Généralités sur les fonctions Image d’un nombre · Exercice 3 : algorithme permettant de...

Généralités sur les fonctions – Image d’un nombre – Exercices corrigés

© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)

1

Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)

Exercice 1 : calcul de l’image d’un nombre par une fonction

Exercice 2 : lecture graphique de l’image d’un nombre

Exercice 3 : algorithme permettant de calculer l’image d’un réel par une fonction

Exercice 4 : image, antécédent et tableau de valeurs

Exercice 5 : représentation graphique d’une fonction

Exercice 6 : appartenance d’un point à une courbe

Exercice 7 : algorithme permettant d’indiquer si un point appartient à une courbe

Généralités sur les fonctions – Image d’un nombre

Exercices corrigés



2

1) Calculer l’image de par la fonction définie sur par ( ) .

2) Calculer l’image de par la fonction définie sur par ( ) .

3) Calculer l’image de

par la fonction définie sur

par ( ) √

.

Rappel : Image d’un nombre

Soit une fonction définie sur un ensemble . L’image de tout nombre de est le nombre ( ).

1) Pour tout , ( ) .

L’ensemble de définition de la fonction est et donc l’image de par , notée ( ), existe. Pour

calculer ( ), on remplace par dans l’expression de ( ), c’est-à-dire dans l’expression .

( )

Donc l’image de par est . On dit aussi que est un antécédent de par .

2) Pour tout , ( ) .

L’ensemble de définition de la fonction est et donc l’image de par , notée ( ), existe.

Pour calculer ( ), on remplace par dans l’expression de ( ), à savoir dans l’expression .

( ) ( ) ( )

Donc l’image de par est . On dit aussi que est un antécédent de par .

3) Pour tout , ( ) √

.

L’ensemble de définition de la fonction est et

donc l’image de

par , notée (

), existe. Pour

calculer ( ), on remplace par

dans l’expression de ( ), à savoir dans l’expression √

.

(

) √

√

√

Donc l’image de

par est √ . On dit aussi que

est un antécédent de √ par .

Exercice 1 (3 questions) Niveau : facile

Correction de l’exercice 1 Retour au menu

] [



3

La courbe ci-contre est la représentation graphique,

dans un repère orthonormé ( ) du plan, d’une

fonction définie sur .

1) Donner une valeur approchée de l’image de

par .

2) Donner un encadrement de l’image par

de

par deux entiers consécutifs.

Remarque : La fonction est une « fonction

polynôme ».

1) Donnons, par lecture graphique, une valeur approchée de l’image de par .

Représentation graphique d’une fonction

Soit une fonction définie sur un ensemble .

La représentation graphique (aussi appelée

courbe représentative) de dans un repère est

l’ensemble des points de coordonnées

( ( )) où . Une équation de la courbe

représentative de est alors ( ).

La courbe ci-contre représente une fonction . On

cherche à donner une valeur approchée de l’image

de par , c’est-à-dire ( ), qui peut être lue en

suivant le chemin tracé en pointillés bleus puis

rouges.

On obtient ainsi ( ) .

L’image de par est donc environ égale à .

Rappel : Coordonnées d’un point

Dans un repère, chaque point peut être repéré par son

abscisse et son ordonnée .





4

Remarque importante : Lecture graphique

Un graphique ne permet pas d’obtenir des valeurs exactes mais des valeurs approchées. En effet, dans le cas

présent, par lecture graphique, on ne peut pas affirmer si ( ) est exactement égale à ou si ( ) est égale à

une valeur très proche de , comme ; ; etc.

2) Proposons un encadrement de l’image par de

par deux entiers consécutifs.

On cherche à donner un encadrement de l’image de

par , c’est-à-dire à encadrer (

), qui peut

être lue en suivant le chemin tracé en pointillés

bleus puis rouges.

On obtient ainsi (

) .

L’image de

par est donc encadrée par les

entiers consécutifs et .

Remarque : La fonction représentée est définie par ( )

.

A la lumière de cette information, on peut vérifier que ( ) et (

) .

D’une part,

( )

D’autre part,

(

)

( )

(

)

(

)

On a donc ( ) et (

) .



5

Soit la fonction définie sur par ( ) √ .

1) Préciser l’ensemble de définition .

2) Ecrire un algorithme permettant de calculer l’image de tout réel et d’afficher un message

d’erreur pour tout .

1) Précisons l’ensemble de définition .

La fonction est définie sur par ( ) √ ; elle est donc définie si et seulement si le radicande

est positif ou nul. Or, . Il vient donc que [ [.

2) Ecrivons avec le logiciel AlgoBox un algorithme permettant de calculer l’image de tout réel et

permettant par ailleurs d’afficher un message d’erreur pour tout .

1 VARIABLES

2 x EST_DU_TYPE NOMBRE

3 image_de_x EST_DU_TYPE NOMBRE

4 DEBUT_ALGORITHME

5 AFFICHER "Donner un nombre : "

6 LIRE x

7 AFFICHER x

8 SI (x<4) ALORS

9 DEBUT_SI

10 AFFICHER "On ne peut pas calculer l'image du nombre "

11 AFFICHER x

12 FIN_SI

13 SINON

14 DEBUT_SINON

15 image_de_x PREND_LA_VALEUR F1(x)

16 AFFICHER "L'image du nombre "

17 AFFICHER x

18 AFFICHER " est : "

19 AFFICHER image_de_x

20 FIN_SINON

21 FIN_ALGORITHME

Affichages obtenus après lancement du logiciel AlgoBox

***Algorithme lancé***

Donner un nombre : 2

On ne peut pas calculer l'image du nombre 2

***Algorithme terminé***


Donner un nombre : 8

L'image du nombre 8 est : 2


Exercice 3 (2 questions) Niveau : moyen


Fonction numérique utilisée :

F1(x)=sqrt(x-4)

On peut remplacer l’instruction d’affectation

« image_de_x PREND_LA_VALEUR F1(x) »

(Attention ! La fonction numérique doit dans ce

cas être déclarée par « F1(x)=sqrt(x-4) ») par

« image_de_x PREND_LA_VALEUR sqrt(x-4) »

Si , alors et on ne peut

alors pas calculer l’image de .

Dans le cas contraire, on peut

calculer et afficher l’image de .

sqrt(X) correspond à la racine

carrée du nombre X

√ existe si et seulement si



6

Une fonction est définie sur l’intervalle [ ]. On donne le tableau de valeurs suivant.

( )

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, tout en justifiant.

1) ( )

2) L’image de par est .

3) n’a pas d’image par sur [ ].

4) et ont même image.

5) Seuls deux nombres ont des images opposées.

6) Un antécédent de par est .

7) n’a pas d’antécédent par .

8) a au moins deux antécédents par .

1) D’après le tableau de valeurs, ( ) . L’affirmation est vraie.

( )

2) D’après le tableau de valeurs, ( ) . Autrement dit, l’image de par est . L’affirmation est

fausse.

( )

Remarque : On a en revanche ( ) , qui se traduit par « un antécédent de par est » Il ne fallait donc

pas confondre « l’image de par est » et « un antécédent de par est . »

3) Le tableau de valeurs proposé dans l’énoncé ne concerne que l’ensemble fini

{ }. Or, d’après l’énoncé, la fonction est définie sur l’intervalle

[ ]. Aussi, même si le tableau de valeurs ne consigne pas la valeur , [ ] donc

( ) existe. Autrement dit, a une image par , qui n’est en revanche pas renseignée dans le tableau de

valeurs. L’affirmation est fausse.

( )

4) D’après le tableau de valeurs, ( ) et ( ) . Autrement dit, a pour image et a pour

image . Finalement, et ont même image, à savoir le nombre . L’affirmation est vraie.

( )





7

5) D’après le tableau de valeurs, seules deux images sont opposées ; il s’agit des nombres et . On lit

en outre ( ) , ( ) et ( ) . Autrement dit, d’une part et ont des images

opposées et, d’autre part, et ont des images opposées. L’affirmation est fausse.

−3

( )

Rappel : Antécédent d’un nombre

Soit une fonction définie sur un ensemble . Si ( ), on dit que :

est l’image de par

est un antécédent de par

6) D’après le tableau de valeurs, ( ) . Autrement dit, un antécédent de par est .

L’affirmation est fausse.

( )

Remarque : On a en revanche ( ) , qui se traduit par « l’image de par est ». Il ne fallait donc

pas confondre « un antécédent de par est » et « l’image de par est ».

7) D’après le tableau de valeurs, ( ) . Autrement dit, il existe (au moins) un antécédent de par

; cet antécédent est . L’affirmation est fausse.

−3

( )

8) D’après le tableau de valeurs, ( ) et ( ) . Autrement dit, a deux antécédents par sur

{ } : les nombres et . Pour autant, il convient de remarquer

que l’on ignore s’il existe d’autres antécédents de par sur [ ]. En définitive, a au moins

deux antécédents par sur [ ]. L’affirmation est vraie.

( ) 2



8

Représenter dans un repère orthonormé ( ) du plan la fonction définie sur par ( ) ( ) .

La fonction est définie sur par ( ) ( ) . Pour tracer sa représentation graphique dans un

repère orthonormé ( ) du plan, il convient de trouver plusieurs points de coordonnées ( ( ))

appartenant à puis de les relier afin de former une courbe harmonieuse.

Pour ce faire,

1) calculons quelques images de (en choisissant arbitrairement différentes valeurs de )

2) puis consignons les résultats dans un tableau de valeurs

3) puis plaçons les points de coordonnées ( ⏟

( )⏟

) dans le repère

4) puis relions ces points en formant une courbe harmonieuse

1ère

étape : Calculs d’images par

Si , alors ( ) ( ) ( )

Si , alors ( ) ( ) ( )

Si , alors ( ) ( ) ( )

Si , alors ( ) ( ) ( )

Si , alors ( ) ( ) ( )

Si , alors ( ) ( ) ( )

Si , alors ( ) ( )

Si , alors ( ) ( )

Si , alors ( ) ( )

Si , alors ( ) ( )

2e étape : Remplissage d’un tableau de valeurs

( )

3e étape : Placement de points

Il faut donc placer dans le repère orthonormé ( ) les points de coordonnées suivantes :

( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) et ( ).

Exercice 5 (1 question) Niveau : facile




9

4e étape : Tracé de la courbe représentative de la fonction

Reste à relier les points placés en traçant une courbe harmonieuse.

Remarque : La courbe représentée est une parabole ; elle est la représentation graphique d’une fonction

polynôme de degré 2 définie ici par sa forme canonique ( ) (avec , et réels tels que ).

Axe des

ordonnées

Axe des

abscisses

Remarque :

Les 3 premiers points

de la liste ci-dessus

ne sont ici pas

visibles car leurs

ordonnées sont trop

grandes pour qu’ils

soient placés dans le

repère choisi.



10

Soit la fonction définie sur par ( )

. On note sa courbe représentative dans un repère du

plan.

1) Le point ( ) appartient-il à ?

2) Le point ( ) appartient-il à ?

3) est le point de , d’abscisse nulle. Quelle est l’ordonnée de ?

4) Existe-t-il un point de , d’ordonnée ? Si oui, lequel ? Sinon, pourquoi ?

Rappel : Appartenance d’un point à une courbe

Soit une fonction définie sur un ensemble et soit sa courbe représentative dans un repère du plan.

Soit , un point du plan, de coordonnées ( ) avec , on a :

si , alors ( )

si ( ) , alors

si , alors ( )

si ( ) , alors

1) Vérifions si le point de coordonnées ( ) appartient à .

( ) (

)

( )

Ainsi, ( ) donc .

2) Vérifions si le point de coordonnées ( ) appartient à .

( ) (

)

( )

( )

Or,

. Ainsi, ( ) donc .

3) Calculons l’ordonnée de .

est un point d’abscisse nulle donc a pour abscisse .

Exercice 6 (4 questions) Niveau : moyen




11

En outre, donc ( ) ( )

.

Le point a donc pour ordonnée

, c’est-à-dire pour coordonnées (

).

4) Etudions l’éventuelle existence d’un point de , d’ordonnée .

Il existe un point de , d’abscisse et d’ordonnée , si et seulement si ( ) .

Or, pour tout réel , ( )

.

Ce résultat est absurde ! Par conséquent, l’équation ( ) n’admet pas de solution.

Il n’existe donc pas de point de , d’ordonnée .

Remarque : Ci-dessous est représentée la fonction dans un repère orthonormé ( ) du plan. On observe

alors que la courbe est toujours située strictement au-dessus de l’axe des abscisses. Par conséquent,

graphiquement, il ne peut pas exister de point de d’ordonnée .



12

Ecrire un algorithme permettant de savoir si un point de coordonnées ( ) appartient ou non à la courbe

représentative de la fonction définie sur par ( ) .

Ecrivons avec AlgoBox un algorithme permettant de savoir si un point de coordonnées ( ) appartient ou

non à la courbe représentative de la fonction définie sur par ( ) .

1 VARIABLES

2 x EST_DU_TYPE NOMBRE

3 y EST_DU_TYPE NOMBRE

4 DEBUT_ALGORITHME

5 AFFICHER "Soit un point M de coordonnées (x ; y)."

6 AFFICHER "Saisir l'abscisse x de M : "

7 LIRE x

8 AFFICHER x

9 AFFICHER "Saisir l'ordonnée y de M : "

10 LIRE y

11 AFFICHER y

12 SI (F1(x)==y) ALORS

13 DEBUT_SI

14 AFFICHER "Le point M appartient à la courbe représentative de f."

15 FIN_SI

16 SINON

17 DEBUT_SINON

18 AFFICHER "M n'appartient pas à la courbe représentative de f."

19 FIN_SINON

20 FIN_ALGORITHME

Affichages obtenus après lancement du logiciel AlgoBox


Soit un point M de coordonnées (x ; y).

Saisir l'abscisse x de M : 3

Saisir l'ordonnée y de M : 17

Le point M appartient à la courbe représentative de f.



Soit un point M de coordonnées (x ; y).

Saisir l'abscisse x de M : -2

Saisir l'ordonnée y de M : -22

M n'appartient pas à la courbe représentative de f.


Remarque : Il suffit de modifier l’expression de la fonction F1 pour pouvoir tester l’appartenance ou non d’un

point de coordonnées (x ; y) à la courbe représentative de F1, sans avoir à changer le reste de l’algorithme.

Exercice 7 (1 question) Niveau : moyen


Fonction numérique utilisée :

F1(x)=pow(x,3)-2*pow(x,2)+3*x-1

pow(X,n) correspond à la puissance

nème

de X, c’est-à-dire à Xn

Généralités sur les fonctions Image d’un nombre · Exercice 3 : algorithme permettant de...

Documents

Transcript of Généralités sur les fonctions Image d’un nombre · Exercice 3 : algorithme permettant de...