II - 9 Torsion - Université libre de...

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II -9 Torsion [email protected] version 15 juillet 2011 II - 9 - 2 Torsion II – 9 - Torsion uniforme Définition Arbre cylindrique - hyp. de Saint-Venant Essai de torsion Sécurité structurale des pièces tordues Autres sections - analogie de l’hydrodynamique Parois minces (fermées ou ouvertes) – [Frey, T. II, Chap. 8, 133-146]

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II - 9

Torsion

[email protected] 15 juillet 2011

II - 9 - 2Torsion

II – 9 - Torsion uniforme

Définition

Arbre cylindrique - hyp. de Saint-Venant

Essai de torsion

Sécurité structurale des pièces tordues

Autres sections - analogie de

l’hydrodynamique

Parois minces (fermées ou ouvertes)

– [Frey, T. II, Chap. 8, 133-146]

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II - 9 - 3Torsion

Torsion uniforme

définition

– torsion uniforme (pure, de Saint-Venant)

• Mx = constante

– gauchissement libre (non entravé)

– seules contraintes τxy, τxz

– arbre cylindrique : symétrie de révolution

• les sections planes restent planes et normales à l’axe

• les angles au centre sont conservés

II - 9 - 4Torsion

Torsion libre vs. entravée

Mx

Mx

Mx

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II - 9 - 5Torsion

Mx

Mx

Torsion d’un arbre cylindrique

0

0

dxcos

dx'dx

1cos

...2

1cos

x

x

2

≈=

+−=

σ

ε

α

α

αα

les génératrices

deviennent hélicoïdales

centre de torsion

[Frey, 2000, Vol. 2]

II - 9 - 6Torsion

Torsion d’un arbre cylindrique

cinématique

dx

dr

dxddcc

rdddccx

x

x

x θγ

γ

θθ

θ

=⇒

==

==

''

''

abcd devient a ’b ’c ’d ’

= abc ’d ’

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II - 9 - 7Torsion

Loi constitutive

état de cisaillement pur

– τxθ = G γxθ (loi de Hooke)

⇒ loi constitutive en torsion

généralisation dx

dGr x

x

θτ θ =

dx

dGJM x

x

θ= J = constante de torsion (m4)

II - 9 - 8Torsion

Poutres à section circulaire

px

A

x

Axx

xx

Idx

dG

dArdx

dG

rdAM

dx

dGr

θ

θ

τ

θτ

θ

θ

=

=

=

=

∫2

inertie polaire

πR4/2

répartition linéaire

p

xmax

I

RM=τ

[Frey, 2000, Vol. 2]

***

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II - 9 - 9Torsion

Poutres à section circulaire

applicable aux sections circulaires

– pleines ou creuses

Reproduit dans [Frey, 2000, Vol. 2]

II - 9 - 10Torsion

Exemple de rupture

Credits : un étudiant

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II - 9 - 11Torsion

Essai de torsion

angle de torsion total

essai de torsion

coefficient de Poisson

4xxx

xGR

LM2

GJ

LML

dx

d

π

θθ ===

4x

x

R

LM2G

πθ=

( )υ

υ⇒

+=

12

EG

II - 9 - 12Torsion

Sécurité des pièces tordues

matériaux ductiles

– critère déterministe

– E.L.U.

3

ee

στ =

3

admadm

σττ =≤

(cf. Von Mises)

, ,dimx d xM M≤

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II - 9 - 13Torsion

Sécurité des pièces tordues

matériaux fragiles

– critère déterministe

– E.L.U.γ

τττ u

adm =≤

, ,dimx d xM M≤

II - 9 - 14Torsion

Autres sections

pas de solution analytique ⇒ solution

approchée

sections elliptiques

– solution de Saint-Venant

analogie hydrodynamique

analogie de la membrane (Prandtl)

p

4

I40

AJ ≈ avec ( )

4

AbaI

22p += abA π=et

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II - 9 - 15Torsion

Sections massives

section rectangulaire

2x

Amaxbc

M

αττ ==

2x

Bbc

M

βτ =

3bcJ γ= ( )c

bfct,, =γβα

[Frey, 2000, Vol. 2]

II - 9 - 16Torsion

Section ouverte à parois minces

2x

max

3x

x

bt

M3

3

bt

dx

dGM

=

=

τ

θ

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II - 9 - 17Torsion

Section ouverte à parois minces

remarques

– id. solution section massive avec b/c → ∞

– bonne approximation lorsque b/t ≥ 10

– concentration de contraintes dans les angles rentrants

• ⇒ congés de raccordement

• ⇒ J augmente

II - 9 - 18Torsion

Section fermée à parois minces

analogie de l’hydrodynamique

MxMx

ouvertx

ferméx MM >>

J

tMxmax =τ

t2

Mx

Ωτ =

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II - 9 - 19Torsion

Forme rationnelle des sections droites

sections fermées

augmenter l’aire sectorielle

risque d’instabilités

– prévoir des diaphragmes ou des raidisseurs

[Frey, 2000, Vol. 2]