Fonctions exponentielles - Académie en ligne · 6 Séquence 4 – MA01 Là encore on montre que la...

1Séquence 4 – MA01

Séquence 4

� Introduire les (nouvelles) fonctions exponentielles

� Connaître des propriétés (équation fonctionnelle, variations, fonction dérivée, …) de la fonction exponentielle de base e.

Objectifs de la séquence

Fonctions exponentielles

Sommaire

1. Pré-requis

2. Introduction aux fonctions exponentielles

3. La fonction exponentielle de base e

4. Dérivation et fonction exponentielle (base e)

5. Synthèse de la séquence

6. Exercices de synthèse

© Cned - Académie en ligne


1 Pré-requisPeut-être avez-vous déjà entendu une personne dire : « La croissance est expo-nentielle ; il faut réagir vite avant que le phénomène n’atteigne des proportions trop extravagantes. »

Les mots employés reflètent l’augmentation d’un phénomène à une vitesse extrê-mement rapide, s’agissant d’une variation au cours du temps.

Nous allons étudier dans ce chapitre des fonctions dont les valeurs f(x) grandis-sent très vite (nous préciserons) lorsque la variable x augmente. Rien d’étonnant à ce qu’on les appelle des fonctions… exponentielles.

Suites géométriques

Un nénuphar est placé le 1er juin dans un étang de forme carrée de côté 100 m.

Initialement, il couvre 1 m². Chaque jour, il double de taille. On note un la super-ficie (en m²) couverte par le nénuphar au bout de n jours.

� Justifier que la suite ( )un est géométrique.

� En déduire l’expression de un en fonction de n.

� Etudier le sens de variation de ( ).un

� Quelle est la surface couverte par le nénuphar au bout d’une semaine ?

� Au bout de combien de jours le nénuphar couvrira-t-il :

� la moitié de l’étang ?

� la totalité de l’étang ?

� On sait que u0 1= .

Au bout d’un jour, il couvrira 2 1× = 2m² donc u1 2= . Si le n − ième jour il couvre

une surface de un m², le jour suivant il couvrira une surface de u2 mn2× au-

trement dit, u un n+ =1 2 . Cette relation de récurrence, valable pour tout n ∈�

montre que la suite ( )un est géométrique de raison 2.

� Comme son premier terme est u0 1= , on en déduit que pour tout n ∈�, un = 2n.

A

Exercice

� Solution


4 Séquence 4 – MA01

� Puisque la raison de la suite ( )un est strictement supérieure à 1 et que son 1er terme est strictement positif, cette suite est croissante.

� Au bout de 7 jours, le nénuphar couvreu77 22 128= = m .

� L’étang a une superficie de 100 100 10000 2× = m .

On calcule u12122 4096= = , u13

132 8192= = et u14142 16384= = .

Par conséquent, c’est le 13e jour que la taille du nénuphar dépassera la moitié de l’étang et le jour suivant (le 14e) qu’il couvrira la totalité de l’étang.

Une dame âgée se rappelle qu’une baguette de pain coûtait 0,70 € en 2000 et que, depuis, son prix a augmenté chaque année du même pourcentage. En 2011, elle paye 1,20 € à la boulangère. Chaque année, par combien a été multiplié le prix d’une baguette de pain ?

Notons un le prix (en €) de la baguette de pain en 2000 +( )n . Notons aus-

si q le coefficient par lequel a été multiplié le prix de la baguette chaque an-

née. On a doncu0 0 7= , puis u q1 0 7= ×, ; ensuite u q220 7= ×, , … enfin,

u q11110 7= ×, . Par conséquent, 0 7 1 211, , .× =q

D’où q =

1 20 7

1 05

111,

,,� (ce qui correspond à une augmentation annuelle de 5 %).

Vrai ou faux ?

� Si u

un

n

+1 est constant pour tout entier n ∈� alors ( )un est une suite géométrique.

� Si ( )un est une suite géométrique de raison q alors pour tous entiers n et p,

u u qn pn p= × − .

Dans un pays, on note tN le taux de natalité, tM le taux de mortalité et un le nombre d’habitants n années après l’an 2000.

� Si tN = 10 ‰ et tM = 10 ‰ alors lim .

n nu→+∞

= +∞

� Si tN = 12 ‰ et tM = 8

‰ alors ( )un est une suite géométrique de raison

q > 1.

� Si tN = 9 ‰ et tM = 11 ‰ alors ( )un est une suite géométrique de raison

q < 1.

� u

uqn

n

+ =1 implique que pour tout n ∈�, u qun n+ =1 ; la suite ( )un est donc

une suite géométrique de raison q.

Exercice

� Solution

Exercice

� Solution



� Etudions d’abord l’égalité à démontrer dans des cas simples.

� Lorsque n p,= l’égalité à démontrer s’écrit u u qn n= 0 , ce qui est bien vrai.

� Lorsque n p 1,= + l’égalité à démontrer s’écrit u u qn n+ =1 : on reconnaît la

relation de récurrence caractéristique d’une suite géométrique, qui est vraie.

� Lorsque n p 2,= + l’égalité à démontrer s’écrit u u qn n+ =22 . Cette égalité est

encore vraie puisque la suite ( )un est géométrique donc u qun n+ +=2 1 et

u qun n+ =1 ; d’où u qu q qu q un n n n+ += = =2 12( ) .

� Plus généralement, si n p> , on peut écrire de proche en proche :

u q u q q u q q q un n n n= × = × × = × × ×− − −1 23

33facteurs

� �� == ...

…= × × × ×−

− −−

q q q un p

n n p

n p

... ( )facteurs

� �� = ×−q un p

p

ce qui prouve que u u qn pn p= × − .

�Remarquons enfin que les lettres n et p jouent un rôle symétrique dans l’égalité à dé-

montrer. Par conséquent, si n p< , c’est que p n> donc en échangeant les lettres

n et p on peut écrire l’égalité démontrée au point précédent : u u qp np n= × −

et en divisant chaque membre par q p n− (qui est ≠ 0 car q ≠ 0 ) on obtientu

qup

p n n−= , c’est-à-dire u q up

n pn

− = (puisque 1

qq

kk= − ) et l’égalité souhai-

tée est ainsi démontrée.

� D’une année sur l’autre la population est multipliée par

110100

110100

0 99+

× −

= , ; autrement dit, pour tout n ∈� on peut

écrire u un n+ = ×1 0 99, ce qui prouve que la suite ( )un est géométrique de

raison 0,99.

Conformément à l’étude faite à la séquence 1, portant sur les limites des suites géométriques, nous commençons par repérer que la suite ( )un est de raison strictement positive et de premier terme strictement positif. Comme sa raison q = 0 99, vérifie 0 1< <q , on peut affirmer que lim .

n nu→+∞

= 0

� De manière similaire, on montre que la suite ( )un est géométrique de raison

q = × = >112 0 92 1 0304 1, , , .



� Là encore on montre que la suite ( )un est géométrique. Sa raison est

q = × = <1 09 0 89 0 9701 1, , , .

Nous avons rencontré l’ensemble� qui est celui des entiers naturels ; on retient

que � = { }0 1 2 3 4 5 127; ; ; ; ; ; ... ; ; ... .

Dans la suite, nous aurons aussi besoin de l’ensemble des entiers relatifs� qu’on obtient en ajoutant aux nombres de l’ensemble�, leurs nombres opposés.

On retiendra que :

� = − − − − −{... ; ; ... ; ; ; ; ; ; ; ; ; ... ; ; ...451 4 3 2 1 0 1 2 3 451 }}

Nous utiliserons aussi l’ensemble des nombres réels� ; on retiendra que cet en-semble contient tous les nombres connus en classe de terminales ES.

Remarque

A savoir

Lorsque ( )un est une suite géométrique de raison q, pour tous entiers n et

p, u u qn pn p= × − .

Pour démontrer qu’une suite ( )un est géométrique, on peut commencer par

calculer u

un

n

+1 .

Quelques fonctions particulières

1. Fonctions usuelles

Nom f (x ) Ensemble de définition Sens de variations

Carré f x x( ) = 2

Df = �

Décroissante sur ] ; ]− ∞ 0

Croissante sur [ ; [0 + ∞

Cube f x x( ) = 3

Df = � Croissante sur �

Racine carrée f x x( ) = Df = + ∞[ ; [0

Croissante sur [ ; [0 + ∞

Inverse f xx

( ) = 1

Df = − ∞ ∪ + ∞] ; [ ] ; [0 0

Décroissante sur ] ; [− ∞ 0

Décroissante sur ] ; [0 + ∞

B



2. Fonctions polynômes du second degré

� Elles sont définies sur � par g x ax bx c( ) = + +2 où a b c, , sont trois réels et

a ≠ 0 (car sinon, g x bx c( ) ,= + c’est-à-dire que g serait une fonction affine).

� La courbe Cg de g est une parabole dont on calcule l’abscisse α du sommet

en résolvant ′ =g x( ) 0 (car au sommet la tangente à la courbe Cg est hori-

zontale donc son coefficient directeur est égal à 0).

� Si a > 0 alors g est décroissante sur ] ; ]− ∞ α et croissante sur ] ; [α + ∞ (« bol tourné vers le haut »).

� Si a < 0 alors g est croissante sur ] ; ]− ∞ α et décroissante sur ] ; [α + ∞ (« bol tourné vers le bas »).

Déterminer les variations de la fonction f définie sur � par f x x x( ) .= − + −2 3 5

f est une fonction polynôme du second degré où (avec les notations ci-dessus)

a b c= − = = −1 3 5; ; .

L’abscisse α du sommet de la courbe Cf est solution de l’équation ′ =f x( ) .0 On

calcule ′ = − +f x x( ) 2 3 puis on résout ′ = ⇔ − + = ⇔ =f x x x( ) ,0 2 3 032

donc α = 1 5, .

Conclusion : f est croissante sur ] ; , ]− ∞ 1 5 et décroissante sur [ , ; [.1 5 + ∞ Elle

atteint son maximum en x = 1 5, et ce maximum est égal à f ( , ) ,1 5 2 75= − (c’est l’ordonnée du sommet de la parabole).

Dérivation

1. Nombre dérivé ; interprétation graphique

Définition 1

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit a I∈ . Si le taux de varia-

tion de f entre a et a h+ a une limite finie lorsque h tend vers zéro, on dit que f est dérivable en a. Cette limite est alors appelée nombre dérivé de f en a.

Elle est notée ′f a( ).

′ = + −→

f af a h f a

hh( ) lim

( ) ( )

0

Exercice

� Solution

C



Interprétation graphique(à bien connaître)

O 1 a

x

(T)

f

y

f (a)

�

1 (unitéabscisses)

f'(a) (unitésordonnées)

Si f est dérivable en a, la courbe �f admet une tangente T non parallèle à l’axe des ordonnées au point d’abs-cisse a et le coefficient directeur de cette droite est ′f a( ) :

Ne pas confondre f a( ) et ′f a( ).

� f a( ) est l’ordonnée du point de �f d’abscisse a.

� ′f a( ) est le coefficient directeur de la tangente à

�f au point d’abscisse a.

On voit sur cette équation deux renseignements caractérisant la tangente T (qui est une droite !) :

� T a pour coefficient directeur ′f a( ).

En effet, après développement du terme ′ −f a x a( )( ) , le coefficient du terme en x

est bien ′f a( ).

� T passe par A a f a; ( ) .( )

En effet, si on remplace x par a dans cette équation, on obtient :

y f a a a f a f a f a= ′ − + = + =( )( ) ( ) ( ) ( ).0

RemarqueRemarque

Propriété

Soit f une fonction dérivable en un réel a.La tangente à

�f au point d’abscisse a a pour équation :

y f a x a f a= ′ − +( )( ) ( )



2. Fonction dérivée ; formulaire

A savoir

Fonction f Dérivée f ’ Intervalle I

f x c( ) = (c est une constante) ′ =f x( ) 0

I = �

f x mx p( ) = + ′ =f x m( )

f x x( ) = 2 ′ =f x x( ) 2

f x x( ) = 3 ′ =f x x( ) 3 2

f x xn( ) = , n ∈ −� { }0 ′ = −f x nxn( ) 1

f x x( ) = ′ =f x

x( )

1

2 I = + ∞ 0 ;

f xx

( ) = 1

′ = −

f xx

( )12

I = −∞ ; 0

ou I = + ∞ 0 ;

Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentant la fonction « carré » au point d’abscisse 1. En déduire une valeur approchée de 1 0012, .

Ici, f est la fonction est définie sur l’intervalle I = � par : f x x( ) = 2 et a = 1.

La tangente à �f au point d’abscisse a = 1 a donc pour équation :

y f x f= ′ − +( )( ) ( ).1 1 1

Nous avons donc besoin de calculer ′f ( )1 et f ( ).1 On calcule ′f x( ).

On sait que ′ =f x x( ) 2 donc ′ = × =f ( ) .1 2 1 2 Comme f ( )1 1 11= = , la tangente

T en question a donc pour équation : y x= − +2 1 1( ) c’est-à-dire y x= −2 1.

Ceci signifie qu’au voisinage du point de �f d’abscisse 1, �f et T sont presque

confondues. Dit autrement, lorsque x est proche de 1, f x x( ) 2 1≈ − (c’est ce

qu’on appelle l’approximation affine de f au voisinage de 1).

Exercice

� Solution



Puisque x = 1 001, est proche de 1 on peut en déduire que f (1,001) 2 1,001 1 ;≈ × −

autrement dit : 1,001 1,002.2 ≈

Dans l’exemple précédent, on peut comparer avec la valeur exacte de 1 0012, qui

est 1 002 001, . On fait donc une erreur de 0 000 001, (c’est-à-dire de 10 6− seu-

lement !) en remplaçant x 2 par 2 1x − pour x = 1 001, . Cette approximation est

d’autant meilleure que x est proche de 1.

Remarque

3. Dérivation et opérations sur les fonctionsSoit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I. Leurs

dérivées sont ′u et ′v .

Fonction Dérivée

u v+ ( )u v u v+ ′ = ′ + ′

k u où k ∈�. ( )k u k u′ = ′ uv ( )uv u v uv′ = ′ + ′

u2 ( )u u u2 2′ = ⋅ ⋅ ′

u3 ( )u u u3 23′ = ⋅ ⋅ ′

un où n ∈ −� { }0 ( )u n u un n′ = ⋅ ⋅ ′−1

1v

(v est une fonction ne s’annulant pas sur I )1

2vv

v

′= − ′

uv

(v est une fonction ne s’annulant pas sur I ) uv

u v u v

v

′= ′ ⋅ − ⋅ ′

2

A l’issue de cette séquence, vous pourrez enrichir ce tableau en y ajoutant la fonc-

tion eu (exponentielle d’une fonction). La séquence 5, permettra d’y ajouter aussi

ln( )u (logarithme népérien d’une fonction).

Remarque

Dans chaque cas, déterminer la fonction dérivée de la fonction :Exercice



a) f définie sur � par f x x x( ) .= − −3 7 18

b) g définie sur ] ; [2 + ∞ par g xx

( ) .=−

3

42

a) f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur �.

f est du type u v+ avec u x x( ) = 3 8 et v x x( ) .= − −7 1

Le formulaire précédent nous indique que ′ = × =u x x x( ) 3 8 247 7 et ′ = −v x( ) .7

Comme ′ = ′ + ′f u v , f ’(x) = 24x7 – 7 pour tout réel x.

b) g est bien définie et dérivable sur ] ; [2 + ∞ puisque x 3 et x x 2 4−

le sont et que x x 2 4− ne s’annule pas sur ] ; [.2 + ∞ De plus, g est de la formeuv

avecu x( ) = 3 et v x x( ) .= −2 4

On calcule ′ =u x( ) 0 et ′ =v x x( ) .2

Par conséquent, avec la formule ′ = ′ − ′g

u v uv

v 2 on obtient

′ = × − − ×

−= −

−g x

x x

x

x

x( )

( )

( ) ( ).

0 4 3 2

4

6

4

2

2 2 2 2

Autre méthode (plus directe) : on remarque que g xx

( ) 31

42= ×

− donc, à l’aide

de la formule 1

2uu

u

′= − ′

, on calcule : g xx

x

x

x'( ) 3

2

( 4)

6

( 4).

2 2 2 2= × −

−

= −

−

4. Applications de la dérivationIci, on considère une fonction f dérivable sur un intervalle I.

Théorèmes

� « f est constante sur I » équivaut à « pour tout réel x I∈ , f ’(x) = 0 ».

� « f est croissante sur I » équivaut à « pour tout réel x I∈ , f ’(x) ≥ 0 ».

� « f est décroissante sur I » équivaut à « pour tout réel x I∈ , f ’(x) ≤ 0 ».

� Si f a un extremum en un point d’abscisse a alors ′ =f a( ) .0

La locution « équivaut à » signifie – pour la deuxième phrase, par exemple – que :

� Si ′ ≥f x( ) 0 pour tout réel x de I alors f est croissante

et

� Si f est croissante alors ′ ≥f x( ) 0 pour tout réel x de I.

� Solution

� Logique



C’est l’implication � qu’on utilise souvent dans les exercices lorsqu’on étudie le sens de variation d’une fonction f. Expliquons comment.

1re étape : On dérive la fonction.2e étape : On étudie le signe de la dérivée.3e étape : On conclut à l’aide des théorèmes précédents.

Pour la 2e étape (la plus délicate), essentiellement trois cas peuvent se présenter :

1er cas : « le signe de ′f x( ) est évident ».

Il faut bien observer l’expression de ′f x( ) mais aussi s’habituer à� repérer un nombre qui est toujours positif (une racine carrée, un carré, l’expo-

nentielle d’un nombre, …).� utiliser des règles simples comme « la somme de nombres positifs est posi-

tive », …� utiliser les identités remarquables.

Soit f la fonction définie sur ] ; [− +∞2 par f xx

x( ) .=

+ 2 Etudier les variations de f.

Calcul de ′f x( ) : f est une fonction homographique (quotient de deux fonctions

affines) dont le dénominateur x + 2 ne s’annule pas sur ] ; [− +∞2 ; donc f est

dérivable sur ] ; [− +∞2 et ′ = × + − ×

+=

+f x

x x

x x( )

( )

( ) ( ).

1 2 1

2

2

22 2

� Signe de ′f x( ) : ′f x( ) est le quotient de 2 et de ( ) .x + 2 2 Or, pour tout réel x de ] ; [− +∞2 , ( )x + >2 02 (car un carré est toujours positif) et 2 0> ; par conséquent, pour tout réel x > –2, ′f x( ) qui est le quotient de deux nombres positifs est positif. En résumé : pour tout x de ]–2,+∞[ f ’(x) ≥ 0.

� Application du théorème : comme f est une fonction dérivable vérifiant pour

tout x ∈ − +∞] ; [,2 f ’(x) ≥ 0, d’après un théorème du cours on conclut que f est croissante sur �.

2e cas : « le signe de ′f x( ) n’est pas évident mais on peut transformer l’écriture

de ′f x( ) ».

Pour étudier le signe de ′f x( ) , on peut factoriser ou regrouper au même déno-minateur. Ensuite, on s’aide d’un tableau de signes.

Soit g la fonction définie sur � par g x x x( ) .= +4 63 2 Etudier les variations

de g .

Calcul de ′g x( ) : g est une fonction polynôme donc g est dérivable sur� et

′ = +g x x x( ) .12 122

� Méthode

Exercice

� Solution

Exercice

� Solution



� Signe de ′g x( ) : ′g x( ) est la somme de 12 2x qui est positif (c’est un carré) lorsque x parcourt � et de 12x qui n’est pas de signe constant lorsque x parcourt�. On ne peut donc rien conclure sur le signe de la somme. On cherche à trans-former12 122x x+ . Ici, on peut factoriser ′g x( ) pour l’écrire : ′ = +g x x x( ) ( ).12 1 Sous cette forme, ′g x( ) est le produit de 12x et de x +1 dont on connait parfai-tement le signe lorsque x parcourt � (ce sont des fonctions affines).

On utilise un tableau de signes :

x −∞ – 1 0 +∞

12x – – 0 +

x + 1 – 0 + +

12x (x + 1) + 0 – 0 +

g (x)

� Pour remplir la dernière ligne du tableau précédent, nous avons appliqué trois fois les théorèmes du cours (3e étape décrite ci-dessus) sur chacun des trois intervalles ] ; [− ∞ −1 , ] ; [−1 0 et ] ; [.0 + ∞

3e cas :« le signe de ′f x( ) n’est pas évident et on ne peut pas transformer l’écriture de ′f x( ) ».

On peut alors essayer de résoudre l’inéquation f x( ) ≥ 0 en s’aidant des varia-tions des fonctions usuelles.

Étudier les variations de la fonction h définie sur � par h x x x( ) .= − +14

8 14

� Calcul de ′h x( ) : h est une fonction polynôme donc h est dérivable sur � et

′ = −h x x( ) .3 8

� Signe de ′h x( ) : ′h x( ) n’a pas un signe constant lorsque x parcourt � et il n’apparait pas non plus de factorisation simple. On peut alors penser à ré-soudre ′ ≥h x( ) .0

′ ≥ ⇔ − ≥

⇔ ≥

⇔ ≥

h x x

x

x

( ) 0 8 0

8

2

3

3

3 3

Comme la fonction cube est croissante, elle ne change pas l’ordre donc

x x3 32 2≥ ⇔ ≥

Des équivalences qui précèdent, on retient : ′ ≥ ⇔ ≥h x x( ) 0 2 , autrement dit,

′ ≥ ⇔ ∈ + ∞h x x( ) [ ; [.0 2

Exercice

� Solution



� On conclut à l’aide du théorème du cours que h est croissante sur l’intervalle

[ ; [.2 + ∞

En reprenant le point précédent et en résolvant l’inéquation ′ ≤h x( ) 0 (les calculs sont analogues) on conclut que h est décroissante sur l’intervalle ] ; ].− ∞ 2 D’où le tableau de variations :

x −∞ 2 +∞

′h x( ) – 0 +

h x( )



2 Introduction aux fonctions exponentielles

Objectifs du chapitre

Une suite ( )un peut être vue comme une “fonction” n un qui n’est définie

que pour les entiers n. Nous allons voir dans ce chapitre comment prolonger

cette “fonction” pour des valeurs x réelles et ainsi former une vraie fonction

x f x ( ). Les suites qui nous intéressent sont les suites géométriques de pre-

mier terme 1 et de raison q strictement positive. Vous comprendrez à l’activité 2

pourquoi elles sont si intéressantes …

Pour débuter

La moyenne d’accord, mais laquelle ?

Céleste a été absente ce trimestre et n’a que deux notes en SVT ; 15 et 5. Pour calculer sa moyenne trimestrielle le professeur de SVT – qui est un peu joueur – lui propose le choix suivant : soit il prend la moyenne arithmétique de 5 et 15, soit il prend la moyenne géométrique de 5 et 15.

� Comment se calcule la moyenne arithmétique ? la moyenne géométrique ?

(vous pouvez vous aider d’un dictionnaire ou d’Internet pour chercher le sens des mots inconnus)

� Quel choix est le plus avantageux pour Céleste ?

Au trimestre suivant, le professeur de mathématiques – qui est un peu étourdi – n’a donné que deux devoirs aux élèves. Il propose à chaque élève de la classe de choisir entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique des notes qu’il a obtenues.

� Pour chaque élève, quel choix est le plus avantageux ?

Propriétés des suites géométriques de premier terme 1 et de raison q strictement positive

� Représentation graphique de la suite ( )un

Ici q = 2.

A

B

Activité 1

Activité 2



Compléter le tableau de valeurs suivant et placer les points obtenus sur le gra-phique.

10

0

n un

1

123

� Propriétés de la suite ( )un

Ici encore q = 2.

a) Compléter le tableau précédent pour n ∈{ ; ; ; }4 5 6 7 .

Calculeru1 2+ (attention, ce n’est pas la même chose que u1 2+ ) puis u u1 2× .

b) Calculer u3 4+ puis u u3 4× . Qu’observez-vous ? Expliquer à l’aide de l’éga-

lité unn= 2 ; puis généraliser ce résultat en complétant l’égalité um n+ = ...

c) La suite ( )un est en fait une fonction f définie de� dans � par f n unn( ) .= = 2

Ainsi, on peut noter fn un

:� �→ .

Réécrire le résultat obtenu au b) à l’aide de la fonction f.

� Interprétation géométrique

Désormais q est un nombre réel strictement positif quelconque.On souhaite interpréter graphiquement l’égalité précédente. Pour cela, on fixe arbitrairement un nombre n ∈ ∗� . On considère les trois points consé-cutifs A, B, C du nuage représentant la suite ( )un dont les coordonnées sont : A B et C( ; ), ( ; ) ( ; ).n u n u n un n n− +− +1 11 1



A l’aide du schéma suivant, compléter les phrases :

O

un–1 A

un

un+1

� q

n–1 n n+1

B

C

� q

� L’ordonnée du point C est égale à ………… l’ordonnée du point B.� La moyenne arithmétique des abscisses des points A et C est égale à …………

du point … � La moyenne géométrique des ordonnées des points A et C est égale à …………

du point …

Au cours de l’activité 2, nous avons vu que la suite géométrique de raison 2 et de

premier terme 1, autrement dit, la suite de terme général unn= 2 peut être vue

comme une fonction f :� �→ vérifiant

Pour tous entiers n et m de � , f n m f n f m( ) ( ) ( )+ = × (on dit que f trans-

forme une somme en un produit). Cette égalité qui traduit simplement que

2 2 2n m n m+ = × est encore valable dans le cas plus général d’une suite géomé-

trique dont la raison serait un nombre q > 0 puisque q q qn m n m+ = × .

Remarque

Dans la suite, on considère donc la

fonction f définie par f n qn( ) = où

q > 0 est un nombre réel fixé.

L’objectif de l’activité 3 est d’étendre cette fonction f à � en complétant le nuage de points de sorte que les propriétés en évidence ci-dessus soient conservées.

Prolongement à �

On connaît les puissances négatives de q. Ainsi qq

− =1 1 ; q

q− =2

21

; … ;

qq

nn

− = 1 …

On peut prolonger f à � en posant f p q p( ) = pour tout p de �.

Remarquons aussi que, puisque

q > 0, on a aussi pour tout entier

n de � , f n( ) .> 0

Remarque

Activité 3



� Pour cette question, q = 2.

a) Compléter le tableau de valeurs suivant puis placer les points obtenus sur le graphique.

–3

p up = f(p)

M0

M1

M2

M3–2–10123

b) Calculer f f( ) ( )− × −2 1 puis f ( ).− −2 1

c) Calculer f f( ) ( )3 2× − puis f ( ).3 2− Que remarque-t-on ?

d) Donner un autre exemple de cette propriété.

� Pour cette question, on revient àq > 0.

Justifier que :

� Pour tous entiers relatifs m et n, on a f m n f m f n( ) ( ) ( ).+ = × � f est strictement positive ; autrement dit, pour tout entier relatif p, f (p) > 0.

L’objectif de l’activité 4 est d’étendre cette fonction f à �, en complétant le nuage de points de sorte que les deux propriétés précédentes soient conservées.

Prolongement à �

Le principe : entre deux points du nuage précédent, on ajoute un nouveau point ayant pour abscisse la moyenne arithmétique des abscisses de ces deux points et pour ordonnée la moyenne géométrique de leurs ordonnées. Et on réitère le procédé. Il s’agit d’un processus dichotomique.

Reprenons l’exemple précédent : q = 2.

Activité 4



� Première étape Compléter le tableau suivant puis le nuage de points en respectant le principe énoncé dans l’activité 3.

Entre M0 1( ; )0 et M1 2( ; )1 on va ajouter le point M 12

12

2;

puisque

0+12=12

et 1 2 2× = .

Point M−3 M−2

M−1 M0

M 1

2 M1

M2 M3

abscisse –3 –2 –1 01

2 1 2 3

ordon-née

1

80 125= ,

1

40 25= ,

1

20 5= ,

1 2 1,4≈ 2 4 8

Pour l’ordonnée, donner la valeur exacte, puis une valeur approchée, si nécessaire.

M0

M1

M2

M3

M–1M–2M–3

1O

La fonction fp

:2p

�

R→ est alors définie en … ; –3 ; –2,5 ; – 2 ; – 1,5 ; – 1 ; – 0,5 ; 0 ;

0,5 ; 1 ; 1,5 ; …

Autrement dit, f est définie pour tous les réels du type m2

avec m ∈�.

� Exemple

moyenne arithmétique

moyenne géométrique



Le tableau précédent peut ainsi s’écrire :

abs-cisse

m

2

− =−

36

2− =

−2 5

5

2, − =

−2

4

2− =

−1 5

3

2, − =

−1

2

2− = −0 5

1

2, 0

0

2= 0 5

1

2, = 1

2

2= 1 5

3

2, = 2

4

2= 2 5

5

2, = 3

6

2=

ordon-née

fm

2

1

8

1

32

1

4

1

8

1

2

1

21 2 2 8 4 32 8

Nous allons maintenant écrire différemment les nombres du tableau précédent… pour y voir plus clair.

Calculer 25( ) puis 2

5( )−.

Compléter ensuite le tableau

Abscisse m

2

…

2

…

2

…

2

…

2

…

2

…

2

…

2

…

2

…

2

…

2

…

2

…

2

…

2

Ordonnée

fm

2

2( )… 2( )… 2( )… 2( )… 2( )… 2( )… 2( )… 2( )… 2( )… 2( )… 2( )… 2( )… 2( )…

Dans le cas présent (où q = 2), à la lecture de la 2e ligne du tableau précédent,

une règle semble se dégager. Compléter l’égalité suivante résumant cette règle :

f ... ......( ) = ( ) .

Placer le point M52

dont l’abscisse est la moyenne (arithmétique) des abscisses

des points M2 et M3.

Ce point est-il situé au-dessus ou au-dessous du milieu du segment [ ]M M2 3 ?

� Deuxième étape

Nous poursuivons avec l’exemple précédent : q = 2. Nous sommes partis de la

fonction f p p: 2 bien connue lorsque p est un entier ; nous l’avons étendue

aux entiers relatifs et nous venons de l’étendre aux moitiés d’entiers relatifs.

Nous allons maintenant l’étendre aux moitiés de ces derniers, c’est-à-dire, aux

nombres x qui sont le quart d’un entier relatif ; autrement dit, de la forme xm=4

où m ∈�. Nous réitérons pour cela le processus de dichotomie. Comme précé-

demment, donnons d’abord un exemple.

× 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2



Entre M0 0 1( ; ) et M 12

12

2; ,

on va ajouter le point M 14

14

2;

puisque

012

214

+= et 1 2 2× = .

Compléter le tableau suivant puis placer les nouveaux points du nuage (sans leur nom pour éviter la surcharge) sur le graphique précédent.

Point M−3M

−11

4

M−

5

2M−2

M−

3

2M−1

M−

1

2M0

abscisse –3 −11

4−

5

2−

9

4–2 −

7

4−

3

2–1 −

1

20

ordonnée 0,35 0,5 0,71 1

PointM 1

4

M 1

2 M1

M 3

2 M2 M3

abscisse1

4

1

2

3

4

ordonnée 1,19

Cours

1. Prolongement des suites géométriques, définition de x qx avec q > 0.

Au cours des activités 2, 3 et 4 nous avons progressivement étendu la fonction

x x 2 pour des valeurs de x égales au quart d’un nombre entier. Ainsi, par

exemple 2 214 = et 2 2

34

3=

.

Le principe utilisé dans le processus dichotomique consistant, à partir de deux points déjà construits, d’en construire un nouveau dont l’abscisse est la moyenne arithmétique des abscisses des deux points de départ et l’ordonnée, la moyenne géométrique de leurs ordonnées repose sur les deux propriétés suivantes impo-sées au départ :

� Exemple

moyenne arithmétique

moyenne géométrique

C



La fonction f qui prolonge la fonction x x 2 doit

� rester strictement positive

� transformer chaque somme en un produit.

En itérant le processus décrit, on obtient un nombre croissant de points suggé-rant la courbe d’une fonction.

O 1

1

On admet que cette fonction existe, est unique et qu’elle est dérivable sur�.

Définition

Il existe une unique fonction f dérivable sur � , strictement positive, trans-formant chaque somme en un produit et égale à 2n en chaque x n= en-tier. C’est la fonction exponentielle de base 2.



Voici la courbe (c’est-à-dire, le tracé continu) de la fonction exponentielle de base 2.

O 1

1

Ne pas confondre la « fonction exponentielle de base 2 » avec la « fonction carré ».

La fonction carré est donnée par g x x( ) = 2 . Elle ne transforme pas chaque somme

en produit puisqu’en général on n’a pas x y x y( )2 2 2+ = ; il suffit de vérifier, par

exemple, que ( )1 2 92+ = et 1 2 422 × = mais 9 4≠ . En général, g x y( )+ est

différent de g x g y( ) ( )× .

La définition se généralise à tout réel q > 0. On obtient ainsi la fonction expo-nentielle de base q.

Définition

Soit q un réel strictement positif fixé. Il existe une unique fonction f dérivable sur �, strictement positive, trans-formant chaque somme en un produit et égale à qn en chaque x n= entier. C’est la fonction exponentielle de base q.

A l’aide de votre calculatrice, vous pouvez obtenir les courbes des fonctions

x q x pour différentes valeurs q. Voici deux exemples :



� Autres exemples

nuage de points avec q = 0,5 nuage de points avec q = 1,5

courbe de la fonction exponentielle de base 0,5 : courbe de la fonction exponentielle de base 1,5 :

O 1

1

O 1

1

Les fonctions exponentielles x q x vérifient toutes f ( )0 1= (on calcule

f q( )0 10= = ) puisqu’elles prolongent les suites géométriques ( )un de premier

termeu0 1= .

2. Fonctions exponentielles de base q > 0

a) Notation puissance

Soit f la fonction exponentielle de baseq > 0.

On a f n qn( ) = pour tout n ∈�.

On étend cette notation à � en posant f x q x( ) = pour tout réel x.



La fonction exponentielle de base q est alors la fonction f définie sur

� par f x q x( ) .=

� Le fait que f transforme chaque somme en produit, c’est-à-dire

f x y f x f y( ) ( ) ( )+ = × pour tous réels x et y, s’écrit simplement :

q q qx y x y+ = × ce qui justifie l’emploi de cette notation puisqu’on retrouve une

propriété des puissances entières.

� La règle dégagée des observations de la question� de l’activité 4, s’écrit

fm

qm

2

= ( ) pour tout m ∈�.

Avec la notation puissance, cette règle s’écrit q qm m2 = ( ) . En particulier, pour

m = 1 , on obtient q q12 = , ce qu’on peut constater avec la calculatrice en com-

parant, par exemple, les valeurs obtenues pour 3 et pour 312 . Pour obtenir cette

dernière, on peut entrer 3 1 2^ ( )÷

� Nous admettrons que la fonction f ainsi construite est continue sur � (on trace sa courbe sans lever le crayon).

Remarques

b) Propriétés

Soit q un réel strictement positif.

La fonction exponentielle de base q est le prolongement continu de la suite géo-

métrique ( )un de premier termeu0 1= et de raison q (le terme général de cette

suite est u qnn= ) .

En notant f cette fonction, on écrit : fx q x:� �

→

Propriété 1 (admis)

Les fonctions exponentielles sont :

� strictement positives sur�.

� continues sur�.

� dérivables sur�.

Propriété 2

Les fonctions exponentielles x q x

� transforment chaque somme en un produit :

pour tous réels x et y, f x y f x f y( ) ( ) ( )+ = ×

ce qu’on peut donc écrire q q qx y x y+ = × .

� vérifient : pour tout réel x, qq

xx

− = 1

� vérifient : pour tous réels x et y, q

qq

x

yx y= − .

� Notation



La propriété � résulte d’un choix fait au départ, lors de la construction des fonc-tions exponentielles.L’existence de fonctions (les fonctions exponentielles) vérifiant cette propriété est admise, conformément au programme.

La propriété � découle de la propriété �). En effet, il suffit de choisir y x= −

dans la propriété � pour obtenir q q qx x x x− −= × soit q q qx x0 = × − d’où

1= × −q qx x soit finalement la propriété � en divisant par q x .

La propriété � découle des propriétés � et �.

Ces résultats prolongent les résultats déjà vus sur le sens de variation des suites géométriques étudiées en classe de première.

Remarque

� Démonstration

On admet aussi : pour tous réels x et y, q qx y xy( ) = .

Par conséquent, les fonctions exponentielles vérifient toutes les propriétés opératoires des puissances entières que vous connaissez depuis le collège.

Remarque

R

Propriété 3

Lorsque 0 1< <q , la fonction exponentielle de base q, x q x est stricte-ment décroissante sur� .

x −∞ +∞

qx

Lorsque q > 1, la fonction exponentielle de base q, x q x est strictement croissante sur � .

x −∞ +∞

qx

Lorsque q = 1, la fonction exponentielle de base q, x q x est constante, égale à 1, sur� .

O 1

1

O 1

1



Exercices d’apprentissage

Simplifier les expressions suivantes (les écrire sous la forme ab ou a cb d , avec

a c≠ ) :

a) 2 23 7 5, × b) 0 4 0 43 2 5, , ,× − c) 3 9 3 9 2, ,× − d) 3 2

32

8 1 2

22 1

−−× ×

,,

Déterminer la fonction exponentielle f telle que f ( ) , .2 1 2=

Représenter sur un même graphique (unités : 1cm sur (Ox) et 2cm sur (Oy )) dans

un repère O I J( , , )

� la fonction exponentielle de base 0,8.

� la fonction puissance −0 8, ; c’est-à-dire x x −0 8, sur l’intervalle [ ; ]0 15 .

� Résoudre dans � les équations suivantes :

a) x 3 1= b) x 3 2= c) x 3 8= − d) x 3 5= −

� Déterminer le réel strictement positif x tel que x − =1 5 2, .

� Une seule des quatre courbes suivantes ne représente pas une fonction expo-nentielle, laquelle ?

� Les trois autres courbes représentent les fonctions exponentielles de bases

2 523

, ; et 3.

A vous d’attribuer chaque courbe à sa fonction (sans la calculatrice !).

O 1

1

(�2)

O 1

1

(�1)

D

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5



O 1

1

(�3)

O 1

1

(�4)



3 La fonction exponentielle de base e


Parmi les fonctions exponentielles x q x définies pour toutes les valeurs de q > 0 au chapitre 2, l’une d’entre elles est particulièrement intéressante. Nous allons découvrir laquelle…

Pour débuter

Laquelle choisir ?

� Les courbes des fonctions exponentielles passent toutes par un même point A.

Quelles sont les coordonnées de A ?

� Déterminer l’équation de la droite � de pente 1 passant par A.

� A l’aide du logiciel Geogebra :

a)� définir un nombre q qu’on pourra piloter à l’aide d’un curseur. On choisira un curseur de largeur 500 dont on fixera les propriétés afin que le nombre q varie dans l’intervalle ] ; ]0 5 avec un incrément de 0,001.

� tracer la droite �

� tracer la courbe de la fonction exponentielle de base q (on appelle f cette fonction) puis sa tangente au point d’abscisse zéro (vous pouvez entrer au clavier Tangente[0, f] dans le champ de saisie)

b) Faites varier q, à l’aide du curseur. Pour quelle(s) valeur(s) de q la droite � et la tangente coïncident-elles ?

c) Que vaut alors ′f ( )0 ?

d) Modifier les propriétés du curseur pour que le nombre q puisse prendre des va-

leurs dans l’intervalle [ ; ].0 30 Compléter ensuite le tableau suivant (les valeurs seront arrondies à la 2e décimale) :

A

B

Activité 5



′f ( )0

1

q

0,1 0,5 0,9 1,3 1,5 1,8 2 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 4,5 7,5

e) Compléter la phrase « La fonction exponentielle f de base q ≈ .............. vérifie

′ =f ( ) .......0 ».

Cours

1. Définition de la fonction exponentielle de base e

Théorème

Il existe une unique fonction exponentielle f telle que ′ =f ( ) .0 1

Cette fonction est appelée fonction exponentielle de base e et est notée exp.

Avec la notation puissance, exp(x) = ex pour tout réel x.

� Conformément au programme, ce résultat est admis.

� La base q de cette fonction exponentielle exp est un nombre réel noté e environ égal à 2,7 – comme nous avons pu le voir dans l’activité 5 –. En mathématiques, ce nombre joue un rôle presque aussi important que le nombre π . Comme exp( )1 1= =e e , le nombre e est l’image de 1 par la fonction exp.

� Avec la Texas-Instruments TI82, la fonction exp s’obtient de la façon

suivante : Et avec la Casio Graph25, de la façon suivante :

Vous pouvez ainsi obtenir les premières décimales du nombre e :

e ≈ 2 71828182846, .

� D’après le chapitre 2, la fonction exponentielle de base e est le prolonge-ment de la suite géométrique de premier terme u0 1= et de raison e. Pour cette raison (sans jeu de mot !), on a en particulier pour tout entier n ∈� ,

nexp( ) e e e e ... en

n fois e �� = = × × × × et aussi e 10 = .

Remarque

C



2. Propriétés de la fonction exponentielle de base e

La fonction exp est une fonction exponentielle. Elle vérifie donc les propriétés de ces dernières, étudiées au chapitre 2. Rappelons-les :

Propriétés algébriques

� La fonction exp transforme chaque somme en un produit, autrement dit : exp( ) exp( ) exp( )x y x y+ = × pour tous réels x et y.

On a aussi :

� exp( )exp( )

− =xx

1

pour tout réel x (l’exponentielle de l’opposé est l’in-

verse de l’exponentielle).

� exp( )exp( )exp( )

x yxy

− = pour tous réels x et y (la fonction exp transforme une

différence en un quotient).

Ces propriétés légitiment l’utilisation de la notation puissance ce qui rend

leur utilisation plus naturelle : pour tous réels x et y, e e ex y x y+ = × ;

ee

− =xx1

; ee

e

x yx

y− = ; e ex y xy( ) = .

Propriété analytiques

La fonction exp est :

� définie sur�

� continue sur�

� dérivable sur�

� strictement positive sur�

� le nombre dérivé de la fonction exp en 0 est égal à 1 : exp ( ) .′ =0 1

La 4e propriété implique en particulier que l’exponentielle de n’importe quel réel est strictement positive donc jamais nulle.

La 5e propriété est propre à la fonction exponentielle de base e, et à elle seule.

L’égalité e e ex y x y+ = × vraie pour tous réels x et y s’appelle la relation fonctionnelle des fonctions exponentielles: c’est d’elle dont nous sommes partis (écrite sous la formef x y f x f y( ) ( ) ( )+ = × ) pour construire les fonc-tions exponentielles. Il faut savoir appliquer cette relation dans les deux sens. Par exemple, e e ex y x y× = + .

Remarque




Simplifier les expressions

A B C= × × = ×

×=

−−

e e ee e

e e e

2 1 51 5 5

0 8 3

21,

,

,; ; ;

D Ex

xx x= × = × −

−−e

ee e e

22 1; ( ).

Montrer que pour tout réel x :

a) ( ) ( ) .e e e ex x x x+ − − =− −2 2 4

b) e

e e e

x

x x x+=

+− −1

1 2.

D

Exercice 6

Exercice 7



4 Dérivation et fonction exponentielle (base e)


Parmi les fonctions exponentielles x q x définies pour toutes les valeurs de q > 0 au chapitre 2, l’une d’entre elles est particulièrement intéressante : il s’agit de la fonction exponentielle de base e. Nous allons maintenant découvrir pour-quoi…

Pour débuter

Le clone de sa dérivée

� Faites varier q et déterminez la valeur de q pour laquelle les deux courbes se superposent.

Que ceci signifie pour exp ( )′ x ?

Stoïque par dérivation

Cette activité est difficile et peut être omise en première étude.

� A l’aide de la définition du nombre dérivé exp ( )′ 0 montrer que lim .h

h

h→

− =0

11

e

En déduire que exp ( ) exp( ).′ =0 0

� A l’aide de la relation fonctionnelle des fonctions exponentielles, factoriser l’expression suivante :

e e4 7 4 7, ,+ −h . En déduire que exp ( , ) exp( , ).′ =4 7 4 7

� Proposer une généralisation du résultat précédent pour un réel a quelconque.

Comportements asymptotiques (limites)

� a) Quelle est la nature de la suite ( )en ? En déduire limn

n

→+∞e .

b) Pour tout n ∈�, on note An le point d’abscisse n de la courbe de la fonction exponentielle.

A

B

Activité 6

Activité 7

Activité 8



Déterminer les coordonnées de A100 puis celles de A200. Avec le logiciel Geo-gebra, tracer la courbe de la fonction exponentielle puis observer la position du point An lorsque n prend de grandes valeurs. Interpréter.

�

a) Quelle est la nature de la suite ( )e−n ? En déduire limn

n

→+∞−e .

b) Pour tout n ∈�, on note Bn le point d’abscisse −n de la courbe de la fonc-tion exponentielle.

Déterminer les coordonnées de B100 puis celles de B200. Avec le logiciel Geo-gebra, tracer la courbe de la fonction exponentielle puis observer la position du point Bn lorsque n prend de grandes valeurs. Interpréter.

CoursQuand on parle de la fonction exponentielle, ceci sous-entend la fonction expo-nentielle de base e, c’est-à-dire exp.

exp :� �

→

x xe

L’ensemble de définition de la fonction exponentielle est�.

1. Fonction dérivée de la fonction exponentielle

Théorème 1

La fonction exp est dérivable sur � et la fonction dérivée de exp est elle-même.Autrement dit, exp ( ) exp( )′ = =x x xe pour tout réel x.

Rappelons brièvement les ingrédients de la démonstration (vue à l’activité 7) de

l’égalité exp ( ) exp( )′ =x x :

� On part de la définition du nombre dérivé

exp ( ) lim′ = −→

+a

hh

a h a

0

e e

C

� Démonstration



� D’après la relation fonctionnelle des fonctions exponentielles e e ea h a h+ = × On peut donc factoriser le numérateur :

exp ( ) lim( )′ = −

→a

hh

a h

0

1e e

Comme ea ne dépend pas de h :

exp ( ) lim′ = × −→

ah

a

h

he

e

0

1

Comme e0 1= , ceci nous rappelle la définition du nombre dérivé

exp ( ) lim′ = −→

+0

0

0 0

h

h

he e

, d’où :

exp ( ) exp ( )′ = × ′a ae 0

� Mais, la base e a été précisément choisie parmi les bases q des fonctions ex-ponentielles pour que :

exp ( )′ =0 1

Conclusion : exp ( )′ =a ae (et bien sûr, le réel a qui est quelconque peut s’appeler x).

� Une fonction construite au départ pour transformer chaque somme en produit vérifie la propriété remarquable d’être égale à sa dérivée. Méditez, savourez…� Comme nous l’avons observé à l’activité 7 lorsqu’on cherchait à superpo-ser la courbe de la fonction exponentielle (de base q) x q x , parmi les fonctions exponentielles, la fonction exponentielle de base e est la seule égale à sa dérivée (en fait, à un multiple près, c’est la seule parmi les fonc-tions dérivables ; mais ce résultat est hors-programme).

Remarque

2. Sens de variation de la fonction exponentielle

Théorème 2

La fonction exponentielle de base e est strictement croissante.



Comme nous l’avons déjà observé, toutes les fonctions exponentielles de base q

avec q > 1 sont strictement croissantes, c’est aussi le cas de la fonction exponen-

tielle de base e puisque e 2,7≈ . On se propose de démontrer ce résultat.

Remarque

On sait que

� la fonction exponentielle est dérivable sur � ,

� exp exp′ = � la fonction exponentielle est strictement positive sur �

Par conséquent, le dérivée de la fonction exponentielle est strictement positive sur � Donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur�.

Ce théorème a des propriétés corollaires utiles dans la pratique.

x −∞ 0 1 +∞

xexp( )

e 1

3. LimitesReparlons un moment de suites, plus particulièrement de limites de suites géo-métriques :

� Comme e 1> , limn

n

→+∞= +∞e puisque la suite ( )en est une suite géométrique

de raison e strictement supérieure à 1.

� Comme 1

1e

< , lim lim lim n

n

n

n

n

n

→+∞−

→+∞−

→+∞= ( ) =

=e ee

1 10 puisque la suite

( )e−n est une suite géométrique de raison ee

− =1 1 strictement positive et stric-

tement inférieure à 1.

Comme nous l’avons observé à l’activité 8, ces deux résultats ont une incidence sur la courbe de la fonction exponentielle : elle s’écrase très rapidement sur l’axe des abscisses lorsque les abscisses (négatives) diminuent et elle croît très rapi-dement lorsque les abscisses (positives) augmentent. C’est pour ces raisons que, dans la vie courante, on qualifie d’exponentielle une évolution très rapide.

� Démonstration

Nous avons déjà observé que e > 1 ; la deuxième ligne du tableau en apporte la preuve.

Remarque



4. CourbeLes résultats énoncés précédemment nous permettent de tracer la courbe repré-sentative de la fonction exponentielle :

OO

1

2

3

4

5

6

7

8

y = ex

9

1–1–2–3–4 2 3

5. Dérivée de x u xe ( )

Théorème 3

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.

La fonction f définie sur I par f x u x u x( ) exp( ( )) ( )= = e est alors dérivable sur

I et pour tout x de I, on a : ′ = ′f x u x u x( ) ( ) .( )e

En abrégé, on retient : ( )e eu uu′ = ′

Remarque



Dériver les fonctions suivantes définies sur � par :

a) f x x( ) = +e 7 b) g x x( ) ,= e0 6

a) On a : f x u x( ) ( )= e avecu x x( ) .= + 7

u qui est une fonction affine est dérivable sur� et ′ =u x( ) .1 Le théorème 3 s’applique : f est donc une fonction dérivable sur� et

′ = ′ = × =+f x u x f xu x x( ) ( ) ( ),( )e e1 7 pour tout réel x.

� Notez qu’on peut écrire f x kx x( ) = = ×e e e7 où k = e7 ; puis utiliser la

linéarité de l’opération de dérivation (vue en classe de première) pour écrire

( exp) expk k× ′ = × ′ On retrouve ainsi le (même !) résultat.

�Voici un exemple de fonction différente de la fonction exponentielle (mais pas très

loin puisque la fonction f est un multiple de la fonction exponentielle) vérifiant aussi

′ =f x f x( ) ( ).

Remarque

b) On a : g x u x( ) ( )= e avecu x x( ) , .= 0 6

u qui est une fonction linéaire est dérivable sur� et ′ =u x( ) , .0 6

Le théorème 3 s’applique : g est donc une fonction dérivable sur� et

g x u x u x x'( ) ( ) , ,( ) ,= ′ = ×e e0 6 0 6 pour tout réel x.


Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe de la fonction exponen-tielle au point d’abscisse 1. Par quel point particulier passe-t-elle ?

Résoudre dans� les équations suivantes :

a) e e3 1x x+ = b) ee

ex

x2

2

=( )

(remarque : e ex x2 2= ( ) )

c) ee

xx

2 1= d) e e2 2 1 0x x− + = . e) e ex x= − +1

� Exemples

� Solution

D

Exercice 8

Exercice 9



Résoudre dans� les inéquations suivantes :

a) e e5 2 7 4x x+ −≤ b) ee

x( ) − ≥3 1

0 c) e e2 1 0x x− <+

d) e ex x+ >− 2.

Dériver les fonctions suivantes définies sur � par :

a) h xx x

( ) =+ −

e2 1

23

b) k x x x x( ) = + −e7 5 33 2 .

Dériver les fonctions suivantes définies sur ] ; [0 + ∞ par :

a) f x x( ) = e b) g x x( ) = e1

c) h x x( ) = −e 9 2

d) (à l’aide du logiciel XCAS) k xx

x( ) =− +

+e3 2

7 5

On considère la fonction f définie sur � par f x xx( ) .= +e

� Déterminer la fonction dérivée de f.

� Etudier le sens de variations de f.

Etudier le sens de variations de la fonction f définie sur � par f x x x( ) .= e

� Dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur � par

f xx

e x( ) .= −20

13

� Tracer la courbe de la fonction f à l’aide du logiciel Geogebra.

La courbe de f coupe l’axe des abscisses en deux points d’abscisse

x x x x1 2 1 2et avec < .

Par lecture graphique, donner une valeur approchée à 10 1− de x2.

Calculer f ( )1 puis, à l’aide du tableau de variations de f, en déduire la position de x2 par rapport à 1.

(d’après bac ES – Polynésie – juin 2011)

Soit f une fonction définie sur l’ensemble ] ; [ ] ; [.− ∞ ∪ + ∞1 1

On note �f la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère ortho-normé.

On suppose que f est dérivable sur chacun des intervalles ] ; [− ∞ 1 et ] ; [1 + ∞ et on note ′f la fonction dérivée de f. On suppose aussi que f admet le tableau de variation suivant :

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

Exercice 15

Exercice 16



x −∞ 1 6 +∞

f

2 +∞ +∞

−∞ 3

Pour chacune des quatre affirmations ci-dessous, une seule de ces trois proposi-tions convient :➟ Vraieou➟ Fausseou ➟ Les informations données ne permettent pas de conclure.

Recopier sur la copie le numéro de la question et la proposition choisie. Justifier votre réponse.

� L’équation f x( ) = 0 admet une unique solution sur ] ; [ ] ; [.− ∞ ∪ + ∞1 1

� Pour tout réel x appartenant à l’intervalle ] ; [,1 + ∞ f ‘ (x ) ≥ 0.

Soit g la fonction définie sur ] ; [ ] ; [− ∞ ∪ + ∞1 1 par g x f x( ) .( )= e

� g( ) .6 3= e

� ′ ≥g ( ) .3 0



5 Synthèse de la séquence

1. Rappel de dérivation

Graphiquement, f est dérivable en a si la courbe de f admet au point d’abscisse a une tangente (T) non parallèle à l’axe des ordonnées : f ’(a) est alors le coefficient directeur (ou la pente) de cette tangente. Par conséquent, (T) a pour équation : y f a x a f a= ′ − +( )( ) ( ).

2. Les fonctions exponentielles

Soit q > 0. La fonction exponentielle de base q est la fonction f définie sur �

par f x q x( ) .=

C’est le prolongement continu de la suite géométrique ( )un de premier terme

u0 1= et de raison q.

Propriété

� Les fonctions exponentielles sont strictement positives sur� (donc ja-mais nulles).

� Les fonctions exponentielles sont continues et dérivables sur�.

� Pour tous réels x et y, on a : q q qx y x y+ = × (transformation de chaque somme en produit).

qq

q

qq q qx

x

x

yx y x y xy− −= = ( ) =1

; ; .

� Si 0 1< <q , la fonction exponentielle de base q est strictement décrois-sante sur�.

� Si q > 1, la fonction exponentielle de base q est strictement croissante sur�.

�La fonction exponentielle de base 1 est la fonction constante égale à 1.

q q q f= = =12 0 0 1et ( ) .

Remarque



3. La fonction exponentielle

� La fonction exp est la fonction exponentielle dont le nombre dérivé en 0 est 1.

exp( )1 = e avec e 2,7.≈ On note exp( )x x= e pour tout réel x.

La fonction exp vérifie toutes les propriétés du paragraphe � précédent (en rem-

plaçant q par e) :Notamment :

ex > 0, pour tout réel x.

La fonction exp est strictement croissante sur� (elle conserve l’ordre :

a b a b≤ ⇒ ≤e e ).

e e ex y x y+ = × ; ee

− =xx1

; e

ee

x

yx y= − ; e ex y xy( ) = .

� La fonction exp est continue et dérivable et la dérivée de la fonction exponen-tielle est elle-même : exp exp′ = .

� Tableau de variations de exp et courbe :

x −∞ 0 +∞exp ( )′ x +

xexp( ) 1

OO

1

�exp

1

� Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, la fonction f définie sur I par

f x u x( ) ( )= e est alors dérivable sur I et pour tout x de I, ′ = ′f x u x u x( ) ( ) .( )e



6 Exercices de synthèse

Etudier le sens de variations de la fonction f définie sur � par f x xx( ) .= −e

On injecte à un animal, par voie intramusculaire, 5 3cm d’une substance. Cette substance, normalement absente de son organisme, passe du muscle au sang puis est éliminée au niveau des reins.

On admet que la quantité q t( ) en cm3 de cette substance présente dans le sang

à l’instant t (exprimé en minutes) est de la forme : q t Ct

( ) = ×−

e 8 où C est une

constante.

� Déterminer C.

� Déterminer ′q t( ) pour t ≥ 0. Étudier les variations de la fonction q sur [ ; [.0 + ∞

� Déterminer la limite de la suite q nn

( )( ) ∈� .

� Compléter le tableau de valeurs à 10 3− près :

t 0 2 4 6 8 10

q t( ) 5

� Représenter la fonction q sur [ ; ]0 10 dans un repère orthogonal :

en abscisse : 1 cm représente 1 minute ;

en ordonnée : 1 cm représente 0,5 cm3.

� Déterminer graphiquement (à l’aide de la courbe du �. ou de la calculatrice) le temps au bout duquel il reste dans le sang moins de 50 % de la substance injectée.

Etude de la fonction f définie sur � par f x x( ) .= −e2

� Calculer ′f x( ).

� Déterminer le signe de ′f x( ) sur �. � Dresser le tableau de variations de f.

� A l’aide de la calculatrice, représenter f sur l’intervalle [ ; ].−10 10 � La courbe semble confondue avec l’axe des abscisses à partir d’une certaine

valeur. Est-ce le cas ? Comment peut-on expliquer cette observation ?

Exercice I

Exercice II

Exercice III



(d’après bac ES – Métropole / La Réunion – septembre 2009)

On considère les fonctions f, g et h définies et dérivables pour tout nombre réel

x de l’intervalle [ ; ]4 6 par :

f x g x h x g x f xx x( ) ( ), ( ) , ( ) ( ) ( ).= − = = −−100 45 106e e et

On note ′h la fonction dérivée de la fonction h sur l’intervalle [ ; ].4 6

On cherche à résoudre l’équation h x( ) .= 0

� a) Démontrer que la fonction h est strictement décroissante sur l’intervalle

[ ; ].4 6

b) Dresser le tableau de variations de la fonction h.

c) Justifier que l’équation h x( ) = 0 admet une solution uniqueα sur l’intervalle

[ ; ].4 6

� a) Recopier puis compléter le tableau de valeurs suivant (les résultats seront arrondis à la centaine la plus proche) :

x 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5 5,2 5,4 5,6 5,8 6

h x( ) 17400 −3600 −8100 −25500 −33400

b) Sur la figure suivante, tracer la courbe représentative h� de la fonction h dans le plan muni d’un repère orthogonal :

y

20 000

16 000

12 000

8 000

4 000

–4 000

–8 000

–12 000

–16 000

–20 000

–24 000

–28 000

–32 000

–36 000

04 x4,2 4,4 4,6 4,8 5 5,2 5,4 5,6 5,8 6 6,2 6,4

Exercice IV



c) Placer α sur ce graphique et en donner un encadrement d’amplitude 10 1− .

Partie I

On considère la fonction g définie sur � par g x xx( ) .= − −e 1

� Calculer ′g x( ) et étudier son signe.

� Dresser le tableau de variations de g .

� En déduire que pour tout réel x, ex x≥ +1.

Partie II

On considère la courbe � de la fonction exp dans un repère orthonormé O I J, , .( ) � Déterminer une équation de la tangente � à � au point d’abscisse zéro.� Tracer � et � à l’aide de Geogebra.� Interpréter graphiquement l’inégalité de I.

(d’après bac ES – Amérique du Sud – novembre 2010)

On considère la fonction numérique f définie et dérivable sur � telle que, pour tout réel x, on ait :

f xx

x x( ) .= − −2

2 12

e

On note ′f sa fonction dérivée sur �.

Le graphique ci-après est la courbe représentative de cette fonction telle que l’affiche une calculatrice dans un repère orthonormé.

O

1

y

x

� Quelle conjecture pourrait-on faire concernant le sens de variations de f sur l’intervalle [ ; ]−3 2 en observant cette courbe ?

Dans la suite du problème, on va s’intéresser à la validité de cette conjecture.

� Calculer ′f x( ) et vérifier que ′ =f x xg x( ) ( ) où g x x x( ) ( )= − + −1 2 1e pour tout x de�.

Pour la suite, on admet que g est dérivable sur � et on note ′g sa fonction dérivée.

Exercice V

Exercice VI



� Étude du signe de g x( ) suivant les valeurs de x.

a) Calculer la limite de la suite g nn

( ) .( ) ∈�

b) Calculer ′g x( ) et étudier son signe suivant les valeurs du nombre réel x.

c) En déduire le sens de variations de la fonction g puis dresser son tableau de variations.

d) Montrer que l’équation g x( ) = 0 possède une unique solution dans [ ; [0 + ∞ On note α cette solution.

Justifier que 0 20 0 21, , .< <α

e) Montrer que pour tout x ∈ − ∞ −] ; ],2 –(x + 2)ex–1 ≥ 0.

En déduire que pour tout x ∈ − ∞ −] ; ],2 g (x ) ≥ 1.

f) Déterminer le signe de g x( ) suivant les valeurs de x.

� Sens de variations de la fonction f

a) Étudier le signe de ′f x( ) suivant les valeurs de x.

b) En déduire le sens de variations de la fonction f.c) Que pensez-vous de la conjecture de la question � ?


Fonctions exponentielles - Académie en ligne · 6 Séquence 4 – MA01 Là encore on montre que la...

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