1717Chapitre

GÉOMÉTRIE VECTORIELLEGÉOMÉTRIE VECTORIELLE

Rien n'est plus facile à apprendre

que la géométrie pour peu qu'on en

ait besoin.

Sacha Guitry

1 VECTEURS DE L’ESPACE

1.1 Notion de vecteurs

Soient A et B deux points distincts de l'espace.Le vecteur

−−→AB de l'espace est dé�ni par :

� une direction, celle de la droite (AB),� un sens, celui de A vers B,

� une norme, la longueur AB. On note∥∥∥−−→AB∥∥∥ = AB.

Le vecteur−→AA est appelé le vecteur nul et on note

−→AA =

−→0 .

A

B

Dé�nition 1 (Vecteur).

Deux vecteurs non nuls sont égaux lorsqu'ils ont lamême direction, le même sens et la même norme.On note alors

−−→AB =

−−→CD = −→u et on dit que

−−→AB et−−→

CD sont deux représentants du vecteur −→u .

−→u

A

B

C

D

Propriété 2.

LYCÉE BLAISE PASCAL

1S.DELOBEL

M.LUITAUD

2 Chapitre 17. Géométrie vectorielle

Les propriétés vues pour les vecteurs dans le plan (addition, multiplication par un réel,relation de Chasles...) restent valables pour les vecteurs de l'espace.

Propriété 3.

1.2 Vecteurs colinéaires

� Deux vecteurs non nuls, −→u et −→v sont colinéaireslorsqu'il existe un réel t tel que −→u = t−→v .

� Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.

−→u−→v

Dé�nition 4 (Vecteurs colinéaires).

� Deux vecteurs colinéaires ont la même direction.� Si −→u = t−→v avec t > 0 alors les vecteurs −→u et −→v sont colinéaires de même sens.� Si −→u = t−→v avec t < 0 alors les vecteurs −→u et −→v sont colinéaires de sens contraire.

Exercice 1On considère un cube ABCDEFGH. Les points marqués sur lesarêtes du cube sont les milieux de celles-ci. O est le centre de la faceABCD.Compléter les égalités suivantes avec les points de la �gure.

1.−−−→D . . . =

1

2

−−→DC +

−→AE −

−−→AD

2.−−→A . . . =

1

2

−−→AD +

−−→AB +

−→AE

3.−−−→K . . . =

−−→GF − 1

2

−−→DC +

−−→BN

4.−−−→B . . . =

−−→AD − 1

2

−−→AB +

−−→CG

5.−−−→. . . H =

1

2

−−→CD +

−→AE +

1

2

−−→BC

6.−−−→. . . B = 2

−→LO +

1

2

−−→HE −

−→AE

Exercice 2On considère un tétraèdre ABCD. On appelle I, J , K et L les points dé�nis respectivementpar :

−→AI =

2

3

−−→AB ;

−→BJ =

1

3

−−→BC ;

−−→CK =

2

3

−−→CD ;

−→DL =

1

3

−−→DA

1. Placer I, J , K et L sur la �gure ci-contre.

2. a. Exprimer−→IJ et

−−→KL en fonction de

−→AC.

b. En déduire que les points I, J , K et L sont coplanaires.

3. Démontrer que la droite (BD) est parallèle au plan (IJKL).

Cours de Terminale S 3

Exercice 3

Soient le cube ABCDEFGH et J le centre de la face DCGH.

Soient P et Q dé�nis par−−→EP =

1

3

−−→EH et

−→AQ =

1

3

−→AC.

Soient I et K les milieux respectifs de [AE] et de [PQ].

1. Compléter la �gure ci-contre.

2. Exprimer−→IJ puis

−→IK en fonction des vecteurs

−−→AB,

−−→AD et

−→AE.

3. En déduire que les points I, J et K sont alignés.

2 CARACTÉRISATION D’UN PLAN - VECTEURS COPLANAIRES

2.1 Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires

Soient A un point, −→u et −→v deux vecteurs noncolinéaires.L'ensemble des points M de l'espace tels que−−→AM = x−→u + y−→v avec x ∈ R et y ∈ R est leplan passant par A et de vecteurs directeurs−→u et −→v .

Théorème 5.

� On dit que−−→AM est une combinaison linéaire de −→u et −→v .

� Le triplet (A;−→u ,−→v ) est un repère de ce plan.� Un plan est totalement déterminé par un point et deux vecteurs non colinéaires.

Soit P le plan passant par A et de vecteur directeur −→u et −→v .� (A;−→u ,−→v ) est donc un repère de P .

Si M est un point du plan P alors il a des coordonnées dans le repère (A;−→u ,−→v ). Notons M(x; y).

Par dé�nition des coordonnées de M , on a alors−−→AM = x−→u + y−→v .

� Réciproquement, soit M est un point de l'espace tel que−−→AM = x−→u + y−→v .

Soit le point N du plan P de coordonnées (x; y) dans le repère (A;−→u ,−→v ). Par dé�nition des coordonnées,

on a−−→AN = x−→u + y−→v . D'où

−−→AM =

−−→AN .

Il s'en suit que M = N et donc que M appartient au plan P .

Preuve

Soient A et A′ deux points de l'espace et soient−→u et −→v deux vecteurs non colinéaires.Le plan P passant par A et de vecteurs direc-teurs −→u et −→v et le plan P ′ passant par A′ etde vecteurs directeurs −→u et −→v sont parallèles.

Propriété 6.

4 Chapitre 17. Géométrie vectorielle

Indication : Soient d1 la droite passant par A et de vecteur directeur −→u , d2 la droite passant par A et devecteur directeur −→v , d′1 la droite passant par A′ et de vecteur directeur −→u et d′2 la droite passant par A′ etde vecteur directeur −→v .Utiliser un théorème du cours � Droites et plans de l'espace �.

Preuve

Exercice 4

On considère un tétraèdre ABCD et les points E et F dé�nis par :

−−→BE =

−−→BA+

−−→BC +

1

2

−−→CD et

−−→DF =

−−→DB +

−−→DA+

1

2

−−→BC

1. Démontrer que les points A, E et F ne sont pas alignés.

2. a. i. Exprimer−→AE comme combinaison linéaire des vecteurs

−−→BC et

−−→CD.

ii. En déduire que−→AE est un vecteur directeur du plan (BCD).

b. Prouver de la même manière que−→AF est aussi un vecteur directeur du plan (BCD).

c. Démontrer que les plans (BCD) et (AEF ) sont parallèles.

Si deux plans ne sont pas dé�nis à partir du même couple devecteurs directeurs, on ne peut pas en déduire qu'ils ne sontpas parallèles.

Exercice 5 Démonstration du théorème du toit

Soient deux droites d et d′ parallèles. Soient Pun plan contenant d et P ′ un plan contenantd′. Si P et P ′ sont sécants en ∆ alors la droite∆ est parallèle à d et à d′.

Théorème (du toit).

1. Justi�er que si d et d′ sont confondues alors d = d′ = ∆.

2. On suppose que d et d′ ne sont pas confondues.Soit A un point de d et −→u un vecteur directeur de d.Soit −→v un vecteur directeur de ∆.

a. En supposant que les vecteurs −→u et −→v ne sont pas colinéaires, justi�er que P est le plan passantpar A et de vecteurs directeurs −→u et −→v .

b. En déduire que P et P ′ sont parallèles.

c. En conclure que −→u et −→v sont colinéaires.

d. Terminer la démonstration.

Preuve

Cours de Terminale S 5

2.2 Vecteurs coplanaires

Dire que trois vecteurs −→u , −→v et −→w sont copla-naires signi�e que pour un point O quelconquede l'espace, les points O, A, B et C tels que−→OA = −→u ,

−−→OB = −→v et

−−→OC = −→w sont dans un

même plan.

Dé�nition 7 (Vecteurs coplanaires).

Trois vecteurs −→u , −→v et −→w sont coplanaires s'ils possèdent des représentants appartenant àun même plan.

Exercice 6On considère un cube ABCDEFGH.

Questions Réponses

1. Les vecteurs−−→AB,

−−→AD et

−→AE sont-ils

coplanaires ?

� V

� F

2. Les vecteurs−−→AB,

−−→AD et

−→AC sont-ils

coplanaires ?

� V

� F

3. Les vecteurs−−→AB,

−−→AD et

−−→FH sont-ils

coplanaires ?

� V

� F

4. Les vecteurs−−→FD,

−→AG et

−−→EH sont-ils

coplanaires ?

� V

� F

Soient −→u , −→v et −→w trois vecteurs tels que −→u et −→v ne sont pas colinéaires.−→u , −→v et −→w sont coplanaires si et seulement si, il existe deux réels a et b tels que :

−→w = a−→u + b−→v

Théorème 8.

Soit O un point quelconque de l'espace.

Soient A, B et C les points dé�nis par−→OA = −→u ,

−−→OB = −→v et

−−→OC = −→w .

D'après la dé�nition 7, −→u , −→v et −→w sont coplanaires si et seulement si O, A, B et C sont coplanaires ce quirevient à C appartient au plan (OAB).D'après le théorème 5, C appartient à (OAB) si et seulement si il existe deux réels a et b tels que :−−→OC = a

−→OA + b

−−→OB c'est-à-dire −→w = a−→u + b−→v .

Preuve

6 Chapitre 17. Géométrie vectorielle

Si −→u , −→v et −→w sont coplanaires alors on dit que (−→u ; −→v ; −→w ) est une famille de vecteursliés ou dépendants. Sinon on dit que la famille de vecteurs est libre.

Exercice 7

Soit ABCDEFGH un cube. I et J sont les milieux respectifs de[EB] et [FG].

1. Démontrer que 2−→IJ =

−−→EF +

−−→BG.

2. Que peut-on en déduire ?

Exercice 8ABCD un tétraèdre. Les points P , Q, R et S sont dé�nis par :

−→AP =

2

5

−−→AB ;

−−→BQ = −3

−−→BC ;

−→CR =

5

3

−−→CD ;

−→DS =

4

9

−−→DA

1. Exprimer−−→PQ,

−→PR et

−→PS en fonction de

−−→AB,

−→AC et

−−→AD.

2. Prouver que−−→PQ,

−→PR et

−→PS sont coplanaires.

3 REPÉRAGE DANS L’ESPACE

3.1 Décomposition d’un vecteur dans une base

Soient−→i ,−→j et

−→k trois vecteurs non coplanaires. Pour tout vecteur −→u , il existe un

unique triplet (x; y; z) de réels tel que :

−→u = x−→i + y

−→j + z

−→k

Théorème 9 (Caractérisation).

Cours de Terminale S 7

� Pour l'existence :

Soit−→AB un représentant de −→u . Soit P le plan de repère

(A;−→i ,−→j).

Si B appartient à P alors, d'après le théorème 5,−→AB se décompose suivant les vecteurs

−→i et

−→j .

En revanche, si B n'appartient pas P , on dé�nit la droite d passant par B et de vecteur directeur−→k .

Terminer la démonstration.� Pour l'unicité : Faire un raisonnement par l'absurde.

Preuve

On dit que(−→i ,−→j ,−→k)forme une base de l'espace et on dit que, dans cette base, le

vecteur −→u a pour coordonnées le triplet (x ; y ; z).

On notera −→u

xyz

.

Dé�nition 10 (Coordonnées d'un vecteur).

� Lorsque trois vecteurs forment une base (c'est-à-dire s'ils ne sont pas coplanaires), onpeut écrire tout vecteur de l'espace comme combinaison linéaire de ces trois vecteurs.Voilà pourquoi on dit que, dans l'espace, on travaille en trois dimensions.

� Dans l'espace une famille de quatre vecteurs est forcément liée.

3.2 Repérage et coordonnées

Choisir un repère de l'espace, c'est se donner un point O (origine du repère) et un triplet(−→i ,−→j ,−→k)de vecteurs non coplanaires (base du repère). On note

(O;−→i ,−→j ,−→k)le

repère.

Dé�nition 11 (Repère de l'espace).

� Lorsque les vecteurs−→i ,−→j et

−→k sont orthogonaux deux à deux, on dit que le repère est

orthogonal.� Lorsque les vecteurs

−→i ,−→j et

−→k sont orthogonaux deux à deux et ont pour norme 1, on

8 Chapitre 17. Géométrie vectorielle

dit que le repère est orthonormé.

Soit(O;−→i ,−→j ,−→k)un repère de l'espace.

Pour tout point M de l'espace, il existe un uniquetriplet (x ; y ; z) de réels tel que :

−−→OM = x

−→i + y

−→j + z

−→k

Théorème 12.

Indication : Utiliser le théorème 9.

Preuve

(x ; y ; z) sont les coordonnées de M dans le repère(O;−→i ,−→j ,−→k).

x est l'abscisse de M , y l'ordonnée de M et z la cote de M .

Dé�nition 13 (Coordonnées d'un point).

Tous les résultats de géométrie plane s'étendent à l'espace par l'adjonction d'une troisième co-ordonnée.

Dans un repère(O;−→i ,−→j ,−→k):

1. Si −→u et −→v ont pour coordonnées respectives

xyz

et

x′

y′

z′

, alors :

� pour tout réel k, k−→u a pour coordonnées

kxkykz

.

� le vecteur −→u +−→v a pour coordonnées

x+ x′

y + y′

z + z′

.

� les vecteurs −→u et −→v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont

proportionnelles c'est-à-dire

x′ = kx

y′ = ky

z′ = kz

ou

x = kx′

y = ky′

z = kz′avec k ∈ R.

2. Si A et B ont pour coordonnées (xA ; yA ; zA) et (xB ; yB ; zB), alors :

� le vecteur−−→AB a pour coordonnées

xB − xAyB − yAzB − zA

.

� Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées(xA + xB

2;yA + yB

2;zA + zB

2

).

Propriété 14.

Cours de Terminale S 9

Dans un repère(O;−→i ,−→j ,−→k)orthonormé :

‖−→u ‖ =√x2 + y2 + z2

AB =∥∥∥−−→AB∥∥∥ =

√(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2

Propriété 15.

Exercice 9On considère A (−1 ; 3 ; −5), B (−7 ; 7 ; −7) et C (2 ; 1 ; −4).Les points A, B et M sont-ils alignés ? Justi�er.

Exercice 10On donne les points A

(1 ; 1 ;

√2)et B

(√2 ; −

√2 ; 0

).

1. Déterminer les coordonnées de C symétrique de A par rapport à O.

2. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justi�er.

Exercice 11On considère un tétraèdre ABCD avec A (1 ; 2 ; 3), B (4 ; −5 ; 6), C (0 ; 0 ; 3) et D (7 ; 8 ; −9).On note I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD].

1. Déterminer les coordonnées de E et F tels que IACE et IBDF soient des parallélo-grammes.

2. Montrer que J est le milieu de [EF ].

Exercice 12On considère A (−4 ; 5 ; −1), B (−1 ; 5 ; −4), C (−2 ; 12 ; 4) et D (4 ; 12 ; −2).Démontrer que les points A, B, C et D sont coplanaires.

3.3 Représentations paramétriques d’une droite

Dans toute la suite,(O;−→i ,−→j ,−→k)désigne un repère de l'espace.

La droite d passant par A (xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur −→u

αβγ

est l'ensemble

des points M (x ; y ; z) tels que :

x = xA + αt

y = yA + βt t ∈ Rz = zA + γt

.

Théorème 16.

À faire.

Preuve

10 Chapitre 17. Géométrie vectorielle

Le système

x = xA + αt

y = yA + βt (t ∈ R)

z = zA + γt

est appelé représentation paramétrique de la

droite d. t est appelé le paramètre de d.

Dé�nition 17.

Une droite possède une in�nité de représentations paramétriques.

Exercice 13

Soit d la droite de représentation paramétrique

x = 2 + 3t

y = 4− t t ∈ R.z = 2t− 1

1. Donner les coordonnées d'un point et d'un vecteur directeur de d.

2. Les points B (−2 ; 6 ; −5) et C (−1 ; 5 ; −3) appartiennent-ils à d ? Justi�er.

3. Déterminer les coordonnées du point E de d de paramètre 2.

Exercice 14

L'algorithme ci-dessous teste l'appartenance d'un point à une droite dé�nie par un point et unvecteur directeur (dont aucune des coordonnées n'est nulle).Compléter cet algorithme dont certaines parties ont été e�acées.

1 VARIABLES

2 A EST_DU_TYPE LISTE

3 u EST_DU_TYPE LISTE

4 M EST_DU_TYPE LISTE

5 t EST_DU_TYPE NOMBRE

6 DEBUT_ALGORITHME

7 AFFICHER "Coordonnées du point A :"

8 LIRE A[1]

9 LIRE A[2]

10 LIRE A[3]

11 AFFICHER "Coordonnées du vecteur u :"

12 LIRE u[1]

13 LIRE u[2]

14 LIRE u[3]

15 AFFICHER "Coordonnées du point M :"

16 LIRE M[1]

17 LIRE M[2]

18 LIRE M[3]

19 SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ALORS

20 DEBUT_SI

21 AFFICHER "M appartient à la droite passant par A et de vecteur directeur u."

22 AFFICHER "C'est le point de paramètre "

23 t PREND_LA_VALEUR . . . . . . . . . . .

24 AFFICHER t

25 FIN_SI

26 SINON

27 DEBUT_SINON

28 AFFICHER "M n'appartient pas à la droite passant par A et de vecteur directeur u."

29 FIN_SINON

30 FIN_ALGORITHME

Algorithme

Cours de Terminale S 11

Exercice 15Soient M et N les points de coordonnées respectives (−1 ; 2 ; 0) et (2 ; −1 ; 3).

1. Déterminer un système d'équation paramétrique de la droite (MN).

2. Soit P le point de coordonnées (−2 ; 3 ; −1).Les points M , N et P sont-ils alignés ? Justi�er.

3. Le système

x = 8 + k

y = −7− k k ∈ Rz = 9 + k

est-il une représentation paramétrique de la droite

(MN) ? Justi�er.

Exercice 16 Prise d'initiative

Soit d la droite de représentation paramétrique

x = 2t− 1

y = 6− 2t (t ∈ R)

z = −2− tet A (2 ; 5 ; −3).

Déterminer la distance de A à d.

Pour étudier la position relative de deux droites d et d′ dé�nies par leurs représentations

paramétriques

x = xA + αt

y = yA + βt t ∈ Rz = zA + γt

et

x = xA′ + α′k

y = yA′ + β′k k ∈ Rz = zA′ + γ′k

Étape 1 : On donne les vecteurs directeurs −→u et−→u′ respectivement des droites d et d′.

S'ils sont colinéaires alors d et d′ sont parallèles. Sinon...Étape 2 : On résout le système formé par les deux systèmes paramétriques de d et d′

ci-dessous (En fait on cherche l'éventuelle intersection de d et de d.) :xA + αt = xA′ + α′k

yA + βt = yA′ + β′k

zA + γt = zA′ + γ′k

Ce système est un système de trois équations à deux inconnues. Deux équations per-mettent de déterminer t et k.Puis on remplace t et k dans la dernière équation, si elle n'est pas véri�ée, les droitesd et d' n'ont pas de point d'intersection, elles sont donc non coplanaires. Sinon d et d′

sont sécantes en le point de paramètre t trouvé de d ou le point de paramètre k de d′.

Méthode 18.

Le paramètre n'a pas nécessairement la même valeur pour les deux droites ; il faut doncveiller à le nommer di�éremment (par exemple t et k, ou t et t′, ...).

12 Chapitre 17. Géométrie vectorielle

Exercice 17Étudier la position relative des droites d et d′ dans chacun des cas suivants :

1. d et d′ ont respectivement pour représentations paramétriques les systèmes suivants :x = 1 + 4t

y = 2 + 4t t ∈ Rz = 1− 6t

et

x = 15 + k

y = 8− k k ∈ Rz = −6 + 2k

2. d et d′ ont respectivement pour représentations paramétriques les systèmes suivants :x = 2t

y = 3 + t t ∈ Rz = −2 + 3t

et

x = 1 + 4k

y = −1 + k k ∈ Rz = 2− k

3.4 Représentations paramétriques d’un plan

Le plan P passant par A (xA ; yA ; zA) et de vecteurs directeurs

−→u

αβγ

et −→v

α′

β′

γ′

est l'ensemble des points M (x ; y ; z) tels

que :

x = xA + αt+ α′k

y = yA + βt+ β′k t ∈ R et k ∈ Rz = zA + γt+ γ′k

.

Théorème 19.

Utiliser le théorème 5.

Preuve

Le système

x = xA + αt+ α′k

y = yA + βt+ β′k (t ∈ R et k ∈ R)

z = zA + γt+ γ′k

est appelé représentation para-

métrique du plan P . t et k sont les deux paramètres.

Dé�nition 20.

Un plan possède une in�nité de représentations paramétriques.

Exercice 18

Soit P le plan passant par A (1 ; 1 ; −2) et de vecteurs directeurs −→u

011

et −→v

206

.

1. Écrire un système d'équation paramétrique de P .

2. Le point E (3 ; 1 ; 4) appartient-il à P ? Justi�er.

3. Déterminer la cote du point L de P tel que xL = yL = 0.