Représentation paramétrique d’une droite Géométrie ... · Représentation paramétrique...

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Représentation paramétrique d’une droite Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 1 Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour y accéder directement) Exercice 1 : représentation paramétrique d’une droite connaissant un point et un vecteur directeur Exercice 2 : représentation paramétrique d’une droite connaissant deux points Exercice 3 : représentation paramétrique d’une droite passant par un point et parallèle à une droite Exercice 4 : représentation paramétrique d’une droite passant par un point et orthogonale à un plan Exercice 5 : utilisation de la représentation paramétrique d’une droite Exercice 6 : représentation paramétrique d’une droite et projection orthogonale Exercice 7 : intersection de droites (= position relative de deux droites) Exercice 8 : intersection de droites suivant un paramètre (= position relative de deux droites) Exercice 9 : intersection de droite et de plan (= position relative d’une droite et d’un plan) Exercice 10 : intersection de droite et de sphère Exercice 11 : droites coplanaires et détermination d’une équation cartésienne de plan Exercice 12 : représentation paramétrique d’un segment et d’une demi-droite Exercice 13 : intersection de deux plans et représentation paramétrique de la droite d’intersection Accès direct au site www.sos-devoirs-corriges.com Représentation paramétrique d’une droite Géométrie Exercices corrigés

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Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés

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1

Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour y accéder directement)

Exercice 1 : représentation paramétrique d’une droite connaissant un point et un vecteur directeur

Exercice 2 : représentation paramétrique d’une droite connaissant deux points

Exercice 3 : représentation paramétrique d’une droite passant par un point et parallèle à une droite

Exercice 4 : représentation paramétrique d’une droite passant par un point et orthogonale à un plan

Exercice 5 : utilisation de la représentation paramétrique d’une droite

Exercice 6 : représentation paramétrique d’une droite et projection orthogonale

Exercice 7 : intersection de droites (= position relative de deux droites)

Exercice 8 : intersection de droites suivant un paramètre (= position relative de deux droites)

Exercice 9 : intersection de droite et de plan (= position relative d’une droite et d’un plan)

Exercice 10 : intersection de droite et de sphère

Exercice 11 : droites coplanaires et détermination d’une équation cartésienne de plan

Exercice 12 : représentation paramétrique d’un segment et d’une demi-droite

Exercice 13 : intersection de deux plans et représentation paramétrique de la droite d’intersection

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Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie

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2

On munit l’espace d’un repère ( ). La droite ( ) passe par le point ( ) et admet (

) comme

vecteur directeur. Donner une représentation paramétrique de ( ).

La droite ( ) passe par le point ( ) et admet ( ) comme vecteur directeur.

( ) ( ) et colinéaires ⏟

tel que tel que {

tel que {

tel que {

Une représentation paramétrique de la droite ( ) est {

( ).

Remarque : On pouvait directement appliquer le résultat du cours ci-dessous.

Rappel : Représentation paramétrique d’une droite

On munit l’espace d’un repère ( ). Soit ( ) la droite passant par le point ( ) et admettant

le vecteur (

) pour vecteur directeur. Dire qu’un point ( ) appartient à ( ) équivaut à dire qu’il

existe un réel vérifiant le système d’équations paramétriques de paramètre suivant : {

Exercice 1 (1 question) Niveau : facile

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3

On munit l’espace d’un repère ( ). Donner une représentation paramétrique de la droite passant par les

points ( ) et ( ).

Soient les points ( ) et ( ). Alors le vecteur a pour coordonnées (

), c’est-à-dire

(

).

La droite ( ) passe par le point ( ) et admet (

) pour vecteur directeur donc une

représentation paramétrique de la droite ( ) est {

, c’est-à-dire {

( ) où .

Finalement, une représentation paramétrique de la droite ( ) est {

( ).

Remarque importante : Une représentation paramétrique de droite est obtenue à partir du choix d’un point et

d’un vecteur directeur. C’est pourquoi il n’y a pas unicité de la représentation paramétrique d’une droite. En

l’occurrence, {

( ), c’est-à-dire {

( ) est une autre représentation

paramétrique de la droite ( ).

Exercice 2 (1 question) Niveau : facile

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4

On munit l’espace d’un repère ( ). Donner une représentation paramétrique de la droite ( ) passant

par le point ( ) et parallèle à la droite passant par les points ( ) et ( ).

Rappel : Parallélisme et colinéarité

On munit l’espace d’un repère ( ). Soient ( ) et ( ) deux droites de vecteurs directeurs respectifs

et . Ces droites sont parallèles (c’est-à-dire strictement parallèles ou confondues) si et seulement si et sont

colinéaires.

Les droites ( ) et ( ) étant parallèles, un vecteur directeur de la droite ( ) est le vecteur . Or, a pour

coordonnées (

), c’est-à-dire (

).

( ) passe par le point ( ) et admet (

) pour vecteur directeur donc une représentation

paramétrique de ( ) est {

( )

( ), c’est-à-dire {

( ).

Exercice 3 (1 question) Niveau : facile

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5

On munit l’espace d’un repère ( ). Donner une représentation paramétrique de la droite ( ) passant

par le point ( ) et orthogonale au plan d’équation .

Rappel : Vecteur normal à un plan

Dire qu’un vecteur non nul est normal à un plan signifie que toute droite de vecteur directeur est

orthogonale à ce plan.

L’ensemble des points ( ) de l’espace qui vérifient l’équation cartésienne (où

, , désignent des réels non tous nuls et un réel) est un plan de vecteur normal ( ).

Réciproquement, si un plan a pour vecteur normal ( ), alors ce plan a une équation cartésienne de la forme

(où , , désignent des réels non tous nuls et un réel).

( ) est une droite orthogonale au plan d’équation , donc ( ) admet pour vecteur

directeur un vecteur normal à ce plan.

Or, un vecteur normal au plan d’équation ( ) est le vecteur (

).

( ) passe par le point ( ) et admet (

) pour vecteur directeur donc une représentation

paramétrique de ( ) est {

( )

( ), c’est-à-dire {

( ).

Exercice 4 (1 question) Niveau : facile

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6

On munit l’espace d’un repère ( ).

Soit la droite ( ) dont une représentation paramétrique est {

( ).

1) Donner les coordonnées de trois points appartenant à ( ).

2) Préciser les coordonnées du point de ( ) ayant pour abscisse.

3) Préciser les coordonnées du point de ( ) ayant pour ordonnée.

4) Préciser les coordonnées du point de ( ) ayant pour cote.

5) Le point de coordonnées ( ) appartient-il à ( ) ?

6) Donner un vecteur directeur de ( ).

7) Donner le vecteur directeur de ( ) de cote .

Soit la droite ( ) dont une représentation paramétrique est {

( ).

1) Donnons les coordonnées de trois points appartenant à ( ).

Rappel : Représentation paramétrique de droite et critère d’appartenance

Une représentation paramétrique d’une droite ( ) n’est pas un système à résoudre mais un critère

d’appartenance d’un point à ( ). Pour obtenir un point de ( ), il suffit d’affecter une valeur au paramètre de la

représentation paramétrique de ( ).

Pour chaque valeur réelle de , on obtient un point de ( ). Prenons donc arbitrairement 3 valeurs de distinctes.

Si , alors {

, c’est-à-dire {

.

Le point de coordonnées ( ) appartient à ( ). Il s’agit du point de paramètre .

Si , alors {

, c’est-à-dire {

.

Le point de coordonnées ( ) appartient à ( ). Il s’agit du point de paramètre .

Exercice 5 (7 questions) Niveau : facile

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7

Si √ , alors {

, c’est-à-dire {

.

Le point de coordonnées ( √ √ √ ) appartient à ( ). Il s’agit du point de paramètre

√ .

2) Donnons les coordonnées du point de ( ) ayant pour abscisse.

Pour ce faire, cherchons le point de coordonnées ( ). Ce point appartenant à ( ), ses coordonnées

vérifient chacune des équations paramétriques de ( ). Résolvons donc le système {

.

{

{

{

{

(

)

(

)

{

Le point de ( ) ayant pour abscisse a pour coordonnées ( ). Ce point est obtenu lorsque le

paramètre est égal à

.

3) Donnons les coordonnées du point de ( ) ayant pour ordonnée.

Cherchons donc le point de coordonnées ( ). Ce point appartenant à ( ), ses coordonnées vérifient le

système d’équations paramétriques de ( ). Résolvons donc le système {

.

{

{

{

{

Le point de ( ) ayant pour ordonnée a pour coordonnées ( ). Ce point est obtenu lorsque le

paramètre est égal à

.

4) Donnons les coordonnées du point de ( ) ayant pour cote.

Cherchons donc le point de coordonnées ( ). Comme ce point appartient à ( ), ses coordonnées en

vérifient le système d’équations paramétriques. Résolvons donc le système {

.

{

{

{

( )

( ) {

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8

Le point de ( ) ayant pour cote a pour coordonnées ( ). Ce point est obtenu lorsque le

paramètre est égal à .

5) Soit le point de coordonnées ( ).

1ère

méthode :

Ce point a pour abscisse . Or, lorsque , on a , c’est-à-dire . Calculons les autres

coordonnées du point de ( ) lorsque

Or, si , alors ( ) et ( ) .

Autrement dit, le point de coordonnées ( ) n’appartient pas à ( ).

Remarque : En revanche, le point de coordonnées ( ) appartient à ( ). C’est le point de ( ), de

paramètre .

2e méthode :

Vérifions si le système {

admet une solution réelle unique.

{

{

{

Ce système n’admet pas de solution donc le point de coordonnées ( ) n’appartient pas à ( ).

6) Donnons un vecteur directeur de ( ).

Une représentation paramétrique de ( ) est {

( ), c’est-à-dire {

( )

( ) ( ). Par

conséquent, un vecteur directeur de ( ) est (

).

7) Donnons le vecteur directeur de ( ) de cote .

1ère

méthode :

On cherche le vecteur directeur de ( ), de cote , c’est-à-dire le vecteur (

). Or, d’après la question

précédente, un vecteur directeur de ( ) est (

), vecteur de cote . Ainsi, . Le vecteur

directeur recherché est donc colinéaire à tel que .

Par conséquent, le vecteur directeur de ( ) ayant pour cote est le vecteur de coordonnées (

).

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9

2ème

méthode :

On cherche le vecteur directeur de ( ), de cote , c’est-à-dire le vecteur (

) colinéaire à (

),

vecteur de cote . Comme et sont colinéaires, leurs coordonnées sont proportionnelles. Ainsi, on a :

. Il vient alors que

( )

et

.

Par conséquent, le vecteur directeur de ( ) ayant pour cote est le vecteur de coordonnées (

).

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10

On munit l’espace d’un repère ( ). Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de ( )

sur la droite ( ) dont une représentation paramétrique est {

( ).

Rappel : Produit scalaire et orthogonalité dans l’espace

Dire qu’un vecteur (

) et qu’un vecteur (

) sont orthogonaux équivaut à dire que leur produit scalaire

est nul. Dans un repère orthonormal de l’espace, (

) et (

) sont orthogonaux si et seulement si

.

Une représentation paramétrique de ( ) est {

( ) donc ( ) est dirigée par le vecteur (

).

Notons ( ) le projeté orthogonal de sur ( ). Comme est le projeté orthogonal de sur ( ), il

vient que les vecteurs et sont orthogonaux, c’est-à-dire que .

En utilisant la représentation paramétrique de ( ), il existe un réel tel que {

. Dès lors, il vient

que ( ( )

), c’est-à-dire (

).

D’où

( ) ( ) ( )

Le point est donc le point de ( ), de paramètre

. Ainsi, les coordonnées de sont données par

{

(

)

(

)

(

)

.

Finalement, le point , projeté orthogonal de sur ( ), a pour coordonnées (

).

Exercice 6 (1 question) Niveau : moyen

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11

On munit l’espace d’un repère ( ). Soient les droites ( ) et ( ) de représentations paramétriques

respectives {

( ) et {

( ).

1) Démontrer que les droites ( ) et ( ) sont sécantes.

2) Préciser les coordonnées de leur point d’intersection.

1) Démontrons que les droites ( ) et ( ) sont sécantes.

Une représentation paramétrique de ( ) est {

( ) donc ( ) est un vecteur directeur de ( ).

Une représentation paramétrique de ( ) est {

( ) donc ( ) est un vecteur directeur de

( ).

Or, comme il n’existe aucun réel non nul tel que , les vecteurs et ne sont pas colinéaires. Il

s’ensuit que les droites ( ) et ( ) sont soit coplanaires et sécantes soit non coplanaires et jamais sécantes.

Remarque importante : Attention ! Dans l'espace, deux droites non parallèles ne sont pas nécessairement

sécantes. Elles peuvent être non coplanaires et ne jamais être sécantes.

( ) ( ) ( ) {

{

{

{

{

( ) {

{

{

{

Le système admet pour solution le couple ( ) ( ) donc les droites ( ) et ( ) sont sécantes.

2) Précisons les coordonnées du point d’intersection des droites ( ) et ( ).

Les coordonnées du point d’intersection de ( ) et ( ) sont donc obtenues, soit en remplaçant par dans la

représentation paramétrique de ( ), soit en remplaçant par dans la représentation paramétrique de ( ).

Une représentation paramétrique de ( ) est {

( ) donc les coordonnées de l’unique point de

( ), de paramètre , vérifient ce système d’équations paramétriques pour .

Ainsi, le point d’intersection de ( ) et ( ) a pour coordonnées ( ), c’est-à-dire

( ).

Exercice 7 (2 questions) Niveau : facile

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12

On munit l’espace d’un repère ( ). Soient les droites ( ) et ( ) de représentations paramétriques

respectives {

( ) et {

( ). Déterminer, suivant les valeurs du paramètre

réel , l’intersection des deux droites.

( ) ( ) ( ) ( ) tels que {

{

( ) tels que {

( ) tels que {

( ) tels que {

( ) tels que {

( ) tels que {

( ) tels que {

( ) tels que {

Posons le discriminant du trinôme du second degré . Alors ( ) .

donc le trinôme admet deux racines réelles et distinctes :

( ) √

( ) √

Par conséquent, 3 cas de figure sont à envisager :

si , alors les droites ( ) et ( ) sont sécantes.

Leur point d’intersection a pour coordonnées ( ), c’est-à-dire ( ).

On note ( ) ( ) {( )}.

si

, alors les droites ( ) et ( ) sont sécantes.

Leur point d’intersection a pour coordonnées (

), c’est-à-dire (

).

Exercice 8 (1 question) Niveau : moyen

Correction de l’exercice 8 Retour au menu

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13

On note ( ) ( ) {(

)}.

si { }, alors les droites ( ) et ( ) ne sont pas sécantes.

On note ( ) ( ) .

Remarque : Dans ce dernier cas, comme elles ne sont pas sécantes, les droites ( ) et ( ) sont soit coplanaires

et confondues, soit coplanaires et parallèles, soit non coplanaires.

Or, une représentation paramétrique de ( ) est {

( ) donc un vecteur directeur de ( ) est

(

). En outre, une représentation paramétrique de ( ) est {

( ) donc un vecteur

directeur de ( ) est (

). Les cotes de et sont égales mais par leurs ordonnées ; il n’existe donc aucun

réel non nul tel que . Autrement dit, les vecteurs et ne sont pas colinéaires et les droites ( ) et

( ) ne sont ni confondues ni parallèles. Finalement, si { }, alors les droites ( ) et ( ) ne sont pas

coplanaires.

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14

On munit l’espace d’un repère ( ). Déterminer l’intersection de la droite ( ) dirigée par ( ) et

passant par ( ) :

1) avec le plan ( ) 2) avec le plan ( ) 3) avec le plan ( )

1) Déterminons l’intersection de la droite ( ) avec le plan ( ).

La droite ( ) est dirigée par ( ) et passe par ( ) donc une représentation paramétrique de ( ) est

{

( ).

De plus, une équation du plan ( ) est .

( ) ( ) ( ) {

{

{

{

( ) ( )

{

La droite ( ) et le plan ( ) ont pour intersection le point de coordonnées ( ).

2) Déterminons l’intersection de la droite ( ) avec le plan ( ).

Une équation du plan ( ) est .

( ) ( ) ( ) {

{

{

{

( )

( )

{

La droite ( ) et le plan ( ) ont pour intersection le point de coordonnées ( ).

Exercice 9 (3 questions) Niveau : facile

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15

3) Déterminons l’intersection de la droite ( ) avec le plan ( ).

Une équation du plan ( ) est .

( ) ( ) ( ) {

{

{

{

(

)

(

)

{

La droite ( ) et le plan ( ) ont pour intersection le point de coordonnées (

).

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16

L’espace est muni d’un repère ( ) dans lequel on place les points ( ), ( ),

( ) et ( ). Etudier l’intersection de la sphère de diamètre [ ] et de la droite ( ).

1) Dans un premier temps, déterminons une représentation paramétrique de ( ), droite passant par et .

Un vecteur directeur de cette droite est le vecteur (

), c’est-à-dire (

). De plus, ( )

appartient à ( ) donc une représentation paramétrique de ( ) est {

.

2) Dans un second temps, déterminons une équation de la sphère ( ) de diamètre [ ].

( ) ( ) . Or, a pour coordonnées (

) et a pour coordonnées

(

). Donc ( )( ) ( )( ) ( )( )

Une équation cartésienne de la sphère ( ) de diamètre [ ] est donc .

3) Déterminons désormais l’éventuelle intersection de ( ) et ( ).

( ) ( ) ( ) {

{

( ) ( ) ( ) ( )

{

{

Soit le discriminant du trinôme du second degré . Alors ( ) .

donc le trinôme admet 2 racines réelles distinctes :

( ) √

( ) √

Exercice 10 (1 question) Niveau : moyen

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17

Ainsi, on a :

( ) ( ) ( )

{

{

{

{

{

{

La sphère de diamètre [ ] et la droite ( ) ont deux points d’intersection et de coordonnées :

(

) (

)

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18

On munit l’espace d’un repère ( ). Soient les droites ( ) et ( ) de représentations paramétriques

respectives {

( ) et {

( ).

1) Montrer que les droites ( ) et ( ) sont coplanaires.

2) Donner une équation cartésienne du plan qu’elles déterminent.

1) Montrons que les droites ( ) et ( ) sont coplanaires.

Une représentation paramétrique de ( ) est {

( ). Par conséquent, ( ) est dirigée par le

vecteur (

).

Une représentation paramétrique de ( ) est {

( ). Par conséquent, ( ) est dirigée par le

vecteur (

).

Or, . Autrement dit, les vecteurs et sont colinéaires. Il s’ensuit que les droites ( ) et ( ) sont

coplanaires.

2) Donnons une équation cartésienne du plan qu’elles déterminent.

Les vecteurs et étant colinéaires, les droites ( ) et ( ) sont soit parallèles soit confondues. Montrons

qu’elles ne sont pas confondues.

D’après la représentation paramétrique de ( ), on déduit que ( ) ( ). Vérifions que ( ).

( ) {

{

{

{

Ce système n’admet pas de solution donc ( ).

Finalement, les droites ( ) et ( ) sont strictement parallèles. Cherchons désormais une équation du plan ( )

qu’elles déterminent.

Exercice 11 (2 questions) Niveau : moyen

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19

D’après la représentation paramétrique de ( ), on déduit que ( ) ( ). Il vient alors (

).

Ainsi, n’étant pas colinéaires, les vecteurs et forment un couple de vecteurs directeurs du plan ( ).

Cherchons désormais un vecteur ( ) normal à ce plan, où , et désignent des réels non tous nuls.

D’une part, ( ) ( ) ( )

D’autre part, ( ) ( ) ( )

Dès lors, ( ) ( ) et ( ) ( ) .

Ainsi, en posant par exemple , on obtient que ( ) est un vecteur normal à ( ).

Finalement, ( ) est le plan passant par ( ) et admettant ( ) comme vecteur normal.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Une équation cartésienne du plan déterminé par les droites ( ) et ( ) est .

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20

L’espace est muni d’un repère ( ) dans lequel on place les points ( ), ( ),

( ) et ( ).

1) Donner une représentation paramétrique du segment [ ].

2) Donner une représentation paramétrique de la demi-droite [ ).

3) Montrer que [ ] et [ ) sont sécants et préciser les coordonnées de leur point d’intersection.

1) Donnons une représentation paramétrique du segment [ ].

Rappel : Représentation paramétrique d’un segment

On munit l’espace d’un repère ( ). Soient ( ) et ( ) deux points distincts.

Dire qu’un point ( ) appartient à [ ] équivaut à dire qu’il existe un réel [ ] vérifiant le

système d’équations paramétriques de paramètre suivant : {

Le segment [ ] est dirigé par le vecteur . Or, a pour coordonnées (

).

Ainsi, ( ) [ ] {

( [ ]) {

( [ ])

{

( [ ]) est une représentation paramétrique du segment [ ].

2) Donnons une représentation paramétrique de la demi-droite [ ).

Rappel : Représentation paramétrique d’une demi-droite

On munit l’espace d’un repère ( ). Soient ( ) et ( ) deux points distincts.

Dire qu’un point ( ) appartient à [ ) équivaut à dire qu’il existe un réel [ [ vérifiant le

système d’équations paramétriques de paramètre suivant : {

La demi-droite [ ) est dirigée par le vecteur . Or, a pour coordonnées (

).

Exercice 12 (3 questions) Niveau : moyen

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Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés

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21

Ainsi, ( ) [ ) {

( [ [) {

( [ [)

{

( [ [) est une représentation paramétrique de la demi-droite [ ).

3) Montrons que [ ] et [ ) sont sécants et précisons les coordonnées de leur point d’intersection.

( ) [ ] [ ) {

( [ ]) {

( [ [)

{

[ ]

[ [

{

[ ]

[ [

{

( )

[ ]

[ [

{

[ ]

[ [

{

[ ]

[ [

{

[ ]

{

[ ]

{

Le système admet pour solution le couple ( ) (

) donc [ ] et [ ) sont sécants.

Le point du segment [ ], de paramètre

, a pour coordonnées

{

{

.

Le point d’intersection de [ ] et [ ) a pour coordonnées (

).

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Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés

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22

On munit l’espace d’un repère ( ). On désigne par ( ) et ( ) les plans d’équations cartésiennes

respectives et . Caractériser l’intersection éventuelle de ( ) et ( ).

( ) ( ) ( ) {

{

{ ( )

{

{

{

{

{

(

)

{

{

{

{

( )

Les plans ( ) et ( ) sont sécants suivant la droite dont une représentation paramétrique est

{

( ). Cette droite est dirigée par le vecteur

(

)

et passe par le point de coordonnées

(

).

Exercice 13 (1 question) Niveau : moyen

Correction de l’exercice 13 Retour au menu