Formulaire
4
F O R M U L A I R E Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie Form. C 2 060 - 2 est strictement interdite. - © Techniques de l’Ingénieur, traité Construction RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX ___________________________________________________________________________________________________________ 1. Caractéristiques géométriques (0) Tableau 1 – Caractéristiques géométriques des sections Section Centre de gravité Surface S = a 2 S = a 2 – a ’ 2 S = bh Inertie polaire Inertie par rapport à un axe Module de résis- tance minimal Rayon de giration Noyau central v ′ v 2 h 3 --------- = h 3 ---- = v a 2 ---- = v ′ a 2 ---- = v v ′ a 2 ---- = a 2 ---- = v h 2 ---- = v ′ h 2 ---- = S bh 2 ---------- = I G Sa 2 b 2 c 2 + + ( ) 36 -------------------------------------------- = I G a 4 6 -------- = I G a 4 a′ 4 – 6 ----------------------- = I G bh b 2 h 2 + ( ) 12 ----------------------------------- = I x 1 bh 3 12 ------------ = I x bh 3 36 ------------ = I y b 3 h 3 48 m 2 ------------------- = I x I d a 4 12 -------- = I x 1 a 4 3 -------- = a 4 12 -------- = I x a 4 a′ 4 – 12 ----------------------- = I d a 4 a′ 4 – 12 ----------------------- = I x 1 bh 3 3 ------------ = I x bh 3 12 ------------ = I d b 3 h 3 6 b 2 h 2 + ( ) ------------------------------- = μ x I x v ------ bh 2 24 ------------ = = μ y b 2 h 2 24 m ---------------- = μ x a 3 6 -------- = μ d a 3 6 2 --------------- = μ x a 4 a′ 4 – 6 a ---------------------- = μ d a 4 a′ 4 – a 72 ---------------------- a 4 a′ 4 – 6 a 2 ---------------------- = = μ x bh 2 6 ------------ = μ d b 2 h 2 6 b 2 h 2 + -------------------------------- = r x r y h 18 ------------- = bh m 24 -------------------- = r x a 12 ------------- = r d a 12 ------------- = r x a 2 a′ 2 + 12 ----------------------- = r d a 2 a′ 2 + 12 ----------------------- = r x h 12 ------------- = r d bh 6 b 2 h 2 + ( ) ------------------------------------ = Gα m 6 ------ et Gβ m 12 -------- = = Gα Gβ a 6 ---- = = Gγ Gδ a 6 ---- = = Gα Gβ a 2 a′ 2 + 6 a ----------------------- = = Gγ Gδ a 2 a′ 2 + 6 a ----------------------- = = Gα Gβ h 6 ---- = = Gγ Gδ b 6 ---- = = Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. - © Techniques de l’Ingénieur, traité Construction Form. C 2 060 - 3 F O R M U L A I R E ___________________________________________________________________________________________________________ RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX Section m = EF Centre de gravité ou : Surface S = bh – b’h’ Inertie polaire Inertie par rapport à un axe Module de résis- tance minimal Rayon de giration Noyau central Tableau 1 – Caractéristiques géométriques des sections (suite) d a 3 = v v ′ h 2 ---- = h 2 ---- = v v ′ h 2 ---- = h 2 ---- = v v ′ h 3 ---- 2 B b + B b + -------------------- = h 3 ---- B 2 b + B b + -------------------- = v v ′ 1 2 ---- d = = v v ′ a 3 2 ---------------- = = S bh 2 -------- = S h 2 ---- B b + ( ) = S d 2 3 2 ------------------- 3 a 2 3 2 ----------------------- = = I G bh b 2 h 2 + ( ) b′ h′ b′ 2 h′ 2 + ( ) – 12 ---------------------------------------------------------------------------------- = I G bh b 2 h 2 + ( ) 48 ----------------------------------- = I G 5 d 4 24 3 ------------------ 15 a 4 8 3 --------------- = = I x bh 3 b′ h′ 3 – 12 --------------------------------- = I x bh 3 48 ----------- = I y hb 3 48 ----------- = I x 1 I x I y h 3 12 -------- B 3b + ( ) = h 3 B 2 4 Bb b 2 + + ( ) 36 B b + ( ) ------------------------------------------------------ = h 3 B 4 b 4 – ( ) 48 m 2 B b – ( ) ------------------------------------ = I x 5 d 4 48 3 ------------------ 5 a 4 3 16 ------------------------ = = I y 5 d 4 48 3 ------------------ 5 a 4 3 16 ------------------------ = = μ x bh 3 b′ h′ 3 – 6h --------------------------------- = μ x bh 2 24 ------------ = μ y hb 2 24 ------------ = μ x 1 h 2 B 3b + ( ) 12 ------------------------------- = μ x h 2 B 2 4 Bb b 2 + + ( ) 12 2B b + ( ) ------------------------------------------------------ = μ x 5 d 3 24 3 ------------------ 5 8 ---- a 3 = = μ y 5 d 3 48 ------------- 5 a 3 3 16 ---------------------- = = r x bh 3 b′ h′ 3 – 12 bh b′ h′ – ( ) --------------------------------------- = r x h 24 -------------- = r y h 24 -------------- = r x r y h B 2 4 Bb b 2 + + 18 B b + ( ) 2 ----------------------------------------- = h m ------ B 2 b 2 + 24 -------------------- = r x d 5 72 -------- a 5 24 -------- = = r y d 5 72 -------- a 5 24 -------- = = Gα Gβ bh 3 b′ h′ 3 – 6 h bh b′ h′ – ( ) ----------------------------------------- = = Gγ Gδ hb 3 h′ b′ 3 – 6 b bh b′ h′ – ( ) ----------------------------------------- = = Gα Gβ h 12 -------- = = Gγ Gδ b 12 -------- = = Gα Gβ 5 d 36 ---------- 5 a 3 36 -------------------- = = = Gγ Gδ 5 d 3 72 ---------------------- 5 a 24 --------- = = =
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pour le calcul des sections.
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-
FORMULAIRE
Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copieForm. C 2 060 2 est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Construction
RSISTANCE DES MATRIAUX ___________________________________________________________________________________________________________
1. Caractristiques gomtriques
(0)
Tableau 1 Caractristiques gomtriques des sections
Section
Centre de
gravit
Surface S = a2 S = a2 a 2 S = bh
Inertie polaire
Inertiepar
rapport un axe
Modulede
rsis-tance
minimal
Rayonde
giration
Noyau central
v
v2 h
3----------=
h
3-----=
va
2-----=
v a
2-----=
v
v
a
2-----=
a
2-----=
vh
2-----=
v h
2-----=
Sb h
2----------=
IGS a 2 b 2 c 2+ +( )
36---------------------------------------------= IG
a 4
6--------= IG
a 4 a 46
-----------------------= IGbh b 2 h 2+( )
12------------------------------------=
Ix1
bh 3
12------------=
Ixbh 3
36------------=
Iyb 3 h 3
48 m 2 -------------------=
Ix
Ida 4
12--------=
Ix1
a 4
3--------=
a 4
12--------=
Ixa 4 a 4
12-----------------------=
Ida 4 a 4
12-----------------------=
Ix1
bh 3
3------------=
Ixbh 3
12------------=
Idb 3 h 3
6 b 2 h 2+( )--------------------------------=
xIx
v------
bh 2
24------------= =
yb 2h 2
24 m ----------------=
xa 3
6--------=
da 3
6 2----------------=
xa 4 a 4
6 a-----------------------=
da 4 a 4
a 72-----------------------
a 4 a 4
6 a 2-----------------------= =
xbh 2
6-------------=
db 2 h 2
6 b 2 h 2+--------------------------------=
rx
ry
h
18-------------=
bh
m 24--------------------=
rxa
12-------------=
rda
12-------------=
rxa 2 a 2+
12-----------------------=
rda 2 a 2+
12------------------------=
rxh
12-------------=
rdbh
6 b 2 h 2+( )-------------------------------------=
Gm
6------- et G
m
12--------= =
G Ga
6-----= =
G Ga
6-----= =
G Ga 2 a 2+
6 a------------------------= =
G Ga 2 a 2+
6 a-----------------------= =
G Gh
6-----= =
G Gb
6-----= =
Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite.
Techniques de lIngnieur, trait Construction
Form. C 2 060
3
FORMULAIRE
___________________________________________________________________________________________________________
RSISTANCE DES MATRIAUX
Section
m
= EF
Centre de
gravit
ou :
Surface
S
=
bh
b
h
Inertiepolaire
Inertiepar
rapport un axe
Modulede
rsis-tance
minimal
Rayonde
giration
Noyaucentral
Tableau 1 Caractristiques gomtriques des sections
(suite)
d a 3=
v
v
h
2-----=
h
2-----=
v
v
h
2-----=
h
2-----=
v
v
h
3----- 1 2 B b+B b+---------------------2=h
3----- 1 B 2 b+B b+--------------------2=
v v 1
2----- d==
v v a 3
2----------------==
Sbh
2---------= S
h
2----- B b+( )= S
d 2 3
2--------------------
3 a 2 3
2------------------------==
IGbh b 2 h2+( ) b h b 2 h 2+( )
12----------------------------------------------------------------------------------= IG
bh b 2 h 2+( )48
------------------------------------= IG5 d 4
24 3-------------------
15 a 4
8 3----------------= =
Ixbh 3 b h 3
12----------------------------------=
Ixbh3
48------------=
Iyhb3
48------------=
Ix1
Ix
Iy
h 3
12--------- B 3b+( )=
h3 B 2 4 Bb b 2+ +( )36 B b+( )
-------------------------------------------------------=
h 3 B 4 b 4( )
48 m2 B b( )-------------------------------------=
Ix5 d 4
48 3-------------------
5 a 4 3
16------------------------= =
Iy5 d 4
48 3-------------------
5 a 4 3
16------------------------= =
xbh 3 b h 3
6h----------------------------------=
xbh 2
24------------=
yhb 2
24------------=
x1h 2 B 3b+( )
12--------------------------------=
xh 2 B 2 4 Bb b 2+ +( )
12 2B b+( )------------------------------------------------------=
x5 d 3
24 3-------------------
5
8----- a 3= =
y5 d 3
48--------------
5 a 3 3
16-----------------------= =
rxbh 3 b h 3
12 bh b h ( )---------------------------------------=
rxh
24---------------=
ryh
24---------------=
rx
ry
hB 2 4 Bb b 2+ +
18 B b+( )2------------------------------------------=
h
m-------
B 2 b 2+
24---------------------=
rx d5
72-------- a
5
24--------= =
ry d5
72-------- a
5
24--------= =
G Gbh 3 b h 3
6 h bh b h ( )-----------------------------------------= =
G Ghb 3 h b 3
6 b bh b h ( )-----------------------------------------==
G Gh
12--------= =
G Gb
12--------= =
G G5 d
36----------
5 a 3
36---------------------= = =
G G5 d 3
72----------------------
5 a
24----------= = =
-
FORMULAIRE
Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copieForm. C 2 060 4 est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Construction
RSISTANCE DES MATRIAUX ___________________________________________________________________________________________________________
Section
f = R (1 cos )
Centre de
gravitv = R (1 cos ) v
v = R
v = R
v = R
v = R
Surface S = R 2 S = (R2 R 2)
Inertiepolaire
IG = Ix + Iy
Inertiepar
rapport un axe
Modulede
rsis-tance
minimal
Rayonde
giration
Noyaucentral
Le noyau central est limitpar un cercle de centre Get de rayon :
Le noyau central est limitpar un cercle de centre Get de rayon :
Tableau 1 Caractristiques gomtriques des sections (suite)
v R 11 4 sin3
3 2 2sin( )------------------------------------------2=
v R 11 43 ---------2=v
4 R
3 ----------=
SR 2
2--------- 2 2 sin( )= S
1
2----- R 2=
IG 1 4----- 89 ---------2 R 4= IG 12----- R 4= IG1
2----- R 4 R 4( )=
IxR 4
16--------- 4 4 sin( )=
IyR 4
8--------- (2
4
3----- 2 sin=
R
4
1 2
cos
( )
3
9 2
2
sin
( ) -----------------------------------------------
1
6
-----
4
)sin
+
Ix1
1
8----- R 4=
Ix 1 8-----
8
9
---------
2
R
4
=
I
y
1
8
-----
R
4
=
Ix1
4----- R 4=
Iy1
4----- R 4=
Ix4----- R 4 R 4( )=
Iy4----- R 4 R 4( )=
xIx
v------=
yIy
R sin--------------------=
x11
8----- R 3=
x9 2 64
24 3 4( )-------------------------------- R 3=
y1
8----- R 3=
x1
4----- R 3=
y1
4----- R 3=
x R 4 R 4( )
4 R-----------------------------------=
y R 4 R 4( )
4 R-----------------------------------=
rxIx
S------=
ryIy
S------=
rx
ry
R
2----- 1 1 83 ---------2
2
=
R
2-----=
rx1
2----- R=
ry1
2----- R=
rx1
2----- R 2 R 2+=
ry1
2----- R 2 R 2+=
1
4----- R=
R 2 R 2+4 R
--------------------------=
GIx
S v ------------- et G
Ix
Sv---------= =
G GIy
SR sin-------------------------= =
G 1 3 16--------- 43 ---------2 R=G
9 2 6412 3 4( )------------------------------------- R=
G G1
4----- R= =
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FORMULAIRE
___________________________________________________________________________________________________________ RSISTANCE DES MATRIAUX
Section
Centre de
gravit
Surface S = e (h + b e ) S = 2 he + b e1
Inertie polaire
IG = Ix + Iy IG = If + Id IG = Ix + Iy
Inertiepar
rapport un axe
Modulede
rsis-tance
minimal
Rayonde
giration
Noyau central
Tableau 1 Caractristiques gomtriques des sections (suite)
v
v h 2 be e 2+
2 h b e+( )-----------------------------------=
h 2 b e( ) 2 h e( )+2 h b e+( )
---------------------------------------------------------= v
v
3 , , e( ) e 2+2 2 , e( )
-----------------------------------------=
, 2 ,e e 2+
2 2 , e( )----------------------------------=
v
v
h v =
2 h 2 e b e 12
+
2 2 he b e1+( )-----------------------------------------=
S e 2 , e( )=
Ix1
e
3----- h 3 be 2 e 3+( )=
Ix Ix1S v 2=
Iye
12-------- b 3 h e( ) e 2+[ ]=
Ix
If
Id If, 2 , e( )2 e2 2 , e( )
----------------------------------=
1
3----- e , 3 , e( ) e 2+[ ] S v 2=
1
12-------- , 4 , e( )4[ ]=
Ix1
Ix Ix1S v 2=
Iy1
12-------- hb 3 h e1( ) b
3[ ]=
1
3----- 2 h 3 e b e 1
3+( )=
xIx
v-------=
ye b 3 h e( ) e 2+[ ]
6 b---------------------------------------------------=
xIx
v-------=
fIf 2
,----------------=
dId
v 2-------------------=
xIx
v-------=
y2 Iyb
-----------=
rxIx
S-------=
ryIy
S-------=
rx
rf
Ix
S-------=
, 2 , e( )2+12
---------------------------------- et rdId
S-------==
rx
ry
Ix
S-------=
Iy
S-------=
GIx
S v ------------- et G
Ix
Sv---------= =
G G2 IyS b-----------= =
GId
S v 2------------------------ et G
Id
Sv 2--------------------= =
G GIf 2
S ,----------------= =
GIx
S v ------------- et G
Ix
Sv---------= =
G G2 IyS b-----------= =
-
FORMULAIRE
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Form. C 2 060
26
est strictement interdite.
Techniques de lIngnieur, trait Construction
RSISTANCE DES MATRIAUX
___________________________________________________________________________________________________________
CaractristiquesRactions
Moment Effort tranchant
Type Charges Diagramme quations Diagramme quations
II
A O :
T
=
P
/2
O B :
T
=
P
/2
R
A
=
R
B
=
P
A C :
M
=
Px
C C :
M
=
Pa
M
C
=
M
C
=
Pa
A C :
T
=
P
C C :
T
= O
C B :
T
=
P
R
A
=
R
B
= 0
M
=
m
M
O = mT = 0
Tableau 10 Moment, effort tranchant et dformations des poutres consoles et des poutres droites une trave dinertie constante (suite)
RA RBp ,
2----------= =
Mpx
2--------- , x( )=
MOp , 2
8--------------=
T p 1,2----- x 2=
RA RBP
2------= =
A O : MP
2
------ x =
O B : MP
2
------ , x ( ) =
M
O
P
,
4
----------=
RA P 11 ,------ 2=RB P
,
------=
A C :
C B :
M
C
P
,
( )
,
------------------------=
P
,
x
( )
,
------------------------=
Px
,
( )
,
------------------------=
M
MA C : T P 1 1
, ------ 2 =
T
A
P
1
1
,
------
2
=
C B : T P
, ------=
T
B P
, ------=
C B : M P , x ( ) =
RAp1 ,
6-------------=
RBp1 ,
3-------------=
Mmax
M
pour xm ,3
3-----------=
p1 x
6,------------- , 2 x 2( )=
3
27----------- p1,
2= T
p1 ,
6-------------
p1 x2
2,----------------=
RA RBp1 ,
4------------= =
A O :
O B :
M
O
p
1
,
2
12
----------------=
p
1
,
4
------------
xp
1
x
3
3
,
---------------=
p
1
,
4
------------ x 1 p
1
x
13
3
,
----------------= M
MA O :
O B :
T p
1
, 4 ------------=
p
1 x
12
,
----------------+
Tp
1
,
4
------------
p
1
x
2
,
----------------=
RAm 2 m1
,-------------------------=
RBm1 m 2
,-------------------------=
M m1 m 2 m1( )x
,-----+=
MOm1 m2+
2-------------------------=
Tm 2 m 1
,--------------------------=
RA RBm
,-------= =
A C : M
C B : M
M
C
gauche m
, -----------=
M
C
droite
mx
, -----------=
m
1
1
x
,
-----
2
=
m
,
------------=
T m , -------=
FORMULAIRE
Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie
Form. C 2 060
30
est strictement interdite.
Techniques de lIngnieur, trait Construction
RSISTANCE DES MATRIAUX
___________________________________________________________________________________________________________
CaractristiquesDformations
Ligne lastique. Flches Rotation des sections
Type Charges quations quations
II
Tableau 10 Moment, effort tranchant et dformations des poutres consoles et des poutres droites une trave dinertie constante
(suite)
v p
24
E
I ---------------- x , x ( ) , 2 , x x 2 + ( ) =
v
O 5
384 -----------
p
,
4
E
I ------------=
p
24
E
I ---------------- , 3 6 , x 2 4 x 3 + ( ) =
A
B
p
,
3
24
E
I ----------------=
p
,
3
24
E
I
----------------=
A O : v P
48
E
I --------------- x 3 , 2 4 x 2 ( ) =
O B : v P
48
E
I --------------- x 1 3 ,
2 4 x 12
( ) =
v
O P
,
3
48 E
I ---------------=
A O : P
16
E
I --------------- , 2 4 x 2 ( ) =
A P
,
2
16
E
I ---------------=
O B : P
16
E
I
--------------- , 2 4 x 12
( ) =
B
P
,
2
16
E
I
---------------=
A C : v
C B : v
v
C
,
2
----- > : v max P
,
( )
27 E
I
, ------------------------ 3 2 , ( )[ ] 3 =
,
2
----- < : v max P
27
E
I
, ------------------ 3 , 2 2 ( ) 3 =
P
2
,
( )
2
3 E
I
, -----------------------------------=
P
,
x
( ) 6 E
I
, ---------------------------- x 2 , x ( ) 2 [ ] =
Px
,
( ) 6
E
I
, ---------------------------- 2 , ( ) x 2 [ ] =
A C : P
,
( ) 6 E I
, ------------------------ 2 , ( ) 3 x 2 [ ] =
A P
,
( )
2
,
( ) 6
E
I
,
----------------------------------------------------=
C B : P
6
E
I
,
--------------- , + ( ) , ( ) 3 , x ( ) 2 [ ] =
B
P
,
( )
,
+
( )
6
E
I
,
-------------------------------------------------=
A C : v Px 6 E
I ----------- 3 a , a ( ) x 2 [ ] =
C C
: v Pa 6 E
I ----------- a 2 3 , x 3 x 2 + [ ] =
v
O Pa
24
E
I --------------- 3 , 2 4 a 2 ( ) =
v
C
v
C Pa
2
6 E I ----------- 3 , 4 a ( ) = =
C
B : v Px
1 6 E I ----------- 3 a , a ( ) x 1
2 [ ] =
A C :
C C
: Pa
2 E
I ----------- , 2 x ( ) =
C
B :
A B Pa
,
a
( ) 2
E
I ----------------------------= =
C C
Pa
,
2
a
( ) 2
E
I -------------------------------= =
P
2
E
I
-----------
a
,
a
( )
x
12
[ ]=
P
2 E
I ----------- a , a ( ) x 2 [ ] =
v
vmax 0,006 522 p
1
,
4
E
I
----------------= pour x 0,519 33 , =
p
1
x
360
E
I
,
---------------------- 7 , 4 10 , 2 x 2 3 x 4 + ( ) =
p
1
360
E
I
, ---------------------- 7 , 4 30 , 2 x 2 15 x 4 + ( ) =
A 7
p
1
,
3
360
E
I
--------------------=
B
8
p
1
,
3
360
E
I
---------------------=
-
Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite.
Techniques de lIngnieur, trait Construction
Form. C 2 060
31
FORMULAIRE
___________________________________________________________________________________________________________
RSISTANCE DES MATRIAUX
CaractristiquesDformations
Ligne lastique. Flches Rotation des sections
Type Charges quations quations
II
III
Tableau 10 Moment, effort tranchant et dformations des poutres consoles et des poutres droites une trave dinertie constante
(suite)
A O : v p
1 x
960
E
I
,
----------------------= 25 , 4 40 , 2 x 2 16 x 4 + ( )
O B : v p
1
x
1
960
E
I
,
----------------------= 25 , 4 40 , 2 x 12
16 x 14
+ ( )
v
O p
1
,
4
120
E
I
------------------=
A O :
O B : p
1
192
E
I
, ---------------------- 5 , 4 24 , 2 x 1
2 16 x 1
4 + ( ) =
A B 5
p
1
,
3
192
E
I
--------------------= =
p
1
192
E
I
, ---------------------- 5 , 4 24 , 2 x 2 16 x 4 + ( ) =
v x
6 E
I
, ---------------= 2 m 1 m 2 + ( ) ,
2 [ 3 m 1 , x m 1 m 2 ( ) x 2 ] +
v
O ,
2
16
E
I --------------- m 1 m 2 + ( ) =
1
6
E
I
, --------------- 2 m 1 m 2 + ( ) ,
2 6 m 1 , x 3 m 1 m 2 ( ) x 2 ] + [ =
A 1
6
E
I ----------- 2 m 1 m 2 + ( ) , =
B
1
6
E
I
-----------
m
1
2
m
2
+
( )
,
=
v mx 2 E
I ----------- , x ( ) =
v
O m
,
2
8 E
I ---------------=
m
2 E
I ----------- , 2 x ( ) =
A m
, 2 E
I -----------=
B
m
,
2
E
I
-----------=
A C : vm
,
x
6
E
I
--------------= 1 1 3 2 ,
2
-------- x
2
,
2
--------- 2
C B : v m
,
x
1 6
E I ------------------= 1 1 3 2
,
2 ---------
x
12
,
2
-------- 2 v
C
m
( )
3
E
I
+
( )
----------------------------------=
A C : m
,
6
E
I
----------- 1 1 3 2 ,
2
--------- 3 x
2
,
2
--------- 2 =
A
m
,
6
E
I
-----------
1
1 3
2
,
2
---------
2
=
C B : m
,
6
E
I
-----------= 1 1 3 2 ,
2
--------- 3 x
12
,
2
-------- 2
B
m
,
6
E
I
-----------
1
1 3
2
,
2
---------
2
=
v
vmax 2,079 8 p
,
4
384
E
I
-------------------= pour x 0,578 5 = ,
p
48
E
I --------------- x 2 , x ( ) 3 , 2 x ( ) =
px 48
E
I ---------------- 6 , 2 15 , x 8 x 2 + ( ) =
B
p
,
3
48
E
I
----------------=
A O : v P x
2 96
E
I ---------------= 9 , 11 x ( )
O B : v P
,
x
( ) 96
E
I ------------------------- 3 5 x 2 , x ( ) 2 , 2 4 =
v
O 7
P
,
3
768
E
I ------------------=
v
max P
,
3
48
E
I
5 ------------------------ pour x , = 1 1 1
5 ---------- 2 =
A O : Px
32
E
I --------------- 6 , 11 x ( ) =
O B : P
32
E
I --------------- 4 , 2 10 , x 5 x 2 + ( ) =
B
P
,
2
32
E
I
---------------=
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Techniques de lIngnieur, trait Construction
Form. C 2 060
37
FORMULAIRE
___________________________________________________________________________________________________________
RSISTANCE DES MATRIAUX
Tableau 14 Poutre continue. Relation des trois moments. Utilisation du tableau
13
Poutre continue dinertie variable
Dans ce cas trs gnral, si les coefficients de souplesse
a, b, c
et les rotations
et
sont trop compliqus calculer, on les dterminera au moyen dintgration numrique.
Poutre continue dinertie variable dune trave lautre, mais dinertie constante lintrieur de chaque trave
La relation des trois moments prend la forme suivante :
Les valeurs des rotations sont donnes, pour les cas de charge les plus courants, dans le tableau ci-dessous :
Cas de charge dans la trave Cas de charge dans la trave
Poutre continue dinertie constante sur toute sa longueur
La relation des trois moments prend la forme suivante :
Les valeurs des relations seront dduites du tableau ci-dessus en posant
I
i
=
I
i
+ 1
=
I
.
bi,i
6EIi--------------= ai 1+
,i 1+
3EIi 1+--------------------=
ci,i
3EIi--------------= bi 1+
,i 1+
6EIi 1+--------------------=
1,i
Ii
------2 Mi 1 1 ,iIi------,i 1+
Ii 1+
-------------+ 2 2Mi 1,i 1+
Ii 1+
-------------2 Mi 1+++ 6 E i 1+ i i 1+ i+( )= i et i 1+
,i
v i
,i 1+ v i 1+
pi , i3
24 EIi------------------+
p i 1 + , i 1 + 3
24
E
I
i
1
+
---------------------------------
Pi , i2
16 EIi------------------+
P i 1 + , i 1 + 2
16
E
I
i
1
+
----------------------------------
Pi bi ai ,i ai+( )
6 EIi ,i--------------------------------------------+
P i 1 + b i 1 + a i 1 + , i 1 + b i 1 + + ( )
6
E
I
i
1
+
,
i
1
+
-----------------------------------------------------------------------------------
Pai ai ci+( )
2 EIi----------------------------------+
P i 1 + a i 1 + a i 1 + c i 1 + + ( )
2
E
I
i
1
+
---------------------------------------------------------------------
8 pi , i3
360 EIi---------------------+
7 p i 1 + , i 1 + 3
360
E
I
i
1
+
---------------------------------------
5 pi , i3
192 EIi---------------------+
5 p i 1 + , i 1 + 3
192
E
I
i
1
+
---------------------------------------
Mi6 EIi ,i---------------------- 3, i
23a i
2 4+M i 1+
6 EIi 1+ ,i 1+------------------------------------ 3, i 1+
23b i 1+
2 4+
Mi 1 ,i( ) 2Mi ,i ,i 1++( ) Mi 1+ ,i 1+( )+ + 6 EI i 1+ i i 1+ i+( )=
i et i 1+
