Géométries a ne, projective et...

Notes de cours del'École Normale Supérieure de Lyon

6 août 2016

Géométries a�ne, projective et euclidienne

Florian Lavigne

Cours de préparation à l'agrégation de 2015-2016 de M. Thomas Letendre

2 TABLE DES MATIÈRES

Table des matières

I Géométrie A�ne 6

1 Espaces a�nes 6

1.1 Dé�nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Dé�nition alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Barycentres 8

3 Sous-espaces a�nes 9

3.1 Dé�nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Opérations sur les sous-espaces a�nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Familles libres, familles génératrices et repères 11

4.1 Dé�nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2 Repère a�ne et repère cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.3 Applications des coordonnées barycentriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Applications a�nes 16

5.1 Dé�nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.2 Zoologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.4 Calculs en coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6 Groupe a�ne 21

6.1 Dégression algébrique : produit semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.2 Groupe a�ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6.3 Existence de points �xes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6.4 Homothéties-translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6.5 Groupe spécial a�ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7 Autres structures 26

II Géométrie projective 27

8 Espaces projectifs 27

8.1 Dé�nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

8.2 Sous-espaces projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

8.3 Lien a�ne-projectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

8.4 Coordonnées homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

8.5 Topologie des espaces projectifs sur R ou C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

9 Homographies 32

9.1 Cas de la droite projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

9.2 Repère projectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

9.3 Lien a�ne projectif II : Le dé� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

TABLE DES MATIÈRES 3

10 Dualité projective 35

10.1 C'est quoi ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3510.2 Exemple de théorèmes duaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3710.3 Incidences et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

11 Birapport 39

11.1 Dé�nition et calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911.2 Birapport et homographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4011.3 Quelques remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

III Géométrie euclidienne 43

12 Espaces euclidiens 43

12.1 Dé�nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4312.2 Isométries vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4312.3 Isométries a�nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4412.4 Repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

13 Groupe orthogonal 45

13.1 L'ensemble des générateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4513.2 Cas de O2(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4713.3 Forme réduite - cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

14 Classi�cation des isométries 48

14.1 Forme réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4814.2 Cas de la dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4914.3 Cas de la dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

15 Angles 50

15.1 Notions d'angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5015.2 Structure de groupe sur les angles orientés (n = 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5115.3 Mesure des angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5215.4 Mesure des angles non orientés - valable en toute dimension . . . . . . . . . . . 5315.5 Similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

IV Introduction aux coniques sur K = R ou C 54

16 Rappels sur les formes quadratiques 54

16.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5416.2 Classi�cation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

17 Coniques projectives 56

17.1 Dé�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5617.2 Transformation par homographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5717.3 Classi�cation des coniques projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5817.4 Intersection avec une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4 TABLE DES MATIÈRES

Introduction

La géométrie "classique vient de la Grèce Antique, même si avant cela, il existait des "re-cettes". Les Grecs ont apportés une certaine rigueur, car la géométrie était au départ une scienceexpérimentale. Ils cherchaient à étudier tout ce qui était longueur, angle, et aire. Par exemple,le théorème de Thalès permet de connaître la hauteur d'une tour, via un bâton.

Avant le XIXe siècle, l'approche devînt plus axiomatique. En e�et, Euclide propose pourla géométrie dite euclidienne ces célèbres axiomes (V Ie siècle avant J.C.) :

(i) Il existe toujours une droite qui passe par deux points du plan.(ii) Tout segment peut être étendu suivant sa direction en une droite (in�nie).(iii) A partir d'un segment, il existe un cercle dont le centre est un des points du segment

et dont le rayon est la longueur du segment.(iv) Tous les angles droits sont égaux entre eux.(v) Etant donné un point et une droite ne passant pas par ce point, il existe une seule droite

passant par ce point et parallèle à la première.Ensuite, apparût la géométrie projective, dé�nie par des axiomes. Elle traite des objets dans

le plan ou l'espace, comme des droites, des cercles, des coniques (Kepler), etc.Le point de vue changea avec Felix Klein (1872) avec le programme d'Erlangen - reformuler

toute la géométrie en terme d'action de groupes. En e�et, les groupes apparaissent d'abordcomme les groupes de transformations de certains objets :• bijection entre ensembles.• groupes des symétries : groupes diédraux, A4 (isométrie directe du tétraèdre).• groupes linéaires.• groupe de Galilée (qui apparaît lors de changement de référentiel en physique).La notion abstraite de groupe était apparue pendant la première moitié du XIXe siècle

grâce à Galois.Dans ce cours, on fera agir principalement des groupes dérivés de GL(E) par extension,

quotient, sous-groupes, etc.

Illustrations d'intéractions groupes/géométrie

Exemple. Le groupe orthogonal On(R) est engendré par des involutions (ré�exions de Rn). Leproblème principal sera d'écrire une rotation dans R2 comme produit de deux ré�exions.

Exemple. Soit deux rotations a�nes de centres di�érents, dans le plan euclidien, notés rA,αet rB,β. On saura que la composée r est une rotation par classi�cation des isométries du planeuclidien. On sait même que c'est une rotation d'angle αβ. Le centre est en fait le point O créésous dessous.

AB

O

α/2−β/2

Remarque. Le langage des groupes sert aussi en dehors des mathématiques. En physique parexemple, on parle d'homogénéité pour l'invariance par translation d'un espace. L'isotropie cor-respond à l'invariance sous l'action du groupe orthogonal.

TABLE DES MATIÈRES 5

Dans ce cours, on étudie 3 types de géométries di�érentes, les groupes associés et leursinvariants :• a�ne, avec les notions de parallélisme et de barycentre.• projective, où on dé�nira l'incidence et l'alignement.• euclidienne, qui aura des angles et classi�era des isométries.L'idée importante pour résoudre un problème géométrique est donc d'identi�er la géométrie,

puis faire agir le groupe associé pour se ramener à une situation standard, et utiliser desstructures supplémentaires.

Géométries non-euclidiennes

Le cinquième axiome d'Euclide n'est pas une conséquence des 4 autres. Il existe des géomé-tries dans lesquelles celle-ci est fausse.

Lobachevsky a découvert en 1826 la géométrie hyperbolique, pour laquelle la notion de droiten'a plus de sens, et c'est pourquoi on la généralise en géodésique (demi-cercles). Dans celle-ci,il y a une in�nité de géodésique passant par un point. Pour approfondir ce sujet, le chapitre 4du livre de Fresnel est conseillé.

Dans le dessin ci-après, les géodésiques bleue, cyan et rouge sont parallèles à la noires,cependant elles passent toutes les trois en A.

D

A

6 1 ESPACES AFFINES

Première partie

Géométrie A�ne

On considère ici des corps commutatifs et les espaces vectoriels sont de dimension �nie.

1 Espaces a�nes

1.1 Dé�nitions

Dé�nition. Un espace a�ne est un triplet (E , E, t) avec E un ensemble, E un kev, et t uneaction de E sur E simplement transitive.

Remarque. Quand il y n'a pas d'ambiguïté, on parle de l'espace a�ne E .Remarque. Il su�t juste de véri�er que t est �dèle et transitive.

Dé�nition. Les éléments de E sont appelés des points. Ceux de E sont appelés des vecteurs.

Dé�nition. On dit que E est la direction de E , ou encore que E est dirigé par E.

Dé�nition. Pour u ∈ E, t(u) est appelée la translation de vecteur u. Dans la suite on noteraA+ u à la place de t(u)(A).

Exemple. Un espace vectoriel est tautologiquement un espace a�ne dirigé par lui-même.

Exemple. Soit f : E → F linéaire et x ∈ F . Alors f−1(x) est un espace a�ne dirigé parker(f), qui est un espace vectoriel (vu comme noyau d'une application linéaire).

En e�et, soit A,B ∈ f−1(x). Soit K = B − A. Alors comme f est linéaire :

f(K) = f(B)− f(A) = x− x = 0.

L'action t(K)(A) = A+K est donc transitive. Si on considère K,K ′ ∈ ker f , avec K.A = K ′.A,alors il est évident que K = K ′. Donc l'action est en fait simplement transitive.

Remarque. Si (E , E) est un espace a�ne et si F est en bijection avec E , alors cette bijectionpermet de munir F d'une structure d'espace a�ne dirigée par E.

Dé�nition. On appelle dimension de E la dimension de E en tant que Kev.

Remarque. On n'attribue aucune dimension si E = ∅.

Dé�nition. On dit que E est :• un point si dimE = 0.• une droite si dimE = 1.• un plan si dimE = 2.

1.2 Propriétés élémentaires

Dé�nition. Soit A,B ∈ E . On note−→AB l'unique vecteur de E tel que :

A+−→AB = B.

Proposition 1. Soit A ∈ E. Alors−→AA = 0.

1.2 Propriétés élémentaires 7

Démonstration. A+ 0 = A nous donne l'égalité souhaitée.

Proposition 2. Soit A,B ∈ E. Alors−→AB = −

−→BA.

Démonstration. On sait que t(−−→BA) = t(

−→BA)−1. Donc :

t(−−→BA)(A) = B,

ce qui a�rme A−−→BA = B.

Proposition 3. (Relation de Chasles)

Pour tout A,B,C ∈ E ,−→AB +

−−→BC =

−→AC.

Démonstration. Comme t est un morphisme, on a :

A+ (−→AB +

−−→BC) = (A+

−→AB) +

−−→BC = B +

−−→BC = C.

Proposition 4. (Règle du parallélogramme)

Soit A,A′, B,B′ ∈ E. Alors :

−−→AA′ =

−−→BB′ ⇔

−→AB =

−−→A′B′.

Démonstration. On a alors :

−→AB =

−−→A′B′ ⇔ A+

−−→A′B′ = B

⇔ A+−−→AB′ +

−−→A′A = B

⇔ B′ +−−→A′A = B

⇔−−→BB′ =

−−→AA′.

Proposition 5. Soit (E , E, t) un espace a�ne et A ∈ E. L'application suivante est une bijec-tion :

ΘA : E → Eu 7→ A+ u

Remarque.−→AB = Θ−1A (B).

Dé�nition. On dit qu'on vectorialise E en A, si on identi�e E et E via ΘA.

Remarque. Cette structure d'espace vectoriel induite n'est pas du tout canonique. Le neutreadditif est A.

8 2 BARYCENTRES

1.3 Dé�nition alternative

Proposition 6. E est un espace a�ne dirigé par E si et seulement s'il existe φ : E2 → E tel

que si on note−→AB = φ(A,B), on a :

∀A ∈ E , φA : B 7→−→AB est bijective

∀A,B,C ∈ E ,−→AB +

−−→BC =

−→AC.

Démonstration. Le sens direct est clair. Montrons l'autre sens, c'est-à-dire que (E , Imφ) esta�ne pour l'action u.A = φ−1A (u).

Véri�ons d'abord qu'on a bien ainsi dé�nit une action.

Soit 0 ∈ E. On sait que−→AA+

−→AA =

−→AA. Ainsi

−→AA = 0. Donc 0.A = A.

Soit u,w ∈ E et A ∈ E . Posons les points B = w.A et C = u.B. Alors :

(u+ w).A = (−−→BC +

−→AB).A =

−→AC.A = C = u.(w.A).

On a donc ainsi dé�nit une action.Soit A,B ∈ E . Posons u =

−→AB. Alors u.A = B, par dé�nition. L'action est donc bien

transitive.Soit u,w ∈ Imφ et A,B ∈ E avec u.A = w.A = B. Alors :

φA(B) = u = w.

L'action est donc simplement transitive. Ainsi (E , Imφ) est un espace a�ne.

2 Barycentres

On considère ici un espace a�ne E sur le corps k. Soit A1, ..., An ∈ E et λ1, ..., λn ∈ k.Remarque. Pour tout M,N ∈ E , on a :

n∑i=1

λi−−→MAi =

(n∑i=1

λi

)−−→MN +

n∑i=1

λi−−→NAi.

Remarque. L'application φ : M →∑λi−−→MAi est bijective si

∑λi 6= 0 constante sinon.

Dé�nition. Soit A1, ..., An ∈ E et λ1, ..., λn ∈ k avec∑λi 6= 0. On appelle barycentre l'unique

antécédent de 0 par l'application φ.On note parfois Bar((A1, λ1), ..., (An, λn)).

Proposition 7. Le point G barycentre des (Ai) avec les points (λi) est caractérisé par∑i

λi−−→GAi = 0,

ce qui est équivalent à :

∀M ∈ E ,n∑i=1

−−→MAi =

(n∑i=1

λi

)−−→MG.

Dé�nition. Soit A1, ..., An ∈ E avec car(k) 6= n. On appelle isobarycentre des Ai le barycentredes (Ai, 1).

Si n = 2, on parle de milieu.

9

Proposition 8. (Homogénéité)Soit A1, ..., An ∈ E et les poids λ1, ..., λn ∈ k avec

∑λi 6= 0. Soit a ∈ k∗. Alors :

Bar((Ai, λi)) = Bar((Ai, aλi)).

Démonstration. Soit G = Bar((Ai, aλi)). Alors a∑λi−−→GAi = 0 donne

∑λi−−→GAi = 0.

Remarque. On peut donc toujours se ramener au cas où∑λi = 1.

Proposition 9. (Associativité)Soit (Aij, λij)1≤i≤p,1≤j≤qi des points pondérés de E avec

∑j λij 6= 0, pour tout i, et :∑

i,j

λij 6= 0.

Alors, en notant Gi = Bar((Aij, λij)), on obtient :

Bar((Gi,∑j

λij)) = Bar((Aij, λij)).

Démonstration. Soit G le barycentre de gauche. Alors :

0 =∑i

(∑j

λij

)−−→GGi =

∑i,j

λij

(−−→GGi +

−−−→GiAij

)=∑ij

λij−−−→GAij.

Corollaire 10. Les médianes d'un triangle sont concourantes.

Démonstration. Considérons un triangle ABC et M le milieu de [BC].Soit G = Bar((A, 1), (M, 2)).Or M = Bar((B, 1), (C, 1)). Donc G = Bar((A, 1), (B, 1), (C, 1)) l'isobarycentre de ABC.

Interprétation du calcul barycentrique

Soit E un kev. On note e = (1, 0) dans k×E. Posons E = e+E espace a�ne dirigé par E.

Si A = e + a et B = e + b, alors−→AB = b − a ∈ E, qu'on peut aussi écrire B − A comme

vecteurs de k × E.Si Ai = e+ ai ∈ E et λi ∈ k avec

∑λi = 1, alors avec M = e+ x, on a :

M = Bar((Ai, λi)) ssi x =∑

i λiai.

3 Sous-espaces a�nes

3.1 Dé�nitions

Dé�nition. Soit E un espace a�ne. Une partie F de E est appelée sous-espace a�ne si elleest stable par barycentres.

Proposition 11. Soit (E , E) un espace a�ne et F ⊂ E. Les assertions suivantes sont équiva-lentes :

(i) F sous-espace a�ne de E.

10 3 SOUS-ESPACES AFFINES

(ii) il existe F sev de E tel que pour tout A ∈ F , Θ−1A (F) = F .(iii) pour tout A ∈ F , Θ−1A (F) est un sev de E.(iv) il existe A ∈ F , Θ−1A (F) est un sev de E.

On notera Θ−1A (F) = F par F = A+ F .

Démonstration. Il est clair que (ii)⇒ (iii)⇒ (iv).Montrons que (iv)⇒ (i). Soit A ∈ F avec Θ−1A (F) un sev de E noté F . Soit (Ai, λi) points

pondérés de F avec∑λi = 1. Posons G = Bar(Ai, λi). Alors :

−→AG =

∑i

λi−−→AAi ∈ F,

car F est un sev et−−→AAi ∈ F . Donc G ∈ A+ F = F .

Montrons maintenant que (i)⇒ (iii). Soit A ∈ F . On note F = Θ−1A (F). On sait que 0 ∈ Fcar 0 =

−→AA. Soit u,w ∈ F et λ ∈ k. Posons B = A + u et C = A + w. Donc B,C ∈ F .

Montrons que u+ λw ∈ F . Notons G le barycentre :

G = Bar((B, 1), (C, λ), (A,−λ)).

Alors−→AG =

−→AB + λ

−→AC = u + λw. Ainsi G ∈ F car G est un barycentre d'éléments de F qui

est un sous-espace a�ne de E.Montrons �nalement que (iii)⇒ (ii). Soit A,B ∈ F . Notons F = Θ−1A (F) et F ′ = Θ−1B (F).

Il su�t de montrer que F = F ′. Soit u ∈ F ′. Donc B + u ∈ F . Or :

B + u = A+ (−→AB + u) ∈ F .

Donc−→AB + u ∈ F . Comme B ∈ F ,

−→AB ∈ F. D'où u ∈ F . Ainsi F ′ ⊂ F , puis par symétrie on

a F = F ′.

Exemple. Soit f : E → F linéaire et c ∈ F . Alors f−1(c) est un sea de E.

Proposition 12. Soit F un sea de (E , E) et F l'unique sev de E tel que pour tout A ∈ F ,F =A+ F .

La restriction à F et F de l'action de E sur E dé�nit une structure d'espace a�ne(F , F ).

Démonstration. Si u ∈ F , t(u) stabilise F car F = A+ F , pour tout A ∈ F . Donc l'action estbien dé�nie.

Si t(u) a un point �xe dans F il admet donc un point �xe dans E . Par simple transitivitéde E y E , u = 0.

On a F = A+ F pour tout A ∈ F . Donc l'action est bien transitive.

Remarque. Un sea de (E , E) dirigé par F est une orbite pour l'action induite de F y E .

Dé�nition. On appelle codimension d'un sea F de E la dimension de E/F . C'est aussi ladi�érence :

codim(F) = dim E − dimF .Si codim(F) = 1, F est appelé hyperplan de E .

Remarque. Si F sea de E , alors dim(F) ≤ dim(E) avec égalité si et seulement si E = F .

Dé�nition. Deux sous-espace a�nes (F , F ) et (G, G) de (E , E) sont parallèles (au sens fort)si F = G. Ils sont parallèles (au sens faible) si F ⊂ G.

Remarque. On utilise plus facilement la notion de parallélisme au sens fort qui est une relationd'équivalence. La deuxième ne l'est pas : il s'agit d'une mauvaise terminologie.

3.2 Opérations sur les sous-espaces a�nes 11

3.2 Opérations sur les sous-espaces a�nes

Proposition 13. Soit (Fi, Fi) une famille de sea de (E , E). Alors ∩Fi est un sea de E dirigépar ∩Fi.

Démonstration. Chacun des Fi est stable par barycentre, donc ∩Fi l'est aussi.Si ∩Fi = ∅, on peut considérer n'importe quelle direction.Sinon on considère A ∈ ∩Fi. Alors ∩Fi = ∩Θ−1A (Fi) = Θ−1A (∩Fi).

Proposition 14. Soit (F , F ) et (G, G) deux sea de (E , E). Alors :

F ∩ G 6= ∅ ⇔ ∃A ∈ F , B ∈ G,−→AB ∈ F +G

⇔ ∀(A,B) ∈ F × G,−→AB ∈ F +G

Démonstration. Si F ∩ G 6= ∅, on considère A = B ∈ F ∩ G. Alors−→AB = 0 ∈ F +G.

Supposons qu'il existe deux points (A0, B0) ∈ F × G avec−→AB ∈ F +G. Alors :

−→AB =

−−→AA0 +

−−−→A0B0 +

−−→B0B ∈ F +G.

Supposons que pour tout A ∈ F , pour tout B ∈ G, le vecteur−→AB ∈ F + G. On a alors la

décomposition−→AB = u+ w, avec u ∈ F et w ∈ G. Alors :

C = A+ u = B − w ∈ F ∩ G.

Remarque. Si F +G = E, on a toujours F ∩ G 6= ∅. Dans ce cas :

codim(F ∩ G) = codim(F) + codim(G).

Dé�nition. Si F +G = E, on dit que F ∩ G est une intersection transverse.

Remarque. Si F ⊕G = E, alors F ∩ G est un point.

4 Familles libres, familles génératrices et repères

4.1 Dé�nitions

Dé�nition. Soit A ⊂ E . On appelle sous-espace engendré par A l'intersection de tous les seade E contenant A. On le note 〈A〉.

Remarque. 〈A〉 est l'ensemble de tous les barycentres des points de A.

Proposition 15. Soit A une partie d'un espace a�ne (E , E). Soit A ∈ A. Alors :

〈A〉 = A+ V ect({−→AB,B ∈ A}

).

Démonstration. On pose F = A+ V ect({−→AB,B ∈ A}

). On a clairement que A ⊂ F . Comme

F est un espace a�ne, 〈A〉 ⊂ F .Soit M ∈ F . Alors il existe (λB)B∈A une famille presque nulle telle que :

M = A+∑B∈A

λB−→AB.

Donc M est un barycentre de points de A, par dé�nition. Donc M ∈ 〈A〉. Ainsi F = 〈A〉.

12 4 FAMILLES LIBRES, FAMILLES GÉNÉRATRICES ET REPÈRES

Corollaire 16. Soit A ⊂ E. Alors dim〈A〉 ≤ #A− 1.

Dé�nition. Une famille de points (Ai)i∈I de (E , E) est dite génératrice si E = 〈(Ai)i∈I〉.

Proposition 17. Soit (Ai) des points de E. Les assertions suivantes sont équivalentes :(i) ∀j ∈ I, Aj /∈ 〈{Ai, i 6= j}〉.(ii) ∀j ∈ I, la famille {

−−−→AjAii 6=j} est libre.

(iii) pour tout B ∈ 〈{Ai}〉, pour tout j ∈ I, il existe une unique famille (µi)i 6=j presquenulle telle que : −−→

AjB =∑i 6=j

µi−−−→AjAi.

(iv) il existe j ∈ I, pour tout B ∈ 〈{Ai}〉, il existe une unique famille (µi)i 6=j presque nulletelle que : −−→

AjB =∑i 6=j

µi−−−→AjAi.

(v) pour tout B ∈ 〈{Ai}〉, il existe une unique famille presque nulle (λi) telle que∑λi = 1

et B = Bar((Ai, λi)).Une telle famille est dite (a�nement) libre.

Démonstration. Il est évident que (ii)⇒ (iii)⇒ (iv).

Montrons que (i)⇒ (ii). Soit i0 ∈ I avec (−−−→Ai0Ai)i 6=i0 est liée. Il existe alors j 6= i0 telle que :∑

i 6=i0,j

µi−−−→Ai0Ai =

−−−→Ai0Aj.

Donc Aj = Bar((Ai, µi)i 6=i0,j, (Ai0 , 1−∑µi)).

Montrons que (iv)⇒ (v). Soit B ∈ 〈{Ai}〉 et j ∈ I véri�ant (iv). Alors, en considérant despoids de somme unité :

B = Bar((Ai, λi))⇔−−→AjB =

∑λi−−−→AjAi

⇔−−→AjB =

∑i

λi−−−→AjAi et λj = 1−

∑i 6=j

λi

Par (iv), λi = µi pour i 6= j et λj = 1−∑µi. On obtient donc l'unicité.

Il ne reste plus qu'à prouver (v)⇒ (i). Si Aj ∈ 〈{Ai, i 6= j}〉, alors il existe des coe�cientsλi avec

∑λi = 1 et Aj = Bar((Ai, λi)i 6=j). Or c'est aussi le barycentre des (Ai, 0) (avec i 6= j)

et de (Aj, 1), ce qui contredit l'unicité dans (v).

Remarque. Le point (ii) de la propriété donne qu'un famille libre possède au plus dim E + 1éléments.

Dé�nition. Une famille qui n'est pas a�nement libre est a�nement liée.

Dé�nition. Une famille de points de E qui est libre et génératrice est appelée repère a�ne oubase a�ne.

Remarque. L'existence de base de E donne l'existence de repère a�ne.

Proposition 18. Les repères a�nes sont de cardinal dim E + 1.

Exemple. Si A,B ∈ E, avec A 6= B, alors (A,B) est un repère de la droite (AB).

Proposition 19. Une famille libre de cardinal dim E + 1 est un repère a�ne.Une famille génératrice de cardinal dim E + 1 est un repère a�ne.

4.2 Repère a�ne et repère cartésien 13

Dé�nition. Soit (A0, ..., An) un repère a�ne de E . Pour tout A ∈ E , il existe une uniquefamille λi avec A = Bar((Ai, λi)) et

∑λi = 1. La famille (λ0, ..., λn) est appelée coordonnées

barycentriques de A.

Remarque. Si on ne demande pas la normalisation, les coordonnées barycentriques sont dé�niesà un scalaire près.

4.2 Repère a�ne et repère cartésien

Dé�nition. Soit (E , E) un espace a�ne. Un repère cartésien de E est la donnée d'une origineO et d'une base (e1, ..., en) de E.

Remarque. Cela revient à vectoraliser en O en prenant une base.

Proposition 20. Soit (A0, ..., An) ∈ E. Alors :

(A0, ..., An) est un repère a�ne ⇔ (A0,−−−→A0A1...,

−−−→A0An) est un repère cartésien.

Démonstration. ⇒ On a E = 〈{Ai}〉 = A0 + V ect(−−−→A0Ai). D'autre part, la famille

−−−→A0Ai est

libre. On obtient donc bien un repère cartésien.

⇐ On a E = V ect(−−−→A0Ai) et E = A0 +E. Alors pour tout B ∈ E , il existe un unique n-uplet

(x1, ..., xn) tel que :

−−→A0B =

n∑i=1

−−−→A0Ai.

Donc B = Bar((Ai, xi), (A0, 1−∑xi)) et l'unicité des xi donne la liberté de la famille.

Remarque. Un ensemble dé�nit par une équation polynômiale en coordonnée cartésienne estdé�nie par une équation polynômiale de même degré en coordonnées barycentrique (avec

∑λi =

1).

Equation barycentrique

Soit (A0, ..., Ak) une famille libre de E et F = 〈(A0, ..., Ak)〉. On suppose E muni de coor-données barycentriques avec (Aj) = (aij)i.

Alors on a que la matrice (aij) est de rang (k+1). SoitM ∈ E , qu'on associe aux coordonnées(xi). Alors la famille (A0, ..., Ak,M) est liée ssi la matrice suivante est de rang k + 1 : a00 · · · a0k x0

......

...

an0 · · · ank xn

Exemple. Dans le plan, on considère A =

a0a1a2

et B =

b0b1b2

qui forment une famille

libre. Alors :

M =

x

y

z

∈ (AB)⇔ det

∣∣∣∣∣a0 b0 x

a1 b1 y

a2 b2 z

∣∣∣∣∣ = 0

⇔ z(a0b1 − a1b0) + y(a2b0 − a0b2) + x(a1b2 − a2b1) = 0

Remarque. Par multilinéarité du det, on peut choisir des coordonnées non normalisées pour les(Ai) et pour M .

14 4 FAMILLES LIBRES, FAMILLES GÉNÉRATRICES ET REPÈRES

Equation cartésienne

Soit (A0, e1, ..., en) un repère cartésien de E et F = A+ F un sea de E .L'espace vectoriel F est d'équation f(x) = 0 avec f : E → Kn−k linéaire surjective. Soit

M =

x1...

xn

∈ E . On pose A =

a1...

an

. Alors :

M ∈ F ⇔ f(−−→AM) = 0

⇔ f(x1 − a1, ...xn − an) = 0

⇔ f(x) = f(a) = (b1, ..., bn)

⇔ ∀i,∑j

fijxj = bi

Equation paramétrique

Si F = A+ F avec F = V ect(e1, ..., ek), alors :

M ∈ F ⇔⇔ ∃(λ1, ..., λk),−−→AM =

∑i

λiei.

Donc F =

a1 +

∑λiei1

...

an +∑λiein

, λi ∈ K

.

4.3 Applications des coordonnées barycentriques

Dé�nition. Soit A,B,C ∈ E alignés. Il existe donc un unique α ∈ k tel que−→AB = α

−→AC. On

pose alors :

AB

AC= α.

Théorème 21. (Menelaüs)

Soit A,B,C un vrai triangle d'un plan a�ne. Soit A′ ∈ (BC), B′ ∈ (AC) et C ′ ∈ (AB).Alors :

A′, B′, C ′ sont alignés ssi A′BA′C

.B′C

B′A.C′A

C′B= 1.

A

C

BC'

B'

A'

4.3 Applications des coordonnées barycentriques 15

Démonstration. On travaille en coordonnées barycentrique. Alors :

A′ =

0

a

1− a

; B′ =

b

0

1− b

; C ′ =

c

1− c0

.

On a a−−→A′B + (1− a)

−−→A′C = 0, ce qui donne A′B

A′C= a−1

a.

De même, on a : B′C

B′A= b−1

bet C′A

C′B= c−1

c. Alors :

A′, B′, C ′ sont alignés ⇔ det

∣∣∣∣∣0 1− b c

a 0 1− c1− a b 0

∣∣∣∣∣ = 0 = (1− b)(1− c)(1− a) + abc

⇔ A′B

A′C.B′C

B′A.C ′A

C ′B= 1

Théorème 22. (Gergonne)Soit (A,B,C) un repère a�ne du plan. Soit A′ ∈ (BC), B′ ∈ (AC) et C ′ ∈ (AB). Si les

droites (AA′), (BB′) et (CC ′) sont concourantes en M , alors :

MA′

AA′+MB′

BB′+MC ′

CC ′= 1.

A

C

BC'

B'

A'

Démonstration. On considère les mêmes notations que dans la preuve précédente.

Soit M =

x

y

z

avec x+ y + z = 1.

On sait que M ∈ (AA′). Alors il existe µ ∈ k tel que µ−−→AM + (1−µ)

−−→A′M = 0, ce qui revient

à dire que µ = MA′

AA′.

De plus, M = Bar((A, µ), (A′, 1− µ)) et A′ = Bar((B, a), (C, 1− a)). Ainsi :

M = µ

1

0

0

+ (1− µ)

0

a

1− a

.

Donc x =−−−→MA′−−→AA′

. De même on a :

y =

−−→MB′

−−→BB′

; z =

−−→MC ′

−−→CC ′

.

Or x+ y + z = 1. On obtient ainsi la relation souhaitée.

16 5 APPLICATIONS AFFINES

5 Applications a�nes

5.1 Dé�nitions

Dé�nition. Soit deux espaces a�nes (E , E) et (F , F ).Une application f : (E , E)→ (F , F ) est dite a�ne si elle préserve les barycentres id est :

Bar((f(Ai), λi)) = f(Bar((Ai, λi))).

Exemple. Les fonctions constantes, les translations et les application de la forme x 7→ ax+ bavec a ∈ k et b ∈ k sont des applications a�nes.

Proposition 23. Soit f : E → F et g : F → G deux applications a�nes.Alors (g ◦ f) est a�ne et si f est inversible, alors f−1 est a�ne.

Démonstration. Le premier résultat provient directement de la dé�nition des applications af-�nes.

Considérons donc f bijective. Soit (Bi, λi) des points pondérés de F de barycentre H. Onnote Ai = f−1(Bi) et G = Bar(Ai, λi). Alors :

f(G) = Bar((f(Ai), λi)) = H.

Donc G = f−1(H).

Proposition 24. Soit f : E → F a�ne, A ⊂ E et B ⊂ F deux sous-espaces a�nes. Alors :• f(A) est un sea de F .• f−1(B) est un sea de E.• Si E = F alors Fix(f) est un sea de E.

Démonstration. Les deux premiers points sont clairs. Montrons le dernier. Soit Ai des pointsde Fix(f). Alors :

f(Bar(Ai, λi)) = Bar((f(Ai), λi)) = Bar((Ai, λi)).

Remarque. En particulier, les applications a�nes préservent l'alignement. On a une réciproquepartielle appelée le théorème fondamentale de la géométrie a�ne :

Soit f : E → F une bijection avec n = dim E = dimF ≥ 2 deux espaces a�nes sur R. Alorssi f préservent les alignements, elle est a�ne.

Proposition 25. Soit f : E → F . Les assertions suivantes sont équivalentes :(i) f est a�ne.

(ii) ∀A ∈ E ,∃!−→fA ∈ L(E,F ),∀u ∈ E, f(A+ u) = f(A) +

−→fA(u).

(iii) ∃!−→f ∈ L(E,F ),∀A ∈ E , ,∀u ∈ E, f(A+ u) = f(A) +

−→f (u).

(iv) ∃!A ∈ E , ∃!−→fA ∈ L(E,F ),∀u ∈ E, f(A+ u) = f(A) +

−→fA(u).

Démonstration. Montrons d'abord (i) ⇒ (ii). Soit A ∈ E . Le seul candidat possible pour−→fA

est−→AB 7→

−−−−−−→f(A)f(B). On véri�e la linéarité. En e�et,

−→fA(0) = 0. De plus, si on considère

u,w ∈ E, λ ∈ K, on pose B = A + u, C = A + w et G = Bar((A,−λ), (B, 1), (C, λ)). Alors−→AG = u+ λw et :

−→fA(u+ λw) =

−−−−−−→f(A)f(G) =

−−−−−−→f(A)f(B) + λ

−−−−−−→f(A)f(C) =

−→fA(u) + λ

−→fA(w),

5.1 Dé�nitions 17

ce qui donne la linéarité.Ensuite, prenons A,B ∈ E et u ∈ E. Supposons (ii). Alors :

f(B) +−→fB(u) = f(B + u) = f(A+

−→AB + u)

= f(A) +−→fA(−→AB) +

−→fA(u)

= f(A) +−−−−−−→f(A)f(B) +

−→fA(u)

= f(B) +−→fA(u)

Par unicité,−→fB =

−→fA.

L'implication (iii)⇒ (iv) est claire.

En�n, terminons par la preuve de (iv)⇒ (i). Soit G = Bar((Ai, λi)). Alors−→AG =

∑λi−−→AAi,

en supposant (pour simpli�er les notations) que∑λi = 1. Alors :

f(G) = f(A) +−→fA(∑

λi−−→AAi) = f(A) +

∑λi−−−−−−−→f(A)f(Ai).

Donc f(G) = Bar((f(Ai), λi)).

Dé�nition. Soit f : E → F a�ne. L'application−→f est appelée partie linéaire de f .

Proposition 26. Soit deux applications a�nes f : E → F et g : F → G. Alors :•−−→g ◦ f = −→g ◦

−→f .

•−→f−1 =

−→f −1.

Démonstration. • On a pour A ∈ E et u ∈ E :

(g ◦ f)(A+ u) = g(f(A) +−→f (u)) = g(f(A)) +−→g (

−→f (u)).

Par unicité, on a l'égalité cherchée.• Soit A ∈ E et u ∈ E. Alors :

A+ u = f−1(f(A)) +−→f−1(−→f (u)) = A+

−→f−1(−→f (u)).

Par unicité,−→f−1 ◦

−→f = idE. De même,

−→f ◦−→f−1 = idF . Ainsi :

−→f−1 =

−→f −1.

Proposition 27. Soit f : E → F a�ne. Alors :

(i) f(E) est dirigé par−→f (E).

(ii) f−1(F) est dirigé par−→f −1(F ).

Démonstration. (i) On a−−−−−−→f(A)f(B) =

−→f (−→AB) ∈

−→f (E). Donc

−−→f(E) ⊂

−→f (E), avec

−−→f(E) la

direction de f(E).

Soit u ∈ E. Alors−−−−−−−−−→f(A)f(A+ u =

−→f (u) ∈

−−→f(E). On a donc que la direction de f(E) est

bien−→f (E).

(ii) Soit A,B ∈ f−1(F). Alors−→f (−→AB) =

−−−−−−→f(A)f(B) ∈ F . Donc

−→AB ∈

−→f −1(F ).

Soit u ∈−→f −1(F ). Alors :

−−−−−−−−−→f(A)f(A+ u) =

−→f (u) ∈ F. D'où u ∈

−−−−→f−1(F).


Proposition 28. Soit G et G ′ deux sea parallèles de E et une application a�ne f : E → F .Alors f(G) � f(G ′).

Démonstration. On a G = A + G et G ′ = A′ + G, avec A,A′ ∈ E et G sev de E. Alors, par la

propriété précédente, on a f(G) = f(A) +−→f (G) et f(G ′) = f(A′) +

−→f (G).

Proposition 29. Si f : E → F est a�ne, alors :

dim(f(E)) + dim(ker(−→f )) = dim(E).

5.2 Zoologie

Dé�nition. Soit u ∈ E. La translation de vecteur u est l'application a�ne tu avec−→tu = Id

dé�nie par :

tu(A) = A+ u.

Proposition 30. Soit f : E → E a�ne avec−→f = idE, alors f est une translation.

Démonstration. Soit A ∈ E . On note u ∈−−−−→Af(A). Soit B ∈ E . Alors :

f(B) = f(A) +−→f (−→AB) = f(A) +

−→AB = A+ u+

−→AB = B + u.

On a donc que f = tu.

Dé�nition. Soit O ∈ E , λ ∈ k∗. L'homothétie de centre O et de rapport λ est l'applicationa�ne :

h0,λ : A 7→ O + λ−→OA,

de partie linéaire λId.

Dé�nition. Soit F et G avec E = F ⊕G et F un sea de E dirigé par F . La projection sur Fparallèlement à G est l'application a�ne A 7→ p(A) avec :

{p(A)} = (A+G) ∩ F .

Sa partie linéaire est −→p le projecteur vectorielle sur F parallèlement à G.

Dé�nition. Soit F et G avec E = F ⊕G. Soit F sea de E de direction F et λ ∈ k∗. On notep la projection sur F parallèlement à G.

L'a�nité de base F de rapport λ parallèlement à G est l'application A 7→ A′ avec :

−−−−→p(A)A′ = λ

−−−−→p(A)A.

Sa partie linéaire est pF + λpG.

Dé�nition. Si G 6= {0}, on appelle l'a�nité de base F de rapport -1 parallèlement à G lasymétrie par rapport à F parallèlement à G.

5.3 Applications 19

5.3 Applications

Théorème 31. (Thalès)Soit E un ea et trois hyperplans a�nes parallèles de direction F , noté F1, F2 et F3.Soit D et D′ deux droites avec D⊕F = E = D′⊕F . On dé�nit Ai = D∩Fi et Bi = D′∩Fi.

Alors on a :A1A2

A1A3

=B1B2

B1B3

.

Si A1 = B1, alors :A1A2

A1A3

=A1B2

A1B3

=A2B2

A3B3

.

Démonstration. Soit p la projection a�ne sur D′ parallèlement à F . Alors p(Ai) = Bi.

De plus −→p (−−−→AiAj) =

−−−→BiBj.

Soit α tel que−−−→A1A2 = α

−−−→A1A3. Alors, comme −→p (

−−−→A1A2) = α−→p (

−−−→A1A3), on a :

−−−→B1B2 = α

−−−→B1B3.

On a donc prouvé la première partie. Considérons donc maintenant le cas où A1 = B1.On étudie l'application h = hA1,α. Alors h(A1) = A1 et h(A3) = A2. Comme h est a�ne et

que−→h = αid, h(B3) est alignés avec A1 et B3.

De plus h(F3) est envoyé sur un hyperplan parallèle à F3 passant par A2. Donc h(F3) = F2.Donc h(B3) = B2. Donc :

α−−−→A3B3 =

−→h (−−−→A3B3) =

−−−−−−−−→h(A3)h(B3) =

−−−→A2B2.

Théorème 32. (Céva)Soit (ABC) un vrai triangle. Soit A′ ∈ (BC), B′ ∈ (AC) et C ′ ∈ (AB) des points di�érents

de leurs sommets. Alors (AA′), (BB′) et (CC ′) sont parallèles ou concourantes ssi :

A′B

A′C.B′C

B′A.C ′A

C ′B= −1.

Démonstration. Si les droites sont concourantes en O = (x, y, z). Remarquons que commeB′ /∈ (AB), z 6= 0. De même, x 6= 0 et y 6= 0. Posons a tel que A′ = Bar((B, a), (C, 1 − a)).Alors :

a−−→A′B + (1− a)

−−→A′C = 0,

ce qui donne A′BA′C

= a−1a. On sait de plus que A,O et A′ sont alignés. Donc :∣∣∣∣∣

1 x 0

0 y a

0 z 1− a

∣∣∣∣∣ = 0 = y(1− a)− za.

Donc zy

= −A′BA′C

. De même, xz

= −B′CB′A

et yx

= −C′AC′B

. On obtient donc l'égalité souhaitée.

Supposons qu'elles sont parallèles. Soit les coordonnées A′ = (0, a, 1− a), B′ = (b, 0, 1− b)et C ′ = (c, 1− c, 0). Par théorème de Thalès :

• sur le triangle BCC ′, on a 1− a = BA′

BC= BA

BC′= 1

c.

• sur le triangle B′AB, on a (1− c)−1 = ABAC′

= AB′

AC= 1− b.

• sur le triangle BCB′, on a a = CA′

CB= CA

CB′= 1

b.


D'une part, via les deux premières égalités obtenues on a ac(1− b) = 1. D'autre part :

A′B

A′C.B′C

B′A.C ′A

C ′B=a− 1

a

b

b− 1

c− 1

c= − b

ac2c− 1

b− 1=

−1

a2c2(b− 1)2= −1.

Supposons maintenant l'égalité et que les droites considérées ne sont pas parallèles. Quitte àpermuter les points, on peut supposer que (AA′)∩(CC ′) 6= ∅. Soit O = (x, y, z) leur intersection.On considère la encore les coordonnées barycentriques de A′, B′, C ′ dé�nies précédemment.

Alors par le raisonnement qu'on a fait précédemment (dans le cas où les droites étaientsécantes) on a :

az = (a− 1)y et cy = (c− 1)x.

Montrons que O ∈ (BB′). On a :

O ∈ (BB′)⇔ bz = (1− b)x

⇔ ba− 1

a.c− 1

c= 1− b

⇔ a− 1

a

b

b− 1

c− 1

c= −1

⇔ A′B

A′C.B′C

B′A.C ′A

C ′B= −1

On a donc �nit de démontrer l'équivalence dans le théorème de Céva.

Théorème 33. (Pappus)

Soit D et D′ deux droites distinctes de E. Considérons A,B,C ∈ D et A′, B′, C ′ ∈ D′. Alorssi (AB′) � (A′B) et (B′C) � (BC ′) alors (AC ′) � (A′C).

AB C

A'B'C'

Démonstration. Si D ∩D′ = {O}, on pose hO l'homothétie de centre O qui envoie A sur B, eth′O celle qui envoie B sur C.

Comme hO est une homothétie, les pointsO,B′, hO(B′) sont alignés. De plus, une applicationa�ne conserve les parallélismes. Donc (AB′)� (BhO(B′)). Ainsi hO(B′) est l'intersection de D′

avec la droite parallèle à (AB′) passant par B. Donc hO(B′) = A′. De même on a h′O(C ′) = B′.

Soit h = h′O◦hO. Alors h(A) = C et h(C ′) = A′. Donc par théorème de Thalès, (AC ′)�(A′C).

Si D�D′, alors−→AB =

−−→B′A′ et

−−→BC =

−−→C ′B′. Comme

−→AC =

−−→C ′A′, la règle du parallélogramme

donne−−→AC ′ =

−−→CA′. Donc (AC ′) � (CA′).

Théorème 34. (Desargues)

Soit ABC et A′B′C ′ deux vrais triangles sans sommets en commun.

Supposons que (AB)�(A′B′), (AC)�(A′C ′) et (BC)�(B′C ′). Alors (AA′), (BB′) et (CC ′)sont soit concourantes soit parallèles.

5.4 Calculs en coordonnées 21

Démonstration. Supposons qu'elles ne sont pas parallèles. Quitte à permuter les points, on peutsupposer que (AA′) ∩ (BB′) 6= ∅. Soit O ∈ (AA′) ∩ (BB′). Posons f = hO,a avec f(A) = A′.

Comme (AB) � (A′B′), par le théorème de Thalès, on obtient :

OA′

OA=OB′

OB.

Donc f(B) = B′. Montrons que f(C) = C ′. Comme (BC) � (C ′B), on a :

a =OB′

OB=OC ′

OC.

Donc−−→OC ′ = a

−→OC. Donc f(C) = C ′, ou encore O,C et C ′ sont alignés.

5.4 Calculs en coordonnées

Proposition 35. Soit f : E → F application a�ne. Alors f est totalement déterminée parl'image d'un repère a�ne ou cartésien.

Démonstration. En particulier, si O ∈ E , O′ ∈ F et−→f ∈ L(E,F ), alors il existe une unique

application a�ne f : E → F telle que f(O) = O′ de partie linéaire−→f .

Soit (A0, ..., An) un repère a�ne de E et (B0, ..., Bm) de F .On a pour tout j, f(Aj) = Bar(Bi, λij). Il existe une unique famille λij telle que

∑j λij = 1

pour tout i.Soit A = Bar(Aj, xj). Alors :

f(A) = Bar(f(Aj), xj) = Bar(Bar(Bj, λij), xj) = Bar(Bj,∑i

λijxj).

Si A a pour coordonnées X = (x0, ..., xn) dans le repère (A0, ..., An), alors f(A) a pour coor-données MX dans le repère (B0, ..., Bm), avec :

M = (λij) .

Dé�nition. La matrice M construite dans la démonstration est appelée la matrice de f dansles repères (Ai) et (Bj).

6 Groupe a�ne

6.1 Dégression algébrique : produit semi-direct

Si on a N / G non trivial, on a une suite exacte :

0→ N → G→ G/N → 0,

et N et H := G/N sont "plus petits" que G. On peut alors "décomposer" G en briquesélémentaires, qu'on appelle groupes simples.

Deux problèmes algébriques arrivent :• Peut-on classi�er des groupes (�nis) simples ?• Peut-on reconstruire G à partir de N et de H ?

22 6 GROUPE AFFINE

Le but de cette partie est de tenter de comprendre qui est le groupe G, si on a une suiteexacte

0→ N → G→ G/N → 0.

Le candidat naturel est le produit N ×H, cependant cela ne su�t pas. En e�et si le groupe Gest de cardinal 6, on a la suite :

0→ Z/3Z→ G→ Z/2Z→ 0.

G peut donc être Z/6Z ou Sn.

Dé�nition. On considère la suite exacte :

p

0→ N → G→ G/N → 0.

Un morphisme de groupes s : H → G avec p ◦ s = idH est appelée section. On dit que la suiteexacte est alors scindée.

Remarque. Grâce à cette section, H y N par automorphisme :

h.n = s(h)ns(h)−1.

Lemme 1. Posons f : N ×H → G; (n, h) 7→ ns(h). Alors f est une bijection.

Démonstration. Si n1s(h1) = n2s(h2), alors (n2)−1n1 = s(h2h

−11 ) ∈ s(H) ∩N .

Or la suite est exacte. Donc n1 = n2 et s(h2h−11 ) = 1, puis en appliquant p on obtient

h2 = h1.On a donc montrer l'injectivité. Soit g ∈ G et h = p(g). Alors p(g) = h = p(s(h)). Donc

n := gs(h−1) ∈ N et g = ns(h) = f(n, h). D'où la bijectivité de f .

ATTENTION L'application f n'est pas un morphisme.

Dé�nition. Soit N et H deux groupes et φ : H → Aut(N) morphisme de groupes. Le produitsemi-direct N oφ H est l'ensemble N ×H muni de la loi interne :

(n, h).(m, k) = (n(φ(h)m), hk).

Proposition 36. N oφ H est un groupe. L'inverse de (n, h) est (φ(h)−1n−1, h−1).

Démonstration. Tout d'abord, on véri�e aisément que la loi est bien interne.Soit (n, h), (m, k), (i, j) ∈ N oφ H. Alors :

(n, h) [(m, k)(i, j)] = (n, h)(mφ(k)(i), kj)

= (nφ(h)(mφ(k)i), hkj)

= (nφ(h)(m)φ(h)(φ(k)i), hkj)

= (nφ(h)(m)φ(hk)(i), hkj)

= (nφ(h)(m), hk)(i, j)

= [(n, h)(m, k)] (i, j)

Soit (n, h). Alors (n, h)(eN , eH) = (nφ(h)eN , heH) = (n, h), car φ(h) ∈ Aut(N). Donc leneutre dans N oφ H est (eN , eH).

Ensuite (n, h)(φ(h)−1n−1, h−1) = (nφ(h)φ(h)−1n−1, hh−1) = (e, e).

6.2 Groupe a�ne 23

Remarque. f devient un morphisme de groupes entre N oφ H et G.

Remarque. On sait que G et NoφH sont isomorphes. Ainsi ι(N)CNoφH avec ι le morphismeentre N et G dans la suite exacte. Soit s : H → G;h 7→ (1, h), qui est une section de la suiteexacte.

Proposition 37. G ' N oφ H ssi on a une suite exacte scindée :

p

0→ N → G→ H → 0

←s

Remarque. Z/4Z n'est pas simple et n'est pas produit semi-simple. En e�et, le seul sous-groupenon-trivial est Z/2Z et la seule suite exacte non triviale est :

0→ Z/2Z→ Z/4Z→ Z/2Z→ 0,

qui n'est pas scindée car 1 et 3 ne sont pas d'ordre 2.

6.2 Groupe a�ne

Dé�nition. Soit E un kea de direction E. On note Aff(E) le groupe des bijections a�nes deE , appelé groupe a�ne.

Proposition 38. L'application suivante est un morphisme de groupes surjectifs :

Φ : Aff(E)→ GL(E)

f 7→−→f

Démonstration. Ceci provient des propriétés sur les parties linéaires.

Proposition 39. ker Φ est le sous-groupe distingué des translations. On a donc la suite exacte :

Φ

0→ E → Aff(E)→ GL(E)→ 0

et Aff(E) ' E oGL(E) avec existence des sections.

Démonstration. Soit A ∈ E . Alors sA : φ 7→ ΘA ◦ φ ◦Θ−1A est une section de Φ.

Remarque. On a Aff(E) ' E oGL(E) et l'isomorphisme dépend de A.

Remarque. Pour tout f ∈ Aff(E), pour tout A ∈ E , il existe un unique couple (u, φ) ∈E × Aff(E) tel que :

f = tu ◦ φ et φ(A) = A.

Remarque. ∀f ∈ Aff(E),∀A ∈ E ,∃!(w,ψ) ∈ E × Aff(E), ψ(A) = A et f = ψ ◦ tw.ATTENTION En général, les vecteurs u et w des remarques précédentes sont en général

di�érents.

Remarque. Aff(E) agit transitivement et même 2-transitivement sur E , mais pas n-transitivementpour n ≥ 3. L'obstruction à ce fait est qu'en dimension supérieure ou égale à deux, l'alignementqui doit être préservé, et en dimension 1 l'ordre.

Aff(E) agit transitivement sur les sous-espaces a�nes de dimension k, mais pas 2-transitivement.L'obstruction de ce fait est le parallélisme.

Aff(E) agit simplement transitivement sur les repères a�nes (resp. cartésiens).

24 6 GROUPE AFFINE

6.3 Existence de points �xes

Proposition 40. Soit f ∈ Aff(E). Alors f a un unique point �xe ssi ker(−→f − id) = {0}.

Démonstration. Si O est un point �xe de f , on a alors :

f(A) = A⇔ f(O) +−→f (−→OA) = A

⇔−→f (−→OA) =

−→OA.

Donc O est unique ssi ker(−→f − id) = {0}.

Soit M ∈ E . Supposons que le noyau de−→f − id = {0}. Alors :

f(A) = A⇔−→f (−−→AM)−

−−→AM =

−−−−−→Mf(M).

Comme−→f − id est injective (donc bijective), il existe un unique u ∈ E tel que :

−→u − u =−−−−−→Mf(M).

Ainsi A = M − u est l'unique point �xe de f .

Proposition 41. Soit f ∈ Aff(E) avec E = ker(−→f − id) ⊕ Im(

−→f − id). Alors il existe un

unique couple (u, g) ∈ E × Aff(E) tel que :• g a un point �xe.

•−→f (u) = u.

• f = tu ◦ g.De plus tu et g commutent, et f a un point �xe si et seulement si u = 0.

Démonstration. Soit O ∈ E . Alors il existe (u, v) ∈ ker(−→f − id)× Im(

−→f − id) tel que :

−−−−→Of(O) = u+

−→f (v)− v.

Soit A ∈ E avec v =−→AO. Alors :

−−−−→Af(A) =

−→AO +

−−−−→Of(O) +

−−−−−−→f(O)f(A)

= v + u+−→f (v)− v +

−→f (−→OA)

= u+−→f (v +

−→OA) = u

Posons g = t−u ◦ f . On a g(A) = f(A) − u = A. On a donc f = tu ◦ g, g(A) = A et

u ∈ ker(−→f − id).

Montrons la commutativité de g avec tu. On sait d'abord :

−−−−−−−→g ◦ tu ◦ g−1 = id.

Donc il existe w ∈ E avec g ◦ tu = tw ◦ g.Or tw(A) = g(A+ u) = A+−→g (u) = A+ u = f(A). Donc w = u.Montrons l'unicité du couple. On suppose que f = tu ◦g = tw ◦h, avec g(A) = A, h(B) = B,

u =−−−−→Af(A) et w =

−−−−→Bf(B).

Alors−→AB = u+

−−−−−−→f(A)f(B)−w = u−w. Donc

−→f (−→AB)−

−→AB ∈ ker(

−→f − id)∩ Im(

−→f − id).

Donc u = w, ce qui nous donne l'unicité.Si u = 0, f = g admet un point �xe.Si f a un point �xe, alors f = t0 ◦ f et par unicité u = 0.

6.4 Homothéties-translations 25

6.4 Homothéties-translations

Rappel. H := Z(GL(E)) = {λid, λ ∈ k∗} / GL(E).

Dé�nition. On appelle groupe des homothéties-translations :

HT (E) = {f ∈ Aff(E),−→f = λid, λ ∈ k∗} = Φ−1(H).

Proposition 42. HT (E) / Aff(E)

Démonstration. Cela vient du fait que HT (E) = Φ−1(H) et que H est distingué dans GL(E).

Proposition 43. HT (E) = E / H.

Démonstration. On a la suite exacte scindée :

0→ E → HT (E)→ H → 1,

de section s = sA pour un certain A ∈ E . Soit f ∈ HT (E).

Si−→f = id, alors f est une translation et pour tout A ∈ E , f = t−−−−→

Af(A).

Si−→f 6= id, alors il existe λ /∈ {0, 1}. Alors 1 n'est pas valeur propre de

−→f . Donc f a un

unique point �xe O. Alors :

f(A) = O + λ−→OA,

donc f = hO,λ.

Remarque. Pour tout A ∈ E , O = Bar[(− λ

1−λ , A),(

11−λ , f(A)

)].

Proposition 44. Soit f ∈ HT (E). Alors :

• f = id ssi f a au moins 2 points �xes ssi−→f = id et f a au moins un moins �xe.

• f = tu, u 6= 0 ssi f n'a pas de point �xe ssi−→f = id et f 6= id.

• f = hO,α, α 6= 1 ssi f a un unique point �xe ssi−→f = {λid, λ ∈ k \ {0, 1}}.

Proposition 45. Soit u ∈ E et f ∈ Aff(E). Alors f ◦ tu ◦ f−1 = t−→f (u)

.

Soit O ∈ E, λ ∈ k∗ et f ∈ Aff(E). Alors f ◦ fO,λ ◦ f−1 = hf(O),λ.

Dé�nition. Le centralisateur de g ∈ G est {h ∈ G, hg = gh} < G

Corollaire 46. Le centralisateur de tu dans Aff(E) est {f,−→f (u) = u}.

Le centralisateur de tu dans HT (E) est E.Le centralisateur de hA,α dans Aff(E) est {f, f(A) = A}.Le centralisateur de hA,α dans HT (E) est {hA,λ, λ ∈ k∗}.

Corollaire 47. Z(Aff(E)) = {id} et Z(HT (E)) = {id}.

6.5 Groupe spécial a�ne

Dé�nition. Le groupe spécial a�ne de E est :

SAff(E) = {f ∈ Aff(E), det(−→f ) = 1}.

C'est le sous-groupe des applications a�nes qui préservent les volumes orientés.

Proposition 48. SAff(E) . Aff(E) et SAff(E) = E o SL(E).

Démonstration. Le premier point vient de SAff(E) = ker(det(−→· )).Le second vient de la suite exacte scindée :

0→ E → SAff(E)→ SL(E)→ 1.

26 7 AUTRES STRUCTURES

7 Autres structures

On a vu que ΘA permet de dé�nir une structure de k-ev sur E non canonique. En e�et,

Θ−1A ◦ΘB(u) = u+−→AB.

Ainsi toute notion invariante par les changements de cartes Θ−1A ◦ΘB dé�nit une notion surE .

Par exemple, la notion de fonction polynômiale de degré �xé d. On peut parler de sous-variétés algébriques de degré d d'un espace a�ne.

Si k = R, sur E, on a une mesure de Lebesgue unique (à constante près). Elle est invariantepar les changements de cartes donc on a une mesure de Lebesgue sur E unique à constanteprès. E admet une unique topologie normée (car il est de dimension �nie). On peut munir Ed'une topologie en imposant que les ΘA soient des homéomorphismes. Cela est possible car leschangements de cartes sont des homéomorphismes. On a une unique topologie normée sur E .

De même, les Θ−1A ◦ ΘB sont des C∞-di�éomorphismes et on a une structure di�érentiellenaturelle sur E .

Soit f : E → F est di�érentiable en A s'il existe LA : E → F telle que :

f(A+ u) = f(A) + LA(u) + o(‖u‖).

Cette dé�nition ne dépend pas de la norme. Dans ce cas, LA est unique appelée di�érentielleen A de f , notée dfA.

27

Deuxième partie

Géométrie projective

8 Espaces projectifs

8.1 Dé�nitions

Dé�nition. Soit V un kev. L'espace projectif associé, noté P(V ) est l'ensemble des droitesvectorielles de V .

Remarque. On a P(V ) = V \ {0}/ ∼ où x ∼ y ssi il existe λ ∈ k∗, x = λy.

Remarque. P(V ) est l'ensemble des orbites de l'action k∗ y V \ {0}.

Exemple. Si V = {0}, alors P(V ) = ∅.

Exemple. Si dimV = 1, alors P(V ) = {V }.

Dé�nition. Si dimV = n+ 1, on dit que P(V ) est de dimension n.Si n = 0, on dit que P(V ) est un point.Si n = 1, on dit que P(V ) est une droite (projective).Si n = 2, on dit que P(V ) est un plan (projectif).

Dé�nition. Si V = kn, on préfère noter l'espace projectif Pn−1(k).

8.2 Sous-espaces projectifs

Dé�nition. Soit P ⊂ P(V ). On dit que P est un sous-espace projectif si π−1(P ) ∪ {0} est unsev de V , avec π la projection sur l'espace quotient.

Remarque. Directement grâce à la dé�nition, on voit qu'un sous-espace projectif est un espaceprojectif.

Dé�nition. Soit P = π(W \ {0}) ⊂ P(V ). On appelle codimension de P la quantité suivante :

codim(P ) := dim(P(V ))− dimP = codim(W ).

Si codim(P ) = 1, alors P est quali�é d'hyperplan projectif.

Proposition 49. Une intersection d'espaces projectifs est un sous-espace projectif.

Démonstration. Si Pi = π(Wi \ {0}) ⊂ P(V ) avec Wi des sev de V , alors :

π−1(∩Pi) = ∩π−1(Pi) = ∩Wi =: W.

Ainsi W est un sev de V . Donc ∩Pi est bien un sous-espace projectif.

Dé�nition. Soit A une partie de P(V ). On appelle sous-espace projectif engendré par A le pluspetit sous-espace projectif contenant A. On le note 〈A〉.

Remarque. On a pour toute partie A de P(V ) :

〈A〉 =⋂

P sep,A⊂P

P = π(V ect(π−1(A)) \ {0}

).

28 8 ESPACES PROJECTIFS

Dé�nition. On dit que A est une famille projectivement génératrice si 〈A〉 = P(V ).

Remarque. Si 〈A〉 = P(V ), alors V = V ect(π−1(A)). Donc #A ≥ dimV = dim(P(V )) + 1.

Proposition 50. Soit P et Q deux sous-espaces projectifs de P(V ) avec :

dim(P ) + dim(Q) ≥ dim(P(V )),

alors P ∩Q 6= ∅.

Démonstration. Soit P = P(E) et Q = P(F ) avec E,F sous-espaces vectoriels de V . Alors :

dimE = dimP + 1 ; dimQ+ 1 = dimF.

D'où dimE+dimF > dimV . Donc E∩F est un sous-espace vectoriel de dimension supérieureà 1. Donc P ∩Q = P(E ∩ F ) 6= ∅.

Remarque. En particulier, deux droites d'un plan projectif s'intersectent toujours. Il n'y a plusde droites parallèles.

Proposition 51. Soit P = P(E) et Q = P(F ) sous-espaces projectifs de P(V ). Alors :

〈P ∪Q〉 = P(E + F ).

Démonstration. On a :

〈P ∪Q〉 = π(V ect(π−1(P ∪Q)) \ {0})= π(V ect(E ∪ F ) \ {0})= π((E + F ) \ {0}).

Proposition 52. Soit P,Q sous-espaces projectifs de P(V ). Alors :

dim(〈P ∪Q〉) = dimP + dimQ− dim(P ∩Q).

Démonstration. On pose P = P(E) et Q = P(F ), avec E et F sev de V . Alors :

dim〈P ∪Q〉 = dim(P(E + F ))

= dim(E + F )− 1

= dimE + dimF − dim(E ∩ F )− 1

= dim(P(E)) + dim(P(F ))− dim(P(E ∩ F ))

= dimP + dimQ− dim(P ∩Q).

Remarque. En particulier, deux droites distinctes d'un plan projectif s'intersectent en un point.

Dé�nition. Soit x0, ..., xk ∈ P(V ). On dit que la famille (xi) est projectivement libre si :

dim〈{xi, 0 ≤ i ≤ k}〉 = k.

Remarque. Soit a0, ..., ak ∈ V \ {0} avec xi = π(ai). Alors :

(x0, ..., xk) projectivement libre ⇔ dim(V ect({ai})) = k + 1

⇔ (a0, ..., ak) est libre dans V.

8.3 Lien a�ne-projectif 29

Remarque. Si (x0, ..., xk) est libre, alors k ≤ dimP(V ).

Proposition 53. Une famille génératrice de cardinal dim(P(V )) + 1 est libre.Une famille libre de cardinal dim(P(V )) + 1 est génératrice.

ATTENTION Une famille libre et génératrice ne sera pas un repère projectif. Nous verronscela plus loin.

Remarque. Si on a des points a0, ..., an de V et qu'on dé�nit xi = π(ai), alors :

(x0, ..., xn) est libre et génératrice ⇔ (a0, ..., an) est une base de V.

8.3 Lien a�ne-projectif

On considère ici V un kev de dimension n+ 1. Soit φ ∈ V ∗ \ {0}.On note E = ker(φ), H = P(E) et U = P(V ) \H.

Proposition 54. E agit sur U .

Démonstration. On sait déjà que E agit linéairement sur V par :

∀v ∈ V, ∀x ∈ E, x.v = v + φ(v)x.

En particulier, x.(λv) = λ(x.v) et pour tout x ∈ E \ {0}, on a Fix(x) = E.De plus, l'action stabilise V \ E. En e�et, si v /∈ E, on a :

x.v = v + φ(v)x /∈ E,

car sinon v = x.v − φ(v)x ∈ E ce qui est impossible.Ainsi l'action E y V \ {0} passe au quotient. On a donc que E agit sur P(V ), et comme

l'action stabilise V \ E, l'action quotient stabilise U . Ainsi par restriction on obtient l'actionvoulue.

Proposition 55. • Cette action E y U munit U d'une structure d'espace a�ne dirigépar E.• De plus, pour tout t ∈ k∗, π induit un isomorphisme d'espaces a�nes de Et = φ−1(t)sur U .

Démonstration. • Soit v ∈ U et v ∈ π−1(x).Ainsi si x.v = v, alors x.v = v + φ(v)x ∈ π−1(v), mais π−1(v)⊕ E = V et x ∈ E. Ainsiφ(v) = 0 ou x = 0. Or v /∈ kerφ. Donc x = 0. Le seul vecteur de E qui agit avec unpoint �xe est 0.Montrons que l'action est transitive. Soit v, w ∈ U . Alors on considère v ∈ π−1(v). OrE ⊕ π−1(w) = V . Donc (v+E)∩ π−1(w) est un singleton. Cela veut dire qu'il existe ununique y ∈ E tel que v + y ∈ π−1(w). Or φ(v) 6= 0. Ainsi il existe un unique x ∈ E telque v + φ(v)x ∈ π−1(w). Cela donne donc que x.v = w.• Pour tout x ∈ U , on a π−1(x)⊕E = V . Donc π−1(x)∩Et est un point. Ainsi pour toutt ∈ k∗, il existe un unique y ∈ Et tel que π(y) = x.Donc π|Et : Et → U est une bijection. Soit A,B ∈ Et. Posons x = π(A) et y = π(B).Ainsi :

B = A+−→AB = A+ t

(1

t

−→AB

).

D'où 1t

−→AB.A = B. En passant au quotient, on a 1

t

−→AB.x = y. Cela nous a�rme que :

−→xy =1

t

−−−−−−→π(A)π(B).

Donc π(B) = π(A) + 1t

−→AB. En�n π est a�ne et −→π = 1

tid.

30 8 ESPACES PROJECTIFS

Remarque. dim(U) = dim(E) = dim(V )− 1 = dim(P(V )).

Remarque. Souvent on identi�e U et E1 par π.

Proposition 56. Soit P un sous-espace projectif de P(V ) avec P /∈ H. Alors P ∩U est un seade U de même dimension que P .

Soit A un sea de U . Alors P = 〈A〉 est de même dimension que A et P ∩ U = A.

Remarque. Cette dernière propriété justi�e la terminologie de point, droite et plan projectifs.

Dé�nition. U est appelé une carte a�ne sur P(V ).

Dé�nition. H = P(V ) \ U est appelé hyperplan à l'in�ni et tout point de H est appelé pointà l'in�ni.

Remarque. La notion de point à l'in�ni n'est pas intrinsèque à P(V ).

Exemple. On a P1(k) = k2 \ {0}/k∗. Soit la forme linéaire φ : (x, y) 7→ y. On dé�nit ainsiE = k × {0} et E1 = k × {1}.

Soit D ∈ P1(k). Alors D = E ou D ∩ E est un point. Alors P1(k) ' U ∪ {E}.

Proposition 57. Soit D une droite a�ne de U de direction D ∈ H. Alors 〈D〉 ∩H = {D}.

Démonstration. E1∩(π−1(D)∪{0}) est une droite a�ne de E1 dirigée par D, qu'on note A+D.Alors :

V ect(π−1(D)) = V ect(π−1(D) ∩ E1) = k.A⊕D.

D'où 〈D〉 = π[(k.A⊕D) \ {0}]. Donc :

〈D〉 ∩H = π[((k.A⊕D) ∩ E) \ {0}].

On sait que A ∈ V \ E et D ⊂ E. Donc D = E ∩ (k.A⊕D). En�n :

〈D〉 ∩H = π(D \ {0}) = {D}.

Remarque. En particulier, deux droites parallèles de U s'intersectent en un unique point deH = P(E) qui est leur direction.

Remarque. Plus généralement, si F ⊂ U est un sous-espace a�ne de U de direction F ⊂ E,alors :

〈F〉 ∩H = P(F ).

Remarque. Inversement, si E est un kea de direction E, alors :

E ' {1} × E ⊂ k × E =: V,

et E ' P(V ) \ P(E) par la projection canonique.

Proposition 58. Tout espace a�ne peut être vu comme une carte a�ne dans un espace projectifde même dimension.

Dé�nition. On dit que P(V ) est un complété projectif de E .

8.4 Coordonnées homogènes 31

8.4 Coordonnées homogènes

Dans cette section, V = kn+1 où on a choisi une base de V , qu'on notera (e0, ..., en).

Dé�nition. Soit x ∈ P(V ) et x = (x0, ..., xn) ∈ π−1(x), avec les xi non tous nuls. On note :

x := [x0 : ... : xn].

On dit que [x0 : ... : xn] sont les coordonnées homogènes de x.

Remarque. On a [x0 : ... : xn] = [y0 : ... : yn] ssi il existe λ ∈ k∗ tel que xi = λyi pour tout i.

Remarque. Notons Hi := {x ∈ P(V ), xi = 0} (hyperplan projectif) et Ui = P(V ) \ Hi. Soit

x ∈ Ui. Alors x := [x0 : ... : xn] =[x0xi

: ... : xnxi

]. On a l'isomorphisme :

kn → E1 = {x ∈ V, xi = 1} → Ui(x0, ..., xi, ..., xn) 7→ (x0, ..., xi−1, 1, xi+1, ..., xn) 7→ [x0 : ... : xi−1 : 1 : xi+1 : ... : xn]

Exemple. P1(V ) = H1 ∪ U1 = {[1 : 0]} ∪ {[x : 1], x ∈ k}.

Remarque. Sur U = {x ∈ P(V ),∑xi 6= 0} ' H := {x ∈ V,

∑xi = 1}, les coordonnées

homogènes (éventuellement renormalisées par∑xi = 1) correspondent aux coordonnées bary-

centriques de x dans le repère a�ne (e0, ..., en) de H.

8.5 Topologie des espaces projectifs sur R ou C

Remarque. On peut munir ici V de la topologie d'espace vectoriel normé. On munit alors P(V )de la topologie quotient.

Alors on a les cartes a�nes Ui → kn; [x0 : ... : xn] 7→(x0xi, ..., xi

xi, ..., xn

xi

). Plus généralement,

si φ ∈ V ∗ \ {0} et U = P(V \ kerφ), l'application π : φ−1(t)→ U est un homéomorphisme pourtout t ∈ k∗.

Proposition 59. P(V ) est séparé.

Démonstration. Soit D et D′ deux droites de V .

Il existe E hyperplan de V tel queD⊕E = V = D′⊕E (par exemple l'hyperplan médiateur).Donc il existe une carte a�ne U = P(V \ E) qui contient π(D) et π(D′), avec U qui est unouvert homéomorphe à kn. Donc U est séparé. Il existe alors deux voisinages disjoints de π(D)et π(D′) dans U donc dans P(V ).

Remarque. Dans Rn, on peut créer facilement ces voisinages. En e�et, on peut créer des cônesautour des droites qui ne se rencontrent qu'en 0. Ces deux volumes privés de l'origine formentdes voisinages convenables.

32 9 HOMOGRAPHIES

Proposition 60. P(V ) est compact.

Démonstration. On sait que P(V ) est séparé. De plus, c'est l'image, d'une sphère de V (com-pacte) par π qui est continue.

Remarque. Sur Q, P(V ) n'est pas quotient de la sphère.

Remarque. Si k = R ou C, Pn(k) est séparé et les φi : Ui → kn sont des homéomorphismes.De plus, les applications suivantes sont lisses sur R, biholomorphes sur C :

φj ◦ φ−1i : φi(Uj)→ φj(Ui)

(x0, ...xi, ..., xn) 7→(x0xj, ...,

xi−1xj

,1

xj,xi+1

xj, ...,

x0xj, ...,

x0xj

).

Donc Pn(R) est une variété compacte lisse, et Pn(C) est une variété complexe compacte.

On a f : Pn(R) ↪→ P(C) car Rn+1 ↪→ Cn+1 � Pn(C). Deux vecteurs de Rn+1 sont colinéairessur C si et seulement s'ils le sont sur R.

Donc f passe au quotient. Il existe alors f : Pn(R)→ Pn(C) qui est injective.Dans les cartes a�nes standards, les φi : Ui ⊂ Pn(C) → Cn sont des homéomorphismes.

Ainsi φi(Ui ∩ Pn(R)) = Rn ⊂ Cn.

9 Homographies

Remarque. Soit f : V → W linéaire. En général, f ne passe pas au quotient P(V )→ P(W ). Ene�et, f(ker f) = {0}. On doit donc se restreindre au cas des fonctions injectifs au moins.

Dé�nition. Une homographie f : P(V )→ P(W ) est l'application quotient d'un isomorphismef de V vers W .

Remarque. Le diagramme suivant commute :

f

V → W

π ↓ ↓ π

P(V ) → P(W )

f

9.1 Cas de la droite projective 33

Proposition 61. Soit f : P(V ) → P(W ) et g : P(W ) → P(X) deux homographies, avec g ◦ fqui existe.• g ◦ f = g ◦ f est une homographie.

• f est une bijection (homéomorphisme, si on est sur R ou C) et f−1

= f−1 est unehomographie.

Remarque. En particulier, l'ensemble des homographies de P(V ) dans lui-même est un groupe.Il s'agit de PGL(V ) := GL(V )/k∗. Pour V = kn+1, on le note PGLn+1(k) qui agit sur Pn(k).

Proposition 62. L'image d'un sous-espace projectif de P(V ) par une homographie f : V → West un sous-espace projectif de P(W ), de même dimension.

Remarque. • L'image réciproque d'un sous-espace projectif par une homographie est un

sous-espace projectif de même dimension, car f−1

est une homographie.• Les homographies préservent l'alignement.

Remarque. On a une réciproque partielle qu'on admet là-encore (cf. Fresnel, p.92). Elle s'appellethéorème fondamental de la géométrie projective :

Soit P(V ) et P(W ) qui sont deux espaces projectifs REELS de même dimension n ≥ 2 etf : P(V )→ P(W ) une bijection qui préservent l'alignement. Alors f est une homographie.

Remarque. Si V et W sont équipés de bases, et f : V → W a pour matrice A = (ai,j)0≤i,j≤n.Dans les coordonnées homogènes associées, f [x0 : ... : xn] = [

∑a0jxj : ... :

∑anjxj].

Si∑a0jxj 6= 0, alors :

f(x) =

[1 :

∑a1jxj∑a0jxj

: ... :

∑anjxj∑a0jxj

].

Lues dans les cartes a�nes standards, les homographies sont des "fractions rationnelles".En particulier, elles sont lisses sur R et holomorphes sur C. Ainsi, sur R ou C, les homographiespréservent les tangences.

9.1 Cas de la droite projective

On se place dans P1(k) avec des coordonnées homogènes. Ainsi :

P1(k) = {[x : 1], x ∈ k} ∪ {[1 : 0]}.

On a k ' {[x : 1], x ∈ k} et [1 : 0] = ”∞”.Soit f : k2 → k2 isomorphisme linéaire ayant pour matrice :

M =

(a b

c d

).

Alors f [x : y] = [ax+ by : cx+ dy]. Il n'y a qu'à étudier, là où ça a du sens :

f [z : 1] =

[az + b

cz + d: 1

].

De plus [1 : 0] = [a : c] = [ac

: 1]. Ainsi :

f : P1(k) = k ∪ {∞} → P1(W )

z 7→ az + b

cz + d

avec les conventions f(∞) = a/c et f(−d/c) =∞.

34 9 HOMOGRAPHIES

9.2 Repère projectif

Rappel. Soit une famille xi = π(ai). Alors (x0, ..., xn) est libre et génératrice ssi elle est libressi elle est génératrice ssi (a0, ..., an) est une base de V .

Remarque. Soit f : P(V ) → P(W ) une homographie et (x0, ..., xn) une famille libre et généra-trice. On a f(xi) = f ◦ π(ai) = π(f(ai)). Donc f(xi) détermine f(ai) à une constante de k∗

près. En particulier, connaître f(x0) et f(x1) ne permet par de connaître

f(π(e0 + e1)) = π(f(e0) + f(e1)).

Proposition 63. Soit une famille (x0, ..., xn+1) de P(V ). Alors les conditions suivantes sontéquivalentes :

(i) Toute sous-famille à n+ 1 éléments est libre et génératrice.(ii) Si ei ∈ V avec xi = π(ei), alors (e0, ..., en) est une base de V et en+1 =

∑λiei avec

pour tout i ∈ J0, nK, λi 6= 0.(iii) Il existe (e0, ..., en+1) tel que xi = π(ei), (e0, ..., en) est une base de V et en+1 =

∑ei.

Une telle famille est appelée repère projectif.

Démonstration. (i)⇒ (ii) On sait que (x0, ..., xn) est libre et génératrice. Donc (e0, ..., en)est une base. De plus, il existe λ0, ..., λn tel que :

en+1 =n∑i=0

λiei.

Si λi0 = 0, alors (e0, ..., ei0 , ..., en+1) est liée. Donc (x0, ..., xi0 , ..., xn+1) est liée ce qui estimpossible.

(ii)⇒ (iii) On a en+1 =∑λiei avec λi 6= 0. On pose e′n+1 = en+1 et e′i = λiei pour

0 ≤ i ≤ n. La famille (e′i) convient.(iii)⇒ (i) On sait que n+ 1 vecteurs parmi (e0, ..., en, e0 + ...+ en) forment une base. Donc

n+ 1 points parmi (x0, ..., xn+1) forment une famille libre et génératrice.

Exemple. En dimension 1, trois points distincts forment un repère projectif ((0, 1,∞) dansP1(k)).

En dimension 2, quatre points tels que trois quelconques ne soient pas alignés forment unrepère projectif

Remarque. Toute les bases satisfaisant (iii) dé�nissent les mêmes coordonnées homogènes.

Proposition 64. Soit P(V ) et P(W ) deux espaces projectifs de même dimension notée n. Soit(x0, ..., xn+1) (resp. (y0, ..., yn+1)) un repère projectif de P(V ) (resp. P(W )). Il existe alors uneunique homographie f : P(V )→ P(W ) tel que pour tout i, f(xi) = yi.

Démonstration. Soit (ei) base de V avec π(ei) = xi pour 0 ≤ i ≤ n et π(e0 + ... + en) = xn+1

et (fi) base de W avec π(fi) = yi pour 0 ≤ i ≤ n et π(f0 + ...+ fn) = yn+1 .Si f : V → W linéaire projective est telle que f(xi) = yi pour tout i, alors pour tout

i ∈ J0, nK, f ◦ π(ei) = f(xi) = yi = π ◦ f(ei). Il existe donc λi ∈ k∗ tel que f(ei) = λifi.De plus, il existe λ ∈ k∗ tel que

∑λifi = f(

∑ei) = λ

∑fi.

Ainsi pour tout 0 ≤ i ≤ n, λi = λ. Donc f est de la forme fλ : ei → λfi, qui induisent toutesla même homographie. On a donc l'existence et l'unicité.

Remarque. En particulier, PGL(V ) agit simplement transitivement sur les repères projectifsde P(V ).

9.3 Lien a�ne projectif II : Le dé� 35

Exemple. Sur P1(k), un repère projectif est (0, 1,∞). Si A = [a : 1], B = [b : 1] et C = [c : 1]distincts, il existe alors une unique homographie qui envoie A sur ∞, B sur 0 et C sur 1 quiest :

z 7→ c− ac− b

.z − bz − a

.

9.3 Lien a�ne projectif II : Le dé�

Soit V de dimension n + 1, φ ∈ V ∗ \ {0} et E = kerφ et E1 = φ−1(1). On pose H = P(E)et U = π(V \ E). On sait que U est un espace a�ne dirigé par E et π|E1 : E1 → U est unisomorphisme a�ne de partie linéaire id|E1 .

Proposition 65. Soit f : P(V )→ P(V ) homographie qui stabilise H. Alors f |U est un isomor-phisme a�ne de U dans U .

Inversement, si g : U → U est un isomorphisme a�ne, il existe une unique homographief : P(V )→ P(V ) telle que f |U = g.

Démonstration. Soit u ∈ E1. On a V = ku⊕ E. Soit f : V → V un relevé de f .On a nécessairement f(E) = E et f(V \ E) = V \ E, car f stabilise H et U . On a :

f(u) = αu+ e,

avec α ∈ k∗ et e ∈ E. Quitte à considérer 1αf on peut supposer α = 1. Alors :

f(E1) = f(u+ E) = f(u) + f(E) = u+ E = E1.

On a f ◦ π = π ◦ f . Donc f ◦ π|E1 = π|E1 ◦ f|E1 . Donc :

f = π|E1 ◦ f|E1 ◦ (π|E1)−1.

Donc f est a�ne et−→f =

−−→f|E1 = f|E.

Montrons la réciproque. Soit f : V → V linéaire avec f : P(V )→ P(V ) induit g, c'est-à-diref |U = g. Alors f stabilise U et donc H. Donc f stabilise E. Quitte à considérer 1

αf , on peut

supposer f(E1) = E1. Ainsi par le sens direct, on a :

f(u) = (πE1)−1 ◦ g ◦ (π|E1)(u) ; f|E = −→g .

Cela dé�nit un unique f0. Si f(E1) 6= E1, il existe α tel que 1αf(E1) = E1 et 1

αf|U = g. Donc

1αf = f0 et f = αf0. L'homographie sera donc la même, ce qui donne l'unicité.

Remarque.−→f ne dépend pas du choix du relevé ! Ici on a normalisé le relevé.

10 Dualité projective

10.1 C'est quoi ?

Dé�nition. Soit V un kev de dimension n+ 1 et V ∗ son dual. Pour E sev de V , on note :

E⊥ = {φ ∈ V ∗, φ|E = 0}.

Rappel. On a V ∗∗ ' V (canoniquement), E⊥⊥ = E et dimE + dimE⊥ = n+ 1.

Remarque. .⊥ induit une bijection entre :

36 10 DUALITÉ PROJECTIVE

{sev de V de dimension k}⊥ et { sev de V ∗ de dimension (n+ 1− k)}.

Exemple. On a :

⊥: {hyperplans de V } ∼→ P(V ∗)

kerφ 7→ [φ].

Remarque. .⊥ induit une bijection entre :

{ sep de P(V ) de dimension k}⊥ et { sep de P(V ∗) de dimension (n− 1− k)},

pour 0 ≤ k ≤ n− 1.

Exemple. On a :

P(V ∗)→ {hyperplans projectifs de P(V )}[φ] 7→ P(kerφ)

π({φ ∈ V ∗ \ {0}, φ|H = 0})←[ π(H)

Remarque. Si E ⊂ F alors F⊥ ⊂ E⊥.

Rappel. Au niveau vectoriel, on a (E ∩ F )⊥ = E⊥ + F⊥ et (E + F )⊥ = E⊥ ∩ F⊥.

Proposition 66. Soit P et Q deux sous-espaces projectifs de P(V ). Alors :

• (P ∩G)⊥ = 〈P⊥ ∪Q⊥〉.• 〈P ∪G〉⊥ = P⊥ ∩Q⊥.

Démonstration. Soit E,F deux sevs de V avec π(E) = P et π(F ) = Q. Alors :

• (P ∩Q)⊥ = π((E ∩ F )⊥) = π(E⊥ + F⊥) = 〈π(E⊥) ∪ π(F⊥)〉 = 〈P⊥ ∪Q⊥〉.• 〈P ∪Q〉⊥ = π((E + F )⊥) = π(E⊥ ∩ F⊥) = P⊥ ∩Q⊥.

Remarque. .⊥ échange les notions d'incidence et d'alignement.

Exemple. Pour n = 2, .⊥ échange les points de P(V ) et les droites de P(V ∗), mais aussi lesdroites de P(V ) avec les points de P(V ∗). En particulier :

• Si D et D′ sont deux droites distinctes de P(V ), alors {x} = D ∩D′. Ainsi :

{x}⊥ = 〈D⊥ ∪ (D′)⊥〉,

qui est la droite de P(V ∗) engendrée par les points D⊥ et (D′)⊥.• Si x et y sont deux points de D une droite de P(V ), alors x⊥ et y⊥ sont deux droites deP(V ∗) et D⊥ ∈ P(V ∗). Ainsi :

D⊥ = 〈x ∪ y〉⊥ = x⊥ ∩ y⊥.

Remarque. .⊥ envoie trois points alignés sur trois droites concourantes et réciproquement.

10.2 Exemple de théorèmes duaux 37

10.2 Exemple de théorèmes duaux

Théorème 67. (Pappus-projectif)Soit D et D′ deux droites distinctes d'un plan projectif. Soit A,B,C ∈ D \D′ distincts et

A′, B′, C ′ ∈ D′ \D. On pose α = (BC ′) ∩ (B′C), β = (AC ′) ∩ (A′C) et γ = (AB′) ∩ (A′B).Alors α, β et γ sont alignés.

A

B

C

A' B' C'

γ βα

Remarque. Le cas a�ne revient à envoyer (αβ) à l'in�ni. Ce qui permet par la même occasiond'en déduire le théorème de Pappus-projectif.

Théorème 68. (Pappus-dual)Soit D et D′ deux points distincts d'un plan projectif. Soit A,B,C trois droites distinctes

contenant D mais pas D′. Soit A′, B′, C ′ trois droites distinctes contenant D′ mais pas D.Soit α la droite passant par B ∩C ′ et B′ ∩C, β la droite passant par A∩C ′ et A′ ∩C et γ

la droite passant par B ∩ A′ et B′ ∩ A.Alors α, β et γ sont concourantes.

D

A

B

C

D′

A′

B′

C ′

α

βγ

Remarque. Le schéma suivant illustre le théorème de Pappus dual, où on voit l'importance dupoint à l'in�ni. En e�et, les droites vertes sont parallèles, donc se coupent au point ∞.

38 10 DUALITÉ PROJECTIVE

D

AB

C

D′

A′B′

C ′

γ

β

α

10.3 Incidences et perspectives

Soit D une droite d'un plan P(V ) projectif et a ∈ P(V ) \D. On a :

a⊥ = π{φ ∈ V ∗ \ {0}, φ(a) = 0}.

Soit π(φ) ∈ a⊥. Alors π(φ)⊥ est une droite de P(V ) passant par a. Toutes les droites projectivespassant par a sont de cette forme. Ainsi :

a⊥ ' {droites projectives de P(V ) passant par a}.

De même π(φ) est similaire à kerφ.

Dé�nition. Soit ia,D : a⊥ → D avec i(∆) = D ∩∆ et i(π(φ)) = D ∩ ker(φ). Cette applicationest appelée incidence de a⊥ sur D.

Proposition 69. ia,D est une homographie.

Démonstration. Soit (e0, e1, e2) base de V telle que π(e0) = a et π(e1), π(e2) ∈ D. Soit (e∗0, e∗1, e∗2)

la base duale dans V ∗. Alors :a⊥ = π(ke∗1 ⊕ ke∗2).

Soit φ ∈ a⊥, alors on l'écrit φ = αe∗1 + βe∗2. Donc :

kerφ ∩ (ke1 ⊕ ke2) = V ect(βe1 − αe2).

Donc i est le quotient de l'application linéaire bijective suivante :

i : π−1(a⊥) = ke∗1 ⊕ ke∗2 → ke1 ⊕ ke2 = π−1(D)

(α, β) 7→ (β,−α)

Donc i est une homographie.

Dé�nition. Soit D et D′ deux droites d'un plan projectif P(V ). Soit a /∈ D ∪D′. On appelleprojection de centre a de D sur D′ l'application :

pa : D → D′

x 7→ (ax) ∩D′

On parle aussi de perspective.

39

Proposition 70. Une perspective pa est une homographie de D sur D′.

Démonstration. On a deux homographies ia,D et ia,D′ et pa = ia,D′ ◦ (ia,D)−1 qui est donc unehomographie.

Remarque. L'application pa est la projection de pa - la projection centrale dans V de π−1(D) surπ−1(D′) centrée en a ∈ π−1(a). Cette projection est linéaire en restriction à π−1(D) et π−1(D′).

Remarque. En dimension supérieure, on peut dé�nir des perspectives entre deux hyperplansprojectifs. Ce sont des homographies, mais plus des composées d'incidence.

11 Birapport

11.1 Dé�nition et calcul

Dé�nition. Soit a, b, c et d des points d'une droite projective D avec a, b, c distincts. Alors ilexiste une unique homographie h : D → P1(k) avec :

h(a) = [1 : 0] =∞, h(b) = [0 : 1] = 0 et h(c) = [1 : 1] = 1.

On appelle birapport de a, b, c et d :

[a, b, c, d] := h(d) ∈ P1(k).

Remarque. Soit z ∈ P1(k). Il existe un unique d ∈ D tel que [a, b, c, d] = z.

Exemple. [a, b, c, a] =∞ et [a, b, c, c] = 1.

Remarque. Comme a, b, c est un repère projectif, il existe des coordonnées homogènes tellesque :

a = [1 : 0] ; b = [0, 1] ; c = [1 : 1].

Il existe un relevé de h de matrice I2 dans la base associée de V et la base canonique de k2. Sid = [α0 : α1] ∈ D, alors h(d) = [α0 : α1] ∈ P1(k). Si d 6= a, on a α1 6= 0 et :

h(d) =

[α0

α1

; 1

].

Par abus de langage [a, b, c, d] = α0

α1∈ k ∪ {∞}.

Remarque. Plus généralement, si D est munie de coordonnées homogènes, on pose :

a = [α : 1] ; b = [β : 1] ; c = [γ : 1],

avec α, β, γ ∈ k ∪ {∞}. Dans ces coordonnées :

h : D → P1(k)

z 7→ z − βz − α

.γ − αγ − β

Pour d = [z : 1], on a :

[a, b, c, d] =z − βz − α

.γ − αγ − β

.

40 11 BIRAPPORT

11.2 Birapport et homographies

Proposition 71. Soit f : P(V )→ P(W ) et a, b, c, d ∈ P(V ) alignés, avec a, b, c distincts.Alors [f(a), f(b), f(c), f(d)] = [a, b, c, d]. (Cela a bien un sens car une homographie est

bijective par hypothèse, et préserve l'alignement)

Démonstration. Soit h : 〈a, b, c〉 = D → P1(k) avec h(a) =∞, h(b) = 0, h(c) = 1. Alors :

h ◦ f−1|f(D) : f(D)→ P1(k)

f(a) 7→ ∞f ′b) 7→ 0

f(c) 7→ 1

Donc [f(a), f(b), f(c), f(d)] = h ◦ f−1(f(d)) = h(d) = [a, b, c, d].

Proposition 72. Soit a, b, c, d ∈ D distincts et a′, b′, c′, d′ ∈ D′ distincts. Il existe une homogra-phie f : D → D′ tel que f(a) = a′, f(b) = b′, f(c) = c′ et f(d) = d′ ssi [a, b, c, d] = [a′, b′, c′, d′].

Démonstration. Le sens direct est en fait la proposition précédente. Montrons donc la réci-proque.

Il existe h : D → P1(k) et h′ : D′ → P1(k). Alors f = h′−1 ◦ h convient.

Remarque. Cette homographie f est forcément unique.En particulier, le birapport classi�e les orbites de quadruplets de points de D sous l'action

de PGL(V ) avec D = P(V ). C'est l'obstruction à la 4-transitivité de PGL2(k) y P1(k) et ilclassi�e les orbites.

Lemme 2. Soit A0, ..., Ap ∈ P(V ) et f : P(V )→ P(W ) préservant l'alignement.Alors f(〈A0, ..., Ap〉) ⊂ 〈f(A0), ..., f(Ap)〉.

Démonstration. Raisonnons par récurrence sur p. Le résultat est évident pour p = 0. Supposonsdonc le résultat vrai au rang p.

Par hypothèse de récurrence, on a f(〈A0, ..., Ap〉) ⊂ 〈f(A0), ..., f(Ap)〉. Si la familleA0, ..., Ap+1

est liée, alors f(〈A0, ..., Ap+1〉) = f(〈A0, ..., Ap〉) et 〈f(A0), ..., f(Ap+1)〉 = 〈f(A0), ..., f(Ap)〉 : lerésultat est donc clair.

Supposons donc la famille libre. Soit H = 〈A0, ..., Ap〉 qui est un hyperplan de 〈A0, ..., Ap+1〉.Soit M ∈ 〈A0, ..., Ap+1〉 \ (H ∪ {Ap+1}). On dé�nit alors {B} = (Ap+1M) ∩ H. Comme B,Met Ap+1 sont alignés, alors f(B), f(M) et f(Ap+1) le sont aussi. De plus, par hypothèse derécurrence f(B) ∈ 〈f(A0), ..., f(Ap)〉 puis f(M) ∈ 〈f(A0), ..., f(Ap+1)〉. On a donc l'hérédité.

Lemme 3. Si f : P(V ) → P(W ) est surjective et préserve l'alignement entre des espace demême dimension, alors l'image d'un repère projectif est un repère projectif.

Démonstration. Soit (A0, ..., An+1) un repère de P(V ) et I ⊂ {0, ..., n+ 1} de cardinal (n+ 1).Alors P(V ) = 〈Ai, i ∈ I〉. Ainsi :

P(W ) = f(P(V )), car f est surjective

= f(〈Ai, i ∈ I〉)⊂ 〈f(Ai), i ∈ I〉 par le lemme 2

⊂ P(W )

Donc P(W ) = 〈f(Ai), i ∈ I〉. Comme dimP(V ) = dimP(W ), la famille (f(Ai))i∈I est aussilibre. Donc pour tout I ⊂ {0, ..., n + 1} de cardinal (n + 1) la famille (f(Ai))i∈I est libre etgénératrice.

Donc (f(A0), ..., f(An+1)) est un repère.

11.3 Quelques remarques 41

Lemme 4. Soit f : P(V ) → P(V ) surjective qui préserve l'alignement et le birapport, et qui�xe les points d'un repère.

Alors f = id|P(V ).

Démonstration. On raisonne par récurrence sur la dimension.• n = 1 : Soit (A,B,C) le repère de P(V ) �xé par f . Si D ∈ P(V ) \ {A,B,C}, alors :

[A,B,C, f(D)] = [f(A), f(B), f(C), f(D)] = [A,B,C,D].

Donc f(D) = D.• Supposons la propriété vraie en dimension n ≥ 1. On suppose que dim(P(V )) = n + 1,et on se donne (A0, ..., An+2) un repère �xé point par point par f .Soit H = 〈A0, ..., An〉 hyperplan de P(V ). Par le lemme 2, on a f(H) ⊂ H. Soit {B} =(An+1An+2) ∩H. Alors :

f(B) ∈ (f(An+1)f(An+2)) ∩ f(H) ⊂ (An+1An+2) ∩H.

Donc f(B) = B. Si (A0, ..., An, B) n'est pas un repère de H, alors il existe I ⊂ {0, ..., n}de cardinal n et tel que B ∈ 〈Ai, i ∈ I〉. Mais alors An+2 ∈ (An+1B), ce qui donne :

An+2 ∈ 〈{Ai, i ∈ I} ∪ {An+1} ∩ {B}〉 = 〈{Ai, i ∈ I} ∪ {An+1}〉,

ce qui contredit le fait que (Ai)i∈I , An+1, An+2 est libre. Par l'absurde, on a montré que(A0, ..., An, B) est un repère de H. On sait que f �xe ce repère point par point, et doncpar hypothèse de récurrence f|H = id|H .Soit M ∈ P(V ) \ (H ∪ {An+1, An+2}), puis Ni l'intersection de H avec (MAn+i) pouri ∈ {1, 2}. On a f(Ni) = Ni. On sait que Ni,M,An+i sont alignés, donc leur image lesont aussi. Donc f(M) ∈ (NiAn+i) pour tout i ∈ {1, 2}. Donc, si M /∈ (An+1An+2), ona :

{f(M)} = (N1An+1) ∩ (N2An+2) = {M},

puis f(M) = M . SiM ∈ (An+1An+2), f préserve cette droite et �xe le repère (An+1, An+2, B)point par point. Comme f préserve le birapport f est l'identité sur cette droite.

Théorème 73. Soit f : P(V )→ P(W ) entre deux espaces projectifs de même dimension. Alorsf est une homographie ssi elle véri�e les trois points suivants :• f est surjective.• f préserve l'alignement.• f préserve les birapports.

Démonstration. Le sens direct a déjà été traité. Montrons le sens réciproque.Soit (A0, ..., An+1) un repère de P(V ). Alors par le lemme 3, (f(A0), ..., f(An+1)) est un

repère de P(W ). Soit g l'unique homographie avec g ◦ f(Ai) = Ai pour tout i. On a ainsi que :• g ◦ f préserve encore l'alignement, et le birapport.• g ◦ f est surjectif.• g ◦ f �xe le repère (A0, ..., An+1) point par point.

Par le lemme 4, on a g ◦ f = id, donc f = g−1 est une homographie.

11.3 Quelques remarques

Dé�nition. Soit a, b, c, d des points distincts sur une droite projective. On dit que (a, b, c, d)forme une division harmonique si [a, b, c, d] = −1.

42 11 BIRAPPORT

Remarque. Soit D = P1(k) et d =∞. Alors :

[a, b, c, d] = −1⇔ c− ac− b

= −1

⇔ c =a+ b

2

Remarque. Dans un plan projectif P(V ), P(V ∗) est l'ensemble des droites projectives de P(V ).Soit quatre droites D1, D2, D3, D4 de P(V ). Alors :

elles sont concourantes dans P(V ) ssi elles sont alignées dans P(V ∗).

Dé�nition. SiD1, D2, D3, D4 sont quatre droites concourantes, on dé�nit leur birapport commeleur birapport en tant qu'éléments de P(V ∗).

Si [D1, D2, D3, D4] = −1 on parle de faisceau harmonique.

Remarque. Soit a, b, c, d des points d'une droite projective réelle dans P1(C) = C∪{∞}. Alors :

[a, b, c, d]R = [a, b, c, d]C.

Ainsi a, b, c, d ∈ P1(C) sont sur une même droite projective réelle ssi [a, b, c, d] ∈ R.Remarque. Projection stéréographique et sphère de Riemann

∞

0

stéréographique

projection

R0

Les droites réelles de P1(C) lues dans des cartes a�nes sont des cercles ou des droites(cercles passant par l'in�ni). Sur la sphère ce sont des grands cercles. Les homographies deP1(C) préservent le birapport, donc l'alignement au sens réel.

L'image d'un cercle ou d'une droite (réelle) de C ⊂ P1(C) par une homographie est un cercleou une droite.

On a un critère de cocyclicité pour quatre points de C :

a, b, c, d sont cocycliques ssi [a, b, c, d] ∈ R.

43

Troisième partie

Géométrie euclidienne

Dans ce chapitre, le corps de base est R et les espaces sont de dimension �nie.

12 Espaces euclidiens

12.1 Dé�nitions

Dé�nition. Un espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel E muni d'un produit scalaire.

Dé�nition. Un espace a�ne euclidien est un espace a�ne (E , E) dont la direction E est munied'un produit scalaire.

Remarque. On note 〈., .〉 le produit scalaire et ‖.‖ la norme associée sur E. Si (E , E, 〈., .〉) estun espace a�ne euclidien, on dé�nit une distance sur E par :

d(A,B) = ‖−→AB‖ =

√〈−→AB,−→AB〉.

12.2 Isométries vectorielles

Dé�nition. Si φ : E → F linéaire entre deux espaces euclidiens, on dit que φ est une isométriesi :

∀x, y ∈ E, 〈φ(x), φ(y)〉F = 〈x, y〉E.

Remarque. Une isométrie est injective.

Remarque. La dé�nition est équivalente à véri�er que pour tout x ∈ E, ‖φ(x)‖F = ‖x‖E, grâceaux identités de polarisation :

〈x, y〉 =‖x+ y‖2 − ‖x‖2 − ‖y‖2

2.

Proposition 74. Si φ : E → F et ψ : F → G sont des isométries entre des espaces euclidiens,alors ψ ◦ φ est une isométrie.

Proposition 75. Si φ : E → F est une isométrie surjective entre deux espaces euclidiens,alors φ est un isomorphisme et φ−1 est encore une isométrie.

Dé�nition. Soit (E, 〈., .〉) un espace vectoriel euclidien. L'ensemble des isométries de E dansE est un groupe appelé groupe orthogonal et noté O(E). On notera On(R) si E = Rn.

Exemple. L'identité, les rotations et les symétries orthogonales sont dans O(E).

Rappel. Si φ : E → F linéaire entre des espaces vectoriels euclidiens. Son adjoint φ∗ : F → Eest l'unique application linéaire telle que :

∀x ∈ E,∀y ∈ F, 〈φ∗(y), x〉E = 〈y, φ(x)〉F .

Proposition 76. O(E) = {u ∈ L(E), u∗u = id}.

Dé�nition. Une base (ei) de E est dite orthonormée si :

∀i, j, 〈ei, ej〉 =

{1 si i = j

0 sinon

Dans une telle base Mat(u∗) = Mat(u)t.

44 12 ESPACES EUCLIDIENS

Remarque. Le choix d'une base orthonormée c'est le choix d'une identi�cation entre (E, 〈., .〉)et Rn avec son produit scalaire usuel. Cela permet ainsi d'identi�er O(E) avec On(R).

Ainsi O(E) est une sous-variété de L(E) de dimension n(n−1)2

.

Remarque. det : O(E)→ {±1} est un morphisme de groupes surjectif.

Dé�nition. On appelle groupe spécial orthogonal, qu'on note SO(E), le noyau de det : O(E)→{±1}.

Remarque. On verra que SO(E) est une composante connexe (par arcs) de O(E). Donc SO(E)

est aussi une sous-variété de L(E) de dimension n(n−1)2

.

Remarque. SO(E) est l'ensemble des isométries directes, id est qui conserve les orientations.Ceci ne suppose pas que l'espace est orienté.

12.3 Isométries a�nes

Dé�nition. Soit f : E → F une application entre des espaces a�nes euclidiens. On dit que fest une isométrie (a�ne) si f préserve la distance.

Remarque. Une isométrie f est injective et préserve l'alignement. En e�et, si A,B,C ∈ E alignésdans cet ordre alors :

d(A,C) = d(A,B) + d(B,C).

Donc d(f(A), f(B)) = d(f(A), f(B)) + d(f(B), f(C)) qui est le cas d'égalité de l'inégalitétriangulaire. Donc f(A), f(B), f(C) sont alignés.

Théorème 77. Une isométrie est une application a�ne.

Démonstration. En dimension n ≥ 2, comme f préserve l'alignement c'est une conséquence duthéorème fondamental de la géométrie a�ne.

En dimension n = 1, si on écrit C = Bar((A,α), (B, 1− α)), on peut se ramener au cas où

C ∈ [A,B]. Alors α = d(B,C)d(B,A)

= d(f(B),f(C))d(f(B),f(A))

.

On a aussi f(A), f(C), f(B) qui sont alignés dans cet ordre.Donc f(C) = Bar((f(A), α), (f(B), 1− α)).

Proposition 78. Si f : E → F est une isométrie a�ne, alors−→f : E → F est une isométrie

vectorielle.

Proposition 79. Si f : E → F est a�ne avec−→f isométrie, alors f est une isométrie a�ne.

Corollaire 80. La composée de deux isométries est une isométrie.

Remarque. Une isométrie surjective est un isomorphisme dont l'inverse est une isométrie.

Dé�nition. Sot (E , E, 〈., .〉) un espace a�ne euclidien. L'ensemble des isométries de E est unsous-groupe de Aff(E), qu'on note Isom(E).

Exemple. Les translations, les symétries orthogonales et les rotations sont des isométries.

Dé�nition. L'application suivante est un morphisme surjectif :

Isom(E)→ {±1}

f 7→ det(−→f )

dont le noyau est noté Isom+(E). C'est le groupe des isométries directes.

12.4 Repères 45

Dé�nition. Soit f ∈ Isom(E). Si f ∈ Isom+(E), f est appelé déplacement, et sinon un anti-déplacement.

Proposition 81. Isom(E) ' E oO(E) et Isom+(E) ' E o SO(E).

Démonstration. On a les suites exactes scindées :

0→ E → Isom(E)→ O(E)→ 0

u 7→ ut f 7→−→f

et 0→ E → Isom+(E)→ SO(E)→ 0, où les sections sont données par le choix d'une originepour E .

12.4 Repères

Dé�nition. Soit (E , E, 〈., .〉) un espace a�ne euclidien. Un repère cartésien de E est la donnéed'une origine O ∈ E et d'une base orthonormée (e1, ..., en) de E.

Remarque. Le choix d'une base de E (ou d'un repère de E) induit une orientation.Remarque. Isom(E) agit simplement transitivement sur les repères cartésiens. Par contre il ya deux orbites pour l'action de Isom+(E) sur les repères (les invariants sont les rotations).

L'action de O(E) sur E a pour invariant total ‖.‖ et les orbites sont donc les sphères.La distance d est un invariant total pour l'action Isom(E) y E × E . Ceci est toujours vrai

pour Isom+(E) sauf si dim E = 1.

13 Groupe orthogonal

13.1 L'ensemble des générateurs

Ici on considère (E, 〈., .〉) un espace vectoriel euclidien de dimension n.

Rappel. Si u ∈ O(E) et F est un sous-espace vectoriel stable par u, alors :

F⊥ = {y ∈ E,∀x ∈ F, 〈x, y〉 = 0}

est aussi stable par u.

Rappel. Si u ∈ O(E) ses valeurs propres sont de module 1. De plus si u est diagonalisable surR alors :

E = ker(u− id)⊕⊥ ker(u+ id).

Donc u est une symétrie orthogonale par rapport à ker(u− id).

Dé�nition. Si u est une symétrie orthogonale et si dim(ker(u− id)) = n− 1, on dit que u estune ré�exion c'est-à-dire dans une base orthonormée u a pour matrice :

1 0. . .

1

0 −1

.

Théorème 82. Soit u ∈ O(E). On note r = rg(u− id). Alors u est le produit de r ré�exionset pas moins. En particulier les ré�exions engendrent O(E).

46 13 GROUPE ORTHOGONAL

Démonstration. On raisonne par récurrence sur r. Si r = 0, alors u = id ce qui donne le résultatimmédiatement.

Supposons que le théorème est établi pour rg(u−id) ≤ r. Soit u ∈ O(E) tel que rg(u−id) =r + 1. Comme rg(u− id) ≥ 1, il existe a ∈ E tel que u(a) 6= a. Soit s la ré�exion orthogonalepar rapport à (u(a)− a)⊥ (l'hyperplan médiateur).

Pour tout x ∈ ker(u− id), on a :

〈x, u(a)− a〉 = 〈x, u(a)〉 − 〈x, a〉 = 〈u(x), u(a)〉 − 〈x, a〉 = 0.

Donc ker(u− id) ⊂ (u(a)− a)⊥ = ker(s− id). Donc tout x ∈ ker(u− id) est point �xe de s ◦ u.Par ailleurs, on a :

〈u(a) + a, u(a)− a〉 = ‖u(a)‖2 − ‖a‖2 = 0.

Donc (u(a) + a) ∈ (u(a)− a)⊥. Alors s(u(a)) = s(u(a)+a

2+ u(a)−a

2

)= u(a)+a

2− u(a)−a

2= a.

Posons f = s ◦ u, avec ker(u − i) ⊕ V ect(a) ⊂ ker(f − id). On sait que f ∈ O(E) et querg(f − id) ≤ r. Donc f est le produit de ré�exions. Ainsi :

f = s ◦ u = s1 ◦ ... ◦ sk,

ce qui décompose bien u en ré�exions.On a vu que le nombre de ré�exions est inférieur à r. Prenons donc une décomposition :

u = s1 ◦ ... ◦ sp,

avec chaque si une symétrie par rapport à un hyperplan Hi. Alors H1 ∩ ...Hp ⊂ ker(u− id). OrH1 ∩ ... ∩Hp est de dimension supérieure à dimE − p, ce qui donne r ≤ p. On a donc bien rré�exions.

Conséquence. Si (E , E, 〈., .〉) est un espace a�ne euclidien, f ∈ Isom(E) et r = rg(−→f − id),

alors f est produit de r ré�exions par rapports à des hyperplans a�nes si f a un point �xe (etpas moins). Si f n'a pas de points �xes, elle se décompose en r + 2 ré�exions (et pas moins).

Démonstration. • Si f admet un point �xe, en vectorisant en ce point, on est ramené aucas vectoriel.• Sinon, on écrit f comme produit d'une translation t et d'une application a�ne g avecun point �xe. On peut alors décomposer t en 2 ré�exions et g en r. Il faut maintenantvoir que le nombre r + 2 est minimal.On ne peut pas l'écrire comme produit d'un nombre strictement inférieur à r de ré-�exions, sinon cela contredirait le résultat vectoriel pour la partie linéaire.De plus, comme la partie linéaire est de déterminant (−1)r, on ne peut pas avoir unproduit de r + 1 ré�exions.Montrons alors que f n'est pas le produit d'exactement r ré�exions. Raisonnons parl'absurde. Notons H1, ..., Hr les hyperplans associés à ces ré�exions. Par le cas vectorielappliqué à la partie linéaire, on sait que ces hyperplans se coupent transversalement :l'intersection des directions de H1, ..., Hk ne contient pas celle de Hk+1 (pour tout k).Ainsi par récurrence on montre que l'intersection des H1, ..., Hk est un sous-espace a�nede codimension k, pour tout k. En particulier, l'intersection de tous les Hi n'est pas videest contient des points �xes de f , ce qui est impossible.

Exemple. Soit u ∈ E. Alors t2u se décompose en produit de deux ré�exions. En e�et, soit Pun hyperplan et Q = tu(P ). Alors t2u = sP ◦ sQ qu'on véri�e directement.

Remarque. Pour tout f ∈ Isom(E), f est produit d'au plus n + 1 ré�exions, car si le rang de−→f − id est n, alors f admet un point �xe.

13.2 Cas de O2(R) 47

13.2 Cas de O2(R)

Remarque. Un élément de O2(R) \ {id} est le produit de 1 ou 2 ré�exions.Ainsi O2(R)\SO2(R) est l'ensemble des ré�exions orthogonales. En particulier, ces éléments

sont diagonalisables dans une base orthonormée avec valeurs propres {±1}.De plus, SO2(R) est formé d'éléments qui sont produits de deux ré�exions.

Remarque. Soit M =

(a c

b d

)∈ O2(R). Alors :

{a2 + b2 = 1

ac+ bd = 0

Cela revient à écrire que d = εa et c = −εb, pour ε = det(M) = ±1. Donc les matrices de

SO2(R) sont de la forme

(a −bb a

)avec a2 + b2 = 1 et celles de O2 \ SO2(R) sont de la forme(

a b

b −a

).

Remarque. On a un morphisme de groupe surjectif :

R→ SO2(R)

Θ 7→(

cos(Θ) − sin(Θ)

sin(Θ) cos(Θ)

)de noyau 2πZ. On a donc SO2(R) ' R/2πZ ' S1.

Conséquence. SO2(R) est commutatif.

Remarque. Si on a pas choisi d'orientation le morphisme précédent n'est pas canonique, car

Θ 7→(

cos(Θ) sin(Θ)

− sin(Θ) cos(Θ)

)fait la même chose.

Dé�nition. L'image de Θ est appelée rotation d'angle Θ. Les éléments de SO2(R) sont appeléesles rotations.

13.3 Forme réduite - cas général

Proposition 83. Soit u ∈ O(E). Il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matricede u est de la forme :

Is (0)

−ItR(Θ1)

. . .

(0) R(Θp)

, où R(Θ) =

(cos(Θ) − sin(Θ)

sin(Θ) cos(Θ)

)

avec t, s ∈ N et Θi 6≡ 0[π].

Démonstration. On raisonne par récurrence sur la dimension n. On a déjà montré le résultatpour n = 1 ou 2.

Si c'est vrai en dimension inférieure ou égale n, on considère u ∈ O(E) avec dimE = n+ 1.

48 14 CLASSIFICATION DES ISOMÉTRIES

• Si u a une valeur propre réelle, c'est forcément soit 1 soit −1 qu'on note ε. Alors :

E = ker(u− εid)⊕⊥ (ker(u− εid))⊥,

avec chaque sous-espace qui est stable par u. On applique ainsi l'hypothèse de récurrenceà ker(u− εid)⊥.• Si u n'a pas de valeur propre réelle, il existe x ∈ E \ {0} tel que F = V ect(x, u(x)) soitstable par u et de dimension 2 (car le polynôme minimal de u est produit d'irréductiblesde degré 2 sur R). Ainsi E = F ⊕ F⊥ avec F et F⊥ stables par u. On applique alorsl'hypothèse de récurrence à F et F⊥.

Corollaire 84. SO(E) est connexe par arcs.

Corollaire 85. O(E) a exactement deux composantes connexes (par arcs) qui sont SO(E) etO(E) \ SO(E).

Remarque. Si u ∈ O(E) \ SO(E), alors l'application suivante est un homéomorphisme quiéchange SO(E) et O(E) \ SO(E) :

O(E)→ O(E)

f 7→ f ◦ u

Proposition 86. Soit u ∈ O(E). Alors :

E = ker(u− id)⊕⊥ Im(u− id).

Démonstration. Il su�t de montrer qu'il sont orthogonaux. Soit x ∈ ker(u − id) et y ∈ E.Alors :

〈x, u(y)− y〉 = 〈x, u(y)〉 − 〈x, y〉 = 〈u(x), u(y)〉 − 〈x, y〉 = 0.

14 Classi�cation des isométries

14.1 Forme réduite

Théorème 87. Soit f ∈ Isom(E). Alors il existe un unique couple (g, v) ∈ Isom(E) × E telque :• f = g ◦ tv.• le sous-espace a�ne Fix(g) est dirigé par ker(

−→f − id) (en particulier non vide).

• v ∈ ker(−→f − id).

De plus, g ◦ tv = tv ◦ g.

Démonstration. On a−→f ∈ O(E). Donc :

E = ker(−→f − id)⊕⊥ Im(

−→f − id).

Via la proposition 41, on sait qu'il existe alors un unique couple (g, v) ∈ Aff(E) × E avec

f = g ◦ tv = tv ◦ g, g admettant un point �xe (au moins) et v ∈ ker(−→f − id). Il ne reste plus

qu'à véri�er que g ∈ Isom(E) et que Fix(g) est dirigé par ker(−→f − id).

On sait que−→f = −→g ∈ O(E). Donc g est bien une isométrie a�ne.

14.2 Cas de la dimension 2 49

De plus pour x ∈ Fix(g) :

y ∈ Fix(g)⇔−−−−−→g(x)g(y) = −→xy

⇔ −→g (−→xy) =−→f (−→xy) = −→xy

⇔ y ∈ x+ ker(−→f − id)

Remarque. En particulier Fix(f) 6= ∅ si et seulement si v = 0 et f = g.

14.2 Cas de la dimension 2

Soit P un plan a�ne euclidien et f ∈ Isom(P ).

Remarque. Si f ∈ Isom+(P ) (id est−→f ∈ SO(P )), alors :

• si−→f = id|P , f est une translation (éventuellement f = id|P ).

• sinon 1 n'est pas valeur propre de−→f . Donc f a un unique point �xe. De plus

−→f est une

rotation, puis f est une rotation a�ne de centre son point �xe.Dans les deux cas (si f 6= id|P ), f est produit de 2 ré�exions et on peut choisir l'une des deux"arbitrairement".

Remarque. On construit ainsi le centre d'un produit de deux rotations.

AB

O

α/2−β/2

Remarque. Si f /∈ Isom+(E) alors−→f est une ré�exion. Ainsi :

E = D ⊕⊥ Im(−→f − id), D = ker(

−→f − id).

Il existe un unique u ∈ D tel que f = sD ◦ tu (forme réduite de l'isométrie).Si u = 0, alors f est une symétrie orthogonale par rapport à D.Sinon f est une symétrie glissée.

Remarque. Une symétrie glissée est produit de trois ré�exions et pas moins.

14.3 Cas de la dimension 3

Soit E un espace a�ne euclidien de dimension 3. Soit f ∈ Isom(E) \ {id}. Alors−→f a au

moins une valeur propre réelle valant ±1 (car son polynôme caractéristique est de degré 3).

Remarque. Supposons que f est une isométrie directe.

• Si−→f = idE alors f est une translation.

• Sinon−→f =

1 0 0

0 cos(Θ) − sin(Θ)

0 sin(Θ) cos(Θ)

. Si f a un point �xe, c'est une rotation a�ne d'axe

Fix(f). Si f n'a pas de points �xes, alors f = g ◦ tv avec −→g =−→f et v ∈ ker(

−→f − id).

Ainsi g est une rotation a�ne d'axe dirigé par ker(−→f − id). On dit que f est un vissage.

50 15 ANGLES

Remarque. Supposons que f est une isométrie indirecte. Plusieurs cas se présentent :

•−→f est semblable à

1 0 0

0 1 0

0 0 −1

. Si f a un point �xe, f est une symétrie orthogonale

par rapport à Fix(f) (ou encore une ré�exion).Si f n'a pas de points �xes, alors f = g ◦ tv avec g une ré�exion par rapport à Fix(g)

qui est dirigé par ker(−→f − id), et v ∈ ker(

−→f − id). On dit que f est une symétrie glissée.

•−→f est semblable à

−1 0 0

0 cos(Θ) − sin(Θ)

0 sin(Θ) cos(Θ)

avec Θ 6≡ 0[2π]. Alors f admet un unique

point �xe (car 1 n'est pas valeur propre) . Si Θ ≡ π[2π] alors−→f = −id et f est une

symétrie centrale de centre son point �xe. Sinon f est composée d'une rotation r et d'uneré�exion s avec :

ker(−→r − id)︸︷︷︸axe de r

⊕⊥ ker(−→s − id)︸︷︷︸points �xes de s

.

15 Angles

15.1 Notions d'angles

On se place dans (E, 〈., .〉) euclidien de dimension n ≥ 2.

Dé�nition. On appelle demi-droite de E tout ensemble du type :

Du = {tu, t ∈ R+∗ },

avec u ∈ E \ {0}.

Remarque. On peut alternativement considérer des vecteurs unitaires dans la suite.

Remarque. O(E) et SO(E) agissent transitivement sur les droites de E et sur les demi-droitesde E. On a aussi une action naturelle de O(E) et SO(E) sur les couples de droites et lescouples de demi-droites : ces actions ne sont plus transitives. On appelle angles leurs orbites.Plus précisément on dé�nit quatre notions d'angles.

Dé�nition. Voici selon les objets et le groupes qui agit les termes qu'on utilise pour parler desangles :

Droites Demi-droitesO(E) Angles de droites non orientés Angles de demi-droites non orientésSO(E) Angles de droites orientés Angles de demi-droites orientés

Proposition 88. Les angles sont des invariants totaux pour ces actions.

Proposition 89. Les isométries (resp. directes) préservent les angles (resp. orientés).

Remarque. On a pas besoin d'orienter E pour parler d'angles orientés.En dimension supérieure à 3, les notions d'angles orientés et non orientés coïncident. En

e�et, il existe une ré�exion qui �xe un couple de (demi) droites donné. Ainsi, la notion d'anglesorientés sera réservée pour la suite à la dimension 2.

La notion d'angles orientés de demi-droites est plus �ne que les autres.En dimension 2, une ré�exion envoie un angle orienté sur son opposé.

15.2 Structure de groupe sur les angles orientés (n = 2) 51

15.2 Structure de groupe sur les angles orientés (n = 2)

Remarque. Soit A l'ensemble des angles orientés de demi-droites. Soit u, v deux demi-droitesde E. Il existe φ ∈ SO(E) tel que φ(u) = v. L'unicité provient de la dimension 2. On peut ainsidé�nir :

Φ : { couples de demi-droites } → SO(E)

(u, v) 7→ φ avec φ(u) = v

Proposition 90. Soit u, v, u′, v′ quatre demi-droites. Alors Φ(u, v) = Φ(u′, v′) si et seulementsi (u, v) et (u′, v′) dé�nissent le même angle orienté de demi-droites.

Démonstration. Montrons le sens réciproque. Il existe donc r ∈ SO(E) tel que u′ = r(u) etv′ = r(v). Soit φ ∈ SO(E) tel que φ(u) = v. Or SO(E) est commutatif. Ainsi :

φ(u′) = φ(r(u)) = r ◦ φ(u) = r(v′).

Donc Φ(u, v) = Φ(u′, v′).Montrons le sens direct. Soit φ ∈ SO(E) tel que φ = Φ(u, v) = Φ(u′, v′) et r ∈ SO(E) avec

r(u) = u′ (qui existe par transitivité de l'action de SO(E) sur les demi-droites). Alors :

r(v) = r(φ(u)) = φ(r(u)) = φ(u′) = v′.

Donc (r(u), r(v)) = (u′, v′), ce qui veut justement dire que (u, v) et (u′, v′) dé�nissent le mêmeangle.

Corollaire 91. Φ passe au quotient et dé�nit une bijection φ : A → SO(E). On munit ainsiA de l'unique structure de groupe qui fait de Φ un isomorphisme.

Remarque. A est un groupe commutatif, car A ' SO2(R) ' S1.

Remarque. L'application A→ SO(E) est canonique mais SO(E)→ SO2(R) est non canoniquecar il dépend d'un choix d'orientation.

Remarque. On utilise de façon cruciale que SO(E) agit sur les demi-droites simplement tran-sitivement et que SO(E) est commutatif. Cela est entièrement faux en dimension supérieure à3.

Proposition 92. (Relation de Chasles)Soit u, v, w trois demi-droites de E. Alors :

(u, v) + (v, w) = (u,w),

en ne distinguant plus entre couples de demi-droites et les angles associés.

Démonstration. Si φ(u) = v et ψ(v) = w, avec φ, ψ ∈ SO(E), on a ψ ◦ φ(u) = w. Ainsi :

Φ((u, v) + (v, w)) = Φ(v, w) ◦ Φ(u, v) = ψ ◦ φ = Φ((u,w)).

On conclut par bijection.

Dé�nition. Si Φ(u, v) = Id|E, on dit que (u, v) est l'angle nul.Si Φ(u, v) = −Id|E, on dit que (u, v) est un angle plat, qui est le seul élément d'ordre 2 de

A.Si (u, v) est d'ordre 4 dans A on dit que c'est un angle droit.

Remarque. Il y a exactement deux angles droits.

52 15 ANGLES

Remarque. On peut faire la même chose avec les angles orientés de droites. En notant A′

l'ensemble des angles orientés de droites, on construit l'isomorphisme :

Φ′: A′ → SO(E)/{±Id|E}.

Alternativement, si D et D′ sont deux droites de E, on peut choisir quatre demi-droites asso-ciées, qu'on note :

(D+, D′+), (D+, D

′−), (D−, D

′+), (D−, D

′−).

On a en tant qu'angles de demi-droites :

(D+, D′+) = (D−, D

′−) = (D−, D

′+) + angle plat = (D+, D

′−) + angle plat.

Il existe donc une bijection A′ → A/{ angles nuls et plats }. On peut alors voir A′ commequotient de A.

15.3 Mesure des angles orientés

Rappel. On a deux isomorphismes naturels R/2πZ→ SO2(R) qui sont :

• θ 7→(

cos(θ) − sin(θ)

sin(θ) cos(θ)

).

• θ 7→(

cos(θ) sin(θ)

− sin(θ) cos(θ)

).

Si on suppose R2 orienté par sa base canonique, on a un isomorphisme canonique qui est lepremier ci-dessus.

Remarque. Soit E euclidien orienté de dimension 2. Par le choix d'une base directe on a unisomorphisme SO(E) ' SO2(R) ' R/2πZ. Deux tels isomorphismes di�èrent d'un changementde bases orthonormées directes dans E, ce qui correspond à la conjugaison par un élément deSO(E), qui est commutatif : ces isomorphismes sont donc les mêmes.

Soit φ ∈ SO(E). Il existe un unique θ ∈ R/2πZ tel que la matrice de φ soit :

rθ =

(cos(θ) − sin(θ)

sin(θ) cos(θ)

)dans toute base orthonormée directe.

On a donc :R � R/2πZ ' SO(E) ' A

θ 7→ θ 7→ rθ

Dé�nition. On appelle la mesure d'un angle orienté de demi-droites l'unique θ ∈ R/2πZ dontil est l'image. Si θ ∈ R est un relèvement de θ, on dit parfois que θ une mesure de cet angle.

Remarque. De même pour les angles de droites orientés, si E est orienté, on a des morphismescanoniques :

R� R/πZ 'SO(E)/{±id} ' A′

On dé�nit de même la mesure d'un angle de droites orienté.

15.4 Mesure des angles non orientés - valable en toute dimension 53

15.4 Mesure des angles non orientés - valable en toute dimension

Si Du et Dv sont deux demi-droites dirigées par u et v respectivement, (Du, Dv) et (Dv, Du)dé�nissent le même angle non orienté.

Si θ est une mesure de (Du, Dv) orienté, alors −θ est une mesure de (Dv, Du) orienté. Ainsi|θ| est associé à l'angle non orienté (Du, Dv). A un angle non orienté de demi-droites, on peutassocier une mesure dans (R/2πZ)/{θ ∼ −θ} dans le sens ensembliste.

Plus pragmatiquement, toutes les mesures de (Du, Dv) ou (Dv, Du) (orientés) ont le mêmecosinus :

cos(θ) =〈u, v〉‖u‖.‖v‖

.

A tout angle non orienté de demi-droites on peut associer un unique réel θ dé�ni par

Arccos

(〈u, v〉‖u‖.‖v‖

)∈ [0, π].

Remarque. Pour les angles géométriques de droites, on obtient selon les choix de demi-droitesθ ou π − θ. On peut donc associer à un couple de droites un réel unique dans [0, π/2].

15.5 Similitudes

Dé�nition. On appelle similitude (vectorielle) tout u ∈ L(E) tel que :

∀x ∈ E, ‖u(x)‖ = k‖x‖,

pour un certain k > 0.

Dé�nition. On appelle similitude a�ne toute application a�ne f telle que−→f est une simili-

tude vectorielle.

Dé�nition. On parle de similitude directe ou indirecte selon le signe de det(−→f ).

Exemple. Toute composée d'une isométrie et d'une homothétie est une similitude et ce sontles seules.

Proposition 93. Les similitudes (resp. directes) préservent les angles (resp. orientés).

Proposition 94. Dans le plan a�ne euclidien, les similitudes (resp. directes) sont exactementles applications a�nes qui préservent les angles (resp. orientés).

54 16 RAPPELS SUR LES FORMES QUADRATIQUES

Quatrième partie

Introduction aux coniques sur K = R ou CPourquoi diable les coniques ?

Jusqu'à présent, nous nous sommes restreint à des "mathématiques de degré 1". Le butdes coniques est d'étudier des "mathématiques de degré 2" : algébriquement il s'agira de formequadratique, et géométriquement la notion de courbure apparaît.

La première étude de ces objets a été faite par Appollonius de Perge (-200) qui s'intéressaitaux sections de cône. Il donna les noms utilisés aujourd'hui à savoir ellipse, hyperbole, parabole.

Pour les mathématiciens modernes, c'est le prototype de la géométrie algébrique.

Exemple. (Théorème de Bézout)Le nombre de points d'une droite interceptant une conique est au plus 2 (sauf dans des cas

dégénérés).Mais en géométrie projective complexe, le résultat est 2, quitte à compter avec multiplicité.

Applications des coniques euclidiennes

• Loi de Kepler : un mouvement à force centrale donne une trajectoire qui est une conique.• Propriétés optiques : lois de ré�exion de Descartes (1637) ou de Snell (1621) qui sontapparues dans un parchemin perse en 983 écrit par Idn Sahl. Elles sont, par exemple,utilisées pour des miroirs paraboliques de télescopes.• Ellipses : foyers conjugués - aspect dynamique (billard elliptique).

Etude des coniques

Problème 1 : Est-ce qu'une conique est un ensemble de points ou une équation... En e�etsur R, les équations X2 + 1 et X2 + Y 2 + 1 dé�nissent le vide mais elles sont algébriquementtrès di�érentes.

Problème 2 : Quand est-ce qu'une conique est dégénérée ?Par exemple, X2 + Y = 1 dé�nit une parabole : elle est géométriquement non dégénérée,

mais algébriquement dégénérée car sa forme quadratique a un noyau.Parallèlement, X2 − Y 2 = 0 est géométriquement dégénérée (deux droites) mais non algé-

briquement dégénérée.Problème 3 : Classi�cation des coniques (projective, a�ne, euclidienne, sous l'action des

similitudes) par la réduction des formes quadratiques.

16 Rappels sur les formes quadratiques

16.1 Vocabulaire

Dé�nition. Soit E un Kev et B : E × E → K bilinéaire. On dit que B est symétrique si :

∀x, y ∈ E,B(x, y) = B(y, x).

Dans ce cas, qB : x 7→ B(x, x) est la forme quadratique associée.

16.1 Vocabulaire 55

Remarque. On a B(x, y) = qB(x−y)−qB(x)−qB(y)2

. Donc B 7→ qB est une bijection.En fait c'est même un isomorphisme de Kevs entre les formes bilinéaires symétriques et les

formes quadratiques.

Dé�nition. Soit q une forme quadratique. La forme bilinéaire symétrique associée à q, notéeBq, est appelé sa forme polaire.

Remarque. Dans une base (e1, ..., en) de E, si x =∑xiei et y =

∑yiei, alors :

B(x, y) =n∑

i,j=1

xiyjB(ei, ej) = xtMy,

où M = (B(ei, ej))1≤i,j≤n. Ainsi qB(x) = xtMx.En particulier, dans toute base qB est un polynôme homogène de degré 2 en les composantes.

Inversement, si :

P =∑i≤j

aijXiXj,

P est une forme quadratique de matrice :

M =

a11aij2

. . .aji2

ann

.

Dé�nition. Soit B une forme bilinéaire symétrique sur E. On dit que x et y ∈ E sont ortho-gonaux pour B si B(x, y) = 0. On le note parfois x ⊥B y.

Dé�nition. Soit q une forme quadratique sur E. On dit que x est isotrope pour q si q(x) = 0(id est x ⊥Bq x).

Dé�nition. L'ensemble des vecteurs isotropes d'une forme quadratique q est un cône id estinvariant par homothétie. On l'appelle cône isotrope de q.

Remarque. Si q′ = λq avec λ ∈ K? et q, q′ deux formes quadratiques, alors q et q′ ont le mêmecône isotrope.

La réciproque est fausse. Par exemple X2+Y 2 et X2+2Y 2 sur R2 ont le même cône isotropemais ne sont pas proportionnelles.

Remarque. Soit B une forme bilinéaire symétrique sur E. Alors l'application suivante est li-néaire :

φB : E → E∗

x 7→ B(x, ·)

Dé�nition. Le noyau d'une forme quadratique q est le noyau de φBq et son rang est le rangde φBq .

Dé�nition. On dit qu'une forme quadratique q est propre si ker(q) = {0} et dégénérée sinon.

Remarque. Dans la base (e1, ..., en), on écrit B =∑

i,j B(ei, ej)e∗i ⊗ e∗j . Ainsi :

φB(x) =∑j

(∑i

B(ei, ej)xi

)e∗j =

∑j

B(x, ej)e∗j .

Donc la matrice de φB dans (e1, ..., en) et (e∗1, ..., e∗n) est M = (B(ei, ej))1≤i,j≤n. En particulier :

rg(q) = rg(M) ; ker(q) = ker(M).

56 17 CONIQUES PROJECTIVES

Exemple. Sur K3, la forme quadratique q = X2 + Y 2 de matrice

1 0 0

0 1 0

0 0 0

est dégénérée.

Par contre la forme quadratique X2 − 2Y Z de matrice

1 0 0

0 0 1

0 1 0

est propre.

16.2 Classi�cation

Théorème 95. (Rappel)Sur un corps K de caractéristique di�érente de 2, toute forme quadratique (resp. bilinéaire

symétrique) admet une base orthogonale (id est sa matrice dans cette base est diagonale).

Théorème 96. (Classi�cation sur C)Soit q une forme quadratique sur E un Cev de dimension n. Il existe une base de E dans

laquelle q est de matrice : (Ir 0

0 0

),

avec r = rg(q).

Conséquence. Soit E un Cev.Le rang est un invariant total pour l'action de GL(E) sur l'ensemble des formes quadratiques

par :f.q = q ◦ f−1.

De même c'est un invariant de GLn(C) sur Symn(C) par congruence.

Théorème 97. (Classi�cation sur R)Soit q une forme quadratique sur E un Rev de dimension n. Il existe une base de E dans

laquelle la matrice de q est : Ip 0 0

0 −Ir−p 0

0 0 0

,

avec r = rg(q) et p = max{dim(F ), q soit dé�nie positive sur le sev F de E}.Conséquence. Soit E un Rev.

La signature (p, r − p) est un invariant total pour l'action de GL(E) sur l'ensemble desformes quadratiques par :

f.q = q ◦ f−1.De même c'est un invariant de GLn(R) sur Symn(R) par congruence.

17 Coniques projectives

17.1 Dé�nition

On considère jusqu'à la �n de ce polycopié E un Kev de dimension 3, et Q l'espace vectorieldes formes quadratiques sur E.

Dé�nition. On appelle conique du plan projectif P(E) les éléments de P(Q).On appelle image de la conique C ∈ P(Q) la projection dans P(E) de son cône isotrope. On

la note :C := π(q−1(0)),

où π : E \ {0} → P(E) et q est un antécédent de C.

17.2 Transformation par homographies 57

Remarque. • C ne dépend que de C.• 0 ne dé�nit pas une conique. En particulier, P(E) n'est pas une conique.• dim(P(Q)) = 5.• Si P est un polynôme homogène sur K3 :

P (λX, λY, λZ) = λdeg(P )P (X, Y, Z).

Cela ne dé�nit donc pas une fonction sur P(E) mais l'ensemble des zéros est bien dé�ni.• C = {[x : y : z] ∈ P(E), q(x, y, z) = 0} où q est un relevé de C. On notera abusivementC = C−1(0).

Dé�nition. Soit C ∈ P(Q). On dit que C est une conique propre si q est propre pour un /tout relevé q de C. Elle est dite dégénérée sinon.

ATTENTION : Sur R, la forme quadratique q = X2 +Y 2 +Z2 est associée à une coniqueq ∈ P(Q) propre d'image ∅.

17.2 Transformation par homographies

Remarque. Soit f ∈ GL(E) et q ∈ Q. Alors q ◦f−1 est une forme quadratique sur E de polaire :

Bq(f−1, f−1).

Ainsi GL(E) agit sur Q par f.q = q ◦ f−1 et cette action est linéaire. Donc GL(E) agit surP(Q) par homographies :

f.q = q ◦ f−1.

Proposition 98. L'action des homothéties est triviale.

Démonstration. Soit λ ∈ K?. Alors :

(λId).q = q ◦ 1

λid =

1

λ2q = q.

Conséquence. On peut passer au quotient dans l'action précédente. On obtient alors l'actionPGL(E) y P(Q) dé�nie par :

f.q := q ◦ f−1.

Proposition 99. Soit h ∈ PGL(E), C ∈ P(Q) et C = C−1(0). Alors :

(h.C)−1(0) = h(C).

Démonstration. Soit f ∈ GL(E) telle que f = h et q ∈ Q un antécédent de C.

On a C = π(q−1(0)). Ainsi :

(h.C)−1(0) = π((f.q)−1(0)) = π(f(q−1(0))) = π ◦ f ◦ π−1(C) = h(C).


17.3 Classi�cation des coniques projectives

Théorème 100. (Formes normales sur C)Soit C une conique d'un plan projectif complexe P. Il existe alors des coordonnées homogènes

[x : y : z] sur P dans lesquelles C est de l'une des formes suivantes :

• C = X2 + Y 2 + Z2 (rang 3).• C = X2 + Y 2 (rang 2).• C = X2 (rang 1).

Conséquence. Les orbites de l'action PGL(E) y P(Q) sont classi�ées par le rang de C.

Remarque. Si f ∈ GL(E), on a l'égalité des dimensions entre ker(q ◦ f−1) = f(ker q). Donc qet f.q ont le même rang.

Corollaire 101. Il existe une unique conique projective propre modulo homographies. De plus,on peut exprimer les images des coniques :

• si le rang est 1, C = {X2 = 0} = {X = 0} est une droite projective (double).• dans le cas où le rang est 2, C = {X2 + Y 2 = 0} = D− ∪D+, avec D− = {X − iY = 0}et D+ = {X + iY = 0}. Ces deux droites s'intersectent transversalement et la coniquepossède un unique point double D− ∩D+.• si son rang vaut 3, C = {X2 + Y 2 + Z2 = 0} est sans partie réelle. Dans d'autrescoordonnées, C est d'équation :

X2 + Y 2 − Z2 = 0 ou X2 − Y Z = 0.

Théorème 102. (Formes normales sur R)Soit C une conique projective du plan réel P. Il existe des coordonnées homogènes [x : y : z]

sur P dans lesquelles C est de l'une des formes suivantes :

• Q = X2 + Y 2 + Z2 de signature (3, 0) ou (0, 3). (propre)• Q = X2 + Y 2 − Z2 de signature (2, 1) ou (1, 2). (propre)• Q = X2 + Y 2 de signature (2, 0) ou (0, 2). (dégénérée de rang 2)• Q = X2 − Y 2 de signature (1, 1). (dégénérée de rang 2)• Q = X2 de signature (1, 0) ou (0, 1). (dégénérée de rang 1)

Remarque. L'action des homographies ne modi�e pas la signature d'une conique (principe deconjugaison), en tant que paire (pas en tant que couple).

Conséquence. Les orbites de PGL(E) y P(Q) sont classi�ées par la paire {p, r − p}.

Remarque. On peut exprimer les images des coniques projectives réelles :

• si la signature est (1, 0), alors C est une droite projective (double).• lorsque la signature vaut (2, 0), C = {X2 + Y 2 = 0} = {X = Y = 0} est un point.• pour une signature valant (1, 1), on a C = {X2 − Y 2 = 0} = D− ∪D+ avec les droitesD− = {X − Y = 0} et D+ = {X + Y = 0} qui s'intersectent transversalement avec ununique point double.• dans le cas où la signature est (3, 0), C = {X2 + Y 2 + Z2} = ∅.• si la signature vaut (2, 1), C = {X2 + Y 2 − Z2} ⊂ P2(R) est la projection d'un cône.

Dans ce dernier cas, selon la carte a�ne qu'on choisit, on voit l'une des trois coniques a�nes,à savoir une ellipse, une parabole ou encore une hyperbole.

17.4 Intersection avec une droite 59

Figure 1 � Conique projective propre non vide dans les cartes a�nes

Corollaire 103. Il existe une unique conique projective réelle propre non vide modulo homo-graphies.

17.4 Intersection avec une droite

Soit C ∈ P(Q) d'image C et D une droite de P(E).

Théorème 104. (Bézout complexe - "très très" faible)On a l'une des situations suivantes :• #(D ∩ C) = 1 ou 2.• D ⊂ C.

Démonstration. Soit P = π−1(D) et q un représentant de C. Alors :

π−1(D ∩ C) = {x ∈ P, q(x) = 0}.

• Si q|P est de rang 2, q|P est de la forme X2 + Y 2 = 0 dans une certaine base de P . On adonc deux droites isotropes dans P notées D− et D+, et D ∩ C = {π(D±)}.• Si q|P est de rang 1, q|P est de la forme X2 = 0 dans une certaine base de P . On a doncune unique droite isotrope dans P notée D, et D ∩ C = {π(D)}.• Si q|P = 0, alors D ⊂ C.

Dé�nition. Si D ∩ C = {M}, on dit que D est la tangente à C en M .Si #(D ∩ C) = 2, on dit que D et C sont sécantes.

Remarque. Si #(D ∩ C) ≥ 3, alors D ⊂ C. Dans ce cas, C est dégénérée.

Théorème 105. (Bézout réel - "très très" faible)On a l'une des situations suivantes :• #(D ∩ C) = 0 ou 1 ou 2.• D ⊂ C. (auquel cas C est dégénérée)

Dé�nition. Soit C une conique propre. Soit D une droite coupant deux fois celle-ci aux pointsA et B. On appelle pôle de la droite (AB) le point d'intersection des tangentes en ces points.

Si D est une tangente de la conique, tout point de cette droite sera appelé par extensionpôle de D.

Théorème 106. Soit C une conique propre et quatre points O0, O1, O2 et O3 tels que les Oi

pour i 6= 0 appartiennent à C et le point O0 soit le pôle de la droite (O1O2). Il existe alors troisformes linéaires f0, f1 et f2 telles que pour toute permutation (ijk) la droite (OiOj) ait pouréquation homogène fk = 0 et C = π(f 2

0 − f1f2).


Démonstration. Les quatre points constituent un repère projectif, car le triangle O0O1O2 estnon aplati et que O3 ne peut pas être aligné avec deux des trois autres points. Nous pouvonsdonc considérer le système de coordonnées homogènes adapté à ce repère. NotonsM la matricede la forme quadratique :

M =

a b d

b c e

d e f

.

Le point O0 a pour coordonnées homogènes (0, 0, 1) et la droite (O1O2) a pour équation homo-gène : 0

0

1

T

M

X

Y

Z

= 0,

soit dX + eY + fZ = 0. Or son équation est Z = 0. Ainsi d = e = 0. Des considérationsanalogues sur les tangentes en O1 et O2 montrent qu'on a :

M =

0 b 0

b 0 0

0 0 f

.

En�n, comme O2 = (1, 1, 1) appartient à la conique, on a 2b + f = 0 et une équation de Cs'écrit simplement :

Z2 −XY = 0.

Si on appelle (e0, e1, e2) une base adaptée au repère projectif, les trois formes e∗i répondent auproblème.

Théorème 107. Soit E un Kev de dimension 3, Q l'ensemble des formes quadratiques sur Eet C,C ′ ∈ P(Q).• Si K = C et C et C ′ ont même image, alors C = C ′.• Si K = R et C et C ′ ont même image formée d'au moins deux points distincts, alorsC = C ′.

Démonstration. • Cas complexe : Si l'une des conique est propre, elle n'a pas de pointdouble et il en est de même de l'autre. On choisit un repère a�ne du plan constitué detrois points O1, O2 et O3 de l'image commune. Les tangentes en O1 et en O2 sont lestangentes à C et ne dépendant pas de la conique. Le pôle O0 est donc indépendant de laconique. Nous obtenons ainsi un repère projectif lié à C et indépendant de la conique.Par le théorème précédent, l'unique conique ayant pour image C est π(f 2

0 − f1f2). Ily a donc bijection entre les coniques propres et leurs images. Si l'une des coniques estimpropre , il s'agit de la réunion de deux droites D1 et D2 ou une droite D0. Dans lepremier cas, la conique est π(f1, f2) et dans le second π(f 2

0 ) avec Di les zéros de fi.• Cas réel : Le soucis est de pouvoir dé�nir un repère projectif du plan réel dont troispoints constituent les sommets d'un triangle inscrit dans la conique. Pour cela, il fautque la conique possède au moins trois points : d'où la restriction de l'hypothèse. L'imagede la conique possède alors deux points A et B. Raisonnons par disjonction de cas :* Si la conique est propre, une droite passant par A et distincte de la tangente en A etde la droite (AB) recoupe la conique en un point C. Le triangle ABC est inscrit dansla conique, et on peut construire le repère projectif convoité, permettant d'acheverle raisonnement comme dans le cas complexe.

* Si la conique est impropre mais que son image ne se réduit pas à la droite (AB), ilexiste deux formes linéaires f0 et f1 telles que la conique soit π(f0, f1).

* Si l'image de la conique se réduit à la droite (AB) la conique est π(f 2).

Géométries a ne, projective et...

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