Géométrie vectorielle du plan et de l’espace. Produit ...

FST Mulhouse.

Licence 1 Physique-Chimie

Mathématiques : ALGEBRE LINEAIRE

Elisabeth REMM

Chapitre 1

Géométrie vectorielle du plan et de l’espace.

Produit scalaire, Produit vectoriel,

Déterminants

Table des matières

1. Vecteurs dans l’espace 21.1. Coordonnées rectangulaires d’un point de l’espace 21.2. Rappels sur les vecteurs 31.3. Projection d’un vecteur sur les axes de coordonnées 31.4. Cosinus directeurs d’un vecteur 41.5. Operations sur les vecteurs 42. La géométrie vectorielle dans l’espace 62.1. Vecteurs coplanaires - Vecteurs linéairement indépendants 62.2. Matrice et déterminant 82.3. Bases de l’espace 102.4. Repères utilisés en mécanique 103. Produit scalaire 123.1. Définition 123.2. Deuxième définition du produit scalaire euclidien de R3 134. Produit vectoriel, produit mixte dans R3 154.1. Vecteur directeur d’un plan, produit vectoriel dans R3 154.2. Le déterminant et le produit vectoriel 164.3. Le produit mixte dans R3 175. Equations des plans et droites dans R3 185.1. Plans vectoriels dans R3 18

1

2 L1-Physique-Chimie. Chapitre 1

5.2. Droites vectorielles dans R3 205.3. Projection orthogonale dans le plan 225.4. Plans et droites a�nes dans R3 236. Comment calculer le déterminant en utilisant le langage PYTHON. 24

1. Vecteurs dans l’espace

1.1. Coordonnées rectangulaires d’un point de l’espace. Un système de coordonnéesrectangulaires Oxyz dans l’espace est défini par la donnée d’une unité de mesure de longueurset de trois axes Ox, Oy, Oz perpendiculaires deux à deux au point O.

Soit A un point de l’espace. On le projette parallèlement à Oz sur le plan Oxy. Soit B ceprojeté. On notera par x

A

et yA

les projetés de B sur Ox et Oy parallèlement à Oy et Ox et parz

A

le projeté sur Oz de A parallèlement au plan Oxy. Alors (xA

, yA

, zA

) sont les coordonnéesrectangulaires du point A. Ainsi à chaque point A on fait correspondre un et un seul triplet(x

A

, yA

, zA

). Inversement, à chaque triplet (x, y, z) correspond un et un seul point de l’espacedont ce triplet représente les coordonnées rectangulaires.

Figure 1. Projection du point A

Elisabeth Remm 3

1.2. Rappels sur les vecteurs. Soit ≠æu un vecteur de l’espace (ou du plan). Rappelons qu’ilest caractérisé par

(1) sa direction (une droite)(2) son sens(3) et sa longueur notée ||u||.

On peut le représenter par une flèche (orientée). Tout couple ordonné de points (A, B) del’espace définit un vecteur que l’on note ≠æ

AB. Le point A s’appelle l’origine du vecteur ≠æAB et

B son extrémité. La distance entre A et B est la longueur de ≠æAB. Le vecteur (A, A) ou ≠æ

AA

se notera ≠æ0 car sa longueur est nulle. Deux couples de bipoints (A, B) et (C, D) définissent lemême vecteur u s’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. On écrira alors

≠æAB = ≠≠æ

CD = u.

.

Proposition 1. Etant donnés un point A et un vecteur ≠æu , il existe un unique point B tel que≠æAB = ≠æu .

Figure 2. Vecteur

1.3. Projection d’un vecteur sur les axes de coordonnées. Le projeté du vecteur ≠æAB

sur l’axe Ox est le vecteur≠≠æAÕBÕ tel que AÕ soit le projeté orthogonal de A sur Ox et BÕ celui

de B.Notons par X la mesure algébrique de

≠≠æAÕBÕ, c’est-à-dire X = AÕBÕ (rappelons que AÕBÕ =

AÕBÕ si≠≠æAÕBÕ est dirigé dans le sens de Ox et ≠AÕBÕ dans le cas contraire. De même soient Y

et Z les mesures algébriques des projetés orthogonaux de≠≠æAÕBÕ sur Oy et Oz. Par définition,

on dira que (X, Y, Z) sont les composantes algébriques de ≠æAB dans le repère Oxyz.

Théorème 1. Soient les points A = (x1, y1, z1) et B = (x2, y2, z2). Alors les composantesalgébriques de ≠æ

AB sontX = x2 ≠ x1, Y = y2 ≠ y1, Z = z2 ≠ z1.


1.4. Cosinus directeurs d’un vecteur. Considérons le vecteur ≠æa = (X, Y, Z) que l’on peutreprésenter par le vecteur ≠æ

OA où A a pour composantes (X, Y, Z). Considérons les pointsA

x

, Ay

, Az

sur les axes Ox, Oy et Oz tels queOA

x

= X, OAy

= Y, OAz

= Z.

On a alorsOA2 = OA2

x

+ OA2y

+ OA2z

.

Ainsi|≠æa |2 = X2 + Y 2 + Z2

et donc|≠æa | =

ÔX2 + Y 2 + Z2.

Soient– l’angle du vecteur ≠æa avec l’axe Ox,— l’angle du vecteur ≠æa avec l’axe Oy,“ l’angle du vecteur ≠æa avec l’axe Oz.

On a alorscos – = XÔ

X2 + Y 2 + Z2 ,

cos — = YÔX2 + Y 2 + Z2 ,

cos “ = ZÔX2 + Y 2 + Z2 ,

Définition 1. cos –, cos —, cos “ sont appelés les cosinus directeurs du vecteur ≠æa relatifs aurepère fixé Oxyz.

1.5. Operations sur les vecteurs.

1.5.1. L’addition. Soient a et b deux vecteurs. On construit le vecteur a+b de la façon suivante :Soient A et B tels que ≠æ

OA = a et ≠≠æOB = b. Alors a + b est égal à ≠æ

OC où OABC est unparallélogramme. Cette construction correspond à la résultante de deux forces s’exerçant aupoint O.

En termes de composantes l’addition vérifie :

Proposition 2. Soient a et b deux vecteurs de composantes (Xa

, Ya

, Za

) et (Xb

, Yb

, Zb

). Alors

a + b = (Xa

+ Xb

, Ya

+ Yb

, Za

+ Zb

).

L’addition vérifie les propriétés suivantes :

Proposition 3.

(1)

Y____]

____[

a + b = b + a,

a + 0 = a

a ≠ a = 0,

a + (b + c) = (a + b) + c.

Elisabeth Remm 5

Théorème 2. Relation de Chasles. Soient A, B, C trois points. Alors≠æAB = ≠æ

AC + ≠≠æCB.

Démonstration. Posons A = (a1, a2, a3) et B = (b1, b2, b3), C = (c1, c2, c3). Alors≠æAB = (b1 ≠ a1, b2 ≠ a2, b3 ≠ a3)≠æAC = (c1 ≠ a1, c2 ≠ a2, c3 ≠ a3)≠≠æBC = (c1 ≠ b1, c2 ≠ b2, c3 ≠ b3)

D’après la relation de Chasles≠æAC + ≠≠æ

CB = (b1 ≠ c1 + c1 ≠ a1, b2 ≠ c2 + c2 ≠ a2, b3 ≠ c3 + c3 ≠ a3),= (b1 ≠ a1, b2 ≠ a2, b3 ≠ a3)= ≠æ

AB.

1.5.2. Multiplication par un scalaire. Soit a un vecteur et k œ R un scalaire. Le vecteur ka estcolinéaire à a, de longueur |k||a| et de même sens si k > 0 ou de sens inverse si k < 0.

Si a = (X, Y, Z) alorska = (kX, kY, kZ).

Cette multiplication par un scalaire vérifie les propriétés suivantes :

Proposition 4.

(2)

Y_]

_[

k(a + b) = ka + kb,(k1 + k2)a = k1a + k1a,

0a = 0.

Remarque : Structure d’espace vectoriel. Si nous notons par E l’ensemble des vecteursdans l’espace, les deux opérations que sont l’addition et la multiplication externe vérifiant lespropriétés (1) et (2) munissent E d’une structure d’espace vectoriel réel. Nous développeronscette notion plus tard.

Définition 2. Deux vecteurs ≠æu et ≠æv sont dits colinéaires s’il existe k œ R tel que≠æu = k≠æv .

Proposition 5. Soient a et b deux vecteurs non nuls. Alors si a = (Xa

, Ya

, Za

) et b =(X

b

, Yb

, Zb

), les vecteurs a et b sont colinéaires si et seulement siX

a

Xb

= Ya

Yb

= Za

Zb

dès que Xb

Yb

Zb

”= 0.

Démonstration. En e�et b = ka impliqueX

b

= kXa

, Yb

= kYa

, Zb

= kZa

.

Si XB

Yb

Zb

”= 0, on en déduitX

a

Xb

= Ya

Yb

= Za

Zb

.


2. La géométrie vectorielle dans l’espace

2.1. Vecteurs coplanaires - Vecteurs linéairement indépendants. Rappelons que troispoints de l’espace A, B, C sont alignés s’il existe un scalaire k tel que

≠æAC = k

≠æAB.

En particulier la droite (AB) est l’ensemble des points M tels qu’il existe k œ R vérifiant≠≠æAM = k

≠æAB.

Considérons à présent trois points A, B, C non alignés. Le plan (ABC) est l’ensemble despoints M tels qu’il existe des scalaires k1, k2 œ R pour lesquels nous avons

≠≠æAM = k1

≠æAB + k2

≠æAC.

On dira alors que la famille {≠æAB,

≠æAC} est une base ou un repère du plan (ABC).

Définition 3. Trois vecteurs u, v, w de l’espace sont dits coplanaires ou linéairement dépen-dants si les points A, B, C, D définis par u = ≠æ

AB, v = ≠æAC, w = ≠≠æ

AD appartiennent à un mêmeplan.

Définition 4. Trois vecteurs u, v, w de l’espace sont dits linéairement indépendants si l’équa-tion

k1u + k2v + k3w = 0implique

k1 = k2 = k3 = 0.

Ceci signifie que les trois vecteurs u, v, w sont non coplanaires. Cette notion de linéaireindépendance peut concerner également une famille de deux vecteurs de R3 : Deux vecteursu, v de R3 sont dits linéairement indépendants si l’équation

k1u + k2v = 0implique

k1 = k2 = 0.

Dans le cas de R2 nous avons bien entendu une définition semblable :

Définition 5. Deux vecteurs u = (x1, y1), v = (x2, y2) de R2 sont dits linéairement indépen-dants si l’équation

k1u + k2v = 0implique

k1 = k2 = 0.

Exemples.(1) Montrons sur un exemple que les vecteurs u = (1, 1, 0), v = (1, 0, 1), w = (0, 1, 1) sont

linéairement indépendants. Considérons l’équation vectoriellek1u + k2v + k3w = 0.

Elle se traduit park1(1, 1, 0) + k2(1, 0, 1) + k3(0, 1, 1) = (0, 0, 0)

Elisabeth Remm 7

soit

(k1, k1, 0) + (k2, 0, k2) + (0, k3, k3) = (k1 + k2, k1 + k3, k2 + k3) = (0, 0, 0).

On en déduit le système linéaireY_]

_[

k1 + k2 = 0k1 + k3 = 0k2 + k3 = 0

Résolvons ce système. La première équation donne k2 = ≠k1, la deuxième k3 = ≠k1. Enreportant ces valeurs dans la troisième équation, on trouve

k2 + k3 = ≠k1 ≠ k1 = ≠2k1 = 0

d’où k1 = 0 et donc k2 = k3 = 0. Les vecteurs sont bien indépendants.(2) Un exemple de vecteurs linéairement dépendants. Considérons les vecteurs u = (1, 1, 1),

v = (1, ≠1, 0), w = (2, 0, 1). Pour savoir si ces vecteurs sont linéairement dépendants ouindépendants, on procède comme ci-dessus : Considérons l’équation vectorielle

k1u + k2v + k3w = 0.

Elle se traduit par

k1(1, 1, 1) + k2(1, ≠1, 0) + k3(2, 0, 1) = (0, 0, 0)

soit

(k1, k1, k1) + (k2, ≠k2, 0) + (2k3, 0, k3) = (k1 + k2 + 2k3, k1 ≠ k2, k1 + k3) = (0, 0, 0).

On en déduit le système linéaireY_]

_[

k1 + k2 + 2k3 = 0k1 ≠ k2 = 0k1 + k3 = 0

Résolvons ce système. La deuxième équation donne k2 = k1, la troisième k3 = ≠k1. Enreportant ces valeurs dans la deuxième équation, on trouve

k1 + k2 + 2k3 = ≠k+ ≠ k1 ≠ 2k1 = 0

qui donc cette équation se ramène à 0 = 0. On en déduit que le système linéaire donnecomme solution

k2 = k1, k3 = ≠k1

et ces constantes ne sont pas nécessairement toutes nulles. Les vecteurs sont linéairementdépendants. Une relation de dépendance est donnant en prenant par exemple k1 = 1 (etsurtout pas 0) :

u + v ≠ w = 0.

(3) Remarquons tout d’abord que quatre vecteurs ou plus de R3 sont nécessairement dépen-dants. En e�et la résolution du système linéaire qui se déduit de l’équation vectorielle

k1u1 + k2u2 + k3u3 + k4u4 = ≠æ0

donne des solutions non toutes nulles.


2.2. Matrice et déterminant. Une méthode bien pratique pour montrer que deux vecteursde R2 ou trois vecteurs de R3 sont linéairement indépendants ou non repose sur la notionde déterminants, notion que nous verrons en détail dans les chapitres suivants. Tout d’abordsoient deux vecteurs u = (x1, y1), v = (x2, y2) de R2.

Définition 6. On appelle matrice de ces deux vecteurs le tableau 2 lignes et 2 colonnes obtenuen mettant en colonne les composantes de chacun des vecteurs soit

M =A

x1 x2y1 y2

B

On appelle Déterminant de cette matrice le scalairedet(M) = x1y2 ≠ x2y1

(produit en croix).

On a le résultat suivant :

Théorème 3. Deux vecteurs u = (x1, y1), v = (x2, y2) de R2 sont linéairement indépendantssi et seulement si la matrice

M =A

x1 x2y1 y2

B

de ces deux vecteurs vérifiedet(M) ”= 0.

Prenons par exemple les vecteurs (1, 1) et (≠1, 2). La matrice de ces deux vecteurs est

M =A

1 ≠11 2

B

et l’on adet(M) = 1 ◊ 2 ≠ (≠1) ◊ 1 = 2 + 1 = 3 ”= 0

donc les vecteurs sont indépendants. Considérons maintenant les vecteurs (1, 2) et (2, 4). Lamatrice de ces deux vecteurs est

M =A

1 22 4

B

et l’on adet(M) = 1 ◊ 4 ≠ 2 ◊ 2 = 4 ≠ 4 = 0

donc les vecteurs sont dépendants.Dans R3 nous avons une notion analogue.

Définition 7. On appelle matrice de trois vecteurs u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2), w =(x3, y3, z3) de R3, le tableau 3 lignes et 3 colonnes obtenu en mettant en colonne les com-posantes de chacun des vecteurs soit

M =

Q

cax1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3

R

db

On appelle Déterminant de cette matrice le scalairedet(M) = x1(y2z3 ≠ y3z2) ≠ x2(y1z3 ≠ y3z1) + x3(y1z2 ≠ y2z3).

Elisabeth Remm 9

On a le résultat suivant :

Théorème 4. Trois vecteurs u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2), w = (x3, y3, z3) de R3 sont linéai-rement indépendant si et seulement si la matrice

M =

Q


R

db

de ces deux vecteurs vérifiedet(M) ”= 0.

Reprenons les exemples ci-dessus. Considérons les vecteurs u = (1, 1, 0), v = (1, 0, 1), w =(0, 1, 1). La matrice associée est

M =

Q

ca1 1 01 0 10 1 1

R

db

Le déterminant vautdet(M) = 1(0 ≠ 1) ≠ 1(1 ≠ 0) + 0(1 ≠ 0) = ≠1 ≠ 1 + 0 = ≠2 ”= 0

et ces vecteurs sont linéairement indépendants.Considérons à présent les trois vecteurs u = (1, 1, 1), v = (1, ≠1, 0), w = (2, 0, 1). La matrice

associée est

M =

Q

ca1 1 21 ≠1 01 0 1

R

db

Le déterminant vautdet(M) = 1(≠1 ≠ 0) ≠ 1(0 + 1) + 2(0 + 1) = ≠1 ≠ 1 + 2 = 0

et ces vecteurs sont linéairement dépendants.

Une règle pratique pour calculer le déterminant d’une matrice 3 lignes et 3 co-lonnes : la règle de Sarrus. Considérons la matrice

M =

Q


R

db

On recopie les deux premières lignesQ

ccccca

x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3x1 x2 x3y1 y2 y3

R

dddddb

et on ajoute tous les produits de trois facteurs alignés du Nord Ouest au Sud Est et on retrancheles produits de trois facteurs alignés du Nord Est au Sud Ouest :

x1y2z3 + y1z2x3 + z1x2y3 ≠ (x3y2z1 ≠ y3z2x1 ≠ z3x2y1).


2.3. Bases de l’espace.

Définition 8. Trois vecteurs de l’espace u, v, w de l’espace linéairement indépendants défi-nissent une base de l’espace.

Par exemple les vecteurs unitaires i, j, k des trois axes de coordonnées définis au premierparagraphe forment une base de l’espace.

Théorème 5. Soit {u, v, w} une base de l’espace. Tout vecteur a s’écrit de manière unique

a = x1u + x2v + x3w.

Les scalaires x1, x2, x3 s’appellent les composantes de a dans la base {u, v, w}.

2.4. Repères utilisés en mécanique.

2.4.1. Repères et coordonnées d’un point. Dans le premier paragraphe nous avons défini unrepère en considérant un point O, trois axes Ox, Oy et Oz orientés par les vecteurs de basei, j, k. Généralisons cette construction. Soit une base {u, v, w} et soit un point K de l’espace.Par K faisons passer 3 axes Kx1,Kx2,Kx3 orientés par les vecteurs de la base donnée. Ondéfinit ainsi un nouveau repère (K, u, v, w) d’origine K et de base {u, v, w}. Un des problèmesimportants que l’on rencontre en mécanique est de savoir écrire les coordonnées d’un point del’espace dans le permier et dans le deuxième repère et surtout comment on passe d’un systèmeà l’autre. Ainsi dans le premier repère on aura

≠æOP = xi + yj + zk

et dans le deuxième≠≠æKP = x1u + y1v + z1w.

Or on a≠≠æKP = ≠≠æ

KO + ≠æOP.

Soit (a, b, c) les coordonnées de K dans le premier repère (dans le deuxième elles sont nulles) :≠≠æOK = ai + bj + ck.

D’où≠≠æKP = ≠(ai + bj + ck) + xi + yj + zk = (x ≠ a)i + (y ≠ b)j + (z ≠ c)k.

Si nous voulons calculer les composantes (x1, y1, z1) de P relatives au deuxième repère enfonction des composantes (x, y, z) de ce même point par rapport au premier repère, il ne resteplus qu’à remplacer les vecteurs u, v, w en fonction de leurs composantes dans le prmier repère :

Y__]

__[

u = –1i + —1j + “1k

v = –2i + —2j + “2k

w = –3i + —3j + “3k

Elisabeth Remm 11

Figure 3. Coordonnées cylindriques

2.4.2. Le repère cylindropolaire. Ce repère (O, ≠æer

, ≠æe◊

, k) est centré en O mais la base {≠æer

, ≠æe◊

, k}est liée au point P que l’on considère. Soit Q le projeté de P sur le plan Oxy. Son considèrel’axe porté par ≠æ

OQ et on note ≠æer

le vecteur unitaire orienté comme ≠æOQ. Ainsi

≠æOQ = r≠æe

r

avec r Ø 0. Soit◊ = (≠æOx,

≠æOQ)

On considère dans le plan Oxy le vecteur unitaire ≠æe◊

orthogonal à ≠æer

tel que (≠æer

, ≠æe◊

) = +fi/2.

Le repère considéré est donc (O, ≠æer

, ≠æe◊

, k). Dans ce repère, on a≠æOP = r≠æe

r

+ 0≠æe◊

+ zk.

Le "changement de base" est donné parY__]

__[

≠æer

= cos ◊i + sin ◊j≠æe

◊

= ≠ sin ◊i + cos ◊j≠æk = ≠æ

k .

Ainsi≠æOP = r cos ◊i + r sin ◊j + zk = x

P

≠æi + y

P

j + zP

k

et donc Y_]

_[

xP

= r cos ◊y

P

= r sin ◊z

P

= zP

Notons que les coordonnées cylindriques de P sont particulièrement simples : (r, 0, z). Cela vientdu fait que le repère, bien que fixé en O est un repère "mobile" dépendant de P . En cinématique,lorsque P bouge, ce repère aussi. Le mouvement est donc décrit par le mouvement de ce repèreet le mouvement relatif de P dans ce repère.


2.4.3. Le repère mobile. L’étude de ce repère n’a de sens que dans le domaine de la cinématique,lorsqu’on veut étudier le déplacement d’un point. Ce repère est centré sur ce point et donc lescoordonnées de ce point sont nulles, mais ce n’est pas cette remarque qui en fait son intérêt.Les axes de ce repère sont portés par le vecteur tangent à la trajectoire associé à la vitessedu point, un vecteur orthogonal à ce vecteur tangent dans le plan de base les vecteurs vitesseet accélération et le troisième axe donné par le produit vectoriel des deux vecteurs de base.L’étude de la trajectoire du point P se ramène à l’étude du comportement du repère mobile.L’intérêt de cette étude de la variation de ce repère en fonction du déplacement du point Préside dans le fait que cette étude donne exactement le nombre minimum, ici 2, de fonctionspermettant une description complète de la trajectoire, ces fonctions étant la courbure et latorsion.

3. Produit scalaire

On considère dans R3 le repère orthonormé (O,≠æi ,

≠æj ,

≠æk ). Tout vecteur ≠æ

X de R3 s’écrit donc≠æX = (x1, x2, x3)

où les xi

sont les composantes de ≠æX relatives à la base {≠æ

i ,≠æj ,

≠æk } donnée.

3.1. Définition.Définition 9. On appelle produit scalaire euclidien dans l’espace vectoriel réel R3, l’applicationde R3 ◊ R3 à valeurs dans R

≠æX · ≠æ

Y = (x1, x2, x3) · (y1, y2, y3) = x1y1 + x2y2 + x3y3.

Cette application a les propriétés suivantes : Pour tous –1, –2 œ R et ≠æX,

≠æX1,

≠æX2,

≠æY ,

≠æY1,

≠æY2 œ R3,

(1) (–1≠æX1 + –2

≠æX2) · ≠æ

Y = –1(≠æX1 · ≠æ

Y ) + –2(≠æX2 · ≠æ

Y ),(2) ≠æ

X · (–1≠æY1 + –2

≠æY2) = –1(

≠æX · ≠æ

Y1) + –2(≠æX · ≠æ

Y2)Une telle application, a deux variables de R3, vérifiant les deux propriétés ci-dessus est appeléeune forme bilinéaire sur R3. L’étude générale de telles applications sur un espace vectoriel réelou complexe seront étudiées plus tard.

Quelques propriétés du produit scalaire euclidien(1) Soit ≠æ

X œ R3. Alors l’identité

’≠æY œ R3,

≠æX · ≠æ

Y = 0implique ≠æ

X = ≠æ0 .Démonstration. En e�et, posons ≠æ

X = (x1, x2, x3). Prenons dans un premier temps ≠æY =

i = (1, 0, 0). Alors ≠æX · i = 0 implique x1 = 0. De même, en prenant ≠æ

Y = ≠æj et k, nous

obtenons xi

= 0 et en déduisons ≠æX = 0.

(2) Pour tout ≠æX œ R3 non nul

≠æX · ≠æ

X > 0.

En e�et ≠æX · ≠æ

X = x21 + x2

2 + x23.

(3) Le produit scalaire est commutatif :≠æX · ≠æ

Y = ≠æY · ≠æ

X.

Elisabeth Remm 13

Lorsque nous considèrerons dans l’espace R3 le produit scalaire euclidien, nous parlerons alorsde Rn comme espace euclidien.

Définition 10. Dans l’espace euclidien R3, on appelle norme du vecteur ≠æX , le scalaire

||≠æX || =Ò≠æ

X · ≠æX.

Nous avons donc, si ≠æX = (x1, x2, x3),

||≠æX || =Ò

x21 + x2

2 + x23.

et la norme correspond à la longueur du vecteur.

Proposition 6. (Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski) Pour tout ≠æX et ≠æ

Y dans R3,nous avons

|≠æX · ≠æY | Æ ||≠æX ||||≠æY ||

et||≠æX + ≠æ

Y || Æ ||≠æX || + ||≠æY ||.

Nous remarquons que l’égalité pour ces deux relations n’a lieu que lorsque ≠æX et ≠æ

Y sontcolinéaires.

Remarque. Cas de R2 Il est clair que cette définition du produit scalaire dans R3 se parti-cularise aisément au cas du plan : si ≠æ

X = (x1, x2) et ≠æY = (y1, y2) sont deux vecteurs du plan,

alors ≠æX · ≠æ

Y = x1y1 + x2y2.

Ces vecteurs sont orthogonaux si et seulement si le produit scalaire est nul.

3.2. Deuxième définition du produit scalaire euclidien de R3. Commençons par inter-préter le produit scalaire dans le plan, c’est-à-dire dans l’espace vectoriel R2. Soient ≠æ

X1 et ≠æX2

deux vecteurs du plan ≠æX1 = x1

≠æe1 + y1≠æe2 ,

≠æX2 = x2

≠æe1 + y2≠æe2 .

Nous avons ------

≠æX1 · ≠æ

X2...≠æX1

......≠æX2

...

------Æ 1.

En e�et (x1x2 +y1y2)2 Æ (x1 +y1)2(x2 +y2)2. Nous pouvons donc interpréter ce nombre commele cosinus d’un angle, mais ceci nécessite que l’angle formé par les deux vecteurs de base soitun angle droit.

Ainsi, par définition

cos(◊) =≠æX1 · ≠æ

X2

||≠æX1|| ||≠æX2||et ◊ désigne l’angle formé par les vecteurs ≠æ

X1 et ≠æX2 du plan.

Théorème 6. Soient ≠æX et ≠æ

Y deux vecteurs de R3. Alors≠æX · ≠æ

Y = ||≠æX || ||≠æY || cos(≠æX,≠æY )

où (≠æX,≠æY ) désigne l’angle des vecteurs ≠æ

X et ≠æY .


Considérons le plan euclidien, sa base canonique, et les deux vecteurs ≠æX = (x1, x2) et ≠æ

Y =(y1, y2) représentés classiquement par le graphe suivant

Figure 4. Parallelogramme construit sur deux vecteurs.

Considérons le parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont supportés par les vecteursdonnés. Son aire est égale à AB ◊ CI. Considérons la matrice

M =A

x1 y1x2 y2

B

des deux vecteurs. Rappelons que son déterminant est det(M) = x1y2 ≠ x2y1. Si ≠æZ est le

vecteur ≠æZ = (≠y2, y1), alors

≠æY · ≠æ

Z = 0, det M = ≠æX · ≠æ

Z .

Mais ≠æX ·≠æZ = ||≠æX || ||≠æZ || cos(≠æX,

≠æZ ). Comme cos(≠æX,

≠æZ ) = cos((≠æX,

≠æY )+fi/2) = ≠ sin(≠æX,

≠æY ),

nous obtenonsdet M = ≠||≠æX || ||≠æY || sin(≠æX,

≠æY )

et donc| det M | = AB ◊ CD ◊ | sin(≠æX,

≠æY )| = AB ◊ CI.

Ainsi

Elisabeth Remm 15

Proposition 7. Le déterminant de deux vecteurs exprimés dans une base orthonormée estégal, en valeur absolue, à l’aire du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs.

4. Produit vectoriel, produit mixte dans R3

4.1. Vecteur directeur d’un plan, produit vectoriel dans R3. Nous pouvons toujoursramener la définition d’un plan P de R3 passant par l’origine comme l’ensemble des pointsM = (x1, x2, x3) ou des vecteurs ≠æ

X = ≠≠æOM = (x1, x2, x3) de R3 vérifiant l’équation linéaire

ax1 + bx2 + cx3 = 0.

Cette équation n’est unique qu’à un coe�cient multiplicatif près. Considérons le vecteur ≠æA =

(a, b, c) défini par cette équation. Alors l’équation linéaire correspond au produit scalaire≠æX · ≠æ

A = 0.

Les éléments du plan P sont les vecteurs de R3 orthogonaux au vecteur ≠æA . Ce vecteur ≠æ

A

s’appelle un vecteur directeur du plan, tout autre vecteur directeur s’écrit ⁄≠æA avec ⁄ ”= 0.

Détermination d’un vecteur directeur : le produit vectoriel Supposons que nousconnaissions une base ≠æ

X = (x1, x2, x3),≠æY = (y1, y2, y3)} du plan vectoriel P . Un vecteur direc-

teur est orthogonal à ≠æX et à ≠æ

Y . Considérons le vecteur ≠æA de composante (x2y3 ≠ x3y2, x3y1 ≠

x1y3, x1y2 ≠ x2y1). On vérifie aisément que≠æX · ≠æ

A = 0,≠æY · ≠æ

A = 0.

Vérifions uniquement la première identité :≠æX · ≠æ

A = (x2y3 ≠ x3y2)x1 + (x3y1 ≠ x1y3)x2 + (x1y2 ≠ x2y1)x3 = 0.

Ainsi ce vecteur ≠æA est un vecteur directeur du plan de base {≠æ

X,≠æY }.

Définition 11. Soient ≠æX = (x1, x2, x3),

≠æY = (y1, y2, y3)} deux vecteurs de R3. Le produit

vectoriel de ces deux vecteurs, noté ≠æX · ≠æ

Y est le vecteur de composantes≠æX · ≠æ

Y = (x2y3 ≠ x3y2, x3y1 ≠ x1y3, x1y2 ≠ x2y1).

Nous avons démontré ci-dessus la propriété suivante

Proposition 8. Si les vecteurs ≠æX = (x1, x2, x3),

≠æY = (y1, y2, y3)} sont linéairement indé-

pendants, alors ≠æX · ≠æ

Y est orthogonal au plan engendré par ≠æX et ≠æ

Y . C’est dons un vecteurdirecteur de ce plan.

Nous en déduisons aussiCorollaire 1. Les deux vecteurs ≠æ

X = (x1, x2, x3),≠æY = (y1, y2, y3)} sont linéairement indépen-

dants si et seulement si ≠æX · ≠æ

Y ”= ≠æ0 .

Démonstration. En e�et, si ≠æY = ⁄

≠æX , alors si nous calculons ≠æ

X · ≠æY nous trouvons bien le

vecteur nul.Lemme 1. Pour tout ≠æ

X et ≠æY dans R3, on a||≠æX · ≠æ

Y ||2 = ||≠æX ||2||≠æY ||2 ≠ (≠æX · Y )2.


Démonstration. En e�et||≠æX · ≠æ

Y ||2 = ((x2y3 ≠ x3y2)2 + (x3y1 ≠ x1y3)2 + (x1y2 ≠ x2y1)2

= (x21 + x2

2 + x23)(y2

1 + y22 + y2

3) ≠ x21y

21 ≠ x2

2y22 ≠ x2

3y23

= ||≠æX ||2||≠æY ||2(≠æX · Y )2

Nous en déduisons||≠æX · ≠æ

Y ||2

||≠æX ||2||≠æY ||2+ (≠æX · ≠æ

Y )2

||≠æX ||2||≠æY ||2= 1.

Or(≠æX · ≠æ

Y )2

||≠æX ||2||≠æY ||2= cos2 ◊

où ◊ est l’angle (≠æX,≠æY ). Ainsi

||≠æX · ≠æY ||2

||≠æX ||2||≠æY ||2= 1 ≠ cos2 ◊ = sin2 ◊.

On en déduit

Proposition 9. Soient ≠æX et ≠æ

Y deux vecteurs de R3. alors

||≠æX · ≠æY || = ||≠æX ||||≠æY || sin ◊

où ◊ est l’angle (≠æX,≠æY ).

Sur la base canonique, le produit vectoriel se comporte ainsi :≠æe1 · ≠æe1 = ≠æ0 , ≠æe1 · ≠æe2 = ≠æe3,

≠æe1 · ≠æe3 = ≠≠æe2 ,≠æe2 · ≠æe1 = ≠≠æe3 , ≠æe2 · ≠æe2 = ≠æ0 , ≠æe2 · ≠æe3 = ≠æe1 ,≠æe3 · ≠æe1 = ≠æe2 , ≠æe3 · ≠æe2 = ≠≠æe1 , ≠æe3 · ≠æe3 = ≠æ0 .

Nous en déduisons les propriétés algébriques du produit vectoriel : pour tout ≠æX,

≠æY ,

≠æZ œ R3

(1) ≠æX · ≠æ

Y = ≠≠æY · ≠æ

X ,(2) ≠æ

X · (a≠æY + b

≠æZ ) = a

≠æX · ≠æ

Y + b≠æX · ≠æ

Z ,(3) (≠æX · ≠æ

Y ) · ≠æZ + (≠æY · ≠æ

Z ) · ≠æX + (≠æZ · ≠æ

X ) · ≠æY = ≠æ0 .

La dernière identité montre que le produit vectoriel n’est pas une opération associative.

4.2. Le déterminant et le produit vectoriel. Rappelons que si

A =

Q

caa1,1 a1,2 a1,3a2,1 a2,2 a2,3a3,1 a3,2 a3,3

R

db

son determinant se calcule, par exemple, à l’aide de la règle de Sarrusdet A = a1,1a2,2a3,3 + a1,2a2,3a3,1 + a2,1a3,2a1,3

≠a1,3a2,2a3,1 ≠ a2,1a3,2a1,3 ≠ a1,2a2,3a3,1

Considérons trois vecteurs de R3 :≠æX = (x1, x2, x3),

≠æY = (y1, y2, y3),

≠æZ = (z1, z2, z3)

Elisabeth Remm 17

de R3. La matrice de ces trois vecteurs est obtenue en mettant en colonne les composantes deces trois vecteurs :

M =

Q

cax1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

R

db .

Le déterminant de M est

det M = x1y2z3 + y1z2x3 + x2y3z1 ≠ z2y2x3 ≠ z3y3x1 ≠ y1x2z3.

Nous pouvons l’écrire comme un produit scalaire :

det M = z1(x2y3 ≠ x3y2) + z2(x3y1 ≠ x1y3) + z3(x1y2 ≠ x2y3).

Rappelons que≠æX · ≠æ

Y = (x2y3 ≠ x3y2, x3y1 ≠ x1y3, x1y2 ≠ x2y3).

Alorsdet M = (≠æX · ≠æ

Y ) · ≠æZ .

Notons que pour les mêmes raisons, nous aurons aussi

det M = (≠æZ · ≠æX ) · ≠æ

Y = (≠æY · ≠æZ ) · ≠æ

X.

On prêtera attention à l’ordre d’écriture des vecteurs.

4.3. Le produit mixte dans R3.

Définition 12. On appelle produit mixte de trois vecteurs ≠æX,

≠æY et ≠æ

Z de R3, le nombre≠æX · (≠æY · ≠æ

Z ).

L’expression analytique de ce produit mixte est≠æX · (≠æY · ≠æ

Z ) = x1(y2z3 ≠ y3z2) + x2(y3z1 ≠ y1z3) + x3(y1z2 ≠ y2z1).

On en déduit immédiatement≠æX · (≠æY · ≠æ

Z ) = (≠æX · ≠æY ) · ≠æ

Z .

De plus, d’après les résultats du paragraphe précédent, le produit mixte est égal au détermi-nant de la matrice des trois vecteurs (≠æX,

≠æY ,

≠æZ ).

Proposition 10. Le volume du parallélépipède supporté par trois vecteurs linéairement indé-pendants est égal en valeur absolue produit mixte de ces trois vecteurs.

Nous supposons les trois vecteurs indépendants, sinon le parallélépipède serait un peu plat.Rappelons que le volume est égal au produit d’une base par la hauteur issue de cette base.


5. Equations des plans et droites dans R3

5.1. Plans vectoriels dans R3. Rappelons qu’un plan vectoriel P est un plan passant par lepoint O. Nous verrons dans le chapitre suivant que dans ce cas P est un sous-espace vectorielde R3. Il existe deux façons de présenter un tel plan :

(1) On écrit les conditions pour qu’un point M œ R3 soit dans P , et dans ce cas on donnel’équation cartésienne de ce plan :

ax + by + cz = 0et tout point M = (x, y, z) œ P vérifie cette équation. Notons que cette équation linéairedéfinie bien un plan si et seulement si l’un des coe�cients a, b, c est non nul.

(2) On se donne une base de P , c’est-à-dire deux vecteurs de P non colinéaires et on écritque tout vecteur dans P est une combinaison linéaire des vecteurs de cette base. dans cecas on donne les équations paramétriques. Soient ≠æv1 = (a1, b1, c1) et ≠æv2 = (a2, b2, c2) unebase de P (rappelons que l’on identifie tout vecteur ≠æv de R3 avec le point M tel que≠≠æOM = ≠æv . Soit M œ ≠æ

P . Alors, comme {≠æv1 , ≠æv2} est une base de P , il existe t1, t2 œ R telsque

≠≠æOM = t1

≠æv1 + t2≠æv2 .

Cette équation vectorielle donne directement les équations paramétriques de ≠æP : si M =

(x, y, z) alors(x, y, z) = t1(a1, b1, c1) + t2(a2, b2, c2)

soit Y_]

_[

x = a1t1 + a2t2,y = b1t1 + b2t2,z = c1t1 + c2t2

avec t1, t2 œ R. Lorsque les "paramètres t1 et t2 varient dans R , le point M parcours toutle plan.

Ces deux présentations de P sont équivalentes. Nous allons voir dans l’exemple qui suit com-ment passer de l’une à l’autre.

Exemples(1) Trouver les équations paramétriques du plan à partir d’une équation carté-

sienne. Soit P le plan vectoriel d’équation cartésiennex + y + 2z = 0.

Cherchons une représentation paramétrique. Pour cela il faut en premier lieu trouver unebase, les équations dépendent du choix de cette base. Soit M = (x, y, z) œ P. Alors

x + y + 2z = 0soit

x = ≠y ≠ 2z.

On en déduit que M = (x, y, z) = (≠y ≠ 2z, y, z) = y(≠1, 1, 0) + z(≠2, 0, 1). On a doncune base formée des vecteurs

≠æv1 = (≠1, 1, 0), ≠æv2 = (≠2, 0, 1)

Elisabeth Remm 19

On en déduit le système d’équations paramétriquesY_]

_[

x = ≠t1 ≠ 2t2,y = t1,z = t2.

Comme nous l’avons dit, ce système dépend du choix de la base {≠æv1 , ≠æv2}. Donnons nousune autre base, par exemple {≠æw1 = (1, 1, ≠1), ≠æw2 = (3, ≠1, ≠1)}. Ces deux vecteurs sontbien dans P et ne sont pas colinéaires, ils forment bien une base de P . Les équationsparamétriques correspondantes sont données par

≠≠æOM = u1

≠æw1 + u2≠æw2

u1, u2 œ R. On a donc dans ce cas le système d’équations paramétriquesY_]

_[

x = u1 + 3u2,y = u1 ≠ u2z = ≠u1 ≠ u2

u1, u2 œ R. Bien entendu, ce système est équivalent au premier.(2) Trouver une équation cartésienne du plan à partir des équations paramé-

triques. Soit le plan vectoriel PŒ défini par la représentation paramétriqueY_]

_[

x = t1 + 2t2,y = t1 ≠ t2z = 2t1 + 3t2.

Une première manière de trouver une équation cartésienne est d’élimer les paramètrest1 et t1. Ainsi la première équation donne t1 = x ≠ 2t2. Portons cette valeur dans ladeuxième : y = x≠2t2 ≠ t2 = x≠3t2 ce qui donne 3t2 = x≠y. Reportons ces deux valeursdans la troisème équation

z = 2(x ≠ 2t2) + x ≠ y = 3x ≠ y ≠ 43(x ≠ y) = 5

3x + 13y

soit5x + y ≠ 3z = 0.

On a donc bien une équation cartésienne. Notons que cette équation n’est pas unique,toute autre s’écrit ⁄(5x + y ≠ 3z) = 0.

Il existe une autre méthode, plus rapide peut-être, basée sur la propriété suivante. Leséquations paramétriques sont équivalentes à

≠≠æOM = t1

≠æv1 + t2≠æv2

avec ≠æv1 = (1, 1, 2), ≠æv2 = (2, ≠1, 3) Comme ≠≠æOM = (x, y, z), les vecteurs ≠≠æ

OM, ≠æv1 , ≠æv2 sontliés par la relation ≠≠æ

OM = t1≠æv1 + t2

≠æv2 et donc le déterminant de la matrice de ces troisvecteurs est nul. Cette matrice est

M =

Q

cax 1 2y 1 ≠1z 2 3

R

db

Commedet M = 3x ≠ z + 4y ≠ 2z ≠ 3y + 2x = 5x + y ≠ 3z


(calculé par la méthode de Sarrus), une équation cartésienne est

4x + y ≠ 3z = 0.

5.2. Droites vectorielles dans R3. On appelle droite vectorielle D dans R3 toute droitepassant par O. Dans ce cas aussi, nous avons deux présentations

(1) Les équations cartésiennes, déduites du fait que toute droite vectorielle de R3 est l’inter-section de deux plans vectoriels :

Ia1x + b1y + c1z = 0,a2x + b2y + c2z = 0,

Pour que cette droite soit bien définie, on suppose que les deux équations soient indépen-dantes, c’est-à-dire que l’une n’est pas un multiple de l’autre et qu’au moins un coe�cientdans chacune d’elles est non nul.

(2) Soit ≠æv un vecteur directeur de cette droite (contrairement au cas du plan où le vecteurdirecteur est orthogonal au pla, ici il est porté par la droite). Pour tout point M = (x, y, z)de la droite, on a alors l’équation vectorielle

≠≠æOM = t≠æv .

Cette équation vectorielle est équivalente au système d’équations paramétriques de ladroite : si ≠æv = (a, b, c) alors Y

_]

_[

x = at,y = bt,z = ct,

avec t œ R.

Exemple.(1) Trouver les équations paramétriques de la droite à partir des équations car-

tésiennes. Soit la droite D d’équationsI

x + y + z = 02x ≠ y ≠ z = 0

La deuxième équation donne z = 2x ≠ y et reportant ceci dans le première équation, onobtient

x + y + 2x ≠ y = 3x = 0D’où x = 0, z = ≠y. Tout point de la droite a pour coordonnées (0, y, ≠y). Considéronsle vecteur V = (0, 1, ≠1). On a bien pour tout M œ D

≠≠æOM = tV = t(0, 1, ≠1), t œ R.

On en déduit les équations paramétriques de la droiteY_]

_[

x = 0,y = t,z = ≠t.

Elisabeth Remm 21

(2) Trouver les équations cartésiennes de la doite à partir des équations paramé-triques. Considérons la droite D donnée par les équations paramétriques

Y_]

_[

x = ≠t,y = 2t,z = ≠3t.

On élimine t entre la première et deuxième équation, soity = ≠2x.

On élimine t entre la première et troisième équation soitz = 3x.

Les équations cartésiennes sont doncI

2x + y = 0,3x ≠ z = 0.

Exercices corrigés. 1.Trouver les équations paramétriques du plan à partir del’équation cartésienne Soit le plan P d’équation

2x + 3y ≠ z = 0.

Cherchons une base de ce plan. On az = 2x + 3y

et si M = (x, y, z) est un point du plan, alors ses coordonnées sont(x, y, 2x + 3y).

On en déduit(x, y, 2x + 3y) = x(1, 0, 2) + y(0, 1, 3).

Les vecteurs ≠æV1 = (1, 0, 2), ≠æ

V2 = (0, 1, 3)forment une base de P car ils sont non colinéaires générateurs (tout point se décompose surces deux vecteurs). Cherchons les équations paramétriques. Si M = (x, y, z) œ P, alors

(x, y, z) = x(1, 0, 2) + y(0, 1, 3).Les équations paramétriques sont donc

Y_]

_[

x = t1y = t2z = 2t1 + 3t2

2. Trouver les équations paramétriques de la droite à partir des équations carté-siennes. Soit la droite D d’équations

Ix + y + z = 02x ≠ y ≠ z = 0

La deuxième équation donne z = 2x≠y et reportant ceci dans le première équation, on obtientx + y + 2x ≠ y = 3x = 0


D’où x = 0, z = ≠y. Tout point de la droite a pour coordonnées (0, y, ≠y). Considérons levecteur V = (0, 1, ≠1). On a bien pour tout M œ D

≠≠æOM = tV = t(0, 1, ≠1), t œ R.

On en déduit les équations paramétriques de la droiteY_]

_[

x = 0,y = t,z = ≠t.

5.3. Projection orthogonale dans le plan. Soit D une droite vectorielle du plan R2. Si≠æv1 = (a, b) en est une base, l’équation linéaire définissant cette droite s’obtient en écrivant quetout vecteur ≠æ

X de D est colinéaire à ≠æv1 : ≠æX = ⁄≠æv1 soit (x1, x2) = ⁄(a, b). Ainsi, nous avons

"les équations paramétriques" de D :I

x1 = ⁄ax2 = ⁄b

L’équation linéaire s’obtient en éliminant le paramètre ⁄ entre ces deux équations : Supposonsa ”= 0. Alors ⁄ = x1a

≠1 d’où x2 = x1a≠1b et donc

a≠1bx1 ≠ x2 = 0ou bien, après multiplication par a

bx1 ≠ ax2 = 0.

Cette équation cartésienne de D s’interprète donc en disant que tout vecteur ≠æX = (x1, x2) de

D est orthogonal au vecteur ≠æv2 = (b, ≠a) qui est une base de D€. Si a = 0, alors l’équation deD se résume à x1 = 0. Revenons au cas a ”= 0. Ceci étant, d’après le calcul que nous venons defaire, l’équation cartésienne de la droite D‹ orthogonale à la droite D est

ax1 + bx2 = 0.

Une base est donnée par le vecteur ≠æv2 = (b, ≠a). Soit ≠æX œ R2. Déterminons le projeté ortho-

gonal de ≠æX sur D. Pour cela nous devons calculer les composantes xÕ

1, xÕ2 de ≠æ

X relative à labase {≠æv1 , ≠æv2}.

≠æX = xÕ

1≠æv1 + xÕ

2≠æv2 = (axÕ

1 + bxÕ2)≠æe1 + (bxÕ

1 ≠ axÕ2)≠æe2 = x1

≠æe1 + x2≠æe2 .

Ainsi Ix1 = axÕ

1 + bxÕ2

x2 = bxÕ1 ≠ axÕ

2

ce qui implique Y__]

__[

xÕ1 = a

a2 + b2 x1 + b

a2 + b2 x2

xÕ2 = b

a2 + b2 x1 ≠ a

a2 + b2 x2.

Nous en déduisons que le projeté orthogonal de ≠æX sur D, qui est le vecteur xÕ

1≠æv1 , a pour

composante dans la base canonique

pD(x1, x2) = ( a

a2 + b2 x1 + b

a2 + b2 x2)(a, b).

Elisabeth Remm 23

5.4. Plans et droites a�nes dans R3. Géométriquement un plan a�ne est un plan nepassant pas par O. Il est donc parallèle à un plan vectoriel. L’équation cartésienne d’un plana�ne est du type

ax + by + cz + d = 0.

Si d ”= 0, ce plan ne passe pas par O et donc n’est pas vectoriel. Ce plan est parallèle au planvectoriel P0 d’équation

ax + by + cz = 0.

Nous avons vu comment trouver une base {≠æV1,

≠æV2} de ce plan vectoriel. Si A est un point de

P , tout point M de P vérifie ≠≠æAM = t1

≠æV1 + t2

≠æV2.

Ceci nous donne les équations paramétriques du plan a�ne.Pour déterminer soit l’équation cartésienne, soit les équations paramétriques, nous pouvons(1) Soit donner trois points A, B, C de ce plan. On détermine l’équation cartésienne en écri-

vant que chacun de ces points vérifie l’équation cartésienne et résoudre le système linéairequi s’en déduit.Exemple. Trouver l’équation cartésienne du plan a�ne passant par les points A =(1, 1, 0), B = (0, 1, 1), C = (≠1, 0, 2). Soit

ax + by + cz + d = 0une équation cartésienne. Comme A, B, C sont dans ce plan, nous avons

Y_]

_[

a + b + d = 0b + c + d = 0≠a + 2c + d = 0

Résolvons ce système. La première équation donne a = ≠b ≠ d, la deuxième c = ≠b ≠ dd’où a = c et c = ≠d. D’où a = c = ≠d, b = 0 et une équation du plan est ax+az ≠a = 0et en divisant par a, une équation cartésienne est

x + z ≠ 1 = 0.

(2) Soit en donnant un repère (A,≠æV1,

≠æV2) et en écrivant que tout point M de ce plan est tel

que ≠≠æAM = t1

≠æV1 + t2

≠æV2.

Le passage d’une présentation à l’autre se fait comme dans le cas vectoriel. Par exemple,comme nous l’avons vu dans le cas des plans vectoriels, nous pouvons trouver une équationcatésienne en écrivant que la famille des trois vecteurs ≠≠æ

AM,≠æAB,

≠æAC est liée ce qui est équivalent

à dire que le déterminant de la matrice de ces trois vecteurs est nul. On a ≠≠æAM = x≠1, y, z +1),

≠æAB = (≠1, 0, 1), ≠æ

AC = (≠2, ≠1, 2). Cette matrice, dans cet exemple, est donc

M =

Q

cax ≠ 1 ≠1 ≠2

y 0 ≠1z + 1 1 2

R

db

Exemple. Trouver les équations paramétriques du plan a�ne passant par les points A =(1, 1, 0), B = (0, 1, 1), C = (≠1, 0, 2). Soit ≠æ

V1 = ≠æAB et ≠æ

V2 = ≠æAC :

≠æV1 = (≠1, 0, 1), ≠æ

V2 = (≠2, ≠1, 2).


L’équation vectorielle ≠≠æAM = t1

≠æV1 + t2

≠æV2 donne

(x ≠ 1, y ≠ 1, z) = t1(≠1, 0, 1) + t2(≠2, ≠1, 2)c’est-à-dire Y

_]

_[

x = 1 ≠ t1 ≠ 2t2,y = 1 ≠ t2,z = t1 + 2t2.

Géométriquement une droite a�ne dans R3 est une droite ne passant pas par O. Elle estparallèle, c’est-à-dire coplanaire et sans point d’intersection, à une droite vectorielle. Elle peutêtre définie

(1) Soit par un système d’équations catésiennesI

a1x + b1y + c1z + d1 = 0a2x + b2y + c2z + d2 = 0

représentant l’intersection de deux plans a�nes. Le premier plan a pour vecteur directeur(qui est orthogonal au plan) le vecteur ≠æv1 = (a1, b1, c1) et le deuxième plan a pour vecteurdirecteur ≠æv2 = (a2, b2, c2). Le système d’équations définit bien une droite si et seulementsi ces deux vecteurs sont linéairement indépendants ce qui est équivalent à

≠æv1 · ≠æv2 ”= ≠æ0 .

La droite vectorielle parallèle à cette droite a�ne a donc comme équations cartésiennes :‘I

a1x + b1y + c1z = 0a2x + b2y + c2z = 0

(2) Soit par un système d’équations paramétriques. Un tel système est défini par la donnéed’un vecteur directeur ≠æv de la droite (qui est porté par la droite), par un point A surcette droite et par l’équation vectorielle

≠≠æAM = t≠æv .

Notons, par exemple, que si la droite est définie par le système de coordonnées carté-siennes, alors nous pouvons choisir pour vecteur directeur de la droite le vecteur

≠æv = ≠æv1 · ≠æv2 .

6. Comment calculer le déterminant en utilisant le langage PYTHON.

Rappelons que PYTHON est un langage de programmation (gratuit) très souvent étudié aulycée pour s’initier à la programmation. On suppose donc les rudiments connus. Plaçons nousdans l’éditeur IDLE fournit avec le logiciel PYTHON. Tout d’abord il faut appeler le moduleNUMPY qui est une librairie permettant de faire du calcul matriciel (nous verrons cela plustard) et en utilisant la fonction "det" de calculer le déterminant de la matrice. Voici commentécrire en premier lieu la matrice carrée 3 lignes et 3 colonnes :

Q

ca1 2 33 4 55 6 7

R

db

> > > import numpy as np> > > x = np.array([1, 2, 3], [3, 4, 5], [5, 6,7])

Elisabeth Remm 25

> > > xarray([1, 2, 3],[3, 4, 5], [5, 6,7])

Pour calculer le déterminant, on rajoute la commande> > > np.linalg.det(a)

Voici un exemple :> > >a = np.array(([-2,2,-3],[-1,1,3],[2,0,-1]))> > > aarray([[-2, 2, -3], [-1, 1, 3],[ 2, 0, -1]])> > > np.linalg.det(a)17.999999999999996

Je laisse aux lecteurs le plaisir d’avoir un résultat en entier.

On peut également calculer le produit scalaire et vectoriel de vecteur dans R3. Dans ce cas lesvecteurs sont considérés comme des matrices d’une seule ligne. Pour calculer le produit scalaireon utile la fonction vdot et pour le produit vectoriel la fonction cross. Voici un exemple :

> > >u = np.array([-2,2,-3])> > > v = np.array([1,1,2])> > > np.vdot(u , v)-6

medskip> > >u = np.array([-2,2,-3])> > > v = np.array([1,1,2])> > > np.cross(u , v)array([7, -1, -4])

Géométrie vectorielle du plan et de l’espace. Produit ...

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