UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE

PROBLEMES DE DEGRE-DIAMETRE DE GRAPHES DANS LE CAS

GENERAL

Serge TISHCHENKO

à Paris novembre 2007EQUIPE COMBINATOIRE ET OPTIMISATION

Problème de degré-diamètre

Le degré d'un sommet est la taille de son voisinage. Le degré d'un graphe est le degré maximum de tous ses sommets

Le diamètre d'un graphe est la plus longue distance entre une paire de sommets de ce graphe

Trouver un graphe avec le nombre de sommets le plus grande possible avec le degré et le diamètre D fixes est le problème de degré-diamètre.

LIMITES SUPERIEURS DES GRAPHES PLANAIRES AVEC DEGRE MAXIMUM Δ ET DIAMETRE D

Δ \ D  2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 7* 12* 31 63 127 255 511 1023 2047

4 9* 35 104 313 934 2797 8386 25153 75454

5 10* 52 248 984 3928 11295 62808 71307 393813

6 11* 60 521 2409 12971 19485 132243 147801 979839

7 12* 68 938 3267 26793 30915 244953 273771 2117745

8 13* 76 1529 4257 39975 46125 417843 467001 4128831

9 14* 84 2324 5379 56901 65655 669273 748011 7440237

10 16* 92 3353 6633 78039 90045 1020051 1140057 12600063

11 17* 100 4646 8019 103857 119835 1493433 1669131 20292489

12 19* 108 6233 9537 134823 155565 2115123 2363961 31352895

13 20* 116 8144 11187 171405 197775 2913273 3256011 46782981

14 22* 124 10409 12969 214071 247005 3918483 4379481 67765887

15 23* 132 12177 14883 263289 303795 5163801 5771307 95681313

LIMITES INFERIEURES DES GRAPHES PLANAIRES AVEC DEGRE MAXIMUM Δ ET DIAMETRE D

Δ \ D  2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 7* 12* 18 28 38 53 77 109 157

4 9* 16 27 44 81 134 243 404 729

5 10* 19 39 73 150 289 598 1153 2390

6 11* 24 52 114 262 564 1312 2814 6562

7 12* 28 71 161 428 959 2570 5747 15422

8 13* 33 93 225 653 1569 4573 10977 32013

9 14* 37 118 289 946 2305 7570 18433 60562

10 16* 42 146 372 1316 3342 11846 30072 106616

7V 3 9V 410V 5

11V 6 12V 7

Les graphes plans de diamètre 2

M. Fellows, P. Hell, K. Seyffarth, “Constructions of large planar networks with given degree and diameter”, 1998.

On arrive à une construction du graphe plan de diamètre 2n dont la taille maximum possible pour un degré fixé > 6+[40n/3] est)()n-1] ()

Les graphes plans de diamètre 3

Paul Erdös: est-ce qu’un graphe planaire et 3-régulier de diamètre 3 peut posséder plus de 12 sommets?

L’idée de la méthode est basée sur le calcul des chemins liant les paires de sommets. Notons qu’une paire de sommets peut être connectée par plusieurs chemins différents. Un 3-chemin peut être une boucle (un 3-cycle) et dans ce cas il ne connecte aucune paire de sommets. On considère de tels cas comme l’irrelevance de chemin.

Irrelevance de chemin

a1

a2

a3

a4

a5

a6

y

x

f

Chacun des deux sommets est connecté par un chemin relevant. Le nombre des chemins relevants est au moins égal au nombre des paires de sommets différentes :

2

22

2

1

2

21,

~ VVVVVGP

Le nombre des chemins irrelevants est

3456 121053,~

FFFFGP

VP 221

Le nombre total de chemins de longueur 1, 2, ou 3 est

4

720168141 V

La relation générale entre la caractéristique d’Euler et la taille du graphe

Les graphes de diamètre 3 plongés dans la bande de Möbius :

14,3 V 16,3 V

Les graphes de diamètre 3 plongés dans les surfaces :

18,1 V

20,2 V

4

720168141 V

[T.1]

Théorème. Dans un graphe 3-régulier de diamètre 3 :

= 3 = 4 = 5 = 6 = 7  > 7

D = 2 7 9 10 11 12 [3/2]+1

D = 3 12 16 (?) 19 (?) 24 (?) 28 (?) [9/2]-3 (?)

 = 2  = 1  = 0  = -1  = -2

D = 2  = 3 7 10

 = 4 9 12 13 14 15

D = 3  = 3 12 16 16 18 20

Le 2-séparateur de Lipton-Tarjan

Le cycle qu’on obtient en ajoutant une arête à une carcasse est un séparateur dans un graphe plan. Lipton et Tarjan ont démontré qu’il existe une arête telle que le séparateur partage le graphe au moins comme 1 : 2. La taille du séparateur est au maximum 2r + 1, où r est le rayon du graphe

Séparateurs

Algorithme de recherche du 2-séparateur :

La recherche de 2-séparateur est sur base de la fonction : E(G\C) → R+

On cherche une arête bleue qui donne un 2-séparateur avec les propriétés désirées

Si l’arête a ne convient pas, on considère la face qui est incident à a et deux autres arêtes a1 et a2. On

choisi parmi les deux. On montre que cet algorithme mène toujours au résultat désiré

Combien des sommets a un graphe de diamètre d et de degré maximum ?

Toute paire de sommets est connectée par chemin de longueur d. Si les sommets se trouvent dans les sous-ensembles séparés alors ce chemin passe le séparateur.

Problème de degré-diamètre :

Au moins dans un sous-ensemble Ai tout sommet est connecté au 2-séparateur par chemin de longueur [d/2]. La taille de séparateur donne la limite du maximum nombre des sommets dans un sous-ensemble Ai

Application du 2-séparateur :

M. Fellows, P. Hell, K. Seyffarth, “Large planar graphs with given diameter and maximum degree”, Discrete Appl. Math. 61, 133-153 (1995)

TGTG SG

maxc TG

SG

eccCc E max

6

2

23,min

min eFEx

E FwxwwCwGw

BwAw e

minw eFeE eF eF

BA, BwAw

Théorème 1. Soit un graphe triangulaire et plan dont les sommets, les arêtes et les faces ont un poids non-négative. Soit possède une carcasse avec le chemin de coût maximal . Alors il existe un séparateur C qui sépare en trois parties indépendantes A, B, C; C est un cycle, toutes les arêtes duquel sauf une seule e sont des arêtes de la carcasse .

(1)

(2)

Où est le poids minimum d’un des sommets de C ; est la face incident à l’arête e, est l’ensemble des arêtes incidentes à . Face ce trouve dans le plus lourde des deux ensembles . Dans le cas où elle ce trouve dans l’ensemble possédant le plus grand nombre de faces.

[T. 3]

nK

5, nK n 1,1 nK3C

082132,min6 nCGVBA

Exemple 1. Graphes ne sont pas planaires.

Démonstration. La démonstration est par l’absurde. Considérons un graphe planaire . Dans ce cas l’étoile de diamètre 2 est sa carcasse. D’après le Corollaire 1.1 [T. 3] il existe un séparateur C tel que et C sépare en deux parties indépendantes A et B telles que:

D’où A et B ne sont pas vides. Alors il y a une paire de sommets x et y, x dans A et y dans B, qui n’est pas liée par une arête.

5, nK n

3,3, nmK mn

3,3, nmK mn

43, CC

mnK

01122132,min6 nmCGVBA

BA mnK

2m 2n

Exemple 2. Graphes ne sont pas planaires.

Démonstration. La démonstration est par l’absurde. Considérons un graphe planaire . Dans ce cas il a une carcasse de diamètre 3. D’après le Corollaire 1.1 [T. 3] il existe un cycle ou un chemin tel qu’il sépare en deux parties indépendants A et B telles que:

D’où A et B ne sont pas vides. Alors tout les sommets de l’union sont dans la même partie du graphe bipartie . Comme C est soit un cycle soit un chemin du longueur au plus 4, C possède d’au plus 2 sommets dans l’autre partie. D’où soit , soit .

Lipton-Tarjan : Optimal :

Le 3-séparateur

Si on ajoute deux arêtes à une carcasse, le sous-graphe plan obtenu a trois faces. C’est un 3-séparateur qui partage le graphe plan en trois parties déconnexées: chaque partie se trouve à l’intérieur de la face correspondante. De même façon si l’on ajoute N-1 arêtes, on obtient un N-séparateur dans le graphe plan

recherche d’un 3-séparateur :

1. On cherche un 2-séparateur S2 avec

séparation (S2) plus proche de 1/3

2. On cherche dans G’ un 2-séparateur S2 avec la meilleure

séparation.

5. Applications des séparateurs

La théorie des graphes connaît également de nombreuses applications pratiques dans le domaine de la gestion, qui utilise des graphes dits valués. Les arêtes ou les sommets du graphe sont affectés d'un paramètre économique correspondant à certaines contraintes: coûts (transport, distances, durées de travaux, stocks...) ou poids (circulation automobile, courant électrique, débits de ventes, informations binaires...).

Tous les résultats sont généralisés dans le cas où les sommets, les arêtes et les faces sont des poids, et les sommets et les arêtes ont les coûts. On donne aussi un algorithme de séparation optimale du graphe par un 2-séparateur ou un 3-séparateur dont le coût est minimal

Généraliser les résultats pour le cas d’un graphe non-plan (de genre fixe)

Perspectives :

Les graphes de diamètre 2 plongés dans la bande de Möbius :

10,3 V12,4 V

Les graphes de diamètre 2 plongés dans la bande de Möbius :

14,5 V 16,6 V

Les graphes de diamètre 2 plongés dans le tore :

10,3 V 13,4 V

Les graphes de diamètre 2 plongés dans le tore :

16,5 V 19,6 V