ANALYSE GÉOMÉTRIQUE DES DONNÉES

GDA

1. Qu’est-ce que l’AGD ?

Les données sont représentées sous forme de nuages de points.L’interprétation statistique est fondée sur les nuages.

Tableau de données Nuage de points

326 688 343 98 38 116 84 48241 584 909 403110 188 412 681 3 4 26 85

Nuage ( & )

2. Trois paradigmes de l’AGDLes méthodes de l’AGD furent introduites par Benzécri, avec l’analyse

des correspondances (AC).Elles sont bien connues en France sous l’appellation « Analyse des

données »

Tableau individus x variables variables numériques analyse en composantes principales (ACP)

variables catégorisées analyse des correspondances multiplesTableau de contingence analyse des correspondances

Tableau de données Nuage de points Interprétation statistique

3. Trois idées clés

Courant normal de la statistique AGDQuantitative

Approche matricielle

Orientée échantillonnage

Géométrique

Algèbre linéaire

Inductive

4. Panorama historiquePrécurseurs

Karl Pearson (1901): Goemetric Display of DataHirschfeld (1935), Fisher (1940): équations de l’analyse des correspondances sans développements géométriquesGuttman (1941): équations de l’analyse des correspondances multiples

Points de repères pour l’AGD1963-1973: Émergence. Benzécri et al., 1973: Analyse des données (T.I, Taxinomie, T.II, Analyse des correspondances)1973-1980: Âge d’or en France et splendide isolementDepuis 1981: reconnaissance limitée: Greenacre (1984), Lebart et al. (1984), Benzécri (1992).

5. Points forts méthodologiques

L’AGD comme modèle cadre Homogénéité : toutes les grandeurs recensées dans le tableau

sont des quantités de même nature.

Exhaustivité : les marges du tableau représente un inventaire complet d’un dossier réel dont le cadre n’est guère discutable

Construction de l’espace

Accent mis sur les individus

Schèmes explicatifs; analyse géométrique de questionnaires

6. Analyse des donnée structurées

• Facteurs structurants• Données structurées = données avec

facteurs structurants

DONNÉES NUAGE DE POINTSANALYSE DES

DONNÉES STRUCTURÉES

7. Inférence statistique en AGD• L’inférence statistique doit être effectuée comme

une analyse inductive des données, c’est-à-dire dans l’esprit de l’analyse des données, c’est-à-dire comme prolongement naturel de l’analyse descriptive.

Données Nuage de points Structuration Induction

Le modèle doit suivre les données, non l’inverse !

8. En résumé: qu’est-ce que l’AGD ?

Tableau de

données

Nuage de

points

Interpré-

tation des Axes

Analyse des données

structurées

Analyse inductive

des données

9. À propos des logiciels

Un exemple commenté

Du tableau vers les nuagesDu tableau vers les nuages

Classification

Analyse en composantes principales

• Cas général de l’ACP

• ACP pondérée

• ACP simple

• ACP standard

• Méthodologie et interprétation

Cas général de l’ACP On part d’un protocole multivarié de K variables (initiales), et on

cherche à remplacer ces K variables par L’ nouvelles variables, résumant au mieux le protocole.

Ce problème amène à étudier la structure des liaisons entre les variables.

Soit xJK un protocole multivarié Le profil d’un individu peut être représenté dans un espace à K

dimensions. Pour avoir un nuage euclidien, on définit une distance entre

profils. Effectuer l’ACP du protocole xJK, c’est déterminer les variables

principales (directions principales) du nuage euclidien précédemment construit.

À l’arrivée on aura : l’espace des variables (initiales), l’espace des individus.

ACP pondérée• Les variables sont toutes sur une même échelle, affectées

de poids (exemple notes au BAC, avec coefficients).

• On a un protocole de notes, avec pondération sur les variables, et mesure-effectifs sur les individus.

• On définit une distance entre profils : Σ ώk (xjk – xj’k)²

• Variance du nuage : Σ ώk Var xJk

• L’ACP d’un tel protocole est l’ACP pondérée.

ACP simple• Les variables sont toutes sur une même échelle.

• Les variables sont affectées de poids tous égaux à 1.

• On a toujours une mesure-effectifs.

• Distance entre profils : Σ (xjk – xj’k)²

• Variance du nuage : Σ Var xJk = (Σ λl )

• L’ACP d’un tel protocole est l’ACP simple.

ACP standard• Protocole multivarié avec variables hétérogènes.

• On solidarise les échelles (en réduisant).

• D’où un protocole de notes.

• Les variables ont des poids égaux à 1.

• ACP standard = ACP simple des variables initiales réduites.

• Variance du nuage : nombre de variables.

Méthodologie et interprétation• Résumé d’une acp

ώk

xjk njACP

λl

coordonnéescontributionsqualité de repr.des individus

coordonnéescontributionsqualité repr.des variables initiales

• Étapes d’une ACP en tant qu’analyse géométrique1. Une distance est définie entre individus, avec pondération éventuelle sur les variables.

2. Détermination des axes principaux; on retient un sous espace restreint.

3. Étude géométrique du nuage des variables, illustrant leurs corrélations approximatives.

4. Étude géométrique du nuage des individus, illustrant les distances approximatives entre eux.

• Démarche

1. Examen des statistiques élémentaires : moyennes, variances, corrélations;diagramme (distribution) pour chaque variable;diagramme (corrélations) pour chaque paire de variables.

2. ACP la mieux appropriée :acp simple ou acp standard ?

3. Analyse globale du nuage :contributions des axes;contributions des variables;contributions des individus.

4. Interprétation des axes :à partir des variables initiales;à partir des individus extrêmes;facteur de taille;

5. Analyses complémentaires (classification, etc.)

Introduction à l’Analyse des Correspondances Multiples

(ACM)

1. Introduction

• Langage des questionnaires• Tableau de base : Individus x Questions• Les questions sont des variables catégorisées,

c’est-à-dire, des variables avec un nombre fini de catégories, appelées modalités.

• Questionnaire au « format standard » : pour chaque question, chaque individu choisit une et une seule modalité.

• I : ensemble de n individus• Q : ensemble des questions• K<q> : ensemble des modalités de la question q• K : ensemble des modalités de toutes les questions question q

Individu i (i,q)

2. Principes de l’ACM nuage des individusACM nuages des modalités

Distance entre deux individus i et i’ pour la question qi choisit la modalité k; i’ choisit la modalité k’ k : 1 1 d2 (i,i’) = nk/n nk’/n

Distance entre deux modalités k et k’ : nk + nk’ – 2nkk’

d2 (k,k’) = nk nk’/nnk = nombre d’individus ayant choisi la modalité k (resp. k’);

nkk’ = nombre d’individus ayant choisi à la fois k et k’ .

Axes principaux, valeurs propres et contributions

Propriétés fondamentales :• Les axes principaux du nuage des individus sont en

correspondances un à un avec ceux du nuage des modalités,• Les deux nuages ont les mêmes valeurs propres.

Aides à l’interprétation :• Contribution globale d’une question q : Kq – 1 / K – Q (Kq: nombre de modalités de la question q)

• Contribution d’un point à un axe : p y² /λ (y : coordonnée du point sur l’axe; p : poids relatif)

• La contribution d’une question est la somme des contributions de ses modalités

3. Étapes de l’analyse

1. Choisir les individus actifs, les questions actives (et le codage).

2. Choisir le nombre d’axes à retenir et interpréter les axes retenus.

3. Étudier le nuage des individus.

Choisir les individus actifs, les questions actives (et le codage)

• Modalités rares, non-réponses, modalités « bidons » les modalités rares (< 5% de l’effectif) peuvent être regroupées

avec d’autres quand c’est faisable, ou bien être mises en « passif » (ACM spécifique);

recodage des variables continues (à partir de leur distribution).• Technique des éléments supplémentaires distinguer questions supplémentaires et modalités supplémentaires; individus supplémentaires (réels ou fictifs (repères)).

Résultats de base

Variances des axes (valeurs propres)Coordonnées des modalités et des individusContributions des modalités aux axesReprésentation géométrique des deux nuages

(modalités et individus)

Caractéristiques ou spécificités• Variance du nuage : Φ² du tableau disjonctif= K/Q - 1• Le sous-nuage des modalités d’une question a pour point

moyen le point moyen du nuage.• Plus une modalité est rare, plus elle contribue à la variance.• Contribution d’une question : plus le nombre de modalités

d’une question est grand, plus la question contribue à la variance.

• Taux modifiés : on retient les λl > 1/Q

on calcule λ’l = (Q/(Q-1))² (λl – 1/Q)²

enfin τ’ = λ’l / Σ λ’l

Interpréter les axes

• Cela se fait dans le nuage des modalités • Fondé sur les modalités dont les

contributions dépasse une valeur seuil (par exemple la contribution moyenne)

• Parallèlement examen des contributions des questions

Sous-nuages et points moyens modalité

• Pour un sous-nuage des individus ayant choisi une modalité : son point moyen est appelé point moyen modalité

• Propriété fondamentale : la coordonnée du point moyen modalité = λy

(y est la coordonnée de la modalité dans l’espace des modalités)

Ellipses de concentration

Pour conclure…

• L’ACM est la méthode de prédilection pour l’analyse géométrique des questionnaires

• Étudier le nuage des individus est primordial : les individus « portent » toute l’information !