Geophysique Tome 1

8/3/2019 Geophysique Tome 1

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LA GEOPHYSIQUE POUR LES

GEOLOGUESTome 1

LES METHODES ELECTRIQUES

INTRODUCTION : Cet ouvrage traitant la gophysique pour les gologues, a pour ambitiontout d'abord, l' actualisation du support pdagogique en gophysique applique, par lintgration de

nouvelles techniques de prospection surtout en sub-surface ( la multi lectrode ; le go radar etc.. ) et

enfin la vulgarisation de ces mthodes d'investigation au sein de la communaut universitaire;

Enseignants, Ingnieurs et chercheurs spcialiss dans les sciences de la terre.

Les gologues trouveront dans cet ouvrage les bases thoriques et pratiques de la gophysique:gophysique de surface ou superficielle, la gophysique semi-profonde et enfin la gophysique

profonde. Il interessera galement le grand public, curieux de s'avoir ce que cache le sous-sol et

comment l'explorer; dans le domaine de la recherche ptrolire et minire, en hydrogologie et

thermalisme, dans les travaux publiques (Batiments, Ponts et Chausses) ; en archologie et

recherches ocaniques, en volcanologie et en seismologie.

Les thmes developps dans ce livre sont: Les intractions entre les phnomnes physiques et les

proprits physiques de la matire (la Roche, la Terre ou lUnivers).

Le formalisme thorique et fondamentale des diffrents phnomnes physiques ayant des

interractions avec la matire..

Les caractristiques ptrophysiques des roches: Les proprits lastiques; les proprits lectriqueset lectromagntiques, les proprits magntiques et gravimtriques ainsi que les proprits

radiomtriques des roches.

Le formalisme gophysique issue de linteraction entre les champs physiques et les proprits

physiques de la roche.

Les classifications des differentes mthodes gophysiques selon divers modes.

La dfinition des espaces gologiques et gophysiques en Algrie et leurs interactions (Espaces

gologiques et gophysiques).

Les applications relatives chaque mthode gophysique utilise en surface, en sub surface en

profondeur ou dans les puits de forage (mthodes des diagraphies, les mthodes lectriques et

lectromagntiques , les mthodes gravimtriques et magntiques, les mthodes radiomtriques, les

mthodes sismiques).Les techniques dexploitation des differentes mthodes gophysiques depuis lacquisition, le

prtraitement, le traitement des donnes jusqu linterprtation phase finale de toutes tudes

gophysique.

Ralisation et rdaction dun rapport final de gophysique. Le livre est organis en plusieurs parties,

regroupant toutes les mthodes gophysiques.


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PARTIE -1-

METHODE DE PROSPECTION ELECTRIQUEPAR COURANT CONTINUE

TABLE DES MATIERES

CHAPITRE I

I - 1 - Introduction la prospection lectrique.................................................

I - 2 - Classification des mthodes lectriques.................................................

I - 3 - Problmatique des mthodes lectriques...............................................

I - 3 - 1 - Rsolution du problme directe.............................................

I - 3 - 2 - Rsolution du problme inverse.............................................

I - 4 - Proprits lectriques des roches..........................................................

CHAPITRE II BASES THEORIQUE DE LA PROSPECTION

ELECTRIQUE

II - 1 - Relations fondamentales des tats stationnaires.....................................

II-1-1- Lois de Kirchhoff sous forme diffrentielle...............................

II-1-1-1- L'Intensit du champ lectrique " E " .......................II-1-2- Equation de Poisson................................................................

II-1-3- Equation de Laplace................................................................

II-1-4- Loi d'Ohm sous forme diffrentielle.........................................

II-1-4-1- Champ lectrique normal..........................................

II-1-4-2- Potentiel lectrique...................................................

II-1-5- Champ lectrique normal d'une lctrode sphrique..................

II-1-6- Champ lectrique d'une lectrode demi-sphrique.....................

II-1-7- Champ lectrique d'une lectrode ponctuelle.............................

II-1-8- Champ lectrique de deux lectrode ponctuelles........................

II-1-9- Densit du courant lectrique et profondeur..............................

d'investigationII-1-9-1- Cas de deux lectrodes.............................................

II-1-9-2- Champ lectrique de diple.......................................

CHAPITRE III DISPOSITIF DE MESURE


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III - 1 - Technique de mesure.........................................................................

III-1-1- Dispositif de Schlumberger...................................................

III-1-2- Dispositif de Wenner............................................................

III-1-3- Dispositif de diple...............................................................

CHAPITRE IV BASES THEORIQUES ET PRATIQUES CAS DU

SONDAGE ELECTRIQUE VERTICAL ( S.E.V )

IV - 1 - Bases thoriques du sondage lectrique vertical - Application..............

pour les couches suprieures

IV-1-1- Potentiel lectrique dans le cas de deux couches.....................

IV-1-2- Etablissement de la formule de la rsistivit apparente.............

IV-1-2-1- Rsistivit apparente..............................................

IV - 2 - Construction d'Abaques....................................................................IV-2-1- Rappel sur la reprsentation bilogarithmiques des...................

diagrammes lectriques

IV-2-1-1- Exemple numrique ( cas de 2 terrains )..................

IV-2-1-2- Exemple numrique ( cas de 3 terrains )..................

IV-2-2- Rappel sur les abaques thoriques C.G.G...............................

CHAPITRE V BASES THEORIQUES DE L'INTERPRETATION

D'UN SONDAGE ELECTRIQUE VERTICAL

V - 1 - Introduction.......................................................................................

V - 2 - Principe d'quivalence........................................................................V - 3 - Loi de Humel....................................................................................

V - 4 - Courbe de Dar-Zarouk.......................................................................

V - 5 - Phnomne de disparition...................................................................

CHAPITRE VI TRAITEMENT ET INTERPRETATION

ANALYTIQUE PAR ABAQUES

VI - 1 - Exemple pratique d'interprtation par Abaque (Abaques CGG)...........

VI-1-1- Cas de deux couches horizontales.........................................VI-1-2- Cas de trois couches horizontales..........................................

VI-1-2-1- Rappel du principe d'quivalence.........................

VI-1-2-2- Cas o l'quivalence n'intervient pas....................

VI-1-2-2-1- Courbe en cloche (C)......................

VI-1-2-2-1- Courbe en fond de bateau (B)..........

VI-1-2-3- Dtermination de la rsistance transversale............


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Rt de la 2me couche

VI-1-2-4- Dtermination de la conductance.........................

longitudinale Cl de la 2me couche

VI-1-2-4-1- Exemple numrique........................

VI-1-3- Cas de plusieurs couches surmontant un substratum..............

rsistant

VI-1-3-1- Rappel de la rgle de Humel................................

VI-1-3-2- Rgle de Humel approche..................................

VI-1-3-3- Exemple de 3 couches sur substratum...................

rsistant

CHAPITRE VII INTERPRETATION AUTOMATIQUE DANS

LA PROSPECTION ELECTRIQUE

VII - 1 - Introduction.....................................................................................VII - 2 - Mthode du gradient........................................................................

VII-2-1- Principe...........................................................................

VII-2-2- Algorithme de calcul........................................................

VII - 3 - Traitement automatique d'un sondage lectrique vertical....................

VII-3-1- Principe............................................................................

VII-3-2- Calcul de la courbe modle................................................

VII-3-2-1- Mthode directe .............................................

VII-3-2-2- Mthode indirecte............................................

VII-3-3- Algorithme de calcul de la fonction "transform"..................

VII-3-4- Calcul de a thorique.......................................................VII - 4 - Traitement automatique d'un profil de rsistivit................................

VII-3-1- Principe............................................................................

VII-3-2- Mthode de Calcul (modle sphrique) .............................

VII-3-2-1- Drivation par rapport la rsistivit du............

milieu perturbateur (sphre)

VII-3-2-2- Drivation par rapport la rsistivit du............

milieu encaissant

VII-3-2-3- Drivation par rapport au rayon "a" de la..........

sphre

VII-3-2-4- Drivation par rapport la profondeur..............

"z" de la sphre

CHAPITRE VIII CONSTRUCTION ET INTERPRETATION DES

CARTES ET PROFILS DE RESISTIVITE

BIBLIOGRAPHIE


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CHAPITRE I INTRODUCTION

I - 1 - Intoduction la prospectionlectriqueLa prospection lectrique est une des mthodes gophysiques, applique dans l'exploration du sous

sol, par sondage vertical ou par profilage (recherche des conducteurs).

La profondeur d'investigation s'tale de quelques centimtres quelques centaines de mtres de

profondeur; donc son spectre d'utilisation est trs large: En sub surface, en recherche minire , dans

l'agriculture , dans l'amnagement du territoire, construction de batiments, des ponts et chausss,

voies ferres, dans les recherches archologiques, galement dans la recherche des aquifres en

hydrogologie.Elle est utilise en sub surface, grace aux techniques de multi lectrodes, on peut oscult la partie

superficielle du sol avec une grande prcision.

I - 2 - Classification des mthodeslectriquesLes mthodes se distinguent selon: 1- Le type du champ: Continue ou Alternatif; 2- Le procd

d'exploitation du champ: Naturel ou Artificiel; 3- Le rgime du champ tudi: Stationnaire ou

Transitoire.

I - 3 - Problmatique des MthodeslectriquesParmi les mthodes de rsolution des problmes golectriques, on distingue:

- La rsolution du problme Directe ( mthode directe)

- La rsolution du problme Inverse ( mthode inverse)

I-3-1- Rsolution du problme directe.

La rsolution du problme directe dans la prospection lectrique, consiste tudier le champ

lectrique correspondants aux coupes golectriques prdfinies ou donnes thoriques (modlesthoriques).

I-3-2- Rsolution du problme inverse.


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La rsolution du problme inverse dans la prospection lectrique consiste retrouver les paramtres

golectriques partir des donnes exprimentales; le problme inverse est la confrontation du

modle thorique avec celui du modle exprimental.

I - 4 - Proprits lectriques desroches.Les mthodes gophysiques sont bases sur la mesure des proprits physiques des roches;

connaitre leur distribution dans l'espace constitue le but atteindre.

Les principales proprits constituant l'corce terrestre sont:

densit, module de Young, Coefficient de Poisson, Susceptibilit magntique, rsistivit,

conductivit, vitesses de propagation des ondes dans les milieux lastiques.

Parmi les caractristiques cites ci-dessus, c'est la rsistivit qui prsente le plus grand intrt enprospection lectrique et surtout en recherche ptrolire, minire, et hydrique. De la physique

fondamentale nous avons la relation suivante:R=.[l / s] ( Ohm ) d'o: =R.[s / l] ( Ohm.m ) ;

o: {conductance} = 1 / (simens); R - rsistance;l - longueur d'un conducteur

s - l'aire de la circonfrence du conducteur; - rsistivitOn distingue la conductibilit lectronique et celle ionique;la conductibilit lectronique est

conditionne par le dplacement des lectrons.Ces minraux sont les conducteurs dans toutes leure

masse; titre d'xemple citons des minerais avec conductibilit lectronique:

- Cuivre : =1,7.10-8- Aluminium: =4,5.10-8- Pirite de fer: =10-3 =10-2 Ohm

Conductibilit ionique: Elle est conditionne par la possibilit de dplassement des ions; ce

dplacement dpend donc de: - la porosit utile; - la prmabilit; - nature du fluide lui mme; -

teneur en sel dissous; - temprature

Elle est souvent donne par une formule reprsente sous forme d'abaque en chelle

bilogarithmique; celui-ci montre comment la rsistivit d'une solution varie en fonction de la salure:

c'est--dire de l'quivalent NaCl et de la temprature.

L'eau la plus pure a une rsistivit de l'ordre de 106 107 Ohm.mtre, mais il suffit d'une quantit

infime de matires en solution pour que cette rsistivit tombe quelques centaines ou quelquesdizaines d'Ohm.mtres.

Par exemple 18, une eau douce (ou eau des oueds en Algrie) 0.1g/l de NaCl a une rsistivit de

55 Ohm.mtre, une eau 1g/l a une rsistivit de 5.7 Ohm.mtre, tandis qu'une eau sale 10g/l a

une rsistivit de 0.65 Ohm.mtre.


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La rsistivit de l'eau de mer varie de 0.18 0.23 Ohm.mtre.En gnrale,l'eau des sources ordinaires

a une rsistivit voisine de 10 Ohm.mtre(roches sdimentaires) et de 30 150 Ohm.mtre pour les

roches ignes. Si l'on fait circuler un courant lectrique dans une roche ou un terrain imprgne

d'eau, les lignes du courant suivent, dans leur trs grande majorit, le rseau constitu par les pores

remplies d'eau. Dans ces conditions la rsistivit de la roche t est telle que: r =F. Wo: w = la rsistivit de l'eau contenue dans cette roche; F = le facteur de formationLa rsistivit d'une roche dpend donc la fois de la rsistivit propre de l'eau d'imbibition, de la

proportion d'eau qu'elle contient, de la faon dont celle-ci est rpartie et du facteur de formation "F",

li la porosit, la permabilit et la consolidation. La rsistivit dpend aussi de la

texture(granulomtrie) et de la structure (anisotropie).

En ce qui concerne la structure, il est bien connu que les terrains stratifis conduisent mieux le

courant dans le sens des strates "conductance longitudinale", que dans le sens traversal "rsistivit

transversale".En gnral, la rsistivit d'une roche diminue lorsque le degr d'humidit ou la salure de l'eau

contenue dans cell-ci augmente.La porosit est lie au facis;ainsi, les calcaires sont plus rsistants

que les marnes ou les argiles.

Les hydrocarbures l'tat pur sont en pratique trs rsistants.

L'xprience montre que la rsistivit d'une roche est loin d'tre constante,mme dans une rgion

gologiquement connues,mais pour interprter convenablement les mesures lectriques,il est

necessaire de s'avoir les valeurs moyennes de rsistivit des roches . Les facteurs dont dpend la

rsistivit des roches sont les suivants: - rsistivit des minraux composants la partie dure de la

roche; - rsistivit des liquides et des gaz remplissants les pores des roches; - humidit des roches; -

porosit des roches; - structure des roches

CHAPITRE II BASES THEORIQUES DE LAPROSPECTION ELECTRIQUE

II - 1 - Relations fondamentales destats stationnairesII-1-1 - Loi de Kirchhoff sous forme differentielle

Etablissement de la loi: Soit une coupe gologique o passe un courant continu,examinons un

certain volume V de la roche limit par la surface S,supposons aussi qu'il n'y a pas de sourceslectriques l'intrieur de cette surface.

Dans ce cas,la quantit des charges lectriques qui passe l'intrieur du volume V par l'unit du

temps est gale la quantit des charges qui quittent le mme volume.

On peut exprimer ce phnomne de la manire suivante:


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n.ds=0

o: jn - la composante normale du vecteur de la densit du courant

D'aprs le thorme d'Ostragradsky-Gauss.

jn.ds= div j dvo: v - le volume limit par la surface S

Alors, div j dv=0;cette galit est verifie pour tout volume et en particulier pour un volumeinfinitsimal. D'ici nous avons la loi de Kirchhoff sous forme differentielle:

div j = 0

qui exprime la continuit des lignes de courant dans un point considr.

II-1-1-1 - L'Intensit du champ lectrique " E "

La force ou intensit du champ lectrique E drive d'un potentiel lectrostatique V(fonction scalaire)

et s'exprime par la relation suivante:

E = - grad V

II-1-1-1-1 - La circulation du vecteur E le long d'une courbe

ferme est nulle.

En effet : E.dl = Vdebut - Vfin

D'aprs le thorme de Stokes on peut crire:

rot E.ds = 0

et cela quelle que soit la surface S s'appuant su C,ce qui entraine:

rot E = 0

II-1-2 - Equation de Poisson.

En tenant compte du caractre corpusculaire des charges l'echelle atomique nous pouvons

considerer une rpartition des charges comme tant continue en volume V. Alors nous pouvons

dfinir autour d'un point dans un volume "dv" la densit cubique par:=dq / dv


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Le flux lectrique "dN" envoy par des charges travers une surface ferme,entourant ces charges

peut tre dterminer d'un ct,d'aprs le thorme de Gauss et d'autre ct d'aprs le rhorme

d'Ostrogradsky,d'o on obtient l'quation de Poisson:

div E = /0o:

- densit de charge0 - permitivit lectrique dans le vide

II-1-3 - Equation de Laplace.

Si un lment de volume "dv" ne contient pas de charges ou s'il renferme en quantit gale et de

signe contraire,la densit est nul et la relation prcedente s'crit alors:

div E = 0

Elle constitue l'quation de l'aplace,elle exprime aussi que le flux de E dans un volume considr est

nul:Dans un domaine ne contenant pas des charges lectriques,le flux du vecteur E est conservatif.

On donne ces deux quations une autre forme faisant intervenir le potentiel lectrique V et

spcialement le Laplacien ""V = /0 et V = 0

II-1-4 - Loi d'Ohm sous forme differentielle.

Considrons le courant passant travers un cube "dx.dy.dz" de densit "j" on a:

I = [(U2 - U1).S ] /.L = - S/. (u/l)

Les composantes de la densit du courant sont:

jx = -1/. (u/x) ; jy = -1/. (u/y) ; jz = -1/. (u/z) ;

La densit totale dans l'espace sera:

J = - .(u/x + u/y + u/z) = - .grad u

d'o nous obtenons la loi d'Ohm:

J = .E

La densit du courant est proportionnelle l'intensit du champ lectrique.


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II-1-4-1 - Champ lectrique normale

On appelle champ lectrique normal, le champ lectrique d'une certaine source situe dans un milieu

homogne ou sur la surface de la terre emprisonant un corps ayant une charge lectrique.

II-1-4-2 - Potentiel lectrique

C'est le travail qu'il faut appliquer pour dplacer une unit de charge d'un point du champ lectrique

l'infini.S'il s'agit de dplacement de charge d'un point l'autre ce sera la diffrence de potentiel:

V = V2 - V1

II-1-5- Champ lectrique normal d'une lectrode sphrique

Soit une roche homogne de rsistivit et soit une lectrode sphrique de rayon "a" conduisant le

courant "I" dans cette roche.On peut obtenir la formule pour le champ normal de l'lectrode "A" en intgrant l'quation de

Laplace.

Prenons les coordonnes polaires dans le centre de l'lectrode; Supposons qu'un certain volume du

milieu est homogne, c-a-d ne dpend pas des coordonnes du point,alors grad =0 , et l'quationde Laplace en coordonnes polaires devient:

1/r/r(rv/r) +1/rsin /(sin.v/) +1/rsin v/ =0

En tenant compte de la symtrie sphrique,nous concluons que:

v/=0 et v/=0On obtient:

1/r/r(rv/r) =0ou bien : /r(rv/r) =0C'est l'quation de Laplace dans les conditions donnes du problme, en l'intgrant, on obtient:

rv/r = c ; o v/r = c/r ;et finalement : v= - c/r +d

Il reste dterminer les constantes "c,d".

On sait que dans un point situ l'infini,le potentiel est gal zro ;*

d'o: d=0

Il reste : v = -c/r

Traons autour de l'lectrode "A" une surface de rayon "R" et calculons le courant "I" qui traverse

cette surface:


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d'aprs la loi d'Ohm: J=Jn = E/E = - v/r = c/r ; Jn = c/.r

Etant donne que Jn

conserve la mme valeur et la mme direction radiale dans tous les points de la

sphre de rayon R.

I = Jnds = c/.R ds = (c.4R)/.R = - 4c /d'ici on obtient:

c = - I / 4et V = I / 4 .1/r ; E = I / 4 .1/r

On peut voir que le champ lectrique de l'lectrode sphrique place dans un milieu homogne ne

dpend pas du rayon de cette lectrode.

II-1-6- Champ lectrique d'une lectrode demi-sphrique

Examinons maintenant le champ lectrique d'une lectrode demi-sphrique de rayon "a" situ sur la

surface de la terre de rsistivit et alimente par un courant " I ".Dans ce cas nous avons la mme rpartition du courant que dans le cas prcdent,mais la densit du

courant sera deux fois plus grande.

Les formules prcedentes deviennent:

V = I / 2 .1/r ; E = I / 2 .1/r

Ce sont les formules de base de la prospection lectrique

II-1-7 - Champ lectrique d'une lectrode ponctuelle

Examinons le caractre des surfaces quipotentielles et les lignes de forces d'une source

ponctuelle.On peut obtenir l'quation des surfaces quipotentielles;supposant que V=const; alors

v = c = I / 2 .1/r ;donc pour r = a ; c= I / 2 .1/aC'est l'quation d'une demi-sphre de rayon "a" et de sommet le point "A"

On sait que les lignes de force du champ lectrique ainsi que les lignes de courant dans un milieu

homogne et isotrope sont toujours perpendiculaires aux surfaces quipotentielles.A cause de cela

les lignes du courant d'une lectrode "A" place dans une roche homogne,reprsente l'ensemble

des lignes radiales issues de "A"

II-1-8- Champ lectrique de deux lectrodes ponctuelles


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Soient deux lectrodes "A" et "B" places sur un terrain conducteur de courant "I", circulant de "A"

vers "B" ; si VA > VBOn peut calculer le potentiel au niveau d'un point "M" situ entre "A" et "B",comme une somme de

potentiel cr par la prise de terre "A" avec un courant "I" et par la prise de terre "B" avec un courant

"-I".

Donc:

VM = VAM + VBM = .I / 2 .1/rAM - .I / 2 .1/rBM= .I / 2 (1/rAM - 1/rBM )

On obtient l'quation des surfaces quipotentielles : (si V=const)

C = .I / 2 (1/rAM - 1/rBM ) et (1/rAM - 1/rBM ) = 2C / .I

II-1-9 - Densit du courant Electrique et profondeur

d'investigation

Cas d'une lectrode place la surface de la terre: Examinons la rpartition du courant issue de la

source "A".

1 - au niveau du point "M" plac la surface; 2 - et au niveau du point "P" situ une profondeur

"h".

On sait:

E = I / 2 .1/r2 donc : J = I / 2.r2

Dans notre cas : Jh

= I / 2 ./(L2 + h2)et au point "M": J

0= I / 2 ./L2

Donc la densit rlative au point " P " sera gale :

Jh/J0 = 1/ [ 1 + (h/L)2 ]

Traons deux graphiques partir de cette dernire formule,l'un pour une distance source-point de

mesure gale "L";l'autre quand cette distance devient gale " 3L ".

Nous constatons dans ces deux graphiques que l'orsque le point d'observation s'loigne de la source

la densit relative baisse plus lentement.

D'ici nous pouvons conclure,que la profondeur d'investigation dans la prospection lectrique s'acroit

quand la distance metteur recepteur s'accroit aussi.

II-1-9-1 - Cas de deux lectrodes


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Examinons maintenant la rpartition de la densit du courant travers les roches suivant le plan

vertical "Q" de deux sources du courant lectriques "A" et "B".

Le plan "Q" se trouve au milieu de "AB".

Trouvons la densit du courant au point "P" la profondeur " h ".

La densit totale : JAB = JA + JB

JA = JB = I / 2 ./(L/2) + h)JAB = (JA + JB ) cos

cos = L/2[(L/2)+h]

JhAB = I / 2 ./ [(L/2) + h)]3/2

et sur la surface la densit de courant est exprime par la relation suivante:

J0AB = 4I / L2Donc la densit relative est:

JhAB / J0AB = 1 / [(2h/L) ]3/2

Sur la figure prsente ci-contre les deux courbes de densit de courant correspondent aux deuxdispositifs de longueur "L" et "L' " ( telle que L > L' )

Donc ces deux reprsentations analytiques et graphiques dmontrent bien la relation existante entre

la profondeur de pntration du courant continu dans le sol avec l'augmentation de la longueur entre

les deux lectrodes.

II-1-9-2 - Champ lectrique de diple

On appelle diple l'ensemble de deux sources ponctuelles du champ lectrique de signes

opposs,mais infinement rapproches;soit r1 et r2 les distances entre M et les diples respectifs,l'angle entre "r" et la direction "BA"(On appelle cette direction l'axe de diple), " l " la distance entre A et B.

On peut calculer le potentiel au point M comme une somme de potentiels crs par A et B

VM = VAM + VBM

= .I / 2 .1/rAM

- .I / 2 .1/rBM

=.I / 2 (1/rAM

- 1/rBM

)

= .I .dr/ 2 r1r

2

= .I .l.cos/ 2 r


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Etant donne que: l


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On a la rsistivit: (en Ohm)

a = K.V/I

C'est la formule de Schlumberger exprimant la proportionalit entre la rsistivit apparente,le

coefficient du dispositif,la tension entre les lectrodes de reception MN et le courant d'mission I.

CHAPITRE III MISE EN OEUVRE ET DISPOSITIFS DEMESURE DANS LA PROSPECTIONELECTRIQUE

III - 1 - Mise en oeuvre.Une campagne de prospection lectrique s'articule autour de deux principales composantes:

Humaine et matriel ou quipement.

La composante humaine comprend tout d'abord l'quipe de topographie:

III-1-1- Equipe de topographie.

Cette quipe a pour tche de matrialiser sur le terrain les sondages lectriques d'aprs leur plan de

position.

Le point de dpart sur le terrain est un rattachement, on cherche un point connu (forage, point

godsique, point astronomique etc..) qui sera pris pour origine, ensuite on rattache ce point un

sondage lectrique le plus proche de celui-ci.

On implante finalement les diffrents sondages lectriques ou profils, en relevant chaque fois lesparamtres de mesures (Angles horizontaux, verticaux, lectures mdianes et extrmes etc..) qui vont

servir pour le calcul des coordonnes X,Y,Z des diffrents sondages. ( Comme la distance entre

deux sondages et relativement grandes 1 2 Km; une moyenne de 6 8 levs intermdiaires est

effectue).

Le nombre de sondage ralis quotidiennement peut tre de 4 6 selon la nature du terrain et

l'accssibilit.

Le sondage lectrique est matrialis par un piquet et des pierres sur lesquelles est crit la peinture

le nom du profil et le numro du sondage (par exemple X5 )

La compensation (carts de fermeture) est effectu ultrieurement au bureau par la mthode des

moindres carrs, aprs cette compensation le topographe tablit les coordonnes dfinitives " X, Y,

Z " , qui seront fournies au bureau d'interprtation.

III-1-1-1- Composition de l'quipe:

L'quipe de topographie se compose gnralement :

- un topographe


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- un chauffeur

- un porte mire

Elle utilise le matriel suivant:

- un vhicule du type Land-rover

- un thodolite T1

- deux mires ( 4 m )

- une chaine d'arpenteur

- des piquets

- une carte topographique de la rgion

III-1-2- Equipe de rsistivit.

Cette quipe est compos d'un oprateur, de deux chauffeurs et cinq manoeuvres.

Le laboratoire de rsistivit est mont sur un vhicule, aliment par la batterie du vhicule et

comprend:*Une source d'envoi de courant ( piles sches montes en srie)

*Un slecteur MN et un compensateur de PS Figure

*Un inverseur de courant

*Un enrgistreur de V

III - 2 - Techniques de Mesures.Selon que l'on s'intresse aux variations avec la profondeur ou aux variations latrales, on distingue

deux techniques de mesures: Le sondage lectrique et le profil de rsistivit.

On utilise pour les deux techniques un dispositif symtrique comprenant deux prises de terre A et B

et deux sondes M et N, l'ensemble lctrodes-prises de terre "AMNB" sont aligns: Le dispositif demesure correspondant est soit celui de Schlumberger ou bien de Wenner, tous deux placs sur la

surface du sol. La rsistivit apparente peut tre calcule d'aprs la formule suivante:

a = k.u / I

o: k dsigne le cofficient du dispositif.

a = 2..[AM.AN./MN] . u / IIII-2-1- Ralisation sur le terrain d'un sondage lectrique.

La premire tche faire consiste rappeler aux manoeuvres la mthode de travail sur un fond de

document, ensuite leurs donner les consignes de scurit necessaires prendre au cours du travail.

Pour leur faciliter la tche un cble de 20 m est tal est dont le milieu correspond le point du

sondage lectrique (marque bleu) et les diffrentes positions de MN sont indiques par des marques

jaunes et celles des AB par des marques rouges.


17/50

17

III-2-1-1- Travail de l'oprateur:

Avant de procder aux mesures l'oprateur vrifie le branchement des lctrodes d'envoi A et B

l'aide du testeur de rsistance; assure la compensation des courants parasites (compensation de la

PS).

Quand la compensation est bonne, ce dernier envoie un courant directe et inverse; la valeur de UMNest obtenue en multipliant la distance "L" (l'longation L) par l'chelle choisie (le calibre). Sur le

mtrix, il lit la valeur de " i " (intensit du courant); sur une feuille de mesure il met les valeurs de " i

" et de UMN trouve, le cofficient du dispositif " K " ensuite il calcule a.

III - 3 - Dispositifs de mesures.On appelle dispositif de mesure, une figure gomtrique mise en oeuvre sur le terrain l'aide de

cables d'mission de courant lectrique et des cables de rception, permettant ainsi la mesure de ladiffrence de potentiel entre deux lectrodes .

III-3-1- Dispositif de Schlumberger.

Dans le cas du dispositif de Schlumberger Figure

MN est trs petit par rapport AB.; telle que : 4 AB/MN 20 ; Si OA = a,ON = b; On aura:

K = .( a2 - b2 ) / 2bExaminons maintenant un dispositif de Schlumberger situ sur la surface du milieu de deux terrains

stratifis de rsistivit 1 et 2 et supposons que l'espacement du dispositif AB est beaucoup pluspetit que l'paisseur h1 de la premire couche.

Nous savons que la profondeur de pntration du courant est une fonction de la distance AB,donc

confermement ce cas, la profondeur de pntration est considrablement plus faible que l'paisseur

de la premire couche;c'est pourquoi la surface de sparation entre les couches de rsistivit 1 et 2n'exerce pratiquement aucune influence sur a mesur l'aide du dispositif d'espacement trs court,a tend vers la rsistivit de la premire couche a1 .III-3-2- Dispositif de Wenner.

Le dispositif de Wenner est tel que : AM=MN=NB

Si OA = a , 2a/3 = 2b; on aura:K = 4a/3

III-3-3- Dispositif de Humel.

Le dispositif de Humel trois lectrodes A, M, N se trouvent sur la mme ligne et B est l' .


18/50

18

K = 2AM.AN / MN ; o MN < AOIII-3-4- Dispositif de Potentiel.

Le dispositif de potentiel deux lectrodes " A et M "

dont B et N sont l'infini est :

K = 2AMIII-4-5- Dispositif de Diple.Les dispositifs de diple se distinguent suivants les angles que forment la longueur d'mission "AB",

la longueur de rception "MN" et le point de mesure "O" (centre de MN) Figure

Ainsi, on distingue : 1- le dispositif azimutal { (variable) et = / 2 }2- le dispositif radial { (variable) et = 0 }3- le dispositif parallle { = }4- le dispositif perpendiculaire { = / 2 et = 0 }5- le dispositif axial { = = 0 }

Le calcul des coefficients des dispositifs s'effectuent l'aide de la formule gnrale pour chaque cas

particulier.

CHAPITRE IV BASES THEORIQUES ET PRATIQUESDE L'INTERPRETATION CAS DUSONDAGE ELECTRIQUE VERTICAL

IV - 1 - Bases thoriques du sondagelectrique vertical.La base thorique du sondage lectrique vertical est bas essentiellement sur la rsolution de

l'quation de Laplace applique au problme du champ lectrique d'une source ponctuelle situe sur

la surface des stratifications horizontales.

Il s'agit donc de dterminer les fonctions " Vi " qui rsolvent l'quation de Laplace:

Vi = 0et qui doivent satisfaire aux conditions aux limites et conditions aux frontires.

1) Vi = Vi+1 ]z=di

2) 1 / i

[vi

/z] =1 /i+1

[vi+1

/z]]z=di

3) r Vi 0


19/50

19

4) Z Vn 0

5) Z = 0 1 / 1

[v1

/z] =0

6) R 0 V1 1.I / ( 2R) n V

Le potentiel et ses drives sont dfinis dans tous les points de l'espace exepts l'infini o ils sont

gaux zro.

Compte tenu de la symtrie par rapport l'axe "Z" nous avons:

v /r + 1/r (v /r) + v /z = 0Utilisons la mthode de Fourier pour rsoudre cette quation de Laplace.

Prsentons la fonction " Vi " sous la forme d'un produit de deux fonctions" u " et " v "

alors:u = u(r) ; v = v(z)

V = u(r).v(z)

Remplaons " V " par ce produit dans l'quation de Laplace

v u /r + v/r (u /r) +u v /z = 0

et aprs avoir divis par le produit " uv " on obtient l'quation suivante:

1/u u /r + 1/r.u (u /r) + 1/v v /z = 0

Les deux premiers termes ne dpendent que de "r" et le troisime ne dpend que de " z "

c'est--dire,ils sont tals sparement la mme grandeur,qui ne dpend ni de " r " ni de " z

",dsignons le par " m ".

L'quation precedente devient:

1/u u /r + 1/r.u (u /r) = - m1/v v /z = m

Ce sont les quations de Bessel d'ordre zro.Les intgrales de ces quations sont rspectivement :

0(m,r) ; 0(m,r) ; emz ; e-mz

Donc l'intgrale renferme les produits suivants:


20/50

20

0(m,r) e-mz et 0(m,r)emz

0(m,r) e-mz et

0(m,r) emz

On choisit les solutions qui satisfassent les conditions aux limites.On sait que la fonction

0(m,r) tend vers l'infini si " mr " tend vers zro.Il en rsulte que cette fonction ne satisfait pas lesconditions imposes du problme ( condition 6). Ainsi on peut considerer comme solution

particulire la somme suivante:

A.e-mz 0(m,r) + B.emz 0(m,r)o:

A et B sont les fonctions de variables d'intgration " m ",qui ne dpendent ni de "r" ni de "z".

Alors,la solution gnrale donne par cette mthode de Fourier est la suivante:

V(r,z) = [A.e-mz + B.emz ]0(m,r)dm

Cette solution se gnralise pour les diffrentes couches,il suffit d'appliquer les conditions aux

limites et conditions aux frontires correspondantes.

par exemple:

V(i) = [Ai.e-mz + Bi.emz ]0(m,r)dm

V(n) = [An.e-mz]0(m,r)dm ; avec Bn = 0

IV - 1 - 1 - Application pour les couches suprieures:

Ecrivons que le potentiel au niveau de la premire couche s'crit comme suit:

V(1) = V*+ V

o :

V* = 1.I/ ( 2R) : le potentiel d'une lectrode ponctuelle " A " sphriquedans la premire couche (voir formule: )

V1(r,z)= [A1.e-mz + B1.emz ]0(m,r)dm: potentiel dpendant la fois de "r" et de " z "

Le potentiel V(1

) peut tre prsenter comme suit:

V(1) = 1.I / 2.(r + z) + [A1.e-mz + B1.emz ]0(m,r)dm

Utilisons la condition 5 :


21/50

21

{ I.Z/ 2.[r + z]3/2 + 1/ 1. m (-A1.e-mz + B1.e

mz )0(m,r)dm }z=0 = 0

L'intgrale est gale zro pour n'importe quelle grandeur de la variable indpendante de " r "

seulement pour un seul cas:

quand : m (-A1 + B1 )0(m,r) = 0 ; d'o A1 = B1

Donc: V(1) = 1.I / 2.(r + z) + B1.(e-mz + emz ]0(m,r)dm

En utilisant la formule de Weber-Lipschitz: 1/(r + z) = e-mz 0(m,r)dm

Nous pouvons crire le potentiel V(1) sous la forme d'intgrale suivante:

V(1) = [(1.I / 2) e-mz + B1.(e-mz + emz )]0(m,r)dm

IV-1-2- Potentiel lectrique dans le cas de deux (2) couches.

Considrons tout d'abord le cas simple de deux couches stratifies.Soit une couche horizontale

d'paisseur " h1 " et de rsistivit "1" ,recouvrant un substratum homogne indfinie de rsistivit "

2".

Pour rsoudre ce problme considrons le systme d'quations construit partir des conditions aux

limites:

1) V1 = V2 ]z=h

2) 1 / 1

[v1

/z] =1 /2

[v2

/z]]z=h1

Etant donne que : A1= B1 et B2= 0

On a:

[(1.I / 2) e-mz + B1.(e-mz + emz )]0(m,r)dm = A2e-mz 0(m,r)dm

- m /1.[1.I / 2) e

-mh1 - m /1

B1e-mh1 +m /

1B1e

mh1 = - m /2

A2e-mh1

ou bien: (B1+ 1.I / 2) e-mh1 + B1 e

-mh1 =A2e-mh1

1 /1[(-1.I / 2 - B1 ) e

-mh1 + B1e-mh1 = -1 /

2A2e

-mh1

En rsolvant ce systme d'quations on obtient:


22/50

22

B1=( 1.I / 2)[ K12e-2mh1 / 1 - K12e

-2mh1] o : K12 =( 2 - 1 ) / (2 +1 )

On appelle " K " coefficient de reflexion.

Il est plus prfrable de prsenter " B1 "sous une forme plus condense,en l'exprimant sous la forme

d'une srie,sachant que:

( 1 - K12e-2mh1) =1 + K12e

-2mh1 + K122e-2m2h1 + K12

3e-2m3h1 ...+.... etc...

d'o:

B1 = ( 1.I / 2) .[ K12e-2mh1 + K12

2e-2m2h1 + K12

3e-2m3h1 ...

= (1.I / 2) K12ne-2mnh1

ainsi :

B1 = ( 1.I / 2) K12ne-2mnh1

donc:

V(1)= 1.I / 2.(r + z) + ( 1.I / 2) K12ne-2mnh1 (e-mz + emz]0(m,r)dm

V(1) = 1.I/2[1/(r+z)+K12ne-m(2nh1+z)0(m,r)dm+

+ K12ne-m(2nh1 - z)0(m,r)dm

En appliquant une deuxime fois la formule de Weber-Lipschitz on obtient la formule suivante:

V(1) = 1.I / 2[1/(r + z) + K12n/(r +(2nh1+ z) +

+ K12n/(r +(2nh1 - z)]

Dans le cas d'un potentiel la surface de la terre (c'est--dire z=0) on a:

V(1) = 1I / 2[1/r +2 K12n/(r2 +(2nh1)3/2]

On sait que : E = - v1 /r


23/50

23

donc:

E(1) = 1I / 2[1/r2 +2r K12n/[(r2 + (2nh1)2]3/2]

IV-1- 3 - Etablissement de la formule de la rsistivitapparente.

IV-1-3 -1- Rsistivit apparente.

On peut toujours mesurer la rsistivit d'un terrain homogne en se servant d'un quadriple de

forme et de dimension quelconque. Il suffit de mesurer I et V. On obtient le rsultat en Ohm.m; siV est exprim en volts, I en ampres, les longueurs en mtres.

Soit, maintenant, un terrain quelconque, et dont il n'est pas ncessaire de supposer la surface plane.

Il est toujours possible de d'installer un quadriple, de mesurer I et V, puis de calculer la valeurnumrique de K. Le nombre obtenu est de mme dimension qu'une rsistivit. Mais ce ne saurait

tre la rsistivit du terrain, puisqu'il n'est pas homogne. On le nomme " rsistivit apparente ".

Cette rsistivit apparente a dpend videmment de la position du quadriple, de sa forme, de sesdimensions ainsi que de la structure du terrain. En gnral ( moins de vouloir imaginer des cas trs

particuliers), la rsistivit apparente a sera une sorte de moyenne des rsistivits vraies des diversterrains qui se rencontrent l'intrieur du volume de sol intress pratiquement par la distribution du

courant.

Elle est parfois dfinie comme la rsistivit vraie d'un terrain imaginaire, homogne et isotrope,

quivalent au terrain rel htrogne.

IV-1-3-2- Formulation et expression de la rsistivit apparente.

Soit un dispositif de Humel fig

a = K.V / I avec: K = 2.[AM.AN] / MN

Si MN 0 ; AM AN r et V/MN E

Comme : E1 = - Grad(V1) = - v1 /r

a

= E1

/ I = 2r2.(Grad V1

) / I = 2r2.(- V1

/r)

o : I : est l'intensit du courant

Aprs drivation de la fonction potentiel "V" on obtient:


24/50

24

a = 1 [1 + 2 r3 (K12)n/ [(r2 + (2nh1)2]

3/2]

a /1 = 1 + 2 (r/h1)3 (K12)n/ [(r/h1)2 + 4n2]3/2

C'est l'quation des courbes thoriques deux couches.

Selon cette relation, les courbes thoriques de rsistivit apparente pour diffrents modles sont

calcules en considrant les diffrents rapports des rsistivits:

a2 /a1

Ces courbes sont reprsentes sur papier bilogarithmique et rassembles dans un catalogue dit

Abaque deux terrains.

Toutes ces courbes ont une allure caractristique, elles ont deux asymptotes verticales.

Chaque rponse du modle ou chaque courbe se trouve entre ces deux asymptotes:

Examinons ces deux asymptotes pour fixer les ides:

1 - Asymptote suprieure '

' = lim r 0

a = lim r 0 1 [1+2(r/h1)3 (K12)2/ [(r/h1)2 + 4]3/2] = 12 - Asymptote infrieure ''

'' = lim r a = lim r 1 [1 + 2 (K12)2/ [(h1 / r)]3/2]= lim r 1 [1 + 2 (K12) ] = 2

Dans le cas o 2 = ; la courbe obtient une troisime asymptote, c'est la ligne tangent faisant unangle de 45 par rapport aux axes de coordonnes bilogarithmiques.

IV - 2 - Construction d'Abaques.

Soit la fonction a /1 = f ( r/h1 ; 2/1 ) tire de la formule suivante:

a /1 = {1 + 2 (r/h1)3 (K12)n/ [(r/h1)2 + 4n2]

3/2}


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25

exprimant la relation rsistivit apparente en fonction de r/h1 et 2/1.Supposant 2/1 constant pour l'ensemble des courbes:( r/h1) 2/1=constc'est--dire :

a /1 = ( r/h1) 2/1=const .Trouvons le logarithme dcimal de cette quation:

log a - log 1 =log( r/h1)

On peut voir d'aprs cette quation qu'en utilisant l'chelle semi-logarithmique, le caractre de la

courbe a /1 = ( r/h1) ne dpend pas de la valeur 1 pour certaines valeurs 2 /1 constantes,c'est--dire, deux courbes correspondantes aux coupes gologiques avec la mme valeur de 2/1 eth1 mais pour diffrentes valeurs de 1 ; possdent la mme forme mais dplaces paralllement parrapport l'axe de a sur une distance :'a- 1 ; figSi nous utilisons l'chelle bilogarithmique les courbes traces partir de la relation

log a - log 1 = log( log r - log h1)

Le caractre des courbes ne dpend ni de 1 ni de h1, c'est--dire, les courbes avec la mme valeurde 2 /1 mais de 1 et h1 diffrents, auront la mme forme dplaces paralllement l'axe " a "d'une distance , et paralllement " r " d'une distance h. figL'ensemble des courbes correspondantes l'quation porte le nom d'ABAQUES du sondage

lectrique deux terrains ou deux couches.

Dans le cas de trois terrains : Nous aurons affaire une premire couche d'paisseur h1 et de

rsistivit 1; la deuxime couche sous-jacente d'paisseur h2 et de rsistivit 2 recouvrant unsubstratum homogne infini de rsistivit 3. Dans ce cas nous aurons quatre quations qui peuventtre representes de la manire suivante:

1) V1 = V2 ]z=h12) 1 /

1[v

1/z] =1 /

2[v

2/z]]z=h1

3) V2 = V3 ]z=h1+h24) 1 /

2[v

2/z] =1 /

3[v

3/z]]z=h1+h2

d'o on a:

B1(ap1 +1)-A2.a

p1-B2 = -qap1 1 /

1B1(a

p1 -1)- 1 /2A2.a

p1 +1 /2B2

= -1 /1qap1A2.a

p2 +B2 -A3ap2 = 0


26/50

26

1 /2A2a

p2 - 1 /2B2 -1 /3A3ap3 = 0

o : h1 = p1h

h1

+h2

=p2

h

q= 1I / 2a = e-2mh1

En tenant compte que : K12 =( 2 - 1 ) / (2 +1 ) et K23 =( 3 - 2 ) / (3 +2 )En rsolvant le systme par rapport B1 on obtient:

B1 = 1I / 2.{ K12ap1 - K23 ap2/[1- K12ap1- K23ap2+ K12 K23a(p2-p1)]}

o on peut reprsenter B1 de la manire suivante:

B1 = 1I / 2. qn.e-2mh1

o : qndpend de K12,K23 ,p1 ,et p2,

On appelle coefficient d'mission, n'importe quel coefficient qn pouvant tre calcul si h1 h2, 1 , 2 ,,

3,

4sont connus.

Revenons prsent l'quation de V1, en remplaant B1 par sa valeur trouve si-dessus.

V(1) = 1.I / 2.[1/(r + z) +qn. [e-2mnh1( e-mz +emz )0(m,r)dm]

En posant Z=0 et en utilisant la formule de Weber-Lipschitz, on obtient finalement:

V(1) = 1.I / 2.[1/r +2qn./(r + (2nh1)]

On peut voir que cette quation est analogue celle du cas de deux terrains ou deux couches. Par

consquent on peut obtenir la rsistivit apparente de la mme faon:

a /1 = 1 + 2 qn(r/h1)3 / [(r/h1)2 + 4n2]3/2

o : qn = f ( 1, 2 , 3 ,h1, h2)ou bien a /1 = f ( 2/1 , 3/1 ,h2/h1 , r/r1)

Il est vident que la dpendance a de l'espacement du dispositif ne peut tre reprsente que sousla forme de l'ensemble d'abaques de l'espace suivant:

a /1 =(r/h)2/1 = const ; 3/1 = const ; h2/h1 = var


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27

Pour les abaques 3 terrains selon le rapport entre 1 , 2 et 3 ,peuvent tre partages en quatres groupes :Type H ; Type K ; Type A ; Type Q

IV-2-1- Rappel sur la reprsentation bilogarithmique des

diagrammes lectriques.

Dans la pratique, on utilise une double chelle logarithmique pour reprsenter la courbe donnant la

rsistivit apparente a (en ordonne) en fonction de AB/2, demie-longueur de ligne (en abscisse);le papier transparent (calque) sur lequel on reporte la courbe est appel " papier bilogarithmique" et

son module est de 62,5 mm (pour les abaques CGG).

Soit une succession de " n " terrains dont les paisseurs sont h1, h2, h3, hn, et les rsistivits 1, 2 ,

3 ,4, 5 , n ; on suppose toujours que la nime terrain, appel " substratum " est infinement pais (hn=) : Cette succession comporte donc "2n-1" inconnues, soit "n-1" paisseurs et "n" rsistivits.Si on divise les paisseurs par h1 et les rsistivits par 1, toutes les successions de " n " terrains

ayant les mmes rapports h2/h1 , h3h1, .....hn-1/h1 et 2/1 , 3/1 , n/1 ,donnent des courbessuperposables en coordonnes logarithmiques: Elles se dduisent les unes des autres par une double

translation - horizontale et verticale - du point de coordonnes: " h1 , 1 ", ce point est appel croix gauche ou croix de calage du diagramme lectrique.

Pour calculer les abaques thoriques, on prend : h1 = 1 mtre et 1 = 1 ohm/mtre. Ce qui rduitainsi le nombre des inconnues 2n-3, soit n-2 pour les paisseurs et n-1 pour les rsistivits.

IV-2-1-1- Exemple numrique dans le cas de 2 terrains (n=2)

h'1

= 5 m

h'2 = '1 = 20 ohm.m'2 = 80 ohm.mh"1 = 5 m

h"2 = "1 = 60 ohm.m"2 = 240 ohm.mh"'1 = 25 m

h"'2 = "'1 = 20 ohm.m"'2 = 80 ohm.mh""1 = 25 m

h""2 =


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28

""1 = 60 ohm.m""2 = 240 ohm.mConcidrons les 4 couches suivantes (voire le tableau ci-dessus).

Plus la longueur de la ligne " AB " est petite par rapport h 1, plus le courant lectrique reste localis

dans le premier terrain et donc plus la rsistivit apparente mesure a se rapproche de la rsistivitvraie 1 du premier terrain. Inversement, lorsque " AB" devient grand par rapport h1, la plusgrande partie du courant lectrique pntre dans le deuxime terrain et la rsistivit apparente

mesure se rapproche de la rsistivit vraie 2 du deuxime terrain (l'influence du 1er terrain devenantngligeable).

Le diagramme lectrique a donc deux asymtotes limites d'ordonnes 1 et 2 entre lesquellesresteront comprises les variations de a en fonction de " AB/2 ".Les 4 diagrammes lectriques (1 4 ) sont reprsents sur la figure ( sur papier

bilogarithmique).L'axe logarithmique horizontal, sur lequel on porte les distances " AB/2 " en mtres, est utilis aussi,

par convention, pour placer les paisseurs et les profondeurs des divers terrains en prsence ( le log

d'un forage par exemple).

Rappelons ici qu'il n'existe pas de relations simples entre les profondeurs atteintes et la longueur AB

de la ligne d'envoi de courant.

Les quatres diagrammes sont identiques et superposables: en effet :'2/'1 =''2/''1 ="'2/"'1 ="''2/"''1 = 4 ; L'cart entre les deux assymptotes horizontales estle mme pour chaque sondage.

log '2 - log '1 = log "'2 - log "'1 = log 80 - log 20 = log 4log ''

2- log ''

1= log '"'

2- log "''

1= log 240 - log 60 = log 4 = 0,602

c'est--dire 0,602 * 62,5 mm = 37,6 mm.

Le diagramme " 2 " se dduit du diagramme " 1 " par une translation verticale d'amplitude: log ''1 -log '1 = log ''1 / log '1 = log 3 (soit 29,8 mm).Le diagramme " 3 " se dduit du diagramme ' 1 ' par une translation horizontale d'amplitude: log h" 1- log h'1 = log (h"1 /h'1 ) = log 5 (soit 43,7 mm)

Le diagramme " 4 " se dduit du diagramme " 1 " par une double translation: horizontale

(d'amplitude log 5 soit 43,7 mm ) et verticale (d'amplitude log 3 soit 29,8 mm).

Dans le cas d'une succession de 2 couches, il ne reste plus qu'une seule inconnue et tous les

diagrammes qui admettent le mme rapport 2/1 sont superposables.IV-2-1-2- Exemple numrique dans le cas de 3 terrains (n=3)

h'1 = 3 m

h'2 = 9 m

h'3 = '1 = 20 ohm.m'2 = 80 ohm.m


29/50

29

'3 = 5 ohm.mh"1 = 5 m

h"2

= 9 m

h"3 = "1 = 60 ohm.m"2 = 240 ohm.m"3 = 15 ohm.mh"'1 = 15 m

h"'2 = 45 m

h"'2 = "'1 = 20 ohm.m"'2 = 80 ohm.m"'3 = 5 ohm.mCes diagrammes lectriques dbutent, comme les diagrammes 2 terrains prcdents, en portant de

l'asymptote horizontale 1 et en tendant vers leur asymptote 2 ; mais celle-ci ne sera pas atteintecar l'paisseur h2 n'est pas suffisamment grande. Lorsque " AB " crot, l'influence du substratum (

3me terrain) se fait sentir et devient de plus en plus importante: Les courbes redescendent donc

vers leur asymptote finale 3 Figure.

Les 3 cas sont tels que: h'2 /h'1 = h"2 /h"1 =h'"2 /h"'1 =3

'2/'1 =''2/''1 ="'2/"'1 = 4 et '3/'1 =''3/''1 ="'3/"'1 =1/4

Les 3 diagrammes correspondants sont donc, sur papier bilogarithmique, identique et

superposables.

Les 3 diagrammes se dduisent par translation de leur croix gauche ( h1 , 1) : translation verticalede log "1/'1 = log 3 (soit 0,477 * 62,5 = 29,8 mm ) et translation horizontale de log h'"1 /h'1 = log5 (soit 43,7 mm ). Le nombre des inconnues est rduit 3 : (2n-3 = 3 ):

Ce sont: h"2 /h"1 ; 2/1 ; 3/1 .Toutes les courbes trois terrains, ayant ces mmes trois rapports sont identiques en coordonnes

bilogarithmiques. Ainsi, les courbes thoriques sont toujours calcules en prenant une origine

comme " h1=1 et 1=1" , qui est la croix de calage pour toute une srie de courbes d'un mmeabaque, o l'on ne fait varier qu'une seule inconnue: par exemple h 2 /h1.

IV-2-2- Rappel sur les abaques thoriques ( C.G.G )

Pour les abaques relatifs au dispositif de Wenner, a est porte soit en fonction de " AB/2 ", soit enfonction de " MN " ( MN= AB/3 ).

Pour les abaques relatifs au dispositif de Schlumberger, a est porte en fonction de " AB/2 ", et lescalculs sont tablis en supposant que " MN " est infinement petit: autrement dit, c'est le champ

lectrique ponctuel au milieu " O " de "AB" qui est pris en considration.


30/50

30

Dans la pratique, on opre avec un " MN ", certes petit devant " AB ", mais qui a bien sr une

dimension finie ( c'est dire non infinement petite) et qui crot lorsque "AB" s'allonge: Le

diagramme lectrique Shlumberger exprimental reste donc compris entre une courbe thorique

Wenner et un courbe thorique Schlumberger en se rapprochant plus de cette dernire.

La figure 3 donne un exemple de courbe exprimental:

MN (m) Nombre de mesures en mtres

1 4 , 7, 10

5 6 15, 20, 30, 40, 50

20 6 0, 100, 150, 200, 300

80 5 , 400, 500, 700, 1000

A chaque changement de " MN ", " OA " restant le mme, on obtient 2 valeurs de a; c'estvidemment la valeur obtenue avec le plus petit " MN" qui se rapprochera le plus de la courbe

thorique Schlumberger.

On corrige donc le diagramme exprimental en extrapolant chaque Arc de courbe obtenu avant un

changement de MN et en le raccordant progressivement l'arc de courbe suivant (obtenu avec un

MN plus grand): On se rapproche ainsi des abaques thoriques Schlumberger qui servent

l'interprtation quantitative.La figure 4 montre un autre exemple de la rduction de la courbe exprimentale obtenue avec un

MN fini la courbe thorique idale pour laquelle MN=0.

Un procd approximatif simple permet de faire cette rduction: si MN/AB ne dpasse pas 1/5 ,

il suffit de dplacer les points de la courbe vers la gauche, d'une quantit quivalente une rduction

des abscisses comprise entre 0 et 6% selon le cas.

Le catalogue d'abaque C.G.G dit par {l'European Association of Exploration Geophysicists ou

E.A.E.G }, comprend un abaque: CH 1 S ou bien {Courbe Horizontales - Schlumberger } qui

reprsente 27 courbes correspondant au cas de 2 terrains; il suffit dans le cas de 2 terrains d'un seul

abaque, puisque la seule variable est le rapport 2/1 indiqu sur l'asymptote horizontale de chaquecourbe.

La croix commune indique l'paisseur " m1 (m1 = h1 ) " du terrain horizontal surmontant lesubstratum, ainsi que sa rsistivit 1.Le catalogue comprend galement 48 abaques 3 terrains:CH 51 S CH 98 S.

Chaque abaque correspond des valeurs constantes des rapports 2/1 et 3/1 et englobe 10courbes "trois terrains" correspondant 10 valeurs differentes du rapport d'paisseurs h2 / h1 , plus

les deux courbes - limites (2 terrains) relatives une paisseur nulle ou infinie de la seconde couche.


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Le rapport h2 / h1 = (m2 - m1)/m1 (avec m1 = h1 et m2 = h1+h2 ) est indiqu dans un petit rond sur

chaque courbe.

Les 10 valeurs sont:

(m2 - m1)/m1 = h2 /h1 = 1/9 ; 1/5 ; 1/3 ; 1/2 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 9 ; 24

Les 48 abaques peuvent tre classs en 4 groupes de 12 abaques, suivant la valeur de 3: 3 = (1 , 22/1 , 0 , )

Dans chaque groupe, les 12 abaques correspondent 12 valeurs du rapport

2/1 soit :

2/1 = 1/39 ; 1/19 ; 1/9 ; 1/4 ; 3/7 ; 2/3 ; 3/2 ; 7/3 ; 4 ; 9 ; 19 ; 39 .On voit que 2 est infrieur 1 pour les six premiers rapports et suprieur 1 pour les six

derniers.

On pourait aussi faire un classement en 4 familles

1 - Courbes en cloches C ( 2 > 1 et 2 > 3 )avec 3 = 1 : 57 62ou 3 = 0 : 87 92

2 - Courbes en fond de bateau B ( 2 < 1 et 2 < 3 )avec 3 = 1 : 51 56

ou 3 = : 81 86

3 - Courbes en escaliers montants M ( 1 < 2 < 3 )

avec 3 = 22/1 : 69 74ou 3 = : 93 98

4 - Courbes en escaliers descendants D ( 1 > 2 > 3 )

avec 3 = 22/1 : 63 68 ou 3 = 0 : 75 80

On peut retrouver rapidement dans le catalogue la courbe thorique correspondant une successiondonne de terrains.

Par exemple:

h1 = 3 m 1 = 15 ohm.mh2 = 27 m 2 = 285 ohm.mh3 = 3 = 15 ohm.m


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C'est une courbe de la famille " C " pour laquelle 3 = 1 , soit CH 57 S 62 S. On a 2 /1 = 19 :il faut donc l'abaque CH 61 S.

( asymptote horizontale indique 2

= 19 1

).

D'autre part, on a h2 /h1 = 9; il convient de slectionner la courbe numrote " 9 " dans le petit rond

: (m2 - m1)/m1 = h2 /h1 = 9

En traant sur le papier bilogarithmique transparent la croix gauche de coordonnes h 1 = 3 m ; 1=15 ohm.m et en faisant concider cette croix avec la croix de calage commune de l'abaque ( 1 , m1), tout en concervant les axes de coordonnes bien parallles entre eux, il suffit de dessiner par

transparence la courbe thorique 9 pour obtenir le diagramme Figure 5.

On peut noter qu'il conviendrait de " pousser " le sondage lectrique jusqu' AB/2 = 500 m pour que

le diagramme exprimental puisse conduire une bonne dtermination de la valeur de 3 : lalongueur AB = 1000 m , serait alors environ 30 35 fois suprieure la profondeur: h1 + h2 = 30 m

CHAPITRE V BASES THEORIQUES DEL'INTERPRETATION D'UN SONDAGEELECTRIQUE

V - 1 - Introduction.Thoriquement, il existe une relation univoque entre une succession donnes de couches et une

succession des paisseurs et des rsistivits d'un diagramme de sondage lectrique bien dfinie.Mais en pratique, on remarque que deux diagrammes trs peut diffrents peuvent correspondre

des rpartitions trs diffrentes des rsistivits.

V - 2 - Principe d'quivalence.Lors de l'interprtation d'une courbe de sondage lctrique trois terrains, on peut estimer 2 durapport 2 /1 et h2 du rapport h2/h1.L'interprtation fournit donc les rapports entre rsistivit (2 /1 ) et entre paisseurs ( h2/h1 ). Lasolution exacte ne peut tre trouve que dans le cas o l'on peut mesurer 2, soit sur affleurement,soit par sondage lectrique appel sondage talon.

Ce principe exprime donc la difficult de dfinir les caractristiques d'une couche dans le cas o sarsistivit est infrieure ou suprieure la fois celle des couches encaissantes.

Une couche rsistante entre deux terrains conducteurs se manifeste lectriquement par sa "

rsistance transversale ", qui est le produit de sa rsistivit par son paisseur:

Rt = .ho : h est l'paisseur de la couche.


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Par contre une couche conductrice situe entre deux terrains rsistants se marquera par sa

conductance longitudinale, qui est le rapport de son paisseur sur sa rsistivit ou le produit de sa

conductivit par son paisseur:

Cl =h / = .ho : est la conductivitEn somme, ce principe dmontre que dans les deux cas ilexistera une infinit de terrains aboutissant pratiquement aumme diagramme lectrique, c'est dire tous les terrainsdfinis par la mme rsistance transversale ou par la mmeconductance longitudinale.Ce principe peut tre tendu plusieurs terrains; lorsque plusieurs couches conductrices minces

sont comprises entre deux formations rsistantes, elles ont pratiquement le mme ffet qu'unecouche conductrice unique d'paisseur " h " et de rsistivit " 1/ "

h/ = [ h1 + h2 + ..... + hn ] / = h1/1 + h2/2 + h3/3 +..........+ hn/nLorsque plusieurs couches rsistantes minces sont comprises entre deux formations conductrices,

l'paisseur " h " et la rsistivit " " de la couche quivalente aux couches rsistantes sont telles que:h. = ( h1 + h2 +........+ hn ) = h1.1 + h2.2 + h3.3 +........ + hn/n

Ces formules sont applicables tant que la couche quivalente a une conductance (ou rsistance)infrieure au dixime de la conductance ( ou rsistance ) des couches encaissantes.

V - 3 - Loi de Humel.La loi de Humel s'nonce comme suit:

L'ensemble des terrains recouvrant un substratum infinement rsistant est remplaable par un terrain

unique d'paisseur et de conductance gales la somme des paisseurs et des conductances des

diffrents terrains de cet ensemble; elle peut s'appliquer aussi aux terrains non infinement rsistants,

mais avec moins de rigueur.

nH = h1 + h2 + ......... + hn = hn

n=1

nC = c1 + c2 + ......... + cn = cn = h1/1 + h2/2 + h3/3 +...+ hn/n =

= H/ n=1


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V - 4 - Courbe de Dar-Zarrouk.La courbe ou la fonction de Dar-zarrouk (maison appartenant Mr Zarrouk en Tunisie). Mr R.Maillet en

1947 avait pri le puits servant l'adduction de la maison en eau potable pour faire des exprinces

golectriques, qui a permi l'tablissement des courbes goelectriques nommes courbes de Dar-

zarrouk : rsistance transversale cumule en fonction de la conductance longitudinale cumule

R=f(C) en hommage ce dernier.

La construction des courbes de Dar-zarrouk est obtenu en choisissant une chelle bilogarithmique

dont l'abscisse sera porte par RC, homogne une longueur et en ordonne par R/C, homogne une rsistivit.

Ces courbes sont sensiblement rattaches aux schmas de structures du sous-sol ( coupe go-lectrique)

par une relation de mme type que les diagrammes des sondages lectriques correspondants.

La courbe de Dar-Zarrouk ainsi reprsente se prte bien la recherche "manuelle" de solutions

particulires:En effet,en ne retenant que les principaux points de brisure de cette courbe,tels qu'enles joignant par des arcs d'exponentielles on s'carte le moins possible de l'ensemble des points, on

obtiendra des solutions un nombre beaucoup plus petit de terrains, et qui rendront encore trs bien

compte du sondage lectrique mesur. Cette simplification manuelle pourra facilement tenir compte

du nombre prsum de terrains, ainsi que des connaissances priori relatives leurs caractristiques

(en s'aidant, si ncessaire, de la suite des rsistivit donne par la solution brute).

On sait en effet que, les couches rsistantes se manifesteront surtout par leur rsistance transversale

" ", les couches conductrices par leur conductance horizontale " " ; ce fait aide normment le

gophysicien trouver les solutions particulires lors de l'interprtation.

V - 5 - Phnomne de Disparition.Une couche de rsistivit intermdiaire et d'paisseur rduite par rapport aux couches encaissantes,

n'est pas facilement decelable, car elle intervient trs peu dans la forme du sondage golectrique,

elle ne s'individualise pas mais se manifeste comme une modification des caractristiques

golectriques (rsistivits-paisseurs) des couches encaissantes.

Cette couche intermdiaire s'assimile la premire couche dont l'paisseur apparente est trs voisine

de: h1+R2/1 si elle est rsistante et h2+C2.1 si elle est conductrice.

CHAPITRE VI TRAITEMENT ET INTERPRETATION

ANALYTIQUE PAR ABAQUE

VI - 1 - Introduction.


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Par cette mthode, on essaye de coincider la courbe S.E mesure avec une autre calcule (modele),

parmi les courbes de l'abaque. Les abaques utiliss sont les diagrammes deux terrains plus les

courbes auxiliaires.

La procedure d'interprtation par abaque est comme suit:

1 - Report de la courbe du S.E sur un support transparent, en echelle bilogarithmique.

2 - Estimer le nombre de couches partir de la courbe ou d'un sondage talon.

3 - La premire branche de la courbe, prise comme une courbe deux terrains, est supperpose

l'abaque; par translation suivant les axes des abscisses et des ordonnes, on compare cette branche

l'une des courbes, la meilleure est celle qui se confond avec cette branche.

4 - Lorsque la coincidence est tablie, on reporte la croix de l'abaque sur la feuille bilogarithmique.

Les coordonnes de ce point nous donne les valeurs de 2,h1 ( rsistivit du 2me terrain et l'paisseur du premierterrain )

5 - Identifier la courbe du S.E comme tant du type " H,Q,K,A " et choisir le diagramme

coprrespondant.

6 - Reporter la courbe du diagramme auxiliaire la valeur: u=2/1 et partir de la premire croix.

7 - Remettre la feuille sur l'abaque deux terrains, en gardant les axes parallles, dplacer de faon

faire coincider la partie droite de la courbe avec une courbe de l'abaque deux terrains; durant cette

opration, il est ncessaire de garder l'origine de l'abaque continuellement sur la courbe auxiliaire

precedement trace.

8 - Sur la feuille transparente, on marque la seconde croix correspondante l'origine de l'abaque;

Quand la coincidence est obtenue, la rsistivit peut tre estime.

9 - Replacer la feuille du S.E sur le diagramme auxilliaire: le second point ou "croix" se trouve sur

l'intersection des lignes."2 /1 et h2 /h1"

10 - Connaissant ( 2/1 , 1 ) et ( h2 /h1 , h1) , on peut dduire : 2 , h2

11 - Refaire la mme procedure pour le reste de la courbe du S.E.V

On constate dj,le temps relativement long pour l'interprtation d'une partie seulement de la courbe,

ainsi que le manque de prcision sur l'estimation des paramtres : i,hi

VI -2 - Exemples pratiques d'interprtation ( abaques CGG )VI-2-1 - Cas de deux couches horizontales.


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Lorsqu'il s'agit d'un terrain compos de deux couches, d'paisseur h1 et de rsistivit 1 surmontantun substratum trs pais h2 = et de rsistivit 2 .Il suffit de rechercher une concidence du diagramme exprimental avec une courbe thorique de

l'abaque CH 1 S ; on est parfois oblig d'interpoler vue entre deux courbes de cette abaque.

On lit ensuite directement: - sur l'chelle verticale a du papier transparent ( diagrammeexprimental) les valeurs 1 et 2. - sur l'chelle horizontale des longueurs, l'abscissi " m1 " de lacroix de calque de l'abaque; cette valeur " m1" est l'paisseur " h1" cherche.

L'abaque CH 1 S peut tre utilis mme si le substratum prsente un certain pendage, jusqu' 15

20 ; il existe galement des abaques spciaux.

La figure 6 montre deux exemples d'interprtation. Le diagramme exprimental 1 concidebien avec

la courbe 2/1 = 9 et on lit directement sur le papier transparent 1=50 ohm.m , 2 = 450 ohm.met m1 = h1 = 4 m .

Le diagramme exprimental 2 se place entre les courbes thoriques : 2/1 = 0,2 et 1/7 et on litdirectement sur le papier bilogarithmique transparent '1=20 ohm.m , '2=3,5 ohm.m , h'1 = 8 m.Dans le cas simple de deux terrains

VI-2-2 - Cas de trois couches horizontales .

VI-2-2-1- Rappel du principe d'quivalence:

On sait qu'il existe thoriquement une relation biunivoque entre une succession donne de couches

et le sondage lectrique correspondant, mais que dans la pratique, en raison de la prcision limite

des mesures, un mme diagramme exprimental peut tre interprt par une infinit de solution, qui

constituent des " quivalences " .

On peut vrifier, ces quivalences en comparant certaines courbes du catalogue d'abaques: -

Certaines courbes des abaques CH 59, 62, 61, 62 sont identiques; l'quivalence consiste ici en une

mme valeur de la rsistance transversale de la seconde couche. - De mme, certaines courbes des

abaques CH 82, 83, 84 et 85 sont identiques (courbes existantes ou courbes interpoles) ;

l'quivalence consiste ici en une mme valeur de la conductance horizontale de la seconde couche.

VI-2-2-2- Cas o l'quivalence n'intervient pas:VI-2-2-2-1- Courbe en cloche ( C ):

On sait que le principe d'quivalence appliqu la couche intermdiaire rsistante reste valable tant

que la conductance horizontale de cette couche reste faible par rapport celle des deux couches

encaissantes; dans ce cas (trois terrains), l'quivalence ne joue donc plus lorsque la conductance de

la deuxime couche est gale ou suprieure celle de la premire couche, c'est dire lorsquel'paisseur h2 est trs grande par rapport h1. C'est le cas de la Figure 7 (courbe 1); cette courbe

concide avec la courbe 24 de l'abaque CH59 S et on lit : m1 = h1 = 5 m ; 1=70 ohm.m (croix del'abaque)

h2 = 24h1 = 120 m ; 2=280 ohm.m ; 3= 1=70 ohm.m


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VI-2-2-2-2- Courbe en fond de bateau (B):

Ici le principe d'quivalence appliqu la couche intermdiaire conductrice reste valable tant que sa

rsistance transversale reste faible par rapport celle des couches encaissantes; dans ce cas (trois

terrains), l'quivalence ne joue donc plus lorsque la rsistance de la deuxime couche est gale ou

suprieure celle de la premire couche, c'est dire lorsque l'paisseur h2 devient trs grande par

rapport h1. C'est le cas de la courbe 1 (Figure 7 ), qui concide avec la courbe 24 de l'abaque CH 54

S , et on obtient: m1 = h1 = 2 m ; 1=18 ohm.m (croix de l'abaque)h2 = 24h1 = 48 m ; 2=2 ohm.m ; 3= 1= 18 ohm.mDans ces deux exemples, la rsistivit apparente se rapproche de la rsistivit vraie 2 du deuximeterrain et l'quivalence ne joue aucun rle, la succession de trois terrains donnant de tels diagrammes

est unique et l'interprtation s'ffectue aussi facilement que dans le cas de deux terrains.

VI-2-2-3- Dtermination de la rsistance transversale Rt

de la 2me couche.

Si la 2me couche est plus rsistante que la premire et que le substratum et si son paisseur h2 n'est

pas trs grande par rapport h1 (famille des courbes en cloches " C " ), le diagramme lectrique ne

permet pas de dterminer sparment les deux paramtres caractristiques de la 2 me couche ( h2 et

2 ); on peut seulement valuer le produit : h2 .2 ; c'est dire sa rsistance transversale Rt(2).On cherche plusieurs solutions h2 . 2 ou h'2 . '2 ou h"2 ."2 ou ....., en faisant concider lacourbe exprimentale avec des courbes thoriques de diffrents abaques et on vrifiera que:

Rt(2) = h2 . 2 = h'2 . '2 = h"2 . "2 = ......... = constanteAinsi, un diagramme de la famille C permet d'obtenir les paramtres suivants : h1 et 1 ; Rt(2) =h2 . 2 et 3

Exemple: La figure 8 reprsente une courbe en cloche avec 1 3On choisit donc les abaques CH 57 S CH 60 S pour interprter ce diagramme exprimentale.

Pour dterminer h1 et 1 , on fait concider le mieux possible, et en partant de la gauche, lediagramme exprimental avec une courbe trois terrains des abaques prcdents:

Les courbes 1/2 de CH 62 et 1 de CH 61, donnent les mmes valeurs : h1 = 3,5 m et 1 = 15ohm.m ; la courbe 2 de CH 60 donne une concidence un peu moins bonne, avec h 1 = 3,6 m et 1= 15,5 ohm.m L'utilisation d'une courbe 2 terrains CH 1 S, pour dterminer h1 conduit une

solution moins prcise, dont on peut se contenter parfois: On trouve ici : h1 = 3,3 m et 1 = 15ohm.m avec la courbe 2/1 = 7; la valeur 2 = 7x15 = 105 Ohm.m donne par cet abaque CH 1 S,reprsente la valeur minimale 2min pour la rsistivit 2 de la 2me couche.On dtermine R2 en faisant concider la plus grande partie de la cloche ( ou tout le diagramme si

c'est possible) avec une courbe thorique 3 terrains. L'paisseur h2 est calcule facilement partir de

m1 = h1 lue sur le papier bilogarithmique et du rapport h2/h1 caractrisant la courbe; la rsistivit 2


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est lue directement sur le papier bilogarithmique. Les trois courbes 3 terrains dj cites plus haut

conviennent pour la concidence de la cloche entire et conduisent aux valeurs suivantes:

CH 62 h2

= 3,5. 1/2 = 1,75 m ; 2

=585 ohm.m

CH 61 h'2 = 3,5. 1 = 3,5 m ; '2 =285 ohm.m

CH 60 h"2 = 3,6. 2 = 7,2 m ; "2 =140 ohm.m

Les trois croix (h2; 2 ) ; ( h'2 ; '2 ) ; ( h"2 ; "2 ) ; sont reportes sur le papier bilogarithmique et ontrace la droite de pente ( -1 ou 45 ) passant au mieux par ces trois croix ( puisque la rsistance

transversale R2= h2.2 est constante): Le produit des coordonnes d'un point quelconque de cettedroite donne la valeur R2 cherche, soit ici 1000 ohm.m

2. A condition que 2 soit suprieur 2min=105 ohm.m , on peut retenir toutes les hypothses ( h2 ; 2 ) satisfaisant ( h2 . 2 = 1000 ohm.m2

) Notons aussi que 3 = 1 = 15 ohm.m

VI-2-2-4- Dtermination de la conductance longitudinale de la

deuxime couche C2

Si la deuxime couche est plus conductrice que la premire et que le substratum (famille des

couches " B " en fond de bateau ) et si on paisseur h2 n'est pas trs grande par rapport h1, le

diagramme lectrique ne permet pas de dterminer sparment les deux paramtres caractristiques

de la deuxime couche "2 , h2" ; on peut seulement valuer le quotient h2 /2 , c'est dire saconductance longitudinale C2 On cherche plusieurs solutions h2 , 2 ou h'2 , '2 ou h"2 ,"2 ou

....., en faisant concider la courbe exprimentale avec des courbes thoriques de diffrents abaqueset on vrifiera que:

C2 = h2 /2 = h'2 /'2 = h"2 /"2 = constanteVI-2-2-4-1- Exemple numrique: Figure 9

C'est une courbe en fond de bateau avec 1 3 : On choisit donc les abaques " CH 51 S 56 S "pour interprter ce diagramme exprimentale.

Pour dterminer h1 et 1 , on fait concider le plus longtemps possible, et en partant de la gauche, lediagramme exprimental avec une courbe 3 terrains des abaques prcdents:

Les courbes " 1/5 de 56 S ", "1/2 de 55 S " et " 1 de 54 S " , donnent respectivement:

h1 = 26,5 m ; 1 = 39 ohm.mh1 = 25 m ; 1 = 42 ohm.mh1 = 25 m ; 1 = 40 ohm.m

On peut donc retenir : h1 = 25 m ; 1 = 40 ohm.m


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L'utilisation d'une courbe 2 terrains CH 1 S , peut dterminer h1, conduit une solution moins

prcise, dont on peut se contenter parfois: avec la courbe 2 /1 = 0,25 , on trouve h1 =22 m ( et 1=10 ohm.m ); la valeur

2= 10 ohm.m, donne par cet abaque CH1 S reprsente la valeur maximale

2 Max pour la rsistivit 2 de la deuxime couche.Pour dterminer C2, on fait concider la plus grande partie du fond de bateau ( ou tout le diagramme

si c'est possible) avec une courbe thorique 3 terrains; on lit la valeur m1 = h1 sur le papier

bilogarithmique et on la multiplie par le rapport h2/h1 caractristique de la courbe pour obtenir h2;

d'autre part 2 est lue directement sur le papier bilogarithmique. Les trois courbes 3 terrains djcites plus haut conviennent pour la concidence du " fond de bateau " et conduisent aux valeurs

suivantes:

CH 56 S h2 = 26,5 * 1/5 = 5,3 m ; 2 = 1 ohm.mCH 55 S h'2 = 25 * 1/2 = 12,5 m ; '2 = 2,21 ohm.m

CH 5 S h"2 = 25 * 1 = 25 m ; "2 = 4,44 ohm.mLes trois croix : ( h2 , 2 ) ; ( h'2 , '2 ) ; ( h"2 ,"2 ) sont reportes sur le papier bilogarithmique et ontrace la droite de pente (+1 soit 45 ) passant au mieux par ces troix croix (puisque la conductance

longitudinale C2 = h2 /2 est constante; le rapport des coordonnes h2 ; 2 d'un point quelconquede cette droite donne la valeur C2 cherche, soit ici : C2 = 5,6 mhos. A condition que 2 soitinfrieur : 2 Max=10 ohm.m, on peut retenir toutes les hypothses ( h 2 , 2 ) satisfaisant :h2 /2 =5,6 mhos ; notons enfin que (3 = 1 = 40 ohm.m ) .

VI-2-3- Cas de plusieurs couches surmontant un substratum

rsistant.

VI-2-3-1- Rappel de la rgle de Humel:

Lorsque plusieurs couches surmontent un substratum infiniment rsistant, l'asymptote finale du

diagramme est une droite de pente ( +1 ou 45 ), qui donne la conductance longitudinale totale C T,

somme des conductance Ci des diffrents terrains du recouvrement: CT= Ci

Un point quelconque de cette droite, de coordonnes ( ha et a ) permet de calculer :CT = ha /a = Ci

Par ailleurs, en considrant l'ensemble du recouvrement qui a pour paisseur "H" telle que :

H = h = h1+ h2+ ........+ hn-1.et pour rsistivit une valeur que nous appelons rsistivit quivalmente e .On peut crire:

H/e =h1 /1 + h2 /2 +.........+hn-1 /n-1 =C1+C2+...+Cn-1 = Ci = CT .


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La droite 45 de pente +1 passe par le point d'abscisse H (profondeur du substratum) et

d'ordonne e .( rsistivit quivalente du recouvrement).Comme CT .est dtermine partir d'un point quelconque de cette droite, on connait ainsi

immdiatement la somme des conductances longitudinales des diffrents terrains constituant le

recouvrement, ce qui peut servir pour l'interprtation de certains types de diagrammes lectriques.

VI-2-3-2- Rgle de Humel approche:

Dans la pratique, un terrain laisse toujours passer le courant lectrique et sa rsistivit est finie.

Cependant, la rgle de Hummel, exacte pour un substratum infiniment rsistant, s'applique toujours,

en premire approximation lorsque la rsistivit s .du substratum rsistant a une valeur finie, mais ilfaut que s .soit nettement suprieure de l'ordre de 10 fois pour fixer les ides la rsistivit de lacouche ou des couches qui surmontent ce substratum; plus s .est grand, plus la rgle de Humel estpcise.

Pour dterminer la conductance longitudinale CT , il suffit de faire concider la remonte finale dudiagramme exprimental sur une srie de courbes thoriques montantes de l'abaque CH 1 S et de

tracer, chaque fois, la croix de calage sur cet abaque bilogarithmique; ensuite, on fait passer au

mieux par ces croix, une droite de pente +1 ou 45 et le rapport des coordonnes d'un point

quelconque de cette droite fournit la valeur de CT . La figure 10 fournit un exemple numrique: le

diagramme est le mme que celui de la figure 9. En utilisant les concidences de la remonte finale

du diagramme avec les courbes 2/1 = 4,5,7,9,12 et 19 de l'abaque CH 1 S, on obtient 6 croix; unpoint de la droite 45 qui passe par ces croix donne CT = 6,1 mhos. On sait que C1 = 25/40 0,6mhos; on pourrait donc en dduire:

C2

= CT

-C1

= 6,1 - 0,6 = 5,5 mhos.

On a ainsi un deuxime moyen pour calculer la conductance longitudinale C2 de la deuxime

couche.

VI-2-3-3- Exemple avec 3 couches sur substratum rsistant

La figure 11 donne le diagramme exprimental: On applique les mmes procds d'interprtation

dj dcrits ci-dessus.

Pour obtenir h1, on fait concider le dbut du diagramme et une partie de la cloche sur une courbe de

la famille C: ( 1 = 3 ); par exemple, la courbe intermdiaire entre 3 et 5 de CH 61, ce qui donne

(en face de la croix : 1 et m1 ): h1 = 21 m et 1 = 11 ohm.mLa concidence du dbut de la remonte initiale du diagramme avec une courbe CH 1 S donne lavaleur minimale de 2 : on lit 2m = 130 ohm.m (avec la courbe 2 /1 = 12 ).La rsistance transversale R2 est donne, par concidence maximum de la cloche avec une courbe

des abaques CH 60 (courbe 9), CH 61 (courbe 3) et CH 62 (courbe 1); les trois croix obtenues (177

m, 104 ohm.m ; 75 m et 230 ohm.m , 30m et 550 ohm.m) permettent de tracer la droite de pente -1,


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ce qui donne la valeur: R2 =170.100 =17000 .m2 La conductance totale CT peut se dterminer avecl'abaque CH 1 S: les trois croix alignes sur une droite de pente +1 conduisent CT=114 mhos On

peut chercher calculer C3 partir de CT =C1 +C2 +C3 ; C1 est connu, puisque C1 = h1 /1 = 21/11 2 mhos ; C

2est faible puisqu'il s'agit d'un terrain rsistant: en prenant C

2= 0, on obtiendrait la

valeur maximale de C3; soit C3Maxi = CT - C1 = 112 mhos, alors qu'en prenant 2min = 130 mhos(valeur minimale), on calcule la valeur maximale C2Maxi de la conductance longitudinale du 2

me

terrain, soit :

C2Maxi = h2Maxi /2min avec h2Maxi = R2 /2min d'o :

C2Maxi = R2 / (2min )2 = 17000 / (130)2 1 mhos

On aurait ainsi la valeur minimale de C3 soit : C3Maxi = CT - C1 - C2Maxi = 114 - 2 - 1 = 111 mhos.

C3 serait donc compris entre 11 et 112 mhos.

On peut aussi chercher obtenir directement C3 en faisant concider au maximum le fond de bateau

avec une courbe de la famille " B " ( 3= ); les courbes n3 de 84 S, n1 de 85 S et n1/2 de 86 Sconviennent bien et donnent respectivement:

h3 = 330 x 3 = 990 m, 3= 8,8 mhos.m soit : C3 = 112,4 mhosh3 = 390 x 1 = 390 m, 3= 3,5 mhos.m soit : C3 = 111,4 mhosh3 = 390 x 1/2 = 195 m, 3= 1,75 mhos.m soit : C3 = 111,4 mhos

Cette dtermination confirme donc que la valeur de C3 est voisine de 111,5 ohm.m.

Enfin, on peut connatre un ordre de grandeur de la rsistivit 4 du substratum en calant la

remonte finale du diagramme sur une courbe CH 1 S montante: on trouve 4=300 500 ohm.menviron.L'interprtation de ce diagramme unique permet donc de dterminer les paramtres suivants:

h1 = 21 m ; 1 = 11 ohm.m ; R2 = 17000 ohm m2 , 2 130 ohm.m ; C3 =111,5 mhos ; 4 = 300 500 ohm.mCT = 114 mhos.

On ne peut pas pousser plus loin l'interprtation sans examiner les autres S.E de la mme tude

gophysique.

CHAPITRE VII INTERPRETATION AUTOMATIQUEEN PROSPECTION ELECTRIQUE.

VII - 1 Introduction.


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L'interprtation automatique des sondages lectriques est une mthode indirecte, elle consiste

rsoudre le problme inverse trs connu en gophysique, c'est dire choisir un modle le plus

proche de la ralit, calculer sa rponse et la comparer ensuite au model rel du terrain ou modle

exprimental.

Cette opration consiste minimiser la somme des carts relatifs quadratiques entre les deux

courbes, l'une est la courbe mesure ou exprimentale, l'autre la courbe calcule ou la rponse du

modle.

Ce calcul est itratif, on utilise pour cette fin, la mthode du Gradient, simple mettre en oeuvre sur

micro-ordinateur.

Cette technique d'interprtation permettra un gain assez considrable de temps, comparativement

l'interprtation par abaque. La prcision des estimations de paramtres (Rsistivit - Epaisseur) sera

amliore, en outre elle nous donne une grande libert dans le choix et le test de plusieurs modles,

cela forme un atout essentiel de la mthode automatique d'interprtation; nanmoins il faut veuiller

au bon choix du modle initial, afin d'viter tout risque de divergence du processus de calcul itratif.

VII-2 - Mthode du gradient:VII-2-1 - Principe :

La mthode du gradient est une des techniques d'optimisation, elle permet la recherche des

minimums ou maximums d'une fonctionnelle.

Soit g(x) la fonctionnelle minimiser; x: reprsente un vecteur des paramtres estimer, la

condition de principe du minimum nous permet d'crire:

g(x)=0

( x soit l'intrieur du domaine des solutions acceptables)

Ayant calcul le gradient g(x) pour un vecteur stim x0.On choisit la direction de descente: h0 =-g(x0)

Alors la valeur de g(x0 + h0) tant inferieure g(x0) e t x1 = x0 + h0 reprsente le pas de descente, c'est un rel positif suffisament petit.On peut calculer g(x1) et recommencer la mme procedure.On construit alors, une suite xk telleque g(xk) soit dcroissant ( processus en descente vers l'optimum).

Le processus de minimisation est arret ds que la valeur g(x) soit inferieur ou gale une quantit

pr-tablie . Cette dernire est appele critre d'arret des calculs itratif.La convergence de la procedure dpend du choix de la valeur initiale de x . Un deuxime critred'arrt est dsign sur le nombre d'itration, un nombre maximal Kmax est prdetermin dans le

processus.

Cette mthode est la base de la conception des traitements automatiques des courbes de

rsistivits.Ils consistent amliorer une solution (modele) initiale convenablement choisie par

l'identification de la courbe mesure avec celle calcule.


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VII-2-2- Algorithme de calcul.

- Introduction des critres d'arrt du processus itratif. : valeur minimale souhaite de g(x) ; KMax ombre maximale d'itrations

- Choix du pas de descente ( il est pris gnralement entre zro et un )- Initialisation du vecteur de paramtres estimer : x0 = ( x0,1,x0,2, ...............x0,n )

- Calcul de g(x) au point x = xk; cel est facilit par la connaissance de la

formule de g(x) ou par construction numrique de ses chantillons

- Test sur la valeur de g(x0) par rapport .Si g(x0) est infrieur ou gale on prendra x0 comme tant l'stim (solution acceptable), sinon on passe

l 'tape qui suit.

- Calcul du gradient g(x) au point x = x0.

g(x)x = x0 = ( g(x) /x1x = x0 , g(x) /x2x = x0 ,............, g(x) /xnx = x0 )

Donc la direction de descente " h " sera : h0 = - g(x)x = x0- Le nouveau vecteur des paramtres sera donn par la relation: x1= x0+.h0 ; 0 < < 1

- La procedure est rpete autant de fois, jusqu' ce que la fonctionnelle soit minimise ou bien le

nombre d'itrations xcede le nombre Kmax .

VII - 3 - Traitement automatique d'un sondagelectriqueVII - 3 -1 Principe

L'interprtation automatique d'un sondage lectrique est ralis en utilisant les techniques desimulation ou modelisation ; on calcule thoriquement la rponse d'un modle de sondage lectrique

choisi convenablement en tenant compte des particularits gologiques du site, puis on la compare

celle mesure.

La mthode propose est celle de Vozoff, qui a su adapter la mthode du gradient dans la recherche

du minimum entre la courbe thorique et celle calcule et ensuite la solution sous la forme "i,hi"Dans cette mthode, on calcule la courbe de rsistivit apparente pour un modle donn i,hi l'aidede l'intgrale suivante:

ac (r) = 1 1 - 2 r.().J1(r).. Cette courbe est ajuste la courbe de terrain a mes (r); si les carts sont relativements faibles, alorsla coincidence est bonne et dans ce cas la solution sera celle du modle gnrateur de la courbethorique.Si non le modle est corrig par l'expression suivante:

Pi = - C /Pi

o : : le pas de descente du processus it ratif vers le minimum de C.


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C: reprsente l'cart quadratique, la valeur de C nous renseigne sur la qualit de l'ajustement.

Le test est repeter itrativement autant de fois jusqu' la valeur optimale

VII -3 - 2 Calcul de la courbe modle:

Le problme de calcul d'une courbe de sondage lectrique est ramen integrer la formule intgrale

de " STEFANESCOU ":

ac (r) = r.T().J1(r).. avec: T() = 1 (1 + 2.() )

T() est connu sous l'appellation de la "rsistivit transform"

L'intgrale de " STEFANESCOU " est calcule approximativement par l'utilisation du filtre de "GHOSH

(1971) ", ce dernier a permis l'largissement du champ d'application de deux mthodes

d'interprtation des courbes de sondages lectriques. Filtre de GHOSH

C1 C2 C3 C4

0.0148 -0.0814 0.4018 -1.5716

C5 C6 C7 C8

971.2 0.1854 0.10640 .0499

C9

0.0255

VII -3 - 2 - 1 - La premire mthode dite directe.

A partir des donnes de terrains ( rsistivits observes ), on essaye de soutirer une information et

d'aboutir la distribution des paramtres modeles : Xi = (Pi, Hi)

Pour aboutir cette distribution il existe plusieurs mthodes, la plus utilise est la suivante:

- Calcul de la "rsistivit transform" partir des valeurs observes en lui appliquant le filtre deGHOSH.

- Obtension des paramtres modeles Xi = ( Pi , Hi ) partir de "T".

VII - 3 - 2 - 2 - La deuxime mthode dite indirecte.

- Choix convenable du modle initial Xi = ( Pi , Hi ).

- Calcul de la "rsistivit transform" partir de ce modle.

- Determination de a thorique par convolution de T par un filtre donn( Ghosh )

- Minimiser l'cart entre la courbe thorique et la courbe observe au sens des


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moindres cares en utilisant la mthode du gradient ou de l'inverse gnralise.

VII - 3 - 3 - Algorithme de Calcul de la fonction " rsis tivit transform "

La fonction " T ", pour une stratification horizontal de " n " couches est obtenue par les formules

recurentes.Pour la couche (Pn-1 , Hn-1) au top du substratum:

Tn-1 ( ) = n-1 { [1 - Kn-1 .e (-2Hn-1 )] / [1 + Kn-1 .e (-2Hn-1 )]}avec : Kn-1 = ( n-1 - n ) / ( n-1 + n )

La formule liant Ti et Ti+1 est donne comme suit:

Ti ( ) = [ wi ( ) + Ti+1 ( ) ] / [1+ wi ( ) Ti+1 ( )/ Pi]avec: wi ( ) = i { [1 - e (-2Hi )] / [1 + e (-2Hi )]}

Ces formules rcursives nous permettent de trouver T1 la surface.

VII - 3 - 4 - Calcul de a thorique.La fonction potentiel n'est autre que la convolution de T par un filtre C

V(r) = 1/2r T(Ln(r) - rj)*C(rj) ; (Rijo et All 1977)

VMN =

Geophysique Tome 1

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