Géométrie repérée dynamique : une autre voie vers l...

Géométrie repérée dynamique : une autre voie vers l'algébrisation ?

Extrait du Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques

http://revue.sesamath.net/spip.php?article287

Géométrie repérée dynamique

: une autre voie vers

l'algébrisation ?- N°20 - Mai 2010 - Les articles hors dossier -

Date de mise en ligne : vendredi 28 mai 2010

Description :

Dans cet article nous détaillons une possibilité d'utiliser la partie algorithmique-programmation des programmes pour construire une nouvelle voie

d'algébrisation, puis nous verrons comment la démarche est tout à fait possible dans les autres classes, sans la programmation.

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Dans cet article nous détaillons une possibilité d'utiliser la partiealgorithmique-programmation des programmes pour construire une nouvelle voied'algébrisation, puis nous verrons comment la démarche est tout à fait possible dans lesautres classes, sans la programmation.

Prélude - le tableur comme réification faible

Depuis plusieurs années, l'Éducation Nationale a choisi de faire entrer significativement les tableurs dans lescurricula de nombreuses classes, y compris les classes faisant peu de mathématiques. Le tableur a été choisicomme outil intermédiaire entre l'arithmétique et l'algèbre. Si, comme c'est le cas dans beaucoup de classes, leprojet est tout de même de poursuivre un chemin vers l'algèbre, on parle alors d'intermédiation, car le tableur permetde travailler sur des variables sans tout à fait faire de l'algèbre, voire même - selon les classes - sans en faire dutout. On peut rester dans une certaine opérationalisation du travail sur feuille de calcul, et peu progresser versl'algèbre, en particulier si ce n'est pas dans le programme, ou au contraire, utiliser les cellules comme un travail "surles objets". Une cellule d'un tableur, avec son nom différent de son contenu, ayant été considéré par les concepteursde programmes comme une première représentation acceptable de la variable algébrique.

Chez les cognitivistes, le "calcul sur les objets" [1], comme démarche de réification des concepts que l'on veutenseigner, est une méthode opérationnelle que l'on utilise dans les classes primaires par exemple pour le calcul encycle 2 (avec le succès que l'on connait de la méthode Picbille ou plus généralement les usages de collectionsorganisées) ou encore dans le cycle 3 pour enseigner les fraction avec le fractionnement physique de bandes unitéset tout un travail sur les bandes et les écritures fractionnaires à partir de ces bandes.

Le prix à payer

Certes il y a toujours un prix à payer, au moment où l'on va abandonner les objets. Le concept va faire évaporerl'objet et même plus précisément, le réduire. Un peu un phénomène quantique, cette réduction, pas de la fonctiond'onde, mais d'un objet qui servait de support à une représentation et qui, dans les deux cas mentionnés, se réduit àun point immatériel. Pour les nombres, cela survient en CE1, quand les élèves ne doivent plus penser le nombrecomme représenté par le gros carton de 10 cm de la bande numérique de la classe - le nombre avait une épaisseur -mais comme un point, une abscisse, sur la droite numérique. Deux ans plus tard, on refait la même chose pour lesfractions. Elles aussi avaient une épaisseur, une globalité, le quart d'une bande, c'est pas rien, et on l'a tellementmontré ce quart de bande, puis vient à nouveau cette réduction quand le quart n'est plus que l'abscisse d'un pointsur la droite numérique.

Pourtant il y a des méthodes où ce passage se fait en douceur et avec intelligence, mais ce n'est pas le l'objet ici.


#nb1

http://peysseri.perso.neuf.fr/PE2005/G08/E01.htm

http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/spip.php?article147

http://revue.sesamath.net/javascript:;



L'idée est que le tableur comme outil intermédiaire entre l'arithmétique et l'algèbre se situe dans une logiquecognitiviste qui a fait ses preuves, en réifiant les concepts sur des objets directement manipulables.

La critique théorique qui est généralement faite au tableur est en même temps la raison de son succès (en tout casde son choix) : c'est une réification attractive - on reste souvent du côté du tableur - et donc, en termes d'objectifsmathématiques, une réification faible, on ne va pas vraiment vers l'algèbre, les cellules du tableur, dans leurmanipulation, ne sont pas des variables algébriques. Sans un travail spécifique, nous restons loin de l'algèbre.

Ce que nous allons proposer dans les onglets suivants va être une réification dynamique de l'algèbre, qui reste ducôté de l'algèbre tout en proposant une manipulation des objets produits par l'engagement dans l'algèbre. Nousallons le faire dans le cadre de la géométrie repérée.

GeomRepDyn

Géométrie repérée dynamique

Nous allons nous situer en géométrie repérée, avec un outil de réification pour faire de l'algèbre : la géométriedynamique. Puisque, du point de vue des programmes, nous sommes à une charnière avec l'introduction del'algorithmique et la pratique d'un langage de programmation, dans cet onglet, nous allons nous situer dans cettedémarche là. Nous verrons comment s'en passer facilement au troisième onglet. Il nous faut donc un logiciel degéométrie dynamique qui contient un langage de script. On pense tous en coeur à TeP, mais non ça serait tropfacile, ça sera un autre ...Il s'appelle CaRMetal.

Un mot sur les CaRScripts

Depuis août 2009, CaRMetal s'est doté d'un langage de scripts pour pouvoir travailler la programmationprincipalement dans un environnement graphique (même si la console texte existe) et surtout un environnementgraphique dynamique.

Ce n'est pas sans lien avec l'évolution des programmes du lycée : puisqu'il y a de moins en moins de géométrie,mais de l'algorithmique et de la géométrie repérée, pourquoi ne pas envisager de faire se rencontrer ces deuxchamps du programme ? Si possible de manière intelligente, voire même ludique ...

Du côté de l'élève il s'agit de proposer un environnement commun pour la géométrie et la programmation - économiede temps d'apprentissage ... même pour l'enseignant - avec un langage non pas construit uniquement pour uneutilisation scolaire, avec les artifices qui vont avec (s'il y a des anciens parmi les lecteurs de MathemaTICE, ils sesouviendront que certains d'entre nous ont appris le LSE !!!), mais bien un langage largement utilisé dans le mondeWeb 2.0 pour lequel les navigateurs rivalisent en temps d'exécution : le javascript (JS).

L'éditeur Javascript de CaRMetal intègre toutes les fonctionnalités géométriques du logiciel sous forme d'icônes,ainsi que la bibliothèque Maths du JS et les principales instructions de programmation. L'utilisation du JS est ainsisimplifiée : il n'y a pas de syntaxe à apprendre, on ne fait que modifier des lignes pré-écrites. Les lignes sonnumérotées (renvoi du numéro de la ligne dans les erreurs) et il y a une coloration syntaxique.




Pour l'auteur, le choix de JS relève d'un cahier des charges très précis : langage pérenne, intégrable dans un logiciellibre, utilisable en ligne, et qui plus est faiblement typé pour pouvoir ajouter les fonctionnalités géométriques deCaRMetal.

Pour les habitués de la programmation en JS, éventuellement pour les premiers usages en classe, l'utilisation peutse faire en « pur JS » avec une sortie en console texte. Cette sortie est simple d'accès et pratique pour tout ce quipeut toucher les statistiques ou l'algorithmique, en arithmétique par exemple. Compte tenu du sujet de cet article, onutilisera la sortie graphique. De toute façon, c'est là qu'est la richesse du langage puisque son intégration àCaRMetal est totalement dynamique comme on va le voir rapidement.

Un script de CaRMetal - on dira désormais un CarScript - peut s'appliquer à une figure vide ou à une figure préparéepour son exécution. Pour le programmeur un CarScript est avant tout un programme qui admet comme paramètred'entrée une figure de CaRMetal. Pour le géomètre, un CarScript est un outil qui va finaliser une figure que lagéométrie dynamique usuelle ne pourrait pas réaliser - ou pas aussi rapidement. Et selon ce que nous faisons, noussommes parfois plus du côté du programmeur, parfois plus du côté du géomètre.

Je propose de ne pas faire de topo sur le logiciel, ce qui suit donnera un aperçu globalement limité certes maiscorrect pour la partie script, on se reportera à l'onglet Références pour plus d'information, en particulier technique,sur le sujet. Signalons quand même que CaRMetal est un logiciel libre, gratuit et multiplateforme.




Démarche d'investigation en algèbre

Avec les outils qu'il propose, CaRMetal autorise un nouveau regard sur la géométrie repérée, car il permet de faire -très simplement - des programmes autour de ce que nous appellerons de la géométrie repérée dynamique, GRD,c'est-à-dire de la géométrie repérée, tournée du côté de l'algèbre, tout en restant accessible à la manipulationdirecte. Sans aucune technicité, nous utilisons d'emblée cette spécificité dynamique de l'interaction JS-logiciel.Voyons comment sur l'exemple de la construction algébrique d'un carré, en plusieurs étapes.

Tout d'abord, commençons par un carré particulier, centré à l'origine O du repère, et de sommet A. Pour l'essentiel, ilsuffit donc de savoir placer un segment orthogonal à [OA] et de même longueur. Selon la classe, c'est un résultatbien connu sur l'orthogonalité, soit des droites soit des vecteurs. On peut aussi se placer en début de lycée, quand lapropriété n'est pas nécessairement connue. Une démarche (attitude mathématique du socle commun) consiste alorsà utiliser une lecture graphique dans un premier temps et à engager une interprétation algébrique de cette lecture.Cette interprétation algébrique peut même être un objectif d'induction du numérique vers l'algébrique, participant à sereprésenter le champ algébrique comme conceptualisation du champ numérique. Le script suivant peut alors seconstruire par étape :

Pour écrire les coordonnées du point B (ligne 5) sans connaître le résultat, on peut envisager la démarche «d'investigation algébrique » suivante,désormais possible grâce à cet outil :

Attitude d'investigation en géométrie repérée




entrer la ligne 4 comme seul contenu du script, l'exécuter, lire les coordonnées (-1,4) du point à construire, et conjecturer l'interprétation algébrique de la ligne 5. Puis annuler le script précédent, ajouter la ligne 5, exécuter le script ET valider par une manipulation directe du point A.

C'est la dernière ligne de cette séquence qui donne à la démarche proposée son statut d'investigation. En effet lescoordonnées numériques des points, données dans un script, ne fixent pas les points dans la figure, mais lesinitialisent seulement.

En faisant cette manipulation, l'élève peut déplacer A sur d'autres coordonnées entières pour, non seulement validerl'orthogonalité de manière perceptive, mais aussi pour valider le fait que sa compréhension algébrique a bien étéprise en compte dans le script comme on peut le penser.

On notera que le point O ne sert pas, mais souvent les élèves placent le centre d'une figure avant de commencer.On vérifie par manipulation que le carré n'est pas véritablement de centre O mais bien implicitement de centrel'origine du repère. L'objectif suivant est alors de faire un authentique travail algébrique - éventuellement avec unefiche pour une trace dans l'environnement papier-crayon - non plus seulement pour explorer avec les scripts maisbien pour anticiper et produire les coordonnées correctes.

On aura compris - par rapport au préambule sur le tableur - que cette démarche d'un travail algébrique sur lagéométrie repérée avec validation par la géométrie dynamique à travers les scripts [2] se situe clairement plus ducôté de l'algèbre que le tableur. Mais elle garde aussi cette dimension de « calcul sur les objets » car une fois lescript exécuté, les élèves peuvent manipuler les points qu'ils ont eux-mêmes construits. La dimension algébrique estalors acceptée comme embarquée dans ce projet de travail sur les objets. Et par cette manipulation de la figure,avec les objets produits par leurs propres scripts les élèves acquièrent aussi des connaissances algébriques.

On voit donc ici qu'un travail régulier sur ce type de scripts dans un environnement dynamique, outre qu'il estpleinement en accord avec les nouveaux programmes, s'inscrit dans une logique générale d'apprentissage qui aamené à inscrire le tableur dans de nombreux programmes, tout en restant dans une véritable démarche algébrique.

La situation n'est d'ailleurs pas simple pour les élèves. Ayant pris conscience de la non utilisation du point O dans lescript précédent, on n'aboutit pas au carré algébrique en une seule étape, loin s'en faut. Parfois les élèves travaillentimplicitement sur une seule coordonnée, sans même s'en apercevoir avant d'invalider leur travail par la manipulationdes points de base.


#nb2



Un script qui produit un carré ... seulement si O est sur l'axe des abscisses

Par manipulation sur O, et en plaçant O sur des valeurs entières on peut analyser ses erreurs et (éventuellement) avoir une aide à l'organisation des calculs ...

... avant d'arriver à une version correcte

Sur un plan plus technique, on aura observé dans les scripts précédents combien l'écriture mathématique dans lesCarScripts est proche de l'écriture mathématique au tableau : c'est la même , elle est seulement envoyée aux pointsde la figure par une expression entre guillemets - par une chaine de caractères donc.




La géométrie repérée dynamique sans scripts

Il faut comprendre (nous n'en n'avons pas encore parlé, c'est expliqué en préambule de l'onglet suivant) qu'alors onn'envoie pas une initialisation comme quand on donne une valeur numérique pour les points, mais bien un calcullittéral. Voici par exemple les coordonnées du point B dans le logiciel :

Cela signifie aussi que, dans des classes ou l'algorithmique n'est pas au programme, la même démarche, maissimplement dans l'inspecteur d'objet, est aussi une pratique de géométrie repérée dynamique, elle aussi plus prochede l'algèbre que la pratique des tableurs.

L'inspecteur d'objet, comme les autres outils, a un fonctionnement complètement a-modal, y compris dans l'écriturealgébrique : chaque écriture (même partielle) qui a un sens algébrique est automatiquement interprétée et la figureactualisée, ce qui facilite grandement l'investigation.

En fait l'expérience d'enseignant est claire sur ce point, c'est la réactivité immédiate de l'inspecteur d'objet qui faitque les élèves rentrent facilement dans l'activité. Voici par exemple, rapporté dans un mail (merci pour l'autorisation),l'expérience en seconde de Jérôme Caré, collègue au Lycée Freyssinet de Saint-Brieuc, sur les équations dusecond degré :

et une copie d'écran de ce qu'ont fait les élèves (pas de trace des essais, c'était juste une confirmation - on a laisséle A* du à l'utilisation de deux fois le même nom - c'était leur première séance CaRMetal)




On retiendra de cet onglet l'enjeu que peut avoir, pour une entrée efficace dans l'algèbre, la manipulationd'objets, produits par les élèves, issus de leurs propres raisonnements algébriques, et les possibilités - selonles élèves, les classes et le projet d'apprentissage - d'une phase que l'on a dite « d'investigation algébrique »pour aider à l'induction vers l'algèbre. Dans le cadre d'un travail sur la programmation, les scripts d'écriture algébrique sont une entrée intéressantecar identique à l'écriture mathématique. Dans ce cas, la GRD est un outil de validation du script. Sans lesscripts, par un travail directement dans l'inspecteur d'objet, la GRD est un outil, elle pratiquée pourelle-même.

++++Statique/Absolu

Quand la représentation du dynamique est interrogée

Avant de développer le thème de cet onglet, comme j'ai choisi de ne pas trop inonder cet article d'informationstechniques sur les scripts de CaRMetal (tout est déjà sur le site de l'IREM de La Réunion, détaillé dans l'onglet"Référence") il y a quand même un minimum à savoir sur les scripts pour poursuivre.

Formation express

Pour apprécier ce qui suit il faut au minimum savoir comment passer une variable JavaScript dans les coordonnéesd'un point CaRMetal. Cela se fait par adressage indirect (ça c'est pour les programmeurs), on dira en classe parpassage par contenu. En pratique une variable JavaScript k , d'une boucle par exemple, est passée par _k ,commedans les langages actuels ou encore dans les logiciels de calcul formel.




Plus de détails en image pour les curieux

Quand on donne, par script, des valeurs numériques aux objets, ces valeurs numériques initialisent la position desobjets sur la sortie graphique - la figure CaRMetal, mais ne les fixent pas.

Par exemple, pour apprendre les boucles for, on peut faire le tableau de fil suivant, sur des valeurs entières (scriptregroupé avec la sortie graphique)

Mais puisque tous les points sont initialisés - certes à la bonne position - on n'a fait qu'un dessin - ce qui est déjà unobjectif tout à fait honorable en seconde - ce n'est pas une figure "tableau de fil" au sens où il y aurait une cohérenceglobale interne : tous les points sont indépendants





Faire un tableau de fils dynamique à partir par exemple de trois points A, O, B nécessite de partager les segments[OA] et [OB], de parcourir ce partage par une boucle et de construire des points associés. Il va donc falloir envoyerune variable JavaScript à CaRMetal. La syntaxe est celle indiquée plus haut, ce qui donne (script, résultat, etcoordonnés d'un point obtenu par l'inspecteur d'objets dans la même figure) :

En lisant les coordonnées de A, O, B en ligne 1 du script, vous pouvez observer que [OA] est initialement vertical et[OB] horizontal. Cela signifie que l'on a déplacé le point A dans l'illustration : le tableau de fil est dynamique, au sensoù il conserve une cohérence après manipulation de ses points de base A, O et B. Par ailleurs, on remarque dansles coordonnées du point P29 le passage algébrique des coordonnées de A et B et le passage par contenu desvariables r1 et r2 (on préfèrera dire "par contenu" plutôt que "par valeur", pour des raisons qui n'apparaissent pas ici).

Fin du bloc dépliable

Un subtil mélange de statut

Nous poursuivons notre exploration de la dimension dynamique de la géométrie repérée. Nous quittons lespossibilités d'investigation algébrique comme au premier onglet, pour nous intéresser (dans un contexte de 1°S ouTS) à la réflexion qu'elle peut induire sur les représentations de chacun dans les différents champs de la géométrie,l'algèbre, mais aussi la programmation voire même l'algorithmique : manipulant des figures produites par un script,nous sommes à la rencontre de ces champs, dont les représentations, par la manipulation directe, vont s'enrichirmutuellement.

Ce qui suit n'a pas été proposé en classe - puisque l'algorithmique n'est pas encore en 1°S et TS - mais en formationcontinue des enseignants pour explorer les possibles en ce domaine. L'objectif est de réinvestir le cercle




trigonométrique et la question va se poser du type d'investissement : va-t-il être statique ou dynamique ? On peutpenser que les lecteurs de MathemaTICE auront les idées claires sur la question, mais poursuivons quand mêmepuisqu'à terme, il s'agit de faire des TP de lycée.

On commence - comme les programmes scolaires nous demandent de le faire - par proposer un programme auxcommentaires et à l'analyse des élèves.

Clairement, ce script construit un cercle de centre O passant par A (points gras ci-dessous) et place sur ce cercle 20points. Divers commentaires techniques sont possibles, en particulier on notera que l'on a construit le segment [OA],en lui donnant un nom dans CaRMetal, s1 ce qui permet d'utiliser s1 comme mesure pour le rayon du cercle dans laligne 8 et d'éviter un calcul de distance. Mais ce n'est pas tellement cela qui nous intéresse ici. On peut aussi parlerde la référence explicite au point O, et donc de la dépendance du cercle par rapport à ce point, ce que l'on voitci-dessous (on a déplacé seulement le centre O).

Pendant le déplacement de O, les plus curieux peuvent se poser des questions sur le mouvement des autres points.Ils paraissent, à réduction près du cercle, se déplacer en translation. Qu'en est-il en fait ?

Ce n'était pas la question, ce n'est pas non plus auprogramme, mais ...






... je ne résiste pas ... quel bel exercice concret de géométrie pour remarquer - et conjecturer les éléments - que lacomposée d'une homothétie (le cercle change de rayon) et d'une translation (on déplace O à la souris) est unehomothétie ... mais bon, c'est passé de mode ...

On notera qu'il y a quand même l'implicite dont on veut parler, alors, allons y ...

Nous allons maintenant déplacer le point A, mais avant cela, pour bien voir le mouvement des points, on peut encolorier quelques uns, ce qui donne :

Les points se déplacent à l'écran quand on manipule O ou A, tout en restant figés sur le cercle de centre O, ils ne sedéplacent pas sur ce cercle. Ces points, construits géométriquement, conservent un comportement statique sur lecercle. Comme c'est amené ici, dans un article, avec des titres et des sous-titres révélateurs, cela ne surprendpersonne, mais l'expérience montre qu'en formation continue, dans un contexte plus global, cela interroge, non passur le résultat, mais sur notre propre représentation du dynamique.

En classe, on peut s'attendre à ce que ce ne soit pas une évidence. Alors un questionnement sur ce sujet peux êtrelancé. Les représentations vont s'exprimer, sur le rapport implicite au repère ... et même peut-être sur le rapport aurepère implicite ...

La raison en est évidemment élémentaire, et on peut voir sur les coordonnées des points que les angles utilisés sontabsolus, comme si, sur la figure, il y avait un repère implicite :




Mais même en prenant cela en compte, nos représentations du dynamique reste ébranlées. Elles le sont dans larencontre entre le statique et l'absolu. En effet, jusqu'ici le statique était identifiée au dessin que la manipulationdirecte cassait (les tableaux de fils statiques) alors qu'ici l'absolu, s'il contient une dimension statique, s'inscrit aussidans une logique dynamique : rien n'est cassé, tout est cohérence. Et qui plus est, dans de nombreuses situations,l'usage des angles absolus est suffisant. Voyons-en un exemple.

Un absolu pas si statique que ça

Dans la séance de formation continue citée plus haut, je parlais d'un "contexte plus global". Ce qui précède était enfait masqué par une commande de construction, celle d'une néphroïde par enveloppe de cercles.

On se donne un cercle de diamètre [AB] et à partir d'un point M du cercle (les points du script précédent) on construitle cercle de centre M tangent à [AB]. On obtient alors une néphroïde. Si on s'arrange pour la construire à partir dedeux points, le centre O du cercle et un point A qui définit ce cercle, elle est manipulable facilement. Et elle faittotalement illusion - au sens où l'on ne perçoit pas vraiment l'utilisation d'angles - car en manipulant A, même avecces angles absolus, le cercle de centre un point donné bouge avec A puisque le diamètre [AB] bouge aussi.

Produit par ce script :




Et pourtant. Si, dans un contexte géométrique donné, on devait répondre à une contrainte dynamique spécifique,comme utiliser un cercle particulier en fonction de A - disons le 4ème cercle avant le point A dans l'illustrationci-dessous - clairement la figure n'est pas correcte, c'est-à-dire que l'algorithme ne convient pas, les angles absolusne suffisent plus.

à gauche le 4ème cercle avant A est mis en bleu, à droite on voit que c'est le cercle de centre d'angle absolu nuldans le script

Une version scolaire de ce questionnement

Chacun aura remarqué le caractère ambigu de la relation entre ces trois approches : statique/absolu/dynamique : cen'est pas clair, et cela ne l'est pas car cela dépend de l'usage qu'on veut faire de la figure, ou encore de l'objectif deformation - en programmation pour la réaliser- que l'on se donne. C'était un choix pour qu'en formation lequestionnement n'arrive qu'après la construction effective de la figure, et non pas pendant l'écriture du script. Maisen classe, on travaillera sur une situation bien plus claire. Pour créer le questionnement, on peut choisir de proposer,comme en formation, la construction d'un figure qui portera ce questionnement, dans une deuxième phase, par unecontrainte supplémentaire.




Il s'agit cette fois de faire une cardioïde par enveloppe de segments : on place sur le cercle n points avec un angleau centre constant entre deux points consécutifs et, en parcourant deux fois le cercle, on joint les points d'indice k et2k.

Alors, bien sûr, avec script :

... c'est clair qu'en déplaçant A, la cardioïde ne va pas suivre. Et pourtant ... c'est souvent une surprise pour lesélèves, et c'est elle qui fait surgir la question de l'angle absolu et fait ressortir des représentations de cette situation,soit sur les angles, soit tout simplement sur les nombres réels car après tout, utilise-t-on des angles ou des réels ici ?

Pour éclaircir cela, on peut proposer aux élèves la contrainte suivante : faire que la cardioïde construite par dessegments suive le point A, plus précisément qu'elle soit de « sommet » le point A. Il n'y a pas grand chose à modifierbien entendu, mais cela peut être complexe pour les élèves car, pour faire cela, il est plus simple de se placer dansun autre contexte (que l'on précisera), où des objets sont déjà sur la figure.

On se donne donc un cercle de centre O passant par I (prendre I à la main, mais sur l'horizontale passant par O), unpoint M sur objet du cercle. On note ang - variable CaRMetal - l'angle IOA. De fait, on s'est donné une origine pourles angles dynamique. Penser à aller dans l'inspecteur d'objet pour donner à la mesure de ang une amplitudejusqu'à 360°. Dans le script, il suffit alors d'ajouter l'angle dynamique à l'angle absolu.




La proximité, dans le cosinus et le sinus, de la variable algébrique et de la donnée numérique peut être, en classe,l'occasion d'une discussion sur le statut de ce qui est utilisé. Là encore, on peut manipuler la variable ang à traversle point M.

On obtient bien ce qui est attendu : une animation sur M produit bien l'effet souhaité d'une rotation de la cardioïde.

Une animation sur M produit bien l'effet souhaité d'une rotation de la cardioïde en ayant M comme sommet.

Et pourtant

Malencontreusement - mais plus certainement malicieusement - un élève a fait une animation sur le point I, il vousdemande - avec un vrai plaisir de déstabilisation potentielle - qu'il « ne comprend pas ce qu'il se passe, M n'est pluslà où il faut, et pourtant, Monsieur, on a bien mis l'angle IOA cette fois ».




Heureusement, vous y aviez réfléchi avant. C'est encore une belle illustration que, définitivement, l'absolu des anglesest toujours présent, caché mais bien présent. Mais vous pouvez éviter cela aussi en fixant I à l'intersection du cercleet de la parallèle à l'axe des abscisses (de la grille) passant par O.

Bilan de cet onglet

Dans un contexte différent de la géométrie repérée dynamique, plus délicat en terme de concepts mathématiquesengagés (le cercle trigonométrique et la mesure des angles), nous commençons à dégager cet invariant quel'interaction entre la géométrie dynamique et la programmation, par la manipulation directe sur les objetsproduits, permet d'enrichir les représentations qu'ont les élèves de ces deux cadres de travail.

++++Pour le fun

Cardioïde temporelle

Un petit onglet pour le prof, et pour se faire plaisir ... et aussi pour aller plus loin sur les scripts. Dans cette partie, oncontinue sur la cardioïde.

On sait - en fait généralement on ne sait pas d'ailleurs - que CaRMetal autorise l'enroulement continu sur le cerclec'est-à-cire que les angles ne sont pas limités à [0, 2À]. Pour cela on utilise le curseur circulaire continu :

Le point M s'enroule sur le cercle avec son compte tours. La macro renvoie l'angle absolu et le nombre de tours.

On ajoute une possibilité de faire varier en temps réel le nombre de cordes de la cardioïde - de 60 à 120. Maissurtout, à travers un pop up, la rotation de la cardioïde pourra prendre trois aspects : standard, temporel discret,temporel continu.




La figure avant le script, est déjà construite dans un environnement temporel

Les pop-up menu et le curseur ne sont pas actifs, ce sont des données qui seront utilisées par le script suivant :

Le script construit le segment [pi pf]. L'écriture paraît complexe mais c'est seulement parce que le rayon du cercle estun peu long à écrire et qu'il est utilisé 4 fois.

sA est le rayon du cercle initial, nseg est le nombre de segments, donné par le curseur. On remarquera que laboucle va jusqu'à 120, tous les segments sont construits, même si nseg est plus petit. Leur affichage est traité dansla ligne 5, la dernière ligne de la boucle, le segment est caché si son indice est trop élevé. Ainsi les points ne sontcalculés qu'une fois, seul leur affichage dépend du curseur.

La variable chx est bien sûr le choix du popup. Le rayon du cercle par défaut vaut sA. On lui ajoute une expressionsi chx>1 (donc si on fait un choix de cardioïde temporelle). Dans ce cas on lui ajoute le nombre de tours, c'est lesens de (chx>1)*tour. Si de plus on a fait le choix temporelle continue, il faut ajouter une variation continue du rayon




: c'est l'expression (chx==3)*anrel/360.

On remarquera aussi l'économie considérable du traitement par les booléens qui évitent le recours à desconditionnels imbriqués qui seraient difficile à mettre en oeuvre dans ce cas.

La cardioïde après deux tours, en mode animation ...

... puis en inversant le sens de l'animation (ici à 60 segments)

Bien entendu, pendant l'animation, on peut faire sauter la cardioïde d'un mode à l'autre en changeant de choix dansle pop up et faire varier le nombre de segments.

Une dernière expérience sur cette cardioïde illustre la profondeur de l'intégration des outils entre eux. Si avant de




lancer l'animation sur M, on fait faire 3 tours en arrière à M, en mode temporel et qu'on lance l'animation, celle-cidémarre bien dans l'état temporel de la cardioïde. On peut en conclure que l'animation de CaRMetal respecte latemporalité et le déterminisme enrichi induit.

Récursivité dynamique

Là encore juste pour le plaisir, un dernier script qui illustre à nouveau l'intégration profonde du JavaScript au logiciel. On va l'illustrer par un algorithme récursif dont le paramètre essentiel sera modifié pendant l'exécution récursive duscript.

La courbe de Cesaro est une variante de Koch avec un angle variable




Manipulation directe sur l'angle de la courbe de Cesaro pendant l'exécution du script

Voici le script de cette figure. Il est inclus dans la figure, dans le dernier onglet, on peut directement le lancer dans lafigure en ligne.

Dans la figure C est le transformé de A de centre B dans la rotation d'angle À-2rot.




Bon on aura compris que cet onglet est un peu militant, mais il ne doit pas y avoir beaucoup de logiciels qui font cesdeux choses-là. En plus quand il est libre et multiplateforme, ça mérite d'être présenté, non ?

++++Références

La version 3.5 de CaRMetal

Cet article est construit autour de la version 3.5 de CaRMetal. CaRMetal est un logiciel libre (GNU) gratuit,multiplateforme. Son auteur, Eric Hakenholz, a profondément harmonisé le code pour la version 3.5 qui offre desaméliorations significatives et quelques outils nouveaux.

Parmi les améliorations : l'intégration des scripts dans les figures : on peut mettre plusieurs script dans une figurecomme vous pouvez le tester dans les premières figures de l'onglet suivant.

L'autre point fort est l'a-modalité des animations : on peut animer des points divers (sur des segments ou des cerclespar exemple) tout en poursuivant la construction, ce qui offre à l'investigation des orientations nouvelles car on peutconstruire les figures vérifiant les conjectures pendant l'animation.




Dans l'illustration ci-dessus, le point bleu tourne autour du cercle extérieur. La construction est un exercice classiquesur la recherche d'invariant (l'autre centre d'homothétie des deux cercles que le point de contact). Traditionnellementon conjecture le point invariant par l'animation du point bleu, puis on cherche une construction, et on confirme laconjecture en animant à nouveau le point avant d'entreprendre une démonstration. Ici on peut désormais faire lesconstructions pendant l'animation. Sur cet exemple la visualisation de l'invariant reste élémentaire car la droite descentres est fixe, mais dans d'autres situations, la visualisation de l'invariant ne peut s'obtenir qu'à travers l'animation.

Un nouvel outil est le Monkey : on peut secouer une figure pour vérifier sa résistance au mouvement. Plusieurs typed'instrumentalisation du Monkey (utilisations détournées) sont possibles en particulier en statistique mais passeulement. Dans les ressources un premier article en parle.

Enfin les exercices ont été complètement repensés et sont désormais eux aussi dynamiques ce qui n'était pas le casdans la version précédente. On se rendra sur la page des nouveautés (ci dessous) pour en savoir plus.

Ressources

Site de CaRMetal : Téléchargement, nombreux tutoriels en flash, diaporamas dynamiques (collège), galerie desutilisateurs, forums.

Nouveautés de la version 3.5 (avril 2010, avec un classeur d'exemple). Dont l'utilisation de l'outil Monkey.

Un interview de Éric Hakenholz sur Framablog sur Framablog] (octobre 2009)

Parmi les tutoriaux récents de Monique Gironce (en flash) :

Une vidéo sur les nouveaux exercices de CaRMetal

Une vidéo sur les scripts, sur la base de la méthode d'Euler.

Tour d'horizon du logiciel (avec classeurs téléchargeables et en ligne)

Partie 1 - Géométrie | Classeur de géométrie en ligne Partie 2 - Scripts | Classeurs de scripts en ligne

Remarque : les classeurs de scripts à télécharger dans l'article précédent sont légèrement différents que ceux desclasseurs en ligne : en ligne on a enlevé le "prompt" pour des choix de paramètres, pour une utilisation plus fluide.


http://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/



http://www.framablog.org/index.php/post/2009/10/21/carmetal-geometrie-dynamique-eric-hakenholz

http://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/tutoriels/Exercices/Exercices.htm

http://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/tutoriels/ScriptEuler/ScriptEuler.htm


http://db-maths.nuxit.net/IREMrun/art372/a372aimant.html


http://db-maths.nuxit.net/IREMrun/art375/a375iter.html



Le (gros) classeur de cet article reprend une trentaine des scripts en ligne, soit plus de la moitié.

Les CaRScripts à l'IREM de La Réunion

L'IREM de la Réunion a un atelier algorithmique avec les CaRScripts qui propose un manuel de référence de 67pages (Alain Busser), des articles de prise en main pour l'enseignant. On trouvera aussi deux rubriques très fourniesde Alain Busser :

Narration de recherche sur les 9 TP d'algorithmique en classe de seconde. Une rubrique Sujets de l'épreuve pratique TS 2009 avec de nombreux scripts.

Prise en main des CarScripts (dont PDF) | Itération 1 | Itération 2 | Espace (plus technique)

Le groupe de travail http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/spip.php?rubrique49 utilise les CaRScripts. Les scriptssont essentiellement dans les 4 sous-rubriques.

Utilisation plus générale de CaRMetal sur le site de l'IREM

(Nombreux articles de Alain Busser, on peut aussi avantageusement utiliser ce mot clé sur le site de l'IREM.

++++Scripts en ligne

Jouer avec les scripts de CaRMetal en ligne

Dans l'applet suivant il y a 15 figures et 33 scripts. On choisit une figure en cliquant sur les onglets en bas duclasseur.

On peut aussi naviguer avec les flèches à droite. Pour avoir une vue d'ensemble du classeur et aller directement surune figure, il est aussi intéressant de cliquer sur l'icone des figures, à côté des flèches.


http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/spip.php?rubrique58








http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/spip.php?page=recherche&recherche=carmetal



Une fois placé dans une figure, il faut ensuite lancer un script. Pour cela, vous cliquez sur l'icône de script et vouschoisissez le script (illustration ci-dessous). Penser qu'on peut déplacer les points et/ou modifier les curseurs quandil y en a pendant l'exécution du script s'il est long. Par contre éviter d'annuler un script avant qu'il ne soit fini. Quandune figure contient plusieurs scripts penser à annuler celui que vous avez exécuté avant d'en lancer un autre. Sivous avez trop joué avec et que ce n'est plus possible, vous pouvez aussi ouvrir la palette d'outils (dernière icône enbas à droite) et supprimer les premiers points qui ont été construits par le script, tout devrait être supprimé.

Parfois il y a une animation également, en général vous lancez le script puis ensuite vous démarrez l'animation




Tous les scripts proposés ici sont détaillés et expliqués dans des articles sur le site de l'IREM de La Réunion (unarticle sur la récursivité est en cours de rédaction) . Si vous en faites vous aussi, penser à les mettre sur le forumCarScript du site de CaRMetal ou encore de laisser un lien sur le forum "Production des utilisateurs", où l'on peut voirvotre script.

Dans les liens de l'onglet précédent il y en a d'autres en particulier en statistique, ici à la fin il y a quelques scriptsbooléens un peu plus fun.

Un classeur de 15 figures de CaRMetal

<carmetals|doc=2257|largeur=743|hauteur=649>

Dans cet article, nous avons essayé de montrer qu'à travers des problèmes concrets - on travaille sur des objetsproduits par les élèves - nous pouvons proposer aux élèves des activités, sans grande technicité, qui font manipulerles outils de la géométrie analytique élémentaire et de la trigonométrie de leur programme, tout en se posant desquestions de leur propre culture (quel type de manipulation directe sur les images suis-je entrain de construire ?).Ceci en revisitant, de manière originale les concepts mathématiques engagés.

[1] Je mets des guillemets car ce n'est pas ce que les mathématiciens peuvent penser, ce n'est pas un calcul d'objets, plutôt un calcul avec les

objets, on sait bien en maths qu'on ne calcule pas sur les objets, à peine sur les grandeurs, surtout si elles ne sont pas mesurables, plutôt sur

leurs mesures

[2] qui peut se pratiquer d'abord individuellement, puis ensuite plus régulièrement de manière collective au vidéo projecteur ou au TNI


#nh1

#nh2


Géométrie repérée dynamique : une autre voie vers l...

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