Formalisation pour les sciences sociales et politiques SOCA-D173 Version...

Formalisation pour les sciences sociales etpolitiques

SOCA-D173Version 1.3 (2019-2020)

Dernière révision 28/08/2019

Matteo Gagliolo

Table des matières

1 Introduction 51.1 Plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Mathématiques discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Mathématiques continues . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 La naissance de la Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Logique et argumentation : notions de base . . . . . . . . . . . 71.4 Structure d’un syllogisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 La logique comme « machine » . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Logique et ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Théorie des ensembles 102.1 Le concept d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1 Définir un ensemble : extension et compréhension . . . 112.1.2 Ensemble vide et singleton . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.3 Cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Relations entre ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.1 Relation d’inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.2 Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Diagrammes de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.1 Dessiner le diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.2 Marquer les relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.1 Intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.2 Réunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4.3 Différence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4.4 Complémentation (unaire) . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.5 Mettre en évidence le résultat d’une opération . . . . . 24

2.5 Relations vs. opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1

GAGLIOLO Matteo Formalisation/SOCA-D173 v.1.3

3 Logique des propositions 283.1 Propositions et valeurs de vérité . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.1 Structure d’une proposition : singulière vs. générale . . 293.2 Négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1 Singulières : négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.2 Double négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Connecteurs binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3.1 Tables de vérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3.2 Conjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3.3 Disjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.4 Implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.5 Équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4 Évaluer une fonction à l’aide des tables de vérité . . . . . . . . 343.4.1 L’arbre des éventualités . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4.2 L’arbre syntaxique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5 Logique et ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Logique des prédicats 424.1 Négation des propositions généraux . . . . . . . . . . . . . . . 424.2 Structure d’une proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3 Les quatre formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.5 Formes et diagrammes de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.6 Inférences immédiates et carré logique . . . . . . . . . . . . . 464.7 Le point sur la syntaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.8 Structure des syllogismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.8.1 Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.8.2 Figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.8.3 Structures possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.9 Valider un argument à l’aide des diagrammes de Venn . . . . . 514.9.1 Exemple : 1ère figure, aaa . . . . . . . . . . . . . . . . 534.9.2 Exemple : 1ère figure, eae . . . . . . . . . . . . . . . . 544.9.3 Exemple : 2ème figure, aaa . . . . . . . . . . . . . . . 554.9.4 Exemple : 2ème figure, eio . . . . . . . . . . . . . . . . 554.9.5 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5 Relations 585.1 Relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.1.1 Couples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.1.2 Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.1.3 Relation comme ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . 61

PUB Cours-Librarie, av. P. Héger 42, B-1000 Bruxelles 2


5.2 Réseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2.1 Représentation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2.2 Degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2.3 Réciprocité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.2.4 Graphe des relations réciproques . . . . . . . . . . . . 655.2.5 Transitivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.3 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3.1 Propriétés des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.3.2 Fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3.3 Composition de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3.4 Relation comme fonction booléenne binaire . . . . . . . 75

6 Ensembles et fonctions numériques 766.1 Ensembles numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.1.1 Nombres entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.1.2 Nombres relatifs naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.1.3 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.1.4 Dénombrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.2 Relations entre nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2.1 Relation d’égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2.2 Équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.2.3 Relation d’inégalité stricte . . . . . . . . . . . . . . . . 806.2.4 Relation d’inégalité faible . . . . . . . . . . . . . . . . 806.2.5 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.2.6 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.2.7 Négation des inéquations et signe . . . . . . . . . . . . 826.2.8 Inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.2.9 Exemples de fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . 83

6.3 Nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.3.1 Le plan cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.3.2 Visualisation des données quantitatives . . . . . . . . . 856.3.3 Modélisation des données . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.3.4 Équation d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.3.5 Fonctions sur le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.3.6 Fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.3.7 Restriction d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . 926.3.8 Définition d’une fonction par morceaux . . . . . . . . . 966.3.9 Équations et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.3.10 Inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.4 Parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.4.1 Racines d’une parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101



6.4.2 Racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.5 Hyperbole et inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.6 Exposants et leurs propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.7 Fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.7.1 Logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.7.2 Notation scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.7.3 Propriétés des logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.7.4 Exponentielle et logarithme : changements de base . . . 1126.7.5 Échelle logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.8 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.9 Position et échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7 Analyse de fonctions 1157.1 Inégalités et études de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7.1.1 Minorations/majorations par constantes . . . . . . . . 1157.1.2 Maximum/minimum (extrema) . . . . . . . . . . . . . 1157.1.3 Minorations/majorations par fonctions . . . . . . . . . 1167.1.4 Croissance/Décroissance . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.2 Limites (définition intuitive) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.3 Continuité (définition intuitive) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.4 Convergence/Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.5 Symétrie et parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.5.1 Symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.5.2 Fonctions pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.5.3 Fonctions impairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.6 Taux d’accroissement d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . 1187.7 Dérivée d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.7.1 Dérivée et optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.8 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.8.1 Dérivée seconde et convexité . . . . . . . . . . . . . . . 1267.9 Tableau de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.10 Intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.10.1 Intégrale définie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.10.2 Intégrale indéfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.10.3 Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.10.4 Relation entre intégrale et dérivée . . . . . . . . . . . . 1317.10.5 Primitives d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.10.6 Théorème fondamental du calcul . . . . . . . . . . . . 1337.10.7 Propriétés des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

A Solution des exercices 136


Chapitre 1

Introduction

Méthodes formelles pour l’étude des phénomènes sociaux :

Statistiques: inférence de conclusions générales à partir d’observationsquantitatives limitées ;

Théorie des jeux: : les institutions comme réponses aux dilemmes de l’ac-tion collective ;

Théorie des systèmes complexes: : émergence au niveau « macro » detraits qui ne sont pas présents au niveau « micro ».

Les statistiques en particulier sont incontournables pour les sciencessociales. Ces méthodes seront développées dans des cours spécifiques, à partirde celui de « Éléments de statistique » (STAT-D103).

Toute méthode quantitative est essentiellement mathématique : Le butde ce cours de formalisation est de donner les bases de logique et mathéma-tique qui sont indispensables pour comprendre et appliquer les méthodesquantitatives.

1.1 Plan du coursLe programme du cours est assez vaste mais on limitera les détails tech-

niques au minimum indispensable.

1.1.1 Mathématiques discrètes

Théorie des ensembles— Relations

5


— Opérateurs— Diagrammes de Venn— Notions de combinatoire— Éléments d’analyse de réseauxLogique— Propositions et négation— Connecteurs— Tables de vérité— Logique des prédicats— Inférences immédiates— Syllogismes

1.1.2 Mathématiques continues

— Rappels d’arithmétique : ensembles numériques, opérateurs et leurspropriétés ;

— Équations et inéquations dans une variable ;— Systèmes d’équations (deux variables) ;— Fonctions d’une variable ;— Fonction inverse ;— Composition de fonctions ;— Droite, parabole, hyperbole ;— Exponentielle et logarithme ;— Dérivation et intégration.

1.2 La naissance de la LogiquePolitique, économie, droit, logique, mathématiques ont vu des dévelop-

pements fondamentaux en Grèce, surtout à Athènes, entre les 5ème et 3èmesiècles av.J.C.

Les décisions les plus importantes sont prises par l’Ecclésia, assemblée descitoyens 1 ou polîtes (πολίτης). La rhétorique devient donc une clé d’accès aupouvoir, en permettant le développement de nombreuses écoles d’éloquencesophistes, qui déterminent la réaction de certains philosophes, tels que Socrate(470-399 av.J.C.) et ses disciples.

Dans son effort de démonter les arguments des sophistes, Aristote (384-322 av.J.C.) découvre des structures du raisonnement qui permettent de com-biner différents propositions, c’est-à-dire des phrases dont on peut se deman-

1. Qui excluait les femmes, les métèques (immigrés d’autres villes grecques), les barbares(immigrés d’autres origines), et les esclaves.



der si elles sont vraies ou fausses, de façon que, si les propositions ayant rôlede prémisses sont vraies, alors la conclusion doit aussi nécessairement êtrevraie : il appelle ces structures des syllogismes.

"Le syllogisme est un raisonnement où, certaines données étantposées, on tire de ces données quelque conclusion, qui en sortnécessairement, et qui est différente de ces données." (Aristote,Réfutation des Sophistes)

Un exemple typique de syllogisme :

Tout homme est mortel.Or, Socrate est un homme.Donc, Socrate est mortel.

1.3 Logique et argumentation : notions de base— Proposition : une phrase dont on peut se demander si elle est vraie

ou fausse.— Principe de bivalence : une proposition est soit vraie soit fausse.— Argument : discours combinant des propositions (les prémisses),

dans le but de prouver la vérité d’une proposition finale (la conclu-sion).

Selon Aristote, la validité d’un argument est une propriété structurelle,indépendante de son contenu.

— Validité : un argument est dit valide (ou concluant) si et seulementsi la conclusion ne peut jamais être fausse quand les prémisses sonttoutes vraies.

— Vérité : un argument est vrai si et seulement si il est valide et toutesses prémisses sont vraies (ce qui assure donc la vérité de sa conclusion).

On va revenir sur la distinction entre validité et vérité après avoir entaméla logique des prédicats (Ch. 4). Voici pour le moment quelques exemplesd’arguments, valides ou non :

Tout homme est mortel.Tout philosophe est un homme.Donc, tout philosophe est mortel.

Valide et vrai.

Tout ce qui nage est un poisson.Socrate nage.Donc, Socrate est un poisson.



Valide mais faux, car la première prémisse est fausse.

Aucun homme n’est un âne.Socrate est un homme.Donc, Socrate n’est pas un âne.

Valide et vrai.

Tout philosophe est un homme.Socrate est un homme.Donc, Socrate est un philosophe.

Invalide donc faux, même si toutes les propositions qui le composent sontvraies !

1.4 Structure d’un syllogismeExaminons ces structures de plus près. Pour en comprendre le fonction-

nement, il faut démonter les propositions qui les forment. Commençons parle modus ponens, qui est valide (Table 1.1).

Tout homme (M) est un mortel (P). Tout M est un PSocrate (S) est un homme (M). (Tout) S est un MDonc, Socrate (S) est un mortel (P). (Tout) S est un P

Table 1.1 – Structure d’un syllogisme modus ponens.

Pour le moment on observe que ses trois propositions contiennent troistermes, distribués de la façon suivante :

— Chaque proposition met en relation deux des trois termes— Un de ces termes, dit moyen (M), est présent dans chaque prémisse— Les deux autres, dit majeur (P) et mineur (S), sont séparés dans les

prémisses, et se retrouvent ensemble dans la conclusion.

1.5 La logique comme « machine »Pourquoi s’obstine-t-on à parler d’Aristote après autant de siècles ? Même

s’il en est resté aux exemples sans vraiment les systématiser, avec ses syllo-gismes, Aristote eut deux intuitions fondamentales :



— On peut séparer la structure d’un argument de la vérité de sa conclu-sion, en cherchant des structures qui « conservent » la vérité des pré-misses dans la conclusion.

— La validité de ces structures étant indépendante des propositions par-ticulières, on peut utiliser des symboles littéraux pour représenterles trois termes, ce qui préfigure l’algèbre.

L’ensemble de ces deux intuitions constitue le plus ancien exempled’élaboration de l’information sous forme symbolique, avec des méthodes dé-terministes, et assez simple pour être automatisé : ce que de nos jours onappellerait de l’informatique.

1.6 Logique et ensemblesVoici comment Leonhard Euler (1707-1783) expliqua un syllogisme à la

princesse de Anhalt-Dessau, dont il était tuteur :

Tout homme (H) est mortel (M).Tout philosophe (P) est un homme (H).Donc tout philosophe (P) est mortel (M).

Figure 1.1 – Un exemple de diagramme d’Euler 2, montrant la relation entreles trois termes d’un syllogisme modus ponens.

Le siècle suivant, Cantor formalisera sa théorie des ensembles, sujet duprochain chapitre, qui nous permettra de mieux comprendre les syllogismes,et la logique en général.

2. Bien que leur usage soit antécédent – Hamilton les attribua à Christian Weise, 1712 –c’est après Euler que ces diagrammes ont été nommés. Cet exemple n’est pas de sa plume :il est repris du cours de Philosophie donné par Émile Durkheim en 1884, disponible àl’adresse http://durkheim.uchicago.edu/Texts/1884a/00.html .


http://durkheim.uchicago.edu/Texts/1884a/00.html

Chapitre 2

Théorie des ensembles

Les ensembles et les relations entre ensembles :— sont les « briques » composant toute construction mathématique ;— permettent de mieux comprendre la logique. . .— mais aussi la théorie de la probabilité (STAT-D103),— et l’analyse des réseaux (SOCA-D460) ;— ils peuvent être utilisés pour décrire et visualiser des données qualita-

tives (variables indicatrices, STAT-D103),— et les étudier avec l’analyse des correspondances multiples 1 (ACM),— ou l’analyse qualitative comparée 2 (AQC).

2.1 Le concept d’ensembleTout simplement, un ensemble est une collection d’objets, définie unique-

ment par les objets qui lui appartiennent.Le but d’un ensemble est de pouvoir considérer les objets qui le forment

comme une unité.Dans les mots de Georg Cantor (1891) :

Par ensemble, nous entendons toute collection 𝑀 d’objets 𝑚 denotre intuition ou de notre pensée, définis et distincts, ces objetsétant appelés les éléments de 𝑀 .

1. Voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_des_correspondances_multiples. Enanglais : Multiple Correspondence Analysis (MCA).

2. Ou analyse quali-quantitative comparée (AQQC), voirhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_quali-quantitative_comparée. En anglais :Qualitative Comparative Analysis (QCA).

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https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_des_correspondances_multiples

https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_quali-quantitative_compar%C3%A9e


A x ∈ Ay /∈ A

Figure 2.1 – Notation pour l’appartenance.

Notation. On utilise d’habitude des lettres majuscules pour désigner desensembles, et des minuscules pour leurs éléments. Pour indiquer qu’un objet𝑥 appartient à un ensemble 𝐴, on écrit 𝑥 ∈ 𝐴. Dans le cas contraire, on écrit𝑥 /∈ 𝐴 (Fig. 2.1).

Dans le discours, on peut lire 𝑥 ∈ 𝐴 ainsi :— 𝑥 appartient à 𝐴— 𝑥 est un élément de 𝐴— 𝑥 est un membre de 𝐴— 𝑥 est un 𝐴L’expression 𝑥 ∈ 𝐴 est une proposition, donc elle est soit vraie soit

fausse. Sa négation est 𝑥 /∈ 𝐴 :— Si 𝑥 ∈ 𝐴 est vraie, alors 𝑥 /∈ 𝐴 est fausse.— Si 𝑥 ∈ 𝐴 est fausse, alors 𝑥 /∈ 𝐴 est vraie.Dans la suite, on va utiliser comme exemple les institutions supranatio-

nales Européennes (Fig 2.2).

2.1.1 Définir un ensemble : extension et compréhension

Un ensemble peut être défini de l’une de ces deux façons : en extensionou en compréhension.

En extension: Tout simplement en énumérant les objets qui en font partie.

Notation. Les éléments sont écrits entre des accolades, et séparés par desvirgules, ainsi : 𝐴 = 1, 2, 3.

Par exemple, on peut définir :

AELE = CH, IS,LI,NO,

RBK = BY,KZ,RU.



Figure 2.2 – Diagramme d’Euler des institutions supranationales Euro-péennes. Situation au 2014.

EURO

UE

S

AELE

CEEEC

UDUE

ALECE RBK

DFPE

URB

GUAM

AM

CH

IS

LI

NO

UNMIKMDBA

ALME

RS MK

AZUA

GE

KZ

BYRU

TK

HRBG

RO

UK

IE

CY

AD

SM

MC

VA

AT

LV

PT

FR

SE

DK

HU

LI

PL

CZ

SK

SI

LU MT

ES

NL

IT

BE

DEGR

EE

FI

AELE Association européenne de libre-échangeALECE Accord de libre-échange centre-européen

CE Conseil de l’EuropeDFPE Droit de frapper des pièces en euros

EEC Espace économique européenEURO Zone euro

GUAM Organisation pour la démocratie et le développementRBK Union douanière Russie-Biélorussie-Kazakhstan

S Espace SchengenUDUE Union douanière de l’Union européenne

UE Union européenneURB Union de la Russie et de la Biélorussie.



Table 2.1 – Les 51 pays en Fig. 2.2

AD Andorre LI LiechtensteinAL Albanie LT LituanieAM Arménie LU LuxembourgAT Autriche LV LettonieAZ Azerbaïdjan MC MonacoBA Bosnie-Herzégovine MD MoldavieBE Belgique ME MonténégroBG Bulgarie MK MacédonieBY Biélorussie MT MalteCH Suisse NL Pays-BasCY Chypre NO NorvègeCZ Tchéquie PL PologneDE Allemagne PT PortugalDK Danemark RO RoumanieEE Estonie RS SerbieES Espagne RU RussieFI Finlande SE SuèdeFR France SI SlovénieGE Géorgie SK SlovaquieGR Grèce SM Saint-MarinHR Croatie TK TurquieHU Hongrie UA UkraineIE Irlande UK Royaume-UniIS Islande UNMIK KosovoIT Italie VA VaticanKZ Kazakhstan



En compréhension: En précisant une propriété commune à tout seséléments. Cette définition peut être exprimée dans cette forme : « tous lesobjets (appartenant à un ensemble de référence donné) tels qu’une proposi-tion donnée est vraie ».

Notation. Une variable représentant un objet inconnu, éventuellement pré-cisant son appartenance à un ensemble de référence, suivi par une ligne ver-ticale | qu’on lit "tels que", et par la propriété qui les caractérise.

Par exemple, l’ensemble des nombres pairs peut être défini ainsi :

𝐴 = 𝑥 ∈ N | 𝑥/2 ∈ N.L’ensemble des bâtiments sur Bruxelles qui ont trois étages peut être

écrit :

𝐵 = 𝑏 est un bâtiment à Bruxelles | 𝑏 a trois étages.

2.1.2 Ensemble vide et singleton

Ensemble vide. L’ensemble qui ne contient aucun élément : on l’indiqueavec un rond barré :

∅ = .Singleton. C’est ainsi qu’on appelle un ensemble qui contient un seul

élément. Par exemple, 127 ; ou bien l’ensemble des pays de Schengen (S)qui ne font pas partie du Conseil de l’Europe, (CE, voir Fig. 2.2) :

CH

Remarque 2.1. On ne peut pas comparer un élément avec un ensemble.𝑥 ∈ 𝑥, mais 𝑥 = 𝑥 !

2.1.3 Cardinal

Le cardinal d’un ensemble est simplement le nombre d’éléments qui luiappartiennent, donc sa taille.

Notation. Un croisillon suivi par le nom de l’ensemble entre parenthèses : lecardinal de 𝐴 s’écrit #(𝐴). Notations alternatives : |𝐴| ou card(𝐴) ou 𝑛(𝐴).



Par exemple :

#(UE) = 28

#(AELE) = 4

#(CH) = 1

#(∅) = 0

Exercice 1Quels sont les cardinaux des ensembles suivants ?1. DFPE2. ALECE3. EURO

2.2 Relations entre ensemblesAutant les ensembles que leurs éléments étant des objets abstraits, on

peut avoir la présence du même élément dans différents ensembles. Ce quipermet de définir des relations entre paires d’ensembles.

Dans cette section, on va utiliser des diagrammes d’Euler pour représenterles relations entre deux ensembles. Dans la prochaine section, on va apprendreà représenter ces relations avec des diagrammes de Venn, utilisés dans le restedu cours.

Remarque 2.2. La distinction entre diagrammes d’Euler et de Venn estsouvent ignorée : tant dans la littérature académique qu’en français courant,les deux sont souvent appelés diagrammes de Venn.

En général, deux ensembles ayant des éléments en commun seront repré-sentés par deux cercles ou ellipses ayant une intersection, comme en Fig. 2.3a.Dans ce cas on dit que les ensembles se rencontrent.

Deux ensembles disjoints, c’est-à-dire n’ayant aucun élément en com-mun, seront représentés comme deux cercles/ellipses séparés, comme enFig. 2.3b.



A B

(a) 𝐴 et 𝐵 se rencontrent.

A B

(b) 𝐴 et 𝐵 sont disjoints.

A B

(c) 𝐴 est inclus dans 𝐵 (𝐴 ⊂ 𝐵).

A B

(d) 𝐴 et 𝐵 sont équivalents (𝐴 = 𝐵).

Figure 2.3 – Diagrammes d’Euler des relations entre deux ensembles 𝐴 et𝐵.

Notation. Pour indiquer que 𝐴 et 𝐵 se rencontrent on peut utiliser la nota-tion 𝐴 G 𝐵, tandis que la disjonction est représentée en rajoutant une barreau symbole G, ainsi : 𝐴 G 𝐵.

Pourtant, ces deux symboles sont très peux utilisés en pratique : norma-lement, les relations « se rencontrer » et « être disjoints » sont représentéesen utilisant une combinaison d’autres relations et opérateurs (voir Ex. 7).

2.2.1 Relation d’inclusion

Un ensemble 𝐴 est inclus dans un ensemble 𝐵 si et seulement si toutélément de 𝐴 appartient aussi à 𝐵.

Notation. On indique ça avec le symbole ⊂, ainsi : 𝐴 ⊂ 𝐵.

Dans le langage naturel :— 𝐴 est contenu dans 𝐵 ;— 𝐴 est un sous-ensemble de 𝐵 ;— si 𝐴 alors 𝐵 ;— 𝐴 implique 𝐵 ;— 𝐴 est une condition suffisante pour 𝐵.



— 𝐵 est une condition nécessaire pour 𝐴.Exemple : tout philosophe (𝐴) est un homme (𝐵). Dans un diagramme

d’Euler, on indique l’inclusion comme en Fig. 2.3c.En Figure 2.2, on voit par exemple que la zone Euro est un sous-ensemble

de l’Union européenne

EURO ⊂ UE,

et les deux sont contenus dans l’UDUE

EURO ⊂ UDUE,

UE ⊂ UDUE.

Plus synthétiquement, on peut écrire 3. :

EURO ⊂ UE ⊂ UDUE.

Exercice 2Lister toutes les relations d’inclusion parmi les institutions de la Fi-

gure 2.2.

Remarque 2.3. Inclusion et appartenance sont deux concepts bien distincts.— L’inclusion 𝐴 ⊂ 𝐵 indique une relation entre deux ensembles.— L’appartenance 𝑥 ∈ 𝐴 est une relation entre un élément et un en-

semble.

Remarque 2.4. L’ensemble vide est un sous-ensemble de tout ensemble :∅ ⊂ 𝑋 est une proposition vraie pour tout ensemble 𝑋.

Remarque 2.5. On peut écrire une relation d’inclusion en commençant parl’ensemble plus « grand », avec le symbole ⊃. Par exemple, les propositions𝐴 ⊂ 𝐵 (𝐴 est inclus dans 𝐵) et 𝐵 ⊃ 𝐴 (𝐵 inclut 𝐴) sont équivalentes a

a. . . . et si 1 < 2, on peut écrire 2 > 1, voir Sec. 6.2.5

3. Tout comme pour les relations d’ordre entre nombres : si 1 < 2 et 2 < 3, on peutécrire 1 < 2 < 3. . .



2.2.2 Relation d’équivalence

Un ensemble 𝐴 est équivalent à un ensemble 𝐵 s’ils ont les mêmeséléments, autrement dit si tout élément de 𝐴 appartient aussi à 𝐵 et toutélément de 𝐵 appartient à 𝐴.

Notation. On indique cela 𝐴 = 𝐵. Sa négation est : 𝐴 = 𝐵.

Dans le langage naturel : 𝐴 si et seulement si 𝐵, ou 𝐴 équivaut à 𝐵.

Exercice 3

1. Quels changements de composition de l’espace économique européen(EEC) le rendraient équivalent à l’Union européenne (UE) ?

2. Quels changements de l’UE la rendraient équivalente à son union doua-nière (UDUE) ?

Remarque 2.6. La relation d’équivalence est un élément fondamental detoute construction mathématique, qui permet de remplacer un objet par sonégal, un procédé qu’on va retrouver tout au long du cours.

En Figure 2.3d, on voit une première limitation des diagrammes d’Eu-ler : la représentation de l’équivalence n’est pas tout à fait claire. Avant decontinuer, on va donc introduire une variante plus pointue, les diagrammesde Venn.

2.3 Diagrammes de VennLes diagrammes d’Euler constituent un outil très intuitif pour représenter

les ensembles, et les relations entre eux : ils sont tellement ancrés dans notreculture générale que l’on en trouve des exemples tant dans la presse, que dansles « mèmes » circulant sur le net. Pourtant, ils présentent des limitations, etpeuvent engendrer des ambiguïtés : pour ces raisons, John Venn (1834-1923)proposa des diagrammes plus pointus et systématiques, inspirés par l’algèbrede Boole (sujet du prochain chapitre). Sans rentrer ici dans les détails tech-niques, on peut déjà commencer à familiariser avec ces diagrammes.

Avant de procéder, on doit introduire deux nouveaux concepts dans notrevocabulaire. D’abord, l’univers de référence Ω est un ensemble qui contienttous les éléments que nous intéressent. Par exemple, l’univers de la Figure 2.2pourrait être représenté par l’ensemble des pays reconnus dans le monde, ou



A

Ω

x ∈ Ax /∈ A

(a) Un ensemble 𝐴 : 2 parties.

A B

Ω

x ∈ A

x ∈ B

x ∈ A

x /∈ B

x /∈ A

x ∈ B

x /∈ A

x /∈ B

(b) Deux ensembles 𝐴 et 𝐵 : 4 parties.

Figure 2.4 – Diagrammes de Venn.

par les pays du continent eurasiatique : ou bien par les pays du continenteuropéen, si l’on inclut le Kazakhstan (KZ) dans cette définition.

Une fois qu’on explicite notre univers de référence, il est plus facile dese rendre compte que la définition d’un ensemble quelconque inclus dans cetunivers le divise en deux parties distinctes : les éléments qui appartiennentà l’ensemble, et ceux qui n’y appartiennent pas.

Pour dessiner un diagramme de Venn, on procède en deux phases. Dansla première phase, on représente toutes les parties de l’univers qu’on peutdistinguer sur base du nombre d’ensembles considérés ; en suite, on marqueles relations entre les ensembles.

2.3.1 Dessiner le diagramme

Dans cette phase :— l’univers de référence Ω est représenté par un rectangle ;— les ensembles sont représentés par des cercles ou des ellipses ;— toute éventualité possible, c’est-à-dire toute partie de l’univers est

représentée.Si on considère un seul ensemble 𝐴 ⊂ Ω, on obtient un diagramme avec

deux parties : l’ensemble 𝐴 même, et l’ensemble des éléments de Ω n’appar-tenant pas à 𝐴 (Fig 2.4a). En somme, pour un élément 𝑥 ∈ Ω, on a deuxéventualités :

1. 𝑥 ∈ 𝐴 ;2. 𝑥 /∈ 𝐴.

Si on considère deux ensembles 𝐴 ⊂ Ω et 𝐵 ⊂ Ω, on a quatre éventualitéspossibles :

1. 𝑥 ∈ 𝐴 et 𝑥 ∈ 𝐵 ;2. 𝑥 ∈ 𝐴 mais 𝑥 /∈ 𝐵 ;



3. 𝑥 /∈ 𝐴 mais 𝑥 ∈ 𝐵 ;4. 𝑥 /∈ 𝐴 et 𝑥 /∈ 𝐵.

Le diagramme de Venn doit donc nous permettre de distinguer quatreparties, comme en Fig 2.4b.

2.3.2 Marquer les relations

On a maintenant un dessin qui dépend juste du nombre d’ensembles quel’on considère, typiquement entre un et trois. Pour représenter les relationsentre ces ensembles, on continue le dessin ainsi :

— les parties vides sont noircies— les parties non vides (donc avec au moins un élément) sont mar-

quées avec un signe (typiquement une ×)

Exercice 4Pour chacune des relations représentées par un diagramme d’Euler en

Fig 2.3, dessiner le diagramme de Venn correspondant (Solution en Fig. 2.6).

Exercice 5Dessiner un diagramme de Venn à 3 ensembles.

2.4 OpérateursLes opérateurs nous permettent de définir de nouveaux ensembles à

partir des ensembles existants.

2.4.1 Intersection

L’intersection de 𝐴 et 𝐵 est l’ensemble qui contient seulement leurs élé-ments en commun, donc

𝐴 ∩𝐵 = 𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 et 𝑥 ∈ 𝐵Le résultat de l’intersection de deux ensembles disjoints – qui n’ont aucun

élément en commun – est l’ensemble vide. Par exemple : l’intersection entrel’Ass. européenne de libre échange (AELE) et la Communauté Européenne(CE) :

AELE ∩ CE = ∅ou l’intersection entre ânes et hommes.



A B

Ω

A ∩B

(a) Intersection 𝐴 ∩𝐵.

A B

Ω

A ∪B

(b) Union 𝐴 ∪𝐵.

A B

Ω

A\B

(c) Différence 𝐴 ∖𝐵.

S

Ω

SA

Ω

A

(d) Complémentaire 𝐴.

Figure 2.5 – Diagrammes de Venn des opérateurs. Voir aussi Fig. 2.7, quimontre la façon recommandée de les colorier dans les exercices sur papier.

Remarque 2.7. Tout comme les deux qui suivent, l’intersection est unexemple d’opérateur binaire, générant donc son résultat à partir de deuxopérandes.

2.4.2 Réunion

La réunion de 𝐴 et 𝐵 est l’ensemble qui contient tous leurs éléments,donc

𝐴 ∪𝐵 = 𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑥 ∈ 𝐵.Ici ou est à entendre dans le sens inclusif : ce n’est donc pas « soit 𝐴,

soit 𝐵 », mais « soit 𝐴, soit 𝐵, soit les deux ».

2.4.3 Différence

La différence entre 𝐴 et 𝐵 est l’ensemble des éléments de 𝐴 qui n’appar-tiennent pas à 𝐵.

Notation. Une barre oblique inversée 𝐴 ∖𝐵. En alternative : 𝐴−𝐵 (ce quireste à 𝐴 si on enlève 𝐵).



𝐴 ∖𝐵 = 𝑥 ∈ 𝐴 | 𝑥 /∈ 𝐵.

Remarque 2.8. Tout comme pour la différence entre nombres, l’ordre im-porte ! 𝐴 ∖𝐵 = 𝐵 ∖ 𝐴.

Exemple en Fig. 2.2 : si S est Schengen, et UE l’Union Européenne, alors

S ∖ UE = CH, IS,LI,NO,tandis que

UE ∖ S = BG,CY,HR, IE,RO,UK.

2.4.4 Complémentation (unaire)

On peut aussi appeler 𝐴∖𝐵 le complémentaire de 𝐵 relativement à 𝐴. Unefois défini notre univers Ω, on peut définir le complémentaire 𝐴 d’un ensemble𝐴 comme son complémentaire par rapport à Ω, c’est-à-dire la différence entrel’univers et l’ensemble :

𝐴 = Ω ∖ 𝐴 = 𝑥 ∈ Ω | 𝑥 /∈ 𝐴.En d’autres mots, 𝐴 est l’ensemble des Ω qui ne sont pas des 𝐴.

Notation. On ne mentionne pas l’univers de façon explicite et on indiquele complémentaire de 𝐴 avec un tiret au dessus, 𝐴. Notation alternative :Ω(𝐴).

Par exemple, si Ω est l’ensemble des animaux et 𝐴 l’ensemble des ânes,alors 𝐴 indique tous les animaux qui ne sont pas des ânes (tout en incluantSocrate).

Remarque 2.9. L’univers Ω fait partie de la définition. La complémentationest donc un exemple d’opérateur unaire, générant son résultat à partir d’unseul opérande.

Remarque 2.10. Deux ensembles 𝐴 et 𝐵 sont dits complémentaires si leurunion équivaut à l’univers :

𝐴 ∪𝐵 = Ω,

ce qui implique 𝐵 = 𝐴.



Euler

A B

(a) 𝐴 et 𝐵 se rencontrent.

A B

(b) 𝐴 et 𝐵 sont disjoints.

A B

(c) 𝐴 est inclus dans 𝐵.

A B

(d) 𝐴 et 𝐵 sont équivalents.

Venn

A B

Ω

(e) 𝐴 et 𝐵 se rencontrent.

A B

Ω

(f) 𝐴 et 𝐵 sont disjoints.

A B

Ω

(g) 𝐴 est inclus dans 𝐵.

A B

Ω

(h) 𝐴 et 𝐵 sont équivalents.

Figure 2.6 – Relations entre deux ensembles 𝐴 et 𝐵, représentés par desdiagrammes d’Euler (à gauche) et de Venn (à droite).



2.4.5 Mettre en évidence le résultat d’une opération

Si dans un cours ou sur un écran c’est beaucoup plus claire de marquerles résultats des opérateurs en couleur, dans la résolution des exercices surpapier ça risque d’engendrer une ambiguïté entre parties colorées et partiesnoircies (donc vides).

Pour mettre en évidence les parties de l’univers qui nous intéressent, plu-tôt que les colorier, c’est donc préférable de marquer leur frontière avecdes lignes de couleur différents, en utilisant la même couleur pour écrire lenom des parties en question. En Fig. 2.7 on montre des exemples avec lesquatre opérateurs considérés ici dessus.

Remarque 2.11. Il est donc conseillé de marquer les frontières plutôt quecolorier les régions d’intérêt, et d’utiliser la coloration (exclusivement ennoir) pour marquer les parties vides.

2.5 Relations vs. opérateursLa confusion entre relations et opérateurs entraîne beaucoup d’erreurs à

l’examen.— Une relation entre ensembles est une proposition. Par exemple :

𝐴 ⊂ 𝐵

représente la proposition « 𝐴 est inclus dans 𝐵 ».— Le résultat d’une opération entre ensembles est un ensemble. Par

exemple :𝐴 ∪𝐵

représente l’ensemble résultant de la réunion entre 𝐴 et 𝐵.On peut bien combiner relations et opérateurs dans la même expression,

mais comprendre cette distinction est essentielle pour éviter les erreurs lesplus graves.

Par exemple : l’expression

𝐶 ⊂ 𝐴 ∪𝐵

est correcte, et représente une relation d’inclusion, de l’ensemble 𝐶 dansl’ensemble résultant d’une opération de réunion entre les ensembles 𝐴 et 𝐵.



Couleur (déconseillé)

A B

Ω

A ∩B

(a) Intersection 𝐴 ∩𝐵.

A B

Ω

A ∪B

(b) Union 𝐴 ∪𝐵.

A B

Ω

A\B

(c) Différence 𝐴 ∖𝐵.

S

Ω

SA

Ω

A

(d) Complémentaire 𝐴.

Frontière (recommandé)

A B

Ω

A ∩B

(e) Intersection 𝐴 ∩𝐵.

A B

Ω

A ∪B

(f) Union 𝐴 ∪𝐵.

A B

Ω

A \B

(g) Différence 𝐴 ∖𝐵.

A

Ω

A

(h) Complémentaire 𝐴.

Figure 2.7 – Deux façons de marquer des parties de l’univers : la façon dedroite est recommandée (pas d’ambiguïté possible avec les parties vides).



Exercice 6Parmi ces expressions, distinguer les propositions des ensembles.

𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)

𝐴 ⊃ (𝐵 ∩ 𝐴)

𝐶 = 𝐴 ∖𝐵

(𝐴 ∖𝐵) ∖ 𝐶

1, 2, 3 ∖ 2

𝐴 ∪ (𝐵 ∖ (𝐶 ∩𝐷))

2 ∈ 1, 2, 3

2 ⊂ 1, 2, 3

𝑥 /∈ (𝐴 ∩𝐵)

𝐴 ∪𝐵 = 𝐶

(𝐴 ∖𝐵) ⊂ 𝐶

#(𝐴) ≥ #(𝐵)

Ne marquez pas les réponses ici : partagez une feuille en deux colonneset réécrivez les propositions dans l’une, et les ensembles dans l’autre.

Exercice 7On a vu la notation pour représenter la relation d’inclusion, ainsi que

celle d’équivalence.Il existe aussi une notation pour représenter les deux autres relations,

pourtant elle est très rarement utilisée :

« 𝐴 rencontre 𝐵 » 𝐴 G 𝐵

« 𝐴 et 𝐵 sont disjoints » 𝐴 G 𝐵

« 𝐴 est inclus dans 𝐵 » 𝐴 ⊂ 𝐵

« 𝐴 équivaut à 𝐵 » 𝐴 = 𝐵

Normalement, les relations « se rencontrer » et « être disjoints » sontreprésentées en utilisant une combinaison des autres symboles vus au cours.

Exprimez donc ces deux relations en utilisant la notation vue aujourd’hui.

Exercice 8Floride, États Unis, 7 novembre 2000. Les élections présidentielles voient

George W. Bush et Al Gore comme candidats principaux, très proches dansles sondages. Une bavure dans la diffusion de ces sondages, interdite avant lafermeture des urnes, suscite un scandale au niveau nationale.



Les faits : dix des comtés en Floride (les Pan-handle counties) font partie du fuseau horaire ducentre du pays, et ferment leurs bureaux de voteune heure après le reste de l’état. Certaines chaînesde télévision révèlent les prévisions des sondages,favorables à Gore, 12 minutes avant la fermeturedes opérations de vote dans le Panhandle.

Selon certains commentateurs, cette transgres-sion fait perdre des voix à Bush : l’économiste JohnLott détermine, dans un étude quantitative compa-rant les résultats de 2000 avec ceux des précédentesélections, que Bush aurait perdu au moins 10000votes dans les Panhandle counties, un nombre quiaurait pu être déterminant dans un état crucialecomme la Floride.

Données ultérieures sur le Panhandle :— Nombre d’électeurs inscrits : 303000— Horaire des bureaux de vote : 07:00 – 19:00— Heure de diffusion des sondages : 18:48— Électeurs potentiels de Bush : 66%— Électeurs suivant les news régulièrement : 20%— Électeurs changeant leur vote selon les sondages : 10% (Jackson, 1983)Sur base de ces données, proposer une estimation par excès du nombre

de votes que Bush aurait pu perdre, en suivant cette trace :1. Représenter l’ensemble des votants qui auront pu changer leur vote

au désavantage de Bush (en votant Gore), en utilisant un diagrammede Venn.

2. Estimer le nombre de votants qui font partie de cet ensemble.


Chapitre 3

Logique des propositions

La logique des propositions :— est fondamentale pour construire des raisonnements valides ;— est le « ciment » qui tient ensemble toute construction mathématique ;— permet de mieux comprendre la théorie de la probabilité (STAT-

D103) ;— est à la base de l’informatique (INFO-D203) ;— est indispensable pour gérer des bases des données.

3.1 Propositions et valeurs de véritéOn a déjà vu une première définition de proposition : une phrase dont

on peut se demander si elle est vraie ou fausse.On a établi aussi le principe de bivalence : dans la logique « classique »

qu’on voit ici, une proposition est soit vraie soit fausse.Il y a deux conventions principales pour indiquer la valeur de vérité d’une

proposition.

Langage Logique classique Algèbre de Boolefrançais anglais

vrai V T 1faux F F 0

Dans ce cours on va adopter la notation de George Boole (1815-1864).On indique donc l’ensemble des valeurs de vérité possibles comme

B = 0, 1,et on lit 1 vrai et 0 faux.

28


B est l’ensemble des valeurs booléennes.Une variable 𝑎 qui a des valeurs en B est une variable booléenne :

𝑎 ∈ B.

3.1.1 Structure d’une proposition : singulière vs. géné-rale

En logique des prédicats (Ch. 4), les propositions lient un sujet avecun prédicat, moyennant le verbe « être » (la copule).

sujet – copule – prédicat

Sur base du sujet, on distingue entre :— propositions singulières : le sujet est un terme singulier

« Socrate est un philosophe »— propositions générales : le sujet est un terme générale

« Tout philosophe est un homme »,« Certains hommes sont des philosophes »

Dans les deux cas, le prédicat est un terme générale.

Remarque 3.1. La copule peut être implicite : « Socrate nage » signifie :« Socrate est un nageant ».

Dans la théorie des ensembles (Ch. 2), une proposition singulière est unerelation d’appartenance, définie entre un élément et un ensemble, par exemple« 𝑥 est un 𝑃 » :

𝑥 ∈ 𝑃,

tandis que une proposition générale représente une relation entre deuxensembles, par exemple « tout S est un P » :

𝑆 ⊂ 𝑃.



3.2 NégationLes opérateurs entre variables booléennes sont dits des connecteurs, ou

opérateurs logiques, et définis par leur table de vérité.La négation est un connecteur, ou opérateur logique, unaire, c’est-à-

dire caractérisé par un seul opérande :

¬𝑎.— La négation d’une proposition vraie est fausse.— La négation d’une proposition fausse est vraie.

Notation. Si 𝑎 est une proposition, on indique sa négation ainsi : ¬𝑎. Nota-tions alternatives : ∼ 𝑎, 𝑎.

Exemple :𝑎 = “Socrate est un philosophe” est vraie (𝑎 = 1)

Donc

¬𝑎 = “Socrate n’est pas un philosophe” est fausse (¬𝑎 = 0)

Évidemment : si je définis 𝑏 = ¬𝑎 = 0, j’aurais ¬𝑏 = 𝑎 = 1.

3.2.1 Singulières : négation

La négation d’une proposition singulière est banale : il suffit de remplacer« est » (∈) avec « n’est pas » (/∈).

𝑎 ¬𝑎Socrate est un poisson Socrate n’est pas un poisson

𝑥∈𝑃 𝑥/∈𝑃

3.2.2 Double négation

La négation d’une négation nous rend la valeur originale

𝑎 ¬𝑎 ¬(¬𝑎)1 0 10 1 0



3.3 Connecteurs binairesLes opérateurs suivants rendent une valeur booléenne sur base des valeurs

de deux opérandes :

nom notation on lit significationConjonction 𝑎 ∧ 𝑏 𝑎 et 𝑏 𝑎 et 𝑏 sont vraies ;

Disjonction 𝑎 ∨ 𝑏 𝑎 ou 𝑏𝑎 est vraie, ou 𝑏 estvraie, ou les deux ;

Implication 𝑎⇒ 𝑏 𝑎 implique 𝑏si 𝑎 est vraie, alors 𝑏l’est aussi.

Équivalence 𝑎⇔ 𝑏 𝑎 équivaut à 𝑏𝑎 et 𝑏 ont la même va-leur.

3.3.1 Tables de vérité

Chaque connecteur est défini par sa table de vérité : les premières co-lonnes de la table dénombrent toutes les éventualités, c’est-à-dire toutes lescombinaisons possibles des valeurs de vérité des opérandes (variables indé-pendantes), une par ligne. La dernière colonne liste les valeurs de véritécorrespondantes du connecteur. Par exemple, pour la négation :

𝑎 ¬𝑎1 00 1

En général, le nombre d’éventualités avec 𝑛 variables correspond aunombre de parties d’un diagramme de Venn à 𝑛 ensembles. Dans le cas dela négation : un seul opérande, donc deux éventualités possibles (1, 0), cor-respondant aux deux parties de l’univers dans un diagramme de Venn à unensemble (Fig. 3.1).

Avec deux variables, on a quatre éventualités ; avec deux ensembles on a4 parties de l’univers (Fig. 3.2).

3.3.2 Conjonction

La conjonction est un opérateur binaire qui correspond à la conjonctionet dans le discours, dans le sens de à la fois.

La conjonction 𝑎 ∧ 𝑏 entre deux propositions 𝑎 et 𝑏 est une propositionqui est vraie si et seulement si, à la fois, 𝑎 est vraie et 𝑏 est vraie. Cette fois



𝑥 ∈ 𝐴

10

(a) Une variable 𝑎 : 2 éventualités.

A

ΩA

A

0

1

(b) Un ensemble 𝐴 : 2 parties.

Figure 3.1 – Éventualités pour une variable.

𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵

1 11 00 10 0

(a) Deux variables 𝑎 et 𝑏 : 4 éventualités.

A B

ΩA ∩B

A ∩B A ∩B A ∩B

0 0

1 0 1 1 0 1

(b) Deux ensemble 𝐴 et 𝐵 : 4 parties.

Figure 3.2 – Éventualités pour deux variables.



on a 2 opérandes, chacune pouvant prendre 2 valeurs, donc on doit énumérer2× 2 = 4 éventualités (Fig 3.2).

Notation. 𝑎 ∧ 𝑏. Notations alternatives : 𝑎 · 𝑏, 𝑎𝑏, 𝑎&𝑏.

𝑎 𝑏 𝑎 ∧ 𝑏

1 1 11 0 00 1 00 0 0

3.3.3 Disjonction

La disjonction est un opérateur binaire qui correspond à la conjonctionou dans le discours, dans sons sens inclusif.

La disjonction 𝑎∨ 𝑏 entre deux propositions 𝑎 et 𝑏 est une proposition quiest vraie si au moins une entre 𝑎 et 𝑏 est vraie.

Notation. 𝑎 ∨ 𝑏. Notations alternatives : 𝑎+ 𝑏, 𝑎|𝑏.

𝑎 𝑏 𝑎 ∨ 𝑏

1 1 11 0 10 1 10 0 0

3.3.4 Implication

Pour comprendre cet opérateur, on peut imaginer une liaison de cause àeffet entre 𝑎 et 𝑏, où 𝑏 est vraie chaque fois que 𝑎 est vraie, alors 𝑎 ⇒ 𝑏 estvraie.

Mais la vérité de la proposition 𝑎⇒ 𝑏 ne signifie pas que 𝑎 cause 𝑏 ! ! !— Notation : 𝑎⇒ 𝑏— On lit : 𝑎 implique 𝑏— Dans le discours :

— si 𝑎 alors 𝑏— 𝑏 si 𝑎— 𝑎 seulement si 𝑏— 𝑎 est une condition suffisante pour 𝑏



— 𝑏 est une condition nécessaire pour 𝑎

𝑎 𝑏 𝑎⇒ 𝑏

1 1 11 0 00 1 10 0 1

3.3.5 Équivalence

L’opérateur d’équivalence 𝑎⇔ 𝑏 peut être défini comme une implicationmutuelle : à la fois 𝑎 implique 𝑏 et 𝑏 implique 𝑎.

Plus simplement, 𝑎 équivaut à 𝑏 si 𝑎 et 𝑏 ont la même valeur.— Notation : 𝑎⇔ 𝑏— On lit :

— 𝑎 est équivalent à 𝑏— 𝑎 si et seulement si 𝑏 (abrégé ssi)— 𝑎 est une condition nécessaire et suffisante pour 𝑏

𝑎 𝑏 𝑎⇔ 𝑏

1 1 11 0 00 1 00 0 1

3.4 Évaluer une fonction à l’aide des tables devérité

En utilisant connecteurs et variables, on peut écrire des propositions com-posées arbitraires, dont on peut évaluer la fonction de vérité en remplissantla table de vérité correspondante.

Par convention, on utilise toujours des parenthèses pour entourer un opé-rande binaire et ses opérateurs (mais on peut laisser tomber les plus externes).

Par exemple :

¬(𝑎 ∨ 𝑏) ∧ (𝑎⇒ 𝑏)

est une proposition, dont on peut évaluer la vérité en fonction des valeursde 𝑎 et 𝑏

Pour remplir la table, en pratique :



𝑎 ¬𝑎 ¬(¬𝑎)1 0 10 1 0

Table 3.1 – Exemple : double négation. On voit ainsi facilement que ¬(¬𝑎) =𝑎.

𝑎 ¬𝑎 𝑎 ∨ ¬𝑎1 0 10 1 1

Table 3.2 – Exemple : tiers-exclu. On peut définir ce principe comme fonc-tion unaire ainsi : 𝑎 ∨ ¬𝑎.

— on écrit, en utilisant autant de colonnes que de variables utilisées,toutes les combinaisons possibles des variables (qui sont les opérateursde notre fonction)

— on écrit, dans les colonnes qui suivent, les valeurs de vérité des opé-rateurs utilisées, en allant du niveau plus « bas » vers celui le plus« haut » ;

— jusqu’à arriver, dans la dernière colonne à droite, à écrire la fonctionde vérité de la proposition entière.

La valeur de vérité des fonctions vues jusqu’à ici dépendait des valeurs devérité de ses variables : elles étaient des exemples de fonctions contingentes.

Voici par contre en Table 3.2, une fonction qui est toujours vraie : uneloi logique. C’est le principe du tiers-exclu : 𝑎 ∨ ¬𝑎 est toujours vraie. End’autres mots : au moins une des deux options entre 𝑎 et ¬𝑎 doit être vraie.

Essayons avec 𝑎 ∧ ¬𝑎 (Table 3.3). Voici une fonction qui est toujoursfausse : une contradiction.

Par la définition de négation : en niant une contradiction on obtient uneloi logique. On va donc rapidement écrire ¬(𝑎 ∧ ¬𝑎) (Table 3.4). C’est leprincipe de non-contradiction : 𝑎 et ¬𝑎 ne peuvent pas être simultanémentvraies.

𝑎 ¬𝑎 𝑎 ∧ ¬𝑎1 0 00 1 0

Table 3.3 – Exemple : contradiction



𝑎 ¬𝑎 𝑎 ∧ ¬𝑎 ¬(𝑎 ∧ ¬𝑎)1 0 0 10 1 0 1

Table 3.4 – Exemple : non-contradiction.

𝑎 ¬𝑎 𝑎 ∨ ¬𝑎 ¬(𝑎 ∧ ¬𝑎) (𝑎 ∨ ¬𝑎) ∧ ¬(𝑎 ∧ ¬𝑎)1 0 1 1 10 1 1 1 1

Table 3.5 – Exemple : bivalence.

Par la définition de conjonction, la conjonction de deux lois est aussi uneloi.

La conjonction du tiers-exclu et de la non-contradiction donne ainsi unenouvelle loi, que l’on connaît comme principe de bivalence (Table 3.5) :

(𝑎 ∨ ¬𝑎) ∧ ¬(𝑎 ∧ ¬𝑎).En mots : une proposition est soit vraie soit fausse.On peut définir l’équivalence comme une double implication, en utilisant

l’implication et la conjonction, ainsi : (𝑎 ⇒ 𝑏) ∧ (𝑏 ⇒ 𝑎) (Tableau 3.6). Onvoit que la dernière colonne correspond à (𝑎⇔ 𝑏).

3.4.1 L’arbre des éventualités

Sans besoin de les mémoriser, on peut écrire les éventualités dans le bonordre, sans en oublier, en dessinant l’arbre des éventualités (Fig 3.3).

Avec 3 variables, on obtient 8 éventualités (Figure 3.4).En général, avec 𝑛 ∈ N variables on aura :

𝑎 𝑏 𝑎⇒ 𝑏 𝑏⇒ 𝑎 (𝑎⇒ 𝑏) ∧ (𝑏⇒ 𝑎)

1 1 1 1 11 0 0 1 00 1 1 0 00 0 1 1 1

Table 3.6 – Exemple : équivalence



a b

a = 1

a = 0

b = 1

b = 1

b = 0

b = 0

a b1 11 00 10 0

Figure 3.3 – Arbre des éventualités pour deux variables.

a b c

a = 1

a = 0

c = 0

b = 1c = 1

c = 1

c = 1

c = 1

b = 1

c = 0

c = 0

c = 0

b = 0

b = 0

a b c1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0

Figure 3.4 – L’arbre des éventualités pour trois variables booléennes, et latable correspondante.



¬(a ∨ b) ∧ (a ⇒ b)

¬(a ∨ b) (a ⇒ b)

a ∨ b

a b

a b

Figure 3.5 – Arbre syntaxique pour l’exemple 3.1.

𝑎 𝑏 𝑎 ∨ 𝑏 ¬(𝑎 ∨ 𝑏) 𝑎⇒ 𝑏 ¬(𝑎 ∨ 𝑏) ∧ (𝑎⇒ 𝑏)

1 1 1 0 1 01 0 1 0 0 00 1 1 0 1 00 0 0 1 1 1

Table 3.7 – Table de vérité pour l’exemple 3.1.

𝑛 fois⏞ ⏟ 2× 2× 2 · · · × 2,

soit 2𝑛 éventualités.

3.4.2 L’arbre syntaxique

Dans ce cas le but de l’arbre est de représenter la structure d’une pro-position complexe : deux branches pour les opérateurs binaires, une branchepour la négation.

¬(𝑎 ∨ 𝑏) ∧ (𝑎⇒ 𝑏) (3.1)

Selon sa fonction de vérité, une formule peut être une :— Loi logique : vraie pour toute éventualité ;— Contradiction : fausse pour toute éventualité ;— Formule contingente : parfois vraie, parfois fausse, selon l’éventua-

lité.



Ensembles Propositions Venn

(𝐴 ∩𝐵 = ∅)A B

Ω

(𝐴 ∩𝐵 = ∅) ((𝑥 ∈ 𝐴) ⇒ (𝑥 /∈ 𝐵))A B

Ω

(𝐴 ⊂ 𝐵) ((𝑥 ∈ 𝐴)⇒ (𝑥 ∈ 𝐵))A B

Ω

(𝐴 = 𝐵) ((𝑥 ∈ 𝐴)⇔ (𝑥 ∈ 𝐵))A B

Ω

Table 3.8 – Logique et théorie des ensembles : relations.

3.5 Logique et ensemblesMaintenant qu’on connaît la logique des propositions, on peut réécrire les

définitions des relations et opérateurs entre ensembles de façon plus formelle(Tables 3.8, 3.9).

Rappel de notation : on écrit ¬(𝑥 ∈ 𝐴) ainsi : (𝑥 /∈ 𝐴)

Exercice 9Question d’examen 01/2015 [3pt].L’interface d’une base de données sur l’ensemble 𝐾 des individus résidant

en Belgique définit les fonctions suivantes pour chaque 𝑘 ∈ 𝐾 :𝑏(𝑘) est une valeur booléen qui vaut 1 si 𝑘 est de nationalité Belge ;𝑐(𝑘) est une valeur booléen qui vaut 1 si 𝑘 est inscrit au CPAS ;𝑠(𝑘) est un nombre naturel entre 1 et 4, qui indique le niveau scolairede 𝑘 (0 aucun, 1 primaire, 2 secondaire, 3 supérieur) ;𝑦(𝑘) est l’année de naissance de 𝑘.



Ensembles Propositions Venn

𝐴 = 𝑥 ∈ Ω | 𝑥 /∈ 𝐴A

Ω

A

𝐴 ∩𝐵 = 𝑥 ∈ Ω | (𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵)A B

Ω

A ∩B

𝐴 ∪𝐵 = 𝑥 ∈ Ω | (𝑥 ∈ 𝐴) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵)A B

Ω

A ∪B

𝐴 ∖𝐵 = 𝑥 ∈ Ω | (𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 /∈ 𝐵)A B

Ω

A \B

Table 3.9 – Logique et théorie des ensembles : opérateurs.



À l’aide de ces fonctions, définir en compréhension les ensembles d’individussuivants :

1. les Belges ayant entre 40 et 45 ans qui sont inscrits au CPAS ;2. les individus inscrits au CPAS ayant fait au moins des études secon-

daires ;3. les étrangers avec un niveau scolaire supérieur et les Belges avec un

niveau au moins secondaire.Pour les conditions d’âge, considérer seulement l’année de naissance (ex : lesnés en 2000 auront 15 ans en 2015).

Exemples :— L’ensemble des Belges résidant en Belgique : 𝐵 = 𝑘 ∈ 𝐾 | 𝑏(𝑘).— L’ensemble des Belges résidant en Belgique non inscrits au CPAS :

𝐵 = 𝑘 ∈ 𝐾 | 𝑏(𝑘) ∧ (¬𝑐(𝑘)).


Chapitre 4

Logique des prédicats

4.1 Négation des propositions générauxNier une proposition singulière tel que « Socrate est un philosophe » est

banal. On a vu des autres exemples, des propositions générales, telles que« Tout philosophe est un homme », ou « Aucun homme n’est un âne ». Com-ment nier ceux-ci ? Exemples :

Proposition : Tous les cygnes sont blancs.Négation : Il existe (au moins) un cygne qui n’est pas blanc.

Proposition : Aucune poule n’a des dents.Négation : Il existe (au moins) une poule qui a des dents.

Notre confusion dérive du fait que, pour les propositions contenant destermes généraux, négation et contraire sont deux concepts différents.

Pour nier une proposition universelle, qui affirme donc une propriétécommune à tous les éléments d’un ensemble, il suffit d’affirmer l’existenced’un seul contre-exemple, un seul élément de l’ensemble pour lequel la pro-priété en question n’est pas vérifiée.

Par contre, si je veux exprimer le contraire de la même proposition,je dois affirmer que la propriété n’est vérifiée pour aucun des éléments del’ensemble.

Proposition : Toutes les poules ont des dents.Négation : Certaines poules n’ont pas de dents.

Contraire : Aucune poule n’a des dents.

Dans le cas d’une proposition singulière, la négation est bien égale aucontraire.

42


Proposition : Socrate est un philosopheNégation/Contraire : Socrate n’est pas un philosophe

4.2 Structure d’une propositionPour mieux comprendre la différence entre négation et contraire, on doit

« démonter » la proposition et examiner sa structure : on sort donc de lalogique des propositions, pour faire un détour dans la logique des prédicats.

Déjà Platon considère la structure minimale d’une proposition commecontenant un sujet et un verbe. Par exemple : « Les poissons nagent ».

À partir d’Aristote, on définit une proposition comme l’union d’un sujetet d’un prédicat, par une copule, le verbe être. On peut toujours représenterune proposition sous cette forme, même si ce n’est pas très élégant : parexemple on peut dire « Les poissons sont des nageants ».

On peut classifier les propositions générales du type sujet-copule-predicatselon deux aspects : quantité et qualité

La quantité donne une information sur l’extension du sujet : on peutdistinguer entre propositions

— universelles : qui donnent une information valide pour tous les élé-ments d’un ensemble, par exemple « tous les philosophes sont deshommes », ou « aucune poule n’a des dents » ;

— particulières : qui donnent une information valide pour certains (aumoins un) des éléments d’un ensemble, par exemple « certains hommessont des philosophes », ou « certains cygnes ne sont pas blancs ».

La qualité dépend tout simplement de la copule utilisée :— affirmatives : si la copule est « est », par exemple « tous les phi-

losophes sont des hommes », ou « certains hommes sont des philo-sophes » ;

— négatives : si la copule est « n’est pas », par exemple « aucune poulen’a des dents », ou « certains cygnes ne sont pas blancs ».

On a donc 2 critères, chacun prenant 2 valeurs possibles, ce qui nous fait22 = 4 combinaisons possibles (Table 4.1).

4.3 Les quatre formesOn peut donc définir 4 formes possibles de propositions générales. Par

convention, elles sont indiquées par les quatre premières voyelles, a, e, i, o :



QualitéAffirmative Négative

Quan

tité

Univ

erse

lle

Tout S est P Aucun S n’est P

Par

ticu

lièr

e

Au moins un S est P Au moins un S n’est pas P

Table 4.1 – Les quatre formes.

Quantité/Qualité Forme EnsemblesSaP Universelle affirmative Tous les 𝑆 sont des 𝑃 𝑆 ⊂ 𝑃

SeP Universelle négative Aucun 𝑆 n’est un 𝑃 𝑆 ⊂ 𝑃

SiP Particulière affirmative Au moins un 𝑆 est un 𝑃 𝑆 ∩ 𝑃 = ∅SoP Particulière négative Au moins un 𝑆 n’est pas un 𝑃 𝑆 ∩ 𝑃 = ∅

Table 4.2 – Les quatre formes de proposition.

Quantité et Qualité Exemplea Universelle affirmative Tous les cygnes sont blancse Universelle négative Aucun cygne n’est blanci Particulière affirmative Au moins un cygne est blanco Particulière négative Au moins un cygne n’est pas blanc

Si on appelle l’ensemble des cygnes 𝑆 et l’ensemble des blancs 𝑃 , commeen Table 4.1, on peut exprimer ces quatre formes comme des relations entreensembles (Table 4.2).

Ces formes sont générales, on peut remplacer 𝑆 et 𝑃 par n’importe quelpaire d’ensembles et formuler des propositions qui décrivent leur relation.

Définition d’ensemble en compréhension : soit Ω un univers, et A(𝑥) uneproposition, affirmant ou niant une propriété d’un élément 𝑥 de l’univers. Onpeut définir l’ensemble des 𝑥 tel que A(𝑥) est vraie :

𝐴 = 𝑥 ∈ Ω | A(𝑥)



(𝐴 ⊂ 𝐵) ((𝑥 ∈ 𝐴)⇒ (𝑥 ∈ 𝐵)) (A(𝑥)⇒ B(𝑥)) A B

Ω

(𝐴 = 𝐵) ((𝐴 ⊂ 𝐵) ∧ (𝐵 ⊂ 𝐴)) (A(𝑥)⇔ B(𝑥)) A B

Ω

𝐴 𝑥 ∈ Ω | 𝑥 /∈ 𝐴 𝑥 ∈ Ω | ¬A(𝑥) A

Ω

A

𝐴 ∩𝐵 𝑥 ∈ Ω | 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ Ω | A(𝑥) ∧B(𝑥) A B

Ω

A ∩B

𝐴 ∪𝐵 𝑥 ∈ Ω | (𝑥 ∈ 𝐴) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵) 𝑥 ∈ Ω | A(𝑥) ∨B(𝑥) A B

Ω

A ∪B

𝐵 ∖ 𝐴 𝑥 ∈ Ω | (𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 /∈ 𝐴) 𝑥 ∈ Ω | B(𝑥) ∧ ¬A(𝑥) A B

Ω

A \B

Table 4.3 – 𝐴 = 𝑥 ∈ Ω | A(𝑥), 𝐵 = 𝑥 ∈ Ω | B(𝑥).

Exemples :Ω = N, A(𝑥) = (𝑥/2 ∈ N) pour définir les nombres pairs.Ω = bâtiments à Bruxelles, A(𝑥) = (𝑥 a trois étages).

Notation. Des parenthèses pour délimiter la proposition.

La logique des prédicats nous donne un autre regard sur les relations etles opérations entre ensembles : si un ensemble 𝐴 est défini en compréhensionpar la proposition A(𝑥), alors je peux remplacer (𝑥 ∈ 𝐴) avec A(𝑥).

Soit donc 𝐴 = 𝑥 ∈ Ω | A(𝑥), 𝐵 = 𝑥 ∈ Ω | B(𝑥), on peut réécrire lestables 3.8 et 3.9 ainsi (Table 4.3).

4.4 QuantificateursSoit P(𝑥) une proposition contenant le terme 𝑥 ∈ Ω, et Ω l’univers de

référence.On définit deux quantificateurs :— Quantificateur universel : Pour affirmer que P(𝑥) est vraie pour tous

les 𝑥, on écrit : ∀𝑥 ∈ Ω P(𝑥).— Quantificateur existentiel : Pour affirmer que P(𝑥) est vraie pour au

moins un 𝑥, on écrit : ∃𝑥 ∈ Ω P(𝑥)En outre :— Pour affirmer que P(𝑥) est vraie pour un et un seul 𝑥, on écrit :∃!𝑥 ∈ Ω P(𝑥)

— Pour affirmer que P(𝑥) n’est vraie pour aucun 𝑥, on écrit : @𝑥 ∈Ω P(𝑥).



Forme Ensembles PrédicatsSaP Tous les 𝑆 sont des 𝑃 𝑆 ⊂ 𝑃 ∀𝑥 ∈ Ω((𝑥 ∈ 𝑆)⇒ (𝑥 ∈ 𝑃 ))

SeP Aucun 𝑆 n’est un 𝑃 𝑆 ⊂ 𝑃 ∀𝑥 ∈ Ω((𝑥 ∈ 𝑆)⇒ (𝑥 /∈ 𝑃 ))

SiP Au moins un 𝑆 est un 𝑃 𝑆 ∩ 𝑃 = ∅ ∃𝑥 ∈ Ω((𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ))

SoP Au moins un 𝑆 n’est pas un 𝑃 𝑆 ∩ 𝑃 = ∅ ∃𝑥 ∈ Ω((𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 /∈ 𝑃 ))

Table 4.4 – Les quatre formes dans la logique des prédicats.

Tous les S sont des P𝑆 ⊂ 𝑃

𝑆 ∩ 𝑃 = ∅∀𝑥 ∈ Ω((𝑥 ∈ 𝑆)⇒ (𝑥 ∈ 𝑃 ))

Ω

S P

Figure 4.1 – Universelle affirmative.

Les quantificateurs nous donnent une expression alternative pour lesquatre formes (Table 4.4).

Exercice 10Représenter les relations entre ensembles en utilisant les quantificateurs

∀, ∃, @, et la notation de la logique des propositions, en liant les propositions𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ∈ 𝐵.

4.5 Formes et diagrammes de VennSi la notation nous donne mal à la tête, on peut toujours s’aider avec les

diagrammes de Venn : voir figures de 4.1 à 4.4.

4.6 Inférences immédiates et carré logiqueVoyons maintenant les liaisons entre les quatre formes de proposition

(Table 4.5).Pour illustrer les relations entre ces quatre formes on utilise le carré

logique (Figure 4.5).



Aucun S n’est un P𝑆 ⊂ 𝑃

𝑆 ∩ 𝑃 = ∅∀𝑥 ∈ Ω((𝑥 ∈ 𝑆)⇒ (𝑥 /∈ 𝑃 ))

Ω

S P

Figure 4.2 – Universelle négative

Au moins un S est un P𝑆 ∩ 𝑃 = ∅

∃𝑥 ∈ Ω((𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ))

Ω

S P

Figure 4.3 – Particulière affirmative

Au moins un S n’est pas un P𝑆 ∩ 𝑃 = ∅

∃𝑥 ∈ Ω((𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 /∈ 𝑃 ))

Ω

S P

Figure 4.4 – Particulière négative

𝑎, 𝑒 sont contraires, ne pouvant pas être vraies au même temps ¬(𝑎 ∧ 𝑒)

𝑖, 𝑜 sont subcontraires, ne pouvant pas être fausses au même temps (𝑖 ∨ 𝑜)

𝑎, 𝑜 sont contradictoires : l’une est la négation de l’autre (𝑎⇔ ¬𝑜)𝑒, 𝑖 sont contradictoires : l’une est la négation de l’autre (𝑒⇔ ¬𝑖)𝑖, 𝑎 sont subalternes : si 𝑎, alors 𝑖 (𝑎⇒ 𝑖)

𝑒, 𝑜 sont subalternes : si 𝑒, alors 𝑜 (𝑒⇒ 𝑜)

Table 4.5 – Relations entre les quatre formes.



Ω

S P

SaP SeP

SiP SoP

Contraires

Subcontraires

Subaltern

es

Subaltern

es

Contradictoires

Contradictoires

¬(a ∧ e)

(i ∨ o)

(e⇒o)

(a⇒

i)

(a⇔¬o)

(¬i⇔e)

Ω

S P

Ω

S P

Ω

S P

Figure 4.5 – Carré logique, avec diagrammes de Venn et inférences immé-diates.

Forme Ensembles Prédicatsa Tous les 𝑆 sont des 𝑃 𝑆 ⊂ 𝑃 ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑥 ∈ 𝑃 )

e Aucun 𝑆 n’est un 𝑃 𝑆 ⊂ 𝑃 ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑥 /∈ 𝑃 )

i Au moins un 𝑆 est un 𝑃 𝑆 ∩ 𝑃 = ∅ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥∈𝑃 )

o Au moins un 𝑆 n’est pas un 𝑃 𝑆 ∩ 𝑃 = ∅ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 /∈ 𝑃 )

Table 4.6 – Vision ensembliste des quatre formes.



ObjetObjet Relation

Proposition

(a) Proposition, définie par une relation.

ObjetOperateur

Objet

(b) Objet défini par un opérateur unaire.

ObjetObjet Operateur

Objet

(c) Objet défini par un opérateur binaire.

Figure 4.6 – Distinction entre propositions (à gauche), définies par unerelation, et objets (à droite), définis moyennant un opérateur.

4.7 Le point sur la syntaxeEnsembles, propositions, nombres : tous exemples d’objets mathéma-

tiques qu’on peut combiner pour définir :— des propositions, exprimant des relations entre des objets— des nouveaux objets, à l’aide des opérateurs, unaires ou binaires

Remarque 4.1. La distinction entre propositions et objets n’est pas per-tinente dans la logique des propositions, car les objets étudiés dans cettediscipline sont des propositions, et donc le résultat des opérateurs est tou-jours une proposition.



Remarque 4.2. Il faut toujours faire attention aux parenthèses. Loin d’êtreune simple décoration, les parenthèses sont un élément intégrant du langagemathématique, et leur position peut changer complètement la significationd’une expression.

Comparez par exemple :

5(𝑥+ 1)vs.5𝑥+ 1

(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑟vs.𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟)

(𝐴 ∩𝐵) ∪ 𝐶vs.𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)

4.8 Structure des syllogismes— La conclusion lie un sujet, ou mineur, (S) à un prédicat, ou majeur

(P)— Les deux prémisses contiennent un autre terme, dit moyen (M)— La prémisse majeure lie le moyen (M) au sujet de la conclusion (S)— La prémisse mineure lie le moyen (M) au prédicat de la conclusion (P)

Tout M est un P Prémisse majeure Moyen M et prédicat PTout S est un M Prémisse mineure Moyen M et sujet S∴ Tout S est un P Conclusion Sujet : S, Prédicat : P

Notation. ∴ se lit donc.

4.8.1 Modes

— Chacune des trois propositions qui composent un argument peutprendre l’une des quatre formes possibles (a,e,i,o) ;

— On peut donc classifier les arguments selon les formes utilisées dansses trois propositions, en le marquant avec les trois lettres correspon-dantes, dans l’ordre ; par ex. aaa, aai, aio, eai, iao, oae, . . .

— 4 formes pour 3 propositions, donc 43 = 64 combinaisons possibles.

4.8.2 Figures

— Dans chacune des deux prémisses, le moyen terme (M) peut prendrele rôle de sujet, ou de prédicat, et ceci de façon indépendante



— On a : 2 places possibles dans 2 prémisses, donc 22 = 4 combinaisonspossibles, ou figures (Fig 4.7).

Figure M dans la majeure M dans la mineure1 Sujet (MxP) Prédicat (SxM)2 Prédicat (PxM) Prédicat (SxM)3 Sujet (MxP) Sujet (MxS)4 Prédicat (PxM) Sujet (MxS)

Table 4.7 – Figures possibles (𝑥 ∈ 𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜).

4.8.3 Structures possibles

On a donc 64 modes possibles et, indépendamment du mode, 4 figurespossibles, pour un total de 64 × 4 = 256 structures possibles pour un argu-ment.

aaa aae aai . . .1 MaP, SaM, SaP MaP, SaM, SeP MaP, SaM, SiP . . .2 PaM, SaM, SaP PaM, SaM, SeP PaM, SaM, SiP . . .3 MaP, MaS, SaP MaP, MaS, SeP MaP, MaS, SiP . . .4 PaM, MaS, SaP PaM, MaS, SeP PaM, MaS, SiP . . .

— La majorité de ces structures ne sont pas valides, donc ce ne sont pasdes syllogismes !

— Certaines modes ne sont jamais valides : seulement 14 des 64 possiblessont concluants

— Toutes les figures des modes concluants ne forment pas des syllogismes.Seules 24 des 14× 4 = 256 combinaisons possibles sont valides.

4.9 Valider un argument à l’aide des diagrammesde Venn

Comment reconnaître une structure valide ? On peut— apprendre les 24 syllogismes par coeur ;— apprendre les règles de validité (PHILD101) ;— apprendre à utiliser les diagrammes de Venn.



𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ∈𝑀 𝑥 ∈ 𝑃

1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0

S P

ΩS ∩M ∩ P

S ∩M ∩ P

0 0 0M

S ∩M ∩ P

S ∩M ∩ P S ∩M ∩ P

S ∩M ∩ P

S ∩M ∩ P

S ∩M ∩ P

0 1 0

1 1 0

1 1 1

0 1 1

0 0 1

1 0 1

1 0 0

Figure 4.7 – Diagramme de Venn à trois ensembles, et table des éventua-lités correspondante. Chaque ligne de la table correspond à une partie dudiagramme.

Avec trois ensembles, on a 23 = 8 éventualités, donc 8 parties de l’univers(Figure 4.7). Exemples : voir slides annotées (leçon 3) et exercices.

Pour déterminer la validité d’un argument, on peut procéder ainsi :— Identifier 𝑆 et 𝑃 (sujet et prédicat) dans la conclusion.— Identifier 𝑃 dans l’une et 𝑆 dans l’autre des deux prémisses.— Identifier 𝑀 (troisième terme, présent dans les deux prémisses, mais

pas dans la conclusion)— Identifier les formes des trois propositions— Marquer la conclusion sur un diagramme de Venn à deux ensembles,

𝑆 et 𝑃 .— Marquer les deux prémisses sur un diagramme de Venn à trois

ensembles.— Comparer le diagramme de la conclusion avec celui des prémisses.L’argument est valide si, et seulement si, la conclusion ne peut pas être

fausse si les prémisses sont vraies.

Remarque 4.3. Si nécessaire, on peut toujours faire l’hypothèse qu’il existeau moins un élément dans chacun des trois ensembles, 𝑆, 𝑀 et 𝑃 . Ça peutêtre utile si la conclusion est une particulière (voir TP 3, ex. 2.3).



Remarque 4.4. Chaque partie d’un diagramme à deux ensembles est diviséeen deux parties dans le diagramme à trois ensembles. Si on doit marquerune particulière dans le diagramme à trois ensembles, et les deux partiesde la région où le X se trouve ne sont pas vides, on est dans une situationd’indécidabilité : on sait que une de ces deux parties contient le X, mais onne sait pas laquelle. Dans ce cas, on marque le X sur la frontière entre lesdeux parties concernées (voir TP 3, ex. 2.2.). Si la première prémisse estparticulière, et la seconde universelle, il vaut donc mieux commencer parl’universelle.

4.9.1 Exemple : 1ère figure, aaa

Tout ce qui nage est un poisson.Tout philosophe nage.∴ Tout philosophe est un poisson.

1. Identifier 𝑆 et 𝑃 (sujet et prédicat) dans la conclusion : ici, 𝑆 estl’ensemble des philosophes, 𝑃 l’ensemble des poissons.

2. Identifier 𝑃 dans l’une et 𝑆 dans l’autre des deux prémisses.3. Identifier 𝑀 : l’ensemble des « nageants ».4. Identifier les formes des trois propositions.

Tout 𝑀 est un 𝑃 . Universelle affirmative (MaP)Tout 𝑆 est un 𝑀 . Universelle affirmative (SaM)∴ Tout (𝑆) est un (𝑃 ). Universelle affirmative (SaP)

5. Marquer la conclusion sur un diagramme de Venn à deux ensembles,𝑆 et 𝑃 . Universelle affirmative (SaP) : noircir la partie vide, 𝑆 ∖ 𝑃 .

6. Marquer les deux prémisses sur un diagramme de Venn à troisensembles. Les deux (MaP, SaM) sont universelles affirmatives, ondoit donc noircir les parties vides, 𝑀 ∖ 𝑃 et 𝑆 ∖𝑀 , respectivement.

7. Comparer le diagramme de la conclusion avec celui des prémisses.Dans ce cas (Fig. 4.8) la conclusion est déjà marquée. Donc elle nepeut pas être fausse si les prémisses sont vraies. Donc l’argument estVALIDE, mais PAS VRAI (∃ pinguin).



Tout 𝑀 est un 𝑃 . MaPTout 𝑆 est un 𝑀 . SaM∴ Tout 𝑆 est un 𝑃 . SaP

Ω

S P S P

ΩM

Figure 4.8 – Exemple : 1ère figure, aaa. Argument valide mais faux.

Aucun 𝑀 n’est un 𝑃 . MePTout 𝑆 est un 𝑀 . SaM∴ Aucun 𝑆 n’est un 𝑃 . SaP

Ω

S P S P

ΩM

Figure 4.9 – Exemple : 1ère figure, eae. Argument valide et vrai.

4.9.2 Exemple : 1ère figure, eae

Aucun homme n’est un âne.Tous les philosophes sont des hommes.∴ Aucun philosophe n’est un âne.

Après avoir marqué les prémisses (Fig. 4.9), 𝑆 ∩ 𝑃 est déjà noirci, doncla conclusion ne peut pas être fausse si les prémisses sont vraies : valide. Lesprémisses sont vraies, donc l’argument est aussi vrai.



Tout 𝑃 est un 𝑀 . PaMTout 𝑆 est un 𝑀 . SaM∴ Tout 𝑆 est un 𝑃 . SaP

Ω

S P S P

ΩM

Figure 4.10 – Exemple : 2ème figure, aaa. Argument invalide.

4.9.3 Exemple : 2ème figure, aaa

Tout philosophe est un homme.Tout Socratique est un homme.∴ Tout Socratique est un philosophe.

Selon la conclusion (SaP) la partie 𝑆 ∖𝑃 doit être vide (noircie). Ce n’estpas le cas (Fig. 4.10), donc la conclusion peut être fausse (il peut y avoir des𝑆 qui ne sont pas des 𝑃 ).

Ce n’est donc pas valide (même si chaque proposition est vraie).

4.9.4 Exemple : 2ème figure, eio

Aucun chat ne nage.Certains félins nagent.∴ Certains félins ne sont pas des chats.

Selon la conclusion (SoM) la partie 𝑆 ∖ 𝑃 n’est pas vide (il y a un X).C’est bien le cas après avoir marquées les prémisses, donc la conclusion nepeut pas être fausse si les prémisses sont vraies (Fig. 4.11). C’est donc valide.Les prémisses sont vraies, c’est donc aussi vrai (en effet, il y a des tigres).



Aucun 𝑃 n’est un 𝑀 . PeMCertains 𝑆 sont des 𝑀 . SiM∴ Certains 𝑆 ne sont pas des 𝑃 . SoP

Ω

S P S P

ΩM

Figure 4.11 – Exemple : 2ème figure, eio. Argument valide et vrai.

4.9.5 Remarques

Remarque 4.5. Pour les arguments, utiliser toujours les lettres 𝑆, 𝑃 , 𝑀 ,dans le bon ordre (sujet, prédicat, moyen terme) : ça simplifie les correctionset réduit la possibilité de faire des erreurs.

Remarque 4.6. Chaque partie d’un diagramme à deux ensemble est partagéultérieurement en deux dans le diagramme à trois ensemble, par la présencedu troisième ensemble :

— Pour marquer une universelle, il faut hachurer les deux parties concer-nées

— Pour marquer une particulière, il faut placer un X :— dans l’une des deux parties, si l’autre a déjà été hachurée— sur la frontière entre les deux parties, si aucune des deux a été

hachurée.



Remarque 4.7. Dans certaines structures invalides, les prémisses ne contre-disent pas la conclusion : en d’autres mots, la conclusion peut être vraie siles prémisses sont vraies Ceci n’est pas suffisant pour être valide ! Dansun syllogisme, la conclusion doit être vraie si les prémisses sont vraies. Çapeut sembler une subtilité, mais la différence entre pouvoir et devoir, dansce contexte comme dans d’autres, est énorme.

Par exemple :

Aucune chaise n’est une chaussure.Aucune chaise n’est un chapeau.∴ Tout chapeau est une chaussure.

Dans ce cas, les prémisses ne contredisent nullement la conclusion, quipeut bien être vraie si les prémisses le sont. Évidemment, elle ne doit pasl’être : l’argument est invalide.

Remarque 4.8. Dans un syllogisme, la vérité de la conclusion dépend uni-quement de la vérité des prémisses. Si, pour prouver la vérité de la conclusion,il faut rajouter des informations à celles incluses dans les prémisses, alors l’ar-gument n’est pas valide !

Par exemple :

Aucun poisson n’est un mammifèreAucun mammifère n’est un reptile∴ Aucun reptile n’est un poisson

Cet argument est invalide ! Tout le monde sait que reptiles et poissonssont deux ensembles disjoints, mais cette information ne se trouve nulle partdans les prémisses : et, sans cette information, la conclusion peut être vraie,mais elle ne doit pas l’être (voir remarque précédente).


Chapitre 5

Relations

5.1 Relations binairesIntuitivement : une relation ou correspondance entre (les éléments de)

deux ensembles 𝐴 et 𝐵 peut être définie de façon graphique, par des flèchesqui relient des éléments de 𝐴 à des éléments de 𝐵.

Exemples : on peut définir la relation « . . . connaît . . . » entre l’ensembledes étudiants POLI1 et celui des POLI2 (dans le sens « connaît son prénomet lui dit bonjour »).

Ou bien la relation « . . . habite à . . . » entre l’ensemble des étudiantsPOLI1 et celle des communes en Belgique.

Remarque 5.1. On va continuer à utiliser 𝐴 et 𝐵, mais rien n’empêched’avoir 𝐴 = 𝐵. Par exemple, on peut redéfinir « . . . connaît . . . » entrePOLI1 et POLI1 même.

En alternative à la représentation graphique, on pourrait définir une re-lation en écrivant tous les couples d’éléments qui sont liés par elle.

Exemples : Alice connaît Antoine, Alice connaît Barbara, Bob connaîtAntoine, . . . ou bien Alice habite 1050, Bob habite 1050, Cécile habite 1040,. . .

De façon plus abrégée, on peut décrire ces deux relations ainsi :

connaît = (Alice, Antoine), (Alice, Barbara), (Bob, Antoine), . . . habite = (Alice, 1050), (Bob, 1050), (Cécile, 1040)

On reconnaît ici des ensembles, mais des ensembles de quoi ?

58


Source ABut B

R

Figure 5.1 – Un exemple de relation entre les éléments de deux ensembles𝐴 et 𝐵.

5.1.1 Couples

Chaque élément des relations qu’on a définies est composé d’un élémentde 𝐴 et un élément de 𝐵, dans cet ordre. En effet, l’ordre est souvent trèsimportant dans la définition d’une relation ! Alice connaît Barbara, qui saitsi Barbara connaît Alice ? Et surtout, Bob habite 1050, mais 1050 n’habitepas Bob. . .

Un objet de cette sorte (défini par deux objets dans un certain ordre)s’appelle un couple.

Par contre, un ensemble de deux objets où l’ordre ne compte pas s’appelleune paire.

On peut donc définir une relation de façon explicite, comme l’ensembledes couples pour lesquels elle est vraie.

Terminologie :

𝐴 source, ou ensemble de départ𝐵 but, ou ensemble d’arrivée



5.1.2 Produit cartésien

Une fois choisis 𝐴 et 𝐵, quelles relations peut-on imaginer entre leurséléments ? La fantaisie des mathématiciens n’a notoirement pas de limites :pour parler de toute relation possible, il faut d’abord pouvoir décrire toutcouple possible (𝑎, 𝑏), tel que 𝑎 ∈ 𝐴 et 𝑏 ∈ 𝐵.

L’ensemble de tous les couples (𝑎, 𝑏) possibles est le produit cartésienentre 𝐴 et 𝐵 :

𝐴×𝐵 = (𝑎, 𝑏) | (𝑎 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵) (5.1)

Si on connaît le cardinal (nombre d’éléments) de 𝐴 et celui de 𝐵, on peutfacilement trouver le cardinal de leur produit cartésien.

Rappelons que chaque élément de 𝐴 peut être en couple avec chaqueélément de 𝐵 : combien de couples différents peut-on former ?

C’est très intuitif, mais encore plus facile si on met une étiquette numé-rique à chaque élément (des indices) :

𝐴 = 𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎#(𝐴)𝐵 = 𝑏1, 𝑏2, . . . , 𝑏#(𝐵)

On peut ainsi procéder à construire tout couple possible de façon systéma-tique. D’abord, tout couple commençant par 𝑎1 : (𝑎1, 𝑏1), (𝑎1, 𝑏2), . . . , (𝑎1, 𝑏#(𝐵)),ça fait déjà #(𝐵) couples. Même chose pour 𝑎2, . . . , 𝑎#(𝐴).

Au final, on aura donc :

#(𝐴×𝐵) = #(𝐴)#(𝐵)

Par exemple, le produit cartésien entre ces deux ensembles :

𝐴 = Alice,Anissa,Antoine,Arthur𝐵 = Barbara,Belen,Bruno

comprend 4× 3 = 12 couples.



Barbara Belen BrunoAlice (Alice, Barbara) (Alice, Belen) (Alice, Bruno)

Anissa (Anissa, Barbara) (Anissa, Belen) (Anissa, Bruno)Antoine (Antoine, Barbara) (Antoine, Belen) (Antoine, Bruno)Arthur (Arthur, Barbara) (Arthur, Belen) (Arthur, Bruno)

On arrive au même résultat avec un arbre :

Arthur

Bruno (Arthur, Bruno)

Belen (Arthur, Belen)

Barbara (Arthur, Barbara)

Antoine

Bruno (Antoine, Bruno)

Belen (Antoine, Belen)

Barbara (Antoine, Barbara)

Anissa

Bruno (Anissa, Bruno)

Belen (Anissa, Belen)

Barbara (Anissa, Barbara)

Alice

Bruno (Alice, Bruno)

Belen (Alice, Belen)

Barbara (Alice, Barbara)

Remarque 5.2. Pour indiquer le produit cartésien d’un ensemble avec lui-même : 𝐴× 𝐴 = 𝐴2.

5.1.3 Relation comme ensemble

Une fois défini le produit cartésien, on voit facilement que chaque relationpossible en est un sous-ensemble. Par exemple :

— connaît ⊂ POLI1 × POLI1— habite ⊂ POLI1 × BE

Notation. On indique une relation R entre 𝑎 et 𝑏 ainsi : 𝑎R𝑏 ; ou bien R(𝑎, 𝑏).

On peut donc écrire :

𝑅 = (𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴×𝐵 | R(𝑎, 𝑏).



5.2 RéseauxUn réseau ou graphe est un objet mathématique, représentant les relations

entre les éléments d’un ensemble.— Les noeuds (ou sommets) représentent les éléments— Les liens (ou arcs) représentent la relationRéseau orienté

𝑎 𝑏

Le couple (𝑎, 𝑏) appartient à la relation : graphiquement, 𝑎 et 𝑏 sont unispar une arc.

Réseau non orienté

𝑎 𝑏

La paire 𝑎, 𝑏 appartient à la relation : graphiquement, 𝑎 et 𝑏 sont unispar une arête.

Un graphe (𝑆,𝐴) est donc défini par deux ensembles : l’ensemble 𝑆 deses sommets, et l’ensemble 𝐴 de ses arcs (si orienté), ou de ses arêtes (si nonorienté).

𝐴 est soit un ensemble de couples d’éléments de 𝑆 (si orienté), ou unensemble de paires (si non orienté).

5.2.1 Représentation matricielle

En alternative à l’ensemble de couples, on peut utiliser une matrice pourreprésenter les arcs d’un graphe orienté.

Dans une matrice, on appelle 𝑥𝑖,𝑗 l’élément à la 𝑖-ème ligne et 𝑗-èmecolonne.

Soit (S,A) un graphe avec #(𝑆) = 𝑁 sommets :Pour construire la matrice correspondante au graphe on doit :— étiqueter les sommets avec les indices de 1 à 𝑁— 𝑥𝑖,𝑗 = 1 s’il y a un lien du noeud 𝑖 au noeud 𝑗, c-à-d (𝑖, 𝑗) ∈ A

— 𝑥𝑖,𝑗 = 0 si (𝑖, 𝑗) /∈ A



1 2

3 4

𝑋 =

⎛⎜⎜⎜⎝0 1 1 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 0 1 0

⎞⎟⎟⎟⎠Figure 5.2 – Exemple : représentation matricielle d’un graphe orienté.

1 2

3 4

𝑋 =

⎛⎜⎜⎜⎝0 0 1 1

0 0 1 0

1 1 0 1

1 0 1 0

⎞⎟⎟⎟⎠Figure 5.3 – Exemple : représentation matricielle d’un graphe non orienté.

Le résultat sera une matrice carrée 𝑁 × 𝑁 , à valeurs booléennes, 𝑋 ∈M𝑁,𝑁(B) :

𝑋 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝𝑥1,1 𝑥1,2 · · · 𝑥1,𝑁

𝑥2,1 𝑥2,2 · · · 𝑥2,𝑁

...... . . . ...

𝑥𝑁,1 𝑥𝑁,2 · · · 𝑥𝑁,𝑁

⎞⎟⎟⎟⎟⎠Par convention, pour représenter un graphe non orienté, on utilise une

matrice symétrique, où

𝑥𝑖,𝑗 = 𝑥𝑗,𝑖 ∀(𝑖, 𝑗)La matrice est donc symétrique par rapport à sa diagonale 𝑥1,1, . . . , 𝑥𝑁,𝑁 .

5.2.2 Degré

Le degré est une propriété des sommets d’un graphe.— Dans un graphe non orienté : le degré d’un sommet est son nombre

d’arêtes— Dans un graphe orienté on distingue :

— le degré entrant (nombre d’arcs qui atteignent un sommet)— le degré sortant (nombre d’arcs qui sortent d’un sommet)



1 2

3 4

𝑋 =

𝑥𝑖,1 𝑥𝑖,2 𝑥𝑖,3 𝑥𝑖,4 𝑑(out)𝑖

𝑥1,𝑗 0 1 1 0 2

𝑥2,𝑗 0 0 1 1 2

𝑥3,𝑗 0 1 0 1 2

𝑥4,𝑗 0 0 1 0 1

𝑑(in)𝑗 0 2 3 2

Figure 5.4 – Exemple : degré dans un graphe orienté.

Le degré moyen est une propriété d’un graphe : c’est la moyenne du degréde ses sommets.

Dans la représentation matricielle d’un graphe orienté :— le degré entrant du node 𝑗 est la somme de la 𝑗-ème colonne :

𝑑(in)𝑗 =

𝑁∑𝑖=1

𝑥𝑖,𝑗

— le degré sortant du node 𝑖 est la somme de la 𝑖-ème ligne :

𝑑(out)𝑖 =

𝑁∑𝑗=1

𝑥𝑖,𝑗

Voir exemple en Fig. 5.4.Dans la représentation matricielle d’un graphe non orienté, le degré d’un

node 𝑖 est la somme de la 𝑖-ème ligne (ou colonne, c’est la même chose).

𝑑𝑖 =𝑁∑𝑖=1

𝑥𝑖,𝑗 =𝑁∑𝑗=1

𝑥𝑖,𝑗

Voir exemple en Fig. 5.5.

5.2.3 Réciprocité

Dans un graphe orienté, la relation entre deux sommets 𝑎 et 𝑏 est réci-proque ou symétrique si 𝑎→ 𝑏 et 𝑏→ 𝑎.

𝑎 𝑏



1 2

3 4

𝑋 =

𝑥𝑖,1 𝑥𝑖,2 𝑥𝑖,3 𝑥𝑖,4 𝑑𝑖

𝑥1,𝑗 0 0 1 1 2

𝑥2,𝑗 0 0 1 0 1

𝑥3,𝑗 1 1 0 1 3

𝑥4,𝑗 1 0 1 0 2

𝑑𝑗 2 1 3 2

Figure 5.5 – Exemple : degré dans un graphe non orienté.

1 2

3 4

𝑋 =

⎛⎜⎜⎜⎝0 1 1 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 0 1 0

⎞⎟⎟⎟⎠

1 2

3 4

𝑋rec =

⎛⎜⎜⎜⎝0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 0 1 0

⎞⎟⎟⎟⎠Figure 5.6 – Exemple : un graphe orienté (à gauche) et le graphe des rela-tions réciproques correspondant (à droite).

En représentation matricielle, on peut voir que la relation entre 𝑖 et 𝑗 estréciproque si 𝑥𝑖,𝑗 = 𝑥𝑗,𝑖 = 1.

5.2.4 Graphe des relations réciproques

À partir d’un graphe orienté, on peut définir un graphe non orienté conte-nant uniquement les relations réciproques. Voir exemple en Fig. 5.6.

5.2.5 Transitivité

Dans un graphe orienté, la relation entre trois sommets 𝑎, 𝑏 et 𝑐 esttransitive si 𝑎→ 𝑏, 𝑏→ 𝑐 et 𝑎→ 𝑐 : « les amis de mes amis sont aussi desamis ».



𝑎

𝑏

𝑐

La transitivité aussi peut être évaluée à partir de la représentation matri-cielle, mais c’est un peu plus compliqué, car la procédure implique un produitentre matrices.

Exercice 11Soit 𝐹 un ensemble d’ouvrages, et 𝑈 l’ensemble des auteurs des livres

dans l’ensemble 𝐹 . On peut définir la relation «être auteur de», liant chaqueauteur aux livres écrits. On peut représenter cette relation sous forme deréseau, avec :

— un noeud pour chaque auteur 𝑎 ∈ 𝑈 ;— un noeud pour chaque livre 𝑏 ∈ 𝐹 ;— des liens orientés (𝑎, 𝑏), liant chaque auteur aux livres qu’il a écrit.Un réseau pareil, concernant deux ensembles distincts de noeuds, et des

liens qui vont uniquement d’un des ensembles à l’autre, est appelé réseaubiparti. Les deux ensembles de noeuds sont appelés des modes, dont la déno-mination alternative two-mode network.

1. — Quelle propriété des noeuds auteur correspond au nombre des livresqu’elles/ils ont écrits ?

— Quelle propriété des noeuds livres correspond à leur nombre d’au-teurs ?

2. La densité d’un réseau est le rapport entre le nombre de liens quiexistent effectivement et le nombre de liens possibles étant donné lataille de l’ensemble des noeuds (ou, dans ce cas, des ensembles denoeuds). Combien sont-ils les liens possibles dans ce réseau ? Donnerune réponse qui dépend des tailles de 𝑈 et de 𝐹 .

5.3 FonctionsOn appelle fonction une relation où, à chaque 𝑎 ∈ 𝐴, correspond au

plus un 𝑏 ∈ 𝐵.Par exemple :— connaît n’est pas une fonction (j’espère)— habite est une fonction, si bien définie. Par exemple : la commune à

laquelle on est enregistré comme habitant.



Source ABut B

F

Figure 5.7 – Un exemple de fonction : chaque élément de 𝐴 est en relationavec au plus un élément de 𝐵.

Intuitivement : une fonction est une colonne dans un tableau où à chaque𝑎 ∈ 𝐴 correspond (au plus) une ligne, et qui contient le 𝑏 ∈ 𝐵 correspondant.

Ex : habite

Alice 1050Bob 1050Cécile 1040. . . . . .

Notation. — On indique une fonction ainsi : F : 𝐴→ 𝐵 .— On indique l’image d’un élément 𝑎 ainsi : 𝑏 = F(𝑎) .— On appelle 𝑎 un antécédent (ou pré-image) de 𝑏 si 𝑏 = F(𝑎).

Exemple : pour la fonction habite : 1050 est l’image de Alice ; Alice estun antécédent de 1050 ; Bob aussi.

Domaine de définition. Le sous-ensemble de la source 𝐴 pour lequelune fonction F est définie, s’appelle domaine de définition de F :

𝑎 ∈ 𝐴 | ∃𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 = F(𝑎))



Source ABut B

Domaine

Image

F

Figure 5.8 – Domaine et image de la fonction en Fig. 5.7.

Exemple : le domaine de définition de la fonction habite est le sous-ensemble des étudiants ULB qui ont une résidence en BE.

Image. Le sous-ensemble des éléments 𝑏 du but 𝐵 pour lesquels il existeau moins un 𝑎 ∈ 𝐴 tel que 𝑏 = F(𝑎) s’appelle image de F :

𝑏 ∈ 𝐵 | ∃𝑎 ∈ 𝐴 (𝑏 = F(𝑎))

5.3.1 Propriétés des fonctions

Injection

Une fonction est injective si et seulement si chaque élément du but a auplus un antécédent.

En d’autres mots : la fonction lie chaque 𝑏 ∈ 𝐵 à au plus un 𝑎 ∈ 𝐴.Exemples : habite n’est pas injective ; numéro_de_matricule est injec-

tive.



Source ABut B

F

Figure 5.9 – Exemple d’injection.

Surjection

Une fonction est surjective si et seulement si chaque élément du but aau moins un antécédent.

En d’autres mots : la fonction lie chaque 𝑏 ∈ 𝐵 à au moins un 𝑎 ∈ 𝐴.Exemples : habite n’est pas surjective ; mère_de est surjective.

Notation.∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑎 ∈ 𝐴 (𝑏 = F(𝑎))

Application

Une fonction est une application si et seulement si elle est définie pourchaque élément de sa source (c-à-d ssi 1 son domaine de définition est égal àsa source).

Notation.∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 = F(𝑎))

1. Si et seulement si.



Source ABut B

Image

F

Figure 5.10 – Exemple de surjection.

Exemples : habite n’est pas une application ; anniversaire est une ap-plication.

Définition alternative très répandue : fonction = application.

Bijection

Une fonction est bijective si et seulement si elle est une application in-jective et surjective.

Notation.∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃!𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 = F(𝑎))

En somme, une bijection est :— une fonction (image unique) ;— une application (domaine = source) ;— surjective (image = but) ;— injective (antécédent unique).

Exercice 12Une fonction 𝑓 : 𝐴 ↦→ 𝐵 est surjective ssi (si et seulement si) elle obéit

à la propriété suivante :



Source ABut B

Domaine

F

Figure 5.11 – Exemple d’application.

Source ABut B

Domaine

Image

F

Figure 5.12 – Exemple d’application bijective ou bijection.



F−1

But ASource B

Figure 5.13 – Application réciproque de la fonction en Fig. 5.12.

∀𝑏 ∈ 𝐵, ∃𝑎 ∈ 𝐴, 𝑓(𝑎) = 𝑏.

En utilisant la notation opportune, définissez la propriété à laquelle 𝑓doit obéir pour être injective.

5.3.2 Fonction réciproque

Une application bijective permet de définir une application réciproqueou fonction inverse

F−1 : 𝐵 → 𝐴,

telle que :

𝑏 = F(𝑎)⇔ 𝑎 = F−1(𝑏).

5.3.3 Composition de fonctions

Si j’ai deux fonctions 𝑓 et 𝑔



AB

Domaine de f

Image de f

C

fg

Domaine de g

(a) Deux fonctions composables.

AC

g o f

(b) Fonction composée.

Figure 5.14 – Composition de fonctions.

𝑓 : 𝐴→ 𝐵

𝑔 : 𝐵 → 𝐶

telles que :— le but de 𝑓 est la source de 𝑔— l’image du domaine de 𝑓 est contenue dans le domaine de 𝑔je peux en définir une troisième qui en est la composition

(𝑔 ∘ 𝑓) : 𝐴→ 𝐶

qu’on obtient en évaluant d’abord 𝑓 , et puis 𝑔, ainsi : 𝑦 = 𝑔[𝑓(𝑥)](Fig. 5.14).



Fonction 𝑔[𝑓(𝑥)] Condition sur 𝑓(𝑥)

[𝑓(𝑥)]𝑛, 𝑛 ∈ N Aucuneℎ(𝑥)𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥) = 0

𝑓(𝑥)−𝑛, 𝑛 ∈ N 𝑓(𝑥) = 0√𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) ≥ 0

ln [𝑓(𝑥)] 𝑓(𝑥) > 0

𝑒𝑓(𝑥) Aucune

Table 5.1 – Exemples de conditions d’existence pour les fonctions compo-sées.

Exemple : si 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 et 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 𝑏, leur composition est la droite𝑔[𝑓(𝑥)] = 𝑎𝑥+ 𝑏 (voire Sec. 6.3.4).

Domaine de définition des fonctions composées

Pour trouver le domaine d’une fonction composées 𝑔[𝑓(𝑥)], il faut imposerdes conditions d’existence qui peuvent dépendre des deux fonctions.

Soit 𝑔[𝑓(𝑥)], avec 𝑓 : 𝐷 → R, où 𝐷 ⊂ R est le domaine de 𝑓(𝑥). Voirle tableau 5.1 pour des exemples de conditions à imposer sur les valeurs de𝑓(𝑥), selon la forme de 𝑔.

Une fois trouvée l’ensemble 𝐶 ⊂ R où la condition est vraie, le domainede définition de 𝑔[𝑓(𝑥)] est 𝐷 ∩ 𝐶.

— Si aucune condition n’existe sur 𝑓 : 𝐶 = R, et le domaine de 𝑔[𝑓(𝑥)]sera donc 𝐷 ∩ R = 𝐷.

— Si le domaine de 𝑓 est 𝐷 = R, le domaine de 𝑔[𝑓(𝑥)] sera R∩𝐶 = 𝐶.

Composition et réciproque

Si on compose une application bijective

𝑓 : 𝐴→ 𝐵

avec sa réciproque 𝑓−1

𝑓−1 : 𝐵 → 𝐴,

on fait un “aller-retour” :— de chaque point 𝑥 ∈ 𝐴 on va à son image 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵— de 𝑓(𝑥) on revient à son unique antécédent 𝑥



Dans ce cas 𝑓−1 ∘ 𝑓 = 𝑓 ∘ 𝑓−1.Ceci nous permet d’écrire par exemple (voir Chapitre 6) :

(√𝑥)2 =

√𝑥2 = 𝑥 ∀𝑥 ∈ R+

𝑒ln𝑥 = ln(𝑒𝑥) = 𝑥 ∀𝑥 ∈ R+0

𝑎log𝑎 𝑥 = log𝑎(𝑎𝑥) = 𝑥 ∀𝑥 ∈ R+

0

11𝑥

= 𝑥 ∀𝑥 ∈ R0.

5.3.4 Relation comme fonction booléenne binaire

En revenant au langage de la logique : une relation R(𝑎, 𝑏) est aussi uneproposition, qui est vraie pour tout couple (𝑎, 𝑏) qui est dans la relation, etfausse ailleurs.

Si on écrit : 𝑅 = (𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴 × 𝐵 | R(𝑎, 𝑏), on fait une définition de larelation en compréhension.

En d’autres mots : une relation entre deux ensembles 𝐴 et 𝐵 est aussi unefonction binaire à valeurs booléennes, avec 𝐴×𝐵 comme source, et B = 0, 1comme but :

R : 𝐴×𝐵 → 0, 1

Le produit cartésien 𝐴×𝐵 est donc l’univers de toutes les relations pos-sibles entre (les éléments de) 𝐴 et (ceux de) 𝐵.

On commence à connaître les obsessions des mathématiciens, on va donctout de suite se demander : combien de relations possibles il y a ?

On sait que il y a #(𝐴)#(𝐵) couples possibles.Indépendamment pour chaque couple : une relation est soit vraie, soit

fausse.En suivant l’ordre (𝑎1, 𝑏1), (𝑎1, 𝑏2), . . . , (𝑎#(𝐴), 𝑏#(𝐵)), on peut construire

un arbre binaire de toutes les possibilités.En total on aura 2×2×2 · · ·×2, #(𝐴)#(𝐵) fois, soit 2#(𝐴)#(𝐵) relations

possibles.


Chapitre 6

Ensembles et fonctionsnumériques

— Les techniques pour représenter et élaborer des quantités ont eu uneimpulsion énorme suite au passage à l’économie de la ville, et à sonorganisation (division du travail, propriété privée, taxes, . . . )

— L’abstraction du concept de nombre est accompagnée par un autretype d’abstraction, celle du passage de la représentation idéographiquedes mots à celle phonétique.

— Architecture, marchés et commerce, répartition des héritages, detteet intérêt, même astrologie et religion, créent des problèmes pratiquesqui nécessitent des solutions mathématiques (algorithmes)

6.1 Ensembles numériques

6.1.1 Nombres entiers naturels

N = 0, 1, 2, 3, . . ., #(N) =∞Relations définies en 𝑁2 :— Égalité : =— Ordre : <, ≤, >, ≥Opérations ou fonctions binaires définies de N2 à N :— Addition 𝑎+ 𝑏 (application)— Soustraction 𝑎− 𝑏 (pas une application : pas définie si 𝑏 > 𝑎)— Multiplication 𝑎 * 𝑏 (ou 𝑎× 𝑏, ou 𝑎𝑏) (application)— Division entière 𝑎/𝑏 (pas une application : définie seulement pour 𝑎 =

𝑛𝑏, 𝑛 ∈ N)— Puissance 𝑎𝑏 (application)

76


6.1.2 Nombres relatifs naturels

Une autre obsession des mathématiciens : les fonctions qui ne sont pasdes applications.

Pour les éviter : on définit de nouveaux buts, plus grands, de façon detrouver toujours une image pour chaque élément de la source.

Voici donc :

Z = . . . ,−2,−1, 0,+1,+2,+3, . . ..Dans ce cas : la fonction soustraction − : Z2 → Z devient une application.C’est-à-dire : ∀(𝑎, 𝑏) ∈ Z2∃𝑐 ∈ Z : 𝑐 = 𝑎− 𝑏.

6.1.3 Nombres rationnels

Pour arriver toujours au but avec la division, on définit :

Q = 𝑎𝑏| 𝑎 ∈ Z, 𝑏 ∈ (Z ∖ 0).

Dans ce cas, la division / : Q× (Q ∖ 0)→ Q devient une application.

6.1.4 Dénombrabilité

Les ensembles Z et Q, sont dénombrables, c’est-à-dire qu’ils peuventêtre mis en relation bijective avec N. La même chose vaut pour leurs produitscartésiens N2, Z2, Q2, N×Q, N× Z, Z×Q, N3, Z3, Q3, . . .

Autrement dit, on peut utiliser les entiers naturels N pour compter leséléments de Z, ou Q, ou tout leurs produits N2, Z2, Q2, N×Q, . . .

6.2 Relations entre nombres

6.2.1 Relation d’égalité

— La relation d’égalité entre éléments est définie pour tout ensemble,de façon axiomatisée, et indiquée par le symbole =.

— Sa négation est une inégalité, indiquée comme =.

¬(𝑎 = 𝑏)⇔ (𝑎 = 𝑏)

— Les relations d’égalité sont fondamentales en mathématique, car ellespermettent de développer tout le reste ! Si 𝑎 = 𝑏, je peux substituer𝑎 avec 𝑏 : ce simple constat est à la base de l’algèbre.



— Le symbole = est utilisé aussi pour définir un nouvel objet mathé-matique. On peut faire ça de façon explicite, par exemple 𝑎 = 2. Dansce cas, on utilise parfois des notations alternatives tels que ,, := oudef=

— Ou bien, on peut définir un nouvel objet de façon implicite, commedans les équations, par exemple 𝑥2 − 2𝑥+ 2 = 0.

Relations d’équivalence

Les trois propriétés de l’égalité :

Réflexive 𝑎 = 𝑎 est toujours vraieSymétrique (𝑎 = 𝑏)⇒ (𝑏 = 𝑎)

Transitive ((𝑎 = 𝑏) ∧ (𝑏 = 𝑐))⇒ (𝑎 = 𝑐)

Définition. Une relation satisfaisant aux propriétés de réflexivité, symé-trie et transitivité est dite une relation d’équivalence.

Exemples :— l’égalité entre nombres =— l’égalité entre ensembles =— l’équivalence entre propositions ⇔

6.2.2 Équations

— La relation d’équivalence nous permet de définir des objets de fa-çon implicite, en écrivant des équations, soit des relations d’égalitécontenant une ou plusieurs variables, indiquées par des lettres latinesou grecques.

— On appelle ces variables des inconnues. Par exemple : 7𝑥+4 = 1 estune équation avec une inconnue, 𝑥. On dit aussi que 𝑥 est une variablelibre : on peut la remplacer par n’importe quelle valeur et obtenir uneproposition (soit vraie, soit fausse).

— Résoudre une équation veut dire trouver toutes les valeurs de l’in-connue qui font de l’équation une proposition vraie. Ces valeurs sontappelées solutions ou racines (car elles sont cachées).

Pour résoudre une équation, on simplifie les expressions à gauche et àdroite du symbole = (dites membres), jusqu’à obtenir l’inconnue d’un côté(par convention : à gauche), et une expression définie de l’autre côté.

Bien entendu on ne peut utiliser que des simplifications qui gardent lavaleur de vérité de l’équation ! Il y a deux façons de faire ça :



Équation initiale 7𝑥+ 4 = 1

Soustraire 4 des deux côtés 7𝑥+ 4− 4 = 1− 4

Substituer 4− 4 = 0 7𝑥 = 1− 4

Substituer 1− 4 = −3 7𝑥 = −3Diviser par 7 des deux côtés 7𝑥

7= −3

7

Remplacer 7𝑥7= 7

7𝑥 7

7𝑥 = −3

7

Remplacer 77= 1 𝑥 = −3

7

Table 6.1 – Un exemple de résolution d’équation.

— soit on remplace une quantité par une quantité qui lui est égale (sub-stitution).

— soit on applique la même opération des deux côtés de l’égalité.Dans les deux cas on utilise une propriété des fonctions : par définition,

pour toute fonction 𝐹 , si 𝑎 = 𝑏, alors 𝐹 (𝑎) = 𝐹 (𝑏).Les équations qu’on écrit ainsi sont toutes équivalentes entre elles (elles

ont les mêmes solutions).Pour vérifier qu’on n’a pas fait d’erreur de calcul, c’est toujours bien

de substituer l’équation explicite qu’on a trouvée dans l’équation impliciteoriginale.

Dans notre exemple (Table 6.1) si on substitue 𝑥 = −37

dans

7𝑥+ 4 = 1

on obtient :

7(−3

7) + 4 = 1

soit −3 + 4 = 1, donc 1 = 1, vraie.

Remarque 6.1. Une équation en 𝑥 est une proposition en 𝑥. Je peux doncl’utiliser pour définir un ensemble des 𝑥 qui la rendent vraie.

𝑥 ∈ R | 7𝑥+ 4 = 1 = −3

7

Cet ensemble n’est rien d’autre que l’ensemble des solutions de l’équation :dans ce cas, un singleton qui contient l’unique solution.



Exercice 13 (Problème 28 du papyrus Rhind, Égypte, 1650 av.J.-C.)Lorsqu’une quantité est ajoutée à ses deux tiers, puis la somme obtenue

réduite d’un tiers, il reste 10.Quelle est cette quantité ?

Exercice 14 (Examen juin 2015)On a des pommes dans deux paniers.— Si on déplace 2 pommes du panier de gauche (𝑦) à celui de droite (𝑥),

on aura le même nombre de pommes dans les deux paniers.— Si on déplace 1 pomme du panier de droite (𝑥) à celui de gauche (𝑦),

le panier de gauche contiendra 4 fois les pommes du panier de droite.Combien de pommes a-t-on dans chaque panier ?3.1 Écrire les équations correspondantes aux conditions ci-dessus [1 pt].3.2 Résoudre le système d’équations et vérifier la solution analytique-

ment.Justifier la réponse en explicitant les calculs [2 pt].

3.3 Vérifier la solution graphiquement, à l’aide d’un plan cartésien [2 pt].

6.2.3 Relation d’inégalité stricte

La relation d’inégalité entre nombres est une proposition à l’égard de lataille relative de deux nombres.

On parle d’inégalité stricte si l’égalité est exclue, et on représente cetterelation avec les symboles < et >, selon la direction.

On lit 𝑎 < 𝑏 ainsi : 𝑎 est strictement mineur de 𝑏.Propriétés.

Antiréflexive 𝑎 < 𝑎 est toujours fausseFortement antisymétrique (ou asymétrique) (𝑎 < 𝑏)⇒ ¬(𝑏 < 𝑎)

Transitive ((𝑎 < 𝑏) ∧ (𝑏 < 𝑐))⇒ (𝑎 < 𝑐)

Les mêmes propriétés valent pour > (strictement majeur).

6.2.4 Relation d’inégalité faible

On parle d’inégalité faible, ou tout simplement inégalité, si l’égalitéest inclue, et on représente cette relation avec les symboles ≤ et ≥, selon ladirection. On lit 𝑎 ≤ 𝑏 ainsi : 𝑎 est mineur de 𝑏 ; ou bien 𝑎 est mineur ou égalà 𝑏.

Propriétés.



a b

(a) Fermé

a b

(b) Ouvert

Figure 6.1 – Intervalles bornés.

Réflexive 𝑎 ≤ 𝑎 est toujours vraie(Faiblement) Antisymétrique ((𝑎 ≤ 𝑏) ∧ (𝑏 ≤ 𝑎))⇒ (𝑎 = 𝑏)

Transitive ((𝑎 ≤ 𝑏) ∧ (𝑏 ≤ 𝑐))⇒ (𝑎 ≤ 𝑐)

Les mêmes propriétés valent pour ≥ (majeur).

6.2.5 Relations d’ordre

Définition. Une relation satisfaisant aux propriétés de réflexivité, anti-symétrie et transitivité est dite une relation d’ordre.

Exemples :— les inégalités entre nombres = ou ≥— la relation d’inclusion entre ensembles (dans le sens “large”) ⊂ ou ⊃

6.2.6 Intervalles

Un intervalle est un sous-ensemble de R défini par ses deux extrêmes 𝑎 et𝑏, 𝑎 < 𝑏

Un intervalle est :— fermé s’il contient ses extrêmes ;— ouvert s’il les contient pas ;— borné si ses deux extrêmes sont finis, 𝑎 ∈ R, 𝑏 ∈ R.Intervalle fermé et borné, ou segment (Fig. 6.1a) :

[𝑎; 𝑏] = 𝑥 ∈ R | (𝑥 ≥ 𝑎) ∧ (𝑥 ≤ 𝑏).Intervalle ouvert et borné (Fig 6.1b) :

]𝑎; 𝑏[= 𝑥 ∈ R | (𝑥 > 𝑎) ∧ (𝑥 < 𝑏).Intervalles semi-ouverts et bornés :

[𝑎; 𝑏[= 𝑥 ∈ R | (𝑥 ≥ 𝑎) ∧ (𝑥 < 𝑏),]𝑎; 𝑏] = 𝑥 ∈ R | (𝑥 > 𝑎) ∧ (𝑥 ≤ 𝑏).



0 1 2 3−1−2 . . .. . .−b −a a b

Figure 6.2 – Le changement de signe change la direction de l’inégalité.

Intervalles non bornés :— 𝑎 = −∞, ou 𝑏 = +∞ ;— fermé/ouvert selon l’inclusion/exclusion de l’extrême fini ;— ex. ouvert : ]𝑎; +∞[= 𝑥 ∈ R | 𝑥 > 𝑎 ;— ex. fermé : [𝑎; +∞[= 𝑥 ∈ R | 𝑥 ≥ 𝑎 ;— ex. intervalle des réels : R =]−∞; +∞[.

6.2.7 Négation des inéquations et signe

Négation :¬(𝑎 < 𝑏)⇔ (𝑎 ≥ 𝑏) (6.1)

¬(𝑎 > 𝑏)⇔ (𝑎 ≤ 𝑏) (6.2)

donc :

¬(𝑎 ≤ 𝑏)⇔ (𝑎 > 𝑏) (6.3)

¬(𝑎 ≥ 𝑏)⇔ (𝑎 < 𝑏) (6.4)

Signe : Voir Fig. 6.2

(𝑎 < 𝑏)⇔ (−𝑎 > −𝑏) (6.5)

(𝑎 ≤ 𝑏)⇔ (−𝑎 ≥ −𝑏) (6.6)

6.2.8 Inéquations

Les inégalités nous permettent aussi d’écrire des propositions en utilisantdes inconnues, dont la vérité dépend des valeurs des inconnues. Dans ce cason parle d’inéquations.

Par exemple : 2𝑥 + 1 ≤ 2, ou 𝑥 + 𝑦 ≥ 3. Aussi dans ce cas, résoudresignifie trouver les valeurs des inconnues qui rendent la proposition vraie.

On procède comme pour les équations, mais il faut faire attention auxsignes :



Inéquation initiale 𝑥+ 4 ≤ 3𝑥

Soustraire le terme (3𝑥+ 4) : 𝑥+ 4− 3𝑥− 4 ≤ 3𝑥− 3𝑥− 4

Substituer 𝑥− 3𝑥 = (1− 3)𝑥 = −2𝑥 −2𝑥 ≤ −4Diviser par −2, en changeant de sens −2

−2𝑥 ≥ −4

−2

Remplacer les fractions −2−2

= 1, et −4−2

= 2 𝑥 ≥ 2

Table 6.2 – Un exemple de résolution d’inéquation.

0 1 2 3−1−2 . . .. . .

Figure 6.3 – Solution de l’exemple en Table 6.2.

— soit on remplace une quantité par une quantité qui lui est égale (sub-stitution).

— soit on applique la même opération des deux côtés de l’inégalité, enfaisant attention à changer le sens de l’inégalité si on change de signe.

Vérifier qu’on n’a pas fait d’erreur c’est moins simple pour les inéquations,mais il y a quand même des astuces.

Si les inégalités sont faibles, en substituant le membre de droite du résultaton doit obtenir une égalité : dans notre exemple si on substitue 𝑥 = 2 dans𝑥+ 4 = 3𝑥 on obtient en effet 2 + 4 = 3 · 2, donc 6 = 6.

Si on substitue 𝑥 avec une valeur qui rend le résultat vrai, on doit obtenirque l’inégalité de départ est aussi vraie. On peut exploiter ce fait pour vérifierque on n’a pas fait des erreurs dans la direction de notre inégalité.

Par exemple 𝑥 = 3⇒ 𝑥 ≥ 2, donc 3 appartient à l’ensemble des solutions.En effet :

3 + 4 ≤ 3 · 3.

Ce procédé marche aussi pour les inégalités strictes. Par exemple la solu-tion de 𝑥 + 4 < 3𝑥 est 𝑥 > 2 : dans ce cas 𝑥 = 2 ne vérifie pas l’inéquation,𝑥 = 3 la vérifie.

6.2.9 Exemples de fonction réciproque

Pour trouver l’équation de la réciproque (voir Sec. 5.3.2) de 𝑦 = F(𝑥),il suffit de résoudre l’équation, en considérant 𝑥 comme inconnue : en outremots, il faut exprimer 𝑥 comme fonction de 𝑦.



0 1 2 3−1−2 . . .. . .

Figure 6.4 – La droite réelle.

0 1 x

Figure 6.5 – La droite réelle.

𝑦 = F(𝑥) 𝑥 = F−1(𝑦)

𝑦 = 2𝑥+ 1 𝑥 = (𝑦 − 1)/2

𝑦 = 𝑥3 𝑥 = 3√𝑦

6.3 Nombres réelsSi 4 = 2 · 2 = 22, alors

√4 = 4

12 = 2. Mais, en général, les racines d’un

nombre ne sont pas représentables comme rapport entre entiers.L’image d’une puissance, même d’un nombre rationnel, avec exposant

rationnel, est en général un nombre irrationnel.Pour arriver toujours “au but” avec la racine, on définit R comme ensemble

des nombres réels. Cet ensemble inclut les autres, de cette façon :

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

R n’est pas dénombrable.La représentation géométrique naturelle pour les réels est la droite, soit

la longueur sans épaisseur (Euclide, Les Éléments, ca. 300 av. J.-C.).Pour représenter l’ensemble des nombres réels R de façon géométrique,

on peut utiliser un repère cartésien— une droite— une origine 𝑂 (correspondant au nombre 0)— une orientation, représentée par une flèche (vers le côté des nombres

positifs, donc > 0)— une unité

6.3.1 Le plan cartésien

Pour représenter le produit cartésien de R avec soi-même, R × R (soitR2), on peut utiliser un plan cartésien



0 1

1

x

y

Figure 6.6 – Le plan cartésien

— deux repères cartésiens perpendiculaires (formant un angle droit)— ayant leur point d’intersection à l’origine

6.3.2 Visualisation des données quantitatives

— On a noté la taille (en cm) et le poids (en kg) d’un groupe d’individus— Chaque ligne du tableau correspond à un individuChaque ligne de la Table 6.3 peut être représentée par un point du plan

cartésien.Comment ces points vont-ils se disposer sur le plan ?On doit d’abord choisir comment assigner les repères !Exemple :— abscisses : taille— ordonnées : poids

6.3.3 Modélisation des données

— On peut considérer un ensemble de données comme décrivant unerelation entre plusieurs quantités (deux dans notre cas)

— Le défi de la modélisation est de généraliser la relation observée



Taille [cm] Poids [kg]152.6 76.9156.3 76.5161.5 92.1

162 94.4164.7 95

. . . . . .

Table 6.3 – Un exemple de données quantitatives : chaque ligne correspondà un individu.

Figure 6.7 – Visualisation des données de Table 6.3 comme nuage de points.



Taille [cm]

Poids [kg]

167

182

145

155160

178

142

149176

191

45 66

5895

87

82

70

53

76 62

Figure 6.8 – Un ensemble de données comme sous-ensemble d’un produitcartésien.

— Un modèle définit une relation entre les variables observées, parexemple une fonction 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Un modèle constant

Quel est le modèle le plus simple qu’on arrive à imaginer ?On pourrait imaginer que tout le monde a le même poids. . .Par exemple 𝑦 = 50𝑘𝑔, ou 𝑦 = 99𝑘𝑔, . . .On peut décrire tous ces modèles différents avec une seule équation para-

métrique :

𝑦 = 𝑏 (6.7)

où 𝑏 est une constante.

Un modèle linéaire

On peut maintenant imaginer, en étant un peu plus réaliste, que les « plusgrands » soient aussi les « plus lourds ».

Par simplicité, considérons le modèle suivant : pour chaque cm de hauteur,on gagne 1 kg, indépendamment de la taille.



Figure 6.9 – Un modèle constant.

En d’autre mots : on impose un rapport poids/taille constant, et doncindépendant de la taille.

Un tel modèle est représenté par une droite passant par l’origine, dont lapente dépend du rapport choisi, dans ce cas 1. Ou bien 0.5, ou 2 . . .

6.3.4 Équation d’une droite

On connaît déjà l’équation paramétrique de la famille des droites hori-zontales, 𝑦 = 𝑏.

0 x

y

∆x

∆y

1

1

0 x

y

1

1

∆x

∆y

0 x

y

1

1∆y

∆x

Figure 6.10 – Trois exemples de modèle linéaire, donc caractérisés par unrapport poids/taille constant : de gauche à droite, 1, 0.5, 2.



On peut facilement dériver une équation paramétrique pour notredeuxième "hypothèse" : rapport poids taille constant, donc

𝑦

𝑥= 𝑎

où 𝑎 désigne une constante. Si on multiplie chaque côté de l’équivalencepar 𝑥, on obtient tout simplement :

𝑦 = 𝑎𝑥

qui représente une croissance linéaire de 𝑦 par rapport à 𝑥En somme on peut décrire :— toute droite horizontale : 𝑦 = 𝑏— toute droite passant par l’origine (verticale exclue) : 𝑦 = 𝑎𝑥Si l’on commence notre croissance à partir d’une valeur 𝑦 = 𝑓(0) = 𝑏, on

obtient l’équation de toutes les droites sur le plan (verticale exclue).

𝑦 = 𝑎𝑥+ 𝑏 (6.8)

où :— 𝑎 est le coefficient directeur, ou plus simplement la pente— 𝑏 est le coefficient à l’originePour dessiner une droite 6.8, il suffit de trouver deux points qui lui ap-

partiennent. Si on choisit 𝑓(0) = 𝑏 et 𝑓(1) = 𝑎 + 𝑏, on peut aussi voirgraphiquement les deux paramètres :

— pour représenter que 𝑓(0) = 𝑏 on dessine le point (0, 𝑏)— pour 𝑓(1) = 𝑎+ 𝑏 on dessine (1, 𝑎+ 𝑏)— 𝑏 est la valeur de 𝑦 à l’intersection avec le repère vertical— 𝑎 est l’incrément de la valeur de 𝑦 correspondant à un incrément d’une

unité de 𝑥.Voir le graphique interactif :

http://homepages.ulb.ac.be/ mgagliol/SOCAD173/droite.html.

Paramètres vs variables

Dans l’équation 6.8, 𝑥, 𝑦, 𝑎 et 𝑏 sont tous des symboles, mais avec dessignifications bien distinctes.

On appelle 𝑎 et 𝑏 des paramètres : à chaque valeur de (𝑎, 𝑏) correspondune équation différente, et une droite différente.

Par contre, 𝑥 et 𝑦 sont des variables : 𝑦 est une variable dépendante, carce qu’on veut dire avec l’équation est que « 𝑦 est une fonction de 𝑥 », qui estla variable indépendante :


http://homepages.ulb.ac.be/~mgagliol/SOCAD173/droite.html


0 x

y

1

1 b

a

Figure 6.11 – Visualisation des paramètres d’une droite avec équation 𝑦 =𝑎𝑥+ 𝑏.

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏

Comment peut-on distinguer une constante d’une variable ? En lisant bienle texte qui accompagne l’équation ! Par convention, on utilise 𝑎, 𝑏, 𝑐, . . . , pourdes constantes ou des paramètres ; 𝑥, 𝑦, 𝑧 pour des variables ou inconnues.

6.3.5 Fonctions sur le plan

Chaque fonction réelle 𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑓 : R→ R

peut se représenter sur un plan comme un ensemble de points :

𝑓 = (𝑥, 𝑦) ∈ R2 | 𝑦 = 𝑓(𝑥)Rappel : une relation est une fonction si à chaque 𝑥 correspond au plus

un 𝑦.Graphiquement : aucune droite verticale ne coupe la courbe plus qu’une

fois.



0 1

1

x

y

0 1

1

x

y

Figure 6.12 – Deux exemples de fonction : une application injective (àgauche) et une non injective (à droite).

Toute droite est donc une fonction, sauf les droites verticales 𝑥 = 𝑐 !On peut visualiser les propriétés d’une fonction comme propriétés géomé-

triques de la courbe qui la représente (Fig. 6.12) :— c’est une application si tout le repère 𝑥 a une image— injective si aucune droite horizontale n’intercepte la courbe plus d’une

fois.— surjective si tout le repère 𝑦 a un antécédentChaque droite non verticale est une application.Chaque droite non horizontale ni verticale (𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 avec 𝑎 = 0) est

une application bijective.

6.3.6 Fonction réciproque

Passer de 𝑦 = 𝑓(𝑥) à 𝑥 = 𝑓−1(𝑦) signifie simplement lire différemment lemême graphique.

Mais par convention on veut plutôt écrire 𝑦 = 𝑓−1(𝑥), et lire le graphiquecomme d’habitude...

Pour dessiner le graphique de la fonction réciproque, il faut donc dessinerle symétrique de 𝑓 par rapport à la droite 𝑦 = 𝑥, qui est la bissectrice duplan cartésien (Fig. 6.13a).

Si on essaye avec une fonction non injective (Fig. 6.13b), on voit pourquoices fonctions ne sont pas inversibles : dans ce cas la courbe symétrique nereprésente pas une fonction.

Réciproque d’une droite

Chaque droite 𝑦 = 𝑎𝑥+ 𝑏 avec 𝑎 = 0, est une application bijective, ayantdonc une réciproque qui est aussi une application bijective.



0 1

1

x

y

(a) Application bijective, inversible.

0 1

1

x

y

(b) Application non injective, non inver-sible.

Figure 6.13 – Fonction réciproque comme symétrique par rapport à la bis-sectrice.

On peut trouver son équation de façon algébrique, en exprimant 𝑥 commefonction de 𝑦 :

𝑦 = 𝑎𝑥+ 𝑏

𝑦 − 𝑏 = 𝑎𝑥

𝑦 − 𝑏

𝑎= 𝑥

donc la réciproque est (Fig. 6.14) :

𝑦 =1

𝑎𝑥− 𝑏

𝑎

6.3.7 Restriction d’une fonction

Soit 𝑓 défini sur un domaine 𝐷 ⊆ R

𝑓 : 𝐷 → R

et 𝐼 ⊂ 𝐷.On peut définir la restriction de 𝑓 à 𝐼 :

𝑓𝐼 : 𝐼 → R

telle que



0 x

y

1

1 b

a

−ba

1a

Figure 6.14 – Fonction réciproque d’une droite et ses paramètres.



(a) Fonction originale définie sur le domaine 𝐷 et intervalle 𝐼 ⊂ 𝐷.

(b) Restriction à l’intervalle 𝐼.

Figure 6.15 – Restriction d’une fonction



𝑓𝐼(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∀ 𝑥 ∈ 𝐼

Exercice 15Ci-après, la représentation graphique d’une fonction 𝑓 dans le plan car-

tésien. La courbe garde la même allure avant -4 et après 2 en abscisse.

−4 −3 −2 −1 1 2

−4

−2

2

4

𝑥

𝑓(𝑥) 𝑥2 + 2𝑥− 4

Trouvez les ensembles 𝐴 et 𝐵 tels que ces quatre conditions soient rem-plies :

— 𝑓 : 𝐴 ↦→ R est injective— 𝑓 : 𝐵 ↦→ R est injective— 𝐴 ∪𝐵 = R— 𝐴 ∩𝐵 est un singleton (Autrement dit : 𝐴 ∩𝐵 = 𝑥)

Exercice 16Trouvez les fonctions réciproques des fonctions suivantes.Où nécessaire, considérer une restriction de la fonction, telle qu’elle de-

vient une application bijective.1. 𝑓 = (𝑥, 𝑦) ∈ R2|𝑦 =

√𝑥− 1

2. 𝑔 = (𝑥, 𝑦) ∈ R2|𝑦 = 𝑥3 − 3



Figure 6.16 – La fonction valeur absolue 6.9 est un exemple de fonctiondéfinie par morceaux.

6.3.8 Définition d’une fonction par morceaux

Plusieurs fonctions définies sur des intervalles disjoints (sans éléments encommun) mais contigus (l’extrême droite est l’extrême gauche du suivant)peuvent être “recollées” en une fonction définie par morceaux. Par exemple,la fonction valeur absolue :

𝑓(𝑥) = |𝑥| =

𝑥 𝑥 ≥ 0

−𝑥 𝑥 < 0(6.9)

6.3.9 Équations et racines

Une fonction représente un ensemble de points :

𝑓 = (𝑥, 𝑦) ∈ R2 | 𝑦 = −0.5𝑥+ 0.5Résoudre l’équation 𝑓(𝑥) = 0, c’est trouver la coordonnée 𝑥 de l’intersec-

tion de la représentation de l’équation avec l’axe des abscisses (Fig. 6.17).



0 1

1

x

y

y = f (x) = −0.5x + 0.5

f (x) = 0

Figure 6.17 – Racine d’une équation du premier degré.

6.3.10 Inéquations

Une inéquation correspond à une région du plan, donc encore un ensemblede points :

𝐴 = (𝑥, 𝑦) ∈ R2 | 𝑦 < −0.5𝑥+ 0.5Dans le cas d’une inéquation linéaire, la frontière de cette région est une

droite, partageant le plan en deux demi-plans (Fig. 6.18).La droite est inclue si l’inégalité est faible.

6.4 ParaboleLa fonction paramétrique

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 (6.10)

définit une fonction polynôme du second degré, car le plus haut exposantde 𝑥 est 2.

Graphiquement, cette fonction est représentée par une paraboleEn général, on écrit une fonction polynôme du 𝑛-ème degré ainsi :



0 1

1

x

y

y = f (x) = −0.5x + 0.5

y < −0.5x + 0.5

Figure 6.18 – Représentation de l’ensemble des solutions d’une inéquationcomme demi-plan.



𝑦 =𝑛∑

𝑖=0

𝑎𝑖𝑥𝑖 = 𝑎𝑛𝑥

𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + . . .+ 𝑎1𝑥+ 𝑎0

Une parabole 6.10 présente une symétrie par rapport à l’axe vertical𝑥 = − 𝑏

2𝑎, ce qui rend la correspondance entre paramètres et graphique plus

complexe que dans le cas de la droite (l’axe change en changeant 𝑎 ou 𝑏).Dessiner une parabole ce n’est pas simple ! Avec un peu d’expérience, on

peut la dessiner à partir du sommet et de deux autres points.On peut quand même examiner l’impact des variations des trois para-

mètres, un à la fois.Voir le graphique interactif :

http://homepages.ulb.ac.be/ mgagliol/SOCAD173/parabole.html, en com-mençant avec 𝑎 = 1 et 𝑏 = 𝑐 = 0.

En gardant 𝑏 = 𝑐 = 0, on peut voir que 𝑎 contrôle la courbure de laparabole (Fig. 6.19a) : plus 𝑎 est grand, plus la courbure est évidente. Enpratique, 𝑎 dilate la courbe en vertical :

— pour 𝑎 = 1 on obtient la courbe de la fonction carrée 𝑦 = 𝑥2

— si on augmente 𝑎 on dilate la courbe en direction verticale— si on diminue 𝑎 en gardant 𝑎 > 0 on comprime la courbe— pour 𝑎 < 0 la courbature est vers le bas— pour 𝑎 = 0 on obtient une droite (sans courbure)En gardant 𝑐 = 0, 𝑎 > 0 constante (ex. 𝑎 = 1), et en changeant 𝑏,

on change l’axe et la hauteur de la parabole (Fig. 6.19b). Vu l’axe vertical𝑥 = − 𝑏

2𝑎:

— pour 𝑏 > 0 la courbe va vers la gauche— pour 𝑏 = 0 la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées

(𝑥 = 0)— pour 𝑏 < 0 la courbe va vers la droite— pour 𝑎 < 0 constante (ex. 𝑎 = −1), on inverse le sens (𝑏 > 0 vers la

droite).Tout comme pour la droite, 𝑐 est l’ordonnée de l’intersection de la courbe

avec l’axe des ordonnées. En changeant 𝑐, on déplace la courbe en direc-tion verticale, sans changer sa forme (on opère une translation en directionverticale).

— en augmentant 𝑐 on déplace la courbe vers le haut— en diminuant 𝑐 on déplace la courbe vers le basDe même pour toute fonction qu’on peut représenter sous la forme 𝑓(𝑥) =

𝑔(𝑥) + 𝑐.L’intersection avec les ordonnées sera le point (0, 𝑔(0) + 𝑐).Pour un polynôme de degré 𝑛 :


http://homepages.ulb.ac.be/~mgagliol/SOCAD173/parabole.html


0 1

1

x

y y = x2

y = 0.5x2

y = 2x2

(a) Variation de 𝑎.

0 1

1

x

y

y = x2

y = x2 − x

y = x2 + x

(b) Variation de 𝑏.

Figure 6.19 – Parabole : signification des paramètres.



𝑓(𝑥) =𝑛∑

𝑖=0

𝑎𝑖𝑥𝑖

on a 𝑔(0) = 0, et 𝑐 = 𝑎0.

6.4.1 Racines d’une parabole

Comme vu dans les exercices, l’existence et le nombre de racines d’uneparabole, donc les valeurs de 𝑥 telles que

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 = 0

dépendent de la valeur du discriminant Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 (donc des troisparamètres).

— pour Δ < 0 il n’y a pas de racine— pour Δ = 0 il y a une racine correspondant à l’axe vertical 𝑥 = − 𝑏

2𝑎

— pour Δ > 0 il y a deux racines symétriques par rapport à l’axe vertical,𝑥1 = − 𝑏−

√Δ

2𝑎et 𝑥2 = − 𝑏+

√Δ

2𝑎

L’ordonnée du sommet (le point extrême) de la parabole peut être obtenueen remplaçant 𝑥 = − 𝑏

2𝑎dans son équation, en obtenant 𝑦 = −Δ

4𝑎.

Le sommet est donc le point :

(− 𝑏

2𝑎,−Δ

4𝑎).

Exercice 17Démontrer que 𝑦𝑉 = −Δ

4𝑎.

Exercice 18Jeanne et sa mère sont tous les deux nées un 4 mars. Il y a 19 ans, la

mère de Jeanne avait, en années entières, le carré de l’âge de sa fille. Il y a15 ans, la mère de Jeanne avait, en années entières, quatre fois l’âge de safille. Calculez l’année de naissance de Jeanne et celle de sa mère.

6.4.2 Racine carrée

— On ne peut pas définir l’application réciproque de la fonction carrée𝑦 = 𝑥2, car elle n’est pas injective !

— On doit d’abord en faire une application bijective : il suffit de la redé-finir comme fonction 𝑓+ : R+ → R+, où R+ = [0;+∞[ est l’ensembledes réels positifs.



Figure 6.20 – Racine carrée comme fonction réciproque d’une demi para-bole.

— La fonction inverse 𝑔 : R+ → R+ est la racine carrée 𝑔(𝑥) =√𝑥

(Fig. 6.20).

6.5 Hyperbole et inverseSi l’on divise une constante 𝑎 par 𝑥 on obtient une fonction qui correspond

à une hyperbole sur le plan :

𝑦 = 𝑓(𝑥) =𝑎

𝑥= 𝑎𝑥−1.

On dit dans ce cas que 𝑦 est inversement proportionnelle à 𝑥.Pour tout 𝑎 = 0, 𝑓 est :— définie en R* = R ∖ 0— bijective sur R*

Pour 𝑎 = 1, 𝑓(𝑥) = 1𝑥= 𝑥−1 s’appelle fonction inverse (Fig 6.21), et son

application réciproque est égale à elle-même : voici pourquoi on indique laréciproque de 𝑓 avec 𝑓−1 et on l’appelle aussi fonction inverse.



Figure 6.21 – Fonction inverse 𝑦 = 1𝑥.

6.6 Exposants et leurs propriétésVous connaissez déjà bien les puissances avec exposant entier, 𝑎𝑛, 𝑎 ∈

R*+ =]0;+∞[, 𝑛 ∈ Z.

On vous a expliqué que l’exposant représente la répétition d’une multi-plication, par ex.

𝑎2 = 𝑎 · 𝑎

𝑎𝑛 =

𝑛 fois⏞ ⏟ 𝑎 · 𝑎 . . . · 𝑎

Vous connaissez bien les propriétés des exposants, n’est-ce pas ? Parexemple :

𝑎𝑚𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

Que dire des exposants négatifs ?

𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛

Ou bien des exposants rationnels

𝑎1𝑛 = 𝑛√𝑎



Figure 6.22 – L’Expand-o-tron (Azad, 2009).

Mais surtout pourquoi 𝑎0 = 1 ? ? ?Voici comment Kalid Azad 1 nous explique tout ça.Imaginons un appareil pour “épandre” la matière, avec deux réglages

(Fig 6.22) :— un facteur de croissance par seconde 𝑎— un “timer” 𝑡Par exemple : je mets une quantité 1 de matière à épandre avec un facteur

de croissance 𝑎 = 3, pendant 2 secondes, en passant :— de 1 à 3 pendant la première seconde— de 3 à 9 pendant la deuxièmeEn général, pour une quantité initiale 𝑢 de matière, je vais en obtenir

𝑟 = 𝑢 · 𝑎𝑡, ou bien :

𝑟

𝑢= 𝑎𝑡.

Exposants et produits. Comment on évalue 𝑎𝑚 · 𝑎𝑛 avec un Expand-o-tron ?

— Je mets 𝑢 = 1 à épandre avec croissance 𝑎, pendant 𝑚 secondes ;— je mets le résultat 𝑎𝑚 à épandre (donc cette fois 𝑢 = 𝑎𝑚), encore avec

croissance 𝑎, pendant 𝑛 secondes.Mais vu que la croissance 𝑎 est la même dans les deux cas, je pourrais

aussi laisser épandre l’originale 𝑢 = 1 pendant 𝑚+𝑛 secondes, avec le mêmerésultat ! Donc :

1. Kalid Azad, 2009, Math, better explained. http://betterexplained.com/ebook/math/.


http://betterexplained.com/ebook/math/

http://betterexplained.com/ebook/math/


𝑎𝑚𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛.

Exposant nul. Comment on évalue 𝑎0 avec un Expand-o-tron ?— Je mets une quantité 𝑢 à épandre avec croissance 𝑎, pendant 0 se-

condes. Rien ne change !— Le résultat est donc 𝑟 = 𝑢 · 𝑎0 = 𝑢.Donc, en divisant par 𝑢 :

𝑎0 = 1 ∀𝑎 > 0.

Exposant négatif. Avec 𝑡 < 0, l’expand-o-tron devient une machine dutemps !

— Je mets une quantité 𝑢 à épandre avec croissance 𝑎, pendant 𝑡 = −1secondes, en obtenant 𝑟 = 𝑢 · 𝑎−1 = ?

— On peut reformuler ça ainsi : je me suis retrouvé avec une quantité 𝑢,après 1 seconde à croissance 𝑎. Quelle était la quantité de départ 𝑟 ?

— Je peux donc écrire : 𝑢 = 𝑟 · 𝑎1 = 𝑟 · 𝑎.— Si je divise par 𝑎 : 𝑢 · 1

𝑎= 𝑟.

Donc :

𝑎−1 =1

𝑎1∀𝑎 > 0.

Si on va en arrière pendant 𝑛 secondes, avec le même procédé :

𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛∀𝑎 > 0.

Exposant rationnel et racines. Je mets 𝑢 à épandre avec croissance 𝑎pendant 𝑡 = 1 seconde, mais j’ouvre la porte après 𝑡 = 1

2secondes :

— Si j’avais laissé pour 𝑡 = 1, j’aurais obtenu 𝑟 = 𝑢 · 𝑎1 = 𝑢 · 𝑎.— Je suis resté avec 𝑟′ = 𝑢 · 𝑎 1

2 =.— Si je referme la porte et je laisse épandre pour le restant 𝑡 = 1

2, je dois

bien obtenir 𝑢 · 𝑎, donc :

𝑟 = 𝑟′ · 𝑎 12 = 𝑢 · 𝑎 1

2 · 𝑎 12 = 𝑢 · 𝑎.

En divisant la dernière équation par 𝑢 :

𝑎12 · 𝑎 1

2 = 𝑎,

donc :

𝑎12 =√𝑎,



et si j’ouvre et referme 𝑛 − 1 fois à intervalles réguliers, pour ouvrir la𝑛-ème fois à 𝑡 = 1 :

𝑎1𝑛 = 𝑛√𝑎.

6.7 Fonctions exponentiellesJusqu’ici on a utilisé les exposants pour définir des fonctions puissance,

du genre : 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑎, où 𝑎 est un paramètre (donc constant pour une fonctiondonnée).

Et si on écrivait plutôt 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 ?Une telle fonction est appelée une fonction exponentielle.Cette famille de fonctions est utilisée surtout pour décrire l’évolution dans

le temps (𝑥) d’une quantité soumise à une croissance constante (𝑎).Les champs d’application sont très vastes : vous allez en voir surtout

en démographie, mais les fonctions exponentielles sont aussi incontournablespour la théorie des probabilités, et donc pour les stats !

Formellement : 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, avec 𝑎 > 0, est une application bijective entre :

𝑓 : R→ R*+,

où R*+ =]0;+∞[ est l’ensemble des réels positifs non nuls.

Exemple : la croissance d’un bactérie. Considérons une bactérie quise reproduit en se divisant en 2 nouveaux individus chaque heure (Fig 6.23).En indiquant avec 𝑡 le temps en heures, 𝑢 = 𝑓(0) le nombre d’individusinitial, la formule pour calculer le nombre d’individus 𝑓(𝑡) après 𝑡 heureséquivaut à un “expand-o-tron” avec facteur de croissance 𝑎 = 2, donc :

𝑓(𝑡) = 𝑓(0) · 2𝑡,soit :

𝑓(𝑡)

𝑓(0)= 2𝑡.

Exemple : l’invest-o-tron. Une croissance avec facteur 2 correspond àun taux de croissance de 100%, car : 𝑓(𝑡+ 1) = 𝑓(𝑡) · 2 = 𝑓(𝑡) · (1 + 100%).

Imaginons maintenant d’avoir investi une somme de 1 euro dans uncompte Invest-o-tron, avec un taux d’intérêt de 100% par an (Fig. 6.24a).

En utilisant 𝑡 = 1 an comme unité, on se retrouve avec la même croissanceque les bactéries : chaque année on double notre capital :



(a) Le procès de duplication cellulairedure 1 heure (Azad, 2009).

0

5

10

15

0 1 2 3 4

t [hours]

f(t)

/f(0

)

(b) Après 4 heures.

0.0e+00

5.0e+06

1.0e+07

1.5e+07

0 5 10 15 20 25

t [hours]

f(t)

/f(0

)

(c) Après 24 heures.

0e+00

1e+14

2e+14

0 10 20 30 40 50

t [hours]

f(t)

/f(0

)

(d) Après 48 heures.

Figure 6.23 – Croissance exponentielle d’une colonie de bactéries.



(a) La croissance d’un investissementau 100% par an . . .

(b) . . . peut être considérée répartieen deux semestres.

(c) L’intérêt du premier semestreva aussi produire un intérêt audeuxième.

(d) En augmentant la fréquence d’ac-cumulation des intérêts on peut aug-menter le capital final, mais jusqu’àcombien ?

Figure 6.24 – Croissance d’un investissement (Azad, 2009).

𝑟 = 𝑢 · (1 + 100%)𝑡.

En passant des bactéries aux euros, on remarque une différence impor-tante :

— Une bactérie qui n’est pas encore divisée ne peut pas encore se repro-duire (Fig. 6.23a).

— Par contre, un demi euro peut déjà produire des intérêts.Comment peut-on profiter de cette différence ? Si on propose à notre

banque de nous verser un intérêt de 50%, mais chaque six mois, on a unavantage ultérieur : l’intérêt du premier semestre va nous rapporter un intérêtultérieur pendant le second semestre (Fig 6.24c).

Cette fois 𝑡 = 1 représente un semestre :

𝑟 = 𝑢 · (1 + 100%

2)𝑡,

donc après un an (𝑡 = 2), j’ai multiplié ma fortune 2.25 fois.Est qu’on peut faire mieux ? Si on propose à notre banque de nous verser

un intérêt de 33% chaque quatre mois ?



𝑛 (1 + 1/𝑛)𝑛

1 2

2 2.25

3 2.37

5 2.488

10 2.5937

100 2.7048

1000 2.7169

10000 2.71814

100000 2.718268

1000000 2.7182804

En Fig. 6.24d, 𝑡 = 1 représente un quadrimestre :

𝑟 = ·(1 + 100%

3)𝑡

donc après un an (𝑡 = 3), j’ai multiplié ma fortune 2.37 fois.Imaginons maintenant que notre banque puisse recalculer notre intérêt un

nombre 𝑛 de fois par an, et qu’elle puisse utiliser des nombres réels pour cal-culer, sans arrondissements. Combien peut-on multiplier notre capital chaqueannée, si on augmente encore 𝑛 ?

𝑡 = 1 est 1𝑛-ème d’année, qui rapporte un intérêt de 100%

𝑛:

(1 +1

𝑛)𝑛 →𝑛→∞ 𝑒;

𝑒 ≈ 2.7182 est la constante de Néper, ainsi nommée en honneur deJohn Napier (1550-1617), mais calculée par Leonhard Euler (d’où le 𝑒).

En somme : 𝑒 est le facteur de croissance le plus grand qu’on peut obtenirà partir d’un taux de croissance de 100%, en composant les intérêts de plusen plus souvent.

6.7.1 Logarithme

Rappel : 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, avec 𝑎 > 0, est une application bijective entre :

𝑓 : R→ R*+,

où R*+ =]0;+∞[ est l’ensemble des réels positifs non nuls.



Figure 6.25 – 𝑦 = 𝑒𝑥, la fonction exponentielle en base 𝑒.

On peut donc définir sa fonction réciproque, le logarithme de base 𝑎 :𝑓−1(𝑥) = log𝑎 𝑥, avec 𝑎 > 0 :

𝑓 : R*+ → R.

On appelle le logarithme de base 𝑒 logarithme népérien log𝑒 𝑥 = ln𝑥(Fig 6.26).

Une autre base qui est souvent utilisée est 10 : si 𝑥 = 10𝑦 on écrit 𝑦 =log10 𝑥 = log 𝑥.

6.7.2 Notation scientifique

Les nombres trop petits ou trop grands pour être écrits de façon pratiquesont représentés par vos calculettes et ordinateurs dans cette forme

±𝑎× 10𝑛,

où 𝑎 ∈ [1; 10[ est la mantisse, et 𝑛 ∈ Z l’exposant.Exemples :

1

2⏞ ⏟ 23 .45 = 1.2345× 102,



Figure 6.26 – Le logarithme népérien 𝑦 = ln 𝑥 est l’application réciproquede l’exponentielle en base 𝑒.

0.

3⏞ ⏟ 006 7 = 6.7× 10−3.

En pratique, l’exposant est le plus grand entier inférieur à log10 𝑥.

6.7.3 Propriétés des logarithmes

Le logarithme permet de transformer un produit en somme. Pour 𝑎 >0, 𝑢 > 0, 𝑣 > 0, 𝑏 ∈ R, 𝑐 ∈ R :

On connaît déjà :

𝑎𝑏 · 𝑎𝑐 = 𝑎(𝑏+𝑐)

𝑎0 = 1

1

𝑎𝑐= 𝑎−𝑐

𝑎𝑏

𝑎𝑐= 𝑎(𝑏−𝑐)



(𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏·𝑐)

On voit donc que :

log𝑎(𝑢 · 𝑣) = log𝑎 𝑢+ log𝑎 𝑣

log𝑎 1 = 0

log𝑎1

𝑣= − log𝑎 𝑣

log𝑎𝑢

𝑣= log𝑎 𝑢− log𝑎 𝑣

log𝑎(𝑢𝑐) = 𝑐 log𝑎 𝑢

6.7.4 Exponentielle et logarithme : changements debase

Pour tout 𝑎 > 0, 𝑎 = 1, et 𝑐 > 0, on peut écrire :

𝑐 = 𝑎log𝑎 𝑐.

En évaluant le logarithme népérien des deux membres de l’équivalence :

ln 𝑐 = ln(𝑎log𝑎 𝑐) = (log𝑎 𝑐) · ln 𝑎.En divisant les deux membres par ln 𝑎 on obtient :

log𝑎 𝑐 =ln 𝑐

ln 𝑎.

En général, pour 𝑏 > 0, 𝑏 = 1 :

log𝑎 𝑐 =log𝑏 𝑐

log𝑏 𝑎.



6.7.5 Échelle logarithmique

On peut utiliser la composition de fonctions pour rendre des graphiquesplus clairs.

Le logarithme présente un avantage dans ce sens : il permet de mieuxvisualiser une fonction qui varie sur plusieurs ordres de grandeur.

Par exemple, si on dessine le graphique de log10(2𝑡) (Fig. 6.27, à gauche),

on obtient une droite.

6.8 LinéaritéUne fonction 𝑓 est linéaire si ∀(𝛼, 𝛽)

𝑓(𝛼𝑥+ 𝛽) = 𝛼𝑓(𝑥) + 𝑓(𝛽)

Le seul exemple que l’on a vu : la droite par l’origine 𝑦 = 𝑎𝑥.

6.9 Position et échelleUne composition de fonction (voir Sec. 5.3.3) très utilisée en statistique

implique la fonction

𝑔(𝑥) =𝑥− 𝜇

𝜎.

En composant une fonction ℎ(𝑥) avec 𝑔, on obtient une nouvelle fonction𝑓(𝑥) = ℎ[𝑔(𝑥)], qui est une version translatée et dilatée en horizontal de la ℎoriginale.

𝜇 est le paramètre de position, et contrôle le déplacement horizontal, versla droite (𝜇 > 0) ou vers la gauche (𝜇 < 0).

𝜎 est le paramètre d’échelle, et contrôle la dilatation (𝜎 > 1) ou compres-sion (𝜎 < 1) horizontale.

Exemple : 𝑓(𝑥) =(𝑥−𝜇𝜎

)2Voir le graphique interactif :

http://homepages.ulb.ac.be/ mgagliol/SOCAD173/posscale.html.


http://homepages.ulb.ac.be/~mgagliol/SOCAD173/posscale.html


0

5

10

15

0 1 2 3 4

t [hours]

f(t)

/f(0

)

(a) Fonction exponentielle 𝑦 = 𝑒𝑥.

1

2

3

4

5

6789

10111213141516

0 1 2 3 4

t [hours]

f(t)

/f(0

) [lo

g1

0 s

ca

le]

(b) Représentation avec échelle logarith-mique sur l’axe 𝑦.

0.0e+00

5.0e+06

1.0e+07

1.5e+07

0 5 10 15 20 25

t [hours]

f(t)

/f(0

)

(c) La même fonction sur une intervalleplus long.

1e+01

1e+02

1e+03

1e+04

1e+05

1e+06

1e+07

0 5 10 15 20 25

t [hours]

f(t)

/f(0

) [lo

g1

0 s

ca

le]

(d) La même fonction sur une intervalleplus long.

Figure 6.27 – Échelle linéaire (à gauche) et logarithmique (à droite).


Chapitre 7

Analyse de fonctions

7.1 Inégalités et études de fonction— On a vu dans la Section 6.2.5 que les relations d’inégalité permettent

de définir un ordre des éléments dans les ensembles numériques ;— ces mêmes relations permettent de définir des sous-ensembles dits in-

tervalles (Sec. 6.2.6),— ainsi que (la plupart des) propriétés des fonctions.

7.1.1 Minorations/majorations par constantes

Une fonction 𝑓 est majorée par un réel 𝑀 sur l’intervalle 𝐼 ssi :

𝑓(𝑥) ≤𝑀 ∀𝑥 ∈ 𝐼

Une fonction 𝑓 est minorée par un réel 𝑚 sur l’intervalle 𝐼 ssi :

𝑓(𝑥) ≥ 𝑚 ∀𝑥 ∈ 𝐼

Une fonction est bornée sur 𝐼 ssi elle est à la fois majorée et minorée sur𝐼

Exemples :— 𝑥2 + 𝑐 est minorée par 𝑐— −𝑥2 + 𝑐 est majorée par 𝑐— 𝑎𝑥+ 𝑏 est bornée sur [𝑐, 𝑑]

7.1.2 Maximum/minimum (extrema)

Une fonction 𝑓 admet un maximum en 𝑐 ∈ 𝐼 ssi 𝑓(𝑥) est majorée par𝑓(𝑐) :

115


𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑐) ∀𝑥 ∈ 𝐼

Une fonction 𝑓 admet un minimum en 𝑐 ∈ 𝐼 ssi 𝑓(𝑥) est minorée par𝑓(𝑐) :

𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑐) ∀𝑥 ∈ 𝐼

Exemples :— pour 𝑎 > 0, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 admet un minimum en 𝑥 = − 𝑏

2𝑎

— pour 𝑎 < 0, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 admet un maximum en 𝑥 = − 𝑏2𝑎

7.1.3 Minorations/majorations par fonctions

Un fonction 𝑓 minore une fonction 𝐺 sur l’intervalle 𝐼 ssi :

𝑓(𝑥) ≤ 𝐺(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐼

Un fonction 𝑓 majore une fonction 𝑔 sur l’intervalle 𝐼 ssi :

𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐼

Exemples :— 𝑥2 + 1 majore 𝑥— 𝑥+ 1 minore 𝑒𝑥

7.1.4 Croissance/Décroissance

Une fonction 𝑓 est croissante sur un intervalle 𝐼 ssi :

∀(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐼2, 𝑎 < 𝑏⇒ 𝑓(𝑎) ≤ 𝑓(𝑏)

𝑓 est strictement croissante sur 𝐼 ssi :

∀(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐼2, 𝑎 < 𝑏⇒ 𝑓(𝑎) < 𝑓(𝑏)

Une fonction 𝑓 est décroissante sur un intervalle 𝐼 ssi :

∀(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐼2, 𝑎 < 𝑏⇒ 𝑓(𝑎) ≥ 𝑓(𝑏)

𝑓 est strictement décroissante sur 𝐼 ssi :

∀(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐼2, 𝑎 < 𝑏⇒ 𝑓(𝑎) > 𝑓(𝑏)



Monotonie

Une fonction qui est toujours croissante (ou toujours décroissante) sur 𝐼est dite monotone sur 𝐼.

Une fonction qui est toujours strictement croissante (ou toujours stricte-ment décroissante) sur 𝐼 est dite strictement monotone sur 𝐼.

7.2 Limites (définition intuitive)Si 𝐼 n’est pas borné (les extrêmes de l’intervalle 𝐼 ne sont pas finis), on

peut parler des limites de la fonction : vers ou 𝑓(𝑥) va quand 𝑥 diminue ?

𝑓(𝑥) −−−−→𝑥→−∞

𝑐

Et quand 𝑥 augmente ?

𝑓(𝑥) −−−−→𝑥→+∞

𝑑

Exemples :

𝑒𝑥 −−−−→𝑥→−∞

0

𝑒𝑥 −−−−→𝑥→+∞

+∞

𝑥2 −−−−→𝑥→−∞

+∞

𝑥2 −−−−→𝑥→+∞

+∞

7.3 Continuité (définition intuitive)Une fonction est continue sur un intervalle 𝐼 si on peut la dessiner sans

jamais détacher le crayon de la feuille.Une fonction 𝑓 définie sur ]𝑎, 𝑏[∪𝑏∪]𝑏, 𝑐[ est continue à gauche in 𝑏

si, avec 𝜖 > 0 :

𝑓(𝑏− 𝜖) −−→𝜖→0

𝑓(𝑏)

Ce qu’on peut aussi écrire :

𝑓(𝑥) −−−→𝑥→𝑏−

𝑓(𝑏)



7.4 Convergence/DivergenceSoit 𝑏 la limite de 𝑓 in 𝑎 :

𝑓(𝑥) −−→𝑥→𝑎

𝑏

Si 𝑏 est fini, on dit que 𝑓 converge in 𝑎.Si 𝑏 est infini, on dit que 𝑓 diverge in 𝑎.On peut comparer deux fonctions qui convergent à la même limite par

leur vitesse de convergence. Par exemple :— pour 𝑥→ +∞, 𝑒−𝑥 converge à 0+ plus vite que 1

𝑥𝑎 , ∀𝑎 > 0 ;— pour 𝑥→ +∞, 𝑒𝑥 diverge vers +∞ plus vite que 𝑥𝑎, ∀𝑎 > 0 ;— pour 𝑥→ +∞, ln𝑥 diverge à +∞ plus lentement que 𝑥𝑎, ∀𝑎 > 0.— pour 𝑥→ 0+, ln𝑥 diverge à −∞ plus lentement que − 1

𝑥𝑎 , ∀𝑎 > 0.

7.5 Symétrie et parité

7.5.1 Symétrie

En général, 𝑓 est symétrique par rapport à une droite verticale 𝑥 = 𝑎si 𝑓(𝑎 − 𝑥) = 𝑓(𝑎 + 𝑥). Si une fonction est symétrique, on peut en limiterl’étude à un coté (par ex. 𝑥 ≤ 𝑎) et déduire le reste par symétrie.

Exemples : une parabole 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 est symétrique par rapportà 𝑥 = − 𝑏

2𝑎.

7.5.2 Fonctions pairs

𝑓 est pair ssi symétrique par rapport à l’axe vertical : 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥).Exemples : 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2, 𝑓(𝑥) = 𝑐.

7.5.3 Fonctions impairs

𝑓 est impair ssi symétrique par rapport à l’origine (0, 0) : 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)Exemples : 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, 𝑓(𝑥) = 𝑎

𝑥.

7.6 Taux d’accroissement d’une fonctionLe taux d’accroissement d’une fonction est le rapport entre sa variation

moyenne sur un intervalle, et la longueur de cet intervalle.



En général : en allant de 𝑥1 à 𝑥2 > 𝑥1, 𝑓 augmente de 𝑓(𝑥2)− 𝑓(𝑥1). Ondéfinit le taux d’accroissement de 𝑓 ainsi :

𝑓(𝑥2)− 𝑓(𝑥1)

𝑥2 − 𝑥1

.

On a commencé par la variation la plus simple, celle de la droite. Dansce cas :

𝑓(𝑥2)− 𝑓(𝑥1) = (𝑎𝑥2 + 𝑏)− (𝑎𝑥1 + 𝑏) = 𝑎(𝑥2 − 𝑥1),

ou bien :

𝑓(𝑥2)− 𝑓(𝑥1)

𝑥2 − 𝑥1

= 𝑎.

Pour une droite donc, le taux d’accroissement de 𝑓(𝑥) est donc constant,indépendant de l’intervalle considéré.

On peut réécrire 𝑥1 = 𝑥 et 𝑥2 = 𝑥1 +Δ𝑥, avec Δ𝑥 > 0.En général : en allant de 𝑥 à 𝑥+Δ𝑥, 𝑓 augmente de 𝑓(𝑥+Δ𝑥)− 𝑓(𝑥).Dans le cas de la droite :

𝑓(𝑥+Δ𝑥)− 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+Δ𝑥) + 𝑏− (𝑎𝑥+ 𝑏) = 𝑎Δ𝑥

ou bien :

𝑓(𝑥+Δ𝑥)− 𝑓(𝑥)

Δ𝑥= 𝑎

Pour une droite donc, le taux d’accroissement de 𝑓(𝑥) est constant, indé-pendante de 𝑥, et aussi indépendante de Δ𝑥. Graphiquement, le taux d’ac-croissement 𝑎 est la pente de la droite.

En d’autres mots : la variation de 𝑓(𝑥) est proportionnelle à la variationde 𝑥.

Exemples : pour 𝑓(𝑥) = 𝑥2 (Fig. 7.1) :

(𝑥+Δ𝑥)2 − 𝑥2

Δ𝑥=

𝑥2 + 2𝑥Δ𝑥+ (Δ𝑥)2 − 𝑥2

Δ𝑥= 2𝑥+Δ𝑥.

Pour 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 (Fig. 7.2) :

𝑒(𝑥+Δ𝑥) − 𝑒𝑥

Δ𝑥=

𝑒𝑥(𝑒Δ𝑥 − 1)

Δ𝑥.

Un graphique interactif est disponible à l’adresse :http://homepages.ulb.ac.be/ mgagliol/SOCAD173/derivapp.html.


http://homepages.ulb.ac.be/~mgagliol/SOCAD173/derivapp.html


Figure 7.1 – Taux de variation pour 𝑓(𝑥) = 𝑥2.

Figure 7.2 – Taux de variation pour 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥.



Figure 7.3 – Exemple : la dérivée d’une parabole en un point est la pentede la tangente dans ce même point.

7.7 Dérivée d’une fonctionSi on considère le taux d’accroissement instantané dans un point 𝑥, ça

sera la limite du taux d’accroissement pour Δ𝑥→ 0+, mieux connue commela dérivée de 𝑓 :

𝑓(𝑥+Δ𝑥)− 𝑓(𝑥)

Δ𝑥−−−−→Δ𝑥→0+

𝑓 ′(𝑥). (7.1)

Graphiquement, c’est la pente de la droite qui ”touche” 𝑓(𝑥) en corres-pondance de 𝑥 : cette droite s’appelle la tangente de 𝑓(𝑥) en 𝑥 (Figure7.3).

7.7.1 Dérivée et optimisation

Si une fonction a un extremum 𝑐 à l’intérieur d’un intervalle 𝐼 : parexemple, soit 𝑐 un minimum, on aura, pour Δ x suffisamment petit, tel que[𝑐−Δ; 𝑐+Δ] ⊂ 𝐼 :

[𝑓(𝑐−Δ𝑥) > 𝑓(𝑐)] ∧ [𝑓(𝑐+Δ𝑥) > 𝑓(𝑐)],



𝑓(𝑥) 𝑓 ′(𝑥)

𝑎 0

𝑎𝑥+ 𝑏 𝑎

𝑥𝑎 𝑎𝑥𝑎−1

𝑒𝑥 𝑒𝑥

ln𝑥 1𝑥

Table 7.1 – Dérivées de fonctions communes (𝑎, 𝑏 ∈ R).

𝑓(𝑥) 𝑓 ′(𝑥)

𝑎𝑓(𝑥) 𝑎𝑓 ′(𝑥)

𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 𝑓 ′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑓 ′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

𝑔[𝑓(𝑥)] 𝑔′[𝑓(𝑥)]𝑓 ′(𝑥)

Table 7.2 – Principales propriétés des dérivées (𝑎 ∈ R).

𝑓(𝑥) 𝑓 ′(𝑥)

𝑐𝑥 𝑐𝑥 ln 𝑐1

𝑓(𝑥)− 𝑓 ′(𝑥)

𝑓2(𝑥)𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)

𝑔′(𝑥)𝑓(𝑥)−𝑓 ′(𝑥)𝑔(𝑥)𝑓2(𝑥)

Table 7.3 – Exemples d’application des propriétés des dérivées (𝑐 > 0).



donc :

[𝑓(𝑐−Δ𝑥)− 𝑓(𝑐) > 0] ∧ [𝑓(𝑐+Δ𝑥)− 𝑓(𝑐) > 0].

En divisant les deux inéquations par Δ𝑥 :

[𝑓(𝑐−Δ𝑥)− 𝑓(𝑐)

Δ𝑥> 0] ∧ [

𝑓(𝑐+Δ𝑥)− 𝑓(𝑐)

Δ𝑥> 0].

Je peux réécrire la première en remplaçant 𝑑 = 𝑐 − Δ𝑥 et changeant lesigne et donc le vers de l’inégalité :

[𝑓(𝑑+Δ𝑥)− 𝑓(𝑑)

Δ𝑥< 0] ∧ [

𝑓(𝑐+Δ𝑥)− 𝑓(𝑐)

Δ𝑥> 0].

La dérivée est négative pour 𝑥 < 𝑐 et positive pour 𝑥 > 𝑐 : si la dérivée estcontinue in 𝑐 alors elle sera nulle. Le même raisonnement porte à un résultatanalogue si 𝑐 est un maximum : dans ce cas la dérivée est positive avant lemaximum, négative après.

En somme : si 𝑐 est un extremum sur 𝐼, et il se situe à l’intérieur de 𝐼,alors

𝑓 ′(𝑐) = 0.

Graphiquement : la tangente dans le point extrême est une droite hori-zontale (avec pente nulle).

Voir le graphique interactif :http://homepages.ulb.ac.be/ mgagliol/SOCAD173/deriv2.html.

7.8 ConvexitéEncore une propriété de fonction définie sur base des inégalités.Intuitivement, une fonction est convexe sur un intervalle 𝐼, si elle est

inférieure ou égale à toute corde définie sur cet intervalle (Fig 7.5).Plus précisément : si pour toute [𝑎; 𝑏] ∈ 𝐼, le segment de droite compris

entre (𝑎, 𝑓(𝑎)) et (𝑏, 𝑓(𝑏)) (une corde) est supérieur à la fonction 𝑓 .Une fonction est concave sur un intervalle où elle est supérieure ou égale

à toute corde.Voir le graphique interactif :

http://homepages.ulb.ac.be/ mgagliol/SOCAD173/convex.html.


http://homepages.ulb.ac.be/~mgagliol/SOCAD173/deriv2.html

http://homepages.ulb.ac.be/~mgagliol/SOCAD173/convex.html


Figure 7.4 – Exemple : minimum d’une fonction polynôme.



Figure 7.5 – Convexité d’une fonction.



7.8.1 Dérivée seconde et convexité

Une fois évaluée la dérivée 𝑓 ′(𝑥) d’une fonction 𝑓(𝑥), on peut dériver 𝑓 ′(𝑥)à son tour, en obtenant la dérivée seconde de 𝑓(𝑥), indiquée par 𝑓 ′′(𝑥).

Par exemple :

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥+ 1

𝑓 ′(𝑥) = 2𝑥+ 1

𝑓 ′′(𝑥) = 2

On a vu qu’une fonction est croissante sur les intervalles où sa dérivée estpositive.

Une dérivée seconde 𝑓 ′′(𝑥) positive signifie donc une dérivée 𝑓 ′(𝑥) crois-sante.

On peut prouver qu’une fonction 𝑓 est convexe sur les intervalles où 𝑓 ′′

est positive, et concave où 𝑓 ′′ est négative.Les racines de 𝑓 ′′, soit les 𝑥𝑖 tels que 𝑓 ′′(𝑥𝑖) = 0, sont appelées des points

d’inflection de 𝑓 .Voir le graphique interactif :

http://homepages.ulb.ac.be/ mgagliol/SOCAD173/deriv2.html, en marquantla boite 𝑓 ′′(𝑥).

7.9 Tableau de variationsOn peut résumer les différentes propriétés d’une fonction :— domaine de définition 𝐷— discontinuités éventuelles (par ex. racines du dénominateur)— extrêmes de 𝐷 et discontinuités (limites si 𝐷 ouvert)— croissance : dérivée positive— décroissance : dérivée négative— extrema intérieurs à 𝐷 : racines de la dérivée— convexité : dérivée seconde positive— concavité : dérivée seconde négative— points d’inflection : racines de la dérivée secondeen construisant son tableau de variations. Des exemples sont reportés

en Figure 7.7 et 7.8.


http://homepages.ulb.ac.be/~mgagliol/SOCAD173/deriv2.html


Figure 7.6 – Dérivée seconde d’une fonction polynôme.

𝑥 −∞ 0 +∞𝑥2 +∞ 0 +∞

Figure 7.7 – Tableau de variations de la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥2.



𝑥 −∞ 0− 0+ +∞1𝑥

0− −∞ +∞ 0+

Figure 7.8 – Tableau de variations de la fonction 𝑓(𝑥) = 1𝑥.

7.10 IntégralesL’intégrale est l’opération « réciproque » de la dérivée, permettant de :— Analyser tout processus d’accumulation (pas seulement économique)— Comprendre le lien entre la fonction de répartition et la densité d’une

distribution de probabilité (STATD103)— Évaluer la probabilité d’un intervalle de valeurs pour une variable

aléatoire (STATD103)Soit 𝑓(𝑥) définie sur 𝐷. Comment calculer l’aire entre son graphe et l’axe

horizontal sur un intervalle ?Soit [𝑎, 𝑏] l’intervalle en question.Je peux approximer l’aire 𝐴 comme la somme de 𝑛 rectangles ainsi

(Fig. 7.9) :

𝐴 ≈𝑛−1∑𝑖=0

hauteur⏞ ⏟ 𝑓(𝑎+ 𝑖 · 𝑏− 𝑎

𝑛)

base⏞ ⏟ 𝑏− 𝑎

𝑛



Figure 7.9 – Approximation de l’aire d’une fonction comme somme de rec-tangles.



7.10.1 Intégrale définie

Pour rendre l’approximation plus précise, je peux augmenter 𝑛 de façonarbitraire. À la limite pour 𝑛→∞ je vais obtenir l’aire que je cherchais

𝑛−1∑𝑖=0

𝑓(𝑎+ 𝑖 · 𝑏− 𝑎

𝑛)𝑏− 𝑎

𝑛−−−−→𝑛→+∞

∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Le signe∫ 𝑏

𝑎indique l’opération d’intégration définie sur l’intervalle

[𝑎, 𝑏].Voir le graphique interactif :

http://homepages.ulb.ac.be/ mgagliol/SOCAD173/riemann.html.Le signe d’une intégrale définie dépends à la fois du signe de la fonc-

tion intégrande et de la direction de l’intégration, c’est à dire le signe de ladifférence entre les extrêmes d’intégration.

Pour 𝑎 < 𝑏 et 𝑓(𝑥) ≥ 0 sur [𝑎, 𝑏] :∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0

Pour 𝑎 < 𝑏 et 𝑓(𝑥) ≤ 0 sur [𝑎, 𝑏] :∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ 0

Dans les deux cas : ∫ 𝑎

𝑏

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Pour résumer, voici le signe d’un intégrale définie

𝐴 =

∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥,

en fonction du signe de (𝑏− 𝑎) et du signe de 𝑓 sur [𝑎, 𝑏] :

𝑓(𝑥) ≥ 0 ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑓(𝑥) < 0 ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]

𝑎 < 𝑏 𝐴 ≥ 0 𝐴 < 0

𝑎 > 𝑏 𝐴 ≤ 0 𝐴 > 0

Pour 𝑎 = 𝑏, 𝐴 =∫ 𝑎

𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0.

Si la fonction 𝑓 change son signe sur [𝑎, 𝑏], on ne peut rien dire à priorisur le signe de 𝐴.


http://homepages.ulb.ac.be/~mgagliol/SOCAD173/riemann.html


7.10.2 Intégrale indéfinie

Une fois choisi l’extrême inférieur 𝑎 de l’intervalle d’intégration, on peutétudier la variation de l’intégrale définie sur [𝑎, 𝑏] en variant 𝑏.

Vu qu’on considère 𝑏 comme une variable, on peut écrire :

𝐹 (𝑥) =

∫ 𝑥

𝑎

𝑓(𝑡)𝑑𝑡

qui définit une nouvelle fonction 𝐹 : 𝐷 → R, où 𝐷 est le domaine de 𝑓 .On appelle 𝐹 une primitive de 𝑓 .Voir le graphique interactif :

http://homepages.ulb.ac.be/ mgagliol/SOCAD173/integralind.html.

7.10.3 Propriétés de l’intégrale

En changeant la direction de l’intégration on change le signe du résultat :∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −∫ 𝑎

𝑏

𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Relation de Chasles :∫ 𝑐

𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =

∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥+

∫ 𝑐

𝑏

𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

7.10.4 Relation entre intégrale et dérivée

Essayons d’évaluer la dérivée de 𝐹 (𝑥) =∫ 𝑥

𝑎𝑓(𝑡)𝑑𝑡.

On sait que :

𝐹 (𝑥+Δ𝑥)− 𝐹 (𝑥)

Δ𝑥−−−−→Δ𝑥→0+

𝐹 ′(𝑥).

Dans le cas de 𝐹 , le taux d’accroissement vaut :

𝐹 (𝑥+Δ𝑥)− 𝐹 (𝑥)

Δ𝑥=

∫ 𝑥+Δ𝑥

𝑎𝑓(𝑡)𝑑𝑡−

∫ 𝑥

𝑎𝑓(𝑡)𝑑𝑡

Δ𝑥.

En appliquant la relation de Chasles, on peut simplifier ainsi :∫ 𝑥+Δ𝑥

𝑥𝑓(𝑡)𝑑𝑡

Δ𝑥−−−−→Δ𝑥→0+

𝐹 ′(𝑥).

On peut approximer l’intégrale∫ 𝑥+Δ𝑥

𝑥𝑓(𝑡)𝑑𝑡 avec l’aire d’un rectangle de

hauteur 𝑓(𝑥) et base Δ𝑥.


http://homepages.ulb.ac.be/~mgagliol/SOCAD173/integralind.html


Figure 7.10 – Relation entre intégrale et dérivée.

En réduisant Δ𝑥, la différence entre cette aire et l’intégrale va tendre vers0 : ∫ 𝑥+Δ𝑥

𝑥

𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ≈ 𝑓(𝑥)Δ𝑥.

On peut donc écrire :∫ 𝑥+Δ𝑥

𝑥𝑓(𝑡)𝑑𝑡

Δ𝑥≈ 𝑓(𝑥)Δ𝑥

Δ𝑥−−−−→Δ𝑥→0+

𝐹 ′(𝑥).

(Graphique interactif :http://homepages.ulb.ac.be/ mgagliol/SOCAD173/fondamental.html).

Dont on déduit intuitivement que 𝐹 ′(𝑥) = 𝑓(𝑥). Voir le graphique :http://homepages.ulb.ac.be/ mgagliol/SOCAD173/integralind.htmlen visualisant 𝐹 ′.


http://homepages.ulb.ac.be/~mgagliol/SOCAD173/fondamental.html

http://homepages.ulb.ac.be/~mgagliol/SOCAD173/integralind.html


Fonction 𝑓(𝑥) = 𝐹 ′(𝑥) Primitive 𝐹 (𝑥)

𝑎 · 𝑢′(𝑥) 𝑎 · 𝑢(𝑥)𝑎 · 𝑢′(𝑥) + 𝑏 · 𝑣′(𝑥) 𝑎 · 𝑢(𝑥) + 𝑏 · 𝑣(𝑥)𝑢′[𝑣(𝑥)] · 𝑣′(𝑥) 𝑢[𝑣(𝑥)]

𝑎 𝑎 · 𝑥𝑥𝑎 pour 𝑎 = −1 𝑥𝑎+1

𝑎+1

𝑒𝑥 𝑒𝑥

𝑐𝑥 𝑐𝑥

ln 𝑐

𝑣′(𝑥) · 𝑒𝑣(𝑥) 𝑒𝑣(𝑥)

1𝑥

ln𝑥𝑣′(𝑥)𝑣(𝑥)

ln [𝑣(𝑥)]

Table 7.4 – Exemples de primitives des fonctions communes, pour 𝑎, 𝑏 ∈ R,𝑐 ∈ R+

0 , 𝑢(𝑥) et 𝑣(𝑥) deux fonctions définies sur (un sous-ensemble de) R.

7.10.5 Primitives d’une fonction

𝐹 n’est pas la seule primitive de 𝑓 . En effet, pour tout 𝑎 on obtient uneprimitive de 𝑓 différente. En appliquant Chasles on peut écrire :

𝐹1(𝑥)⏞ ⏟ ∫ 𝑥

𝑎1

𝑓(𝑡)𝑑𝑡 =

const⏞ ⏟ ∫ 𝑎2

𝑎1

𝑓(𝑡)𝑑𝑡+

𝐹2(𝑥)⏞ ⏟ ∫ 𝑥

𝑎2

𝑓(𝑡)𝑑𝑡

.En d’autres mots, toutes les primitives de 𝑓 diffèrent entre elles par une

constante. On peut aussi le déduire des propriétés de la dérivation : si ladérivée de 𝐹 (𝑥) est 𝑓(𝑥), alors toute 𝐹 (𝑥) + 𝑐, où 𝑐 ∈ R est une constante,aura la même dérivée 𝑓(𝑥).

La primitive 𝐹𝑎(𝑥) =∫ 𝑥

𝑎𝑓(𝑡)𝑑𝑡 est celle telle que 𝐹𝑎(𝑎) = 0.

On peut trouver les primitives des fonctions les plus communes en relisantle tableau qu’on avait fait pour les dérivés, et en sachant que si 𝑓 ′(𝑥) est ladérivée de 𝑓(𝑥), alors 𝑓(𝑥) est une primitive de 𝑓 ′(𝑥) ; et que si 𝐹 (𝑥) est uneprimitive de 𝑓 , alors toute 𝐹 (𝑥) + 𝑐 est aussi une primitive.

Le tableau 7.4 reporte des exemples de primitives de fonctions.

7.10.6 Théorème fondamental du calcul

Si on réécrit Chasles comme ça :



Figure 7.11 – Théorème fondamental du calcul.

∫ 𝑏

𝑎


∫ 𝑐

𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥+

∫ 𝑏

𝑐

𝑓(𝑥)𝑑𝑥,

en sachant que∫ 𝑐

𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −

∫ 𝑎

𝑐𝑓(𝑥)𝑑𝑥, on peut écrire∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −𝐹𝑐(𝑎) + 𝐹𝑐(𝑏).

Plus généralement, pour toute primitive 𝐹 de 𝑓 , on peut prouver :∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝐹 (𝑥)]𝑏𝑎 = 𝐹 (𝑏)− 𝐹 (𝑎).

Version interactive :http://homepages.ulb.ac.be/ mgagliol/SOCAD173/fondamental2.html.

En somme : pour évaluer une intégrale de 𝑓 définie sur [𝑎, 𝑏], on chercheune primitive 𝐹 , et on calcule son incrément de 𝑎 à 𝑏.


http://homepages.ulb.ac.be/~mgagliol/SOCAD173/fondamental2.html


7.10.7 Propriétés des intégrales

Soient 𝑓 et 𝑔 définies sur [𝑎, 𝑏], 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝜆 ∈ R, 𝜇 ∈ R :∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −∫ 𝑎

𝑏

𝑓(𝑥)𝑑𝑥,

∫ 𝑏

𝑎


∫ 𝑐

𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥+

∫ 𝑏

𝑐

𝑓(𝑥)𝑑𝑥,

∫ 𝑏

𝑎

(𝜆𝑓(𝑥) + 𝜇𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = 𝜆

∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥+ 𝜇

∫ 𝑏

𝑎

𝑔(𝑥)𝑑𝑥.


Annexe A

Solution des exercices

Solution de l’exercice 1

1. #(DFPE) = 4

2. #(ALECE) = 7

3. #(EURO) = 18


URB ⊂ RBK

AELE ⊂ S

EURO ⊂ UE

EURO ⊂ UDUE

UE ⊂ UDUE

UDUE ⊂ CE

EEC ⊂ CE

GUAM ⊂ CE

UE ⊂ CE

EURO ⊂ CE

S ⊂ CE

AELE ⊂ CE

136



1. Enlever IS, LI, NO, rajouter HR.2. Rajouter TK, AD, SM, MC.

Solution de l’exercice 5On a vu que avec 2 ensembles 𝐴, 𝐵, on partitionne l’univers en 4 parties,

correspondantes à 4 éventualités pour le placement d’un élément 𝑥.

A B

Ω

x ∈ A

x ∈ B

x ∈ A

x /∈ B

x /∈ A

x ∈ B

x /∈ A

x /∈ B

Si on rajoute un troisième ensemble 𝐶, pour chacune de ces 4 éventualités,𝑥 peut appartenir à 𝐶, ou pas, de façon indépendante. Le nombre des partiesdoit donc doubler. On peut vérifier ça en dessinant l’arbre des éventualitéspour le placement d’un élément 𝑥.



𝑥 /∈ 𝐶

𝑥 ∈ 𝐶

𝑥 /∈ 𝐵

𝑥 /∈ 𝐶

𝑥 ∈ 𝐶

𝑥 ∈𝐵

𝑥/∈𝐴

𝑥 /∈ 𝐶

𝑥 ∈ 𝐶

𝑥 /∈ 𝐵

𝑥 /∈ 𝐶

𝑥 ∈ 𝐶

𝑥 ∈𝐵

𝑥∈ 𝐴

Avec trois ensembles on aura donc bien 8 parties de l’univers, soit 8 place-ments possibles pour un élément. Pour le dessin, on peut partir du diagrammeà deux ensembles. Si on rajoute un troisième ensemble 𝐶, de façon que safrontière coupe en deux chaque partie, voici le dessin résultant :



Ω

A B

C

Diagramme de Venn à trois ensembles.


Propositions

𝐴 ⊃ (𝐵 ∩ 𝐴)

𝐶 = 𝐴 ∖𝐵2 ∈ 1, 2, 32 ⊂ 1, 2, 3𝑥 /∈ (𝐴 ∩𝐵)

𝐴 ∪𝐵 = 𝐶

(𝐴 ∖𝐵) ⊂ 𝐶

#(𝐴) ≥ #(𝐵)

Ensembles

𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)

(𝐴 ∖𝐵) ∖ 𝐶1, 2, 3 ∖ 2

𝐴 ∪ (𝐵 ∖ (𝐶 ∩𝐷))

Solution de l’exercice 7Voici le tableau complet :



« 𝐴 rencontre 𝐵 » 𝐴 ∩𝐵 = ∅« 𝐴 et 𝐵 sont disjoints » 𝐴 ∩𝐵 = ∅« 𝐴 est inclus dans 𝐵 » 𝐴 ⊂ 𝐵

« 𝐴 équivaut à 𝐵 » 𝐴 = 𝐵

Avec les diagrammes :

A B

Ω

𝐴 et 𝐵 se rencontrent :𝐴 ∩𝐵 = ∅.

A B

Ω

𝐴 et 𝐵 sont disjoints :𝐴 ∩𝐵 = ∅.

A B

Ω

𝐴 est inclus dans 𝐵 :𝐴 ⊂ 𝐵.

A B

Ω

𝐴 et 𝐵 sont équivalents :𝐴 = 𝐵.


1. Appelons l’ensemble des gens qui n’ont pas encore voté 𝐴 et faisons-enune fonction 𝐴(𝑡) qui dépend de l’heure 𝑡 : 𝐴(18 : 48) est l’ensembledes gens n’ayant pas voté à 18 : 48, heure de diffusion des sondages,douze minutes avant la fermeture des urnes. Appelons Ω = 𝐴(18 : 48)cet ensemble, qui sera notre univers de référence, car il inclut tousles éléments qui nous intéressent (les électeurs pouvant changer d’avisaprès la diffusion des sondages). Tout comme dans l’ensemble de tousles électeurs, dans cet ensemble aussi on peut distinguer trois sous-ensembles d’électeurs :— l’ensemble 𝐵 des électeurs potentiels de Bush— l’ensemble 𝑁 des électeurs suivant les news— l’ensemble 𝐶 des électeurs changeant d’avis suite à l’exposition à

un sondage qui contraste avec leur intention de vote.On peut représenter ces trois ensembles dans un diagramme de Venn(voir Ex. 5) :



Ω

Vu que l’appartenance aux trois ensembles est nécessaire pour être unélecteur de Bush qui change d’avis après avoir vu la nouvelle relativeau sondage, l’ensemble que nous intéresse est l’intersection de ces troisensembles, (𝐵 ∩𝑁) ∩ 𝐶, mise en évidence en figure.

2. Supposons, par goût de simplicité, et puisque cela n’est pas expli-cité dans l’énoncé, que la distribution des votes en fonction du tempsest uniforme, c’est à dire que le nombre des votants par minute soitconstant au long de toute la période de vote de 12 heures (de 7 à 19).Le nombre de votants dans les 12 heures est 𝑉 = 303000 ; le nombredes votants par minute sera donc 𝑉

12·60 .

8 10 12 14 16 18

1

2

3·105

Heures

Votants

Nombre de votants par heure

25250𝑥− 176750Votants à 18h48

On peut donc estimer le nombre d’électeurs qui doivent encore voterà 18 : 48, et qui vont donc voter dans les derniers 12 minutes, ainsi :



#(Ω) = 12 · 𝑉

12 · 60 =𝑉

60Pour estimer la taille de l’ensemble qui nous intéresse, on doit fairequelques hypothèses supplémentaires. Supposons en particulier queles individus appartenant à 𝐵, 𝑁 et 𝐶 sont représentés dans Ω avecles mêmes proportions que dans la population de tous les électeurs ;et que ces proportions restent les mêmes si on considère chaque en-semble. C’est à dire, par exemple, que le pourcentage des électeurs quiregardent les news est le même parmi les électeurs de Bush et parmiles autres ; que le pourcentage des électeurs qui changent d’avis est lemême parmi ceux qui regardent les news et parmi les autres ; que lepourcentage d’électeurs de Bush parmi ceux qui doivent encore voterà 18 : 48 est le même que parmi ceux qui ont déjà voté, et ainsi desuite 4.Pour estimer le nombre d’électeurs potentiels de Bush qui auraientchangé d’avis suite à l’exposition au sondage, il suffit maintenant deprendre les 10% de gens qui changent d’avis suivant les sondages parmiles 20% de gens qui suivent les news régulièrement parmi les 66% desélecteurs potentiels de Bush parmi les 𝑉

60qui n’ont pas voté à 18 : 48.

On a donc :

#(𝐶 ∩ (𝑁 ∩𝐵)) =1

10× 1

5× 2

3× 303000

60=

1010

5 · 3 =202

3= 66.666 . . .

Contrairement aux 10000 votes perdus annoncés par Lott, on trouvedonc environ 67 votes qui changent.Sources— Brady, H.E., 2010, Data-Set Observations versus Causal-Process

Observations : The 2000 U.S. Presidential Election. In Brady, H.E.,et Collier, D., Rethinking Social Inquiry, Rowman & Littlefield.

— Goertz, G., Mahoney, J., 2012, A Tale of Two Cultures : Contras-ting Qualitative and Quantitative Paradigms. Princeton UniversityPress.

Solution de l’exercice 9Ici on doit définir des ensembles dans la forme

𝑘 ∈ 𝐾 | P(𝑘)4. En termes statistiques, on considère l’appartenance à chacun de ces ensembles comme

indépendante.



où 𝑘 est un index qui représente un individu, K est l’univers (ensemblede tous les individus résidant en Belgique), P(𝑘) une proposition dont lavaleur de vérité dépend de la variable 𝑘. Pour chaque point, on doit trouverl’expression formelle P(𝑘) qui est vraie pour (et seulement pour) l’ensembledes individus décrit.

1. les Belges ayant entre 40 et 45 ans qui sont inscrits au CPAS :Ici on a trois conditions :— être belge : 𝑏(𝑘) = 1, ou simplement 𝑏(𝑘)— avoir entre 40 et 45, donc (au 2015) être né(e)s entre 1970 et 1975 :

1970 ≤ 𝑦(𝑘) ≤ 1975— être au CPAS : 𝑐(𝑘) = 1, ou simplement 𝑐(𝑘)On veut les individus qui satisfont aux trois conditions en mêmetemps : on doit donc connecter ces conditions avec des conjonctions :

𝑘 ∈ 𝐾 | (𝑏(𝑘) ∧ (1970 ≤ 𝑦(𝑘) ≤ 1975)) ∧ 𝑐(𝑘).

2. les individus inscrits au CPAS ayant fait au moins des études secon-daires :Ici on a deux conditions :— être au CPAS : 𝑐(𝑘) = 1, ou simplement 𝑐(𝑘)— avoir fait au moins des études secondaires : 𝑠(𝑘) ≥ 2, ou bien

𝑠(𝑘) ∈ 2, 3On veut les individus qui satisfont aux deux conditions en mêmetemps : on doit donc les connecter avec une conjonction :

𝑘 ∈ 𝐾 | 𝑐(𝑘) ∧ (𝑠(𝑘) ≥ 2).

3. les étrangers avec un niveau scolaire supérieur et les Belges avec unniveau au moins secondaire :Ici on a deux ensembles d’individus, chacun remplissant deux condi-tions :— étrangers avec un niveau scolaire supérieur : ¬𝑏(𝑘) ∧ (𝑠(𝑘) = 3)— Belges avec un niveau au moins secondaire : 𝑏(𝑘) ∧ (𝑠(𝑘) ≥ 2)On nous demande les uns et les autres, donc on doit faire une réuniondes deux ensembles. En d’autres mots : on cherche des individus quisatisfont à la première condition ou à la deuxième. Dans ce cas ondoit connecter les deux conditions avec une disjonction :

𝑘 ∈ 𝐾 | (¬𝑏(𝑘) ∧ 𝑠(𝑘) = 3) ∨ (𝑏(𝑘) ∧ 𝑠(𝑘) ≥ 2)



Remarque 3.2. Dans ce cas, on doit utiliser le ou logique ∨ là oùdans le texte on utilise un et ! Si on utilise le et logique ∧, le résultatest un ensemble vide, car pour tout 𝑘, (𝑏(𝑘) ∧ ¬𝑏(𝑘)) = 0.


ensembles prédicats Venn

𝐴 ∩𝐵 = ∅ ∃𝑥∈ Ω[(𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵)]A B

Ω

𝐴 ∩𝐵 = ∅ ∀𝑥∈ Ω[(𝑥 ∈ 𝐴) ⇒ (𝑥 /∈ 𝐵)]A B

Ω

𝐴 ⊂ 𝐵 ∀𝑥∈ Ω[(𝑥 ∈ 𝐴)⇒ (𝑥 ∈ 𝐵)]A B

Ω

𝐴 = 𝐵 𝑥∈ Ω[(𝑥 ∈ 𝐴)⇔ (𝑥 ∈ 𝐵)]A B

Ω


1. — Le degré sortant de chaque 𝑎— Le degré entrant de chaque 𝑏

2. Le nombre des liens possibles est le cardinal du produit cartésien#(𝑈 × 𝐹 ). Pour la règle du produit :

#(𝑈 × 𝐹 ) = #(𝑈) ·#(𝐹 )

Solution de l’exercice 12Rappel :Une fonction est surjective ssi chaque élément de l’ensemble d’arrivée

(𝐵) a au moins un antécédent dans l’ensemble de départ (𝐴). Inversement,une fonction est injective ssi chaque élément de l’ensemble d’arrivée a auplus un antécédent. Par conséquent, si on prend deux éléments différentsde l’ensemble de départ, alors ces deux éléments ne peuvent avoir la mêmeimage :



∀(𝑎1, 𝑎2) ∈ 𝐴2, (𝑎1 = 𝑎2)⇒ (𝑓(𝑎1) = 𝑓(𝑎2))

Cela peut également s’écrire en sens inverse. Autrement dit, la contrapo-sée est également vraie. Si l’on prend deux éléments différents de l’ensemblede départ et que ces deux éléments ont la même image, alors ils sont iden-tiques :

∀(𝑎1, 𝑎2) ∈ 𝐴2, (𝑓(𝑎1) = 𝑓(𝑎2))⇒ (𝑎1 = 𝑎2)

Solution de l’exercice 13Les égyptiens résolvaient ce genre de problème sans la notation algébrique.

Dans notre cas on peut procéder ainsi :— une quantité 𝑥— est ajoutée à ses deux tiers : 𝑥+ 2

3𝑥

— la somme obtenue (𝑥+ 23𝑥) est réduite d’un tiers, donc ça devient :

(𝑥+2

3𝑥)− 1

3(𝑥+

2

3𝑥)

— le résultat est égal à 10.On obtient donc l’équation :

(𝑥+2

3𝑥)− 1

3(𝑥+

2

3𝑥) = 10

Plus simplement : si on réduit une quantité 𝑦 de 13, ce qui nous reste est

23𝑦.

Par exemple, si vous faites un job étudiant à 9 euros de l’heure, et la payeest réduite d’un tiers, vous allez gagner seulement 6 euros de l’heure, soit9− 1

39 = 9(1− 1

3) = 92

3.

On peut donc écrire notre équation ainsi :

(𝑥+2

3𝑥)

2

3= 10



Équation initiale (𝑥+ 23𝑥)2

3= 10

Substituer (𝑥+ 23𝑥) = 𝑥(1 + 2

3) 𝑥(1 + 2

3)23

= 10

Substituer 1 = 33

𝑥(33+ 2

3)23

= 10

Substituer 33+ 2

3= 3+2

3𝑥(3+2

3)23

= 10

Substituer 3 + 2 = 5 𝑥53· 23

= 10

Substituer 53· 23= 5·2

3·3 𝑥5·23·3 = 10

Substituer 5 · 2 = 10 et 3 · 3 = 9 𝑥109

= 10

Diviser par 10 des deux côtés 𝑥 1010·9 = 10

10

Substituer 1010

= 1 𝑥19

= 1

Multiplier par 9 des deux cotés 𝑥99

= 9

Remplacer 99= 1 𝑥 = 9

La quantité recherchée est donc 9.


Changement Panier de gauche Panier de droite ÉquationSituation de départ y x2 pommes gauche → droite y - 2 x + 2 y - 2 = x+21 pomme gauche ← droite y + 1 x - 1 y + 1 = 4(x-1)

𝑦 − 2 = 𝑥+ 2

𝑦 + 1 = 4(𝑥− 1)

Remplaçons 𝑦 de la première équation dans la deuxième :

𝑥+ 4 + 1 = 4𝑥− 4

𝑥− 4𝑥 = −4− 5

−3𝑥 = −9

𝑥 = 3

Remplaçons 𝑥 dans la première :

𝑦 = 3 + 4 = 7



La solution est donc : 𝑦 = 7

𝑥 = 4

Pour dessiner : mettre d’abord les deux droites en forme 𝑦 = 𝑎𝑥+ 𝑏𝑦 = 𝑥+ 4

𝑦 = 4𝑥− 5

Solution de l’exercice 15Si on considère les deux dernières conditions, on voit que 𝐴 et 𝐵 doivent

être deux intervalles fermés et non bornés, de la forme :

𝐴 = ]−∞; 𝑐]

𝐵 = [𝑐; +∞[

Si 𝐴 et 𝐵 on cette forme, on voit bien que 𝐴 ∪ 𝐵 = ]−∞; +∞[ = R, et𝐴 ∩𝐵 = [𝑐; 𝑐] = 𝑐, qui est un singleton.

On doit maintenant trouver la valeur de 𝑐 qui satisfasse aux deux pre-mières conditions.

Vu la forme de la fonction, on voit que— 𝑓 : 𝐴 ↦→ R est injective ⇔ 𝑐 ≤ −1 ;



— 𝑓 : 𝐵 ↦→ R est injective ⇔ 𝑐 ≥ −1 ;En imposant les deux conditions en même temps, on obtient 𝑐 = −1. Les

deux ensembles sont donc :

𝐴 = ]−∞;−1]𝐵 = [−1;∞[

Solution de l’exercice 16Pour résoudre les exercices, il s’agit principalement d’isoler 𝑥 = 𝑓(𝑦), puis

d’intervertir 𝑥 et 𝑦 dans l’expression trouvée, pour obtenir la forme habituelle𝑦 = 𝑓(𝑥).

Remarque 6.2. Pour ce qui concerne les propriétés qui permettent de défi-nir la réciproque (application, injective, surjective), en principe un étude defonction est nécessaire : pour le moment, on va se contenter de les établir defaçon intuitive, sur base des souvenirs des secondaires.

1. Dans ce cas, 𝑓 est définie uniquement pour 𝑥 ≥ 0, car la racine d’unnombre négatif n’est pas définie en R. Pour rendre la fonction uneapplication, on doit donc considérer sa restriction à l’ensemble desréels positifs, 0 inclus :

R+ = [0;+∞[.

Pour ce qui concerne l’injectivité : 𝑓 est continue et strictement crois-sante, donc injective.Pour la surjectivité : 𝑓 varie entre −1 et +∞, donc il faut redéfinir sonbut comme étant [−1,+∞[. Appelons cet ensemble 𝐵 = [−1,+∞[.En somme, on va d’abord définir 𝑓𝑎 : R+ ↦→ 𝐵.

𝑓𝑎 = (𝑥, 𝑦) ∈ R+ ×𝐵 | 𝑦 =√𝑥− 1.

Calculons la réciproque 𝑓−1𝑎 : 𝐵 ↦→ R+ :

𝑦 =√𝑥− 1

𝑦 + 1 =√𝑥

(𝑦 + 1)2 = 𝑥



En passant à la forme 𝑦 = 𝑓−1𝑎 (𝑥) :

𝑓−1𝑎 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐵 × R+ | 𝑦 = (𝑥+ 1)2.

2. 𝑔 est une application bijective.𝑦 = 𝑥3 − 3⇔ 𝑦 + 3 = 𝑥3 ⇔ 𝑥 = 3

√𝑦 + 3, donc :

𝑔−1 = (𝑥, 𝑦) ∈ R2|𝑦 = 3√𝑥+ 3

Solution de l’exercice 17Pour 𝑥 = − 𝑏

2𝑎:

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 = 𝑎(− 𝑏

2𝑎)2 + 𝑏(− 𝑏

2𝑎) + 𝑐 =

= 𝑎𝑏2

4𝑎2− 𝑏2

2𝑎+ 𝑐 =

=𝑏2

4𝑎− 2𝑏2

4𝑎+

4𝑎𝑐

4𝑎=

=−𝑏2 + 4𝑎𝑐

4𝑎= −Δ

4𝑎.


Temps Âge de Jeanne Âge de sa mère ÉquationAujourd’hui 𝑥 𝑦

Il y a 19 ans 𝑥− 19 𝑦 − 19 𝑦 − 19 = (𝑥− 19)2

Il y a 15 ans 𝑥− 15 𝑦 − 15 𝑦 − 15 = 4(𝑥− 15)𝑦 − 19 = (𝑥− 19)2

𝑦 − 15 = 4(𝑥− 15)

La deuxième devient :

𝑦 = 4(𝑥− 15) + 15

En remplaçant 𝑦 dans la première :

4(𝑥− 15) + 15− 19 = (𝑥− 19)2

donc :



4𝑥− 4 · 15− 4 = 𝑥2 − 2 · 19𝑥+ 192

Un peu plus simple :

Temps Âge de Jeanne Âge de sa mère ÉquationIl y a 19 ans 𝑥 𝑦 𝑦 = 𝑥2

Il y a 15 ans 𝑥+ 4 𝑦 + 4 𝑦 + 4 = 4(𝑥+ 4)

Aujourd’hui 𝑥+ 19 𝑦 + 19𝑦 = 𝑥2

𝑦 + 4 = 4(𝑥+ 4)

donc, en remplaçant le 𝑦 de la première dans la deuxième :

𝑥2 + 4 = 4(𝑥+ 4),

𝑥2 + 4 = 4𝑥+ 16,

𝑥2 − 4𝑥− 12 = 0,

l’équation des racines d’une parabole avec 𝑎 = 1, 𝑏 = −4, 𝑐 = −12.

Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (−4)2 − 4 · (1) · (−12) = 16 + 48 = 64 > 0,

donc 2 solutions :

𝑥1 =−(−4)−

√64

2 · 1 =4− 8

2= −2,

𝑥2 =−(−4) +

√64

2 · 1 =4 + 8

2= 6.

— Un âge négatif n’est pas possible, donc 𝑥2 = 6 est la seule solution.— Il y a 19 ans, en 1996, Jeanne avait 6 ans : elle est donc née le 4 mars

1990.— La mère de Jeanne avait 62 = 36 ans en 1996, elle est donc née le 4

mars 1960.


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