l n’est pas dans la nature des faisceaux laser de con-server leur taille et leur durée sur de très grandes dis-tances de propagation, car la lumière est soumise auxlois physiques de la diffraction et de la dispersion. On

peut cependant jouer d’astuce pour atténuer (et parfoismême compenser complètement) l’effet de ces lois encombinant les effets non-linéaires à la dispersion et la dif-fraction pour obtenir notamment les solitons, ou encore enstructurant adéquatement le champ transversal pourobtenir un faisceau Bessel quasi-invariant.

Un nouveau type de paquet d’onde quasi-invariant appeléfaisceau Bessel spatiotemporel a récemment été pro-posé [1,2]. La distribution d’intensité de ce nouveau fais-ceau possède la propriété de ne pas subir les effets de ladispersion ni de la diffraction. Cependant, il est impossi-ble de générer expérimentalement une fonction de Besselpure étant donné les dimensions infinies de cette dernière.Pour contourner ce problème, on a recours à uneenveloppe gaussienne, qui induit une légère variation de ladistribution du champ lors de la propagation, d’où le qua-lificatif de faisceau quasi-invariant. La section qui suitprésente les notions de base relatives aux faisceaux Besselet Bessel-Gauss spatiotemporels. La troisième section estconsacrée au montage utilisé pour générer expérimentale-ment ces faisceaux et les résultats expérimentaux sontprésentés à la dernière section.

FAISCEAUX BESSEL ET BESSEL-GAUSSSPATIOTEMPORELS

Afin de bien comprendre la nature des faisceaux Besselspatiotemporels, il convient d’aborder en premier lieu les

RÉSUMÉ

On présente les éléments théoriques fonda-mentaux relatifs à de nouveaux faisceauxinvariants, le montage expérimental permet-tant leur génération ainsi que les résultatsconfirmant leur synthèse.

IPAR MICHAËL DALLAIRE, NATHALIE MCCARTHY ET MICHEL PICHÉ

GÉNÉRATION EXPÉRIMENTALE DE FAISCEAUX BESSEL-GAUSS SPATIOTEMPORELS

Michaël Dallaire<michael.dallaire.1@ulaval.ca>, NathalieMcCarthy<nathalie.mccarthy@phy.ulaval.ca>,Michel Piché<mpiche@phy.ulaval.ca>,Centre d'optique,photonique et laser(COPL),Département dephysique, de géniephysique et d'op-tique, UniversitéLaval, QC, CanadaG1V 0A6

faisceaux Bessel transversaux, qui ont été proposés parDurnin et al. en 1987 [3,4]. La figure 1a présente la distri-bution en intensité d’un faisceau Bessel transversal. Onobtient une telle distribution en intensité en faisant inter-férer une multitude d’ondes planes uniformes dont lesvecteurs d’onde sont disposés sur un cône d’angle 2θ.L’équation suivante représente la distribution en intensitédu faisceau Bessel transversal:

, avec (1)

où J0 est la fonction de Bessel de première espèce d’ordrezéro, β0(=2π/λ0) est le nombre d’onde, α = β0θ est la com-posante transversale du nombre d’onde, et A0 est l’ampli-tude du champ. L’éq. (1) est indépendante de la distancede propagation z, indiquant que ce faisceau serait parfaite-ment invariant.

Les anneaux du faisceau Bessel spatiotemporel ne sesituent pas dans le plan transversal à l’axe de propagation,mais plutôt dans le planespace-temps (soit dans leplan x-z) tel que présenté àla figure 1b. Dans une telleconfiguration, les anneauxconcentriques se déplacentle long de l’axe z, d’où untrain d’ondes sur l’axeoptique et une distributionspatiale au centre de l’im-pulsion correspondant à lafonction de Bessel. Pourdécrire une telle distribu-tion de champ, on définitune variable radiale spa-tiotemporelle telle que:

, avec T = t - z / νg (2)

où t est le temps, νgreprésente la vitesse degroupe, et β2 est le

ARTICLE DE FOND

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The winners of the 2008 CAP Best Student Presentation Competitions at the CAP Annual Congress,2008 June 8-11, in Quebec City, Quebec are listed on page 122. The extended abstracts of thosewinners of the CAP and NSERC prizes who submitted them for publication are reproduced below. Ed.

I r A J r A J r( ) ( ) ( )= =0 0 0

2

0 0

2β θ α r x y= +2 2

ρ β β= −x T20 2/

Fig. 1 Distribution d'intensitépour a) un faisceauBessel transversal etb) un faisceau Besselspatiotemporel.

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paramètre de dispersion du milieu de propagation, qui doit êtrenégatif pour que le rayon ρ soit réel pour toute valeur de x et deT.

Comme la fonction de Bessel est une fonction infinie, on enlimite les dimensions spatiales et temporelles à l’aide d’uneenveloppe gaussienne spatiotemporelle. L’équation représen-tant la distribution du champ d’un faisceau Bessel-Gauss spa-tiotemporel (BGST) à l’étranglement (z = 0) est la suivante:

(3)

où wst représente la taille spatiotemporelle de l’enveloppegaussienne et est un paramètre de modulation permettantd’ajuster la dimension des anneaux. La présence de l’en-veloppe gaussienne induit une variation de la distribution duchamp lors de la propagation, telle que présentée à la figure 2.

La distribution du champ avant l’étranglement peut être vuecomme une multitude d’impulsions gaussiennes, distribuéessur un anneau, qui convergent spatialement et temporellementvers un centre commun qui se déplace à la vitesse de groupe.Dès que les impulsions sont suffisamment rapprochées pourinterférer, les anneaux de la fonction de Bessel deviennent vi-sibles, jusqu’à atteindre un maximum de contraste à l’étrangle-ment (z = 0). Il est à noter que la taille des anneaux reste lamême aussi longtemps que ces derniers sont visibles. Ainsi, ladistance de Rayleigh d’un faisceau BGST est beaucoup pluslongue que celle associée à un faisceau gaussien ayant la tailledu lobe central du faisceau BGST, d’où le qualificatif de fais-ceau quasi-invariant. Si on laisse propager le faisceau BGSTau-delà de l’étranglement, les diverses impulsions gaussiennesse séparent graduellement, de sorte qu’à partir d’une certainedistance de propagation, ces dernières sont trop éloignées lesunes des autres pour interférer et il ne subsiste qu’un anneaudivergent.

MONTAGE EXPÉRIMENTAL

C’est dans la distribution du champ après (ou avant) l’étrangle-ment que réside la clé pour générer un faisceau BGST. Dans lechamp lointain, on obtient la transformée de Fourier spatiale ettemporelle du faisceau. En effet, la distribution annulaire duchamp est constituée de toutes les impulsions gaussiennesséparées spatialement et temporellement. La séparation spa-tiale provient de la divergence naturelle des impulsions alors

que la séparation tem-porelle provient de ladispersion du milieu depropagation. Ainsi, ondoit sélectionner lesfréquences optiquesappropriées en fonctionde la position x, tel queprésenté à la figure 3.Cette figure représentedonc le masque à utiliserdans un modeleur spa-tiotemporel d’impul-sions; ce dernier doiteffectuer la transforméede Fourier spatiale et temporelle des impulsions.

Le montage présenté à la figure 4 a été conçu dans le but degénérer un faisceau BGST à l’étranglement en effectuant la

u z Aw

J aBGst

( , ) expρρ

ρ= = −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ( )0 0

2

2 0

a

Fig. 2 Représentation de l'évolution du faisceau BGST le long del'axe de propagation.

Fig. 3 Masque en réflexion utilisédans le modeleur d'impul-sions.

Fig. 4 Modeleur d'impulsions spatiotemporel permettant de générerdes faisceaux BGST à l'étranglement.

Fig. 5 Traces d'autocorrélation expérimentale et théorique d'un fais-ceau BGST [1].

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transformée de Fourier du masque dans les domaines spatial ettemporel de façon indépendante. Une impulsion incidente,émise par un laser femtoseconde Ti:saphir à une longueurd’onde centrale de 800 nm, est dispersée spatialement par unréseau. Le masque réfléchissant sélectionne les fréquencesadéquates en fonction de la position x et le réseau en effectuela transformée de Fourier temporelle. La propagation s’effectueensuite jusqu’à une lentille cylindrique (#2) qui effectue latransformée de Fourier spatiale. Ainsi, au plan focal de cettelentille, on obtient la distribution en intensité correspondant aufaisceau BGST recherché.

RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX

Afin de vérifier si les faisceaux BGST produits expérimentale-ment correspondent au modèle théorique, on doit analyser lastructure spatiale et temporelle des impulsions générées, ce quine peut se faire simultanément avec les diagnostics convention-nels d’analyse d’impulsions laser. La structure temporelle,présentée à la figure 5 (tirée de [1]), a été obtenue à l’aide d’unautocorrélateur de construction maison. Il est important denoter que les autocorrélateurs n’ont aucune résolution spatiale;la trace obtenue est donc la convolution temporelle de l’impul-sion intégrée sur toute son étendue spatiale. En tenant comptede ces considérations expérimentales, les résultats obtenus cor-respondent bien au modèle théorique.

L’analyse du profil spatial, présenté à la figure 6, permet égale-ment de constater un excellent accord avec le modèlethéorique. En imageant spatialement le faisceau à l’aide d’unecaméra CCD (figure 6b), on obtient un profil présentant unedistribution en intensité s’apparentant à une fonction de Besselaltérée, étant donné que l’intégration se fait sur tous lesanneaux spatiotemporels. Il en découle ainsi que les zéros de la

fonction de Bessel ne sont pas d’intensité nulle, tel qu’on peutle voir sur les figures 6a et 6b.

De plus, on peut visualiser le faisceau BGST comme étantconstitué de trains d’impulsions dont la structure temporellevarie selon la position x. Ainsi, on obtient une distributionspectrale qui dépend de la position transversale, tel qu’illustréà la fig. 7a. L’imagerie du spectre résolu spatialement présentéà la fig. 7b, obtenue à l’aide d’un réseau et d’une caméra CCD,concorde bien avec le modèle théorique.

CONCLUSION

L’approche présentée à la section 3, qui consiste à modeler uneimpulsion femtoseconde dans les domaines spatial et temporelde façon indépendante à l’aide d’un masque annulaire unique,donne des résultats expérimentaux qui sont en bon accord avecle modèle théorique, validant ainsi la notion de faisceau spa-tiotemporel quasi-invariant. L’impact de certains paramètres,tels l’épaisseur de l’anneau, l’étendue spectrale utilisée et lalongueur focale de la lentille #2, devra être investigué afin devalider davantage le modèle théorique. De plus, la propagationquasi-invariante reste à être testée en présence de dispersionanomale.

REMERCIEMENTS

Ces recherches sont appuyées financièrement par le Conseil derecherche en sciences naturelles et en génie du Canada(CRSNG), le Fond québécois de la recherche sur la nature etles technologies (FQRNT) et l’Institut canadien pour les inno-vations en photonique (ICIP/CIPI).

Fig. 6 Profils spatiaux a) théorique et b) expérimental obtenus àl'étranglement d'un faisceau BGST.

Fig. 7 Spectre résolu spatialement: a) modèle théorique etb) données expérimentales.

RÉFÉRENCES

1. M. Dallaire, N. McCarthy, M. Piché, “Spatiotemporal Bessel beams”, Proc. SPIE, Vol. 6796, 67963O (2007)2. M. Dallaire, M. Piché, and N. McCarthy, “Analysis and Generation of Spatiotemporal Bessel Beams,” Frontiers in Optics, OSA

Technical Digest, Optical Society of America, paper FWC2 (2007)3. J. Durnin, “Exact solutions for nondiffracting beams. I. The scalar theory,” Journal of the Optical Society of America A (Optics and

Image Science) 4(4), 651-654 (1987)4. J. Durnin, J.J. Miceli and J.H. Eberly, “Diffraction-free beams,” Physics Review Letters 58, 1499-1501 (1987)

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