CHAPITRE 2

Théorème de Thalès

Lors d’un voyage en Egypte, Thalès de Milet (-624 ;-546) aurait mesuré la hauteur de la pyramide de Kheops par un rapport de proportionnalité avec son ombre.Citons : « Le rapport que j’entretiens avec mon ombre est le même que celui que la pyramide entretient avec la sienne. »Par une relation de proportionnalité, il obtient la hauteur de la pyramide grâce à la longueur de son ombre.L'idée ingénieuse de Thalès est la suivante : «  A l'instant où mon ombre sera égale à ma taille, l'ombre de la pyramide sera égale à sa hauteur. »

Objectifs:

- Connaître et utiliser le théorème de Thalès.

- Connaître et utiliser la réciproque du théorème de Thalès.

- Utiliser les agrandissements ou les réductions d’aires et de volumes.

I. Théorème de Thalès

1) Les configurations

Situation 4ème Situation papillon

2) L’énoncé du théorèmeSoient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en A.

Soient B et M deux points de (d ), distincts de A.

Soient C et N deux points de (d’ ), distincts de A.

Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles

Alors

Remarque : Ce théorème permet, entre autre, de calculer des longueurs.

AM AN MNAB AC BC

Voir une démonstration de ce théorème dans le cahier d’exercices.

Exemple :Calculer BR et EA. Donner une valeur exacte et éventuellement une valeur approchée à 0,01 centimètre près.

E

DC

P R

B

A

(EA)//(PR)//(CD) EB = 2 cm, BD = 5 cm, PR = 4 cm, CD = 6 cm.

1 ) Comme P appartient à (BC),

R appartient à (BD)

(PR) et (CD) sont parallèles,

d’après le théorème de Thalès on a :

BC

BP

6

4

5

BR

BR = 5 x 4 ÷ 6 (produit en croix)

= cm 3,33 cm.3

10CD

PR

BD

BRCD

PR

BD

BR

E

DC

P R

B

A

2) Comme E appartient à (BD)

A appartient à (BC)

(EA) et (CD) sont parallèles

d’après le théorème de Thalès on a :

DC

EA

BC

BA

BD

BE

BD

BE

DC

EA

65

2 EA

EA = 6 x 2 ÷ 5 (produit en croix)

= 2,4 cm.

3) Application: partage d’un segment

Un segment [AB] étant donné. Construire sans règle graduée

le point M sur le segment [AB] tel que :7

4

AB

AM

II. Réciproque du théorème de Thalès Soient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en

A.Soient B et M deux points de (d ), distincts de

A.Soient C et N deux points de (d’ ), distincts

de A.

AM ANAB AC

Si

Alors

et

si les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre

les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Nous admettons désormais que cette réciproque est connue pour pouvoir l’utiliser.

Remarque : Cette réciproque permet de démontrer que des droites sont parallèles.

Exemples :

1) Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ?

B

C

P

R

D

E

1,5

A

3

4,5

2

4

2,5

4

3

CE

CA

4

3

12

9

6

5,4

CD

CB

On a

et

De plus les points A, C et E sont alignés dans le même ordre ainsi que les points B, C et D

d’après la réciproque du théorème de Thalès,

(AB) et (DE) sont parallèles.

.

.

. .

.

donc CD

CB

CE

CA

2) Les droites (PR) et (DE) sont-elles parallèles ?

B

C

P

R

D

E

1,5

A

3

4,5

2

4

2,5

On a

et

(PR) et (DE) ne sont pas parallèles.

3

2

6

4

CD

CP

8

5

4

5,2

CE

CR

donc CE

CR

CD

CP

On ne peut pas utiliser la réciproque du théorème

de Thalès.

III. Réduction-Agrandissement1) Définitions

- La réduction de rapport k d’un objet est la transformation qui

multiplie toutes les longueurs par un nombre positif k tel que 0 <

k < 1.Exemple :

Cube ACube B

On passe du Cube A au Cube B

par

une réduction de coefficient k =

½.

(les dimensions du cube A sont toutes multipliées par ½ pour obtenir celle du cube B)

- L’agrandissement de rapport k d’un objet est la

transformation qui multiplie toutes les longueurs par un nombre

k tel que k > 1.

Exemple :

On passe du Cube B au Cube C par

un agrandissement de coefficient k

= 3.

Cube B Cube C

(les dimensions du cube B sont toutes multipliées par 3 pour obtenir celle du cube C)

2) PropriétésDans un agrandissement ou une réduction de rapport k, (k > 0)

- Les aires sont multipliées par k²

- Les volumes sont multipliés par k3

Exemples :

- L’aire de la face de devant du Cube A est 4 cm².

On passe du Cube A au Cube B par une réduction de coefficient k = ½ .Donc l’aire du cube B est : 4 x (½)² = 4 x ¼ = 1 cm²

- Le volume du Cube B est de 1 cm3.

On passe du Cube B au Cube C par un agrandissement de coefficient k = 3.

Donc le volume du Cube C est :1 x 33= 1 x 27 = 27 cm3

S

O'A'

3) Section d'un cône de révolution par un plan parallèle à la base

Le triangle SOA rectangle en O

engendre un cône de révolution

de hauteur 20 cm et de rayon de

base 6 cm.

On réalise la section de ce cône

par le plan parallèle à la base

passant par O', un point de [SO],

tel que SO' = 2 cm.

OA

S

O'A'

OA

S

O'A'

O'A'

S

D’après le théorème de Thalès dans le triangle SAO sachant que

O’ appartient à [SO],

A’ appartient à [SA]

et que (O’A’) est parallèle à (OA), on a :

SO' SA' O'A' 2SO SA OA 20

Donc le petit cône est une réduction du grand cône de coefficient2 1

k20 10

Or, le volume du grand cône est égal à :

r² hV

3

6² 20V

3

3V 240 cm

Donc le volume du petit cône est égal à :

31

V' 24010

3V' 0,240 cm