[Cioran] De l'inconvénient d'être né - Syllogismes de l'amertume (textes intégraux)
Formalisation pour les sciences sociales et politiques...
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Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Formalisation pour les sciences sociales et politiquesLogique des prédicats et syllogismes
Matteo [email protected]
Université libre de Bruxelles
SOCA-D173 2016-2017, Leçon 2
Gagliolo (ULB) Logique des prédicats et syllogismes SOCAD173:2 1 / 39
Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Plan de la leçon
I PropositionsI NégationI FormesI Inférences immédiates et carré logiqueI Diagramme de Venn à 3 ensemblesI Syllogismes
Syllabus : Ch 4.
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Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
D’abord : ça sert à quoi ?
La logique :I est fondamentale pour construire des raisonnements valides ;I est le « ciment » qui tient ensemble toute construction mathématique ;I permets de mieux comprendre la théorie de la probabilité
(STAT-D103) ;I est à la base de l’informatique (INFO-D203) ;I est indispensable pour interroger des bases des données.
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Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Propositions
I Proposition : une phrase dont on peut se demander si elle est vraieou fausse.
I Principe de bivalence : une proposition est soit vraie soit fausse.
I Logique des propositions : étudie les relations entre propositions, enles considérant des « atomes » (Ch. 3).
I Logique des prédicats : étudie la structure des propositions, et lesrelations qui en suivent (Ch. 4).
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Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Structure d’une proposition*
sujet – copule – prédicat
Sur base du sujet, on distingue entre :
I propositions singulières : le sujet est un terme singulier« Socrate est un philosophe »
I propositions générales : le sujet est un terme générale« Tout philosophe est un homme »,« Certains hommes sont des philosophes »
Prédicat : terme générale.
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Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Propositions singulières
Exemple : « Socrate est un philosophe ».
C’est une relation d’appartenance d’un élément (sujet) à un ensemble(prédicat).
x ∈ P.
La copule peut être implicite :
« Socrate nage »
signifie :
« Socrate est un nageant ».
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Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Propositions générales
Dans ce cas, le sujet est aussi un ensemble, et la copule dessine unerelation ensembliste avec le prédicat.Exemples :
« Tout philosophe est un homme »« Certains hommes sont des philosophes »« Aucun homme n’est un âne »
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Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Négation d’une proposition
Proposition singulière : négation banale.
Proposition Négation
Socrate est un philosophe Socrate n’est pas un philosophe
x∈P x /∈P
Propositions avec termes généraux
« Tout philosophe est un homme »,« Aucun homme n’est un âne ».
Négation ?
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Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Négation d’une proposition : exemple
Proposition : Tous les cygnes sont blancNégation : Il existe (au moins) un cygne qui n’est pas blanc
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Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Négation d’une proposition : exemple
Proposition : Aucune poule n’a des dentsNégation : Il existe (au moins) une poule qui a des dents
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Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Négation vs. contraire
Pour les propositions contenant des termes généraux :
négation et contraire sont deux concepts différents.
Proposition : Toutes les poules ont des dentsNégation : Certaines poules n’ont pas de dents
Contraire : Aucune poule n’a des dents
Pour nier la proposition : un seul contre-exemple suffit.Pour affirmer le contraire : la proposition ne doit être vérifiée pour aucundes éléments de l’ensemble.Proposition singulière : pas de distinction entre négation et contraire.
Proposition : Socrate est un philosopheNégation/Contraire : Socrate n’est pas un philosophe
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Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Structure d’une proposition générale
On peut classifier les propositions générales selon deux aspects :
quantité et qualité
QuantitéInformation sur l’extension du sujet :
I universelles : information sur tous les éléments d’un ensemble :« Tous les philosophes sont des hommes. »« Aucune poule n’a des dents. »
I particulières : information sur certains (au moins un) des élémentsd’un ensemble :
« Certains hommes sont des philosophes. »« Certains cygnes ne sont pas blancs. »
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Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Structure d’une proposition générale
On peut classifier les propositions générales selon deux aspects :
quantité et qualité
QualitéLa qualité dépend tout simplement de la copule utilisée :
I affirmatives :« Tous les philosophes sont des hommes. »« Certains hommes sont des philosophes. »
I négatives :« Aucune poule n’a des dents. »« Certains cygnes ne sont pas blancs. »
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Formes possibles
On a donc 2 critères, chacun prenant 2 valeurs possibles, ce qui nous fait22 = 4 combinaisons possibles.
Négative
AffirmativeParticulière
Négative
Affirmative
Universel
le
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Formes possibles
On a donc 2 critères, chacun prenant 2 valeurs possibles, ce qui nous fait22 = 4 combinaisons possibles.
Qualité
Affirmative Négative
Qua
ntité
Uni
vers
elle
Tout S est P Aucun S n’est P
Par
ticu
lière
Au moins un S est P Au moins un S n’est pas P
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Les quatre formes
On a donc défini 4 formes possibles de propositions générales.Par convention, elles sont indiquées par les voyelles a, e, i , o :
Quantité et Qualité Exemple
a Universelle affirmative Tous les cygnes sont blancs
e Universelle négative Aucun cygne n’est blanc
i Particulière affirmative Au moins un cygne est blanc
o Particulière négative Au moins un cygne n’est pas blanc
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Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Diagrammes de VennExercice 1 : Dessiner les diagrammes de Venn des quatre formes.
Ω
S P
a : Tous les S sont des P.
Ω
S P
e : Aucun S n’est un P.
Ω
S P
i : Au moins un S est un P.
Ω
S P
o : Au moins un S n’est pas un P.Gagliolo (ULB) Logique des prédicats et syllogismes SOCAD173:2 15 / 39
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Diagrammes de Venn
Ω
S P
a : Tous les S sont des P.
Ω
S P
e : Aucun S n’est un P.
Ω
S P
i : Au moins un S est un P.
Ω
S P
o : Au moins un S n’est pas un P.
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Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Les quatre formes comme relations entreensembles
Exercice 2.1 : Les quatre formes représentent des relations entre lesensembles S et P . En utilisant les relations et les opérateurs ensemblistes,écrivez de plusieurs façons différentes chacune des quatre formes.
Exercice 2.2 : En utilisant les relations et les opérateurs ensemblistes,écrivez de plusieurs façons différentes chacune des quatre relations entreensembles vues dans la leçon précédente (Syllabus, Ch. 2, Figure 2.6).Lesquelles correspondent aux formes vues aujourd’hui ?
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Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Universelle Affirmative (Venn)
Tous les S sont des P
S ⊂ P
S ∖ P = ∅
S ∩ P = ∅
Ω
S P
Relation : S est inclus dans P .
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Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Universelle Négative (Venn)
Aucun S n’est un P
S ∩ P = ∅
S ⊂ P
Ω
S P
Relation : S et P sont disjoints.
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Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Particulière Affirmative (Venn)
Au moins un S est un P
S ∩ P = ∅
Ω
S P
Relation : S et P se rencontrent.
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Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Particulière Négative (Venn)
Au moins un S n’est pas un P
S ∖ P = ∅
S ∩ P = ∅
Ω
S P
Relation : S et P se rencontrent.
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Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Les quatre formes comme relations entreensembles
Quantité et Qualité Forme Ensembles
a Universelle affirmative Tous les S sont des P S ⊂ P
e Universelle négative Aucun S n’est un P S ∩ P = ∅
i Particulière affirmative Au moins un S est un P S ∩ P = ∅
o Particulière négative Au moins un S n’est pas un P S ∖ P = ∅
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Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Inférences immédiates
Quantité et Qualité Forme Ensembles
a Universelle affirmative Tous les S sont des P S ⊂ P
e Universelle négative Aucun S n’est un P S ∩ P = ∅
i Particulière affirmative Au moins un S est un P S ∩ P = ∅
o Particulière négative Au moins un S n’est pas un P S ∖ P = ∅
Avec S = ∅ :I a, e sont contraires, ne pouvant pas être vraies au même tempsI i , o sont subcontraires, ne pouvant pas être fausses au même tempsI a, o sont contradictoires : l’une est la négation de l’autreI e, i sont contradictoires : l’une est la négation de l’autreI i , a sont subalternes : si a est vraie, alors i est vraieI e, o sont subalternes : si e est vraie, alors o est vraie
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Carrée logiquePour illustrer les inférences immédiates (relations entre les quatre formes),on utilise depuis longtemps ce schéma
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Carré logiqueΩ
S P
S ⊂ P
S ∩ P = ∅
Ω
S P
Avec S = ∅ :
SaP SeP
SiP SoP
Contraires
Subcontraires
Subaltern
es
Subaltern
es
Contradictoires
Contradictoires
Ω
S P
S ∩ P = ∅
S ∩ P = ∅
Ω
S P
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Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Structure des syllogismes
I La conclusion lie un sujet, ou mineur, (S) à un prédicat, ou majeur (P)I Les deux prémisses contiennent un autre terme, dit moyen (M)I La prémisse majeure lie le moyen (M) au prédicat de la conclusion (P)I La prémisse mineure lie le moyen (M) au sujet de la conclusion (S)
Tout M est un P Prémisse majeure Moyen M et prédicat P
Tout S est un M Prémisse mineure Moyen M et sujet S
∴ Tout S est un P Conclusion Sujet : S, Prédicat : P
Notation : ∴ se lit donc.
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Structure des syllogismes : modes
I Chacune des trois propositions qui composent un syllogisme peutprendre l’une des quatre formes (a,e,i,o), indépendamment des formesdes autres propositions.
I Classification des arguments selon les formes utilisées dans ses troispropositions, dans l’ordre ; par ex. aaa, aai, aio, eai, iao, oae, . . .
I 4 formes, 3 propositions, donc 43 = 64 combinaisons (modes)possibles.
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Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Structure des syllogismes : figuresI Dans chacune des deux prémisses, le moyen terme (M) peut prendre le
rôle de sujet, ou de prédicat — indépendamment de sa place dansl’autre prémisse.
I 2 places possibles, dans 2 prémisses, donc 22 = 4 combinaisons(figures) possibles :
Figure M dans la majeure M dans la mineure
1 Sujet (MxP) Prédicat (SxM)
2 Prédicat (PxM) Prédicat (SxM)
3 Sujet (MxP) Sujet (MxS)
4 Prédicat (PxM) Sujet (MxS)
(x ∈ a, e, i , o)Gagliolo (ULB) Logique des prédicats et syllogismes SOCAD173:2 28 / 39
Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Structures possibles
On a donc 64 modes possibles et, indépendamment du mode, 4 figurespossibles, pour un total de 64 × 4 = 256 structures possibles !
aaa aae aai . . .
1 MaP, SaM, SaP MaP, SaM, SeP MaP, SaM, SiP . . .
2 PaM, SaM, SaP PaM, SaM, SeP PaM, SaM, SiP . . .
3 MaP, MaS, SaP MaP, MaS, SeP MaP, MaS, SiP . . .
4 PaM, MaS, SaP PaM, MaS, SeP PaM, MaS, SiP . . .
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Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Structures valides (ou syllogismes)
I La majorités de ces structures ne sont pas des syllogismes !I Certaines modes ne sont jamais valides : seulement 14 des 64 possibles
permettent de construire des syllogismes (modes concluants)I Toutes les figures des modes concluants ne forment pas des
syllogismes. Seules 24 des 14 × 4 = 56 combinaisons possibles sontvalides.
Comment reconnaître une structure valide ? On peutI apprendre les 24 syllogismes par coeur (voir Wikipedia) ;I apprendre les règles de validité (PHILD101) ;I apprendre à utiliser les diagrammes de Venn.
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Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Venn : trois ensembles
Avec trois ensembles, on a 23 = 8 éventualités pour le placement d’unélément, donc 8 parties de l’univers :
x /∈ M
x ∈ Mx /∈ P
x /∈ M
x ∈ M
x ∈ P
x/∈S
x /∈ M
x ∈ Mx /∈ P
x /∈ M
x ∈ M
x ∈ P
x∈
S
S P
ΩM
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Validité d’un argument
Pour déterminer la validité d’un argument :1. Identifier S et P dans la conclusion.2. Identifier S, P, et M dans les prémisses.3. Réécrire l’argument en utilisant S, M, P.4. Identifier la forme de chaque proposition.
5. Représenter la conclusion sur un Venn à deux ensembles, S et P.
6. Représenter les deux prémisses sur un autre Venn, à trois ensembles,S, M et P.
7. Comparer la conclusion (S, P, point 5) avec le diagramme à troisensembles (S, M, P, point 6) :
I Conclusion nécessairement vraie : argument valide (syllogisme).I Conclusion potentiellement fausse : argument pas valide.
8. Valide avec prémisses vraies ? La conclusion est alors nécessairementvraie.
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Exemple : 1ère figure, aaa
Tout ce qui nage est un poisson.
Tout philosophe nage.
∴ Tout philosophe est un poisson.
Ω
S P S P
ΩM
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Exemple : 1ère figure, eae
Aucun homme n’est un âne.
Tous les philosophes sont des hommes.
∴ aucun philosophe n’est un âne.
Ω
S P S P
ΩM
Gagliolo (ULB) Logique des prédicats et syllogismes SOCAD173:2 34 / 39
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Exemple : 2ème figure, aaa
Tout philosophe est un homme.
Tout Socratique est un homme.
∴ Tout Socratique est un philosophe.
Ω
S P S P
ΩM
Gagliolo (ULB) Logique des prédicats et syllogismes SOCAD173:2 35 / 39
Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Exemple : 2ème figure, eio
Aucun chat ne nage
Certains félins nagent
∴ Certains félins ne sont pas des chats
Ω
S P S P
ΩM
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Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Est que Prinny impacte la validité ce cet argument ?Non, uniquement sa vérité.
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Remarques*
I Pour les arguments, utiliser toujours les lettres S , P, M, dans le bonordre (sujet, prédicat, moyen terme).
I Dans certaines structures, la conclusion peut être vraie si les prémissessont vraies. Ce n’est pas suffisant pour être valide ! Dans unsyllogisme, la conclusion doit être vraie si les prémisses sont vraies.
I Chaque partie d’un diagramme à deux ensemble est partagéultérieurement en deux dans le diagramme à trois ensemble, par laprésence du troisième ensemble :
I Pour marquer une universelle, il faut hachurer les deux partiesconcernées
I Pour marquer une particulière, il faut placer un X :I dans l’une des deux parties, si l’autre a déjà été hachuréeI sur la frontière entre les deux parties, si aucune des deux a été
hachurée (voir TP)
Gagliolo (ULB) Logique des prédicats et syllogismes SOCAD173:2 38 / 39
Propositions Négation Formes Carré logique Syllogismes
Conclusion
À retenirI combinatoire : arbre des éventualitésI inférences immédiates et carré logiqueI diagrammes de VennI validité d’un argument (Venn)
Syllabus : Ch 4.
ProchainementLogique des propositions
I ConnecteursI Tables de vérité
Syllabus : Ch. 3.
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