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Calcul formel et enseignement desmathématiques : fond, forme(s), pratique(s)

Gilles AldonLuc Trouche

EducTice (INRP)LEPS (Lyon 1)

Gilles.Aldon@inrp.frLuc.Trouche@inrp.fr

Université d’été de mathématiquesAoût 2008, St Flour

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Prologue sur les logiciels de calcul formel (SCF,SMS, CAS)Un logiciel de calcul formel (Computer Algebra System) manipuledes expressions mathématiques sous leur forme symbolique : expressions : polynômes, fonctions, dérivées, intégrales, séries,matrices… ; manipulations : simplification (qu'elle soit automatique oueffectuée à partir d'hypothèses), substitution, changement deforme (factorisation, développement…), différentiation, intégration,résolution d'équations, calcul de limites…De plus, ces systèmes incluent : des opérations numériques (évaluation en multi-précision,graphes en 2 ou 3 D) ; (souvent) un langage de programmation de haut niveau.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Logiciel_de_calcul_formel

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Calcul formel et enseignement desmathématiques, fond, forme(s), pratique(s)

1. Remontée dans le temps… Réflexions autour de deuxexemples, histoires d’expérimentations, histoires derecherche

2. Voyage dans l’espace : à la recherche du calcul formelaujourd’hui (programmes, ouvrages scolaires, épreuvepratique du baccalauréat, expérimentation de nouveauxenvironnements)

3. Vers le futur… Conditions de viabilité aujourd’hui etbesoins éventuels de réorganisations curriculairesdemain

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1. Voyage au cours du temps

Deux histoires différentes convergentes : Luc : des calculatrices graphiques vers les calculatrices « àcalcul formel » ; Gilles : le calcul formel de la salle informatique aucalculatrices.

Retour sur ces histoires à partir de deux exemples : ce qui est encore pertinent d’un point de vue informatique/didactique ; comparaison des deux points de vue.

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1.a. Trouver des factorisations de xn - 1

Le contexte de l’expérimentationLes objectifs de ce travailD’un point de vue instrumentalLes difficultés rencontrées :

interprétation des résultats ; institutionnalisation.

Interface DERIVE (1994)

Interface TI-nspire (2008)

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It provoked discussion; it generated exact answers thatcould be scrutinized for structureand form; it helped students to verify theirconjectures, as well as their paper-and-pencil responses; it motivated the checking ofanswers; and… it created a sense of confidenceand thus led to increased interest inalgebraic activity.Kieran, 2008

Le rôle de DERIVE est primordialdans ce problème : il permet,bien sûr, de multiplier les essaispour faire émerger desrégularités, mais aussi de testerdes hypothèses, de mener à biendes calculs complexes.A travers la recherche de ceproblème […] les élèvesacquièrent de l'autonomie vis àvis de l'outil et seront capablesde réinvestir leurs connaissancesdans d'autres cadres.Aldon, 1996

1.a. Trouver des factorisations de xn - 1

Bilan de cette activité avec les élèves (classes françaises, 1996, DERIVE)

Bilan de cette activité avec les élèves (classes canadiennes, 2008, TI-nspire)

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1.a. Trouver des factorisations de xn - 1

Dans le fil d’une histoired’utilisation du calculformel… intégration des moyens decalcul dans le cours de laclasse ; faiblesse des phasesd’institutionnalisation ; orchestration peu ou pasformalisée.

Bilan…

Des conditions de viabilité : culture de recherche deproblèmes construite dans letemps ; prise en compte des allers-retours papier/crayon-machine ; organisation de la classe.

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Les potentialités de la situation : une réflexion sur les formes ; une réflexion sur la validation ; une réflexion sur les raisons d’êtredes résultats ; une réflexion sur les objetsmathématiques (fonctions, variables,paramètres, inconnues…).

1.b. Calcul de la dérivée nième de x -> ex.( x2 + x + 1)

La question du jour :Soit x -> f(x) = ex.(x2+x+1).Déterminer la dérivée nièmede f

La question du lendemain :On considère la suite defonctions f(n). Observer leursreprésentations graphiques.Qu'ont-elles comme élémentscommuns, comme singularitéet pourquoi ?

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La réalisation des potentialités : des problèmes de saisie desexpressions : ex.(x2+x+1) ; des problèmes de repérage desinvariants ; une dispersion des stratégies devalidation (expérience cruciale,tests aléatoires, récurrence « à lamain ») ; une difficulté à passer d’unregistre à l’autre (par exemple,graphique vs algébrique) ; une complexité difficile à gérer.

1.b. Calcul de la dérivée nième de x -> ex.( x2 + x + 1)

La question du jour :Soit x -> f(x) = ex.(x2+x+1).Déterminer la dérivée nièmede f

La question du lendemain :On considère la suite defonctions f(n). Observer leursreprésentations graphiques.Qu'ont-elles comme élémentscommuns, comme singularitéet pourquoi ?

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Des conditions de viabilité de cetype de situations et de ce typed’environnements : une classe expérimentalemobilisée, un dispositif recherched’appui ; une calculatrice naturalisée(dispositif de rétro-projection disponible enpermanence, techniques instrumentéesinstitutionnalisées) ;

une démarche d’investigationnaturalisée (TP chaque semaine, cahierde recherche par binôme, rapports derecherche évalués) ; calcul formel = instrument (unegenèse pensée dans le temps).

1.b. Calcul de la dérivée nième de x -> ex.( x2 + x + 1)

La question du jour :Soit x -> f(x) = ex.(x2+x+1).Déterminer la dérivée nième de fLa question du lendemain :On considère la suite de fonctionsf(n). Observer leurs représentationsgraphiques. Qu'ont-elles commeéléments communs, commesingularité et pourquoi ?

Dans le fil d’une histoire decalculatrices… la mobilisation naturelle del’application graphique ; la disposition permanente desoutils, le caractère crucial de leurappropriation.

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« Lorsque le groupe ministériel auraterminé sa tâche d’anticipation, il estvraisemblable qu’une banalisation de cesoutils sera alors amorcée » (MEN 1994)« On peut s’attendre à des difficultés[d’intégration] plus importantes encore avecl’intégration de logiciels de calcul formelqui, bien plus que d’autres, tendent àperturber les équilibres usuels del’enseignement » (Artigue, in MEN 1994) :- fonctionnement réflexif et conceptuel vsatomisation de la résolution ;- valence pragmatique vs valenceépistémique des techniques ;- stratégies calcul formel vs stratégiesvisées par l’enseignement.Systèmes linéaires : résoudre les deuxéquations en x ; égaler les expressionstrouvées ; résoudre en y ; recommencer eninversant les rôles de x et y.

1.c. Du point de vue de la recherche…

Une riche histoire1994, UE calcul formel (Caen) ;1995-1997, expérimentations calc.symboliques MEN - IREM ;1996, UE calc. symboliques etgéométriques (Rennes) ;1998, colloque francophone européensur les calc. symboliques etgéométriques (Montpellier) ;2000, journées d’étude calculsymbolique et apprentissage desmath (Rennes)2001-2003…CAME : émergenced’une communauté internationale2003, colloque européen ITEM(Reims)2006-2009, expérimentationsconjointes IGEN, IREM-INRP sur desoutils symboliques nomades.

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1.c. Du point de vue de la recherche…

Un élèveUn élève Un élèveUn artefact

Instrumentation

Instrumentalisation

Un élèveUn instrument (temps t)

Un élèveTravail mathématique

Un élèveElèves, artefacts

Un élèveSituation math.

Orchestration mathématique (pensée, pilotée, révisée) :- agencement des artefacts ;- scénario.

Un élèveUn milieu didactique

Un élèveIntentions didactiques

Dans le fil des recherches sur le calcul formel, une réflexion sur…

La genèse des instruments Le travail du professeur

(Guin et Trouche 2002)

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Aujourd’hui : naturalisation ou évanouissement ?Evoqué dans les programmes dès le collège, autoriséau baccalauréat, signes extérieurs d’intégration ?Qu’en est-il réellement dans les programmes ? Dans leslivres scolaires ? Dans les classes ?Dans des niches favorables (épreuve pratique du bac,bac international, expérimentations) ?

2. A la recherche du calcul formel aujourd’hui…

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Où le calcul formel pourraitintervenir… par exemple en 4ème« L’intégration des lettres et des nombresrelatifs dans les expressions algébriquesreprésente une difficulté importante qui doitêtre prise en compte.A cette occasion, le test d’une égalité parsubstitution de valeurs numériques auxlettres prend tout son intérêt. Le travailproposé s’articule autour de trois axes : utilisation d’expressions littéralesdonnant lieu à des calculs numériques ; utilisation du calcul littéral pour la miseen équation et la résolution de problèmesdivers ;utilisation du calcul littéral pour prouverun résultat (en général en arithmétique),etc. »

2.1. Du côté des programmes, au collège

Ce qui est écritLes outils évoqués : tableur,calculatrice, logiciel de géométrie,et… les logiciels de calcul formel (entroisième, pour la construction del’algorithme d’Euclide).-------

CommentairesProblèmes de dénomination :- on parle de « la » calculatrice ;- dans le programme de 4ème, onévoque « le calcul à la machine ouavec un ordinateur ».Le calcul formel n’est évoqué quepour une utilisation marginale du pointde vue du programme, mais aussi dupoint de vue de la définition du calculformel (cf. définition, diapo 2)

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Où le calcul formel pourrait doncintervenir au lycée… partoutDe fait, pratiquement, iln’intervient pas. Par exemple, en1ère S : dans la partie analyse,seulement tableur, grapheur etcalculatrices programmablessont évoqués ; pour les limites, on demandede « privilégier lesraisonnements à supportgraphique » ; utilisationd’exemples, « développerl’intuition ».

2.1. Du côté des programmes, au lycée

Classe de seconde : pas d’évocationdu calcul formelPour la filière scientifique (1ère et TS),rubrique Apports des outils logiciels :« L'informatique changequalitativement et quantitativement lespossibilités de calculs exacts (calculformel) ou approchés, permet desapproches nouvelles de problèmesclassiques et ouvre le champ à denouveaux problèmes.Il est nécessaire de revisiterl'enseignement des mathématiques àla lumière des immenses possibilitésoffertes (logiciels de géométrie, decalcul formel, tableur, traceur, ...).L'usage éclairé d'outils informatiquesest donc recommandé dans chaquechapitre du programme ».

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2.2. Du côté des manuels

Première S : Hyperbole : rien ; Transmath : rien ; Dimathème : rien ; Bréal : vérification de calculs faits à lamain ;

Belin : interprétation de résultats.

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Première S : Hyperbole : rien ; Transmath : rien ; Dimathème : rien ; Bréal : vérification de calculs faitsà la main ; Belin : interprétation de résultats ; Fractale : vérification,interprétation.

2.2. Du côté des manuels

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Troisième :Sésamath : rien ;Belin : rien ;Hachette Diabolo : rien ;Hachette Phare : calcul exact de racinescarrées, systèmes d’équations :

Dimathème : rien ;Hatier : rien.

2.2. Du côté des manuels

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2.2. Du côté des manuels

Des mobilisations des TICtrès différentes : les calculatrices souventévoquées ; parmi les logiciels, letableur, la géométriedynamique souventévoqués ; très peu souvent le calculformel, et pour des usageslocalisés : vérifier un calcul,donner un résultat, mais…jamais comme outild’investigation.

Récapitulatif…Première S : Hyperbole : rien ; Transmath : rien ; Dimathème : rien ; Bréal : vérification de calculs faits à lamain ; Belin : interprétation de résultats ; Fractale : vérification, interprétation.Troisième :Sésamath : rien ;Belin : rien ;Hachette Diabolo : rien ;Hachette Phare : calcul exact de racinescarrées, systèmes d’équations ;Dimathème : rienHatier : rien.

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Epreuve pratique au baccalauréat

Pas de présence du calcul formel dans la banque de descriptifsde sujets 2008

Des sujets qui peuvent être traités en utilisant le calcul formel- géométrie analytique (sujet 045) ;- étude de lieux géométriques (sujet 090) ;- …

Des sujets qui tombent si le calcul formel est utilisé :- suite définie par une moyenne arithmétique (sujet 044) ;- calcul approché d’une intégrale (sujet 071) ;- …

Mais pas de sujet spécifique.

2.3. Quelques niches où le calcul formel vit(ou pourrait vivre)

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IBO (International Baccalaureate Organization)

Original question (sans calcul formel) :The graph of y = 2x² + 4x + 7 is translated using the vector (2,-1). Find the equation of the translated graph, giving your answerin the form.

Amended question (avec calcul formel) :The graph of y = 2x² + 10x + 13 is translated using the vector(h,-1). Given that only one of the x-intercepts of the translatedgraph is positive, find the set of values of h.

La disposition du calcul formel « se paie » d’une forte augmentationde la complexité de la question : le logiciel manipule des conceptsqui ne sont pas forcément maîtrisés par les élèves (Brown et al.2007).

2.3. Quelques niches où le calcul formel vit(ou pourrait vivre)

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IGEN (une dizaine de classes, différents niveaux) le calcul formel dans le quotidien des classes ; développement des prises d’initiative du côté des élèves ; modification des situations proposées « Le fait d’avoir en

permanence à disposition un « labo de math » permet de faire vivreplus facilement une pédagogie qui place au premier plan « uneactivité mathématique véritable, avec son lot de questionsouvertes, de recherches pleines de surprises, de conclusions donton parvient à se convaincre. » (Canet 2008).

INRP-IREM (cinq classes de seconde) partage de ressources ; modèle de ressource (Aldon et al. 2008) ; exemple : introduction de la notion de fonction : l’enseigne

lumineuse.

2.3. Quelques niches où le calcul formel vit(ou pourrait vivre)

Expérimentation calculatrices nomades (2006-2008)

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Une situation classiqueObjectifs instrumentaux : transposition papier/crayon -machine ; favoriser les allers-retours ; donner des éléments decontrôle.Objectifs mathématiques : raisonnements, heuristiques ; travail sur les objets.

2.3. Expérimentations, un exemple

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2.3. Expérimentations, un exemple

25Description d’une stratégie décontextualisable

Exe

mpl

es d

e ré

alis

atio

ns d

’élè

ves

26Vérification, (in)validation des résultats

Exe

mpl

es d

e ré

alis

atio

ns d

’élè

ves

27Généralisation

Exe

mpl

es d

e ré

alis

atio

ns d

’élè

ves

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Où l’on s’appuie sur les éléments déjàprésentés pour développer une réflexionplus générale sur les apports du calculformel et ses conditions de viabilité : dans le curriculum d’aujourd’hui ; dans un curriculum repensé…

3. Voyage vers le futur (proche ou lointain)

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1. Comprendre les logiciels decalcul formel : un processus d’analyse descontraintes et potentialités ; une diversité de logiciels à considérer.

2. Penser les valeurs destechniques instrumentéesValable pour tous les environnements,mais peut-être moins naturel en calculformel qu’en géométrie dynamique…

3. Concevoir le calcul formelcomme un calcul intégré… dans le travail mathématiqueordinaire ; avec les outils papier/crayon (ouplutôt : penser la mémoire des traces etl’organisation des documents…).

3.1. Des évolutions possibles dans le contexte actuel

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4. Penser l’utilisation du calculformel (aussi) en algèbre5. Penser l’exploitation des logicielsde calcul formel : (aussi) sur des tâches simples ; internes à l’application.

6. Penser l’utilisation du calculformel dans l’ensemble desmoments didactiquesInvestigation, preuve, découverte d’unenotion, construction théorique, travail d’unetechnique, travail en autonomie, évaluation…

7. Penser le calcul formel au cœurde l’intelligence du calcul l’articulation calcul exact/approché ; l’articulation de différentes applications(calcul, tableur, géométrie, graphique).

3.1. Des évolutions possibles dans le contexte actuel

Exemple (cf. programme de 4ème),évaluation numérique et équivalencedes expressions (Kieran 2008) :- utilisation de la commande « sachantque » ;- utilisation des commandes de calculformel (développement, factorisation…).

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3.1. Des évolutions possibles dans le contexte actuel

8. Penser la diffusion desressources et des expériences des classes expérimentales vers les autresclasses ; des professeurs pionniers vers les autresprofesseurs, penser les questions d’échelle ; les nouveaux enseignants (clés USB).

9. Penser la contribution des élèvesaux orchestrations des situations réseau d’outils dans la classe (TI-Nav.),création d’objets communs ; en classe - hors classe.

10. Penser autrement les rapportsentre conception et usage du point de vue des outils, intégrer lacréativité des usagers (outils = propositions) ; du point de vue de la formation (cf. atelierGueudet-Trouche).

Rechercher dans : Web Pages francophones Pages :FranceRésultats 1 - 10 sur un total d'environ 28 000 pour calculformel lycée (0,18 secondes)Lycée Pilote Innovant - Le logiciel de calcul formelMAXIMAMaxima est un puissant logiciel de calcul formel libre etgratuit. Son interface étant un peuaustère, il existe sous windows le logiciel wxMaximaégalement ...www.lpi.ac-poitiers.fr/www/spip.php?article323 - 28k - Encache - Pages similairesCALCUL FORMEL (NIVEAU LYCÉE) éducatif,calcul formel, editeur ...Exemple de programmation : CALCUL FORMEL (NIVEAULYCÉE), Delphi.

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3.2. Et dans le cadre d’évolutions curriculaires…

Reconnaissance deformes

Modélisations internes ouexternes

Manipulations d’objetsmathématiques

Recherche d’exemples

nombre de 0 à la fin de n! ; factorisations de xn – 1 ; dérivée nième de…

à quelle vitesse l’échelle va tomber ? fonctions dépendant d’un paramètre comment un nombre est-il représentédans la machine ?…

trouver un nombre dont l’écrituredécimale illimitée a une période delongueur donnée ;fonctions sous contrainte…

peut-on trouver des fonctions f et g dont le produit vérifie telle ou tellecondition aux limites ?peut-on trouver des exemples de fonctions polynômes du troisième degrépassant par quatre points d’une parabole ?

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3.2. Et dans le cadre d’évolutions curriculaires…

Exploiter le contrasteentre les mathématiquesidéales et lesmathématiquesinstrumentées (Stacey2008) Calcul et raisonnement(Artigue 2007) Genèse instrumentaletout au long du cursus desélèves

« Des ‘laboratoires demathématiques’, tous bienéquipés en moyens(spécialement informatiques)doivent permettre aux élèves dela voie scientifique d’approfondirleurs connaissances enexpérimentant intuitions,conjectures et applications desmathématiques. » Réflexions sur l’enseignementdes sciences au lycée, Académiedes sciences, juillet 2008

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« Les bases de l’informatique(programmation, algorithmes,traitement des données)doivent être enseignées durantles trois années du Lycée àtous les élèves de la voie ST,et ce, en lien avec les autresdisciplines scientifiques ettechnologiques. »Réflexions sur l’enseignementdes sciences au lycée,Académie des sciences, juillet2008

Fonctionnement du calculformelRéponses surprenantesliées à :

- des questions malposées ;- la programmation ;- le polymorphisme desobjets mathématiques ;- la polysémie desymbolesmathématiques.

3.2. Et dans le cadre d’évolutions curriculaires…

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3.2. Et dans le cadre d’évolutions curriculaires…

Nécessité d’une formationdes enseignants adaptée,s’appuyant :sur la rationalité du travaildes professeurs plutôt quesur leur résistance ;sur les pratiques et lespossibilités de travailcollaboratif.

Nécessité :- d’une cohérenceinstitutionnelle (injonctions,programmes, manuels) ;- d’évolutions penséesdans la durée…

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Calcul formel et enseignement des mathématiques :fond, forme(s), pratique(s)… Conclusion

Penser le développement desenvironnements (tableur calcul formel,interopérabilité des logiciels de calculformel…)Penser l’écologie du calcul formel dansle curriculum, la formation (vsl’accompagnement) des enseignants, laprise en compte des outils dansl’évaluation des élèvesPenser les situations mathématiques,leurs orchestrations, penser l’intelligencedu calculPenser le temps des évolutions, lesespaces d’apprentissage (outilsnomades), la créativité des acteurs et lamutualisation des ressources.

Fond

Forme(s)

Pratique(s)

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Bibliographie•Aldon G. (1995), Une voiture à la DERIVE. Repères-IREM 21, 27-44.•Aldon G. et al. (2008), Nouvel environnement technologique, nouvelles ressources, nouveaux modes de travail : le projet e-CoLab(expérimentation Collaborative de Laboratoires mathématiques), Repères-IREM 72 et EducMathhttp://educmath.inrp.fr/Educmath/lectures/dossier_mutualisation/•Artigue M. (1997), Le logiciel DERIVE comme révélateur de phénomènes didactiques liés à l’utilisation d’environnements informatiques pourl’apprentissage. Educational Studies in Mathematics 33(2), 133-169.•Artigue M. (2007), L’influence des logiciels sur l’enseignement des mathématiques : contenus et pratiques, conférence séminaire DGESCO.•Bernard R., Faure C., Noguès M., Nouazé Y., Trouche L. (1999), Pour une prise en compte des calculatrices symboliques en lycée, IREM,Université Montpellier 2.•Brown R., Wyn E., Flynn P., Monaghan J. (2007), The introduction of symbolic calculators into assessment in mathematics at the InternationalBaccalaureate Organization: aspects of item design and student performance, Conference on Computer Algebra- and Dynamic GeometrySystems in Mathematics Education, Pecs (voir aussi http://educmath.inrp.fr/Educmath/en-debat/epreuve-pratique/j-monaghan)•CAME, le site de la communauté scientifique internationale Computer Algebra in Mathematics Educationhttp://www.lkl.ac.uk/research/came/index.html , en particulier les actes du colloque de Reims 2003 Learning in a CAS Environment : Mind-Machine Interaction, Curriculum & Assessment http://www.lkl.ac.uk/research/came/events/reims/•Connan G., Grognet S. (2008), Guide du calcul avec les logiciels libres, Dunod•Drijvers P. (2008), Tools and Tests, Technology in National Final Mathematics Examinations, Actes du séminaire nordique de recherche surl’enseignement des mathématiques (NORMA).•Guin D. (dir.) (1999), Calculatrices symboliques et géométriques dans l’enseignement des mathématiques, Actes du colloque francophoneeuropéen, IREM de Montpellier.•Guin D., Trouche L. (dir). (2002), Calculatrices symboliques : transformer un outil un instrument du travail mathématique, un problèmedidactique. Grenoble : La Pensée Sauvage.•Kieran C. (2008), Conceptualizing the learning of algebraic technique: role of tasks and technology, Regular Lecture, ICME 11, Mexico.Lagrange J.-B., Artigue M., Guin D., Laborde C., Lenne D., Trouche L. (dir.). (2003), Actes du colloque ITEM, Intégration des Technologies dansl'Enseignement des Mathématiques, Ecole, Collège, Lycée, Université, IUFM. IUFM Reims http://edutice.archives-ouvertes.fr/ITEM2003/fr/•Hirlimann A. (dir.) (1994), Les outils de calcul formel dans l’enseignement des mathématiques, Actes de l’Université d’été, IREM de Caen.•Moisan J. (dir.) (2005), Le calcul sous toutes ses formes, Actes de l’Université d’été, http://www3.ac-clermont.fr/pedago/maths/pages/site_math_universite/CD-UE/Menu_pour_Internet.htm•Stacey K. (2008), Cartographie pédagogique pour décrire l’enseignement avec les technologies, Conférence Sharing Inspiration, Berlin.•Trouche L. (1998), Expérimenter et prouver, faire des mathématiques avec des calculatrices symboliques, 38 variations sur un thème imposé.Montpellier : IREM, Université Montpellier II.•Trouche L. (2008), Calculatrices, zoom sur une technologie, in D. Guin, Joab M., Trouche L. (dir.), Conception collaborative de ressourcespédagogiques pour l’enseignement des mathématiques, l’expérience du SFoDEM, INRP et IREM (Université Montpellier 2).