GRAPHESFONCTIONNELS

ANR-GRAALANR-GRAAL

Serge Serge BurckelBurckel

avril 2007avril 2007

Graphes pour l’Informatique

Informatique pour les Graphes

Motivations :

Réconcilier les maths et l’info….

Calcul Clos

A:=A BB:=A BA:=A B

dimension=2

Exemple de l’échange

E(A,B) = (B,A)

Calcul Classique

C:=AA:=BB:=C

dimension=3

Maths : hautement parallèles

Info : fortement séquentielle

S Copie de S

N étapes

Image E(S)

N étapes

SImage E(S)

RAM

cache

UC

OBJECTIFS

Applications

Processeurs In Situ

Zero-Delay

Flat-tech

Compilateurs Pré-Comp

Post-Comp

Faisabilité DATA Space=

Comp. Space

Traitement d’images

Cas facile : l’infiniAxiome du choix => (Tarski 1926)l’ensemble S admet un « pairing » càd une injection de S² dans S.Toute application E sur SN se calcule en N+1 étapes d’assignations.

Exemple : calcul de E sur 5

x1 := 2x1 . 3x2 . 5x3 . 7x4 . 11x5

x2 := E2 (d2(x1), d3(x1), d5(x1), d7(x1), d11(x1))x3 := E3 (d2(x1), d3(x1), d5(x1), d7(x1), d11(x1))x4 := E4 (d2(x1), d3(x1), d5(x1), d7(x1), d11(x1))x5 := E5 (d2(x1), d3(x1), d5(x1), d7(x1), d11(x1))x1 := E1 (d2(x1), d3(x1), d5(x1), d7(x1), d11(x1))

où dp(x) = max{ k : pk | x }

Cas difficile : {0,1}

Puisque : si on peut calculer in situ pour {0,1}N

alors on peut aussi le faire pour FN.

Codage/décodage binaire :

xi [ib1 ib2 …. ibk ]

Résultats par les graphes :

1. Toute application E sur la structure {0,1}N a un calcul clos.(SB)

Graphes Eulériens de De Bruijn + un peu d’Arithmétique

Le modèle standard de Calcul :

3. Toute application linéaire E sur une structure KN a un calcul clos en au plus 2N-1 opérations linéaires.(Marianne Morillon, SB)

Par les matrices :

2. Toute application E sur la structure {0,1}N a un calcul closen au plus N2 opérations. (Marianne Morillon & SB)

Corollaire 1 Décompositions de graphes par

« Complémentation Locale Relative »

+

Corollaire 3 : représentation calculatoire des matrices.

Toute matrice M à coefficients dans un corps K est représentable par une nouvellematrice associée MC . Ce codage permet de calculer directement les images, les imagesinverses….

Corollaire 2 : décomposition des matrices/graphes

TOUTE matrice carrée sur {0,1} (pas nécessairement inversible)est obtenue à partir de l’identité par une séquence finie d’opérations :

Lignei := Lignei Lignej

Exemple sur {0,1} : E(a,b,c,d)=(a+d,a+b+c, a+c+d,a+c)

1 0 0 1

1 1 1 0

1 0 1 1

1 0 1 0

M=

MC=

1 0 0 1

1 1 1 1

1 0 1 0

0 0 1 1

Calcul de E :a:=a+d

b:=a+b+c+d

c:=a+c

d:=c+d

==>Calcul de E-1:

d:=c+dc:=a+cb:=a+b+c+da:=a+d

« remonter le temps »

Algorithme de « séquentialisation »simple d’une matrice M.Le cas {0,1} et à réflexion près.

Input : M Output : MC

Pour i de 1 à N :--si M[i,i]=0 alors ----faire M[i,i]:=1(et éventuellement----rectifier la structure initiale associée à M)--pour j de i+1 à N :----si M[j,i]=1 alors :------faire M[j,i]:=0------faire M[j]:=M[j] M[i] (lignes)

Contribution à la quête du GRAAL

A réflexivité près + ordre total sur les sommetsmatrice d’adjacence=graphe dirigé==>calcul clos de matrice en N étapes==> dim(M)=dim(MC)==> l’algorithme précédent entraîne que :Tout graphe G est «construit» par un graphe GC

Graphes comme constructeurs de graphes

G

GC x1:=x1+x2

x2:=x1+x2

Programme

12

Relation d ’équivalence :

GC == HC : « ils construisent les mêmesgraphes (toujours à réflexions près). »

Simplifications de constructeurs. Exemples :

G=GC

====

Analogie avec décompositions modulaireset généralisations...

G GC

H HC

Une autre conséquence :

« les sommets peuvent se servir des opérations réalisées par les sommets précédents »

Un point important et agréable :

par construction, les graphes GC sonttoujours réflexifs…donc aucun soucis pour faire une itération des constructeurs :

G <= GC <= GCC <= GCCC <=….

<= signifiant : appliquer le calculpuis mettre tous les arcs réflexifs.

Mais alors...par finitude, on a ultimement :

G => GCCC...C

Pour un certain k, G construit lui même son k-ième

constructeur itéré !!

G

GC 12

Ici G => GC

Mais ce k peut-être très grand….Pour 4 sommets…jusqu’à 18 itérations.

Une autre conséquence : Noyaux itératifs

THEOREME : Soit G=(V,E) un graphe dirigé finiavec V={ x1 , x2 ,…. , xN } ordonné.

Il existe un stable K0 de G tel quel ’algorithme suivant colorie tousles sommets de G :

0. Colorer les sommets de K0

1. Pour i de 1 à N si xi est colorécolorer les xk tels que (xi , xk)E

Remarque : La preuve de ce Thm initialement basée surles GC a été simplifiée depuis et encore plus par une bonne remarque de Stephan Thomassé (le 4 avril 2007).

4. Toute application bijective E sur une structure FN a un calcul closen au plus 2N-1 opérations.(SB)

5. Toute application E sur une structure FN a un calcul closen au plus 5N-4 opérations.(Emeric Gioan & SB)

6. Toute application E sur une structure FN a un calcul closen au plus 4N opérations.(Emeric Gioan & SB)

résultats récents : inductions/coloriages

Remarque : le calcul clos d’une bijectionsur {0,1}N est toujours de la forme :

x1 := x1 + f1 ( x2 x3 …. xN-1 xN )x2 := x2 + f2 (x1 x3 …. xN-1 xN )x3 := x3 + f3 (x1 x2 …. xN-1 xN )…...xN-1 := xN-1 + fN-1(x1 x2 x3 …. xN )xN := xN + fN (x1 x2 x3 …. xN-1 )xN-1 := xN-1 + gN-1(x1 x2 x3 …. xN )…...x3 := x3 + g3 (x1 x2 …. xN-1 xN )x2 := x2 + g2 (x1 x3 …. xN-1 xN )x1 := x1 + g1 ( x2 x3 …. xN-1 xN )

Conséquence :comme pour les linéaires, le « sens inverse » calcule la bijection inverse E-1.

Pour le LOGarithme Discret..??

Graphes fonctionnels

Les 14 modèles de calculs sur 3 éléments.

3

1 2

4

1

2

3

4

1 4

23234

1

23

4

1

Jeux en 3 étapes.F(1)=3 , F(2)=1 , F(3)=1 , F(4)=1

1234

234

1

STEP : 0 1 2 3

Toute application sur {1,2,3,4} se réaliseen 3 étapes de ce jeu.

Rem : aussi en 2 étapes. Mais pas (2,1,1,1)

Définitions

G=(V,E) un graphe dirigé.

A(V) : les applications de V dans VB(V) : les bijections de V dans V

I(G) A(V) : les applications F ayantcomme support G : Pour tout x de V,

(x , F(x)) est un arc de E.

Soient :G0 ={idV}etGk+1 ={i f : i dans I(G) et f dans Gk }

DéfinitionG est k-fonctionnel si A(V) Gk

G est k-bijectif si B(V) Gk

Autre exemple : « la boule de sapin »

Il est n²-fonctionnel.

Conjecture/Tests pour n=3…7 : il est (n²-3n+3)-fonctionnel.

Résultats partiels :

k-fonctionnel (k+1)-fonctionnelk-bijectif (k+1)-bijectif

k-fonctionnel k-bijectif (trivial)

k-bijectif nk-fonctionnel (…..)

La conjecture entraîne que toute application sur FN se calcule parune séquence de 2N assignations.

CONJECTURE

K-bijectif (K+1)-fonctionnel ???

3-bijectifet

4-fonctionnel

K-bijectif K-fonctionnel

Point remarquable : TOUT graphe qui permet de calculer toutes ses bijectionsen exactement k étapes permet toujours de calculer toutes ses applications !!

Ceci n’est plus vrai s’il ne peut que calculer sesbijections en au plus k étapes :

Développements

Ordres d’assignations & calculs rapides.

EX : E(a,b,c)=(a.b+a.c , b+c , a+b+c)

c := ab := b+ca := a.bc := c+b

Autres modèles de calculs parautres graphes.

(Strassen)

BUT : Etant donnée une bijection E sur {0,1}N exprimée sous forme de N expressions algébriques pour ses projections, trouver une expression algébrique d’un « coloriage » C(X): {0,1}N --> {0,1}des lignes de la table de E tel que pour tous X,X’

C(X)=1+C(X’) si X=[0,x] et X’=[1,x]ou E(X)=[0,y] et E(X’)=[1,y]

METHODE ACTUELLE….trop gourmande et sans doutes inutile :Exemple E(a,b,c)=(b+c,b,a) :

000 000 001 100010 110011 010100 001101 101110 111111 011

0 au choix

1

0

1

0

0 au choix

1

0

1

0

==> C(a,b,c)=a+c

QUESTION TECHNIQUE OUVERTE

MERCI…/