CHAPITRE 2 Théorème de Thalès
of 16
/16
Embed Size (px)
description
CHAPITRE 2 Théorème de Thalès. Lors d’un voyage en Egypte, Thalès de Milet (-624 ;-546) aurait mesuré la hauteur de la pyramide de Kheops par un rapport de proportionnalité avec son ombre. Citons : « Le rapport que j’entretiens avec mon ombre est le - PowerPoint PPT Presentation
Transcript of CHAPITRE 2 Théorème de Thalès
CHAPITRE 2
Théorème de Thalès
Lors d’un voyage en Egypte, Thalès de Milet (-624 ;-546) aurait mesuré la hauteur de la pyramide de Kheops par un rapport de proportionnalité avec son ombre.Citons : « Le rapport que j’entretiens avec mon ombre est le même que celui que la pyramide entretient avec la sienne. »Par une relation de proportionnalité, il obtient la hauteur de la pyramide grâce à la longueur de son ombre.L'idée ingénieuse de Thalès est la suivante : « A l'instant où mon ombre sera égale à ma taille, l'ombre de la pyramide sera égale à sa hauteur. »
Objectifs:
- Connaître et utiliser le théorème de Thalès.
- Connaître et utiliser la réciproque du théorème de Thalès.
- Utiliser les agrandissements ou les réductions d’aires et de volumes.
I. Théorème de Thalès
1) Les configurations
Situation 4ème Situation papillon
2) L’énoncé du théorèmeSoient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en A.
Soient B et M deux points de (d ), distincts de A.
Soient C et N deux points de (d’ ), distincts de A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles
Alors
Remarque : Ce théorème permet, entre autre, de calculer des longueurs.
AM AN MNAB AC BC
Voir une démonstration de ce théorème dans le cahier d’exercices.
Exemple :Calculer BR et EA. Donner une valeur exacte et éventuellement une valeur approchée à 0,01 centimètre près.
E
DC
P R
B
A
(EA)//(PR)//(CD) EB = 2 cm, BD = 5 cm, PR = 4 cm, CD = 6 cm.
1 ) Comme P appartient à (BC),
R appartient à (BD)
(PR) et (CD) sont parallèles,
d’après le théorème de Thalès on a :
BC
BP
6
4
5
BR
BR = 5 x 4 ÷ 6 (produit en croix)
= cm 3,33 cm.3
10CD
PR
BD
BRCD
PR
BD
BR
E
DC
P R
B
A
2) Comme E appartient à (BD)
A appartient à (BC)
(EA) et (CD) sont parallèles
d’après le théorème de Thalès on a :
DC
EA
BC
BA
BD
BE
BD
BE
DC
EA
65
2 EA
EA = 6 x 2 ÷ 5 (produit en croix)
= 2,4 cm.
3) Application: partage d’un segment
Un segment [AB] étant donné. Construire sans règle graduée
le point M sur le segment [AB] tel que :7
4
AB
AM
II. Réciproque du théorème de Thalès Soient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en
A.Soient B et M deux points de (d ), distincts de
A.Soient C et N deux points de (d’ ), distincts
de A.
AM ANAB AC
Si
Alors
et
si les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre
les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Nous admettons désormais que cette réciproque est connue pour pouvoir l’utiliser.
Remarque : Cette réciproque permet de démontrer que des droites sont parallèles.
Exemples :
1) Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ?
B
C
P
R
D
E
1,5
A
3
4,5
2
4
2,5
4
3
CE
CA
4
3
12
9
6
5,4
CD
CB
On a
et
De plus les points A, C et E sont alignés dans le même ordre ainsi que les points B, C et D
d’après la réciproque du théorème de Thalès,
(AB) et (DE) sont parallèles.
.
.
. .
.
donc CD
CB
CE
CA
2) Les droites (PR) et (DE) sont-elles parallèles ?
B
C
P
R
D
E
1,5
A
3
4,5
2
4
2,5
On a
et
(PR) et (DE) ne sont pas parallèles.
3
2
6
4
CD
CP
8
5
4
5,2
CE
CR
donc CE
CR
CD
CP
On ne peut pas utiliser la réciproque du théorème
de Thalès.
III. Réduction-Agrandissement1) Définitions
- La réduction de rapport k d’un objet est la transformation qui
multiplie toutes les longueurs par un nombre positif k tel que 0 <
k < 1.Exemple :
Cube ACube B
On passe du Cube A au Cube B
par
une réduction de coefficient k =
½.
(les dimensions du cube A sont toutes multipliées par ½ pour obtenir celle du cube B)
- L’agrandissement de rapport k d’un objet est la
transformation qui multiplie toutes les longueurs par un nombre
k tel que k > 1.
Exemple :
On passe du Cube B au Cube C par
un agrandissement de coefficient k
= 3.
Cube B Cube C
(les dimensions du cube B sont toutes multipliées par 3 pour obtenir celle du cube C)
2) PropriétésDans un agrandissement ou une réduction de rapport k, (k > 0)
- Les aires sont multipliées par k²
- Les volumes sont multipliés par k3
Exemples :
- L’aire de la face de devant du Cube A est 4 cm².
On passe du Cube A au Cube B par une réduction de coefficient k = ½ .Donc l’aire du cube B est : 4 x (½)² = 4 x ¼ = 1 cm²
- Le volume du Cube B est de 1 cm3.
On passe du Cube B au Cube C par un agrandissement de coefficient k = 3.
Donc le volume du Cube C est :1 x 33= 1 x 27 = 27 cm3
S
O'A'
3) Section d'un cône de révolution par un plan parallèle à la base
Le triangle SOA rectangle en O
engendre un cône de révolution
de hauteur 20 cm et de rayon de
base 6 cm.
On réalise la section de ce cône
par le plan parallèle à la base
passant par O', un point de [SO],
tel que SO' = 2 cm.
OA
S
O'A'
OA
S
O'A'
O'A'
S
D’après le théorème de Thalès dans le triangle SAO sachant que
O’ appartient à [SO],
A’ appartient à [SA]
et que (O’A’) est parallèle à (OA), on a :
SO' SA' O'A' 2SO SA OA 20
Donc le petit cône est une réduction du grand cône de coefficient2 1
k20 10
Or, le volume du grand cône est égal à :
r² hV
3
6² 20V
3
3V 240 cm
Donc le volume du petit cône est égal à :
31
V' 24010
3V' 0,240 cm
