Une voie d'approche dynamique de la géométrie dans l...

Une voie d'approche dynamique de la géométrie dans l'espace avec CABRI 3D

Extrait du Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques

http://revue.sesamath.net/spip.php?article40

Une voie d'approche

dynamique de la géométrie

dans l'espace avec CABRI 3D- N° 2 - Novembre 2006 - Le dossier du numéro -

Date de mise en ligne : mercredi 29 novembre 2006

Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques

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L'enseignement de la géométrie dans l'espace a toujours posé problème en France, du moins aussi loin que je mesouvienne et que mes lectures me le permettent. Je me réfère donc à une période qui débute dans les années 50.L'incident que je qualifierai d'incident de la géométrie spatiale, il y a quelques années au baccalauréat en est à monavis un révélateur flagrant. Si une notion enseignée tout au long du cursus scolaire et des connaissances en principeétablies en classe de première peuvent à l'occasion d'une épreuve posée au baccalauréat, générer une réprobationaussi violente des associations de parents et des professeurs, c'est que, cette notion, ces connaissances n'ont pasfait l'objet d'un traitement semblable aux autres notions et connaissances inscrites dans le même programmenational.

Une analyse détaillée des causes d'un tel traitement, allant du rejet total de l'enseignement de cette notion (souventjustifié par la lourdeur des programmes et la nécessité d'un choix qui écarte son enseignement ) jusqu'à uneapproche rapide dans le sens où elle interdit un réel apprentissage, n'est pas l'objet de cet article. Je vais mecontenter de mettre en exergue deux des paramètres didactiques qui doivent être pris en compte pour comprendre laplace curieuse de la géométrie dans l'espace dans l'enseignement français des Mathématiques : la géométrie dansl'espace qui aurait du être la géométrie de l'espace comme la géométrie euclidienne plane, ne l'a pas été car lavisualisation, la « modélisation fidèle » par les figures planes n'a jamais eu son équivalent pour visualiser, analyserles objets de l'espace. La géométrie descriptive, certes permettait de ramener les problèmes spatiaux qu'elle traitaitaux deux problèmes plans des deux projections de la figure sur deux plans perpendiculaires mais cette simplificationformelle était en réalité une complexification de la tâche de l'apprenti qui devait faire appel à des connaissances déjàsolides.

1. Le problème de la représentation des objets de l'espace est à mon avis le problème crucial : Je neconnais guère d'ouvrage scolaire où ses règles de représentation soient clairement explicitées. En particulier ence qui concerne la perspective cavalière, combien d'enseignants savent que cette représentation est uneprojection sur un plan suivant une direction donnée (simulable par l'ombre d'un objet éclairé par une sourcelumineuse lointaine). J'ai même observé avec stupeur la présentation d'une première leçon de géométrie dansl'espace de l'année, en classe de seconde faite par une stagiaire IUFM de Toulouse qui a consisté en la mise enévidence des axiomes de cette géométrie mélangés aux règles de représentations en perspective cavalière.C'est d'ailleurs depuis cette date que je me suis intéressé à l'utilisation de Cabri géomètre pour réaliser desreprésentations en perspectives cavalières ou militaires d'objets de l'espace avec pour but de proposer unmodèle plus réaliste que la feuille de papier. Cette modélisation devait avoir pour objectif de traiter lesproblèmes de l'espace tout en introduisant les règles d'utilisation du modèle ainsi que ses limites etinconvénients. Je me dois de dire que le professeur stagiaire dont il a été question plus haut était un professeurstagiaire sérieux, intéressé par son métier ayant une culture mathématique supérieure à la moyenne de sescamarades de promotion. Cela permet de comprendre que l'ensemble des étudiants en Mathématiques ne reçoitni au lycée ni à l'université la culture minimum qui lui permettrait de dominer l'enseignement ultérieur de lagéométrie dite dans l'espace.

2. L'appréhension dynamique des figures de l'espace : Le logiciel de géométrie dynamique Cabri 3D qui estun prolongement naturel de Cabri 2 et qui en est à sa version 2, a atteint une maturité qui lui permet d'être unbon modèle de représentation de l'espace : il permet de créer des objets dans l'espace réel tout en les traitantdans l'espace qu'il modélise : Cabri 3D comme Cabri 2 crée des figures, c'est à dire des objets qui conserventpar déformations les propriétés qui les ont générées. On comprend que ce détail a une importance capitale d'unpoint de vue didactique : on sait depuis les travaux de Duval sur l'appréhension figurale, qu'une figure degéométrie a plus de chance de conduire vers la solution du problème qu'elle illustre, si elle est appréhendée demanière opérationnelle, c'est à dire en particulier si on est capable d'imaginer des déformations qui mettent enévidence des invariants, ce que la géométrie dynamique permet. A travers quelques exemples nous allons voiren quoi l'utilisation de Cabri 3D peut radicalement changer l'approche de l'enseignement de la géométrie del'espace pour l'enseignant et l'enseigné, la rendre plus réaliste et passionnante en même temps mais aussi doitchanger l'approche que l'institution doit en avoir dans la rédaction des programmes




1. UNE APPROCHE DU MODELE PAR LESPOLYEDRES

L'entrée dans le logiciel

L'ouverture d'une page Cabri3D se fait sur une représentation en perspective centrale d'un plan horizontal dont unrectangle est visualisé sous la forme d'un parallélogramme. Est aussi représenté un repère orthonormé de l'espacepar l'intermédiaire de 3 vecteurs dont les deux premiers sont donnés dans le plan horizontal précédent que nousqualifierons de plan horizontal de référence. La manipulation fondamentale à connaître avant toute découverte ouutilisation du logiciel est celle qui utilise la fonction dite « caméra » : il s'agit par un clic droit persistant de changer lepoint de vue et cela est possible à tout moment même pendant la réalisation d'une construction nécessitant plusieursclics de validation.

L'avant dernier icône donne accès au menu de création des 5 polyèdres réguliers représentés ci-dessous. Chacund'eux a été créé par trois clics, le premier pour choisir le plan de la première face (ci-dessous nous avons choisi leplan horizontal de référence), le second pour choisir l'emplacement du centre de cette face et le troisième pourdéterminer un sommet du polygone représentant cette face. Notons que Cabri 3D comme son aîné Cabri 2 estvraiment interactif (n'oublions pas que Cabri veut dire Cahier de brouillon interactif) : il dialogue avec l'utilisateur pourle guider et faire les bons choix (Cabri proposera par exemple de créer un point sur un objet dont le curseur serapproche)

On peut noter une grande similarité de la barre d'outils de Cabri 3D représentée ci-dessous avec celle de Cabri 2Plus. Néanmoins, il ne faut pas s'y tromper, même si les outils déroulés par les menus sont en nombre réduit (ce quifait la spécificité ergonomique réussie de ce logiciel), ces outils sont pour une grande part différents de ceux connusdans Cabri 2 Plus.




Exemples de traitement des polyèdres (les patrons) Un seul clic sur chaque polyèdre permet d'en réaliser sonouverture appelée par Cabri 3D, « Patron ». Tout patron peut être ouvert ou fermé en tirant avec la souris.

Notons qu'on peut demander au logiciel d'afficher le patron plan de tout polyèdre qui sera affiché sur une nouvellepage créée sous la page de travail ; cette fonctionnalité permet un lien avec l'environnement papier crayon puisquecette page est évidemment imprimable

Les assemblages de polyèdres réguliers L'outil « Cube » propose aussi d'accoler un cube sur toute face carréequ'il approche comme suit :

On peut créer des lettres par une itération de cette procédure. Cela peut constituer un excellent exercice d'approchede l'espace avec ce logiciel pour tous publics, débutants, collégiens, lycéens ou même enseignants en formation.




Dans le « HO ! » d'étonnement qui précède, certains cubes ont été masqués. Cette même technique est disponiblepour accoler des polyèdres qui peuvent l'être par des faces de même nature . En voici quelques exemples.

Ici, on a accolé des tétraèdres réguliers entre eux après en avoir accolés deux à un icosaèdre régulier.




Alors que là, on a réalisé un assemblage d'octaèdres réguliers ; notons un type de problème nouveau qui peutémerger à la suite de telles constructions : « Est-il possible après une série de constructions de ce type que ledernier octaèdre construit ait un sommet appartenant au plan de départ ou mieux, qu'une des ses faces appartienneau plan de départ ? »

2. UNE PRATIQUE PAR DES PROBLEMES OUVERTSLUDIQUES

Il est possible d'entrer aussi dans le logiciel et dans la logique de l'espace avec ses outils adaptés, de manièreludique. Montrons par exemple comment on peut modéliser « Claude se balançant sur sa balançoire » (Claude est lefils ou la fille virtuelle de Kate Mackrell de la Queen's University de Kingston dans l'Ontario au Canada).

La figure va mobiliser pour sa construction 14 des 57 outils disponibles dans les 10 menus de la barre d'outils.Notons au passage que chaque menu contient en moyenne moins de 6 outils, ce qui est une des caractéristiques




ergonomiques de Cabri par rapport à ses concurrents. Nous allons donner le programme de construction de cettefigure afin de montrer la simplicité de prise en main des outils de Cabri 3D. Cette simplicité est due à la grandeanalogie de cette construction avec le montage d'un objet concret qui modéliserait cette figure avec des tiges rigides,des boules et des systèmes de glissières linéaires ou circulaires.

Programme de construction simplifié : Construire deux droites perpendiculaires au plan horizontal de référence en A et B Construire un plan perpendiculaire à cette première droite en l'un de ses points H Construire le segment [HK] où K est l'intersection de ce plan avec la seconde droite construite. Ce plan est ensuitemasqué. Construire m milieu de [HK] et la verticale passant par m comme parallèle à la première droite construite Construire une autre parallèle à cette même direction passant par un point V du segment [HK] puis son image par ledemi-tour autour de la verticale passant par m Construire le segment [VR] puis le segment [WS] comme image du segment précédent par le demi-tour déjà utiliséet enfin le segment [RS]. Les objets construits non visibles ont été masqués Construire uns sphère symbolisant Claude avec son centre sur la verticale passant par m et passant par n qui estsitué au milieu de [RS] Construire les deux yeux de Claude comme deux points de la sphère Construire un cercle ayant pour axe le segment [HK] et passant par le point E de la première verticale Construire les images des segments [VR], [RS] et [RW], de la sphère représentant Claude et des deux pointreprésentant les yeux de Claude par la rotation d'axe [HK] (Cabri dira « autour de [HK]) qui transforme le point E enle point v qu'on créera sur le cercle précédent. Construire sur ce même cercle l'arc A1EA2 Redéfinir le point v sur l'arc créé. On peut aussi cacher Claude et sa balançoire avant transformation

Expérimentation (Claude qui se balance) On peut obtenir le balancement réaliste de Claude en lançant uneanimation du point v sur son arc d'appartenance. La figure qui suit est une figure que vous pouvez manipuler et qui aété réalisée avec le PLUG-IN de Cabri 3D qui permet d'insérer un fichier Cabri Manipulable dans un document Office(Word, Powerpoint) ou même une page HTML. Cette fonctionnalité remplace donc avantageusement la générationdes applets « Cabrijava ». Notons que ces PLUG-IN sont maintenant disponibles pour traiter les fichiers Cabri 2Plus.

Si vous ne visualisez pas la figure, vous pouvez télécharger le plugin sur le site Cabri.comSinon, vous pouvez également télécharger la figure pour la visualiser en local : figure

3. UNE DÉMYSTIFICATION DE LA LIAISONCONIQUES-FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

Les fonctions carrées et inverses qu'on aborde en classe de seconde, le sont généralement d'une manière plus queclassique. Le plus souvent, cela se résume à une présentation ex abrupto formelle suivie d'une vérification longue etennuyeuse des propriétés du programme. A cette occasion les mots de parabole et d'hyperbole sont prononcés etplus tard ils seront invoqués comme des représentations des deux fonctions carrées et inverses sans qu'on encomprenne l'intérêt pédagogique. Voici une piste de modification de ces pratiques qui donne du sens à l'utilisationdes nouvelles technologies tout en montrant l'intérêt des changements de cadre de présentation (cadre formel, cadregéométrique dans un environnement de géométrie dynamique de l'espace)

Possibles sections d'une surface conique et d'un plan (coniques)


http://www.cabri.com/fr/telecharger-cabri-3d.html#plugin

http://revue.sesamath.net/IMG/Sesamath6.cg3



1. Découverte des ellipses et hyperboles

Avec un minimum de clics, on génère la figure ci-dessus où on reconnaît le début de la construction de labalançoire de Claude qui va servir à construire le plan (MNV) qui sera un plan tournant commandé parl'animation de V le long de son cercle d'appartenance.

Après avoir créé ce plan avec deux clics (l'un sur le segment [MN] et l'autre sur le point V on peut visualiser sonintersection avec le cône violet. Cette intersection est matérialisée grâce à l'outil « Courbe d'intersection » présentdans le troisième menu. On peut constater que lorsqu'on approche le curseur de cette courbe, elle est reconnuesous le nom d'ellipse.

Ici un point G est créé sur le cercle de base du cône initial afin de matérialiser la demi-droite [SG) qui est une partied'une génératrice du cône. Ceci permet de créer le cercle passant par un point G' de cette génératrice autour dumême axe que le cône initial. Ce cercle est un autre cercle de base du même cône. Par conséquent le cône créé icide sommet S et de cercle de base le cercle que nous venons de tracer est le même cône que le précédent, maisCabri 3D nous en affiche une partie plus grande que l'on peut d'ailleurs étendre en tirant sur G'.




Cette construction de ce nouveau cône permet d'éviter des ennuis du genre de ceux qu'on peut observer dans lafigure suivante (ce qui peut arriver quand le Professeur fait manipuler une telle figure à ses élèves).

Le logiciel représente l'intersection avec la surface conique qui est générée par le sommet et la courbe de basedonnée. Le Professeur doit donc savoir que Cabri connaît la définition d'une surface conique mais qu'il a adopté unerègle de représentation bien précise.

L'ennui précédent est surmonté en rajoutant sur la figure le symétrique du cône tracé par rapport au sommet. Enréalité, il s'agit du même cône mais tout cela est un exercice de voltige sur les multiples représentations du mêmecône.

On peut en explorant les positions relatives des objets de cette figure arriver à une intersection qui est reconnue par




Cabri comme étant une hyperbole dont les deux branches sont affichées même si l'une des deux parties du cône nel'est pas.

1. Découverte des paraboles Notons qu'avec la construction précédente, la probabilité d'obtenir le cas de laparabole est nulle pour des raisons que j'ai développées dans ma thèse sur la démarche expérimentale dansl'environnement Cabri. Néanmoins lorsque les constructions sont les constructions qui donnent une parabole,Cabri 3D reconnaît effectivement une parabole. C'est le cas de la figure suivante où le plan de section est unplan parallèle à un plan tangent au cône.




La droite (D) est une perpendiculaire à la droite (GO) où O est le centre du cercle de base du cône dans le plan deréférence. (D') est la parallèle passant par H à la génératrice (SG) du cône. Le plan défini par (D) et (D') est un planqui théoriquement vérifie la condition désirée (parallèle au plan tangent au cône incluant la génératrice (SG)). Lafigure suivante valide bien dans l'environnement Cabri 3D cette affirmation montrant ainsi que Cabri 3D prouve dansle sens où il démontre (on lui donne des hypothèses et il propose des conclusions qui sont compatibles avec lesmathématiques qu'il modélise).

1. Les autres cas (pas tout à fait tous les autres cas) Les figures qui suivent montrent qu'on peut obtenir les autresintersections classiques en prenant comme plan de section un plan parallèle au plan de référence ou un planincluant le sommet.

Là Cabri reconnaît bien un cercle intersection.




Ici Cabri reconnaît une conique dégénérée en deux droites.

Les courbes des fonctions carrées et inverses sont des coniques On peut envisager que les figures précédentessoient abordées construites ou explorées avant d'aborder les fonctions de référence afin que les élèves aient en têtequ'une parabole ou une hyperbole peuvent être intersections de cônes et de plans (c'est ce que l'activité faitapparaître). On peut grâce aux explorations qui suivent leur montrer que les courbes de la fonction carrée et de lafonction inverse sont bien des intersection du plan qui les contient avec des cônes que nous leur ferons visualiser.

1. La fonction carrée On peut commencer par préparer notre expérimentation en réalisant un quadrillage succinctd'un plan vertical (celui contenant les deux derniers vecteurs du repère par défaut de Cabri). On pourra à cetteoccasion utiliser des translations, des symétries centrales et des demi-tours pour faire de ce travail si on le faitréaliser par les élèves, un travail où technique et mathématiques sont mêlées et s'enrichissent.

On peut constater qu'on a créé quatre des points de ce quadrillage, A, A', B et B' qui sont des points de la courbe dela fonction carrée. On a tracé la conique passant par ces quatre points et par l'origine qui visuellement semble être lacourbe de la fonction carrée. Notons que Cabri reconnaît cette conique sous le nom de parabole. Il est possible devalider plus sûrement que cette courbe tracée par Cabri est bien celle de la fonction carrée en utilisant les outils «Coordonnée et équations », « Calculette », « Report de mesure » pour créer un point générique de la courbe de lafonction carrée. On constate alors que ce point est bien sur la courbe tracée et qu'il y reste même quand on change




son abscisse en tirant sur le point x qui le commande.

Cette validation est visualisée sur la figure précédente par l'activation de la trace de M avant de tirer sur x quicommande ce point. Ceci a pour effet de laisser la trace rouge de M sur la courbe jaune. Il s'agit maintenant demontrer qu'il existe bien un cône de l'espace dont l'intersection avec le plan du tableau noir est bien la courbe tracée.C'est que ce que nous allons faire ci-dessous en présentant une succession d'écrans qui devraient vous faire devinerla démarche d'analyse suivie pour découvrir un tel cône.




1. La fonction inverse Un travail analogue peut être fait avec la fonction inverse qui est résumé avec les écranssuivants :




4. UNE EXPLORATION DES POLYÉÆDRES POURRETOURNER À L'ANALYSE ET À LATRIGONOMÉTRIE

Sections d'un cube par un plan variable AB étant la diagonale d'un cube, sur la demi-droite [AB) on définit lesegment [AE]. On place sur ce segment le point variable V par lequel on fait passer le demi-plan perpendiculaire àcette demi-droite. On tire sur V afin que ce demi-plan coupe le cube de départ




On tronque ensuite le cube suivant le plan tracé. Nous allons étudier les variations donnant le volume du cubetronqué en fonction de la distance AV. Après avoir affiché ces deux mesures et les avoir reportées sur les deuxvecteurs verts et bleus respectivement, on construit l'un des points W de la courbe représentant cette fonction.

Il suffit d'activer ensuite la trace de ce point puis de tirer sur V pour voir apparaître la trace de la courbe.




On peut constater qu'on ne peut avoir une fonction du second degré à cause du changement de concavité. Ce typede remarques permet de comprendre que le sens de l'analyse critique qui est une des qualités à développer dans ladémarche scientifique, trouve des occasions de se développer dans cet environnement de modélisation et derecherche.

Conjectures angulaires sur les polyèdres Il est possible comme on le voit ci-dessous de couper un dodécaèdrerégulier suivant un de ses plans de symétrie, en quelques clics et sans entrer dans une enfilade interminable demenus emboîtés. On peut ensuite mesurer les angles de la face de section pour en conjecturer rapidement desvaleurs approchées (certainement pas 120° comme beaucoup le conjecturent).




Arriver à ce résultat papier crayon ne pouvait être envisagé qu'au prix d'un travail lourd mobilisant desconnaissances d'un niveau qui n'est ni celui de nos lycéens, ni celui de nos jeunes enseignants. Nous n'avons pas àdéplorer cet état de fait mais nous devons nous féliciter que la technologie, Cabri 3D en l'occurrence nous offre lesoutils d'exploration et de conjecture qui permettent à tous d'aborder des problèmes mathématiquement difficiles enles traitant dans un environnement qui est l'environnement virtuel que la société offre à la génération actuelle.

Cette dernière figure montre qu'exploration n'est pas synonyme de présentation brouillonne et qu'en plus, lesqualités graphiques du logiciel encouragent l'expérimentateur à prolonger ses expérimentations au delà desquestions qu'on lui pose ou des questions qu'il pensait aborder.

5. CONCLUSION

Cette présentation montre que le logiciel Cabri 3D garde les mêmes orientations didactiques que Cabri 2 Plus qui enfont sa spécificité par rapport aux autre logiciels de géométrie dynamique : Cabri est un logiciel « déterministe » dansla mesure où dès qu'un point commandant une figure revient à sa position de départ, la figure retrouve exactement laposition qu'elle avait au départ. Néanmoins, Cabri respecte dans la mesure où ce n'est pas incompatible avec leprincipe précédent le principe de continuité qui permet aux déformations de ce se faire sans saut brusque, ce quidonne cette impression de dynamicité réaliste. Cabri est orienté « Outils » : cela veut dire que pour travailler avecCabri comme le fait n'importe quel artisan, il faut choisir l'outil avant d'aller sur les objets auxquels on veut l'appliquer.D'une certaine manière, c'est cette caractéristique qui fait sa puissance et l'intuitivité reconnue de son utilisation : ce




choix explique pourquoi les menus sont si réduits si on compare aux autres logiciels : il y a moins d'outils oud'actions à mettre dans les menus de Cabri qu'il n'y a d'objets réalisables. Dans la plupart des autres logicielsorientés « Objets », les menus sont encombrés par la quantité souvent pléthorique d'objets réalisables ce quicomplique l'approche cognitive sans compter qu'il y a une obligation de connaissance de l'action à réaliser sur desobjets à sélectionner avant toutes choses : l'expérimentateur n'a pas droit à l'hésitation sur les objets à traiter unefois qu'il a l'outil en main car les objets à traiter sont imposés.

Il ne reste plus qu'à essayer d'expérimenter avec Cabri 3D en ayant en arrière plan ces quelques remarques. Ellespeuvent aider l'enseignant à comprendre qu'un logiciel de mathématiques, non seulement doit être sous-tendu parun modèle mathématique consistant et cohérent mais que son orientation « Outils » ou « Objets » est un choiximportant pour sa formation et pour l'apprentissage de ses élèves qui doit être un apprentissage des Mathématiquesoù la technologie doit être la plus transparente possible.



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