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Plan du cours : VibrationsI. Systèmes à 1 degré de liberté

II. Systèmes à plusieurs degrés de liberté

III. Systèmes continus incompressibles

IV. Propagation du son dans les milieux compressibles

L’équation de d’AlembertLimite continue de la chaîne atomiqueVibrations longitudinales dans les poutresVibrations de torsion dans un arbre circulaireCordes vibrantesGénéralisation

Notions relatives aux ondesFront d’onde, rayon sonoreOnde plane, onde sphériquePropagation en ondes planesSolutions harmoniquesOndes stationnaires, taux d’ondes stationnaires

Exemples détaillésVibrations longitudinales d’une poutre, conditions

d’encastrement.Oscillations de flexion

Méthode de RayleighPrincipeApplications

Systèmes continus incompressibles

L’équation de d’AlembertLimite continue de la chaîne atomique

Un système est continu → infinité continue de variablesLa dynamique est paramétrée par des variables qu’on appelle champs.Ce sont des fonctions continues du temps et de l’espace.

( )Nnnnnn uukkuum

∈∀−+ =+−+ 02 11&&

m mk kk

un un+1

n n+1n-1

mk

un-1

( ) ( )qnatAnatun += ωcos,

( )Nnnnnn uukkuum

∈∀−+ =+−+ 02 11&&

( ) ( )qxtAxtun += ωcos,

x repère la position de nième atome : c’est une variable discrète. On considère la limite a→0, alors x devient une variable continue.

( ) ( )qxtAxtu += ωcos,

C’est maintenant une fonction continue du temps et de l’espace. On peut la dériver par rapport à x et à t.

( ) ( )qxtAqx

xtu+−=

∂∂ ωcos, 2

2

2 ( ) ( )qxtAt

xtu+−=

∂∂ ωω cos, 2

2

2

( ) ( ) 0,,2

2

2

2

2

2

=∂

∂−

∂∂

txtuq

xxtu

ωu(t,x) vérifie l’équation

on pose qui est homogène à une vitesse.qc /ω=

( ) ( ) 0,1,2

2

22

2

=∂

∂−

∂∂

txtu

cxxtu

C’est l’équation de d’Alembert, encore appelée équation des cordes vibrantes.

L’équation de d’AlembertVibrations longitudinales dans les poutres

[RDM] statique : traction sur une poutre

F=ES δ l/l

Avant traction Après traction

F/S

δl/l

dx

F

F

lllE

SF δ=

dxX

X+dX

Allongement relatif

dxdX

dxXdXX

=−+ )()(

dxdXE

SF=

Application de la RFD à la tranche de poutre comprise entre x et x+dx. [de section droite S, de densité ρ]

dx

X

X+dX

F(x)

F(x+dx)

( ) ( )

dxxF

xFdxxF

FtXSdx

∂∂

=

−+=

=∂∂

× ∑ ext2

2

ρ

sachant que xXE

SF

∂∂

= 2

2

xXES

xF

∂∂

=∂∂

dxxXES

tXSdx 2

2

2

2

∂∂

=∂∂

×ρ ρρ /;02

2

2

2

EctX

ExX

==∂∂

−∂∂

L’équation de d’AlembertVibrations de torsion d’un arbre circulaire

x+dxx

θ θθ d+

Γ Γ+Γ d

RFD : Γ=∂∂

× dt

dxI 2

2

0θ

moment d’inertie de la tranche

accélération angulaire

couple des forces appliquées

Lois de Hooke [RDM] :x

G∂∂

=Γθκ

∫∫=S

dsr 2κ : c’est le moment quadratique de la section droite

Γ=∂∂

× dt

dxI 2

2

0θ

( ) dxx

Gx

Gdt

dx 2

2

2

2

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=∂∂

×θκθκθκρ

ρθρθ /;02

2

2

2

GctGx

==∂∂

−∂∂

L’équation de d’AlembertCordes vibrantes

xT

T

y

y+dy( )xα

( )dxx +α

A

B

x x+dx

Corde soumise à une tension T, de masse linéïque µ, dont les déplacements verticaux sont repérés par y(x,t). On supposera les angles petits.

RFD sur le segment de corde de longueur dx

Ox : ( ) ( )( )( ) ( )( )

011coscos

=×−×≈−+=

−+=

TTxTdxxT

xFdxxFdF xxx

αα

Oy : ( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

dxx

T

xdxxTxTdxxT

xFdxxFdF yyy

∂∂

≈

−+×≈−+=

−+=

ααα

αα sinsin

de plus, ( ) ( ) dxxyTdFx

xyx y 2

2

∂∂

=⇒∂∂

=α

Oy :

µµ

µµ

/;02

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Tcty

Txy

dxxyT

tydxdF

tydx y

==∂∂

−∂∂

⇔

∂∂

=∂∂

⇔=∂∂

Résumé

µµ /;02

2

2

2

Tcty

Txy

==∂∂

−∂∂

ρθρθ /;02

2

2

2

GctGx

==∂∂

−∂∂

ρρ /;02

2

2

2

EctX

ExX

==∂∂

−∂∂

Poutre [compression-traction]

Arbre [torsion = cisaillement]

Cordes [déplacement longitudinal]

L’équation de d’AlembertGénéralisation

D’une manière générale, la dynamique d’un ébranlement décrit par un champ , dans un milieu continu, est généralement définie par l’équation de d’Alembert :

( )trX ,r

012

2

2 =∂∂

−∆tX

cX

m-1 m.s-2m.s-1

! Il faut rester dans un domaine linéaire des forces de rappel !Les solutions de cette équation sont appelées ondes.




d’encastrement.Oscillations de flexion



Notions relatives aux ondesFront d’onde, rayon sonore

Notions relatives aux ondesOndes planes, ondes shériques

Onde longitudinale Onde transverse

Les fronts d’onde sont plansondes planes

012

2

22

2

=∂∂

−∂∂

tX

cxX

Notions relatives aux ondesOndes planes, ondes shériques

Les fronts d’onde sont des sphèresondes sphériques

( ) ( ) ( )trXtrXtrX ,,,,, == ϕθr

2

2

2

2

2

2

zU

yU

xUU

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∆

( ) 2

2

2222

2

sin1sin

sin11

ϕθθθ

θθ ∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+∂∂

=∆U

rU

rrU

rrU

( ) 2

2

2222

2

sin1sin

sin11

ϕθθθ

θθ ∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+∂∂

=∆U

rU

rrU

rrU

( )rUrr

U 2

21∂∂

=∆

( ) ( ) ( )trXtrXtrX ,,,,, == ϕθr

On change de description en posant rX=ξ

2

2

2

2

2

2 1;1trt

Xrrr

X∂∂

=∂∂

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∆=∆

ξξξ

012

2

22

2

=∂∂

−∂∂

tcrξξ

Notions relatives aux ondesPropagation en ondes planes

012

2

22

2

=∂∂

−∂∂

tX

cxXSoit X une solution de

011012

2

22

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

⇔=∂∂

−∂∂ X

tcxtcxtX

cxX

changement de variablecxtq

cxtp +=−= ;

1;1

1;1

=∂∂

+=∂∂

=∂∂

−=∂∂

tq

cxq

tp

cxp

pc

qpcqcpc

tq

qtp

pcxq

qxp

ptcx

∂∂

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

−∂∂

2

111

11

qc

qpcqcpc

tq

qtp

pcxq

qxp

ptcx

∂∂

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

+∂∂

2

111

11

040112 =

∂∂

∂∂

−⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂ X

qpcX

tcxtcx

02

=∂∂

∂qp

X

on intègre par rapport à p

( ) qKqgqpXqGqX

+=⇒=∂∂ )(,)(

on intègre par rapport à q

( ) pKpfqpXpFpX

+=⇒=∂∂ )(,)(

( ) ( )qgpfqpX += )(, ( )xctgxctfX ++−= )(

)( 1 xctf −

x

1f

1x

)( 111 xctff −=

)( 2 xctf −

x

2f

2x

1222 )( fxctff =−=

( )1212

2211

ttcxxxctxct−=−−=−

( ) ( )xctXxctXxctgxctfX ++−=++−= −+ )()(

Onde progressive Onde rétrograde

c correspond bien à la vitesse de propagationdans le milieu, pour chacune des ondes.

Si la vitesse ne dépend pas de la forme de l’onde, on dit que le milieu est non dispersif. Quelle que soit l’onde qui s’y propage, elle le

fait à la vitesse c.

Dans le cas contraire, il [le milieu] est dispersif [rappelez vous le cas de la chaîne

atomique].

Notions relatives aux ondesSolutions harmoniques

Quand il s’agissait des atomes d’une chaîne atomique, on cherchait les solutions sous la forme . C’est-à-dire que tous les points du système vibrent à la même pulsation. [indépendance linéaire des exponentielles… sinon on obtient la solution triviale : il ne se passe rien.]

( ) ( )ntin Aetu φω +=

On cherche des solutions sous la forme

( ) ( ) tiexftxX ω=,

( ) tiin eAetu n ωφ=

012

2

22

2

=∂∂

−∂∂

tX

cxX ( ) ( ) tiexftxX ω=,

( )[ ] ( ) titi ex

xfexfxx

X ωω2

2

2

2

2

2

∂∂

=∂∂

=∂∂

( )[ ] ( ) ( ) titi

ti exfxexfexf

ttX ω

ωω ω 2

2

2

2

2

2

2

−=∂∂

=∂∂

=∂∂

ckfkffcx

f /;00 22

2

2

2

ωω==+⇔=+

∂∂ &&

+

( ) ikxikx eCeCxf −+= 21

( ) ( ) ( )kxtikxti eCeCxf −+ += ωω21

( ) ( ) ( )kxtikxti eCeCxf −+ += ωω21

Onde progressiveOnde rétrograde

kc

k

T

ωλπ

πω

=

=

=

2

2 pulsation

nombre d’onde

vitesse de propagation

Notions relatives aux ondesOndes stationnaires, taux d’ondes stationnaires

( ) ( )kxtiAexf += ω1

( ) ( )kxtiAexf −= ω2

( ) ( )xfxf 21 +

Les dépendances temporelles et spatiales sont découplées : on observe une onde stationnaire.

onde stationnaire onde partiellement stationnaire

Taux d’onde stationnairemin

max

XXTOS =

( ) ( )kxtikxti BeAe +− + ωω

Si A=±B, l’onde est totalement stationnaireSi A≠B, l’onde est partiellement stationnaire




d’encastrement.Oscillations de flexion d’une poutre




d’encastrement

ρρ /;02

2

2

2

EctX

ExX

==∂∂

−∂∂

( ) ( ) ( )kxtikxti BeAetxX +− += ωω,

a) La poutre est encastrée des 2 cotés :

0 L( ) ( ) 0,;0,0 == tLXtX

( ) 00,0 =+⇒=+= BABeAetX titi ωω

( ) [ ]π

ωω

pkLkLiAeeeAetLX tiikLikLti

=⇒=−=−= − 0sin2,

( ) ( ) txkCtxXxkiAetxX ppste

pti ωω sinsin,sin2, =⇒−=

LpE

Lpk pp 2

;2

πρ

ωπ==

a) La poutre est encastrée des 2 cotés :

0 L( ) ( ) 0,;0,0 == tLXtX


Encastrée en 0 :

Encastrée en L :

( ) txkCtxX ppste

p ωsinsin, =

LpE

Lpk pp 2

;2

πρ

ωπ==

p=1 p=2

p=3 p=4


( ) 00,0 =+⇒=+= BABeAetX titi ωω

( ) ( ) kxiAeeeAetxX tiikxikxti sin2, ωω −=−= −

( ) ( ) 0cos,cos2, =∝∂∂

⇒−=∂∂ kLtL

xXkxikAetx

xX tiω

Encastrée en 0 :

Libre en L :

( )2

122

πππ+=+= ppkL

a) La poutre est encastrée en 0, libre en L :

0 L( ) t

xXESFtX ∀=∂∂

== ,0;0,0

( ) txkCtxX ppste

p ωsinsin, =

( ) ( )L

pEL

pk pp 212;

212 π

ρωπ

+=+=

p=1 p=2

p=3 p=4

Superposition linéaire d’ondes stationnaire :encastrée-encastrée

Superposition linéaire d’ondes stationnaire :encastrée-libre

Exemples détaillésOscillations de flexion d’une poutre

0 L

0 L

xTdT

tyS

∂∂

==∂∂

2

2

ρ

y

T T+dT

x x+dx

M+dMM

M : moment fléchissant.T : effort tranchant.y(x,t) : flèche de la poutre par

rapport à l’axe neutre longitudinal.

E : module d’Young.ρ : masse volumique.I : moment quadratique.

Forces :

0=+TdxdMMoments :

2

2

2

2

xM

xT

tyS

∂∂

−=∂∂

=∂∂ρ

RDM : 2

2

xyEIM

∂∂

= 4

4

2

2

xyEI

tyS

∂∂

−=∂∂ρ

02

2

4

4

=∂∂

+∂∂

ty

EIS

xy ρ

Méthode de séparation des variables( ) ( ) ( )tgxftxy =,

02

2

4

4

=∂∂

+∂∂

ty

EIS

xy ρ 02

2

4

4

=∂∂

+∂∂

tg

EISf

xfg ρ

22

2

4

4

2

2

4

4 110 ωρ

ρ==

∂∂

−=∂∂

⇔=∂∂

+∂∂ steC

tg

gxf

SEI

ftg

EISf

xfg

( )[ ]rxexffEIS

xf

=⇒=∂∂ 2

4

4

ωρ

( ) tBtAtggtg ωωω cossin22

2

+=⇒−=∂∂

( ) xFxExDxCxf αααα coshsinhcossin +++=

41

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

EISωρα

( ) ( )( )tBtAxftxy nnnn ωω cossin, +=

SEI

LXXL

EIS n

nnnn

n ρωαωρα 2

241

2

; =⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

La flèche est décrite par l’évolution d’une enveloppe [f(x)] au cours du temps [g(t)]. Chaque mode est caractérisé par son nombre d’onde [α, l’extension spatiale] et sa pulsation [ω, l’extension temporelle]. La pulsation est liée au nombre d’onde, lui-même déterminé par les conditions aux limites, c’est-à-dire le type d’appui à chacune des extrémités de la poutre.

Conditions aux limites

•encastrement

⎪⎩

⎪⎨⎧

=∂∂

=→

⎭⎬⎫

==

0

0

00

xyy

yy&

•appui simple/charnière

⎪⎩

⎪⎨⎧

=∂∂

=→

⎭⎬⎫

==

0

0

00

2

2

xyy

My

•extrémité libre

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

→⎭⎬⎫

==

0

0

00

3

3

2

2

xy

xy

TM

•appui élastique (ressort)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

±=

∂∂

=∂∂

→⎭⎬⎫

==

yEI

kxy

xy

kyTM

3

3

2

2

00

~((2n-1)π/2)2120,961,722,43,52Xn

2X42X3

2X22X1

2

=(nπ)2157,988,839,59,87Xn

2X42X3

2X22X1

2

~((2n+1)π/2)2199,8120,961,722,4Xn

2X42X3

2X22X1

2

---------178,21045015,4Xn

2X42X3

2X22X1

2

0coshcos1 =+ LL αα

0sin =Lα

LL αα tanhtan =

0coshcos1 =− LL αα




d’encastrement.Oscillations de flexion d’une poutre



Méthode de RayleighPrincipe

La méthode de Rayleigh sert à estimer les pulsations propres d’un système. Les conditions d’application sont :

• réponse harmonique• pas de dissipation• les modes propres sont connus

Idée : pendant une oscillation, c’est-à-dire pendant une période du mouvement, l’énergie cinétique et l’énergie potentielle s’échangent. Leur maximum est le même :

Tmax = Vmax

mk

x

Le cas d’une masse couplée à un ressort

( ) txtx M ωsin=

2max

222

21sin

21

21

MM kxVtkxkxV =⇒== ω

22max

2222

21cos

21

21

MM xmTtxmxmT ωωω =⇒== &

mkxmkxVT MM =⇒=⇒= 2222

maxmax 21

21 ωω

Le cas de la corde vibrante

xT

T

y

y+dy( )xα

( )dxx +α

A

B

x x+dx

Son énergie potentielle vient de la tension

2

2

2

2

2

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=→∂∂

−=→∂∂

=∂∂

xyTV

yVF

xyT

tyµ

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

L

dx dxxyTV

xyTV

0

22

21

21

( ) ∫=→=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

L

dx dxyTytyT

0

2222

21

21

21 µωωµµ

y est le profil de la corde pour un mode particulier. Connaître y, c’est connaître la pulsation ω.

∫

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⇒= L

L

dxy

dxxy

TVT

0

2

0

2

2maxmax µ

ω

Méthode de RayleighApplication

Solution exacte pour la corde vibrante encastrée aux deux extrémités :

( ) ( ) ( )kxtikxti BeAetxy −+ += ωω,

( ) ( ) 0,,0 == tLyty

( )µ

πωπω TL

pL

pktxkAtxy pppp === ;;sinsin2,

( ) txkAtxy 11 sinsin, ω=

mode p=1

µπω TL

=1

approximation [linéaire] :

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=<≤=<≤

LxAxyLxLx

LAxyLx 1:

2:

20

µω T

L12

1 = l’erreur n’est que de 10%

approximation [quadratique] :

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

22

2 224 LxLLAxy

µω T

L10

1 = l’erreur n’est que de 0.66% !

En « devinant » l’enveloppe du mode dont on veut déterminer la pulsation, et en connaissant la forme théorique des pulsations, on peut obtenir la valeur de la pulsation du dit mode avec une précision acceptable.

Formules utiles pour différents problèmes

Vibrations longitudinales d’une poutre

∫

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= L

L

dxX

dxxX

E

0

2

0

2

2

ρω

Vibrations de torsion d’une poutre

∫

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= L

L

dx

dxxG

0

2

0

2

2

θ

θ

ρω

Vibrations de flexion d’une poutre

∫

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= L

L

dxy

dxxy

SEI

0

2

0

2

2

ρω

Vibrations transversales d’une corde

∫

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= L

L

dxy

dxxy

T

0

2

0

2

2

µω

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