Traitement de signal - unilim.fr · Fonction de transfert Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-1-...

Traitement du signal

Chapitre 3- Système LIT rationnel

Vahid Meghdadi

ELT2

2012-2013

Fonction de transfert

Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-1- Généralités

Prenons le cas d’un système définie par son équation aux différences.

ℎ(𝑛) 𝑥(𝑛) y(𝑛)

M

m

m

N

m

m mnxbmnya00

)()(

Transformée de Z de deux côtés:

)()( zYzaknyaTZ k

kk

M

m

m

m

N

m

m

m zXzbzYza00

)()( )()(

)(

0

0 zH

za

zb

zX

zYN

m

m

m

M

m

m

m

Fonction de transfert (suite)

Ceci veut dire qu’avec la transformée en Z une équation aux différences

se transforme en une équation algébrique.

H(z) X(z) Y(z)

Exemple délai : ( ) ( 1)y n x n

)()( 1 zXzzY 1)( zzH

z -1 X(z) Y(z)


ℎ(𝑛) 𝑥(𝑛) 𝑦(𝑛)

Exemple dérivateur

Donner le diagramme en bloc d’un dérivateur causal

11)()( )1()()( zzXzYnxnxny

11)( zzH


Exemple Moving average

n

Mnm

mxny1

)()(

1

0

)()(M

m

mnnh Alors: pourquoi ?

)()()( Mnununh 11

1

)(

)()(

z

z

zX

zYzH

M

)()()()( 1 zXzzXzYzzY M


Exemple accumulateur

)()( )()( nunhkxnyn

k

11

1

)(

)()(

zzX

zYzH

)()()( 1 zYzzXzY


Exemple Filtre RIF


Filtre à réponse impulsionnelle finie où ℎ(𝑛) est borné de gauche et de droite

m

mhmnxnhnxny )()()(*)()(

)(...)1()()( 10 Mnxhnxhnxhny M

Stabilité

Pour qu’un système LIT rationnel soit stable, il faut que ses pôles soient

à l’intérieur du cercle unité. Autrement dit, il faut que le cercle unité

appartienne à la région de convergence.

)(

)()(

zQ

zPzH

MpppzQ ,...,,0)( 21

Conclusion de stabilité: tous les pôles à l’intérieur du cercle unité

Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-2- Stabilité

Rappel: Pour les systèmes continus, il fallait des pôles à gauche du plan S.

Système inverse

Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-3- Système inverse

)(

1)(

zHzH i

)()(*)()( nnhnhng i

•Pour que l’inverse aussi soit stable, il faut que ses pôles soient à

l’intérieur du cercle unité.

•Alors, il faudra que les pôles et les zéros du H(z) soient à l’intérieur du

cercle unité.

Réponse fréquentielle

Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-4- Réponse fréquentielle

N’importe quelle fonction rationnelle de 𝑧−1 peut être présentée sous forme

(à condition d’avoir des pôles simples)

10 1

( )1

M N Nr k

r

r k k

AX z B z

d z

Le premier terme existe si 𝑀 ≥ 𝑁 et peut être obtenu par une division directe.

La ROC est à l’extérieur du cercle passant par le pôle le plus loin d’origine.

0 1

( ) ( ) ( ) ( )M N N

n

r k k

r k

x n B n r A d u n

Exemple:Système RIF

Système (filtre) causal à réponse impulsionnelle finie

Nn

nnh

0

00)(

1

0

)()()(N

m

mnxmhny

Exemple:

ailleurs

Nnanh

n

0

0)(

Les zéros sont à : Nkj

k aez /2

N=8

Les pôles sont tous à l’origine.


𝑋(𝑧) est un polynôme en 𝑧−1

Fonction de transfert fréquentielle


N

k

i

k

M

k

i

k

N

k

kj

k

M

k

kj

ki

ed

ec

a

b

ea

eb

eH

1

1

0

0

0

0

)1(

)1(

)(

0 1

0

1

1

( )

1

Mi

ki k

Ni

k

k

c eb

H ea

d e

010 10

0

10 10

1 1

20log ( ) 20log

20log 1 20log 1

i

M Ni i

k k

k k

bH e

a

c e d e

Gain en dB :

0

0

1 1

arg ( ) arg

arg 1 arg 1

i

M Ni i

k k

k k

bH e

a

c e d e

Phase :

Délai de groupe


La phase des systèmes LIT rationnels est la somme de phase de

numérateur moins la somme des phase de dénominateur.

)(arg : groupe de Délai

jeHd

d

Exemple système d’ordre 1:

az

z

azzH

11

1)(

Plan Z

Re

Im

a

Suite d’exemple

aeae

e

aeeH

jj

j

j

j

1

1

1)(

ω

ω=0

ω=/2

ω=

ae j

-a

a

ejω

-5 0 50.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-

a=0.5


Diagramme de Bode

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-30

-20

-10

0

10

20

30

Normalized Frequency ( rad/sample)

Phase (

degre

es)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-4

-2

0

2

4

6

8


Magnitude (

dB

) a=0.9

a=0.9

a=0.5

a=0.5


Conclusion

Un pôle près du cercle unité génère

• un pic sur le

• au même endroit une variation de phase importante

• et au même moment, un délai de groupe important


)( jeH

Exemple Matlab

poles = [.95*exp(j*pi/4) 0.95*exp(-j*pi/4)

0.9*exp(j*pi/4) 0.9*exp(-j*pi/4) ];

zeros = [0.9*exp(j*.95*pi/4) 0.9*exp(-j*.95*pi/4)

0.9*exp(1.05*j*pi/4) 0.9*exp(-1.05*j*pi/4) ];

zplane(zeros',poles')

b=real(poly(zeros)); a = real(poly(poles));

freqz(b,a);


Exemple Matlab

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-5

0

5

10

Ideal and Direct-Form response, N = 12

|H(

)|

/

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.5

0

0.5

An

gle

(H(

))

/

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imagin

ary

Part


Propriété


2* * *( ) ( ) ( ) ( ) (1 / )

j

j j j

z eH e H e H e H z H z

On définit :

1 *2

* * 0 1

1 *0

1

(1 )(1 )

( ) : ( ) (1 / )

(1 )(1 )

M

k k

k

N

k k

k

c z c zb

C z H z H za

d z d z

Et on en déduit 2

)()( jj eHeC

Remarque: Les pôles de 𝐻(𝑧) sont à 𝑑𝑘. Les pôles de 𝐻∗(1

𝑧∗) sont à 1/𝑑𝑘

∗ .

On a la même remarque pour les zéros.

Réflexion des pôles ou des zéros


2121 ,,, ppzz

1 2 1 2

*

1 1

, , ,

1/

z z p p

z z

1 2 1 2

* *

1 1 2 2

, , ,

1/ , 1/

z z p p

z z z z

)1)(1(

)1)(1()(

)1)(1(

)1)(1()(

)1)(1(

)1)(1()(

1

2

1

1

1

2

1

13

1

2

1

1

1

2

1

12

1

2

1

1

1

2

1

11

zpzp

zzzzzH

zpzp

zzzzzH

zpzp

zzzzzH

)()()( 321

jjj eHeHeH

Filtre passe-tout

C’est un filtre où

Nous avons vu qu’un réflexion de pôle (ou de zéro) ne change pas le

module de H. On en conclut que le module du H(f) du système ci-

dessous est une constante.

1)( jeH

z1

p1

*

11 /1 pz

1

1

1*

1

*

1

1

1

1*

1

1

1

1

1

1

1

1

/11

1

1)(

zp

zp

pzp

zp

zp

zzzH

*

11

*

1

*

11

*

1

*

1

1

1

1

1

1)(

pep

ep

p

e

ep

ep

peH

j

jj

j

jj

1)( 1

)(1

1

*

1

1

j

apap eHzp

pzzH

Ce filtre n’introduit qu’un déphasage.

Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-5- Filtre passe-tout

Filtre passe-tout

La phase de l’élément passe-tout est la suivante:

)cos(1

)sin(arctan2)(arg

r

reH j

ap

Où: jrep 1

Le système ci-contre est un

passe-tout ou un déphaseur.

Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-5- Filtre passe-tout

Système à phase minimale

Quand les pôles et les zéros d’un système sont à l’intérieur du cercle

unité, le système est appelé à phase minimale.

Dans certain cas, c’est uniquement le module de la fonction de transfert

qui nous intéresse et non pas la phase.

On peut transformer n’importe quel système en un système à phase

minimale qui possède exactement les mêmes caractéristiques en module

que 𝐻(𝑧), c’est-à-dire |𝐻𝑚𝑖𝑛 𝑧 | = |𝐻(𝑧)|.

)().()( min zHzHzH ap

)(zH )(min zH )(zHap

Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-6- Système à phase minimale

Exemple


En ajoutant un déphaseur, transformer le filtre ci-dessous en un filtre à

phase minimale.

1

1

2

11

31)(

z

zzH

Un pôle en 𝑧 = −0.5, un zéro à 𝑧 = −3. On multiplie par le système passe-

tout ci-dessous :

1

1

31

3)(

z

zzHap

Et on obtiendra : 1

min1

11

3( ) 31

12

z

H z

z

Example (suite): Résultat

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-200

-150

-100

-50

0


Ph

ase (

deg

rees)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 18

10

12

14


Mag

nit

ud

e (

dB

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15


Ph

ase (

deg

rees)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 18

10

12

14


Mag

nit

ud

e (

dB

)

1

1

2

11

31)(

z

zzH

1

min1

11

3( ) 31

12

z

H z

z

Application

On n’a pas de solution stable pour égaliser un système possédant des

zéros à l’extérieur du cercle unité.

Si l’égalisation en amplitude est suffisante dans l’application en main

(comme pour les applications audio), on peut effectuer cette égalisation.

Hd(z) Egaliseur

Hc(z)

s(n) sc(n)

)()()( min zHzHzH apd )(

1)(

min zHzHc

1)()( zHzH cd


Propriété


)().()( min zHzHzH ap

)(arg)(arg)(arg min

j

ap

jj eHeHeH

La phase de l’élément passe-tout est toujours négative, ce qui explique le

nom du système à phase minimale.

Le système à phase minimale produit un délai de groupe minimal par

rapport à tous les systèmes ayant le même module de la fonction de

transfert.

Délai de groupe pour l’exemple

précédent

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5


Gro

up

dela

y (

sam

ple

s)

système dedépart

système à phaseminimale

Exercice

Soit le filtre défini par la relation 𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑦(𝑛 − 10) , où 0 < 𝑎 <1.

1. Donner l’expression de sa réponse impulsionnelle

2. Donner l’expression de sa réponse en fréquence.

3. Tracer son diagramme pôles-zéros

4. Donner une structure d’implantation.

Donner la transformé en Z de la séquence suivante : Est-ce un système à

phase minimale ?

1( ) [ ( ) ( 10)]

2

n

x n u n u n

Exercice

Les pôles et les zéros d’un système linéaire sont présentés sur la figure

ci-dessous (2 pôles et un zéro). Utilisation l’approche graphique, calculer

𝐻(𝑒𝑗𝜔) pour 𝜔 = 0,𝜋

2 et 𝜋.

Exercice

Tracer la région de convergence pour la transformée de Z suivante :

11

1/ 3 1/ 4( )

1 1 21

2

H zz

z

Exercice

Le système numérique ci-dessous est utilisé pour la génération de la

musique électronique.

1. Calculer la fonction de transfert H(z).

2. Tracer le diagramme de pôle et de zéro pour L=8 et k=(0,9)8. Puis

tracer approximativement la réponse fréquentielle .

3. En suivant la structure, tracer la réponse impulsionnelle du circuit.

1-k

k z-1 z-1 z-1

L étages

x(n) y(n)

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