Théorie algébrique des nombres

TAI Nombres et structures

Anthony BrancaClément GarnierAntoine Llorca Sébastien Masurel

Grand théorème de Fermat

Définition

Les nombres algébriques

L’anneau de Dedekind

La fonction zêta

Des entiers aux polynômes

Fermat conjecture qu’il n’y a pas de solution à l’équation xn + yn = zn pour n ≥ 3 avec x, y, z entiers triviaux .

En 1994, Andrew Wiles la démontre. Elle deviendra alors théorème de Fermat-Wiles.

q(x) ≡ r(x) mod p(x) p(x) divise (q(x) – r(x))

Des entiers aux polynômes

Démonstration:

- Soit q(x), p(x) et r(x) tel que q(x) ≡r(x)mod p(x).La division euclidienne de q(x) par p(x) est donc q(x)=p(x)*s(x)+r(x) avec s(x) quotient de la division.Alors q(x)-r(x)=p(x)*s(x) et donc p(x) divise (q(x)-r(x)).

- Soit q(x), p(x) et r(x) tel que on a  p(x) divise (q(x)-r(x)).Il existe donc s(x) tels que q(x)-r(x)=p(x)*s(x) .On a alors : q(x)=p(x)*s(x)+r(x) et donc q(x) ≡r(x)mod p(x).

-Donc q(x) ≡ r(x) mod p(x) p(x) divise (q(x) – r(x))

Des polynômes aux nombres idéaux

Racines p-ièmes de l’unité démonstration :

xp + yp = ?

ei2π = 1

αn la racine n-ième de 1 dans ℂ

αn = (ei2π)1/n = ei2π/n

Avec la formule d’Euler αn = cos(2 / n) + isin(2 / n)

Tout les α sont des puissances de l’une d’entre elles

Si p est premier, toute racine p-ième sauf 1 est racine primitive

Des polynômes aux nombres idéaux

Kummer veut démontrer xp + yp en facteur premiers ou p est premier

xp + yp = (x + y)(x + y) … (x + p-1y)

Etudes des « entiers complexes »

a0 + a1 + a22 + a33 + … + ap-1p-1

Kummer dit décomposition en facteur premier est unique

Preuve réfuter par Cauchy pour p=23

Annexes

Quelques scripts Python La suite de Fibonacci Les nombres premiers Factorisation d’un entier en facteurs premiers Les nombres de Smith Approximation de la racine carrée d’un réel

Programme en C Résolution d’équation du quatrième degré