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Pierre Proulx, ing. professeurGBT201

génie biotechnologiqueUniversité de Sherbrooke

Chapitre 19Développement d’équations

générales de transfert de masse– Pages 582-586

Utilisation des équations générales pour poser une équation s’appliquant à un cas particulier (au lieu de faire le bilan différentiel



x

z

y

Posons d ’abord un volume sur lequel on fera notre bilan:

∆z

∆x

∆y



x

z

y

Posons ensuite un fluide qui passe à travers ce volume, avec unevitesse en trois dimension donnée par ses trois composantes:

∆z

∆x

∆y

V⃗=v x i⃗ +v y j⃗+v z k⃗



x

z

y

[ (n A)∣z−(nA )∣z+Δz ] ( ΔyΔx )

Effectuons le bilan sur une espèce A maintenant en commençant par la direction z:

Flux de A entrant en z(kg/m2/sec)

Flux de Asortant en z+∆z(kg/m2/sec)



x

z

y

Équation de conservation de la masse (continuité de l’espèce A)

(nA )∣x (nA )∣x+Δx

(nA )∣z

(nA )∣z+Δz

(nA )∣y

(nA )∣y+Δy

∆z

∆x

∆y



x

z

y

Et ainsi pour les trois directions…

∆z

∆x

∆y


(nA )∣z

(nA )∣z+Δz

(nA )∣y

(nA )∣y+Δy



r A ΔxΔyΔz

x

z

y

Et la réaction chimique dans le volume

∆z

∆x

∆y


(nA )∣z

(nA )∣z+Δz

(nA )∣y

(nA )∣y+Δy



∂ ρA∂ t

+(∂ nAx∂ x

+∂ nA y∂ y

+∂nAz∂ z ) =rA

En ajoutant le terme d’accumulation en fonction dans le volume, et en passant à la limite on obtient l’équation 19.1-5 de la page 583

Qui est écrite sous forme compacte:

∂ ρA∂ t

+( ∇⋅n⃗ A)=rA



∂ cA∂ t

+(∂N A x

∂ x+

∂N A y

∂ y+

∂N Az

∂ z ) =RA

En utilisant la concentration au lieu de la masse :

Qui est écrite sous forme compacte:

∂cA∂ t

+ (∇⋅N⃗ A )=R A



Équations de conservation des espèces chimiques, annexe B11

Pour un fluide Newtonien, diffusion binaire, µ, ρ, D

AB constants



ρ (∂ωA

∂ t+vx

∂ωA

∂ x+v y

∂ωA

∂ y+v z

∂ωA

∂ z )=ρDAB ( ∂2ωA

∂ x2 +∂

2ωA

∂ y2 +∂

2ωA

∂ z2 ) +r A

Équation de conservation des espèces chimiques

ρ(∂ωA

∂ t+ vr

∂ωA

∂r+

vθ

r∂ωA

∂θ+vz

∂ωA

∂ z )=ρDAB (1r ∂∂r (r

∂ω A

∂r )+ 1r 2

∂2ωA

∂r2 +∂

2ωA

∂ z2 ) +rA

ρ( ∂ωA

∂ t+vr

∂ωA

∂ r+

vθ

r∂ωA

∂θ+

vΦ

r sinθ

∂ωA

∂Φ )=ρD AB( 1

r2∂∂ r (r2 ∂ωA

∂ r )+ 1

r2sinθ∂∂θ (sinθ

∂ωA

∂θ )+ 1

r2sin2θ

∂2ωA

∂Φ2 ) +r A



ρ (∂ωA

∂ t+vx

∂ωA

∂ x+v y

∂ωA

∂ y+v z

∂ωA


∂ x2 +∂

2ωA

∂ y2 +∂

2ωA

∂ z2 ) +r A

Équation de conservation des espèces chimiques

Comment cette équation sera-elle utile pour un cas ?

Une « patch » est conçue pour livrer de façon lente une molécule à travers la peau. Dans ce cas particulier la concentration maintenue à la surface de la peau par la « patch » est de 2 g-moles/m3 et la molécule doit pénétrer jusqu'à la zone infectée située à 5 mm de la surface pour commencer à traiter. Pour que le traitement de la zone infectée commence effectivement il faut que la concentration augmente à au moins 0.2 g-moles/m3. Le coefficient de diffusion dans la peau est de 10-6 cm2/sec.



ρ (∂ωA

∂ t+vx

∂ωA

∂ x+v y

∂ωA

∂ y+ v z

∂ωA


∂ x2 +∂

2ωA

∂ y2 +∂

2ωA

∂ z2 ) +r A

Voyons l'équation générale et simplifions

1- il n'y a pas de vitesses, seulement de la diffusion

2- pas de réaction

3- seulement une direction

Une « patch » est conçue pour livrer de façon lente une molécule à travers la peau. Dans ce cas particulier la concentration maintenue à la surface de la peau par la « patch » est de 2 g-moles/m3 et la molécule doit pénétrer jusqu'à la zone infectée située à 5 mm de la surface pour commencer à traiter. Pour que le traitement de la zone infectée commence effectivement il faut que la concentration augmente à au moins 0.2 moles/m3. Le coefficient de diffusion dans la peau est de 10-6 cm2/sec.

ρ∂ωA

∂ t=ρD AB( ∂

2ωA

∂ x2 +∂

2ωA

∂ y2 +∂

2ωA

∂ z2 ) +r A

∂ωA

∂ t=DAB( ∂

2ωA

∂ x2 +∂

2ω A

∂ y2 +∂

2ωA

∂ z2 )

∂ωA

∂ t=D AB (∂

2ωA

∂ x2 ) ou∂X A

∂ t=D AB( ∂

2 X A

∂ x2 )



Cette équation n'a pas de solution analytique sauf dans quelques cas, En général il faudra utiliser des méthodes de calcul numérique bien adaptées à la capacité des ordinateurs modernes.Une méthode de solution itérative bien adaptée à ces capacités et qui peut même être écrite facilement dans un tableur (même Excell!)) est la méthode des différences finies. Dans cette méthode on approxime chacun des termes avec des dérivées numériques. Ainsi en utilisant la série de Taylor, le terme de gauche de l'équation de diffusion :

sera approximé en négligeant les termes de dérivées supérieurs à l'ordre 1,

en isolant le terme de dérivée on obtient :

(1)

X A(t+Δ t )=X A(t )+∂ X A

∂ tΔ t+

12!

∂2 X A

∂ t 2 Δ t 2+....

∂ X A

∂ t≈X A(t+Δ t )−X A(t )

Δ t

∂ X A

∂ t=X A(t+Δ t )−X A(t )

Δ t

∂ X A

∂ t=DA

∂2 X A

∂ x2

J'utilise DA et non D

AB pour souligner

que la diffusion se fait dans un milieu immobile et solide. C'est seulement une convention, pas une obligation



∂ xA∂ t

= DA(∂2 X A

∂ x2 )

[ X A(t+Δ t )−X A(t )

Δ t ]

Première étape on a 'discrétisé' le terme de gauche.

Regardons maintenant le terme de droite :


génie biotechnologiqueUniversité de SherbrookeOn peut utiliser la même stratégie pour le terme de droite de l'équation de diffusion en négligeant cette fois les termes d'ordre 3 et plus

Additionnant les deux équations, on élimine le terme de première dérivée et on isole le terme de deuxième dérivée pour obtenir :

On peut aussi utiliser des indices au lieu des termes + et – ∆x, ce sera plus compact. On pourrait aussi simplifier la notation (attention cependant aux minuscules et majuscules) en utilisant seulement le terme X pour X

A

X A(x+Δ x)=X A(x)+∂ X A

∂ xΔ x+

∂2 X A

∂ x2

Δ x2

2+...

X A(x−Δ x)=X A(x)−∂ X A

∂ xΔ x+

∂2 X A

∂ x2

Δ x2

2+...

∂2 X A

∂ x2 ≈[ X A(x+Δ x)−2 X A(x)+ X A(x−Δ x)

Δ x2 ]

∂2 X

∂ x2 =[ X i+1−2 X i+X i−1

Δ x2 ]



DA [ X i+1−2 X i+X i−1

Δ x2 ][ X A(t+Δ t)−X A(t)

Δ t ]ou → [ X

m+1−X m

Δ t ]

On a maintenant des approximations les des termes de l'équation (1).

Afin de rendre les termes plus cohérents dans leur écriture, on utilisera aussi des indices pour le terme de gauche.

Vous notez ici que l'indice m représente la température en fonction du temps, et que i représente la position x. En fait, puisque les températures sont toutes fonction du temps et de la position, la version finale de l'approximation de l'équation 1 sera :

∂ X∂ t

=DA∂

2 X

∂ x2



∂ X A

∂ t= DA

∂2 X A

∂ x2

1DA

[ X im+1

−X im

Δ t ]=[ X i+1m

−2 X im+T i−1

m

Δ x2 ]Question valide : en quoi cette forme est-elle intéressante par rapport à l'équation 1?

En fait, cette forme d'équation est appropriée à l'utilisation d'un ordinateur. Voyons comment.

Dans l'équation (10), isolons le terme Xijk

m+1 et regroupons. Un travail algébrique minimal

nous donnera une formulation intéressante :

(2)

X im+1=a X i+1

m +b X i−1m +c X i

m (3)



X im+1

=a X i+1m

+b X i−1m c X i

m (3)

a=b=DAΔ t

Δ x2

c=1−2D AΔ t

Δ x2

(3) donne la fraction molaire au point i en fonction des points voisins, au temps t+∆t. C'est une version point par point de l'équation 1. Elle est valide sur des points i et des temps m sur un 'maillage' qui représente les points dans l'espace et le temps.

Une contrainte importante :

Tous les coefficients a,b,c, doiventdoiventêtre positifsêtre positifs

Ceci implique qu'on ne peutpas choisir n'importe quelle

valeurs pour t et x

Puisque la somme a+b+c =1, il suffit de poser, par exemple, c=0.3,de fixer une valeur de x, et ensuite t sera calculé



Exemple d'application : calcul de la diffusion d'une 'patch' de nicotine

I=100;xfinal=0.01;dx=xfinal/(I-1); % 100 pointstfinal=3600*12; % 12 heuresDa=1e-10; % m2/secx=[0:dx:xfinal]; % crée la grille xdt=0.7/2/Da*dx*dx;time=[0:dt:tfinal]; % crée la grille ta=0.35;b=a; % coefficientsc=1-a-b; % avec la contrainteX=ones(size(x))*0; % crée X X(1)=1;X(I)=0;t=0; % conditions i et l.while t <tfinal & X(50)<0.1 t=t+dt; X0=X ; for i=2:I-1 X(i)=a*X0(i+1)+b*X0(i-1)+c*X0(i); end str1=[' temps= ' num2str(t/3600) ' heures']; plot(x,X);title(str1);pause(0.01);end



X Aij

m+1=a X Ai+1 j

m+b X Ai−1 j

m+cX Ai j+1

m+d X Ai j+1

m+e X Ai j

m(4)

a=b=DABΔ t

Δ x2

c=d=DABΔ t

Δ y2

e=1−2DABΔ t

Δ x2 −2DABΔ t

Δ y2

ρ∂ X A

∂ t=DA(∂

2 X A

∂ x2 +∂

2 X A

∂ y2 ) .

En 2 ou 3 dimensions, le travail n'est pas différent :



Conditions aux frontières plus complexes, en 2 dimensions

x

∂ X A

∂ x=0

donc :X A2, j

−X A1, j

Δ x=0

doncX A1, j

=X A2, j

Condition de flux de diffusion nul en x=0

On suppose que le domaine est décomposé en n points dans la direction x, numérotés de 1 à n.



x

∂ X A

∂ x=0

donc :X An , j

−X An−1, j

Δ x=0

doncX An , j

=X An−1, j

Condition de flux nul en x=L, donc i=n

On suppose que le domaine est décomposé en n points dans la direction x, numérotés de 1 à n.



Exemple en 2 dimensions, conditions aux limites simples.dx=0.001;dy=0.001;J=20;I=10;Da=1e-10;a=0.2;b=0.2;c=0.2;d=0.2;e=0.2;dt=0.8/4*dx*dx/Da;X=ones(I,J)*0;X(1,:)=1;X(I,:)=1;X(:,J)=1;X(:,1)=1;

for t=0:dt:10*dt X0=X ; for i=2:I-1 for j=2:J-1 X(i,j)=a*X0(i+1,j)+b*X0(i-1,j)+c*X0(i,j+1)+d*X0(i,j-1)+e*X0(i,j); end end contourf(X);colorbar; str1=[' temps= ' num2str(t/3600) ' heures']; title(str1);pause(0.01);end

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