Françoise Greffier - IUP GMI - Besançon LES ARBRES IUP 2 Génie Informatique Méthode et Outils...

Françoise Greffier - IUP GMI - Besançon

LES ARBRES

IUP 2 Génie Informatique

Méthode et Outils pour la Programmation

Françoise Greffier


Définitions et généralités sur les arbres

Arbre binaire

Arbre binaire de recherche (ABR)

Arbre rouge noir

Arbre 2-3

LES ARBRES


EXEMPLES

un graphe

b

an

i r

e

z

un arbre

Un arbre est un graphe - non orienté- connexe : mise à part la racine de l ’arbre, tout nœud possède un père- acyclique : ne comporte pas de cycle

: nœud

racineb

an

i r

e

z


EXEMPLES

(livre(C1((C1.1),(C1.2),(C1.3))),(C2),(C3 ((C3.1),(C3.2))))

livre

C1.2

C1 C2 C3

C1.1 C1.3 C3.2C3.1

table des matières d ’un livre

arbre généalogique d ’une famille

Arbre non vide :: (racine (fils1, fils2, …,filsN))


Arbres : propriétés

Il existe un chemin unique entre la racine de l ’arbre et chaque sommet.

b

an

i r

e

z

: nœud

Un des nœuds de l’arbre est particulieril n ’a pas de père : c’est la racine de l’arbre

racine

Un arbre comprend un nombre fini de sommets (appelés aussi nœud).


Arbres : définitions

Le sous-arbre de racine i est l’arbre composé des descendants de i, enraciné en iOn appelle aussi ce sous-arbre : fils de b

i est le père de n et de an est un descendant de ii est un ascendant de a

b

an

i r

e

z

: nœud

racine

==> algorithmes récursifs


Arbres : définitions

Un nœud sans fils est un nœud externe ou une feuille.Exemples : n,a,e

b

an

i r

e

z

: nœud

racine

Un nœud qui n ’est pas une feuille est un nœud interne.Exemples : b,i,r

Le nombre de fils d ’un nœud x est appelé degré de x.Lorsque chaque nœud doit avoir au plus n fils (n fixé) alors l ’arbre est n-aire.Exemple : si n=2, l’arbre est binaire.


Arbres : profondeur

La profondeur ou niveau d ’un nœud est le nombre de liens sur l ’unique chemin qui conduit de la racine à ce nœud.

b

an

i r

e

z

: nœud

Profondeur 0

Profondeur 1

Profondeur 2

Deux nœuds frères ont la même profondeur.

N étant un nœud de l’arbre :- ou N est racine => niveau=0- ou niveau (N)= niveau (père(N))+1


Arbres : hauteur

La hauteur d ’un arbre est égale au niveau maximum de ses feuilles +1.

b

an

i r

e

z

: nœud

Hauteur = 3

Un arbre est équilibré si pour tout nœud, la valeur absolue de son facteur d ’équilibre est inférieure ou égale à 1.

Facteur d’équilibre d’un nœud dans un arbre binaire =hauteur (sous-arbre droit) - hauteur (sous-arbre gauche)


Arbres : facteur d’équilibre

b

an

i r

e

z

Hauteur = 3 Un arbre est équilibré si pour tout nœud, la valeur absolue de son facteur d ’équilibre est inférieure ou égale à 1.Facteur d ’équilibre d’un nœud dans un arbre de degré deux :hauteur (sous-arbre droit) - hauteur (sous-arbre gauche)

Un arbre est dégénéré si tous les nœuds de cet arbre ont au plus un descendant.

Un arbre dégénéré est équivalent à une liste linéaire


Arbre complet

Un arbre complet est un arbre d’arité k pour lequel toutes les feuilles ont même profondeur (h) et tous les nœuds ont pour degré k. Exemple : k=2 et h = 3.=> nombre de feuilles d ’un arbre complet = kh-1 / k-1

b

an

i r

e z

Un arbre complet

Nombre de nœuds (taille) dans un arbre binaire complet : N = 2H-1

Hauteur H d ’un arbre binaire completayant N nœuds : H = Log2(N)+1


Arbre binaire

b

an

i r

e

t

r

y

gauche

f

droit

Dans un arbre binaire chaque nœuda un degré inférieur ou égal à deux. L ’information de position : gauche, droitcaractérise un arbre binaire.

+

ba

- 4

gauche droit+

ab

- 4

gauche droit

(a-b)+4 (b-a)+4

==


Arbre binaire : définition

Un arbre binaire est un arbre dans lequel chaque nœud a un sous-arbre droit (fils droit) et un sous-arbre gauche (fils gauche).(Un sous-arbres peut-être éventuellement vide)

Définition récursive d’un arbre binaire :Un arbre binaire est :- soit vide- soit (sous-arbre gauche, racine, sous-arbre droit)

b

an

i r

e

t

r

y

gauche

f

droit

Un ABR est défini par : nœud<X>* PtrUn nœud est défini par :

nœud<X>* gauche;nœud<X>* droit;X valeur;


Arbre binaire de recherche (ABR)

Un arbre binaire de recherche (ABR) ordonne totalement les informations qu’il stocke(par clé) :Toutes les clés des valeurs inférieures ou égales à celle de la racine sont stockées dans le descendant gauche de la racine

Toutes les clés des valeurs strictement supérieures à celle de la racine sont stockées dans le descendant droit de la racine

Propriété caractéristique des ABR:Pour chaque nœud n de l’arbre : (1) n.arbreGauche.maxVal<=n.val<n.arbreDroit.minVal

34

3020

23 5O

45

gauche

48

droit

29


Arbre binaire de recherche

ConditionsLa classe Valeur doit disposer d’une fonction de comparaison sur les clésTout ajout, toute suppression de nœud doit maintenir la propriété (1) vraie

Exemple : ajouter la valeur 49 : 49

Remarque :Tout ajout se fait par une feuille.

49

34

3020

23 5O

45

gauche

48

droit

29

Exemple : ajouter la valeur 24 2424


ABR : suppression

une feuille : trivial48

Analyse : l ’algorithme de suppression d ’un nœud présente 3 cas :

34

3020

23 5O

45

gauche

48

droit

29 48

34

3020

23 5O

45

29


ABR : suppression

un nœud simple : on le remplace par son unique fils

50

Deuxième cas de nœud à supprimer34

3020

23 5O

45

gauche

48

droit

29

50

34

3020

23

48

29

45


ABR : suppression

23 un nœud double : on lui donne la valeur minimale de son sous-arbre droit (ex: 29), et on supprime le nœud qui a cette valeur

Troisième cas de nœud à supprimer34

3020

23 5O

45

gauche

48

droit

29

23

5O

34

3020 45

48

29


Parcours dans un ABR

template <class X>class ABR { ...void infixe (void);// les valeurs de IC sont éditées par ordre // croissant sur les clés...}

si (non vide) alorsinfixe du sous-arbre gauchecout << valeur de la racineinfixe du sous-arbre droit

fsi

Parcours infixé:GaucheRacineDroit


3 types de parcours : infixés

Gauche, Racine, DroiteDroite, Racine, Gauche

préfixé Racine, Gauche, Droite Racine, Droite, Gauche

postfixés Gauche, Droite, Racine,Droite, Gauche, Racine

34

3020

23 5O

45

gauche

48

droit

29

Parcours dans un ABR


ABR et algorithmique

Les arbres binaires de recherche présentent deux avantages : • tri efficace car les valeurs sont maintenues ordonnées• recherche efficace par dichotomie

template <class X>class ABR { ...bool rechercher (const X& E);// est retourné : vrai si E est dans ABR, faux sinon

...}


ABR : recherche dichotomique

bool rechercher (const X& E);// est retourné : vrai si E est dans ABR, faux sinon

si vide => retourner fauxsinon si (E = valeur racine) => retourner vrai sinon si (E<valeur racine) => retourner rechercher dans sous-arbre gauche sinon retourner rechercher dans sous-arbre droit fsi fsifsi

Si N est le nombre de nœuds et si l ’ABR est équilibré alorsla complexité de l ’algorithme de recherche dichotomiqueest de l ’ordre de Log 2 (N).Exemple : N=1024 => complexité ~ 10


Conclusions ABR (algorithmique)

Les arbres binaires de recherche sont des structures de données efficaces pour implanter des suites ordonnées dynamiques.Les opérations associées sont:RECHERCHER, MINIMUM,MAXIMUM,SUCCESSEUR, PREDECESSEUR , INSERER et SUPPRIMER . Pour un ABR complet, les opérations de base sur les arbres binaires de recherche ont une complexité de l ’ordre de Log2(N), N étant le nombre de nœuds.Cependant, quand l’arbre est dégénéré : s ’il se réduit par exempleà une liste linéaire chaînée alors les opérations ont une complexitéde l ’ordre de (N).Pour garantir de bonnes performances, il existe une variante des ABR : les arbres rouge et noir.


Un arbre rouge et noir est un arbre binaire de recherche comprenant une donnée supplémentaire par nœud définissant sa couleur : rouge ou noir.

Arbre rouge et noir

En contrôlant les manières dont sont colorés les nœuds on garantit que tout chemin menant de la racine à une feuille n ’est pas plus de deux fois plus long qu’un autre.

Ainsi, un arbre rouge et noir est un arbre binaire de recherche approximativement équilibré.


Dans un arbre rouge et noir : Chaque nœud est soit rouge, soit noirSi un nœud est rouge alors ses deux nœuds fils sont noirsChaque chemin reliant un nœud à une feuille descendante a le même nombre de nœuds noirs.

Arbre rouge et noir : propriétés

26

17 41

30

3819

14 21

26 28

47

11 16


On montre que dans un arbre rouge et noir comportant N nœuds, les opérations rechercher, minimum, maximum

ont une complexité de l’ordre de Log2(N).

Arbre rouge et noir : complexité

En contrôlant les manières dont les nœuds sont colorés on garantit que tout chemin menant de la racine à une feuille n’est pas plus de deux fois plus long qu’un autre.

Un arbre rouge et noir comportant N nœuds a une hauteur au plus égale à : 2 Log2(N+1). H <= 2 Log2(N+1).


Arbre rouge et noir : opérations

Par rapport aux ABR, les opérations : RECHERCHER, MINIMUM, MAXIMUM,SUCCESSEUR et PREDECESSEUR sont inchangées dans un arbre rouge et noir

Par rapport aux ABR, les opérations : INSERER et SUPPRIMER ne sont pas directement supportées dans un arbre rouge et noir


Dans un arbre rouge et noir : Les opérations INSERER et SUPPRIMER modifient l ’arbre. Aussi, pour garantir les propriétés des arbres rouge et noir, il faut changer les couleurs de certains nœuds et changer aussi les chaînages par pointeurs.

On modifie ces chaînages par rotations.

Arbre rouge et noir : insérer/sup


On insère un nœud 4 que l ’on colore au départ en rouge

11

2 14

5

1 7

8

15

4

4

Couleur (x) <- rougeTant que (x<>racine) et (p[x] est rouge) faire si (p[x] = gauche p[p[x]]) alors

y <- droit p[p[x]]si (couleur (y) = rouge) alors //cas 1

couleur (p[x] )<- noircouleur (y) <- noir couleur (p[p[x]] )<- rouge

58

7x<- p[p[x]] //on itère le traitement

… // traitement symétrique à droiteFin tant quecouleur (racine) <- noir

5

7

8

4

x

Arbre rouge et noir : INSERER - cas 1(père de x et oncle de x sont rouges)


Arbre rouge et noir : INSERER - cas 2(x est fils droit et oncle droit noir)


y <- droit p[p[x]] //oncle droit si (couleur (y) = rouge) alors // cas 1 (diapo précédente) sinon // cas 2

si (x=droit(p[x] )) alorsx

11

7 14

5

8 152

1

4On fait une rotation pour amenerla situation au cas 3

x <- p[x] // x =2

Rotation gauche (x)

x

5

7

8

4

x

2

1

14

14

2


Arbre rouge et noir : INSERER - cas 2(x est fils droit et oncle droit noir)

7


y <- droit p[p[x]] //oncle droit si (couleur (y) = rouge) alors // cas 1 (avant dernière diapo) sinon // cas 2

si (x=droit(p[x] )) alorsx

11

7 14

5

8 152

1

4

5

7

8

4

x

2

1

On fait une rotation pour amenerla situation au cas 3 et nouveau x

Cas 2 : frère du père de x est noir et x est un fils droit


Arbre rouge et noir : INSERER - cas 3(x est un fils gauche et oncle droit noir)

Couleur (x) <- rougeTant que ... faire ... sinon si (x=droit(p[x] )) alors

// cas 2 ...Sinon // cas 3couleur (p[x] ) <- noircouleur (p[p[x]]) <- rouge Rotation droite (p[p[x]]))fsi

x

11

7 14

5

8 152

1

4

7

11

11

7

145 8

15

2

1

4Cas 3 : frère du père de x est noiret x est un fils gauche On a bien un arbre rouge noir


ARBRE 2-3

Quand un ABR est déséquilibré : s’il se réduit par exemple à une liste linéaire chaînée alors les opérations ont une complexité de l ’ordre de (N).

Pour garantir de bonnes performances une deuxième variante des ABR est les arbres 2-3


ARBRE 2-3 : propriétés

Dans un arbre 2-3 :

Chaque nœud interne a exactement 2 ou 3 fils

Tout chemin de la racine à une feuille a une longueur fixe


Un arbre binaire de recherche (ABR) ordonne totalement les informations qu’il stocke(par clé) :A gauche d ’un nœud : valeurs de clés inférieures ou égales à la clé du nœud.A droite : valeurs de clés supérieures strictement.

ARBRE 2-3 : propriétés

Représentation d ’une suite ordonnée dans un arbre 2-3 : Les nœuds internes ont pour valeur les clés les feuilles ont pour valeur les éléments de la suite ordonnée


ARBRE 2-3 : exemple

Relation d ’ordre R :a R b <=> clé(a) R clé(b) 52 7

7 16

5 - 8 12

128

19 -

1916

Représentation d ’une suite ordonnée dans un arbre 2-3 : Un nœud interne a pour valeur :

la clé de l ’élément minimal du deuxième filsla clé de l ’élément minimal du troisième fils

Feuille ont pour valeur les éléments de la suite


ARBRE 2-3 : complexité

Un arbre 2-3 de profondeur k a un nombre de feuilles compris entre 2 k-1 et 3 k-1

La profondeur d ’un arbre 2-3 comprenant N éléments est comprise entre 1+Log 3 (N) et 1+Log 2 (N)Par rapport aux ABR, les opérations : RECHERCHER, MINIMUM, MAXIMUM,SUCCESSEUR et PREDECESSEUR sont triviales dans un arbre 2-3 Par rapport aux ABR, les opérations : INSERER et SUPPRIMER ne sont pas directement supportées dans un arbre 2-3


ARBRE 2-3 : insertion - cas 1

Cas 1 : insérer x=18Cas où le nœud père de x n ’a que deux feuilles. 52 7

7 16

5 - 8 12

128

19 -

1916

52 7

7 16

5 - 8 12

128

18 19

1816 19



Cas 2 : insérer x=10La feuille x est un 4ème fils

52 7

7 16

5 - 8 12

128

18 19

16 18 19

Lorsqu’on insère un 4ème fils dans un nœud N , alors on scinde N en deux.

7

8 -

852

7 16

5 - 18 19

16 18 1910

12 -

12

x=10



Lorsqu’on insère un 4ème fils dans un nœud N alors on scinde N en deux,Les deux éléments les plus petits restent avec NLes deux plus grands ont pour père un nouveau nœud N1N1 est inséré parmi les pères de N (on itère l ’insertion)

52 7

7 16

5 - 8 -

8

18 19

16 18 1910

12 -

12

N N1



52 7

7 16

5 - 8 -

8

18 19

16 18 1910

12 -

12

52 7

10 -

5 - 8 -

8

18 19

16 18 1910

12 -

12

7 - 16 -(12 -) est un 4ème filsde (7 16). on scinde(7 16) en deux nœuds Nouvelle racine 10

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