I Transformée de Fourier J -...

Analyse fréquentielle TF 1D TF 2D Applications

Bases du traitement des images

I Transformée de Fourier J

Nicolas Thome

27 septembre 2016

1 / 60Bases du traitement des images


Transformée de FourierContexte et objectif

I Transformée de Fourier (TF) : outil fondamental en traitementd’images

I Concept abordé durant les 4 prochaines séances :

• Aujourd’hui (cours 3) : présentation de la TF et des applications• cours 4 : numérisation et Transformée de Fourier Discrète (TFD)• cours 5 : filtrage linéaire ⇒ traitement fréquentiel• cours 6 : détection de contours : filtrage (linéaire) particulier

I Aujourd’hui : objectifs• Comprendre l’espace de représentation Fourier

Changement d’espace : temporel (spatial) ⇒ fréquentielEt son intérêt pour des applications en traitement d’images

• Introduction d’outils mathématiques (convolution, Dirac, TFusuelles) importants pour la suite

• Définition et propriétés de la TF 2d (images)Savoir calculer, visualiser et interpréter la TF



Outline

1 Contexte : Analyse fréquentielle des signaux 1DSérie de Fourier

2 Transformée de Fourier d’un signal 1D continu

3 TF 2D

4 Applications de la TF 2D pour le traitement d’images



Analyse Fréquentielle des signaux

Décomposition en Série de Fourier d’une fonction 1Dpériodique

I Soit x(t) est une fonction réelle (ou complexe) périodique depériode T , on a :

x(t) =12a0 +

k=∞∑k=1

(ak cos(2kπtT

) + bk sin(2kπtT

)) (1)

I les coefficients ak et bk sont calculés par :

ak = 2T

∫ T

0 x(t)cos( 2kπtT )dt

bk = 2T

∫ T

0 x(t)sin( 2kπtT )dt

(2)



Série de Fourier d’une fonction périodique

Écriture avec amplitude et phase

I Posons rk =√

a2k + b2

k

θk tel que : cos θk = akrk

et sin θk = bkrk,

I La formule (1) devient alors :

x(t) =k=∞∑k=1

rk cos(2kπtT− θk) (3)




Écriture avec l’exponentielle complexe :exp(iz) = cos(z) + i sin(z)exp(kiz) = (cos(z) + i sin(z))k = cos(kz) + i sin(kz)

cos(kiz) = exp(kiz)+exp(−kiz)2 sin(kiz) = exp(kiz)−exp(−kiz)

2i

x(t) = 12a0 +

k=∞∑k=1

(ak cos(2kπtT ) + bk sin(2kπt

T ))

En reportant on obtient :x(t) = 1

2 a0 +k=∞∑k=1

ak2

[exp(

i2πktT

)+ exp

(−i2πkt

T

)]+

k=∞∑k=1

bk2i

[exp(

i2πktT

)− exp

(−i2πkt

T

)]x(t) = 1

2a0 +k=∞∑k=1

exp(

i2πktT

) [ak2 − i bk2

]+

k=∞∑k=1

exp(−i2πkt

T

) [ak2 + i bk2

]k ′ ← −k (2ndesomme), a−k = ak , b−k = −bk

x(t) = 12a0 +

k=∞∑k=1

exp(

i2πktT

) [ak2 − i bk2

]+

k=−1∑k=−∞

exp(

i2πktT

) [ak2 − i bk2

]




Écriture avec l’exponentielle complexe :

x(t) = 12a0 +

k=∞∑k=1

exp(

i2πktT

) [ak2 − i bk2

]+

k=−1∑k=−∞

exp(

i2πktT

) [ak2 − i bk2

]On pose : ck = ak

2 − i bk2 , on a alors :

x(t) =k=∞∑k=−∞

ck exp(2ikπtT

) (4)

avec :

ck =1T

∫ T

0x(t) exp(

−2iπktT

)dt (5)

I Apparition de fonctions de base exp( 2ikπt

T

)avec fréquence k

T < 0

• Pas d’interprétation "physique"• Mais formalisme plus compact, facilitant les calculs (voir

Transformée de Fourier)



Série de Fourier : Interprétation

Espaces vectoriels et produit scalaire sur les fonctions

I On considère un espace de fonctions (v.s. espace de vecteurs)

I La projection d’une fonction f (t) sur une fonction g(t) est définiepar le produit scalaire, de la manière suivante :

< f , g >=

∫ +∞

−∞f (t) ¯g(t)dt avec f ∈ R (6)

où ¯g(t) est le conjugué de g(t)

I Interprétation de la décomposition en série de fourier :ck = 1

T

∫ T

0 x(t) exp(−2iπktT )dt =< x , exp( 2iπkt

T ) > : projection dela fonction x(t) sur la fonction complexe sinusoïdale exp( 2iπkt

T )

• fréquence "pure" f0 = kT

I On peut montrer que{exp( 2iπkt

T )}, k ∈ {−∞; +∞} forment une

base orthonormée de L2([0,T ]) (exercice)



Série de Fourier : Interprétation graphique

I Soit un signal x(t)

x(t) =∑k

ck exp(2ikπtT )

ck =< x , exp(2iπktT ) >

exp(2iπk1tT ) exp(2iπk2t

T )

ck1 ck2

exp(2iπk3tT ) exp(2iπk4t

T )

ck3 ck4



Série de Fourier : Interprétation graphique

Signal x(t) Fonction de base bk = exp(2ikπtT )

x(t) =k=∞∑k=−∞

ck exp(2ikπtT

) ck =< x , exp(2iπktT

) >

=⇒ le produit scalaire ck mesure la similarité entre le signal x(t) àreprésenter et chacune des fonctions sinusoïdales

I Degré de présence de la fréquence "pure" de la fonction exp( 2iπktT )



Série de Fourier : conclusion

Changement d’espace de représentation

x(t) =k=∞∑k=−∞

ck exp(2ikπtT

) ck =< x , exp(2iπktT

) >

I Toute fonction périodique peut etre reconstruite dans la base deFourier, il suffit de connaître les ck

I Les ck indiquent :

• les composantes fréquentielles contenues dans un signal• leur "niveau" de présence

I Exemple : x(t) = cos(2π tT ) : ck =

{1/2 si k = ±10 sinon

• Projection sur la base des{exp( 2iπkt

T)}, k ∈ {−∞; +∞}

• Projection 6= 0 : seules les fonctions de base exp( 2iπT

) et exp(−2iπT

)



Outline

1 Contexte : Analyse fréquentielle des signaux 1D

2 Transformée de Fourier d’un signal 1D continuCalcul de la TransforméeOutils Mathématiques & TF usuelles

3 TF 2D




Transformée de Fourier d’un signal 1Dcontinu

Décomposition en série de Fourier → Transformée de Fourier

I Tout signal périodique est décomposable en série de Fourier

I Signal non périodique : cas limite d’un signal périodique qd T →∞I Si x(t), n’est pas pérdiodique, il est nécessaire de considérer la

projection du signal sur une base "continue" de fontions au lieu dela base dénombrable

{exp( 2iπkt

T )}, k ∈ {−∞; +∞}

I Définition : la transformée de Fourier X (f ) est donnée par :

X (f ) =

∫ +∞

−∞x(t)e−i2πftdt avec f ∈ R

I Transformée de Fourier d’une fonction : généralisation au cas nonpériodique du calcul des coefficients de Fourier d’une fonctionpériodique.



Transformée de Fourier d’un signal

Interprétation

X (f ) =

∫ +∞

−∞x(t)e−i2πftdt = 〈x, ei2πft〉 avec f ∈ R

I on projette x(t) sur un ensemble de fonctions continues (i.e. nondénombrables) {exp(2iπft)}, f ∈ {−∞; +∞} , on obtient donc unensemble de projections continues X (f )

I TF : x(t)→ X (f ), X (f ) fonction de la variable continue f .

I X (f ) extrait une information fréquentielle sur le signal x(t)

• La fréquence f est-elle présente dans le signal x(t) ? A quel"degré" ?

• si x(t) est T− périodique, on retombe sur la décomposition enSérie de Fourier : X (f ) = 0 sauf pour f = k

T, k ∈ {−∞; +∞} où

X (f ) = ck



I Soit un signal x(t)

X (f ) =< x , exp(2iπft) >

exp(2iπf1t) exp(2iπf2t)

X (f1) =< x , exp(2iπf1t) > X (f2) =< x , exp(2iπf2t) >

exp(2iπf3t) exp(2iπf4t)

X (f3) =< x , exp(2iπf3t) > X (f4) =< x , exp(2iπf4t) >



Transformée de Fourier d’un signal

Interprétation : hautes et basses fréquences d’un signal

I Hautes fréquences de x(t) : X (f ) tq |f | important : variationsrapides du signal ⇒ X (f ) =< x(t); exp(2iπft) > tq |f | gd

I Basses fréquences de x(t) : X (f ) tq |f | faible : variations lentes dusignal ⇒ X (f ) =< x(t); exp(2iπft) > tq |f | faible



Transformée de Fourier d’un signalRemarque

I Les X (f ) sont des nombres complexes

• La partie réelle XR(f ) =∫ +∞−∞ x(t) cos (2πft) dt est paire

• La partie imaginaire XI (f ) = −∫ +∞−∞ x(t) sin (2πft) dt est impaire

I Deux informations importantes à regarder :

• le module, ou spectre d’amplitude |X (f )| =√

XR(f )2 + XI (f )2 ;• le module représente l’intensité de la projection sur la fonction de

base considérée• la phase Φ(f ) = arctan

(XI (f )XR (f )

).

• la phase représente le déphasage entre x(t) et la fonction de baseconsidérée

I f = 0 : fréquence fondamentale, représente la valeur moyenne dusignal :

X (0) =

∫ +∞

−∞x(t)dt



Transformée de Fourier InverseInversion de la TF

I On peut reconstruire le signal x(t) à partir de sa représentationfréquentielle X (f ) par la formule :

x(t) =

∫ +∞

−∞X (f )e i2πftdf

I En terme de projection (produit scalaire)

x(t) =

∫ +∞

−∞< x(t); Φf (t) > Φf (t)df (7)

avec Φf (t) = e i2πft

I On peut donc reconstruire le signal par "sommation" desprojections

• Conséquence directe de la projection dans une base orthonormée



Outline


2 Transformée de Fourier d’un signal 1D continuCalcul de la TransforméeOutils Mathématiques & TF usuelles

3 TF 2D




TF : Outils mathématiques

Produit de convolutionI l’opérateur ? est le produit de convolution entre signaux.

Considérons deux signaux x(t) et y(t), le produit de convolutionentre x et y calculé comme suit :

z = x ? y =

∫ +∞

−∞x(τ)y(t − τ)dτ (8)

I Etapes :

1 Retournement du signal : y(τ)→ y(−τ)2 Translation du signal de t : → y(t − τ)3 Produit entre Translation du signal de t : x(τ)y(t − τ)4 Calcul de l’intégrale de x(τ)y(t − τ)



Produit de convolution : Illustration

1 Retournementdu signal :g(t)→ g(−t)

2 Translation dusignal de t :→ g(x − t)

3 Produit entreTranslation dusignal de t :f (t)y(x − t)

4 Calcul del’intégrale def (t)y(x− t)→f ? y(x)



Propriétés principales de la TF 1d

I Linéarité : TF [ax(t) + by(t)] = aX (f ) + bY (f )

I Contraction du domaine : TF [x(αt)] = 1|α|X

(fα

)I Translation temporelle : TF [x(t − t0)] = X (f ) · e−i2πt0t

I Modulation temporelle : TF[x(t) · e−i2πf0t

]= X (f − f0)

I Produit de convolution (démo en TD) :• TF [x(t) ? y(t)] = X (f ) · Y (f )• TF [x(t) · y(t)] = X (f ) ? Y (f )• Cette propriété est très importante pour le filtrage : correspondance

entre le filtrage spatial et le filtrage fréquentiel (voir le cours 5)

I si x(t) réelle ⇒ symétrie Hermitienne : X (f ) = X ∗(−f ), donc• |X (−f )| = |X (f )| : module pair (idem partie réelle)• Phase et partie imaginaire impaires• Tous les signaux et images sont réels, on aura donc toujours un

module pair |X (−f )| = |X (f )| (symétrie par rapport à l’axe y)



Transformée de Fourier de signaux usuels 1d

Transformée de Fourier d’une fonction porte

I la fonction "Porte" est définie de la manière suivante :

Rect(t) =

{1 si |t| ≤ 1

20 sinon (9)

I La transformée de Fourier d’un signal porte (fonction rectangle) estun sinus cardinal (démo en TD)

TF[Rect

( ta

)]=

∫ + a2

− a2

e−i2πftdt = asin(πfa)

πfa= a sinc(πfa)




Transformée de Fourier d’une fonction porte

TF[Rect

( ta

)]= a sinc(πfa)

I Très utilisé pour la numérisation des signaux - fenêtrage etéchantillonnage - (voir cours 4)




Transformée de Fourier d’une gaussienne

I La transformée de Fourier d’une gaussiene est une gaussienne

TF[e−b

2t2]

=

√π

|b|e−

π2 f 2b2

I Écart-type de la Gaussienne dans le domaine fréquenctielleinversement proportionnel à l’écart-type dans le domaine temporel




Distributions : Distribution de Dirac δ(t)

I Définition informelle :

δ(t) =

{O si t 6= 0∞ sinon

avec∫ +∞−∞ δ(t)dt = 1.

I Intuitivement : peut êtreinterprété comme la limited’une fonction porte delongueur nulle :δ(t) = lim

a→0

[ 1aRect

(ta

)].




Distribution de Dirac δ(t)

I Formellement, δ(t) n’est pas une fonction mais une distribution

• Généralisation de la notion de fonction

I δ(t) joue un rôle central en traitement du signal et des images

• Convolution et TF (ce cours) : δ(t) intervient pour la TF defonctions de base

• Échantillonnage des signaux 1d et 2d (cours 4)

I Propriétés essentielles :

•∫ +∞−∞ δ(t)dt = 1.

• x(t) · δ(t − t0) = x(t0)δ(t − t0)• x(t) ? δ(t− t0) = x(t− t0) : δ(t) élément neutre pour la convolution• Transformée de Fourier :

TF[e2iπf0t

]= δ(f − f0) : fréquence pure f0

TF [δ(t − t0)] = e−2iπft0 : toutes les fréquences présentes

• scaling property : |α| · δ(αt) = δ(t)



TF 1D : exemples simples

TF d’une fonction cosinus : x(t) = cos(2πfot)

TF [cos(2πfot)] =12· [δ(f − f0) + δ(f + f0)] (10)

w0 = 2πf0 Fréquence pure ±f0I Voir TD : TF réelle



TF 1D : exemples simples

TF d’une fonction sinus : x(t) = sin(2πfot)

TF [sin(2πfot)] =i

2· [δ(f + f0)− δ(f − f0)] (11)

x(t) = sin(2πfot) Fréquence pure ±f0I Voir TD : TF imaginaire pure



Transformée de Fourier d’un signal :exemples simples



Transformée de Fourier d’un signal :exemple avec du bruit



Outline



3 TF 2DCalcul de la TransforméeDifférences et Similitudes TF 1D vs TF 2D





Définitions

I Si on considère un signal continu x(t, u), alors sa transformée deFourier X (f , g) est donnée par :

X (f , g) =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞x(t, u)e−i2π(ft+gu)dtdu avec (f , g) ∈ R2

I Interprétation : projection de x(t, u) sur un ensemble de fonctions2d de base {exp (2iπ(ft + gu))}, (f , g) ∈ IR2 = images de base

• X (f , g) =< x(t, u); e i2π(ft+gu) > : produit scalaire entre x(t, u) et lafonction 2d e i2π(ft+gu)




X (f , g) =< x(t, u); e−i2π(ft+gu)dtdu > : e i2π(ft+gu) image de base




Définitions

I Partie réelle XR(f , g) =∫ +∞−∞

∫ +∞−∞ x(t, u) cos (2π(ft + gu)) dtdu

paire.

I Partie imaginaireXI (f , g) = −

∫ +∞−∞

∫ +∞−∞ x(t, u) sin (2π(ft + gu)) dtdu impaire.

I Module, ou spectre d’amplitude|X (f , g)| =

√XR(f , g)2 + XI (f , g)2.

I Phase Φ(f , g) = arctan(

XI (f ,g)XR (f ,g)

).

I La fréquence fondamentale, pour f = g = 0,X (0, 0) =

∫ +∞−∞

∫ +∞−∞ x(t, u)dtdu




Reconstruction

I On peut reconstruire le signal x(t, u) à partir de sa représentationfréquentielle X (f , g) par la formule :

x(t, u) =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞X (f , g)e i2π(ft+gu)dfdg

I Conséquence directe de la projection dans une base orthonormée :

x(t, u) =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞< x(t, u); Φf ,g (t, u) > Φf ,g (t, u)dfdg (12)

avec Φf ,g (t, u) = e i2π(ft+gu)



Transformée de Fourier d’un signal 2D

Composantes fréquentielles en 2d

I Basses fréquences spatiales : f 2 + g2 faible

I Hautes fréquences spatiales : f 2 + g2 élévé



TF 2D : un premier exemple

x(t, u) = cos(2πf0t)

X (f , g) = δ(f−f0)+δ(f+f0))2

(voir TD)

TF [A cos [2πfo (x cos(θ) + y sin(θ))]] = ? ? (Voir TD)38 / 60



TF 2D : un second exemple

Fonction Porte 2D : x(t, u) = Rect(tT

)· Rect

(uT

)

x(t, u)

X (f , g)X (f , g) sinc 2D (voir TD)



Outline



3 TF 2DCalcul de la TransforméeDifférences et Similitudes TF 1D vs TF 2D




Transformée de Fourier d’un signal 2D

Passage du 1D au 2D

I La TD 2D : une extension assez naturelle de la TF 1D

• Beaucoup de propriétés communes• Quelques spécificités liées au 2D

I TF 2D : ∼ 2 TF 1D sucessives (voir TD )

• X (f , g) = TF [Z(f , u)] : extension directe 1D

I Si x(t, u) séparable x(t, u) = z(t) · k(u), on a :X (f , g) = Z (f ) ·K (g), avec Z (u) = TF [z(t)] et K (g) = TF [k(u)]

• Produit simple de 2 TF 1D



TF 1D et 2D : propriétés communes

TF continue 1D TF continue 2Dx(t) X(f) x (t,u) X(f,g)

1 x(t) + λy(t) X (f ) + λY (f ) x(t, u) + λy(t, u) X (f , g) + λY (f , g)

2 x(t − t0) X (f ) e−2iπft0 x(t − t0, u − u0) X (f , g) e−2iπ(ft0+gu0)

3 x(αt) 1|α|X ( f

α) x(αt, βu) 1

|α||β|X ( fα, gβ)

4 x(t) ? y(t) X (f ) · Y (f ) x(t, u) ? y(t, u) X (f , g) · Y (f , g)5 x(t) · y(t) X (f ) ? Y (f ) x(t, u) · y(t, u) X (f , g) ? Y (f , g)

Table – Propriétés des TF continues 1D et 2D

1 linéarité

2 translation

3 contraction

4 convolution

5 produit



TTF 1D et 2D : propriétés communes

Illustration des propriétés



TF : spécificités de la 2D

Notion de fréquence spatiale

I Image : I : (x , y)→ I (x , y) : fonction 2d à valeur dans IR

I Fréquence spatiale : "vitesse" de variation du signal I(x,y)(luminance) par rapport aux variables spatiale (x,y)

Basse fréquence spatiale Haute fréquence spatiale




Notion de fréquence spatiale

I Images réelles : signaux non stationnaires

I 6= fréquences spatiales (hautes/basses) dans 6= régions




RotationI Une rotation d’angle α dans le domaine spatial se traduit par une

rotation d’angle α dans le domaine fréquentiel

TF [x (t cos θ + u sin θ,−t sin θ + u cos θ)] = X (f cos θ + g sin θ,−f sin θ + g cos θ)

I Important : la réponse fréquenielle de X (f , g) comporte uneinformation structurelle sur la direction des fréquences spatiales



TF 2D : exemple de rotation



TF 2D : rotationI Important : la réponse fréquenielle de X (f , g) comporte une

information structurelle sur la direction des fréquences spatialesI Exemples sur des textures

I Les lignes directrices fortement représentées dans les images sontmises en valeur dans les spectres



Exemples sur des images réelles

I Les lignes directrices fortement représentées dans les images sontmises en valeur dans les spectres



TF 2D : Visualisation

Spectre centré : matlab

I Fonction matlab pour le calcul de la FT 2D : fft2

• fft2 Transformée de Fourier discrète (DFT) → voir cours 4

I fft2 :origine du spectre (composante continue) : en haut à gauche

I Plus naturel de voir l’origine des fréquences au centre du spectreI Ne change pas le contenu dans le spectre,

juste son agencement

I Opération de centrage : multiplier chaquepixel de coordonnées (i , j) par (−1)i+j

I Cela met en avant la propriété de symétriedes spectres par rapport à F (0, 0) :|F (u, v)| = |F (−u,−v)|

I Fonction fftshift sous matlab



Spectre centré : illustration



Visualisation de la TF 2Dhautes/basses fréquences sur les images réelles

I énergie BF >> HF ⇒ visualiser 1 + log(|X (f , g)|)

|X (f , g)| 1 + log(|X (f , g)|)52 / 60



Outline



3 TF 2D




Utilisation de la TF pour les images

I Transformée de Fourier : représentation fréquentielle d’une imageI On passe dans un autre espace de représentation, rappel en 1D :

1 Représentation temporelle : décomposition de la fonction sur unebase de distributions de dirac :

x(t) = x(t) ? δ(t) =

∫Rx(u)δ(t − u)du (13)

2 Représentation fréquentielle : décomposition de la fonction sur unebase de fonctions sinusidales (Fourier)

x(t) =

∫RX (f )e2iπftdf (14)

I Utilisation de la TF ⇒ Hypothèse fondamentale : espace fréquentiel> espace temporel pour représenter les données• espace fréquentiel plus efficace pour séparer l’information "utile" de

l’information "inutile"• "utile"/inutile dépendant du contexte applicatif visé



Applications de la TF

Débruitage

I Formulation du problème : isoler le signal du bruit

I Hypothèse : le bruit et le signal utile vont être portés par descomposantes fréquentielles 6= : signal ⇔ BF, bruit ⇔ HF

I Méthodologie du débruitage : composantes fréquentielles correspondaux hautes fréquences ← 0

Image originale Image bruitée Image débruitée




Compression

I Formulation : représenter efficacement le signal (peu decomposantes)

I Hypothèse : Hautes Fréquences : énergie négligeable

I Méthodologie : ne conserver que les BF

Image brute Image compressée (/2)⇒ Idée à la base de la norme JPEG, voir TME 4




De nombreuses autres utilisations de l’analyse fréquentielle

I Débruitage, compression, restauration : opérations bas niveau

I TF aussi beaucoup utilisée pour des tâches plus haut niveau

I Filtrage linéaire (cours 5) : covolution domaine spatial ↔multiplication domaine Fourier : opérations duales

I Filtrage : étape préliminaire à de très nombreuses applications entraitement d’images, e.g. reconnaissance des formes :

• Détection de contours (cours 6), détection et description de pointsd’intétêt, e.g. Harris, SIFT (cours 7-8), représenter texture, etc

TF : bilanI TF bien adapté pour représenter les signaux

1 réguliers2 périodiques, stationnaires



TF : limites

Signaux non stationnaires

I TF : on connait les fréquences spatiales de l’image

• perte totale de l’information de localisation (spatiale) des fréquences

I Images : contenu fréquentiel différent dans différentes régions

I Avoir des espace de représentation temps (espace)-fréquences

• e.g. ondelettes



TF : limites

Signaux non réguliers

I TF : nécessite un nombre ∞ de coeffs pour représenter desfonctions non dérivables

• phénomène de Gibbs

I Pas adapté pour tout ce qui est contours dans les images

I JPEG par adapté pour la compression des images comportantbeaucoup de contours (e.g. texte)



THE END

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