (dB)

- 13 -31 -41 -57

In addition to the windows listed in Table 9-1, Kaiser developed a family of windows that are defined by

where a = N/2 , and lo(.) is a zeroth-order modified Bessel function of the first kind, which may be easily generated using the power series expansion

Transition Width (.A f )

0.9/N 3.1IN 3.3/N 5 S / N

The parameter determines the shape of the window and thus controls the trade-off between main-lobe width and side-lobe amplitude. A Kaiser window is nearly optimum in the sense of having the most energy in its main lobe for a given side-lobe amplitude. Table 9-3 illustrates the effect of changing the parameter /3.

There are two empirically derived relationships for the Kaiser window that facilitate the use of these windows to design FIR filters. The first relates the stopband ripple of a low-pass filter, a, = -20 log(6,), to the parameter B,

Stopband Attenuation (dB)

-21 -44 -53 - 74



Exemple 4.1



Autres méthodes de conception de filtres FIR

La méthode des fenêtres est la méthode la plus simple pour concevoirun filtre FIR répondant à certains critères, mais elle n’est pas laméthode optimale. D’autres techniques plus performantes existent :

Échantillonnage de la réponse en fréquences idéale

Méthode equiripple


Conception de filtres IIR

Plan de la section



3 Conception de filtres IIRFiltres IIR simplesConception de filtres IIR à partir de filtres analogiques



Conception de filtres IIR Filtres IIR simples

Filtres IIR simples

Un filtre FIR causal a tous ses pôles à l’origine. Ainsi, la forme de laréponse en fréquences est uniquement déterminée par la positiondes zéros.

Le cas des filtres IIR est différent : les pôles peuvent être n’importe oùdans le cercle unité. Ils contribuent donc à la forme de la réponse enfréquence, ce qui donne aux filtres IIR plus de souplesse pour unordre égal.



Filtre IIR passe-bas

La fonction de transfert du filtre IIR passe-bas le plus simple est

HLP(z) =1− α

2· 1 + z−1

1− αz−1

avec 0 < |α| < 1, pour assurer la stabilité.




Sa réponse en amplitude sera

∣∣∣H(eiω)∣∣∣ =

√(1− α)2(1 + cosω)

2(1 + α2 − 2α cosω)




0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Ampl

itude

!/"

# = 0.8# = 0.7# = 0.5

(a) 0 < α < 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Ampl

itude

!/"

# = −0.8# = −0.7# = −0.5

(b) −1 < α < 0




Le paramètre α permet de définir la fréquence de coupure ωc telleque

∣∣∣H(eiωc )∣∣∣ =

1√2

∣∣∣H(ei·0)∣∣∣




On pose∣∣H(eiωc )

∣∣2 = 12 et on obtient

cosωc =2α

1 + α2

qui mènera à deux solutions possibles, mais une seule permettra aufiltre d’être stable :

α =1− sinωc

cosωc



Filtre IIR passe-bande

Il est impossible de générer un filtre passe-bande avec une fonction detransfert d’ordre un. L’ordre le plus faible pour un filtre passe-bandeest donc deux, afin que la courbe ait une forme en cloche.




De plus, afin que la réponse en amplitude soit nulle à ω = 0 et ω = π,la fonction de transfert doit avoir des zéros à z = 1 et z = −1.

Ainsi, un filtre passe-bande d’ordre deux sera défini par la fonction detransfert

HBP(z) =1− α

2· 1− z−2

1− β(1 + α)z−1 + αz−2




Les pôles de cette fonction sont situés à z = re±iφ, où

r =√α et φ = arccos

(β(1 + α)

2√α

)

Afin d’assurer la stabilité, on doit avoir r < 1, ce qui implique |α| < 1.




0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Ampl

itude

!/"

# = 0.8# = 0.5# = 0.2

(a) Variation sur α, β = 0.34

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Ampl

itude

!/"

# = 0.8# = 0.5# = 0.1

(b) Variation sur β, α = 0.6


Conception de filtres IIR Conception de filtres IIR à partir de filtres analogiques

Techniques de conception

Il y a deux approches pour la conception de filtres IIR. La pluscommune est de concevoir un filtre IIR analogique, puis de luitrouver un équivalent numérique.

Le domaine du traitement de signal électrique remontant à beaucoupplus loin que l’équivalent dans le monde discret, les techniques deconception de filtres analogiques sont très développées.



Techniques de conception

« Depuis l’aube des temps,l’homme s’intéresse aux circuits électriques. »

On s’intéressera ici à la conception d’un filtre IIR passe-bas à partird’un équivalent analogique.



Filtres passe-bas analogiques

Pour concevoir un filtre IIR à partir d’un filtre analogique, il faut d’abordsavoir comment concevoir un filtre analogique.

Un filtre analogique Ha(iΩ) est défini avec les mêmes paramètres queson équivalent numérique :

Une bande de transition [Ωp,Ωs]

Une distorsion passe-bande δp

Une atténuation stop-bande δs




On aura donc que

1− δp ≤ |Ha(iΩ)| ≤ 1 sur la bande passante, et

0 ≤ |Ha(iΩ)| ≤ δs sur la bande stop.

CHAP. 91 FILTER DESIGN 367

to IIR filter design is relatively simple. The second approach to design IIR digital filters is to use an algorithmic design procedure, which generally requires the use of a computer to solve a set of linear or nonlinear equations. These methods may be used to design digital filters with arbitrary frequency response characteristics for which no analog filter prototype exists or to design filters when other types of constraints are imposed on the design.

In this section, we consider the approach of mapping analog filters into digital filters. Initially, the focus will be on the design of digital low-pass filters from analog low-pass filters. Techniques for transforming these designs into more general frequency selective filters will then be discussed.

9.4.1 Analog Low-Pass Filter Prototypes

To design an IIR digital low-pass filter from an analog low-pass filter, we must first know how to design an analog low-pass filter. Historically, most analog filter approximation methods were developed for the design of passive systems having a gain less than or equal to 1 . Therefore, a typical set of specifications for these filters is as shown in Fig. 9-5(a), with the passband specifications having the form

( ( I ) Specifications in terms of and 6,. ( I ? ) Specifications in terms of e and A.

Fig. 9-5. Tivo different conventions for specifying the passband and stopband deviations for an analog low-pass filter.

Another convention that is commonly used is to describe the passband and stopband constraints in terms of the parameters E and A as illustrated in Fig. 9-5(h). Two auxiliary parameters of interest are the dist.riminatior7 factor,

E ] =-- fin and the selectivity factor

Q k =" Q.5

The three most commonly used analog low-pass filters are the Butterworth, Chebyshev, and elliptic filters. These filters are described below.

Butterworth Filter

A low-pass Butterworth filter is an all-pole filter with a squared magnitude response given by




On reformule les contraintes définissant le filtre en posant

ε =√

(1− δp)−2 − 1

A =1δs

CHAP. 91 FILTER DESIGN 367

to IIR filter design is relatively simple. The second approach to design IIR digital filters is to use an algorithmic design procedure, which generally requires the use of a computer to solve a set of linear or nonlinear equations. These methods may be used to design digital filters with arbitrary frequency response characteristics for which no analog filter prototype exists or to design filters when other types of constraints are imposed on the design.

In this section, we consider the approach of mapping analog filters into digital filters. Initially, the focus will be on the design of digital low-pass filters from analog low-pass filters. Techniques for transforming these designs into more general frequency selective filters will then be discussed.

9.4.1 Analog Low-Pass Filter Prototypes

To design an IIR digital low-pass filter from an analog low-pass filter, we must first know how to design an analog low-pass filter. Historically, most analog filter approximation methods were developed for the design of passive systems having a gain less than or equal to 1 . Therefore, a typical set of specifications for these filters is as shown in Fig. 9-5(a), with the passband specifications having the form

( ( I ) Specifications in terms of and 6,. ( I ? ) Specifications in terms of e and A.

Fig. 9-5. Tivo different conventions for specifying the passband and stopband deviations for an analog low-pass filter.

Another convention that is commonly used is to describe the passband and stopband constraints in terms of the parameters E and A as illustrated in Fig. 9-5(h). Two auxiliary parameters of interest are the dist.riminatior7 factor,

E ] =-- fin and the selectivity factor

Q k =" Q.5

The three most commonly used analog low-pass filters are the Butterworth, Chebyshev, and elliptic filters. These filters are described below.

Butterworth Filter

A low-pass Butterworth filter is an all-pole filter with a squared magnitude response given by




À partir de A, ε, et de la bande de transition, on définit deux nouveauxparamètres :

Le facteur de discrimination : d =ε√

A2 − 1

Le facteur de sélectivité : k =Ωp

Ωs

On a maintenant tout ce qu’il faut pour construire un filtre analogique.

Les types de filtres les plus utilisés sont les filtres de Butterworth, deChebyshev et les filtres elliptiques. On s’intéressera aux filtres deButterworth.



Filtres de Butterworth

Un filtre passe-bas de Butterworth possède une réponse enamplitude de la forme

|Ha(iΩ)|2 =1

1 +(

iΩiΩc

)2N

où N est l’ordre du filtre (le nombre de pôle dans la fonction detransfert) et Ωc est la fréquence de coupure.

Un filtre de Butterworth ne possède aucun zéro.




La réponse en amplitude est une fonction décroissante à mesureque Ω augmente. De plus, lorsque N augmente, la bande detransition devient plus mince.

368 FILTER DESIGN [CHAP. 9

The parameter N is the order of the filter (number of poles in the system function), and Q,. is the 3-dB cutoff frequency. The magnitude of the frequency response may also be written as

where

The frequency response of the Butterworth filter decreases monotonically with increasing 0, and as the filter order increases, the transition band becomes narrower. These properties are illustrated in Fig. 9-6, which shows IH,(jQ)l for Butterworth filters of orders N = 2 , 4 , 8 , and 12. Because

from the magnitude-squared function, we may write

I Fig. 9-6. The magnitude of the frequency response for Butterworth filters of orders

N = 2.4, 8.

Therefore, the poles of G,(s) are located at 2N equally spaced points around a circle of radius Q,.,

3,: = ( - I ) ~ / ' ~ ( ~ R , ) = Q , expI j k = 0 . 1 , . . . . 2 N - 1 2 N ( N + +2k)n I (9.7)

and are symmetrically located about the jR-axis. Figure 9-7 shows these pole positions for N = 6 and N = 7. The system function, H,(s), is then formed from the N roots of H,(s)H,(-s) that lie in the left-half s-plane. For a iiormuli-.ed Butterworth filter with Q,. = 1 , the system function has the form

I H,(s) = - - -

I A N ( ~ ) sN + a l sN- ' + . . . + aN-Is + a N (9.8)

Table 9-4 lists the coefficients of AN (s) for I N 5 8. Given Qp, Q,7, S,,, and S,, the steps involved in designing a Butterworth filter are as follows:

I . Find the values for the selectivity factor, k , and the discrimination factor, d. from the filter specifications. 2. Determine the order of the filter required to meet the specifications using the design formula

log d N Z -

log k




On s’attarde maintenant à construire la fonction de transfert Ha(s)du filtre. Pour y arriver, on part de l’égalité suivante :

|Ha(iΩ)|2 = Ha(s)Ha(−s)|s=iΩ =1

1 +(

siΩc

)2N

∣∣∣∣∣∣∣s=iΩ




Les pôles de Ga(s) sont situés sur un cercle de rayon Ωc dans leplan complexe. Ils correspondent à 2N points également espacés.

CHAP. 91 FILTER DESIGN

(u) Order N = 6. (h) Order N = 7.

Fig. 9-7. The poles of H,(a)H,(-s) for a Butterworth filter of order N = 6 and N = 7.

Table 9-4 The Coefficients in the System Function of a Normalized Butterworth Filter (a, = I) for

3. Set the 3-dB cutoff frequency, Q,, to any value in the range

n,[(i - J,)-~ - i ~ - ~ / ~ ~ 5 Q, 5 c2,[q2 - 1 1 - l ' ~ ~

4. Synthesize the system function of the Butterworth filter from the poles of

Orders I 5 N 5 8

1 Ga(s) = Ha(s)Ha(-s) =

I + ( S / ~ Q , ) ~ ~

that lie in the left-half s-plane. Thus,

a3

1 .om 2.6131 5.2361 9.1416

14.59 18 2 1.8462

where

EXAMPLE 9.4.1 Let us design a low-pass Butterworth filter to meet the following specifications:

f , =6kHz f , = 10kHz 6, = 6 , =0. l

ad

1 .OOOO 3.2361 7.4641

14.59 I8 25.6884

- as

1 .OW0 3.8637

10.0978 2 1.8462

La fonction de transfert Ha(s) sera définie par les N pôles de Ga(s)situés à gauche de l’axe imaginaire.




Les étapes pour la conception d’un filtre de Butterworth sont donc

1 Trouver les valeurs du facteur de sélectivité k et du facteur dediscrimination d .

2 Déterminer l’ordre du filtre qu’on doit avoir pour respecter lesspécifications, à l’aide de la règle

N ≥ log dlog k




3 Fixer la fréquence de coupure Ωc dans l’intervalle

Ωp

((1− δp)−2 − 1

)− 12N ≤ Ωc ≤ Ωs

(δ−2

s − 1)− 1

2N

4 Obtenir les pôles de la fonction Ha(s) à partir de la fonctionGa(s).



Exemple 4.2



Conversion A/D du filtre

Le filtre de Butterworth qu’on vient de construire est un filtreanalogique. On doit le convertir en filtre numérique.

Soient ha[t ] et Ha(s) (avec s ∈ C), la réponse impulsionnelle et laréponse en fréquence (respectivement) du filtre analogique. Oncherche à trouver h[n] et H(z), leur équivalent numérique.




La conversion se fait à l’aide d’une fonction de passage de la formes = m(z), qui définit comment passer du domaine s (transformée deLaplace d’une fonction continue) au domaine z (transformée en zd’une fonction discrète).

H(z) = Ha(s)|s=m(z)




Pour que la conversion donne un bon résultat, la fonction depassage m(z) doit posséder certaines caractéristiques :

L’axe imaginaire =(s) doit aller se plaquer sur le cercle unité|z| = 1.

Les points pour lesquels <(s) < 0 doivent être envoyés àl’intérieur du cercle unité.

La fonction m(z) doit être une fonction rationnelle en z pour queH(z) le soit aussi.




Une fonction qui fait ce travail est définie par la règle

s =2(1− z−1)

1 + z−1

Ainsi, partant d’un filtre analogique avec une fonction de transfertHa(s), on trouve le filtre numérique équivalent en prenant

H(z) = Ha

(2(1− z−1)

1 + z−1

)




La relation entre les valeurs Ω de l’axe imaginaire =(s) et lesfréquences ω sur le cercle unité est donnée par la fonctiond’enroulement :

ω = 2 arctanΩ

2



Conception d’un filtre IIR

Les étapes de la conceptions d’un filtre passe-bas IIR ayant unebande de transition sur [ωp, ωs], une distorsion passe-bande de δp etune atténuation stop-bande de δs sont donc :

1 Convertir les fréquences ωs et ωp en Ωs et Ωp avec l’inverse dela fonction d’enroulement.

2 Concevoir un filtre analogique répondant aux caractéristiquesdonnées.

3 Convertir le filtre au domaine numérique avec la fonction depassage s = m(z).



Exemple 4.3


Conception de filtres avec Matlab

Plan de la section







Introduction à sptool

sptool fournit une interface graphique pour la conception etl’application de filtres avec Matlab. sptool permet entre autres de

Importer des signaux

Concevoir des filtres FIR et IIR

Appliquer les filtres aux signaux

Consulter les spectres des signaux et des filtres



Introduction à sptool

MATLAB>> sptool



Choix du type de filtre



Choix de la méthode de conception du filtre



Création du filtre (spectre d’amplitude)



Création du filtre (réponse impulsionnelle)



Création du filtre (diagramme pôles-zéros)


IMN317 - Chapitre 4 - Conception de...

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