Formulaire de beton_arme

Formulaire de béton armé

1/18

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE DE BEJAIA

FACULTE DE TECHNOLOGIE

DEPARTEMENT DE GENIE-CIVIL

FORMULAIRE DE CALCUL DES SECTIONS EN BETON ARME

Selon le BAEL91 et CBA93

Programme de Béton 1 et 2

3ème Année Licence de Génie-Civil

Enseignants

HAMOUCHE Sabiha

TAHAKOURT Abdelkader

SOMMAIRE

I- COMPRESSION SIMPLE 2 II- TRACTION SIMPLE 5 III-FLEXION SIMPLE 6 IV-FLEXION COMPOSEE 10 V-CISAILLEMENT 17

2012/2013

Compression simple

2/18

I-COMPRESSION SIMPLE

COMBINAISONS DE CHARGE

Combinaison a l’ELU

1,35𝐺𝑚𝑎𝑥 + 𝐺𝑚𝑖𝑛 + 𝛾𝑄1 .𝑄1 + 1,3 𝜓0𝑖𝑄𝑖

Combinaison accidentelle

𝐺𝑚𝑎𝑥 + 𝐺𝑚𝑖𝑛 + 𝐹𝐴 +𝜓1𝑖𝑄1 + 𝜓2𝑖𝑄𝑖

Combinaison a l’ELS

𝐺𝑚𝑎𝑥 + 𝐺𝑚𝑖𝑛 +𝑄1 + 𝜓0𝑖𝑄𝑖

Avec :

FA : l’action accidentelle.

Gmax : l’ensemble des actions permanentes défavorables

Gmin: l’ensemble des actions permanentes favorables

Q1 : Action variable de base

Qi : Action variable d’accompagnement.

I-CALCUL DES ARMATURES LONGITUDINALES

1- ELU de résistance

𝐴𝑠 =𝑁𝑢 − 𝐵𝑓𝑏𝑢

𝑓𝑠𝑐

𝑓𝑏𝑢 =0,85 𝑓𝑐28

𝜃 𝛾𝑏 𝑆𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒

𝑓𝑏𝑢 =0,8 𝑓𝑐28

𝜃 𝛾𝑏 𝑆𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒

𝛾𝑏 = 1.5 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

𝛾𝑏 = 1.15 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠

𝑓𝑠𝑐 = 𝑓𝑒𝛾𝑠

𝛾𝑠 = 1.15 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

𝛾𝑠 = 1 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠

Pour A<0 : on n’a pas besoin d’aciers, le béton seul suffit

2- ELU de stabilité de forme

Compression simple

3/18

𝐴𝑠 ≥ 𝑁𝑢𝛼− 𝐵𝑟

𝑓𝑐28

1,35 𝛾𝑠𝑓𝑒

L’élancement du poteau

Section rectangulaire

𝜆 = 3,46 𝑙𝑓𝑏

𝑏 ∶ 𝑙𝑒 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡 𝑐𝑜𝑡é

Section circulaire

𝜆 = 4 𝑙𝑓𝐷

𝐷 ∶ 𝑙𝑒 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒

Section orthogonale

𝜆 = 3,89 𝑙𝑓𝑕

𝑆𝑖 0 ≤ 𝜆 ≤ 50 𝛼 = 0,85

1 + 0,2 𝜆

35

2

𝑆𝑖 50 ≤ 𝜆 ≤ 70 𝛼 = 0,6 50

𝜆

2

Br : Section réduite :

𝐵𝑟 = 𝑎 − 2 𝑏 − 2 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒

𝐵𝑟 = 𝜋 𝐷 − 2 2

4 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒

Condition à vérifier :

1er cas : Si 𝐴𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝐴𝑠 ≤ 𝐴𝑚𝑎𝑥 𝑂𝑛 𝑓é𝑟𝑟𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴𝑠

𝐴𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 4𝑈 ,0,1

100 𝐵

𝐴𝑣𝑒𝑐 𝑈 𝑙𝑒 𝑝é𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒 (𝑚) 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑡 𝐵 (𝑐𝑚²)

𝑈 = 2 𝑎 + 𝑏 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟é𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒

𝑈 = 2𝜋𝑅 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒

𝐴𝑚𝑎𝑥 =4

100𝐵

2eme cas

𝑆𝑖 𝐴𝑠 > 𝐴𝑚𝑎𝑥 𝑂𝑛 𝑟𝑒𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑢 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢

3eme cas

𝑆𝑖 𝐴𝑠 < 𝐴𝑚𝑖𝑛 𝑂𝑛 𝑓é𝑟𝑟𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴𝑚𝑖𝑛

Remarque

Le diamètre des armatures longitudinales min :

Compression simple

4/18

𝜙𝑙 ≥ 12 𝑚𝑚

Pour une section circulaire le nombre des barres min est de 6

II-CALCUL DES ARMATURES TRANSVERSALES

𝜙𝑡 ≥𝜙𝑙𝑚𝑎𝑥

3

𝜙𝑙𝑚𝑎𝑥 :𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑥

Espacement entre les armatures transversales :

𝑆𝑡 ≤ 𝑚𝑖𝑛 15 𝜙𝑙𝑚𝑖𝑛 ,𝑎 + 10, 40 𝑐𝑚

𝑎: 𝑙𝑒 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡 𝑐𝑜𝑡é 𝑒𝑡 𝜙𝑙𝑚𝑖𝑛 :𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑖𝑛

L’enrobage

𝑒 ≥ 3 𝑐𝑚 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢𝑥 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑠é𝑠 𝑎𝑢𝑥 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑚𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑠

Vérification des contraintes à l’ELS

𝜎𝑏𝑐 =𝑁𝑠𝑒𝑟

𝐵 + 15𝐴𝑠 ≤ 𝜎 𝑏𝑐 = 0,6𝑓𝑐28

𝑒 ≥ 5 𝑐𝑚 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢𝑥 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑠é𝑠 𝑎𝑢𝑥 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑒𝑢𝑥 𝑎𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑓𝑠

𝑒 ≥ 1 𝑐𝑚 𝑜𝑢 𝑒 ≥ 𝜙𝑙 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢𝑥 𝑛𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑠é𝑠 𝑎𝑢𝑥 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑚𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑠

Traction simple

5/18

II-TRACTION SIMPLE

I-DETERMINATION DE LA SECTION DES ARMATURES

𝐴𝑠 = max 𝐴𝑢 ; 𝐴𝑠𝑒𝑟

1- Calcul à l’ELU

𝐴𝑢 ≥𝑁𝑢 𝛾𝑠𝑓𝑒

2- Calcul à l’ELS

𝐴𝑠𝑒𝑟 ≥𝑁𝑠𝑒𝑟

𝜎 𝑠

a- Fissuration peu nuisible :

On calcul uniquement à l’ELU

b- Fissuration nuisible :

𝜎 𝑠 = min 2

3 𝑓𝑒 ; 110 𝜂 𝑓𝑡𝑗

c- Fissuration très nuisible :

𝜎 𝑠 = min 0,5 𝑓𝑒 ; 90 𝜂 𝑓𝑡𝑗

𝑓𝑡𝑗 = 0,6 + 0,06 𝑓𝑐𝑗

𝜂 ∶ 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = 1,6 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑖𝑒𝑟𝑠 𝐻𝐴

2-Vérification de la condition de non fragilité

𝐴𝑠.𝑓𝑒 ≥ 𝐵.𝑓𝑡28 𝐵 ≤𝐴𝑠.𝑓𝑒𝑓𝑡28

𝑜𝑢 𝐴𝑠 ≥𝐵.𝑓𝑡28

𝑓𝑒

II-DISPOSITIONS REGLEMENTAIRES MINIMALES

1-Conditions d’enrobage

𝑒 ≥ 1 𝑐𝑚 𝑜𝑢 𝑒 ≥ 𝜙𝑙 𝐹𝑃𝑁 (𝐹𝑃𝑃)

𝑒 ≥ 3 𝑐𝑚 𝐹𝑁 (𝐹𝑃)

𝑒 ≥ 5 𝑐𝑚 𝐹𝑇𝑁 (𝐹𝑇𝑃)

2-Diamètres minimaux

𝐹𝑁 ∶ 𝜙𝑡 ≥ 6 𝑚𝑚 ; 𝜙𝑙 ≥ 6 𝑚𝑚

𝐹𝑇𝑁 ∶ 𝜙𝑡 ≥ 𝟖 𝒎𝒎 ;𝝓𝒍 ≥ 𝟖 𝒎𝒎

3-Espacement

𝑡 ≤ 𝑚𝑖𝑛 40 𝑐𝑚 ;𝑎 + 10 , 𝑡 ≈ 𝑎 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑧𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

Flexion simple

6/18

III-FLEXION SIMPLE

I-SECTION RECTANGULAIRE

1-ELU

𝜇𝑏𝑢 =𝑀𝑢

𝑏𝑑2𝑓𝑏𝑢

𝑓𝑏𝑢 =0,85𝑓𝑐28

𝜃𝛾𝑏

𝑆𝑖 𝜇𝑏𝑢 > 0,186 𝑝𝑖𝑣ô𝑡 𝐵

𝜇𝑙 = 0,8 𝛼𝑙 1− 0,4 𝛼𝑙

𝛼𝑙 =3,5

3,5 + 1000 𝜀𝑙

𝜀𝑙 =𝑓𝑒𝛾𝑠𝐸𝑠

𝑆𝑖 𝜇𝑏𝑢 < 𝜇𝑙 𝐴′ = 0

𝐴 =𝑀𝑢

𝑧𝑓𝑠𝑡

𝑧 = 𝑑 1− 0,4𝛼

𝛼 = 1,25 1− 1− 2𝜇𝑏𝑢

Calcul de fst

𝜀𝑠𝑡 =3,5

1000

1−𝛼

𝛼

𝑆𝑖 𝜀𝑠𝑡 > 𝜀𝑙 𝑓𝑠𝑡 =𝑓𝑒𝛾𝑠

𝑆𝑖 𝑛𝑜𝑛 𝑓𝑠𝑡 = 𝐸𝑠 𝜀𝑠𝑡

𝑆𝑖 𝜇𝑏𝑢 > 𝜇𝑙 𝐴′ ≠ 0

𝐴′ =𝑀𝑢 −𝑀𝑙

𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠𝑐

𝑀𝑙 = 𝜇𝑙 𝑏 𝑑2𝑓𝑏𝑢

Calcul de 𝑓𝑠𝑐

𝜀𝑠𝑐 = 3,5

1000+ 𝜀𝑙

𝑑 − 𝑑′

𝑑 − 𝜀𝑙

𝑆𝑖 𝜀𝑠𝑐 > 𝜀𝑙 𝑓𝑠𝑐 =𝑓𝑒𝛾𝑠

𝑆𝑖 𝑛𝑜𝑛 𝑓𝑠𝑐 = 𝐸𝑠 𝜀𝑠𝑐

Flexion simple

7/18

𝐴 = 𝑀𝑙

𝑧𝑙 +

𝑀𝑢 −𝑀𝑙

𝑑 − 𝑑′

1

𝑓𝑠𝑡

𝑧𝑙 = 𝑑 1− 0,4𝛼𝑙

𝐴𝑚𝑖𝑛 = 0,23 𝑏 𝑑 𝑓𝑡28

𝑓𝑒

𝑆𝑖 𝜇𝑏𝑢 < 0,186 𝑝𝑖𝑣ô𝑡 𝐴 𝑓𝑠 =𝑓𝑒𝛾𝑠

𝜇𝑙 = 0,8 𝛼𝑙 1− 0,4 𝛼𝑙

𝛼𝑙 =3,5

3,5 + 1000 𝜀𝑙

𝜀𝑙 =𝑓𝑒𝛾𝑠𝐸𝑠


𝐴 =𝑀𝑢

𝑧𝑓𝑠𝑡

𝑧 = 𝑑 1− 0,4𝛼

𝛼 = 1,25 1− 1− 2𝜇𝑏𝑢

𝑓𝑠𝑡 =𝑓𝑒𝛾𝑠


𝐴′ =𝑀𝑢 −𝑀𝑙


𝑀𝑙 = 𝜇𝑙 𝑏 𝑑2𝑓𝑏𝑢

𝐴 = 𝑀𝑙

𝑧𝑙 +

𝑀𝑢 −𝑀𝑙

𝑑 − 𝑑′

1

𝑓𝑠𝑡

𝑧𝑙 = 𝑑 1 − 0,4𝛼𝑙

𝐴𝑚𝑖𝑛 = 0,23 𝑏 𝑑 𝑓𝑡28

𝑓𝑒

2-ELS

Vérification des contraintes :

𝜎𝑏𝑐 =𝑀𝑠𝑒𝑟

𝐼 𝑦 ≤ 𝜎 𝑏𝑐 = 0,6 𝑓𝑐28

𝜎𝑠𝑡 = 15 𝜎𝑏𝑐 𝑑 − 𝑦

𝑦 = 15

𝑀𝑠𝑒𝑟

𝐼 𝑑 − 𝑦 ≤ 𝜎 𝑠𝑡

𝐹𝑁 𝜎 𝑠𝑡 = 𝑚𝑖𝑛 2

3 𝑓𝑒 , 110 𝜂 𝑓𝑡𝑗

𝐹𝑇𝑁 𝜎 𝑠𝑡 = 𝑚𝑖𝑛 0,5 𝑓𝑒 , 90 𝜂 𝑓𝑡𝑗

Flexion simple

8/18

Calcul de y et I :

𝑏

2𝑦² + 15 𝐴+ 𝐴′ 𝑦 − 15 𝐴𝑑 + 𝐴′𝑑′ = 0

𝐼 =𝑏

3𝑦3 + 15 𝐴′ 𝑦 − 𝑑′ 2 + 15 𝐴 𝑑 − 𝑦 2

Remarque

𝑆𝑖 𝜎𝑠 > 𝜎 𝑠 𝑂𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 à 𝑙′𝐸𝐿𝑆

𝐴𝑠𝑒𝑟 =𝑀𝑠𝑒𝑟

𝑑 1 −𝛼

3 𝜎 𝑠

𝛼 = 90𝛽 1− 𝛼

3− 𝛼

𝛽 =𝑀𝑠𝑒𝑟

𝑏𝑑2𝜎 𝑠

II-SECTION EN T

1-ELU

𝑀𝑇𝑢 = 𝑏 𝑕0 𝑓𝑏𝑢 𝑑 −𝑕0

2

Si 𝑀𝑇𝑢 > 𝑀𝑢 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑏𝑥𝑕

Si 𝑀𝑇𝑢 < 𝑀𝑢 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑇

𝑀2𝑢 =

𝑏 − 𝑏0

𝑏 𝑀𝑇𝑢

𝑀1𝑢 = 𝑀𝑢 −𝑀2

𝑢

𝐴1 =

𝑀1𝑢

𝑑 1− 0,4 𝛼 𝑓𝑠𝑡

𝐴2 =𝑀2

𝑢

𝑑 −𝑕0

2 𝑓𝑠𝑡

𝜇𝑏𝑢 1 =𝑀1

𝑢

𝑏0 𝑑2 𝑓𝑏𝑢

Si 𝜇𝑏𝑢 1 > 𝜇𝑙 𝐴′ ≠ 0 𝑒𝑡 𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒 𝑍𝑙à 𝑑 −𝑕0

2

Si 𝑍𝑙 < 𝑑 −𝑕0

2 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑇 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴′

𝑀1′ = 𝑓𝑏𝑢 𝜇𝑙𝑏0𝑑

2 + 𝑏 − 𝑏0 𝑕0 𝑑 −𝑕0

2

𝑀2′ = 𝑀𝑢 −𝑀1

′

𝐴′ =𝑀2

′


𝐴 =𝑓𝑏𝑢𝑓𝑠𝑡

𝜇𝑙𝑏0𝑑

𝛽𝑙+ 𝑏 − 𝑏0 𝑕0 + 𝐴′

𝑓𝑠𝑐𝑓𝑠𝑡

Flexion simple

9/18

𝛽𝑙 = 1− 0,4 𝛼𝑙

Si 𝑍𝑙 > 𝑑 −𝑕0

2 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑏𝑥𝑕 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴′

2-ELS

Vérification des contraintes

La position de l’axe neutre H

𝐻 =𝑏𝑕0

2

2− 15𝐴 𝑑 − 𝑕0

Si H > 0 : axe neutre passe par la table, vérification des contraintes

pour une section rectangulaire bxh.

Si H < 0 : section en T


𝜎𝑏𝑐 =𝑀𝑠𝑒𝑟

𝐼 𝑦 ≤ 𝜎 𝑏𝑐 = 0,6 𝑓𝑐28

𝜎𝑠𝑡 = 15 𝜎𝑏𝑐 𝑑 − 𝑦

𝑦 = 15

𝑀𝑠𝑒𝑟

𝐼 𝑑 − 𝑦 ≤ 𝜎 𝑠𝑡

𝐹𝑁 𝜎 𝑠𝑡 = 𝑚𝑖𝑛 2

3 𝑓𝑒 , 110 𝜂 𝑓𝑡𝑗

𝐹𝑇𝑁 𝜎 𝑠𝑡 = 𝑚𝑖𝑛 0,5 𝑓𝑒 , 90 𝜂 𝑓𝑡𝑗

Remarque

Si Mu < 0 ; Calcul d’une section rectangulaire b0 x h

𝐼 =𝑏

3𝑦3 − 𝑏 − 𝑏0

𝑦 − 𝑕0 3

3+ 15 𝐴 𝑑 − 𝑦 2 + 15 𝐴′ 𝑑′− 𝑦 2

𝑏0

2 𝑦2 + 15 𝐴+ 15𝐴′ + 𝑏 − 𝑏0 𝑕0 𝑦 − 15 𝐴𝑑 + 𝐴′𝑑′ − 𝑏 − 𝑏0

𝑕02

2= 0

Flexion composée

10/18

IV-FLEXION COMPOSEE

I sections entièrement Comprimée (SEC)

SECTION RECTANGULAIRE

A l’ELU

Nu (compression) et c à l’intérieur de la section et

Si 𝑵𝒖 𝒅− 𝒅′ −𝑴𝒖𝑨 > 𝟎,𝟑𝟑𝟕 𝒉− 𝟎,𝟖𝟏 𝒅′ 𝒃 𝒉 𝒇𝒃𝒖

Avec 𝑀𝑢𝐴 = 𝑀𝑢𝐺 + 𝑁𝑢 𝑑 −𝑕

2 , NU pris avec son signe

a) Si 𝑵𝒖 𝒅 − 𝒅′ −𝑴𝒖𝑨 < 𝟎,𝟓 𝒉− 𝒅′ 𝒃 𝒉 𝒇𝒃𝒖 𝐴 = 0

𝐴′ =𝑁𝑢 −𝜓 𝑏𝑕 𝑓𝑏𝑢

𝑓𝑠′

𝜓 =

0,357 + 𝑁𝑢 𝑑−𝑑 ′ − 𝑀𝑢𝐴

𝑏 𝑕2 𝑓𝑏𝑢

0,857−𝑑 ′

𝑕

𝑓𝑠′ =?

𝜀𝑠 =2

1000 1 + 1,719− 4,010

𝑑′

𝑕 1−𝜓

Si 𝜀𝑠 ≥ 𝜀𝑙 ⟹ 𝑓𝑠′ =

𝑓𝑒

𝛾𝑠

Si 𝜀𝑠 < 𝜀𝑙 ⟹𝑓𝑠′ = 𝜀𝑠 𝐸𝑠

b) Si 𝑁𝑢 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝐴 ≥ 0,5 𝑕 − 𝑑′ 𝑏 𝑕 𝑓𝑏𝑢 𝐴 ≠ 0

𝜓 = 1

𝐴′ =𝑀𝑢𝐴 − 𝑏𝑕 𝑓𝑏𝑢 𝑑 −

𝑕

2

𝑑 −𝑑′ 𝑓𝑠 2‰

𝐴 =𝑁𝑢 − 𝑏𝑕 𝑓𝑏𝑢

𝑓 𝑠2‰−𝐴′

Si 𝜀𝑙 < 2‰ ⟹𝑓𝑠 2‰ =𝑓𝑒

𝛾𝑠

Si 𝜀𝑠 ≥ 2‰ ⟹𝑓𝑠 2‰ = 2‰ 𝐸𝑠

A L’ELS

Nser (compression) et c a l’intérieur de la section (𝑒𝐺 <𝑕

6 ) 𝑆𝐸𝐶

Vérification des contraintes

𝑉 =

𝑏𝑕2

2+ 15 𝐴′𝑑′ + 𝐴𝑑

𝐵 + 15 𝐴′ + 𝐴

Flexion composée

11/18

𝑉 ′ = 𝑕 − 𝑉 𝑒𝑛 (𝑚)

Il faut que :

𝜎𝑏1 =𝑁𝑠𝑒𝑟𝑆

+ 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺

𝐼𝑦𝑦 ′

𝑉 ≤ 𝜎 𝑏𝑐

𝜎𝑏2 =𝑁𝑠𝑒𝑟

𝑆 −

𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺

𝐼𝑦𝑦 ′

𝑉 ′ ≤ 𝜎 𝑏𝑐

𝜎𝑠 = 15 𝑁𝑠𝑒𝑟𝑆

+ 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺

𝐼𝑦𝑦 ′

𝑉 − 𝑑′ ≤ 𝜎 𝑠

𝜎𝑠 = 15 𝑁𝑠𝑒𝑟𝑆

− 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺

𝐼𝑦𝑦 ′

𝑑 − 𝑉 ′ ≤ 𝜎 𝑠

Avec :

𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺 = 𝑀𝑠𝑒𝑟 − 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑕

2−𝑉

𝐼𝑦𝑦 ′ =𝑏

3 𝑉3 + 𝑉 ′3 + 15𝐴′ 𝑉 − 𝑑′ 2 + 15𝐴 𝑑 − 𝑉 2

𝑆 = 𝑏 ∗ 𝑕+ 15 𝐴+ 𝐴′

SECTION EN T

A l’ELU

Nu (compression) et c a l’intérieur de la section

Si 𝑁𝑢𝑟 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝑟𝐴 > 0,337 𝑕 − 0,81 𝑑′ 𝑏0 𝑕 𝑓𝑏𝑢

Avec 𝑀𝑢𝑟𝐴 = 𝑀𝑢𝐺 +𝑁𝑢 𝑑 − 𝑦𝐺 NU pris avec son signe

La détermination des armatures d’une section en T(SEC) revient à

déterminer celles d’une section rectangulaire𝑏0 𝑥 𝑕.

𝑁𝑢𝑟 = 𝑁𝑢 − 𝑏 − 𝑏0 𝑕0 𝑓𝑏𝑢

𝑀𝑢𝑟𝐴= 𝑀𝑢𝐴 − 𝑏 − 𝑏0 𝑕0 𝑓𝑏𝑢 𝑑 −

𝑕0

2

a) Si 𝑁𝑢𝑟 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝑟𝐴 ≤ 0,5 𝑕 − 𝑑′ 𝑏0 𝑕 𝑓𝑏𝑢 𝐴 = 0

𝐴′ =𝑁𝑢𝑟 −𝜓 𝑏0𝑕 𝑓𝑏𝑢

𝑓𝑠′

𝜓 =

0,357 + 𝑁𝑢𝑟 𝑑−𝑑 ′ −𝑀𝑢𝑟 𝐴

𝑏0 𝑕2 𝑓𝑏𝑢

0,857 −𝑑 ′

𝑕

Flexion composée

12/18

𝑓𝑠′ =?

𝜀𝑠𝑐 =2

1000 1 + 1,719− 4,010

𝑑′

𝑕 1−𝜓

Si 𝜀𝑠𝑐 ≥ 𝜀𝑙 ⟹𝑓𝑠′ =

𝑓𝑒

𝛾𝑠

Si 𝜀𝑠𝑐 < 𝜀𝑙 ⟹𝑓𝑠′ = 𝜀𝑠 𝐸𝑠

b) Si 𝑁𝑢𝑟 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝑟𝐴 > 0,5 𝑕 − 𝑑′ 𝑏0 𝑕 𝑓𝑏𝑢 𝐴 ≠ 0

𝜓 = 1

𝐴′ =𝑀𝑢𝑟𝐴 − 𝑏0𝑕 𝑓𝑏𝑢 𝑑 −

𝑕

2

𝑑 −𝑑′ 𝑓𝑠 2‰

𝐴 =𝑁𝑢𝑟 − 𝑏0𝑕 𝑓𝑏𝑢

𝑓𝑠2‰ − 𝐴′

Si 𝜀𝑙 < 2 ⟹𝑓𝑠2 =𝑓𝑒

𝛾𝑠

Si 𝜀𝑠 ≥ 2 ⟹𝑓𝑠2 = 2 𝐸𝑠

II section entièrement Tendue (SET)

A l’ELU

Nu (Traction) et c a l’intérieur de la section, N est pris avec son

signe

𝐴1 =𝑁𝑢 𝑒2

𝑓𝑠10 𝑑 − 𝑑′

𝐴2 =𝑁𝑢 𝑒1

𝑓𝑠10 𝑑 − 𝑑′

Tel que :

1. 𝑓𝑠10 = 𝑓𝑒

𝛾 𝑠

2. 𝑒1 = 𝑕

2− 𝑑′ + 𝑒𝐺

3. 𝑒2 = 𝑑 − 𝑑′ − 𝑒1

𝐴𝑚𝑖𝑛 =𝐵 𝑓𝑡28

𝑓𝑒

Si min 𝐴1 ,𝐴2 ≥ 𝐴𝑚𝑖𝑛 𝑜𝑛 𝑓𝑒𝑟𝑟𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴1 𝑒𝑡 𝐴2

Si min 𝐴1 ,𝐴2 < 𝐴𝑚𝑖𝑛 𝑜𝑛 𝑓𝑒𝑟𝑟𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴𝑚𝑖𝑛

A l’ELS

𝑒𝐺 =𝑀𝑠𝑒𝑟

𝑁𝑠𝑒𝑟

𝑁𝑠𝑒𝑟 (𝑇𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛) et c à l’intérieur de la section → SET

Flexion composée

13/18

𝐴1 =𝑁𝑠𝑒𝑟

𝜎 𝑠∗

𝑉2

𝑉1 + 𝑉2

𝐴2 =𝑁𝑠𝑒𝑟

𝜎 𝑠∗

𝑉1

𝑉1 + 𝑉2

Cas d’un ferraillage symétrique

𝑉1 = 𝑉2 𝐴1 = 𝐴2 = 𝑚𝑎𝑥 𝑁𝑠𝑒𝑟

2 𝜎 𝑠 ,𝐵 𝑓𝑡28

𝑓𝑒

Vérification des contraintes : Nser est pris avec son signe

𝜎1 =

𝑁𝑠𝑒𝑟𝐴1+ 𝐴2

+ 𝑀𝑠𝑒𝑟

𝐴1 𝑉1+𝑉2 < 0

𝜎2 =

𝑁𝑠𝑒𝑟𝐴1+ 𝐴2

+ 𝑀𝑠𝑒𝑟

𝐴2 𝑉1+𝑉2 < 0

III Section partiellement comprimée (SPC)

SECTION RECTANGULAIRE

A L’ELU

Nu (traction) et c a l’intérieur de la section

Nu (compression) et c en dehors de la section

Nu (compression) et c à l’intérieur de la section, avec la condition

suivante :

𝑁𝑢 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝐴 ≤ 0,337 𝑕 − 0,81 𝑑′ 𝑏 𝑕 𝑓𝑏𝑢

Le calcul se fait par assimilation à la flexion simple avec MUA

𝑀𝑈𝐴 = 𝑁 𝑒𝐴 = 𝑀𝑈𝐺 + 𝑁𝑢(𝑑 −𝑕

2 )

Nu est pris avec son signe : N Compressions (+)

N Traction (-)

𝜇𝑏𝑢 =𝑀𝑢𝐴

𝑏𝑑2𝑓𝑏𝑢


𝐴1 =𝑀𝑢𝐴

𝑧𝑓𝑠𝑡

𝑧 = 𝑑 1− 0,4𝛼

𝛼 = 1,25 1− 1− 2𝜇𝑏𝑢

On revient à la flexion composée :

𝐴 = 𝐴1 − 𝑁𝑢𝑓𝑠𝑡


Flexion composée

14/18

𝐴′ =𝑀𝑢𝐴 −𝑀𝑙



𝐴 =1

𝑓𝑠

𝑀𝑢𝐴 –𝐴′𝑓𝑠 𝑑 − 𝑑′

𝑑 1− 0,4 𝛼 + 𝐴′𝑓𝑠

′ −𝑁𝑢

Dans tout les cas il faut vérifier que : 𝐴 ≥ 𝐴𝑚𝑖𝑛 = 0,23 𝑏 𝑑 𝑓𝑡28

𝑓𝑒

A L’ELS


𝜎𝑏𝑐 =𝑁𝑠𝑒𝑟

𝜇𝑡 𝑦 ≤ 𝜎 𝑏𝑐 (N avec son signe)

𝜎𝑠𝑐 = 15 𝑁𝑠𝑒𝑟𝜇𝑡

𝑑 − 𝑦 ≤ 𝜎 𝑠

𝜎′𝑠𝑐 = 15 𝑁𝑠𝑒𝑟𝜇𝑡

𝑦 − 𝑑′ ≤ 𝜎 𝑠 𝑆𝑖 𝐴′ ≠ 0

Calcul de y :𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝐶

N (Traction) 𝐶 = 𝑒𝐺 +𝑕

2 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐶 > 0 𝑒𝑡 𝑦𝐶 < 0

N (Compression) 𝐶 = 𝑒𝐺 −𝑕

2 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐶 < 0 𝑒𝑡 𝑦𝐶 > 0

𝑦𝑐3 + 𝑝 𝑦𝑐 + 𝑞 = 0

Avec

𝑝 = −3𝐶2 − 90𝐴′

𝑏 𝐶 − 𝑑′ + 90

𝐴

𝑏 𝑑 − 𝐶

𝑞 = −2𝐶3 − 90𝐴′

𝑏 𝐶 − 𝑑′ 2 − 90

𝐴

𝑏 𝑑 − 𝐶 2

−𝐶 ≤ 𝑦𝐶 ≤ 𝑕 − 𝐶 𝑠𝑖 𝐶 > 0

+𝐶 ≤ 𝑦𝐶 ≤ 𝑕 + 𝐶 𝑠𝑖 𝐶 < 0

𝜇𝑡 =𝑏

2 𝑦2 + 15 𝐴′ 𝑦 − 𝑑′ − 𝐴 𝑑 − 𝑦

Remarque

𝑆𝑖 𝜎𝑠 > 𝜎 𝑠 𝑂𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 à 𝑙′𝐸𝐿𝑆

𝐴𝑠𝑒𝑟1 =𝑀𝑠𝑒𝑟𝐴

𝑑 1−𝛼

3 𝜎 𝑠

𝑀𝑠𝑒𝑟𝐴 = 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺 +𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑑 −𝑕

2

𝛼 = 90𝛽 1− 𝛼

3− 𝛼

Flexion composée

15/18

𝛽 =𝑀𝑠𝑒𝑟𝐴

𝑏𝑑2𝜎 𝑠


𝐴𝑠𝑒𝑟 = 𝐴𝑠𝑒𝑟1 −𝑁𝑠𝑒𝑟𝜎 𝑠

SECTION EN T

A L’ELU



Nu (compression) et c à l’intérieur de la section, avec la

condition suivante :

𝑁𝑢𝑟 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝑟 ≤ 0,337 𝑕− 0,81 𝑑′ 𝑏0 𝑕 𝑓𝑏𝑢

Tel que : N est pris avec son signe

𝑁𝑢𝑟 = 𝑁𝑢 − 𝑏 − 𝑏0 𝑕0 𝑓𝑏𝑢

𝑀𝑢𝑟 = 𝑀𝑢𝐴 − 𝑏 − 𝑏0 𝑕0 𝑓𝑏𝑢 𝑑 −𝑕0

2

𝑀𝑢𝐴 = 𝑁𝑢 𝑒𝐴 = 𝑀𝑢𝐺 + 𝑁𝑢 𝑑 − 𝑦𝐺

𝑀𝑇𝑢 = 𝑏 𝑕0 𝑓𝑏𝑢 𝑑 −𝑕0

2

Si 𝑀𝑇𝑢 ≥ 𝑀𝑢𝐴 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑏𝑥𝑕

Si 𝑀𝑇𝑢 < 𝑀𝑢𝐴 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑇, revient à

calculer une section rectangulaire (𝑏0𝑥𝑕) soumise à 𝑁𝑢𝑟 𝑒𝑡 𝑀𝑢𝑟

A l’ELS :



Nu (compression) et c à l’intérieur de la section mais en

dehors du noyau central : 𝑒𝐺 >𝐻

6

𝑒𝐺 =𝑀𝑠𝑒𝑟

𝑁𝑠𝑒𝑟

Signe de C :

Nu (traction) et C à l’extérieur de la section : 𝐶 > 0, 𝑦𝑐 < 0

Nu (compression) et C à l’intérieur de la section : 𝐶 > 0, 𝑦𝑐 > 0

Nu (compression) et C à l’extérieur de la section : 𝐶 < 0, 𝑦𝑐 > 0

La position de l’axe neutre :

𝐸1 = 𝑏 − 𝑏0 3𝐶 − 2𝑕0 𝑕02 + 90 𝐴′ 𝐶 − 𝑑′ 𝑑′ − 𝐴 𝑑 − 𝐶 𝑑

Si E1 et E2 de même signe → A.N dans la nervure ; calcul d’une

section en T

Si E1 et E2 de signe contraire → A.N dans la table ; calcul d’une

section rectangulaire (bxh)

𝐸2 = 𝑏𝑕02 𝑕0 − 3𝐶 + 90 𝐴′ 𝐶 − 𝑑′ 𝑑′ − 𝑕0 − 𝐴 𝑑 − 𝐶 𝑑 − 𝑕0

Flexion composée

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Calcul de C :

𝐶 = 𝑒𝐺 − 𝑦𝐺 ,𝑁𝑈( 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛)

𝐶 = 𝑒𝐺 + 𝑦𝐺 ,𝑁𝑈 (𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛)

Calcul de P et q :

𝑝 = −3𝑏

𝑏0𝐶2 + 3

𝑏

𝑏0− 1 𝐶 − 𝑕0

2 − 90𝐴′

𝑏0

𝐶 − 𝑑′ + 90𝐴

𝑏0

𝑑 − 𝐶

𝑞 = −2𝑏

𝑏0𝐶3 + 2

𝑏

𝑏0− 1 𝐶 − 𝑕0

3 − 90𝐴′

𝑏0

𝐶 − 𝑑′ 2 − 90𝐴

𝑏0

𝑑 − 𝐶 2

𝑦 = 𝑦𝐶 + 𝐶

𝜇𝑡 =𝑏𝑦2

2− 𝑏 − 𝑏0

2 𝑦 − 𝑕0

2 + 15𝐴′ 𝑦 − 𝑑′ − 15𝐴 𝑑 − 𝑦


𝜎𝑏𝑐 =𝑁𝑠𝑒𝑟𝜇𝑡

. 𝑦 ≤ 𝜎 𝑏𝑐

𝜎𝑠𝑡 = 15𝑁𝑠𝑒𝑟𝜇𝑡

𝑑 − 𝑦 ≤ 𝜎 𝑠

𝜎𝑠𝑐 = 15𝑁𝑠𝑒𝑟𝜇𝑡

𝑦 − 𝑑′ ≤ 𝜎 𝑠 𝑠𝑖 𝐴′ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

Cisaillement

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V-CISAILLEMENT

CONTRAINTE TANGENTIELLE

1. Justification de l’âme d’une poutre

𝜏𝑢 =𝑉𝑢𝑏0 𝑑

(𝑀𝑃𝐴)

Vu : Valeur de l’effort tranchant dans la section considérée

b0 : Largeur de l’âme

d : Hauteur utile

Il faut que : 𝝉𝒖 ≤ 𝝉 𝒖

2. Contrainte tangentielle limite ultime

a) Cas des armatures transversales droites (α = 90°)

Fissuration peu préjudiciable 𝜏 𝑢 = min( 0,20 𝑓𝑐𝑗

𝛾𝑏 ,5 𝑀𝑃𝐴)

Fissuration préjudiciable ouFissuration très préjudiciable

τ u = min( 0,15 fcj

γb ,4 MPA)

b) Cas des armatures transversales inclinées (α = 45°)

𝜏 𝑢 = min( 0,27 𝑓𝑐𝑗

𝛾𝑏 ,7 𝑀𝑃𝐴)

DETERMINATION DES ARMATURES TRANSVERSALES

SELON LE B.A.E.L

𝐴𝑡𝑏0 𝑠𝑡

≥ 𝛾𝑠(𝜏𝑢 − 0,3 𝑓𝑡𝑗 ∗ 𝑘)

0,9 𝑓𝑒(𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼)

𝑨𝒕 : Section des armatures transversales

𝒔𝒕 ∶ Espacement entre deux cadres ou étriers

𝒇𝒕𝒋 : Contrainte de traction du béton à j jours

Coefficient K :

K = 0 Si Reprise de bétonnage et/ou Fissuration très

préjudiciable.

Sinon

K = 1 en Flexion simple

𝐾 = 1 +3𝜎𝑐𝑚𝑓𝑐28

𝐾 = 1 −10𝜎𝑡𝑚𝑓𝑐28

Si Flexion composée avec N effort de compression :

Si Flexion composée avec N effort de traction :

Cisaillement

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Tel que 𝜎𝑐𝑚 =𝑁𝑐𝑜𝑚𝑝

𝑏∗𝑕 𝑒𝑡 𝜎𝑐𝑡 =

𝑁𝑇𝑟𝑎𝑐

𝑏∗𝑕

Avec NTrac est pris sans le signe (-)

ESPACEMENT ENTRE DEUX CADRES OU ETRIERS

1) 𝑠𝑡 ≤ 𝑚𝑖𝑛 0,9 𝑑 ; 40 𝑐𝑚

2) 𝑠𝑡 ≤ 𝐴𝑡 ∗ 𝑓𝑒0,4 𝑏0

3) 𝑠𝑡 ≤ 0,9 𝑓𝑒 𝐴𝑡 (𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼)

𝛾𝑠 𝑏0(𝜏𝑢 − 0,3 𝑓𝑡𝑗 ∗ 𝑘)

INFLUENCE DE VU AU VOISINAGE DE L’APPUI :

Vérification des armatures AL inferieurs :

a) cas d’un appui de rive

𝐴𝐿 ≥𝛾𝑠

𝑓𝑒 𝑉𝑢

b) cas d’un appui intermédiaire :

𝐴𝐿 ≥𝛾𝑠

𝑓𝑒 𝑉𝑢 +

𝑀𝑢

0,9 𝑑

Vérification de la bielle :

𝑉𝑢 ≤ 0,267𝑏0 ∗ 𝑎 ∗ 𝑓𝑐28

𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎 =0,9𝑑

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